第十三章-压杆稳定

第十三章 压杆稳定

1 基本概念及知识要点

1.1

基本概念

理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。

1.2 临界压力

细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。

1.3 稳定计算

为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：

st cr

n F

F n ≥=

－稳定条件

2 重点与难点及解析方法

2.1临界压力

临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。

2.2稳定计算

压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。 利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。 稳定计算要求掌握安全系数法。

解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据

柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。

3典型问题解析

3.1 临界压力

mm .h

A I i min 55113

2===mm

.a

A I i 31632===例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm 2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm 、(2)、a=56.5mm 、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm 。若已知材料的E =200GPa ，σs =235MPa ，σcr =304－1.12λ，λp =100，λs =61.4，试计算各杆的临界荷载。

[解]

压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。 (1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm 时

λ＞ λP 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力

(2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm 时

所以

9.12910

55.113

5.031=⨯⨯==-i l μλkN 37521

21=⋅=⋅=A E

A

F cr cr

λ

πσ922==i

l

μ

λ

0.7d 图13－1

kN

63510321094121304363=⨯⨯⨯⨯-=⋅=-.).(A F cr cr σmm

.d D A I i 22741

22=+==kN

6441023109200362=⨯⨯⨯=⋅=-..A F cr cr σ

λs <λ<λP 此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力

σcr2=304-1.12λ2=304-1.12×92=200.9MPa

(3)、两端固定的实心圆形截面压杆，当d =63.8mm 时

λs <λ<λP 此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力

(4)、两端固定的空心圆形截面压杆，当D =89.3mm ，d =62.5mm 时

λ<λs 此压杆为短粗杆，压杆首先发生强度破坏，其临界应力

解题指导：

1．计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。当 λ＞ λP 时 压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力； λs <λ<λP 时 压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力；

mm d i 95.1541

==94

3==

i

l

μλ1.554==i l μλkN

752103210235364=⨯⨯⨯=⋅=-.A P s cr σ

λ<λs 时 压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。 2．由此例题可见，惯性半径越大,柔度越小,承载能力越强。

例题13.2矩形截面杆如图13－2所示，杆两端用销钉连接，在正视图中，连接处允许压杆绕销钉在铅垂面转动，两端约束可简化为两端铰支。在俯视图中，连接处不允许压杆在水平面内发生转动，两端约束视为两端固定。已知杆长L =2.3m 截面尺寸b =40mm h =60mm 材料的E =205GPa λP =132 λs =61，试求此杆的临界压力F cr 。

[解]

1．若在正视图内失稳（铅垂方向）：

μ＝1 , 3

2h i z =

6.132==

z

z i l

μλ

2．若在俯视图内失稳（水平面内）：

μ＝0.5 , 3

2b i y =

5.99==

y

y i l

μλ

图13－2

02Z Z I I =z y λλ< 所以，压杆在正视图失稳。

3．计算压杆的临界压力F cr

16132λλ>=.z 用欧拉公式计算其临界应力

()

kN 22762

2.l EI F cr ==μπ 解题指导：

对于这类问题，需首先计算两个方向的柔度，判断压杆首先沿哪个方向失稳。

例题13.3图13-3所示立柱长L =6m ，由两根10号槽钢组成，试问a 多大时立柱的临界荷载F cr 最大，并求其值。已知: 材料E=200GPa ，σP =200MPa 。

[解]

1．惯性矩

查型钢表可知，由两根10号槽钢组成的组合截面对形心主惯性轴的惯性矩分别为:

当a 值较小时，I y < I z ，λy >λz ，压杆失稳时，以y 轴为中性轴弯曲；

])2

([2200A a

z I I Y Y ++=

图13－3