实验三、 离散系统的Z域分析
离散系统的Z域分析法
D z-1
X(k-1)
z-1X(z)
X
注意:z域框图只能求系统零状态响应 注意 域框图只能求系统零状态响应
第
例题
1.求如图系统的单位响应 求如图系统的单位响应h(k)和单位阶跃响应 和单位阶跃响应g(k) 求如图系统的单位响应 和单位阶跃响应
8 页
2. 知 阶 散 统 初 条 为 zi (0) = 2, yzi (1) =1 已 二 离 系 的 始 件 y , 当 入 (k) = ε (k)时 输 f , 1 5 k k 输 全 应 (k) =[ + 4⋅ 2 − ⋅ 3 ]ε (k), 出 响 y 2 2 求 差 方 .， 画 系 框 。 此 分 程 并 出 统 图
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法: y(k) =y zi (k) + yzs (k) yzs (k) = h(k) ∗ x(k) 时域方法: 时域方法 •z变换方法: 变换方法: 变换方法 Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
X
第
二.系统框图的z域分析法
基本思路: 基本思路 时域框图 z域框图 域框图 z域代数方程 域代数方程 Yzs(z)
7 页
yzs(k)
x(k) ⇒ X (z) yzs (k) ⇒ Yzs (z) 延迟单元 x(k)
x(k)ε (k) ↔ X(z) x(k −1)ε (k) ↔ z−1X(z) + x(−1)
y(k)
X
第 5 页
优点: 优点:
•差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •将时域卷积→z域乘积； 将时域卷积→ 域乘积； 将时域卷积 域乘积 •部分分式展开后求解z逆变换较容易； 部分分式展开后求解z 部分分式展开后求解 逆变换较容易； •z变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0 变换过程自动引入了系统初始状态 的条件） 可同时求出零输入和零状态响应。 的条件）,可同时求出零输入和零状态响应。 ， 注意：z域求解系统只需 －状态[y(-1)，y(-2), …,] 注意： 域求解系统只需0 状态 域求解系统只需 时域求解系统要递推出0 状态确定待定系数。 时域求解系统要递推出 ＋状态确定待定系数。
离散系统的z域分析
F (z) f (k)zk k
F (z) f (k)zk k 0
f (k) 50, | k |,
5k 5 k 5, k 5
第六章 离散系统的z域分析
二、移位(移序)特性
6.2 z变换的性质
双边z变换： 若 f (k) F(z) z 且对整数m>0，则
f (k m) zmF(z)， z
jIm[z]
在z平面上，为半径为|b|的圆内区域
bk (k 1) z | z || b |
zb
|b|
o
Re[z]
第六章 离散系统的z域分析
二、收敛域
例4 双边序列 的z变换。
f
(k)
f1(k)
f2 (k
ak (k) bk (k
1)
bk , ak ,
6.1 z变换
k 0 k 0
解
F(z)
F1 ( z )
k
k
单边、双边z变换相等，收敛域：整个z 平面。
6.1 z变换
(2) 双边z 变换 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收敛域：0<z< ∞
单边z 变换 F2 (z) f2 (k)zk 3 2z1 z2 收敛域：z > 0 k 0
可见：有限长序列z变换的收敛域一般为0<z<∞，有时它在0或/ 和∞也收敛。
(1)
k
取样信号的拉普拉斯变换
Fs (s)
[
f (kT ) (t kT )]estdt
k
积分求和交换次序
0 T 2T
f s (t )
t
Fs (s)
f (kT ) (t kT )estdt
第6章 离散系统的Z域分析
6、初值定理和终值定理
例子
例6.3 求kU(k)的Z变换。 kU(k)的 变换。
F ( Z ) = ∑ kZ k = Z 1 + 2 Z 2 + 3Z 3 +
k =0 ∞
Z 1 F ( Z ) = Z 2 + 2 Z 3 + 3Z 4 + (1 Z 1 ) F ( Z ) = Z 1 + Z 2 + Z 3 + = 1 + Z 1 + Z 2 + Z 3 + 1 1 Z ∞ = 1 1 1 Z
§6.2 Z变换的性质 Z变换的性质
1、线性特性
f1(k)←→F1(Z)， f2(k)←→F2(Z) )←→F )←→F )+bf )←→aF 则af1(k)+bf2(k)←→aF1(Z)+ bF2(Z)
2、尺度变换
f(k)←→F(Z) )←→F )←→F Z/a) 则akf(k)←→F(Z/a)
5、F(z)微分特性 F(z)微分特性
f(k)←→F(Z) )←→F d d kf(k)←→-Z──F(Z)， kf(k)←→(-Z─)nF(Z) kf( )←→- ──F kf( )←→(- dZ dZ 若f(k)为因果序列，即k<0时f(k)=0，则 为因果序列， <0时 )=0， f(0)=lim F(Z) Z→∞ (Z及lim f(k)=lim (Z-1)F(Z)
3、移序性质
f(k)←→F(Z) )←→F f(k+1)←→Z[F(Z)-f(0)] +1)←→Z n-1 f(k+n)←→ZnF(Z)-Zn∑f(k)Z-k )←→Z
k=0
4、卷积定理
信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析
零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用
离散系统的Z域分析
n0 n
z z 1
即：
z u(n) z 1
z 同理： -u (-n-1) z 1
3．单位冲激序列
F ( z)
即：
n
( n) z
n
1
( n) 1
表6-1 常用离散序列的z变换对
6.2 z变换的性质
1、线性 a1x1 (n) a2 x2 (n) a1 X1 ( z) a2 X 2 ( z)
k m k x ( k ) z ] 1
m 1 m k x(n m) u(n) z X ( z ) x(k ) z k 0
3) 若f (k )是因果序列，其单边z变换为 f (k ) (k ) F ( z ) Z [ f (k－m) (k )] z m F ( z ) m 1 常用 m m k Z [ f ( k m ) ( k )] z F ( z ) z f ( k ) z k 0
n
归一化 T=1
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
单边Z变换
二、Z变换的定义
单边Z变换
X ( z ) x ( n) z n
n 0
双边Z变换
X ( z)
n
x ( n) z
n
幂 - n中的n指出 x n 的位置
级数的系数是 x n
1O 1
n
1O 1
n
1O 1
n
x n m un , x n m un 较x n un 的长度有所增减 .
（3）性质证明：
证明：若 f (n) (n) F ( z) 则 令
离散系统的Z域分析
k
cos(
0
k
)
k
z
z2 z2 z cos 2z2 2z cos 0
0
1
2
..........
k
sin 0k
k
z
2z2
z 2
sin 0 z cos 0
1 2
.........
k k
k
z (z )2k kk Nhomakorabea1
五、ZT & DTFT
求和收敛
设f(k)
为因果序列、则
F (e j ) f k e jk
Z eS Ts e e Ts jTs e j
k
F (z) f (k)zk k 0
e Ts
Ts
2 s
S 域中的一点→ → Z 域中的一点；Z 域中的一点→ → S 域中的无穷个点。
S 1 Ln z 1 Ln(e j ) 1 Ln j
Ts
Ts
Ts
Ts
三、收敛域: F (z) f k zk
ak (k) bk (k 1) z z ∣a∣< |z|< |b|
za zb
jIm[z]
|b|
|a|
o
Re[z]
四、常用 z 变换
(k+1) ←→z; (k-1) ←→z-1;……
(k) ←→1 (k) ←→z/(z-1) ←→ - (- k-1)
零、极 点分布
k k z k k 1
F(z)
K1 e j z
z e j
K1 e j z
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k)，… …
(3) F(z)有重极点 推导记忆：
试验离散系统的Z域分析
实验三、 离散系统的Z 域分析（一）实验要求1）学习和掌握离散系统的频率特性及其幅度特性、相位特性的物理意义； 2）深入理解离散系统频率特性的对称性和周期性； 3）认识离散系统频率特性与系统参数之间的关系；4）通过阅读、修改并调试本实验系统所给源程序，加强计算机编程能力；（二）实验内容1、计算差分方程（1）用MATLAB 计算差分方程当输入序列为 时的输出结果。
MATLAB 程序如下： N=41;a=[0.8 -0.44 0.36 0.22]; b=[1 0.7 -0.45 -0.6]; x=[1 zeros(1,N-1)]; k=0:1:N-1; h=filter(a,b,x); stem(k,h)xlabel('n');ylabel('h(n)')请给出了该差分方程的前41个样点的输出，即该系统的单位脉冲响应。
(说明：y=filter(a,b,x)，计算系统对输入信号向量x 的零状态响应输出信号向量y,x 与y 长度相等，其中a 和b 是∑∑-=-Mii Nii i n x b i n y a )()(所给差分方程的相量。
详见教材P25-27)2、用MATLAB 计算差分方程所对应的系统函数的FT 。
差分方程所对应的系统函数为：1231230.80.440.360.02()10.70.450.6z z z H z z z z -------++=+--其FT 为23230.80.440.360.02()10.70.450.6j j j j j j j e e e H ee e e ωωωωωωω--------++=+--用MATLAB 计算的程序如下：k=256;num=[0.8 -0.44 0.36 0.02]; den=[1 0.7 -0.45 -0.6]; w=0:pi/k:pi; h=freqz(num,den,w); subplot(2,2,1); plot(w/pi,real(h));grid title('实部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度') subplot(2,2,2); plot(w/pi,imag(h));grid title('虚部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('Amplitude') subplot(2,2,3); plot(w/pi,abs(h));grid title('幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅值') subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(h));grid title('相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('弧度')(说明：freqz 为计算数字滤波器H(z)的频率响应函数。
差分方程离散系统的z域分析法稳定性
A/D：模拟信号→数字信号，图中还包括 连续信号→离散信号的采样过程
D/A：数字信号→模拟信号，图中还包括 离散信号→连续信号的保持过程 计算机
r
e
数字
控制器
u(t) 执行
D/A
机构
受控 y(t)对象A/D Nhomakorabea测量
计算机控制系统原理图
4
计算机控制系统的主要特点
修改控制器结构及参数很方便（改变控制程序）； 便于实现各种先进控制，能完成复杂的控制任务； 控制精度高，抗干扰能力强，能有效抑制噪声； 有显示、报警等多种功能。 有利于实现“智能化”、“网络化”、“管控一体 化”、多级分布式控制等；
表示为为便于数学处理将2t2t实际上被保持器抵消了该系数在有保持器的系统中率特性系统的传递函不影响离散信号的频系数相差一个变换的角度看两者只脉冲为时刻的单位幅值时刻的单位幅值脉冲表示ntsst二采样信号的数学表达式变换即得到z变换是离散信号拉氏变换的有理式表达形式个采样时刻的取值的系数为信号在第n10仿真实验
z-n的系数为信号在第n个采样时刻的取值
Z变换只表达了连续函数在采样时刻的特性，不包含采样 时刻之间的信息。
对f(t) 采样后的 f (t) 是唯一的，但 f (t) 所对应的 f(t) 不 唯一； f (t) 与 F(z) 之间的变换是唯一的。
19
S平面与Z平面的对应关系：
根据Z变换定义，有 z eTs
而 uh( t ) 1( t ) - 1( t - T )
U( s ) ,
Uh(
s
)
1
- e-Ts s
零阶保持器实际的传递函数为
Gh (
s
)
离散信号与系统的 Z 域分析
第 六 章 离散信号与系统的 Z 域分析引言与线性连续系统的频域分析和复频域分析类似，线性离散系统的频域分析是输入信号分解为基本信号e jΩk 之和,则系统的响应为基本信号的响应之和。
这种方法的数学描述是离散时间傅里叶变换和逆变换。
如果把复指数信号e jΩk 扩展为复指数信号Z k ,Z=re jΩ ,并以Zk 为基本信号， 把输入信号分解为基本信号Z k 之和， 则响应为基本信号Z k 的响应之和。
这种方法的数学描述为Z 变换及其逆变换,这种方法称为离散信号与系统的Z 域分析法.如果把离散信号看成连续时间信号的 抽样值序列，则Z 变换可由拉普拉斯变换引入.因此离散信号与系统的Z 域分析 和连续时间信号与系统的复频域分析有许多相似之处.通过Z 变换，离散时间信 号的卷积运算变成代算,离散时间系统的差分方程变成Z 域的代数方程,因此可 以比较方便的分析系统的响应。
Z 变换从拉普拉斯变换到Z 变换对连续信号f(t)进行理想抽样，即f（t）乘以单位冲击序列δT （t），T 为 抽样间隔，得到抽样信号为f s （t）=f（t）δT （t）= =对fs（t）取双边拉普拉斯变换，得F s （s）=￡[fs（t）]=令z=e sT , 则Fs（s）=F(z) ,得F（z）=因为T为常数,所以通常用f(k)表示f(kT),于是变为F(z)=称为f(k)的双边Z变换,z为复变量。
z和s的关系为:z=e sTs=（1/T）㏑z由复变函数理论,可以得到f(k)= ∮cF(z)z k-1 dz式(7.1-5)称为F(z)的双边Z逆变换(后面讨论).双边Z变换的定义和收敛域§双边 Z 变换的定义对于离散序列f(k)(k=0,±1,±2,┄),函数(z的幂级数)F(z)=称为f(k)的双边Z变换,记为F(z)=Z[f(k)].F(z)又称为f(k)的象函数,f(k)又 称为F(z)的原函数.为了表示方便,f(k)与F(z)之间的对应关系可表示为 f(k) F(z)§双边 Z 变换的收敛域f(k)的双边Z变换为一无穷级数,因此存在级数是否收敛的问题.只有当 (7.1-6)式的级数收敛,F(z)才存在.F(z)存在或级数收敛的充分条件是 ∞在f(k)给定的条件下,式(7.1-6)级数是否收敛取决于z的取值.在z复平面上, 使级数收敛的z取值区域称为F(Z)的收敛域。
离散系统Z域分析
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.1.1 Z变换的定义
2 、Z变换的由来——从拉式变换推演出Z变换
fs((t) f (t)T (t)
2TT 0 T 2T 3T
t
T (t)
(1)
3T2TT 0 T 2T 3T t
fs (t) f (nT ) (t nT )
2、若f(n)为单边序列（因果序列），则
右移序列
f (n m) (n m) F(z)zm
举例 (n m) zm (n m) zm z
z 1
电气与信息工程学部通信工程教研室
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.3.2 移位性质（延迟特性） 2、若f(n)为单边序列（因果序列），则
8.1 Z变换
8.1.1 Z变换的定义
1 、离散信号的Z变换定义
序列f( n ) 的双边Z 变换：
F (z)
f (n)
n
1
f
(n) zn F (z)zn1dz
2 j C
序列f( n ) 的单边Z 变换：
F (z)
f (n)
n0
仅当该幂级数收敛，即
f (n) zn
n0
时，序列f(n)的z变换才有意义。该 式称为绝对可和条件，为z变换存在 的充要条件。
电气与信息工程学部通信工程教研室
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.1.1 Z变换的定义
例 求因果序列 f (n) an (n) 的z变换（式中a为常数）。
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
离散时间系统的z域分析
第七章 离散时间系统的z 域分析1．z 变换是如何提出的？它的作用是什么？z 变换是为分析离散时间系统而提出的一种工程分析方法，它在离散时间系统分析中的地位和作用等价于连续时间系统分析中的拉氏变换。
它可以看作为拉氏变换的推广。
z 变换定义为：()[]nn X z x n z∞-=-∞=∑ ---- 双边z 变换 （1）()[]nn X z x n z ∞-==∑---- 单边z 变换 （2） 其中z 是复变量，Re Im j z z j z re Ω=+=。
而对于取样信号的拉氏变换为()()()() ()() ()stst s s n st n snTn X s x t e dt x nT t nT e dtx nT e t nT dt x nT e δδ∞∞∞---∞-∞=-∞∞∞--∞=-∞∞-=-∞⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=∑⎰⎰∑⎰∑（3）如果 [](),x n x nT =令sT z e =，可以发现式（1）和式（3）相同。
2．双边z 变换和单边z 变换时如何定义的？它们的定义域是如何确定的？收敛域的意义是什么？z 变换定义为：()[]nn X z x n z∞-=-∞=∑ ---- 双边z 变换 （1）()[]nn X z x n z ∞-==∑---- 单边z 变换 （2） z 变换收敛域就是使上述级数收敛的所有z 的取值的集合。
根据级数收敛理论，一般我们用根值判别法或比值判别法来确定z 变换收敛域， 其作用是建立序列和z 变换之间的一一对应关系。
根据序列的不同性质，序列z 变换的收敛域各不相同，具体参阅教材Page 297-298 表7-1。
3．z 变换和拉氏变换之间有什么样的关系？具体分析见问题1中的式（1）和（3），根据两式，可以建立分析连续时间系统的拉氏变换的变量s 和分析离散时间系统的z 变换的变量z 之间的映射关系：sT z e =令, j z re s j σωΩ==+， 则有, Tr eT σω=Ω=， 具体见教材Page 300 表7-2 。
信号与系统 第六章离散系统的Z域分析
Z平面
k 1 k (1 z ) ( 3z ) 3 k 1 k 0
0
|z|<3时，第一项收敛于
z ，对应于左边序列。 z 3 z |z|>1/3时，第二项收敛于 ，对应于右边序列。 1 收敛域 z3
1 3
3
1 当 | z | 3 时, 3
8 z z 3 z F ( z) 1 z 3 z 3 ( z 3)( z 1 3)
应用尺度变换:
k
sin k (k )
z a
z sin z 2 2 z cos 1
0< a <1
sin a z sin a sin k (k ) z 2 z ( a ) 2( a ) cos 1 z 2 2 a z cos a 2
§6.2
Z变换的性质
| k-3|(k)
解：（1） F z
k k k z 1
k 1
（2） 双边z变换： F z
k
f k z
k
2 1 z 2z 3 2 z z
2
0 z
单边z变换： F z f k z
k 0
长春理工大学
零点：0 极点：3，1/3
§6.1
Z 变换
Z变换的收敛域
收敛域内不包含任何极点，在极点处，F(z)为无穷大， Z变换不收敛。 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能不含z=0, z=。 因果有限长序列： F(z)=f (1)z -1+ f (2)z -2+· · · · |z|>0 反因果有限长序列： F(z)=f (-1)z 1+ f (-2)z2+· · · · |z|< 如果是因果序列，收敛域为|z|>0圆的外部。 如果是左边序列，收敛域为|z|<0 。 如果是双边序列，收敛域由圆环组成。
第六章离散系统的Z域分析
z z F (z) （ a z b ） za zb
a z 当 1且 1即a z b 收敛 z b
j Im [z ]
b
0
a
Re [ z ]
5
由上可知 （1） z变换的收敛域与f(k) 与z值的范围有关，两 个不同的序列由于收敛域不同可能对应于同一个z 变换，为了单值的确定z变换对应的序列，在给出 序列的z变换式的同时，必须明确其收敛域。
m
n m
f (n)z
1
n m
f (n)z
n
1
n
]
]
14
z f ( k m ) ( k ) f ( k m )z
k 0
k
z
m
f (k m )z
k 0
( k m )
z
m
z [ f ( n)z
n 0
m m 1 n 0
据定义
zkf ( k )
k 1
z ( kz
k
d k d z z f (k ) z F ( z ) dz k dz
时域序列线性加权的z变换为原序列象函数微 20 分后乘以（z）
kf (k )z dz ) f ( k ) z [ dz
k k
k
k
] f (k )
推广：
m
d m k f ( k ) ( z ) F ( z ) ( 1 z 2 ) dz
d m ( z ) F ( z )表示对F ( z )求导并乘以 ( z )共m次 dz
z 例4、 若 已 知 z[ ( k )] ,求 斜 变 序 列 k ( k )的z变 换 z 1
数字信号处理 实验 离散系统的Z域分析
数字信号处理实验报告实验名称：离散系统的Z 域分析 学号： 姓名：评语： 成绩：一、实验目的1、掌握离散序列z 变换的计算方法。
2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。
3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。
二、实验原理与计算方法1、z 变换离散序列x (n )的z 变换定义为：∑∞-∞=-=n nzn x Z X )()(。
在MA TLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。
其命令格式为： syms n;f=(1/2)^n+(1/3)^n; ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即y (n )= x (n )*h (n )对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z )则： )()()(z X z Y z H =将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即∑∞-∞=-==n nzn h n h Z z H )()]([)(对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若∞<∑∞-∞=n n h |)(|，则系统稳定。
由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。
因为∑∞-∞=-=n nzn h z H )()(，若z =1时H (z )收敛，即∞<=∑∞-∞==n z n h z H |)(||)(1，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。
因此因果稳定系统应满足的条件为：1,||<∞≤<ααz ，即系统函数H (z )的所有极点全部落在z 平面的单位圆之内。
3、MA TLAB 中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法MATLAB 中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。
§6.4 离散系统的Z域分析
z 2z 9z 8z z2 z z4 2 Y ( z) 1 2 z 5z 6 z 4 z 2 z 3 z 4 1 5z 6 z
y(k ) [2(2) k 9(3) k 8(4) k ]U (k )
1 k 例2： 已知h(k ) ( ) U (k ), f (k ) G5 (k ), 求系统零状态响应 f (k ). y 2 z z z 2z z 5 解： H ( z ) )(1 z ) [ ](1 z 5 ) Y ( z) H ( z) F ( z) ( )( 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 2 2 2
i N
1
y (i) z i
a N a N 1 z 1 a0 z N
3）求反变换，得差分方程时域解。
Y ( z ) y (k )
信号与系统
例： 已知某线性时不变系统数学模型如下： y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=0 初始状态y(-1)=4，y(-2)=1，求零输入响应y(k)。 解： 对差分方程进行Z变换(用移序性质) ；
z z 5 F ( z) z z 1 z 1
1 k 1 k 5 y f (k ) [2 ( ) ]U (k ) [2 ( ) ]U (k 5) 2 2
信号与系统
3、全响应Z域求解： y (k ) y x (k ) y f (k ) 例1： 已知系统框图，列出系统的差分方程；
2
4
信号与系统
y(n) x(n) 2 y(n 1) 4 y(n 2) y(n) 2 y(n 1) 4 y(n 2) x(n) n (n 2) 2为二阶差分方程 后向差分方程
信号与系统课件第六章-离散系统的Z域分析
认为该序列f(k)的z变换不存在。
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信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
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收敛域
设f(k)是一个因果信号［k < 0时f(k)≡0］，则F(z)是一个只
有z的负幂的级数，因此，在z平面上F(z)的绝对收敛区域是一
k 0
k 0
k 1,
z 0
指数序列 ak k
Fz
ak zk
k 0
1
a z
a z
2
若 a eb ，则 Fs z
z eb
1 z,
1
a z
za
a 1 z
za
若 a 1
，则
Fs
z z 1
（单位阶跃序列）
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信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
若 f k ，F则z
f k F z1
例：求 ak k 1 的 z 变换。 ∵ akk z
za
∴ ak k 1 a ak1 k 1 az1 z a
za za
ak k 1 a az
z1 a 1 az
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信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
线性叠加特性 移位（移序）特性 z 域尺度变换特性 （序列）卷积定理
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序列乘 k（z 域微分）特性 序列除(k+m)（z 域积分）特性 k 域反转特性 差分与求和特性 初值定理和终值定理
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信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
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实验三、 离散系统的Z 域分析（一）实验要求1）学习和掌握离散系统的频率特性及其幅度特性、相位特性的物理意义； 2）深入理解离散系统频率特性的对称性和周期性； 3）认识离散系统频率特性与系统参数之间的关系；4）通过阅读、修改并调试本实验系统所给源程序，加强计算机编程能力；（二）实验内容1、计算差分方程（1）用MATLAB 计算差分方程当输入序列为 时的输出结果。
MATLAB 程序如下： N=41;a=[0.8 -0.44 0.36 0.22]; b=[1 0.7 -0.45 -0.6]; x=[1 zeros(1,N-1)]; k=0:1:N-1; h=filter(a,b,x); stem(k,h)xlabel('n');ylabel('h(n)')请给出了该差分方程的前41个样点的输出，即该系统的单位脉冲响应。
(说明：y=filter(a,b,x)，计算系统对输入信号向量x 的零状态响应输出信号向量y,x 与y 长度相等，其中a 和b 是∑∑-=-Mii Nii i n x b i n y a )()(所给差分方程的相量。
详见教材P20-21) 2、 用MATLAB 计算差分方程所对应的系统函数的FT 。
差分方程所对应的系统函数为：1231230.80.440.360.02()10.70.450.6z z z H z z z z -------++=+--其FT 为23230.80.440.360.02()10.70.450.6j j j j j j j e e e H ee e e ωωωωωωω--------++=+--用MATLAB 计算的程序如下：k=256;num=[0.8 -0.44 0.36 0.02]; den=[1 0.7 -0.45 -0.6]; w=0:pi/k:pi; h=freqz(num,den,w); subplot(2,2,1); plot(w/pi,real(h));grid title('实部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度') subplot(2,2,2); plot(w/pi,imag(h));grid title('虚部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('Amplitude') subplot(2,2,3); plot(w/pi,abs(h));grid title('幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅值') subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(h));grid title('相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('弧度')(说明：freqz 为计算数字滤波器H(z)的频率响应函数。
h=freqz(num,den,w)为计算由向量w 指定的数字频率点上数字滤波器H(z)的频率响应)(ωj e H ，结果存于h 向量中。
Num 和den 为H(z)分子和分母多项式向量。
详见教材P65) 3、求解6.0)6.01()5.01)(2.01(1)(21211>+-+=---z z z z z X的Z 反变换。
参考程序： b=1;a=poly([-0.2 0.5 0.5 -0.6 -0.6]); [r,p,k]=residuez(b,a) (说明：例程序：b = [-4 8];a = [1 6 8]; [r,p,k] = residuez(b,a) 运行结果：r = -12 8p =-4 -2k =[] 则表示：那么：)（三）实验报告要求1、简述实验目的和实验原理，用几何确定法分析实验中选定的系统的频率特性，并与计算机计算结果相对照，根据实验结果，对系统频率特性进行讨论和总结，对于本实验的设计性实验部分，通过修改、调试并运行程序，写出收获与体会。
2、根据MATLAB 求解6.0)6.01()5.01)(2.01(1)(21211>+-+=---z z z z z X 的结果，写出序列)(n x 的表达式。
实验四、离散傅里叶变换及其快速算法（一）实验要求1）通过离散傅立叶变换（即DFT ）的报表表示进一步了解其计算方法及意义； 2）掌握实数序列的DFT 系数的对称特点； 3）学习利用DFT 计算程序计算IDFT 的方法； 4)学习时间抽选奇偶分解FFT 算法；5)深入掌握时间抽选奇偶分解FFT 程序的编制方法； (二)实验内容1、 对连续的单一频率周期信号 按采样频率 采样，截取长度N分别选N =20和N =16，观察其DFT 结果的幅度谱。
此时离散序列，即k=8。
用MATLAB 计算并作图，函数fft 用于计算离散傅里叶变换DFT ，程序如下：k=8; n1=[0:1:19]; xa1=sin(2*pi*n1/k); subplot(2,2,1) plot(n1,xa1)xlabel('t/T');ylabel('x(n)'); xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1);subplot(2,2,2)stem(n1,xk1)xlabel('k');ylabel('X(k)'); n2=[0:1:15];xa2=sin(2*pi*n2/k);subplot(2,2,3)plot(n2,xa2)xlabel('t/T');ylabel('x(n)'); xk2=fft(xa2);xk2=abs(xk2); subplot(2,2,4)stem(n2,xk2)xlabel('k');ylabel('X(k)');计算结果示于图2.1，(a)和(b)分别是N =20时的截取信号和DFT 结果，由于截取了两个半周期，频谱出现泄漏；(c) 和(d) 分别是N =16时的截取信号和DFT 结果，由于截取了两个整周期，得到单一谱线的频谱。
上述频谱的误差主要是由于时域中对信号的非整周期截断产生的频谱泄漏。
2、 对如下各序列进行谱分析，绘制出其幅频特性曲线。
（1）)()(41n R n x = （2）)8()4()(2n con n con n x ππ+= 对)()(41n R n x =取64点FFT 。
由于)8()4()(2n con n con n x ππ+=为周期序列，周期为16，所以取周期为16。
参考程序如下： %用FFT 对序列进行谱分析 %)()(41n R n x =；)8()4()(2n con n con n x ππ+=%X1:存放)(1n x 的向量，Y1: 存放)(1k X 的向量 %X2:存放)(2n x 的向量，Y2: 存放)(2k X 的向量x1=[1,1,1,1,0,0,0,0]; n=0:15;x2=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8); i=0:7;subplot(3,2,1);stem(i,x1,'.');axis([0 7 0 1]);%规定x 轴和y 轴的标值范围 xlabel('n');ylabel('x1(n)');y1=fft(x1,8);% )(1n x 的8点FFT subplot(3,2,3);stem(i,abs(y1),'.');xlabel('(N=8 wk=2pik/N)k');ylabel('[X1(k)]'); y1=fft(x1,64);% )(1n x 的64点FFT i=0:63;subplot(3,2,5);stem(i,abs(y1),'.');axis([0 63 0 4]);%规定x 轴和y 轴的标值范围 xlabel('(N=8 wk=2pik/N)k');ylabel('[X1(k)]'); y2=fft(x2); %)(2n x 的16点FFT figure;%另一幅图 subplot(2,2,1);stem(n,x2);title('x2(n)的时域序列'); xlabel('n');ylabel('x2(n)'); subplot(2,2,3);stem(n,abs(y2));title('x2(n)的幅频特性'); xlabel('(N=16 wk=2pik/N)k');ylabel('[X2(k)]'); （三）实验报告要求1、简述实验目的和实验原理，对于8点DFT 的报表显示，讨论其特点，总结实验中的主要结论，写出收获和体会。
2、编写序列)8()4()(n con n con n x ππ+=的DFT 运算程序。
2解：参考程序如下：N=16;n=0:1:N-1;%时域采样 xn=cos(n*pi/4)+ cos(n*pi/8); k=0:1:N-1; %频域采样 WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k;WNnk=WN.^nk; %点乘方 Xk=xn*WNnk; Subplot(2,1,1) Stem(n,xn)title('xn 的时域序列'); xlabel('n');ylabel('x (n)'); Subplot(2,1,2) Stem(k,abs(Xk));title('xn 的幅频特性'); xlabel('(N=16 wk=2pik/N)k');ylabel('[X (k)]');（Fft 与Ifft 的说明：y=fft(x)是利用fft 函数求解x 的离散傅里叶变换；y=fft(x ，N)，N 表示离散傅里叶变换x 的数据长度；函数Ifft 的参数与函数Fft 完全相同。
例：fft 在信号分析中的应用。
使用频谱分析方法从受噪声污染的信号x(t)中鉴别出有用信号。
如程序：t=0:0.001:1;%采样周期为0.001s ，即采样频率为1000Hz; %产生受噪声污染的正弦波信号；x=sin(2*pi*100*t)+ sin(2*pi*200*t)+rand(size(t));subplot(2,1,1)plot(x(1:50));%画出时域内的信号；y=fft(x,512); %对x进行512点的傅里叶变换；f=1000*(0:256)/512; %设置品绿轴坐标，1000为采样频率；subplot(2,1,2)plot(f,y(1:257));%画出频域内的信号；运行结果：可以看出，从受噪声污染的信号的时域形式中，很难看出正弦波的成分。