二次函数与幂函数_PPT课件

聚 焦
考
向
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的
透 析
最大值是35.
感 悟
经
典
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使
考 题
f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或
课 时
规
范
a≥4.
训 练
基 础 知 识 梳 理
增增
时，减x∈(－
经 典
∈(－∞，0]
考
∞，0)时，减
题
时，减
课 时
规
定点
(0,0)，(1,1)
范
(1,1)
训
练
【基础自测】
基
础
知
1．已知点
33，3
3 在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是
识 梳 理
聚
焦
()
考 向
透
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝x－3
析
感
C．f(x)＝x12
D．f(x)＝x－12
题
课 时
规
范
答案：A
训 练
3．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b 基
础
＝( )
知 识
梳
理
A．3
B．2或3
聚
焦
C．2
D．1或2
考 向
透
析
解析：函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，
感
悟
经
f1＝1 由已知条件fb＝b
b＞1
，即bb2＞－13b＋2＝0 ，解得b＝2.
析
特征
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12
y＝x－1
感 悟 经 典
考
性质
题
定义域
R
RR
课
{x|x∈R且
时 规
范
训
x≠0}
练
值域
R [0，＋∞)
R [0，＋∞)
{y|y∈R且 y≠0}
基 础 知 识 梳 理
奇偶性 奇
偶
奇 非奇非偶
奇
聚 焦
考
x∈[0，＋
向
透
x∈(0，＋∞)
析
∞)时，增x
感 悟
单调性 增
经 典 考
题
间上的最值．
课
时
5．掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系，
规 范
训
练
提高解综合问题的能力．
基
础
知
识
梳
【知识梳理】
理
聚
1．二次函数的解析式的三种常用表达形式
焦 考
向
透
(1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ；
析
感
(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，(h，k)是顶点；
【审题视点】 对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求
考 题
课
解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数
时 规
范
定义域的限制．
训 练
【解】 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x
基 础
知
识
∈[－4,6]，
梳 理
∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
聚
焦
考
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
向 透
析
且f(x)＝xx22－＋22xx＋＋33，，xx∈∈[－0，6，6] 0] ，
感 悟 经 典 考
题
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．
课
时
规
范
识 梳
理
P′(－x，－y)必在 f(x)图象上，
聚
焦
所以－y＝(－x)2＋2(－x)，
考 向 透
析
即－y＝x2－2x，
感
悟
y＝－x2＋2x，
经 典 考
题
故 g(x)＝－x2＋2x.
课
时
规
范
训 练
【方法总结】 求二次函数解析式的方法及思路
基 础
知
识
求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知
焦
考
的位置，两点不应忽视．
向
透
析
2．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第 感 悟 经
四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；幂函 典 考 题
数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标 课
时
规
轴相交，则交点一定是原点．
范
训
练
基 础 知 识 梳 理
3．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底
训
练
【方法总结】
(1)求二次函数最值的类型及解法
基
础
①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：
知 识
梳
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类
理
聚
型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数
焦 考
向
透
时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；
析
感
②常结合二次函数在该区间上的单调性或图象
悟 经
课 时
规
范
训
练
【解析】 (1)分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象，如图所示．
可知h(x)＞g(x)＞f(x)． 基 础 知 识 梳 理
聚 焦 考 向 透 析
(2)由题意知m2－2m－3为奇数且m2－2m－3＜0，由m2－2m－3
感 悟
经
典
＜0得－1＜m＜3，又m∈N*，故m＝1,2.
考 题
课 时 规
范
训
练
基
础
知
识
梳
理
对称轴
x＝－2ba
聚 焦 考
向
顶点坐标
－
b
，4ac－|b2
透 析
2a 4a
感 悟
经
奇偶性
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
典 考
题
课 时 规 范 训 练
基
础
在－∞，－2ba上是减函 在－∞，－2ba上是增函
知 识 梳 理
单调性 数；在－2ba，＋∞上是 数；在－2ba，＋∞上是减
1 2
，
理
聚 焦
考
h(x)＝x－2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是________．
向 透
析
(2)(2013·江西临川模拟)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图
感 悟
经
象与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m＝________.
典 考
题
【审题视点】 利用幂函数图象结合指数的奇偶性解答．
焦 考
向
(1)求f(x)解析式；
透 析
感
(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式．
悟 经
典
【审题视点】 对于(1)，可设二次函数的零点式，再结合最值
考 题
课
求出系数a即得；对于(2)，可通过图象上点的对应关系求g(x)解析
时 规
范
式．
训 练
【解】 (1)由于f(x)有两个零点0和－2，
基
础
知
所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
识 梳
理
这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，
聚
焦
考
由于f(x)有最小值－1，
向 透
析
所以必有－a＞a＝0 －1 ，
感 悟 经 典
考
题
解得a＝1.
课
时
因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.
规 范
训
练
基
础
知
(2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点
课 时 规
范
训
练
考向二 二次函数图象与性质的应用
基
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
础 知
识
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
梳 理
聚
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函
焦 考
向
数；
透 析
感
(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
悟 经
典
聚 焦 考 向
透
增函数
函数
析
感
悟
当x＝－2ba时，函数有最 当x＝－2ba时，函数有最大
经 典 考 题
最值
小值4ac4－a b2
值，4ac－b2
课 时 规
4a
范
训
练
3.幂函数的定义
基
形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是 自变量 ，α为常
础 知 识
梳
数．
理
聚
4．幂函数的性质
焦 考
向
透
函数
梳 理
条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
聚 焦
考
向
透
析
感 悟 经 典 考 题
课 时 规 范 训 练
基
础
知
识
1．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最
梳 理
大值是8，试确定此二次函数．
聚 焦
考
向
解：设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.
透 析
∵f(2)＝f(－1)，
悟 经 典 考
题
答案：B
课 时
规
范
训
练
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件
基 础
知
是( )
识 梳
理
A．m＝－2 C．m＝－1
B．m＝2
聚 焦
考
D．m＝1
向 透
析
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为x＝－m2 ，且只有
感 悟 经 典
考
一条对称轴，所以－m2 ＝1，即m＝－2.
梳 理
下降，反之也成立．
聚 焦
考
向
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；
透 析
0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．
感 悟
经
典
(3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内；
考 题
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
课 时
规
范
训
练
3．幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的
感 悟
经
典
∴抛物线对称轴为x＝2＋2－1＝12.
考 题
课
时
∴m＝12.
规 范 训 练
基
础
又根据题意函数有最大值为n＝8，
知 识
梳
理
∴y＝f(x)＝ax－122＋8.
聚 焦
考
向
∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，
透 析
感
悟
解之，得a＝－4.
经 典
考
题
∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
知 识
梳
理
值3，最小值2，则m的取值范围为________．
聚
焦
解析：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2
考 向
透
析
当x∈[0，m]时，当x＝1时，有最小值2.
感
悟
当x＝0时，y＝3，当x＝2时，y＝3.
经 典
考
题
∴1≤m≤2
课
时
答案：[1,2]
规 范
训
练
基 础 知 识 梳 理
1．研究二次函数的性质要注意二次项系数a的正负，及对称轴 聚
典
求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．
考 题
(2)二次函数单调性问题的解法
课 时
规
范
结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨
训
练
论求解．
2．(2013·无锡联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1，若f(x)＜0的解集
基
础
为R，则实数m的取值范围是________．
知 识
梳
解析：当m＝0时，f(x)＝－1＜0，适合x∈R.
理
聚
焦
当m≠0时，f(x)＝mx2－mx－1的图象开口向下，且与x轴无交
考 向
透
点．
析
感
悟
∴m－＜m02＋4m＜0 ，∴0＞m＞－4.
经 典 考 题
课
综上，－4＜m≤0.
时 规
范
训
答案：(－4,0]
练
基
考向三 幂函数图象性质及应用
础 知
识
梳
(1)(2013·山西太原模拟)当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x
基
∴f(x)min＝f(1)＝－2.2分
础 知
识
(2)当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴
梳 理
范 训 练
答案：D
基 础 知 识 梳 理
聚
(2013·河南安阳高三模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的
焦 考
向
透
最小值．
析
感
【解题指南】 本题针对字母a进行讨论，a＝0、a＞0，a＜0
悟 经
典
考
及抛物线对称轴与区间[0,1]的位置关系．
题
课 时 规 范 训 练
【解】 (1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上递减，
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4(舍去)．
课 时
规
范
当m＝2时，m2－2m－3＝22－2×2－3＝－3，∴m＝2.
训 练
【答案】 (1)h(x)＞g(x)＞f(x) (2)2
【方法总结】 (1)α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在
基 础
知
识
第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象
基
第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如
础 知
识
梳
图所示)，那么幂函数y＝x12的图象经过的“卦限”是( )
理 聚
焦
考
向
透
析
A．④⑦
B．④⑧
感
悟Hale Waihona Puke Baidu
C．③⑧
D．①⑤
经 典 考
题
解析：当0＜x＜1时，y＝ x＞x；当x＞1时，y＝ x＜x知，y＝ 课
时
规
x12的图象经过①⑤“卦限”．故选D.
典 考 题
课 时 规
范
训
答案：C
练
基 础 知 识 梳 理
聚
4．(教材改编)当α∈ －1，12，1，3 时，幂函数y＝xa的图象不
焦 考 向 透
析
可能经过第________象限．
感
悟
经
答案：二 四
典 考
题
课 时 规 范 训 练
基
础
5．(教材改编)已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大
聚 焦 考
向
x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要
透 析
感
依据和唯一标准．应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是 悟
经
典
幂函数，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是幂函数．
考 题
课 时 规 范 训 练
基
础
知
识
考向一 求二次函数的解析式
梳 理
聚
已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1.
基 础 知 识 梳 理
聚 焦 考 向 透 析
二次函数与幂函数
感 悟
经
典
考
题
课 时 规 范 训 练
基
1．了解幂函数的概念．
础 知
识
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它
梳 理
聚
焦
们的变化情况．
考 向
透
析
3．掌握二次函数的概念、图象特征．
感
悟
4．掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区
悟 经
典
考
(3)标根式(或因式分解式)：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中 x1， 题
x2 分别是 f(x)＝0 的两实根
课 时
规
范
训
练
2．二次函数的图象及其性质
基 础
知
a＞0
a＜0
识 梳
理
聚
焦
考
图象
向
透
析
感
悟
定义域
R
R
经 典
考
题
值域
y∈4ac4－a b2，＋∞ y∈－∞，4ac4－a b2