热传导问题的有限元方法
热传导问题的有限元法
dz
f x0 x
0
0
泛函I=I[y(x)]在y=y 0 (x)处取极值的必要条件是 δI=0，即
I
Iy0 x
y
0
0
上式的含义是：异于y0 (x)的y都使I偏离最大值
点或最小值点，此时，I处于“左也不是，右也
不是”的状态。
可见，函数取极值的必要条件和泛函取极值的必
要条件是类似的。只不过函数的自变量在极值
这些话的意思是：y是连续区间[x1, x2]中一段曲 线。该曲线的变分，就是说它可以变化。这种 变化可以是：值的变化，一阶导数的变化，高 阶导数的变化等。
下面证明：一维泛函（只与一个函数有关）取极 值的条件。
设有泛函
I
yx
x2 x1
F
x,
yx,
y'
xdx
其中：泛函中的自变函数y(x)（平面上的曲线） 在积分区间[x1, x2]的端点x1, x2处的值是已知的， 即
二 泛函的极值
函数z = f (x)有极值问题。如果 dz 0 dx
表明，z相对于x的变化具有局部稳定性，z向 左也不是，向右也不是，此时，z取极值。
泛函I也有极值。使泛函取极值的自变函数ｙ称为
泛函的极值点，它使泛函在该处的值具有稳定 性。
当然，使泛函取得极值的自变函数ｙ的变化要复
杂的多。
三 变分法 函数取极值的条件：dz 0 ，d 称为微分。
dx
泛函取极值的条件： I
四 变分
x
0
，
称为变分。
函数微分
dz f x x f 'xdx，为任意小的正数
0
可以用来研究函数z在x处的变化。
类似，泛函在某点y的变化，可以通过对泛函的 变分
4 有限元素法
2-2 几何方程
位移与应变之间的几何方程为
x
u x
， y
v y
， z
w z
xy
yx
u y
v， yz
zy
w v y z
对于平面问题，几何方程只有三个：
x
u x
， y
v y
， xy
yx
u y
v x
2-3 广义虎克定律
x 2
x
y 2
y
z
用变分法求解微分方程，首先要找到相 应的泛函。
对于有些问题相应的泛函尚未找到，或 者根本不存在相应的泛函。在这种情况 下，就无法用变分法求解。
加权余量法（也称加权余值法）是求微 分方程近似解的一种有效方法。
设有微分方程 G(x,y,y')0
假设有一个满足边界条件和具有一定连续程度
的试探函数 （~y其中含有若干待定系数）使
因为只需要满足本质性边界条件，而不 必考虑自然边界条件（第二、第三类边 界条件自动满足），试探函数的选取是 比较容易的。
试探函数阶次提高，解的精度也提高。
当网格特别细密时，相邻节点之间的变 化就很小，因此单元内分布假设的实际 细节变得不再重要。离散化方程的解将 趋近于相应微分方程的精确解。
单元形状
理复杂区域、复杂边界条件。 而对于具有规则的几何特性和均匀的材料特性
问题,差分法的程序设计比较简单,收敛性也比 有限元法好。 有限元法同时具有里兹法与差分法的优点，使 变分问题的直接解法变成了工程计算中的现实。
FEM的特点
有限元素方法是物理量的矩阵分析方法在连续 体中的有效推广。每个元素都采用有限个参数 来描述它的物理特性。
a
实现极值的必要条件是函数y(x)满足一维 欧拉方程
传热问题有限元分析
【问题描述】本例对覆铜板模型进行稳态传热以及热应力分析，图I所示的是铜带以及基板的俯视图，铜带和基板之间由很薄的胶层连接，可以认为二者之间为刚性连接，这样的模型不包含胶层，只有长10mm的铜带（横截面2mm×0.1mm）和同样长10mm的基板（横截面2mm×0.2mm）。
材料性能参数如表1所示，有限元分析模型为实体——实体单元，单元大小0.05mm，边界条件为基板下表面温度为100℃，铜带上表面温度为20℃，通过二者进行传热。
图I 铜带与基板的俯视图表1 材料性能参数名称弹性模量泊松比各向同性导热系数基板 3.5GPa 0.4 300W/(m·℃)铜带110GPa 0.34 401W/(m·℃)【要求】在ANSYS Workbench软件平台上，对该铜板及基板模型进行传热分析以及热应力分析。
1.分析系统选择（1）运行ANSYS Workbench，进入工作界面，首先设置模型单位。
在菜单栏中找到Units下拉菜单，依次选择Units>Metric（kg,m,s,℃，A，N,V）命令。
（2）在左侧工具箱【Toolbox】下方“分析系统”【Analysis Systems】中双击“稳态热分析”【Steady-State Thermal】系统，此时在右侧的“项目流程”【Project Schematic】中会出现该分析系统共7个单元格。
相关界面如图1所示。
图1 Workbench中设置稳态热分析系统（3）拖动左侧工具箱中“分析系统”【Analysis Systems】中的“静力分析”【Static Structural】系统进到稳态热分析系统的【Solution】单元格中，为之后热应力分析做准备。
完成后的相关界面如图2所示。
图2 热应力分析流程图2.输入材料属性（1）在右侧窗口的分析系统A中双击工程材料【Engineering Data】单元格，进入工程数据窗口。
第7章 稳态热传导问题的有限元法
)dΒιβλιοθήκη 0(8-18)14
采度用分布Ga函ler数ki和n方换法热，边选界择条权件函代数入为(8，-w181 )式N，i 单将元单的元加内权的积温
分公式为
e
[ Ni x
(x
[N ]) Ni x y
( y
[N ])]{T}e d y
e
e
NiQ d 2 Ni qs d
(8-19)
e 3
Ni h[N ]{T}e d
一点上都满足边界条件（8-11）。对于复杂的工程问
题，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似
解。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数
，一般表示为:
n
u u Ni ai Na
（8-12）
i 1
其中 ai为待定系数，为 Ni已知函数，称为试探函数。试探
函数要取完全的函数序列，是线性独立的。由于试探函数
T
0
t
5
这类问题称为稳态（Steady state）热传导问题。 稳态热传导问题并不是温度场不随时间变化，而是指 温度分布稳定后的状态。
若我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态 过渡到最后的稳定温度场，那么随时间变化的瞬态（ Transient）热传导方程就退化为稳态热传导方程，三 维问题的稳态热传导方程为
，取： W j N j W j N j
下面用求解二阶常微分方程为例，说明Galerkin 法（参见，王勖成编著“有限元法基本原理和数值 方法”的1.2.3节）。
12
以二维问题为例，说明用Galerkin法建立稳态温度场 的一般有限元格式的过程。二维问题的稳态热传导方程：
x
x
T x
y
y
1 x j
各向异性热传导问题杂交Trefftz有限元法及数值实现
各向异性热传导问题杂交Trefftz有限元法及数值实现摘要：当前各向异性热传导问题，在热学领域得到了广泛的关注，许多学者开展了深入的研究。
Trefftz有限元法是一种新兴的解决此类问题的数值计算方法，该方法通过采取基于边界积分方程的Trefftz函数，避免了网格依赖性的问题。
本文介绍了Trefftz有限元法对各向异性热传导问题的显式方法，同时还对其相关的数值实现做出了详细的介绍。
经过验证，该方法不仅具有高精度和准确性，而且大大提高了计算效率，有很好的应用前景。
关键词：各向异性热传导、Trefftz有限元法、边界积分方程、数值实现、计算效率一、引言各向异性热传导问题一直是研究热学领域的重要问题。
各向异性材料的热传导特性的复杂性，使得该问题的数学模型的建立和数值计算变得十分困难。
近年来，解决这一问题的方法也得到了迅速发展。
Trefftz有限元法是最近新兴的解决各向异性热传导问题的数值计算方法之一。
该方法的特点是采用基于边界积分方程的Trefftz函数，克服了传统有限元方法中的网格依赖性问题，同时为计算提供了更好的精度和准确性。
本文将详细介绍Trefftz有限元法在各向异性热传导问题中的显式方法，并对其给出的数值实现做出详尽的分析和说明。
最后，通过数值实验的结果，验证了该方法的高精度和较高的计算效率。
二、热传导问题的数学模型本文所考虑的是各向异性介质内的热传导问题。
根据热传导学中的基本假设，我们基于傅里叶定律、热对流定律和热辐射定律等假设，建立如下的热传导方程：（1）∇·k∇T+f=ρC(T)其中，k是热传导系数，T是温度，f是热源项，ρ是密度，C是比热容。
在各向异性材料中，k是一个矩阵，可以写为：（2）k=[k11 k12 k13][k21 k22 k23][k31 k32 k33]其中，各个元素反映了各向异性材料的传热特性。
下一步，我们需要将上述方程变形为适合于数值计算的形式。
这里采用Trefftz有限元法进行求解。
有限元习题及答案
有限元习题及答案有限元习题及答案有限元方法是一种常用的数值计算方法，用于求解各种工程和科学问题。
在学习有限元方法的过程中，练习习题是非常重要的，可以帮助学生巩固所学的知识，并提高解决实际问题的能力。
本文将介绍一些有限元习题及其答案，希望对学习有限元方法的同学有所帮助。
习题一：一维热传导问题考虑一个长度为L的一维杆，其两端固定，杆上的温度满足以下热传导方程：∂²T/∂x² = 0，其中T为温度，x为位置。
已知杆的两端温度分别为T1和T2，求解杆上的温度分布。
解答一：根据热传导方程，可以得到温度分布的一般解为T(x) = Ax + B，其中A和B为常数。
根据边界条件，可以得到方程组：T(0) = B = T1T(L) = AL + B = T2解方程组可得A = (T2 - T1) / L，B = T1。
因此，温度分布为T(x) = ((T2 - T1) / L) * x + T1。
习题二：二维弹性问题考虑一个矩形薄板，其长为L，宽为W，材料的弹性模量为E，泊松比为ν。
已知薄板的边界上施加了一定的边界条件，求解薄板上的位移场。
解答二：对于二维弹性问题，可以使用平面应力假设，即假设薄板内部的应力只有两个分量σx和σy，并且与z轴无关。
根据平面应力假设和胡克定律，可以得到位移场的偏微分方程：∂²u/∂x² + ν * (∂²u/∂y²) + (1 - ν) * (∂²v/∂x∂y) = 0∂²v/∂y² + ν * (∂²v/∂x²) + (1 - ν) * (∂²u/∂x∂y) = 0其中u和v分别为位移场在x和y方向上的分量。
边界条件根据具体情况给定。
通过数值方法，如有限元方法，可以求解位移场的近似解。
习题三：三维流体力学问题考虑一个三维流体力学问题，流体在一个封闭容器内流动，容器的形状为一个长方体，已知流体的速度场和压力场的初始条件，求解流体的运动状态。
有限元分析及应用
有限元分析及应用介绍有限元分析，简称FEA（Finite Element Analysis），是一种数值计算方法，用于预测结构的力学行为。
它可以将结构离散为有限个小单元，在每个小单元内进行力学计算，并通过求解得到整个结构的应力和位移分布。
有限元分析常用于工程领域中，如结构分析、热传导分析、流体流动分析等。
原理有限元分析的基本原理可以概括为以下几个步骤：1.离散化：将结构或物体离散为有限个小单元。
常见的小单元形状有三角形、四边形等，在三维问题中可以使用四面体、六面体等。
2.建立数学模型：在每个小单元内，根据结构的物理特性和力学行为建立数学模型。
模型中包括了材料的弹性模量、泊松比等参数，以及加载条件、约束条件等。
3.组装和求解：将所有小单元的数学模型组装成一个整体的数学模型，然后利用求解算法进行求解。
常见的求解算法有直接法、迭代法等。
4.后处理：得到结构的应力和位移分布后，可以进行各种后处理操作，如绘制位移云图、应力云图等，以帮助工程师分析结构的强度和刚度性能。
应用有限元分析在工程领域有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用案例：结构分析有限元分析可以用于结构分析，以评估结构的刚度和强度。
在设计建筑、桥梁、航空器等工程项目时，工程师可以使用有限元分析来模拟结构的力学行为，预测结构在不同加载条件下的变形和应力分布，以优化结构设计。
热传导分析有限元分析也可以用于热传导分析，在工程项目中评估热传导或热辐射过程。
例如，在电子设备的散热设计中，可以使用有限元分析来预测电子元件的温度分布，优化散热设计，确保电子元件的正常工作。
流体流动分析在流体力学研究中，有限元分析可以用于模拟流体的运动和流动行为。
例如，在船舶设计中，可以使用有限元分析来模拟船体受到波浪作用时的变形和应力分布，验证船体的可靠性和安全性。
优缺点有限元分析具有以下优点：•可以模拟复杂结构和物理现象，提供准确的结果。
•可以优化结构设计，减少设计成本和时间。
热力学中的热传导计算模型
热力学中的热传导计算模型热传导是自然界中一种常见的现象。
它指物质内部的热量传递与分布，主要表现为物质内部的温度差、热流速度的差异和热传导系数的不同。
热传导的计算模型是对热传导过程进行数学模拟的方式，以加深我们对热理论的理解。
1. 热传导模型的基本原理热传导模型的基本原理是从热传导的基本方程式开始推导。
热传导的基本方程式可以表示为：q = -k · A · (dT/dx)式中，q 表示热流速度，k 表示热传导系数，A 表示横截面积，(dT/dx) 表示温度梯度。
这个方程式是描述在没有传递界面和对流换热作用的情况下，热从高温区向低温区传递的关系式。
这个关系式可以用来解析各种形状的体系温度分布、传热速率等问题。
但是需要注意的是，这个基本方程式只适用于均匀材料内的热传导计算。
如果是非均匀材料，需要用更复杂的数学模型来解析。
2. 热传导模型的数值解法在工程应用中，更常用的方法是使用数值解法解决热传导计算问题。
数值解法可以通过离散方法，将热传导过程离散化为一系列的单元。
每个单元表示一个小体积，热量的传递只涉及到该小体积的周围体积，而不考虑整个体系内部的细节。
然后对每个单元内的热传导进行数值模拟，得到解析结果。
这个方法可以处理各种形状的体系，而且计算速度快，精度高。
数值解法中，有一个非常重要的概念是有限元法。
有限元法是目前最常用的热传导数值解法之一。
有限元法将复杂的热传导问题划分成许多离散的小区域，通过求解每个小区域内的热传导问题，推导出整个体系的温度分布。
有限元法不但能有效地解决热传导问题，还可以用于许多其他领域的问题解决，如电磁场、结构力学等计算。
3. 热传导模型的工程应用热传导模型的工程应用非常广泛，最常见的就是用于工业过程中的热处理模拟。
例如，对于加热模型，可以通过热传导模拟提前预测加热温度分布、加热均匀度等参数，从而保证最终产品的质量。
又如，在热电材料设计中，可使用热传导模型来预测电热材料的温度场分布和电阻率变化规律，进而提高其工作效率和使用寿命。
有限元法及应用总结
有限元法及应用总结有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数学建模方法，用于求解连续介质的力学问题。
它通过将连续介质分割为有限数量的小单元，通过离散化的方式将连续问题转化为离散问题，然后通过数值计算方法进行求解。
有限元法的基本步骤是：建立初始网格、选择合适的单元类型和数学模型、建立有限元方程、求解有限元方程组、计算和评估结果。
1.建立初始网格：将连续介质分割为离散的小单元。
可以根据问题的特点选择不同形状的单元，如三角形、四边形、六边形等。
初始网格的密度应根据问题的要求进行合理的选择。
2.选择合适的单元类型和数学模型：根据问题的情况，选择合适的数学模型，如线性模型、非线性模型、静力学模型、动力学模型等。
同时，根据问题的要求选择合适的单元类型，如三角形单元、四边形单元等。
3.建立有限元方程：根据选择的数学模型，使用变分原理或其他方法建立有限元方程。
有限元方程通常是一个矩阵方程，包含未知变量和已知条件，通过求解该方程可以得到问题的解。
4.求解有限元方程组：将有限元方程组转换为代数方程组，使用数值计算方法求解。
常用的求解方法有直接解法和迭代解法，如高斯消元法、LU分解法、共轭梯度法等。
根据问题的特点选择合适的求解方法。
5.计算和评估结果：得到问题的解后，可以通过计算和评估结果来验证数值解的准确性和可靠性。
常见的评估方法有误差分析、收敛性分析、模型验证等。
有限元法的应用非常广泛，涉及机械、土木、航空航天、电子、生物医学等多个领域。
通过有限元法可以模拟和分析各类结构的力学行为和变形特性，以及流体、热传导等物理问题。
在机械工程中，有限元法可以用于模拟零件的变形、应力和疲劳行为，优化结构设计，确定最佳工艺参数等。
在土木工程中，可以用于模拟建筑物、桥梁、隧道等结构的稳定性和强度，评估结构的安全性。
在航空航天工程中，可以用于模拟飞机、航天器的疲劳和破坏行为，优化材料和结构设计。
在电子工程中，有限元法可以用于模拟芯片、电路板的热分布和应力分布，优化散热和布线设计。
第8章有限元法基础——二维热传导问题分析
x
k S T T cos d
x
h S T T T cos d f
h S T cos d h S
T
T
T f cos d
h S
T
T cos d
(e)
在x方向的传导矩阵为
0 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0
总 结
（1）双线性单元的传导矩阵为
2 2 1 1 k x w 2 2 1 1 k y l (e) K 6l 1 1 2 2 6w 1 1 2 2
2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2
x方向的传导分量，y方向的传导分量；
如果边界单元通过热对流有热量损失，传导 矩阵有如下附加项： 2 0 0 1 0 0 0 0 hl jm 0 2 1 0 hlni 0 0 0 0 (e) (e) K K 6 0 0 0 0 6 0 1 2 0 1 0 0 2 0 0 0 0
K
0 hl jm 0 6 0 0
K
(e)
2 hlni 0 6 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 2
h S T sin d 在y方向的传导矩阵为
T
K
(e)
2 hlij 1 6 0 0
0 hlmn 0 6 0 0
1 2 0 0
0 0 0 0
2
T
2
令 C1 k x， C2 ky ， C3 q 。上式变为如下形式：
S
A
T
T T d T (C1 2 )dA S (C2 2 )dA S C3 dA 0 A A y dx
有限元计算
有限元计算有限元计算是一种数值分析方法，用于求解工程问题的数学模型。
它通过将复杂的连续介质划分为离散的有限元素，然后针对每个元素进行力学方程求解，最终得到整个系统的响应。
本文将介绍有限元计算的基本原理和应用领域。
有限元计算的基本原理是以分片函数为基础的。
分片函数是一个在每个元素上定义的形状函数，它可以用来描述元素内部的物理量如位移、应力等。
通常，分片函数采用多项式函数来近似实际的分布。
然后，有限元计算将整个系统分割成多个元素，并在每个元素上使用分片函数进行离散化。
通过对每个元素的力学方程进行求解，可以得到整个系统的响应。
有限元计算可以应用于多个领域，例如结构力学、热传导、流体力学等。
在结构力学中，有限元计算可以用于预测材料的应力、变形以及断裂等。
在热传导中，有限元计算可以用于模拟热流的传递和分布。
在流体力学中，有限元计算可以用于模拟流体的运动和流场的分布。
有限元计算的具体步骤包括几何建模、边界条件的施加、离散化、方程的求解和结果的后处理。
在几何建模中，需要将实际的工程问题转化为几何模型。
边界条件的施加涉及到对问题的边界进行限制，例如施加位移边界条件或载荷边界条件。
离散化阶段是将整个模型分割成多个有限元素，并定义适当的分片函数。
在方程求解中，需要根据给定的边界条件和分片函数对每个元素的力学方程进行求解。
最后，在结果后处理中，可以对计算结果进行可视化和分析。
有限元计算的优点是可以解决复杂的工程问题，并且具有较高的精度和灵活性。
它可以通过改变网格密度和分片函数的阶数来调节计算精度。
另外，有限元计算可以处理几何形状复杂、边界条件多变的问题，具有广泛的适用性。
总之，有限元计算是一种常用的数值分析方法，可以用于求解工程问题的数学模型。
它通过将系统离散化成多个有限元素，并使用分片函数进行力学方程求解，来获得系统的响应。
有限元计算在结构力学、热传导、流体力学等领域有着广泛的应用。
稳态热传导问题有限元法
6. 稳态热传导问题的有限元法本章的内容如下：6.1热传导方程与换热边界6.2稳态温度场分析的一般有限元列式 6.3三角形单元的有限元列式 6.4温度场分析举例6.1热传导方程与换热边界在分析工程问题时，经常要了解工件内部的温度分布情况，例如发动机的工作温度、金属工件在热处理过程中的温度变化、流体温度分布等。
物体内部的温度分布取决于物体内部的热量交换，以及物体与外部介质之间的热量交换，一般认为是与时间相关的。
物体内部的热交换采用以下的热传导方程（Fourier 方程）来描述，Q z T z y T y x T x t T c+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z y x λλλρ （6-1）式中ρ为密度，kg/m 3； c 为比热容，K)J/(kg ⋅；z y x λλλ,,为导热系数，)k m w ⋅；T 为温度，℃；t 为时间，s ；Q 为内热源密度，w/m 3。
对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导方程可写为以下形式，Q zTy T x T t T c 222222+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂λλλρ（6-2）除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件和边界条件。
初始条件是指物体最初的温度分布情况，() z y,x,T T 00t ==（6-3）边界条件是指物体外表面与周围环境的热交换情况。
在传热学中一般把边界条件分为三类。
1）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件。
物体表面上的温度或温度函数为已知，s s T T =或),,,(t z y x T T s s =（6-4）2）给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类边界条件。
已知物体表面上热流密度，s sz z y y x xq n z T n y T n x T =∂∂+∂∂+∂∂)(λλλ或),,,()(t z y x q n zT n y T n x T s sz z y y x x=∂∂+∂∂+∂∂λλλ（6-5）3）给定对流换热条件，称为第三类边界条件。
传热问题的基本方程有限元分析
u t
u
kx
u x
u x
ky
u y
u )dV y
Q udV
V
q q0 ud
未知变量：
DISP u u
未知变量定义微分方程弱形式中 的变量
材料参数：
MATE ek ec q 1.0 1.0 0.0 kx(ky) ρc q
材料参数行对应微分方程弱形式 中的变量(考虑各向同性材料，各
在heatxy.fde给出单元的待求未知量，涉及到的材料参数，单元的形函数表达式，刚度 矩阵表达式和载荷表达式，以及为描述刚度矩阵和载荷向量而自定义的函数。 以下给出微分方程描述文件中与微分方程弱形式对应的部分(详细的解析见《有限元分析基础 和应用》中相关章节)：
微分方程弱形式：
V
(c
有限元计算模型
•施加材料属性：
在condition窗口中为a场(温度)和b场(热流)分别施加材料属性和边界条件，该模型只有一种 材料，材料赋值如下图所示：
a场面材料添加
•施加边界条件：
b场面材料添加
模型内壁保持0℃，外壁与外界发生对流交换(由边界条件文件来实现，在gid中通过赋边界材 料来实现)，边界赋值如下图所示：
ky
u y
u y
单元质量矩阵：
mass %1 ec*vol
c u u t
单元刚度矩阵对应微分方程弱形式 中的左端第二项
单元质量项对应微分方程弱形式中 的左端第一项，其中的ec表示密度
ρ与比热容c的乘积
单元载荷向量： load = +[u]*q*vol
向热传导系数相同即kx=ky=ek)
单元刚度矩阵：
dist = +[gu_i;gu_i]*ek*vol (其中gu是一向量，其分量为vect gu gux guy gu的表达式在该fde中对应：
有限元法的基本概念和特点
边界条件和载荷对分析结果的影 响
边界条件和载荷的设置直接影响分析结果 的精度和可靠性，因此需要仔细考虑和验 证。
03 有限元法的特点
适应性
有限元法能够适应各种复杂形状和边 界条件，通过将连续的求解域离散化 为有限个小的单元，实现对复杂问题 的近似求解。
有限元法的适应性表现在其能够处理 不规则区域、断裂、孔洞等复杂结构 ，并且可以根据需要自由地组合和修 改单元，以适应不同的求解需求。
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通过将不同物理场（如结构、流体、电磁等）耦 合在一起，可以更准确地模拟复杂系统的行为。
多物理场耦合分析将为解决复杂工程问题提供更 全面的解决方案面具有重要作用。
通过先进的建模技术和优化 算法，可以更有效地设计出 高性能、轻量化的结构。
有限元法在结构优化方面的应 用将有助于提高产品的性能和
近似性
利用数学近似方法对每个单元体的行 为进行描述，通过求解代数方程组来 获得近似解。
通用性
适用于各种复杂的几何形状和边界条 件，可以处理多种物理场耦合的问题。
高效性
通过计算机实现，能够处理大规模问 题，提高计算效率和精度。
02 有限元法的基本概念
离散化
离散化
将连续的物理系统分割成有限个小的、相互连接的单元，每个单 元称为“有限元”。
随着计算机技术的发展，有限元法的精度不断提高，对于一些高精度要求的问题 ，有限元法已经成为一种重要的数值分析工具。
04 有限元法的应用领域
工程结构分析
01
02
03
结构强度分析
通过有限元法，可以对工 程结构进行强度分析，评 估其在各种载荷条件下的 稳定性。
基于有限元方法的热处理数值模拟与实验验证
基于有限元方法的热处理数值模拟与实验验证热处理是一种常用的金属加工技术，通过控制材料的恒温处理过程，可以改善材料的力学性能和物理性能。
在热处理过程中，热传导是一个非常重要的物理现象，影响着材料的温度分布和相变行为。
为了更好地理解和优化热处理过程，数值模拟成为了一种非常有效的方法。
本文将基于有限元方法，探讨热处理数值模拟与实验验证的相关内容。
首先，有限元方法是一种常用的数值计算方法，主要用于解决各种物理问题的方程。
对于热传导问题，可以使用热传导方程作为数学模型。
热传导方程是一个偏微分方程，描述了材料的温度分布随时间和空间的变化。
有限元方法将材料划分为有限个小单元，利用数值逼近的方法求解方程。
通过计算每个小单元的温度变化，可以获得整个材料的温度分布。
在进行热处理的数值模拟时，首先需要建立材料的几何模型。
这可以通过计算机辅助设计软件或三维扫描等方法来实现。
然后，需要确定材料的热传导性质，包括热导率、比热容和密度等参数。
这些参数可以通过实验测量或者从文献中获得。
接下来，需要确定热处理的边界条件，包括初始温度、边界温度和边界热通量等。
在得到几何模型、材料参数和边界条件后，可以使用有限元软件进行热处理数值模拟。
首先，将几何模型划分为有限个小单元，然后建立有限元网格。
对于每个小单元，根据热传导方程和边界条件，建立相应的数学方程。
然后，通过求解这些方程，得到材料的温度分布。
通常，数值模拟可以提供材料的温度历程、最高温度、温度梯度等信息。
为了验证数值模拟的准确性，需要进行实验验证。
实验验证可以通过在同样的热处理条件下测量材料的温度分布来实现。
为了实现实验验证，需要选择合适的温度传感器，并对其进行校准。
然后，将温度传感器放置在材料表面或内部，进行温度测量。
实验过程中，需要注意排除外部因素对温度测量的影响，保证测量结果的准确性。
将数值模拟结果与实验结果进行比较，可以评估数值模拟的准确性。
通常，可以通过比较温度分布图、最高温度和温度梯度等指标来判断。
平面相变热传导问题等效热容法的有限元解
大 连 理 工 大 学 学 报 J ournal of Dalian University of Technol ogy
Vol . 40, No. 1 J an. 2 0 0 0
文章编号 : 1000-8608( 2000) 01-0045-04
平面相变热传导问题等效热容法的有限元解
收稿日期 : 1998-12-01; 修订日期 : 1999-07-14 基金项目 : 国家杰出青年科学基金资助项目 ( 19525206) 作者简介 : 李海梅 ( 1969～ ) , 女 , 博士生 ; 顾元宪 ( 1954～ ) , 男 , 教授 , 博士生导师 ; 申长雨 ( 1963～ ) , 男 , 教授 , 博士生导师 .
表1 不同网格下求得的相界面位置及其与解析解的误差
T ab. 1 The numer ical results of phase inter face under different finite mesh and their er ror comparison with the analytical r esults
( 9) +
$t
C - (1- N ) K Tt $t 式中: N 是时间差分系数 , 0 < N< 1.
3] 引入焓 H 、 熵 S 两个物理量[ 2、 : T cpl ( T - T f) + $ H , H = T cp dT = f cpl ( T - T f) ,
( 10)
∫
T ≥ Tf T < Tf ( 11) 图1 相界面的求解示意图
解, 40单元的最大误差在 6% 以内. 时间差分格式的
变化 对 程序 计算 结 果影 响 很小 , 对 于 本 题, N = 0. 500, 0. 250, 0. 667的计算结果一样. 图 4中的温度 曲线与文献[ 6] 中的解析解曲线吻合得非常好 .
热传导问题的有限元方法
02 有限元方法的基本原理
有限元方法的基本思想
将连续的求解区域离散成有限个小的 子区域（即有限元），在每个子区域 上选择合适的基函数，通过基函数的 线性组合来逼近真实解。
通过在子区域上定义的边界条件和初 始条件，将所有子区域的解联立起来 ，形成一组线性方程组，求解该方程 组即可得到原问题的近似解。
大规模计算
对于非常大的问题，有限元方法可能 需要大量的计算资源，这可能导致计 算时间较长。
处理复杂边界和界面条件
对于具有复杂边界和界面条件的问题， 有限元方法的实现可能变得复杂和困 难。
有限元方法的应用范围
传热问题
有限元方法广泛应用于传 热问题的数值模拟，如热 传导、热对流和热辐射等 。
结构分析
在结构工程中，有限元方 法用于分析结构的静态和 动态行为，如应力、应变 和振动等。
流体动力学
在流体动力学中，有限元 方法用于模拟流体流动和 传热，如流体动力学分析 和计算流体动力学(CFD) 。
电磁场理论
在电磁场理论中，有限元 方法用于分析电磁场的行 为，如电磁波的传播和散 射等。
05 热传导问题有限元方法的 发展趋势与展望
热传导问题有限元方法的研究热点
复杂几何形状的热传导问 题
03 热传导问题的有限元方法
热传导问题的有限元离散化
将连续的热传导问题离散化为 有限个单元，每个单元内的温 度和热流分布用数学模型表示。
单元之间的热量传递通过节点 传递，节点之间的热量传递用 耦合条件表示。
离散化后的方程组可以用矩阵 形式表示，方便进行数值求解。
热传导问题的有限元求解
01
通过迭代法或直接法求解离散化后的方程组，得到每个节点 的温度值。
有限元方法的数学基础
双温模型的离散体系有限元传热计算程序
双温模型的离散体系有限元传热计算程序传热是热力学中的重要过程，研究热传导问题对于工程领域的热设计和优化至关重要。
离散体系有限元传热计算程序是一种常用的数值计算方法，用于模拟传热过程中温度分布和热流的传递情况。
而双温模型则是一种常用的描述热传导的数学模型。
在离散体系有限元传热计算程序中，首先需要建立计算模型。
这个模型通常是由各种材料的物理性质和几何形状所确定的。
在传热过程中，温度分布是非常重要的参数，因此在建模过程中需要将模型离散化，即将其分割成许多小的单元。
每个单元内部的温度可以看作是均匀的，而单元之间的温度则可以通过有限元法进行插值求解。
在双温模型中，传热问题被分解为两个主要方程：热传导方程和能量守恒方程。
热传导方程描述了热量在材料内部的传递过程，而能量守恒方程则描述了热量的产生和消耗过程。
这两个方程可以通过离散化的有限元方法进行求解。
在计算程序中，首先需要定义模型的几何形状和物理性质。
然后，根据边界条件和初始条件，初始化模型的温度分布。
接下来，通过迭代计算的方式，使用离散体系有限元方法求解热传导方程和能量守恒方程。
在每个时间步内，通过更新温度场的数值来模拟热量的传递过程。
最终，可以得到模型在不同时间点的温度分布和热流情况。
离散体系有限元传热计算程序的优点在于可以处理复杂的几何形状和材料性质。
通过合理选择离散单元的大小和形状，可以使计算结果更加准确。
此外，该计算程序还可以模拟不同的边界条件和初始条件，从而得到不同情况下的传热情况。
然而，离散体系有限元传热计算程序也存在一些限制。
首先，计算过程中需要进行大量的数值计算，计算时间较长。
其次，计算结果受模型离散化的影响，如果离散单元的数量不足或分布不均匀，可能会导致计算结果的误差。
此外，该方法对于非线性问题的处理较为困难，需要进行额外的处理。
离散体系有限元传热计算程序是一种重要的数值计算方法，用于模拟传热过程中的温度分布和热流传递情况。
双温模型作为一种常用的描述热传导的数学模型，在该计算程序中起到了重要作用。
热传导方程有限元算法的两种计算准则比较
热传导方程有限元算法的两种计算准则比较
欧阳华江
【期刊名称】《大连理工大学学报》
【年(卷),期】1990(030)006
【摘要】针对用有限元法计算瞬态温度场可能会产生振荡或超界的问题，曾提出过两种计算准则。
通过数学推导，比较作者等提出的方法和传统的特征根法．发现新方法导出的计算准则更为完善和普遍适用。
【总页数】5页(P643-647)
【作者】欧阳华江
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TK124
【相关文献】
1.两种求解一类二维热传导方程的无网格数值算法的比较 [J], 王晓蕾;姜同松
2.两种求解一类二维热传导方程的无网格数值算法的比较 [J], 王晓蕾;姜同松;
3.广义热传导方程有限元算法的计算准则 [J], 欧阳华江
4.基于D-P准则的三维弹塑性有限元增量计算的有效算法 [J], 杨强;陈新;周维垣
5.一类抛物型方程有限元算法的计算准则 [J], 欧阳华江;肖丁
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环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
焊接热源模型
当模拟焊接热输入过程时，应用生死单元， 每次激活一个体（沿焊缝方向包含5个单元）施加 1600℃，加载时间持续10s。四通与管道由5道焊 缝相连，每道焊缝之间的冷却时间为1200s。
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
热传导问题的有限元方法
——焊接过程的 焊接过程的ANSYS仿真 焊接过程的 仿真
L/O/G/O
目录
1 瞬态热传导方程的数值解法
2
焊接过程的仿真分析
3
环焊缝的ANSYS仿真实例 仿真实例 环焊缝的
4
难点和工作安排
瞬态热传导方程的数值解法
瞬态温度场中n个节点温度 的有限元方 瞬态温度场中 个节点温度φ的有限元方 个节点温度 程为
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
力学模拟选择SOLID45单元，整体模型共含有 5125个单元，6839个节点。
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
模型中焊缝截面和与焊缝接触的管道、四通部分 网格最细，边长为5mm。焊缝36个体中，每个体 沿焊接方向包含1个单元。
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
动画演示
难点和工作安排
难点
1 2 3 4
计算时间长、需要硬盘空间大 计算时间长、
需要详细的焊接方案 热源模型的建立 材料属性
难点和工作安排
从局部到整体，先对转向架的一根侧梁进行仿真分 从局部到整体 析，计算温度场和位移场，再计算整个转向架。预 计在10月份之前，完成侧梁的焊接模拟。
( yi ) n +1 = ( yi ) n λ
1 − ωi ∆t (1 − θ ) 1 + ωiθ∆t
λ=
解的稳定性问题
避免发散
λ <1
λ>0
避免振荡
解的稳定性问、中心差分）无条件稳定 2
1 0 < θ < 2
（前差分） ∆ t <
2 (1 − 2 θ ) ω
i
时，稳定
将上式代入虚位移原理的表达式，并进行有限元离散，得到
Ka = P
这里，
P = P f + PT + Pε 0
焊接过程的仿真分析
二十世纪七十年代以来，国内外很多学者都对数值 模拟技术在焊接中的应用进行了研究，取得了不少 成果。特别是“计算焊接力学（Computational Weld Mechanics）”的发展使焊接模拟有了更为 坚实的理论基础。 例如，欧洲空中客车340飞机开发中，飞机机身的 铝合金蒙皮壁板的纵向加强筋采用激光束焊接。主 要问题是保持低变形和减少残余应力。要考虑接头 类型的变化、焊接顺序、冷却条件、装夹模式及纵 向预载荷等措施，决定这些措施及组合，就需要采 用焊接热力数值模拟技术。
0
1
∫ ω dξ
0
1
用加权余量法建立两点循环公式
(C / ∆t + Kθ )φn +1 + [−C / ∆t + K (1 − θ )]φn = P
其中 θ = ∫ ωξ d ξ 0
1
∫ ω dξ
0
1
P = ∫ ω Pd ξ
0
1
∫ ω dξ
0
1
假定P采用与未知场函数φ相同的插值表达式，得到
P = Pn +1θ + Pn (1 − θ ) 当 φn 和P都已知时，就可以求得下一时刻的 φn +1这就是
焊接过程仿真分析中存在的问题
焊接过程中的很多复杂现象之间的关系难以用准确 的数学模型统一描述。 移动的热源伴随着金属的熔融从而带来结构约束的 不断变化，这种变化的约束关系大大增加了分析的 难度。 焊接结构三维分析模型的自由度数目庞大，分析规 模受计算速度、内存和硬盘的限制。 材料在高温阶段的热物理参数和力学参数严重缺乏， 而且高温力学参数降低到很小的值，这种材料非线 性影响了求解的效率，造成收敛困难。 材料在较高温度区域和较低温度区域呈现不同的本 构关系。 多载荷步与多子步分析使得求解误差不断积累
焊接过程仿真分析的简明求解
将三维模型简化为二维甚至一维。 简化构件几何和加载。 将非线性热弹性-粘塑性模型简化为线性热弹性。 将瞬态过程简化为准稳态过程。 使热过程和力学过程分离。 忽略缺陷和裂纹的形成。 忽略高温发生的熔化，凝固相，以及随后在低屈服 应力的相变过程。 对屈服规律进行简化。 简化坡口形状和焊层结构。 用给定温度范围内与温度无关的平均值取代与温度 相关的材料特征值。
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
生死单元 让单元“死掉”，并不是删除这些单元，而是将这些单 元 的刚度矩阵乘以一个非常小的因子，一般默认值是1.0E-6， 即让其具有非常小的刚度。在热学分析过程中，所以“杀死” 的单元节点同样被约束以温度载荷，直到模拟焊接过程填充 经过该节点时，使其“复活”，即加载相应的高温载荷。在 随 后的应力分析过程中，“生死单元”在达到凝固温度时才被 “激 活”。通过焊料和母材各自的热膨胀系数设定的熔化温度和 环境温度作为判断“生死”的参考温度。
& Cφ + Kφ = P
时间积分 求解一阶偏微分方程 模态叠加
瞬态热传导方程的数值解法
将求解的时间域 0 ≤ t ≤ T 划分成若干个时间步长∆t & 在一定数目的 ∆t 时间区域内，假设 φ 和 φ 的函数 形式来近似方程的精确解 仅在相隔 ∆t 的离散时间点上满足微分方程来代替时 间域内任何时刻t都满足微分方程 进一步假设 t0 = 0, t1 = ∆t , t 2 = 2 ∆t , L , t n = n∆t 时刻的 解都已经求得，下一步要计算的是 tn +1时刻的温度场
力学模型的网格划分
对于重新划分的网格，若想在节点施加热学 部分的温度载荷，就需要用到ANSYS中的BFINT 命令，对体载荷进行插值运算。该方法在很多热 力耦合研究中被采纳。
BFINT, Fname1, Ext 1, --, Fname2, Ext 2, --, KPOS, Clab, KSHS, TOLOUT, TOLHGT
两点循环公式，可以记成 Kφn +1 = Q n +1 其中
K = C/ ∆t +θK
Q n +1 = [C / ∆t − (1 − θ )K ]φn + (1 − θ )Pn + θ Pn +1
参数θ的选择 参数 的选择
θ =0
n n+1
前差分公式 中心差分公式 后差分公式 ω为常数 为常数
θ =1/2 θ =1 θ =1/2 θ =2/3 θ =1/3
(0 ≤ ξ ≤ 1)
用加权余量法建立两点循环公式
由于采用近似插值，在时间域 ∆t 内，方程将产 生余量，对于这一时间区域，典型的加权余量格式 可以表示为如下形式
∫
1
0
& & ω[C( N nφn + N n +1φn +1 ) + K ( N nφn + N n +1φn +1 ) − P]dξ = 0
当求解初值问题时，如果已知一组参数φn ，则 可以利用上式近似确定另一组参数 φn +1 。将插值函数 及其导数代入加权余量表达式，经过整理，得到
(C / ∆t + Kθ )φn +1 + [−C / ∆t + K (1 − θ )]φn = P
其中 θ = ∫ ωξ d ξ 0
1
∫ ω dξ
0
1
P = ∫ ω Pd ξ
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
有限元分析的步骤
建立有限元模型
有限元热学模拟 焊接过程中的力学行为
结论 后处理
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
环焊缝长约为478mm，分为36个体，每一个体的长度约为 13mm，近似熔池的长度。
结论
伽辽金型权函数
解的稳定性问题
解的稳定性一般利用不耦合的齐次方程来讨论
& Ci yi + K i yi = 0
解析式为
yi = Ai e −ωi t
ω 其中 Ai 是任意常数， i = K i / Ci
用两点循环公式求解 (Ci / ∆t + K iθ )( yi ) n +1 + [−Ci / ∆t + K i (1 − θ )]( yi )n = 0 令 则
•按照顺序进行两次相 按照顺序进行两次相 关场分析 •把第一次场分析的结 把第一次场分析的结 果作为第二次场分析 的载荷
焊接过程的仿真分析
当两种物理场相互作用不明显，或者一种物理场对 另一种物理场有决定性影响，而后一种物理场对前 一种物理场影响较小时，进行两种物理场的完全耦 合分析会使分析的问题过于复杂化，这时就可以考 虑使用顺序耦合分析。顺序耦合分析具有很高的效 率和灵活性。 焊接过程的塑性变形热和相变潜热与焊接热输入相 比，可以忽略不计。焊接热分析的温度场决定了焊 接结构分析的应力场和变形场，而焊接力学场对温 度场的影响较小。因此，一般进行顺序耦合热力分 析。将焊接热分析各载荷步的温度场结果作为力学 分析的热载荷，进行求解。
焊接过程的仿真分析
焊接热力耦合分析
耦合分析是指在有限元分析的过程中考虑多种物理场的 交叉作用和相互影响。耦合分析最终可归结为两种不同的 方法：直接耦合和顺序耦合。
直接耦合 顺序耦合
•包含所有必须自由度 包含所有必须自由度 的耦合单元类型 •仅仅通过一次求解就 仅仅通过一次求解就 能得出耦合场分析结 果