高中数学选修2-1 题型归类 第一章 常用逻辑用语
高中数学选修2-1常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词
1. 构造一个特称命题, 使 “{x|ax2} 为空集” 是真命题.
解: 特称命题为 ∃a0R, 使 {x|ax2} 为空集.
即存在一个 a00 , 使 {x|ax2} 为空集.
2. 将下列全称命题改为特称命题, 并使命题为假: (1) ∀xR, |sinx|≤1; (2) ∀mR, 直线 mx+y-30 不经过定点 P(0, 3).
1. 构造一个全称命题, 使 |x|>0 是假命题. 解: 当 x0 时, |x|>0 不成立.
只要限制范围内有 x0 的即可. 如: ∀xR, |x|>0.
∀x≥0, |x|>0. ∀x≤0, |x|>0. ∀x(-1, 1), |x|>0. ……
2. 判断下列全称命题的真假:
(1) ∀xR, |sinx|<1;
(2) ∀mR, 直线 mx+y-30 经过定点 P(0, 3).
解:
(1)
当 x k
+
2
,
kZ 时,
|sinx|1,
∴ 全称命题 “∀xR, |sinx|<1” 是假命题.
(2) 将点 P(0, 3) 代入直线的方程 mx+y-30 得
0+3-30, ∴ m 为任意实数时, x0, y3 都是方程的解,
解: (1) ¬p: ∀xR, x2+2x+2>0. (2) ¬p: 所有的三角形都不是等边三角形. (3) ¬p: 所有素数都不含三个正因数.
例5. 写出下列命题的否定, 并判断它们的真假: (1) p: 任意两个等边三角形都是相似的; (2) q: ∃x0R, x02+2x0+20. 解: (1) ¬p: 存在两个等边三角形, 它们不相似. ¬p是假命题.
北师大版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语复习小结》课件
全称命题的否定是特 称命题，特称命题的 否定是全称命题.
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常用逻辑用语复习小结
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【全称量词与存在量词】
例4 已知函数gx log2 x m,
解：1由题对任意的x 1,4，
1对任意的x 1,4，使得gx 0成立， 使得gx 0成立,
常用逻辑用语
命题
充分条件与 必要条件
全称量词与 存在量词
了解命题的逆命题、否 命题与逆否命题，会分 析四种命题的相互关系
理解充分条件、必要条 件与充要条件的意义
理解全称量词与存在 量词的意义，能正确 地对含有一个量词的 命题进行否定
逻辑联结词 “且”“或”“非”
通过数学实例，了解逻 辑联结词“且”“或”“非” 的含义
则求实数m的取值范围.
等价转化——借助全称量词与 存在量词对条件进行转化
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常用逻辑用语复习小结
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【逻辑联结词“且”“或”“非”】
1.真假判定 p且q：有假则假，p或q：有真则真，p：真假相反；
2.集合观点 交集：p且q，并集：p或q，补集：p.
常用逻辑用语复习小结 【课堂小结】
命题
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等价转化的思想
常用逻辑用语
充分条件与 必要条件
全称量词与 存在量词
逻辑联结词 “且”“或”“非”
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正确地使用常用逻辑用语，不仅是学习 这一部分的内容，而且还需要在今后的 学习中，通过不断地正确使用常用逻辑 用语，加深对常用逻辑用语的认识.
(人教版)高中数学选修2-1课件：第1章 常用逻辑用语1.1.1
第一章 常用逻辑用语
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1．下列语句不是命题的个数是( 的奇函数． A．0个 B．1个
)
①2<1 ；②起立！③若 x<2 ，则 x<1 ；④函数 f(x) ＝ x3 是 R 上
C．2个
解析： 答案： B
D．3个
①③④是命题，②不是陈述句，是命题．
观察下列语句：
(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
(2)2＋4＝7； (3)两个全等三角形的面积相等；
(4)3能被2整除；
(5)为幸福的明天干杯！ (6)大爷，您请进来坐吧；
数学 选修2-1
第一章 常用逻辑用语
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(7)指数函数是增函数吗？ 上述语句有什么特点？能判断它们的真假吗？ [ 提示 ] 语句 (1)(2)(3)(4) 是陈述句，能判断真假．语句
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第一章 常用逻辑用语
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4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的 真假：
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (3)两个相似三角形是全等三角形；
(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
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第一章 常用逻辑用语
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解析： 题；
(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命
(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题；
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三 角形，是假命题；
(人教版)高中数学选修2-1课件：第1章 常用逻辑用语1.1.2、1.1.3
第一章 常用逻辑用语
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(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦 的垂直平分线，是假命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不 平分弦所对的弧，是假命题．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不 是弦的垂直平分线，是真命题.
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1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题． 2．会写出一个命题的另外三种命题形式． 3．认识四种命题间的相互关系及真假关系． 4．会利用命题真假的等价性解决简单问题．
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第一章 常用逻辑用语
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命题，另一个叫做原命题的逆___命__题__
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第一章 常用逻辑用语
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内容
栏目
定义
表示形式
名称
对于两个命题，其中一个命题的条
互否命题
件和结论恰好是另一个命题的
条__件__的__否___定_和结__论___的__否__定_，这样的
两个命题叫做互否命题．如果把其 中的一个命题叫做原命题，那么另
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四种命题之间的相互关系
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第一章 常用逻辑用语
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四种命题的真假性
1．四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.
原命题 真 真 假 假
人教A版高中数学选修2-1第一章常用逻辑用语章末总结
2a2a 1
2a2a 1
2
所以 a 的取值范围是(2,8).
误区警示 (1)解题时,易忽略三角形的三边应满足两边之和大于第三边,而 使某些字母的范围变大. (2)本题实质上是求2a+1,a,2a-1能构成钝角三角形三边的充要条件,除了 要保证三边长均为正数外,还应满足两边之和大于第三边、最大边所对角 的余弦值为负数.
因为 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,cos Asin C+sin Asin C=0, 因为 sin C>0,所以 sin A+cos A=0.所以 tan A=-1,
(2)在涉及三角形面积时,常常借助正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
四、三角形中的取值范围 【典例4】 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角. (1)证明:B-A= π ;
2
(1)证明:由 a=btan A 及正弦定理,得 sin A = a = sin A , cos A b sin B
中 sin θ= 26 ,0°<θ<90°）且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. 26
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);
解:(1)如图,AB=40 2 , AC=10 13 ,∠BAC=θ,sin θ= 26 .
26
所以 cos θ= 5 26 . 26
由余弦定理得 BC= AB2 AC2 2AB AC cos =10 5 . 所以船的行驶速度为 10 5 ÷ 2 =15 5 (海里/小时).
高中数学选修2-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.1知识点总结含同步练习及答案
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命 题（inverse and negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么 它的逆否命题为“若 ¬q ，则 ¬p ”． 四种命题的相互关系 四种命题的真假关系 ① 互为逆否的两个命题，它们有相同的真假性； ② 互逆或互否的两个命题，它们的真假性没有关系． 例题： 把下列命题改写成“若 p ，则 q ” 的形式，并判断命题的真假． （1）当 ac > bc 时， a > b ； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，当 y = 3 时，x = 2； （3）当 m > （4）菱形的对角线互相垂直． 解：（1）若 ac > bc，则 a > b，假命题； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，若 y = 3，则 x = 2 ，真命题； （3）若 m > （4）若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，真命题．
(必考题)高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试题(答案解析)
一、选择题1．使不等式2x x 60--<成立的一个充分不必要条件是( )A ．2x 0-<<B ．3x 2-<<C ．2x 3-<<D ．2x 4-<< 2．“a b >”是“b a a b e e ->-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：若实数,x y 满足330x y +=，则,x y 互为相反数；命题q ：若0a b >>，则11a b<.下列命题p q ∧，p q ∨，p ⌝，q ⌝中，真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．已知命题p 、q ，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 5．若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是( )A ．p ∧qB ．￢p ∨qC ．￢p ∧qD ．￢p ∨q ⌝6．已知命题():0,p x ∀∈+∞，1102xm ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭；命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．下列说法中正确的是( )A ．命题“若x y =，则22x y =”的逆命题为真命题B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．若p q ∧为假命题，则p q ∨为真命题D ．命题“若两个平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅>⋅，则,a b 不共线”的否命题是真命题. 8．命题:p “1a >”是命题:q “函数()cos f x ax x =+在R 上是单调递增”成立的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 9．若函数()sin f x x x =，则对a ，,22b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()()f a f b >成立的一个充要条件是（ ） A ．a b >B ．a b <C ．a b >D ．22a b >10．下列命题中真命题的是（ ）A ．命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠B ．“22am bm <”是“a b <”的充要条件C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D ．对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠，则p 是q 的必要不充分条件 11．已知命题2:230p x x --<，命题:q x a <，若q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．(],1-∞- D ．(),1-∞-12．已知2:11xp x <+，:()(3)0q x a x -->，p 为q 的充分不必要条件，则a 的范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ．()1,-+∞二、填空题13．给出如下四个命题：①把二进制数(2)110011化为十进制数，结果为51；②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值不变，方差不变；③从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立；④若“p q ∧”为假命题，则p 、q 均为假命题.其中正确的命题的序号是________． 14．命题p ：（x ﹣m ）2＞3（x ﹣m ）是命题q ：x 2+3x ﹣4＜0成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为____.15．若命题“存在,x R ∈220x x a ++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 16．函数()y f x =的定义域为[)(]1,00,1-，其图象上任一点(,)P x y 都满足221x y +=.①函数()y f x =一定是偶函数；②函数()y f x =可能既不是偶函数也不是奇函数； ③函数()y f x =若是偶函数，则值域是(]1,0-或[)0,1；④函数()y f x =可以是奇函数；⑤函数()y f x =的值域是(1,1)-，则()y f x =一定是奇函数. 其中正确命题的序号是__________（填上所有正确的序号）17．若命题“存在实数x ，使得()222(2)40a x a x -+--≥成立”是假命题，则实数a 的取值范围是________.18．设:12p x <<，:21x q >，则p 是q 成立的________条件19．已知集合{}|A x x a =>，{}|22,B x x x R =-<∈，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则a 的取值范围_________. 20．给出如下四个命题：①若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题； ②命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；③在中，“”是“”的充要条件；④已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围是；其中正确的命题的是________．三、解答题21．已知命题p :实数x 满足27100,x x -+≤命题q :实数x 满足22430.x mx m -+≤其中m > 0.（1）若m =4且命题p ， q 都为真命题，求实数x 的取值范围; （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.22．已知{}2|8200A x x x =--≤，{}|2B x x m =-≤（1）若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.23．给定两个命题:p 对任意实数x 都有不等式210ax ax ++>恒成立；:q 关于x 的方程20x x a --=有实数根；若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．24．已知a R ∈，设集合(){}22|619320A x x a x a a =-+++-<，{}|10B x x a =-+≥． （1）当1a =时，求集合B ． （2）问：12a ≥是A B =∅的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．25．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <；:q 实数x 满足260x x --≤，且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.26．已知命题p ：任意2,230x R x mx m ∈-->成立；命题q ：存在2,410x R x mx ∈++<成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先求解二次不等式，然后确定其成立的一个充分不必要条件即可. 【详解】由260x x --<得()()230x x +-<，得23x -<<， 若使不等式260x x --<成立的一个充分不必要条件， 则对应范围是()2,3-的一个真子集， 即20x -<<，满足条件， 故选A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，转化为集合真子集关系是解决本题的关键．2．C解析：C 【分析】构造函数()x f x e x =+利用单调性判断. 【详解】设()x f x e x =+，()e 10x f x '=+>，所以()f x 为增函数， 由于a b >，所以()()f a f b >，所以b a a b e e ->-； 反之b a a b e e ->-成立，则有()()f a f b >，所以a b >. 所以是充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查充要条件的判定，明确两者之间的推出关系是判定的关键.3．B解析：B 【分析】根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题的真假关系，进行判断，即可判定. 【详解】由题意，例如0x y ==时，此时330x y +=，所以命题p 为假命题；命题q ：中当0a b >>时，110b a a b ab --=<成立，所以11a b<，所以命题q 为真命题，所以命题p q ∧假命题；p q ∨为真命题；p ⌝为真命题；q ⌝为假命题，真命题的个数是2个，故选B. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，其中解答中先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的真假关系判定真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4．B解析：B【解析】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴根据逆否命题与原命题的等价性可知，q 是p 的充分不必要条件，故选B.5．D解析：D 【分析】根据命题q 是假命题，命题p 是真命题，结合复合命题真假判断的真值表，可判断出复合命题的真假，进而得到答案． 【详解】∵命题q 是假命题，命题p 是真命题， ∴“p ∧q”是假命题，即A 错误； “￢p ∨q”是假命题，即B 误； “￢p ∧q”是假命题，即C 错误； “p q ⌝∨⌝ ”是真命题，故D 正确错； 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假，熟练掌握复合命题真假判断的真值表，是解答的关键．6．A解析：A 【分析】分别计算得到m 1≥和4m ≥-，根据范围大小判断得到答案. 【详解】():0,p x ∀∈+∞，1102xm ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即112xm ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，易知函数()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故m 1≥.命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=， 2214124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，故4m ≥-. 故命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据命题求参数，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.7．D解析：D 【分析】A 中，利用四种命题的的真假判断即可；B 、C 中，命题“p q ∧”为假命题时，p 、q 至少有一个为假命题；D 中，写出该命题的否命题，再判断它的真假性． 【详解】对于A ，命题“若x y =，则22x y =”的逆命题是：若22x y =，则x y =；因为y x =-也成立.所以A 不正确；对于B ，命题“p q ∧”为假命题时，p 、q 至少有一个为假命题，所以B 错误；C 错误； 对于D ，“平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅>⋅”，则,a b 不共线的否命题是，若“平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅≤⋅”，则,a b 共线； 由||||cos a b a b θ⋅=⋅⨯知：||||||a b a b ⋅≥⋅，一定有||||||a b a b ⋅=⋅，cos 1θ=±， 所以,a b 共线，D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了命题的真假性判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．8．B解析：B 【分析】利用导数法求出()cos f x ax x =+为R 上的增函数等价命题，进而根据集合的包含关系即可判断. 【详解】()cos f x ax x =+，()sin f x a x '=-，若函数()y f x =在R 上单调递增，则()0f x '≥在R 上恒成立，即()max sin 1a x ≥=. 由于{}1a a > {}1a a ≥，故命题:p “1a >”是命题:q “函数()cos f x ax x =+在R 上是单调递增”成立的充分不必要条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用函数的单调性求参数，一般转化为导数不等式恒成立问题，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.9．D解析：D 【分析】先分析函数的奇偶性，由导数得出函数的单调性，利用这两个性质求解． 【详解】()sin f x x x =，()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，()f x 是偶函数，()sin cos f x x x x '=+，在02x π≤<时，()0f x '≥，()f x 递增，所以22()()()()f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔>⇒>． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，用函数的这两个性质求解不等式．本题还考查了导数与单调性的关系．掌握用导数研究不等式的方法是解题关键．10．A解析：A 【分析】A. 根据四种命题的结构形式及转化来判断.B.利用特殊值法，当 0m =时，逆命题不成立.C. 若p q ∧为假命题，由结论“一假则假”来判断. D 用等价命题来判断. 【详解】命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠， 故A 正确；若22am bm <，则0m ≠，可得a b <，反之a b <，0m =，22am bm <不成立，故B 错误；若p q ∧为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 错误；对于实数x ，y ，p ：8x y +≠，q ：2x ≠或6y ≠，由2x =且6y =，可得8x y +=，即p 可得q ，反之由q 推不到p ，则p 是q 的充分不必要条件，故D 错误.故选：A 【点睛】本题主要考查命题的转化及关系以及逻辑条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11．A解析：A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可． 【详解】解：由2230x x --<得13x ，q 的一个充分不必要条件是p ，3a ∴，故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式关系是解决本题的关键，属于基础题．12．A解析：A 【分析】由p 为q 的充分不必要条件可得211xx <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集，从而可求出答案． 【详解】 解：∵211x x <+，∴2101x x x --<+，即101x x -<+， ∴()()110x x +-<，解得11x -<<， ∴:11p x -<<，由p 为q 的充分不必要条件可得211xx <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集， 当3a =时，解得:3q x ≠，满足条件； 当3a >时，解得:q x a >或3x <，满足条件； 当3a <时，解得:3q x >或x a <，∴13a ≤<， 综上：1a ≥， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．二、填空题13．①③【分析】①根据二进制与十进制的关系转换后可判断②利用均值与方差的计算公式可判断③根据事件的关系判断④根据且的真假判断【详解】对于①正确;对于②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后平均值解析：①③ 【分析】①根据二进制与十进制的关系转换后可判断，②利用均值与方差的计算公式可判断，③根据事件的关系判断，④根据“且”的真假判断． 【详解】对于①543210(2)11001112120202121251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=正确;对于②，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值为加上或减去这个常数，均值改变，方差不变，错误；对于③，从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，“至多一个红球”为“一红一白或两白”，“都是红球”为“两红”，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立，正确;对于④，若“p q ∧”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，则④不正确；答案:①③. 【点睛】方法点睛：本题命题的真假判断，解题时需对每个命题进行判断，要求掌握相应的知识，考查的知识点较多，属于中档题．14．m≥1或m ≤﹣7【分析】先求出命题p 和命题q 中不等式的解再根据必要不充分条件列不等式求解【详解】解：由x2+3x ﹣4＜0得﹣4＜x ＜1由（x ﹣m ）2＞3（x ﹣m ）得（x ﹣m ﹣3）（x ﹣m ）＞0即x ＞解析：m ≥1或m ≤﹣7【分析】先求出命题p 和命题q 中不等式的解，再根据必要不充分条件列不等式求解. 【详解】解：由x 2+3x ﹣4＜0得﹣4＜x ＜1，由（x ﹣m ）2＞3（x ﹣m ）得（x ﹣m ﹣3）（x ﹣m ）＞0， 即x ＞m +3或x ＜m ， 若p 是q 的必要不充分条件， 则1≤m 或m +3≤﹣4， 即m ≥1或m ≤﹣7， 故答案为：m ≥1或m ≤﹣7. 【点睛】本题考查二次不等式的求解，考查充分性，必要性的应用，是中档题.15．【分析】根据所给的特称命题的否定：任意实数是真命题得到判别式小于0解不等式即可【详解】命题存在的否定任意实数是真命题解得：故答案为：【点睛】本题考查命题的否定写出正确的全称命题并且根据这个命题是一个 解析：1a >【分析】根据所给的特称命题的否定：任意实数x ，220x x a ++>是真命题，得到判别式小于0，解不等式即可． 【详解】命题“存在x ∈R ， 220x x a ++≤”的否定 “任意实数x ， 220x x a ++>”是真命题，∴440a ∆=-<，解得：1a >，故答案为：1a >． 【点睛】本题考查命题的否定，写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况，属于容易题．16．②④⑤【分析】因为函数的定义域为其图象上任一点都满足所以函数的图象为圆上的一部分故对每个命题通过画反例图或者结合圆的性质分析判断即可得到结果【详解】因为函数的定义域为其图象上任一点都满足所以函数的图解析：②④⑤ 【分析】因为函数()y f x =的定义域为[)(]1,00,1-，其图象上任一点(,)P x y 都满足221x y +=，所以，函数的图象为圆221x y +=上的一部分.故对每个命题通过画反例图或者结合圆的性质分析判断即可得到结果. 【详解】因为函数()y f x =的定义域为[)(]1,00,1-，其图象上任一点(,)P x y 都满足221x y +=，所以，函数的图象为圆221x y +=上的一部分.命题①：可举出反例如图，则可知函数()y f x =不一定是偶函数，故命题①错误； 命题②：举出存在的例子，由图可知函数()y f x =可能既不是偶函数，也不是奇函数，故命题②正确； 命题③：举出反例如图，则可知函数()y f x =如果是偶函数，则值域不一定是(]1,0-或[)0,1，故命题③错误； 命题④：由命题①中图象可知，函数()y f x =可以是奇函数，故命题④正确； 命题⑤：由函数图象性质可知，若函数()y f x =值域是(1,1)-，则函数一定是奇函数，故命题⑤正确.故其中正确的命题的序号是②④⑤. 故答案为：②④⑤. 【点睛】本题主要考查函数的性质，以及圆的方程的性质，通过举反例排除是判断命题正确与否的常用手段，属中档题.17．（﹣22【分析】由原命题的否定为真命题得到∀实数x 使得（a ﹣2）x2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0成立然后分二次项系数为0和不为0讨论当二次项系数不为0时需要二次项系数小于0且判别式小于0求解【详解】命题解析：（﹣2，2]． 【分析】由原命题的否定为真命题得到∀实数x ，使得（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0成立，然后分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，需要二次项系数小于0，且判别式小于0求解． 【详解】命题“存在实数x ，使得（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4≥0成立”是假命题， 则其否定为“∀实数x ，使得（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0成立”是真命题， 当a ＝2时，原不等式化为﹣4＜0恒成立； 当a ≠2时，则()2204(2)1620a a a -⎧⎨=-+-⎩＜＜，解得﹣2＜a ＜2． 综上，实数a 的取值范围是（﹣2，2]． 故答案为：（﹣2，2]． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，训练了不等式恒成立的解法，是中档题．18．充分不必要【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【详解】由解得即因为所以是成立的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查了充分条件必要条件的判定属于中档题解析：充分不必要 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由21x >解得0x >，即:0q x >， 因为120x x <<⇒>，012x x ><<，所以p 是q 成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于中档题.19．【分析】根据必要不充分条件得到集合之间的关系从而求解出参数的取值范围【详解】因为是的必要不充分条件所以又因为所以因为所以即的取值范围是：【点睛】集合：若是的必要不充分条件则有：；若是的充分不必要条件 解析：0a ≤【分析】根据必要不充分条件得到集合,A B 之间的关系，从而求解出参数的取值范围.【详解】因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以BA ，又因为{}|22,B x x x R =-<∈，所以()0,4B =，因为(),A a =+∞，所以0a ≤，即a 的取值范围是：0a ≤. 【点睛】集合()(){|},{|}A x x p x B x x q x =∈=∈： 若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则有：B A ；若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则有：AB .20．④【解析】试题分析：若或为真命题则pq 至少有一真所以命题 错误；命题若且则的否命题为若或则故命题‚错误；三角形ABC 中角A 时故命题 错误；若是的充分不必要条件即p 是q 的充分不必要条件由因p:所以由一解析：④ 【解析】试题分析：若“p 或q ”为真命题，则p 、q 至少有一真，所以命题•错误；命题“若且，则”的否命题为“若或，则”，故命题 错误；三角形ABC 中，角A时，，故命题 错误；若是的充分不必要条件即p 是q 的充分不必要条件．由因p:，所以由一元二次方程根的分布可得，解得，．故正确的命题是④．考点：命题的真假性判断．三、解答题21．（1）[]4,5 ；（2）5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）首先解一元二次不等式得到p 、q ，再根据命题p 、q 均为真命题，取交集即可得解；（2）因为p 是q 的充分不必要条件，则[][]()2,5,30m m m >，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为27100x x -+≤，解得25x ≤≤，22430x mx m -+≤()0m >，解得3m x m ≤≤所以:25p x ≤≤，():30q m x m m ≤≤> （1）当4m =时，:412q x ≤≤ 因为命题p 、q 均为真命题，所以25412x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得45x ≤≤，即[]4,5x ∈（2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以[][]()2,5,30m m m >所以3520m m m ≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩解得523m ≤≤，即5,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】考查解一元二次不等式的解得以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于中档题．22．（1）412m -≤≤；（1）存在，08m ≤≤ 【分析】（1）根据题意转化为集合A 、B 存在公共元素，求出A 、B 无公共元素时，实数m 的取值范围，取补集即可.（2）由题意转化为B A ⊆，再根据集合的包含关系可得22210m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解不等式组即可.【详解】{}()(){}{}2|82001020210A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤， {}{}{}|22222B x x m x x m x m x m =-≤=-≤-≤=-≤≤+（1）若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，即集合A 、B 存在公共元素， 假设A 、B 无公共元素，则210m ->或22m +<-， 解得12m >或4m <-，则集合A 、B 存在公共元素时，实数m 的取值范围412m -≤≤. （2）存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件， 若 “x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，则B A ，所以22210m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得08m ≤≤， 所以m 的取值范围为08m ≤≤. 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的集合思想，考查了转化与化归的思想，属于中档题.23．1,0[4,)4⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由条件p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可知，应满足p ，q 一真一假，将命题p ，q 化简求出其参数取值范围，分类讨论分为p 真q 假和p 假q 真求解即可 【详解】若命题p 为真命题，则对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立，所以有0a =或240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a ≤<；若q 为真命题，则关于x 的方程20x x a --=有实数根，所以有140a ∆=+≥，解得14a ≥-；因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以p ，q 一真一假，若p 真q 假，则有0414a a ≤<⎧⎪⎨<-⎪⎩，此不等式组无解；若p 假q 真，则有4014a a a ≥<⎧⎪⎨≥-⎪⎩或，解得104a -≤<或4a ≥． 所以a 的取值范围为1,0[4,)4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查由命题的真假求解参数取值范围，分类讨论法的应用，属于中档题 24．（1）[2,0]B =-；（2）充分非必要条件． 【分析】（1）根据绝对值的性质解不等式得集合B ； （2）解不等式得集合,A B ，由A B =∅求出a 的范围，再判断是什么条件．【详解】（1）由110x -+≥得11x +≤，111x -≤+≤，20x -≤≤，所以[2,0]B =-； （2）由题意(31,32)A a a =-+，[1,1]B a a =---+， 若A B =∅，则321a a +≤--或311a a -≥-+，解得34a ≤-或12a ≥．∴12a ≥是A B =∅的充分非必要条件． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查解一元二次不等式，考查充分必要条件的判断，掌握集合的包含关系与充分必要条件之间的联系是解题关键．25．203a -≤<【分析】p 是q 的充分不必要条件，则集合A 是集合B 的子集，运用区间端点值之间的关系可求a 的取值范围． 【详解】 解：0a <，由22430x ax a -+<得3a x a <<，设{}3A x a x a =<<，由260x x --≤得23x -≤≤，设{}23B x x =-≤≤，p 是q 的充分不必要条件，A ∴ B ，323a a ≥-⎧∴⎨≤⎩0a <203a ∴-≤<. 【点睛】本题是命题真假的判断与应用，考查了必要条件问题，属于中档题．判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 26．（1）(3,0)-；（2）(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【分析】（1）只需24120m m ∆=+<，然后求解m 的取值范围； （2）分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论求解. 【详解】解：（1）若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，解得30m -<<， 故实数m 的取值范围(3,0)-（2）若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12m > ∵命题,p q 中恰有一个为真命题， ∴命题,p q 一真一假①当p 真q 假时，301122m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得：102m -≤< ②当p 假q 真时，301122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得：3m ≤-或12m >.综上，实数m 的取值范围(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.【点睛】本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.。
最新人教版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》本章小结
本章小结知识整合1.知识纲要命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.2.方法总结(1)理解四种命题及其相互关系,特别是互为逆否命题的两个命题同真假.(2)掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义,并会判断两个命题的关系.对于A 、B 两个命题若A ⇒B ,A 是B 的充分条件;若B ⇒A ,A 是B 的必要条件;若A =B ,则A 是B 的充要条件;并会用充要条件的知识解决一些与其他知识相关的问题.(3)正确地使用逻辑联结词“或”“且”“非”，并会判断复合命题的真假(即掌握真值表).另外理解清楚“或”“且”“非”与集合的“交”“并”“补”的对应关系.(4)会判断全称命题与存在命题,并且会写命题的否定;理清命题的否定与否命题的区别;全称命题的否定为存在命题;存在命题的否定为全称命题.典例启示【例1】 写出下面命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假.如果两圆外切,那么圆心距等于两圆半径之和.解:逆命题:如果圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切;真命题.否命题:如果两圆不外切,那么圆心距不等于两圆半径之和;真命题.逆否命题:如果圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不相外切;真命题.启示:写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题,关键是熟悉命题的结构;原命题与逆否命题同真假,原命题的逆命题与否命题同真假.所以只要判断出原命题及它的逆命题的真假,便可得到原命题的否命题及它的逆否命题的真假.【例2】 指出下列命题中,p 是q 的什么条件.p :a 与b 都是奇数;q :a +b 是偶数.解:∵a 、b 都是奇数⇒a +b 为偶数,而a +b 为偶数a 、b 都是奇数,∴p 是q 的充分不必要条件.启示:掌握充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件的概念及相关数学知识是解决这类条件判断问题的关键.【例3】 已知关于x 的方程(1-a )x 2+(a +2)x -4=0,a ∈R,求:(1)方程有两个正根的充要条件;(2)方程至少有一个正根的充要条件.解析:先求出方程有两个实根的充要条件,再讨论x 2的系数及运用根与系数的关系分别求出要求的充要条件.解:(1)方程(1-a )x 2+(a +2)x -4=0有两个实根的充要条件是⎩⎨⎧≥∆≠-,0,01a 即⎩⎨⎧≥≤≠⇔⎩⎨⎧≥-++≠,102,10)1(16)2(12a a a a a a 或即a ≥10或a ≤2且a ≠1. 设此时方程的两实根为x 1、x 2,有两个正根的充要条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧〉-〉-+≥≤≠⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧〉⋅〉+≥≤≠,014,012,102,10010212121a a a a a a x x x x a a a 或或 即1＜a ≤2或a ≥10是方程有两个正根的充要条件.(2)由(1)知当1＜a ≤2或a ≥10时方程有两个正根,当a =1时,方程化为3x -4=0,有一正根34=x ,又方程有一正根一负根的充要条件是a ＜1,故方程至少有一个正根的充要条件是a ≤2或a ≥10.启示:处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论,要紧扣定义.【例4】 若a 是方程x 2+x +1=0的根,求证:a 不是实数.分析：对于此类问题可用反证法证明.证明:∵a 是方程x 2+x +1=0的根,∴a 2+a +1=0.假设a 是实数,则有a 2+a +1=(a +21)2+43＞0,这与a 2+a +1=0矛盾.因此,a 不是实数.启示:(1)运用反证法证明命题时,准确作出反设是正确运用反证法的前提.(2)在推理时导致的矛盾是多种多样的,一般是与已知矛盾,与公理、定义、定理、公式矛盾,也可与反设矛盾或自相矛盾.【例5】 命题“方程x 2-4=0的解是x =±2.”在这个命题中,使用逻辑联结词的情况是( )A.没有使用逻辑联结词B.使用了联结词“且”C.使用了联结词“或”D.使用了联结词“非”解析:“x 2-4=0的解是x =±2”就是指“x 2-4=0的解是x =2或x =-2”,因此该命题是用逻辑联结词“或”联结的.答案:C启示:要理解联结词“或”“且”“非”的含义.“或”相当于集合中的“并集”与日常用语中的“或”含义不同.日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”可以两个都选，但又不是两个都必须选，而是两个中至少有一个，相当于“并集”定义中的“或”.“且”相当于集合中的“交集”，即必须两个都选.“非”相当于集合在全集中的补集.。
(人教版)高中数学选修2-1课件：第1章 常用逻辑用语1.4.3
∴f(x)＋2<logax 可化为 x2＋x<logax，即∀x∈0，12，x2
＋x<ax 成立.
8分
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又∵当 x∈0，12时，x2＋x＝x＋122－14<12＋122－14＝34，
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(1)对全称命题进行否定 写全称命题的否定主要把握两点：一是要更换量词，即把 全称量词更换为存在量词；二是要否定结论． (2)全称命题的否定的真假判断 全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反， 要证明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可． 特别提醒：对某些省略了全称量词的命题，其否定应加上 存在量词．
(4)“不论 m 取何实数，方程 x2＋2x－m＝0 都有实数根”
是全称命题，其否定为“存在实数 m，使得方程 x2＋2x－m
＝0 没有实数根”，真命题.
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第一章 常用逻辑用语
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1．写出下列全称命题的否定： (1)p：∀x>1，log2x>0； (2)三个给定产品都是次品； (3)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数． 解析： (1)¬p：∃x0>1，log2x0≤0. (2)三个给定产品中至少有一个不是次品． (3)数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．
高中数学选修2-1课件：第1章 常用逻辑用语1.3
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用逻辑联结词构成新命题
1．逻辑联结词：_且__、__或__、_非___．
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2．用逻辑联结词构成新命题.
构成新命题
记作 读作
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解析： (1)p∨q：“正数或负数的平方大于0”，即“非 零实数的平方大于0”，
由于p是真命题，q是真命题，所以p∨q是真命题． (2)p∨q：“3>4或3<4”，即“3≠4”， 由于p是假命题，q是真命题，所以p∨q是真命题． (3)p∨q：方程(x－1)(x－2)＝0的根为x＝1或方程(x－1)(x －2)＝0的根为x＝2. 由于p是假命题，q是假命题，所以p∨q是假命题．
答案： B
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2．若命题p∧q为假，且¬p为假，则( )
A．p∨q为假
B．q为真
C．q为假
D．不能判断
解析： ¬p为假，则p为真，又p∧q为假，则q为假．
答案： C
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1．将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真 假：
(1)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分； (2)p：0是奇数，q：0是偶数； (3)p：x≠0，则xy≠0，q：y≠0，则xy≠0.
高中数学选修2-1课件：第1章 常用逻辑用语1.2
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(3)综上所述，原命题“若p，则q”，逆命题为“若q，则 p”，则p与q的关系有以下四种情形：
原命题 真
假 真 假
逆命题
p，q的关系
假
p是q的充分不必要条件q是p的必要不 充分条件
真
p是q的必要不充分条件q是p的充分不 必要条件
解析： p：－2≤x≤10.
q：x2－2x＋1－m2≤0⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)
⇔1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为 p 是 q 的充分不必要条件．
即{x|－2≤x≤
x|1－m≤x≤1＋m}，
1－m≤－2 1－m<－2 故有1＋m>10 或1＋m≥10 ，解得 m≥9.
m>0
思路点拨： 先证充分条件 {由―an―a}＋是―b等―＝―比0证―数→明列
再证必要条件 由―{证a―n明}―是a―＋等―b比＝―数→0 列 结论
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充分条件、必要条件的概念
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对充分条件和必要条件的关系的理解 p是q的充分条件，就是p足以保证q成立，这种情况下，也 可以理解为：q是p成立的必不可少的条件，即q是必要的，所 以q是p的必要条件，由此可见判断充分条件或者必要条件实质 上就是要判断命题“若p，则q”(或者其逆命题)的真假，即判 断p能否推出q(或者q能否推出p)．
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第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1四种命题双基达标(限时15分钟)1．下列语句：①12>5；②3是12的约数；③0.5是整数；④x是偶数；⑤x<2.其中是命题的有__________．(填序号)解析由命题的定义知①②③是命题．答案①②③2．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题为__________________________________．解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．答案若x≥1或x≤－1，则x2≥13．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．解析 ①“若x ＋y ≠0，则x ，y 不是相反数”是真命题．②“若a 2≤b 2，则a ≤b ”，取a ＝0，b ＝－1，a 2≤b 2，但a ＞b ，故是假命题．③“若x >－3，则x 2－x －6≤0”，解不等式x 2－x －6≤0可得－2≤x ≤3，而x ＝4>－3，不是不等式的解，故是假命题．④“相等的角是同位角”是假命题．答案 14．命题“若x ≠2，则x 3－x 2－x －2≠0”的逆否命题是______；是______(填“真”或“假”)命题．解析 ∵x 3－x 2－x －2＝(x －2)(x 2＋x ＋1)＝0，而x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，∴x ＝2，故原命题为真命题．又原命题与逆否命题具有相同真假性，故逆否命题也为真命题．答案 “若x 3－x 2－x －2＝0，则x ＝2” 真5．给出下面3个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题．其中真命题的序号是______．解析 ①举反例：x ＝2π＋π6或π4，tan(2π＋π6)＝33，tan π4＝1，由于2π＋π6>π4时，tan(2π＋π6)<tan π4，则原命题为假命题．②例如y ＝1x是奇函数但不过原点．③若0<log a b <1，则a >b >1的逆命题为若a >b >1，则0<log a b <1是真命题，因为a >b >1，所以log a a >log a b >log a 1＝0，即0<log a b <1.答案 ③6．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若a >b ，则1a <1b. 解 (1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q <1，假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，真命题．(2)逆命题：若1a <1b，则a >b ，假命题． 否命题：若a ≤b ，则1a ≥1b，假命题． 逆否命题：若1a ≥1b，则a ≤b ，假命题． 综合提高 (限时30分钟)7．下列语句：①x ＝0；②－5∈Z ；③作线段AB ；④2020年人类将登上火星；⑤lg 100＝2.其中命题的个数是______个．解析①语句中含有变量，不能判断真假，不是命题；③是祈使句，不是命题；②⑤是陈述句且能判断真假，是命题；④目前不能确定真假，但随着时间的推移，总能确定真假，这类猜想也是命题，故②④⑤是命题．答案 38．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______个．解析原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”为假命题，则否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，只有逆否命题是真命题．答案 19．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”；②“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题的序号是______．解析①Δ＝4＋4k>0，k>－1，∴是真命题．②否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题．③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．答案①②10．设有两个命题：①关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；②函数f(x)＝log m x是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是______．解析①是真命题，则m≥0；②是真命题，则0<m<1，若①真，②假，则m＝0或m≥1；若②真，①假，m不存在．综上，m＝0或m≥1.答案m＝0或m≥111．已知a，b∈R，求证：若a3＋b3＋3ab≠1，则a＋b≠1.证明原命题证明较困难改证它的等价命题(逆否命题)：已知a，b∈R，求证：若a＋b＝1，则a3＋b3＋3ab＝1.因为a＋b＝1，所以a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1.因为逆否命题与原命题等价，所以原命题正确．12．已知集合A＝{x|x2＋(2＋a)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x∈R|x>0}，试问是否存在实数a，使得A∩B＝∅？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解假设存在实数a满足条件A∩B≠∅，若A∩B≠∅，则方程x2＋(2＋a)x＋1＝0的两实数根x1，x2至少有一个为正；因为x1·x2＝1>0，所以两根x1，x2均为正数．则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2＋a ）2－4≥0，x 1＋x 2＝－（2＋a ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0或a ≤－4，a <－2，即a ≤－4. 又∵集合{a |a ≤－4}的补集为{a |a >－4}，∴存在满足条件A ∩B ＝∅的实数a ，其取值范围是(－4，＋∞)．13．(创新拓展)写出命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x 2＋4x ＋a ＋2≤0的解集非空，则a >3”的逆否命题，并判断其真假．解 其逆否命题为：已知a 、x 为实数，如果a >3，则关于x 的不等式x 2＋4x ＋a ＋2≤0的解集非空．法一 若a >3，则x 2＋4x ＋a ＋2＝0的判别式Δ＝16－4a －8＝8－4a <0，此时不等式x 2＋4x ＋a ＋2≤0的解集为空集，故其逆否命题为假命题．法二 从原命题角度出发，若其解集为非空集合，则有Δ＝8－4a >0，得a <2，故原命题为假命题，所以其逆否命题也为假命题．。
高中数学选修21第一章常用逻辑用语112四种命题
原命题与其否命题的真 假是否存在相关性呢?
结论2 原命题的真假和否命题的真假没有关系。
二.四种命题的关系 3.互为逆否命题的真假关系
判断下列逆否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c
真
逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b
真
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。
(1)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“对顶角不相等”。 (2)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“不成对顶关系的
两个角不相等”。
否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,即只否定结论不否定条件。 对于原命题: 若 p , 则 q ， 有
课前练习 将命题“当a>0时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加.”改写成“若p则q”的形式，并判断命题的真假。 解答:当a>0时，若x增加，则函数y=ax+b的值也随之增加。它是真命题．
在本题中，a>0是大前提，应单独给出，不能把大前提也放在命题的条件部分内．
四种命题形式:
•
原命题:
•
逆命题:
1.负数的平方是正数 原命题：
逆命题： 否命题： 逆否命题：
若一个数是负数，则它的平方是正数。 若一个数的平方是正数，则它是负数。 若一个数不是负数，则它的平方不是正数。 若一个数的平方不是正数，则它不是负数。
2.正方形的四条边相等
原命题： 逆命题： 否命题： 逆否命题：
若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 若一个四边形的四条边相等，则它是正方形。 若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。 若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形。
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高中数学选修2-1 题型归类
第一章 常用逻辑用语
1.1命题及其关系
题型1：命题概念的判断
1、下列语句是命题的有
(1)π3
是有理数；(2)x ＞2；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0；(5)这座山真高啊！；(6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数．
题型2：写出四种命题
1.设m ∈N ,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是_______。
2.分别写出命题“若22
0x y +=，则,x y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．
题型3：四种命题的相互关系
1.命题“若90C ∠=︒，则ABC △是直角三角形”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数_____
题型4：利用互为逆否关系判断命题的真假
1.若:8p x y +≠，则:2q x ≠或6y ≠的逆命题真假_____
2.“sin sin αβ≠”是“αβ≠”的_______条件.
1.2充分条件与必要条件
题型1：正常表述语句的充分条件必要条件判断
1.设p ：实数x ，y 满足1x >且1y >，q ：实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若a 为实数，则“6>a ”是“关于x 的方程032=+++a ax x 有实数解”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
3已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=，p 是q 的___条件.
4.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 非充分非必要条件
5.三角形ABC 中，“sin sin A B >”是“A B ∠>∠”的_______条件.
6.若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
题型2：非正常表述语句的充分条件必要条件判断
1.不等式2230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. 13x -<<
B. 03x <<
C. 23x -<<
D. 21x -<<
2.设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线，则α//
β的一个充分而不必要条件是
A.m //β且l // α
B.m // l 且n // l 2
C.m //β 且n //β
D. m //β且n // l 2
3.A 是D 充分不必要条件 ，B 是D 必要不充分条件，B 的必要不充分条件是C ，C 是F 的充要条件，则F 是A 的______条件
题型3：已知充分条件必要条件，求参数
1.已知9)1(:2≤-x p , )0(012:22>≤-+-m m x x q 若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件,则实数m 的取值范围___________________．
2.已知集合2{|22A y y x x ==-+，[0,3]}x ∈，{|21}B x x m =+≥，:p x A ∈，:q x B ∈，
并且p 是q ⌝的充分条件，求实数m 的取值范围．
3．已知p:,23
11≤--x ,q:()001222>>-+-m m x x .若非p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围。
题型4：探究、证明充要条件
1.已知x ，y 都是非零实数，且x y >，求11<
x y
成立的充要条件． 1.3简单的逻辑联结词
题型1：判断且、或、非命题的真假
1.指出下列命题的真假：
（1）菱形对角线相互垂直平分 . （2）“23≤” .
2．给出命题p ：若“0>•→
→BC AB ,则△ABC 为锐角三角形”；命题q ：“实数c b a ,,满足ac b =2,则c b a ,,成等比数列”．那么下列结论正确的是( )
A ．p 且q 与p 或q 都为真
B ．p 且q 为真而p 或q 为假
C p 且q 为假且p 或q 为假
D ．p 且q 为假且p 或q 为真
3.已知命题2:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若22a b <,则a b <．下列命题为真命题的是（ ）
A. p q ∧
B. p q ⌝∧
C. p q ⌝∧
D. p q ⌝⌝
∧
题型2：写出命题的否定
1“23≤”的否定 . 2. 2×3=6的否定 .
题型3：已知且、或、非命题的真假，求参数取值范围。
1.已知，：64≤-x p 032≥+x x q ：,若命题“ p 且q ”和“¬p ”都为假,则x 的取
值范围______________
2.已知命题:[0,1]p x ∀∈，2x a ≥，命题:q x ∃∈R 2220x ax a ++-=，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为___________________．
3.已知命题p ：方程2
10x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程 244(2)10x m x +-+=无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．
1.4全称量词与存在量词
题型1：判断全称命题、特称命题的真假
1.下列命题中的假命题．．．
是（ ） A. ,lg 0x R x ∃∈= B. ,tan 1x R x ∃∈= C. 3,0x R x ∀∈> D. ,20x x R ∀∈>
2.下列命题中是假命题的是
A ．,,αβ∃∈R 使sin()sin sin αβαβ+=+
B ϕ∀∈R ，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数
C ．m ∃∈R,使243()(1)m
m f x m x -+=-是幂函数，且在(0,)+∞上单调递减 D ．0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点
题型2：含有一个量词的命题的否定
1.命题“∃0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 .
2.命题“存在实数是有理数”的否定用数学符号语言可以表示为 .
3.命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是 .
4.菱形对角线相互垂直平分的否定是 .
题型3：含有一个量词命题的否定的真假
1.已知2:,10p x mx ∀∈+>R ，2:,10.q x x mx ∃∈++≤R
则命题p 的否定的真假 ；命题q 的否定的真假 ；
题型4：已知恒成立，求取值范围
1．若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则实数a 的取值范围是
A ．(,)-∞+∞
B ．(2,)-+∞
C ．(0,)+∞
D ．(1,)-+∞
2.若对π2π,63α⎡⎤∀∈
⎢⎥⎣⎦ ,π2π,63β⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦ ,使得cos sin a αβ≥+成立,则实数a 的取值范围是_______________．
3.设命题p ：函数21()lg()16
f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切x ∈R 均成立.
（Ⅰ）如果p是真命题,求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围．题型5：已知存在成立，求取值范围
1.已知命题：“”，命题：“”若命题“且”是真命题，则实数的取值范围为
A．或B．或 C．D．。