考研数学三(概率论与数理统计)-试卷20
[考研数学]概率论考试复习题
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概率论与数理统计练习1一、选择题：1、设随机事件A 与B 满足A B ⊃，则（ ）成立。
A.()()P A B P A +=B.()()P AB P A =C.()()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=-2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为（ B ）。
A.0.5B.0.8C.0.55D.0.63、连续型随机变量X 的密度函数()f x 必满足条件（ D ）。
A.0()1f x ≤≤B.()f x 为偶函数C.()f x 单调不减D. ()1f x dx +∞-∞=⎰4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ 的样本，则22μσ+的矩估计量是（ D ）。
A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X X n =--∑ C. 221()n i i X n X =-∑ D. 211n i i X n =∑ 5、设总体(,1)X N μ ，123,,X X X 为总体X 的一个样本，若^1231123X X CX μ=++为未知参数μ的无偏估计量，则常数C =（ ） A.12 B. 13 C. 15 D. 16二、填空题：1、袋子中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 0.42、设A ，B 为两个随机事件，()0.6P A =，()0.2P A B -=，则()P AB = 0.63、已知二维随机向量(,)X Y 的联合分布为则= 0.34、设总体X 服从正态分布2(2,)N σ，1216,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑，则48X σ-服从 5、若(,)X Y 服从区域22{(,)4}G x y x y =+≤上的均匀分布，则(,)X Y 的联合密度函数为三、计算题：1、设A ，B 为随机事件，且()P A p =，()()P AB P A B =，求()P B 。
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。
考研数学(三)题库 概率论与数理统计(第一章 随机事件和概率)打印版【圣才出品】
A．P（A）－P（B）
B．P（A）－P（B）＋P（AB）
C．P（A）－P（AB）
＿
＿
D．P（A）＋P（A）－P（AB）
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【答案】C
＿
＿
【解析】P（A）＝P[A（B∪B）]＝P（AB）＋P（AB）＝P（A－B）＋P（AB），故 P
9．假设事件 A 和 B 满足 P（B|A）＝1，0＜P（A），则（ ）。 A．A 是必然事件 B．P（A|B）＝0 C．A 包含事件 B D．P（A－B）＝0 【答案】D 【解析】因为 P（B|A）＝1 且 P（A）＞0，故 P（AB）＝P（A），P（A－B）＝P（A） －P（AB）＝0。
10．对于任意两事件 A 和 B，P（A－B）＝（ ）。
＿＿
P（A∪B）＝1。
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3．若 A、B 互斥，且 P（A）＞0，P（B）＞0，则下列式子成立的是（ ）。 A．P（A|B）＝P（A） B．P（B|A）＞0 C．P（AB）＝P（A）P（B） D．P（B|A）＝0 【答案】D 【解析】因为 A，B 互斥，故 AB＝∅，P（AB）＝0，P（B|A）＝P（AB）/P（A）＝0。
14．对于事件 A、B、C，如果 A B C ，则（ ）。
＿ ＿＿
A．A∪B⊂C
＿＿ ＿
B．AB⊃C
＿
C．A∪B⊂C
D．AB⊂C
【答案】C
＿
【解析】∵ A B C ∴ A B C ，即 A∪B⊂C。
15．对于事件 A、B，如果 A⊃B，P（B）＞0，则（ ）。
A．P（B|A）＝P（B）
考研数学三(概率论与数理统计)-试卷5
考研数学三（概率论与数理统计）-试卷5(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{|X( )（分数：2.00）A.D(X)=2．B.P{|X—E(X)|＜3}C.D(X)≠2．D.P{|X—E(X)|√解析：解析：由于事件{|X—E(X)|＜3}是事件{|X—E(X)|≥3}的对立事件，且题设P{|X—E(X)|≥3}≤，因此一定有P{|X—E(X)|＜3}≥选项D正确．进一步分析，满足不等式P{|X—E(X)|≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此选项A与C都不能选．若X服从参数n=8，p=0．5的二项分布，则有E(X)=4，D(X)=2．但是P{|X—E(X)|≥3}=P{|X一4|≥3}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=7}+P{X=8}=因此选项B也不成立．故选D．3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2．4，D(X)=1．44，则二项分布的参数n，P的值为( )（分数：2.00）A.n：4，P=0．6．B.n=6，P=0．4．√C.n=8，P=0．3．D.n=24，P=0．1．解析：解析：因为X～B(n，P)，所以E(X)=np，D(X)=np(1一P)组，得n=6，p=0．4，故选项B正确．4.对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y)．B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)．√C.X与Y独立．D.X与Y不独立．解析：解析：因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)一E(X).E(Y)]，可见E(XY)=E(X).E(Y)，故选项B正确．对于随机变量X与Y，下面四个结论是等价的．①Cov(X，Y)=0；②X 与Y不相关；③E(XY)=E(X)E(Y)；④D(X+Y)=D(X)+D(Y)．5.已知随机变量X与Y均服从0—1分布，且E(XY)=则（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：因为X与Y均服从0一1分布，所以可以列出(X，Y)的联合分布如下：又已知E(XY)=．即P 22 = 从而P{X+Y≤1}=P 11 +P 12 +P 21 =1一P 22．故选项C正确．6.设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=E(X).E(Y)，则X与Y( )（分数：2.00）A.相关．B.不相关．√C.独立．D.不独立．解析：解析：因E(XY)=E(x)E(Y)，故cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0X与Y不相关，故选项B正确．7.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( ) （分数：2.00）A.一1．√B.0．D.1．解析：解析：根据题意，y=n—X，故ρXY =一1．应选A．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足|ρXY|≤1．若Y=aX+b(a，b为常数)，则当a＞0时，ρXY =1，当a＜0时，ρXY =一1．8.对于任意两随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是( )（分数：2.00）A.E(XY)=E(X).E(Y)．B.Cov(X，Y)=0．C.D(XY)=D(X).D(Y)．√D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)．解析：解析：因为Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，所以A与B等价．由D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见选项B与D等价．于是，“X和Y不相关”与选项A，B和D等价．故应选C．9.假设随机变量X在区间[一1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一1．√B.0．C.0．5．D.1．解析：解析：因为U=arcsinX和V=arccosX满足下列关系：即U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=一1．应选A．10.X与Y的相关系数ρ=1，则P{X=0，Y=1}的值必为( )（分数：2.00）A.0．√D.1．11.设随机变量X和Y独立同分布，记U=X—Y，V=X+Y，则随机变量U与V必然( )（分数：2.00）A.不独立．B.独立．C.相关系数不为零．D.相关系数为零．√解析：解析：因为 Cov(U，V)=E(UV)一E(U).E(V) =E(X 2一Y 2 )一E(X一Y).E(X+Y) =E(X 2 )一E(Y 2 )一E 2 (X)+E 2 (Y) =D(X)一D(Y)=0．则所以U与V的相关系数为零，故选D．12.设随机事件A与B互不相容，0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1与Y的相关系数为ρ，则( ) （分数：2.00）A.ρ=0．B.ρ=1．C.ρ＜0．√D.ρ＞0．解析：解析：选项B不能选，否则选项D必成立．因此仅能在选项A、C、D中考虑，即考虑ρ的符号，而相关系数符号取决于Coy(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)，根据题设知E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，(因为P(AB)=0)，所以Cov(X，Y)=一E(X).E(Y)＜0，故选C．13.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X一2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8．B.16．C.28．D.44．√解析：解析：本题考查方差的运算性质，是一道纯粹的计算题．可根据方差的运算性质D(C)=0(C为常数)，D(CX)=C 2 D(X)以及相互独立随机变量的方差性质D(X±Y)=D(X)+D(Y)自行推演．故选项D正确．二、填空题(总题数：14，分数：28.00)14.设连续型随机变量X的分布函数为E(X)=1，则D(X)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题意已知连续型随机变量X15.相互独立的随机变量X 1和X 2均服从正态分布D(|X 1—X 2 |)= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据题意随机变量X 1和X 2相互独立，且服从正态分布设Z=X 1—X 2，则Z～N(0，1)，其概率密度函数为φ(z)= D(|X 1 -X 2 |)=D(|Z|)=E(|Z| 2 )一E 2 |Z|=E(Z 2 )-E 2 |Z|=D(Z)+E2 (Z)一E 2 |Z|，显然，D(Z)=1，E(Z)=0．16.设随机变量X和Y X和Y的协方差Cov(X，Y)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一0．1）E(X)=0．5，E(Y)=(一1)×0．3+1×0．3=0． E(XY)=一P{XY=一1}+P{XY=1}=一0．2+0．1=一0．1． Coy(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=一0．1—0=一0．1．17.已知随机变量X的分布函数F(x)在x=1处连续，且F(1)=若EY= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据离散型随机变量期望公式计算．由于F(x)在x=1处连续，故E(Y)=aP{X＞1}+bP{X=1}+cP{X＜1} =a[1一P{X≤1}]+bP{X=1}+cP{18.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1出现的次数为Z，则EZ 2 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：根据题干可知(X，Y)的联合概率密度函数为令事件A=“X+Y≤1”，则Z是4次独立重复试验事件A发生的次数，故Z～B(4，P)，其中如图4—119.已知某自动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格产品的概率是0．1，如果用X表示两次调整之间生产出的产品数量，则EX= 1。
青岛大学考研真题—概率论与数理统计
一、(20分)概念题1）全概率公式与贝叶斯公式2）数学期待与方差3）点预计与区间预计4）回归分析与最小二乘法二、(15分) 计算题某电子设备发明厂所用的元件是由三家元件发明厂提供的的，按照以往的记录有以下数据：设这三家工厂的产品在仓库中是匀称混合的，且无区别的标志，问：1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为评价产品质量责任，求此次品出由三家工厂生产的概率分离是多少？三、（15分）证实题设随机变量独立，ξ且方差存在，则有与η22)()()(ηξηξηξξηE D D E D D D •+•+•=由此并可得ηξξηD D D •≥)(四、(15分) 计算题设二维随机变量），（ηξ的联合密度为 ⎩⎨⎧>>=--其它），（,00,0,43y x ke y x p y x问：1）求常数k;2）求相应的分布函数； 3）求），（2010<<<<ηξp 五、（15分）计算题设有A,B 两种不相关的证券，它们的收益与概率如下表：问：1）应如何投资这两种证券最佳（即要满意收益越大越好，风险越小越好）？2）若这两种证券相关，譬如相关系数5.0,-=B A ρ，结果又如何？六、 （15分）计算题假设某险种在投保时期内一共发生了N 次赔款，i ξ表示第i 次赔款额，则相应的赔款总量为：N S ξξξ+++=...21，其中N 为取非负整数值的随机变量，N ξξξ...,21，，具有相同的分布函数，且N,N ξξξ (21)，互相自立，问： 1）推导赔款总量S 的数学期待及方差公式；2）若N 顺从参数3=λ的泊松分布，第i 笔赔款额i ξ的分布列如下表：计算赔款总量S 的范围。
七、（15分）证实题设{}n ξ为自立同分布的随机变量序列，每个随机变量的期待为a ,且方差存在，证实：a k n n nk k →+∑=1)1(2ξ（依概率收敛）八、（20分）计算题设总体ξ～),(2σμN ，2,σμ为未知参数，（n ξξξ,...,,21）是来自总体ξ的一个样本，问： 1）2,σμ的矩预计； 2）2,σμ的极大似然预计；3）以上两个预计是否无偏预计？若不是如何修正？九、（20分）计算题 针对一元线性回归模型i i i i x y εεβα,++=～n i N ,...,2,1),,0(2=σ求其中参数βα，的最小二乘预计及2σ的无偏预计，其中n x x x ,...,,21不全相同。
考研数学三(选择题)高频考点模拟试卷20(题后含答案及解析)
考研数学三（选择题）高频考点模拟试卷20(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设函数f(x)=在(一∞，+∞)内连续，且=0，则常数a，b满足( )A．a<0，b<0。
B．a>0，b>0。
C．a≤0，b>0。
D．a≥0，b<0。
正确答案：D解析：因f(x)连续，故a+ebx≠0，因此只要a≥0即可。
再由=0．可知x→∞时，a+ebx必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需b则当x→0时f(x)是x 的A．等价无穷小B．二阶无穷小C．三阶无穷小D．四阶无穷小．正确答案：C解析：由题设[*]可知[*] 又有当x→0时[*]从而[*] 由于[*]故可知[*]即当x→0时f(x)是x的三阶无穷小．应选C．知识模块：函数、极限、连续3．设则x=0是f(x)的( )．A．连续点B．第一类间断点C．第二类间断点D．不能判断连续性的点正确答案：B解析：当x＞0时，当x=0时，当x＜0时，f(x)=x．因为f(0+0)=1，f(0—0)=0，所以x=0为f(x)的第一类间断点，选(B)．知识模块：函数、极限、连续4．曲线y＝【】A．没有渐近线．B．仅有水平渐近线．C．仅有铅直渐近线．D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．正确答案：D 涉及知识点：微积分5．设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X＞uα}=α，若P{|X|＜X}=α，则X等于( )A．B．C．D．正确答案：C解析：标准正态分布上α分位数的定义及条件P{X＞uα}=α与P{|X|＜x}=α，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图2—3及图2—4所示图形．如图2—4所示，根据标准正态分布的上α分位数的定义，可知，故选项C正确．知识模块：概率论与数理统计6．两曲线y=与y=ax2+b在点(2，)处相切，则( )A．B．C．D．正确答案：A解析：因两曲线相切于点(2，)，故相交于该点．将x=2，y=代入y=ax2+b 中得=4a+b，又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以=2ax，将x=2代入得知识模块：一元函数微分学7．设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则( )．A．α1，α2，α3线性相关B．α1，α2，α3线性无关C．α1可用β，α2，α3线性表示D．β可用α1,α2线性表示正确答案：C 涉及知识点：一元函数积分学8．微分方程y’’－4y＝x＋2的通解为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：微分方程y’’－4y＝0的特征方程为λ2－4＝0，特征值为－2，2，则方程y’’－4y＝0的通解为C1e－2x＋C2e2x，显然方程y’’－4y＝x＋2有特解，选(D)．知识模块：微积分9．设f(x)=，则( )A．f(x)在[1，+∞)单调增加．B．f(x)在[1，+∞)单调减少．C．f(x)在[1，+∞)为常数．D．f(x)在[1，+∞)为常数0．正确答案：C解析：按选项要求，先求f’(x)．又f(x)在[1，+∞)连续，则f(x)=常数=f(1)=故选C．知识模块：一元函数微分学10．设级数都发散，则( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：选(D)．因为0≤｜un｜≤｜un｜，0≤｜vn｜≤｜un｜＋｜vn｜，根据正项级数的比较审敛法知，知识模块：微积分11．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是A．α1-α2，α2-α3,α3-α1．B．α1+α2，α2+α3,α3+α1．C．α1-2α2，α2-2α3,α3-2α1．D．α1+2α2，α2+2α3,α3+2α1．正确答案：A 涉及知识点：一元函数积分学12．设f(x)在(－∞，＋∞)上有定义，x0≠0为函数f(x)的极大值点，则( )．A．x0为f(x)的驻点B．－x0为－f(－x)的极小值点C．－x0为－f(x)的极小值点D．对一切的x有f(x)≤f(x0)正确答案：B解析：因为y＝f(－x)的图像与y＝f(x)的图像关于y轴对称，所以－x0为f(－x)的极大值点，从而－x0为－f(－x)的极小值点，选(B)．知识模块：微积分13．累次积分可以写成( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可知，积分区域D为由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图4—3所示．该圆的直角坐标方程为故用直角坐标表示区域D为可见A、B、C均不正确，故选D．知识模块：多元函数微积分学14．设n维行向量α=()，矩阵A=E一αTα，B=E+2αTα，则AB=A．0．B．E．C．一E．D．E+αTα．正确答案：B解析：AB=(E一αTα)(E+2αTα)=E+2αTα一αTα一2αTααTα=E+αTα一2αT(ααT)α．注意ααT=，故AB=E．应选B．知识模块：线性代数15．函数z=f(x，y)=在(0，0)点( )A．连续，但偏导数不存在B．偏导数存在，但不可微C．可微D．偏导数存在且连续正确答案：B解析：从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手．由于=0，所以fˊx (0，0)=0，同理fˊy(0，0)=0．令α=△z－fˊx(0，0)△x－fˊy(0，0)△y=当(△x，△y)沿y=x趋于(0，0)点时≠0，即α不是ρ的高阶无穷小，因此f(x，y)在(0，0)点不可微，故选(B)．知识模块：多元函数微分学16．设矩阵A=(α1，α2，α3，α4)经行初等变换为矩阵B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则( )．A．β4不能由β1，β2，β3线性表示B．β4能由β1，β2，β3线性表示，但表示法不唯一C．β4能由β1，β2，β3线性表示，且表示法唯一D．β4能否由β1，β2，β3线性表示不能确定正确答案：C解析：因为α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，所以口。
考研数学三(概率统计)模拟试卷19(题后含答案及解析)
考研数学三（概率统计）模拟试卷19(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件A．A1，A2，A3相互独立B．A2，A3，A4相互独立C．A1，A2，A3两两独立D．A2，A3，A1两两独立正确答案：C解析：(本题的硬币应当设是“均匀”的)。
由题意易见：可见A1，A2，A3两两独立，故选(C)。
知识模块：概率与数理统计填空题2．设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1一2X2)2+b(3X3一4X4)2。
则当a=________，b=________时，统计量X服从χ2分布，其自由度为________。
正确答案：解析：∵E(X1一2X2)=EX1—2EX2=0D(X1一2X2)=DX1+4DX2=4+4×4=20E(3X3—4X4)=3EX3—4EX4=3×0—4×0=0D(3X3—4X4)=9DX3+16DX4=9X4+16×4=100与题目的X比较即得结果。
知识模块：概率与数理统计3．设总体X的概率密度为(一∞＜x＜+∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2=________。
正确答案：2解析：而E(S2)=DX，故ES2=2。
知识模块：概率与数理统计4．设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知。
记则假设H0：μ=0的t检验使用的统计量t________。
正确答案：解析：知识模块：概率与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求常数A及条件概率密度fY|X(y|x)。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件【】A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A．3p(1－p)2．B．6p(1－p)2．C．3p2(1－p)2．D．6p2(1－p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计3．(09年)设事件A与事件B互不相容，则【】A．P()＝0．B．P(AB)＝P(A)P(B)．C．P(A)＝1－P(B)．D．P()－1．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝【】A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：B解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)．故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A) 得P(A)＝＝06，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝0．5－0．6×0．5＝0．2．知识模块：概率论与数理统计5．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则【】A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．P(AB)≤．D．P(AB)≥．正确答案：C解析：由ABA，ABB得P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，两式相加即得：P(AB)≤．知识模块：概率论与数理统计6．(16年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)＝1，则【】A．P()＝1．B．P(A｜)＝0．C．P(A∪B)＝1．D．P(B｜A)＝1．正确答案：A解析：由1＝P(A｜B)＝，有P(B)＝P(AB) 于是知识模块：概率论与数理统计7．(90年)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：【】A．X－YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计8．(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)－φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有【】A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得故选B．知识模块：概率论与数理统计9．(95年)设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ) 【】A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝(1)Ф－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(89年)设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；解析：∵分布函数是右连续的，故得1＝Asin ∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计11．(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X＝3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计12．(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中p＝故知识模块：概率论与数理统计13．(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：∵P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若k≤0，则P(X≥k)＝1 若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X ≥k)＝若1≤k≤3，则P(X≥k)＝综上，可知K∈[1，3]．知识模块：概率论与数理统计14．(05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(Y＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得知识模块：概率论与数理统计15．(05年)设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：0．4；0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1)＝P{X＝0)P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计16．(06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______．正确答案：解析：由题意知X与Y的概率密度均为：则P(X≤1}＝P{Y≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ＝故P{max(X，Y)≤1}＝P{X≤1，y≤1}＝P{X≤1}P{y≤1}＝知识模块：概率论与数理统计17．(99年)设随机变量Xij(i＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，Eij＝2，则行列式Y＝的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，P1，…，Pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
303数学三大纲
303数学考研大纲考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22%四、试卷题型结构:单项选择题选题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质…考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质．》二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．—7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．.4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．>五、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解麦克劳林（Maclaurin）展开式．|六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．!7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵%考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容>向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解·考试要求1.会用克拉默法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求~1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．、概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布》考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量的分布考试内容'多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质~考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2．了解产生变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布的上侧分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量和估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。
概率论与数理统计考研真题_百度文库
考研真题一1.在电炉上安装了4个温控器,其显示温度的误差是随机的.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0,电炉就断电,以E表示事件"电炉断电",设为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值,则事件E等于( ).数三、四考研题2.设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是( ).(A)A与BC独立;(C)AB与AC独立;(B)AB与独立与独立.00数四考研题01数四考研题3.对于任意二事件A和B,与不等价的是( ).设A,B是任意二事件,其中A的概率不等于0和1,证明是事件A与B独立的充分必要条件.5.将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:掷第一次出现正面},则事件( ).(A)A1,A2,A3相互独立;(C)A1,A2,A3两两独立;6.对于任意两个事件A和B( ).(A)若则A,B一定独立;(C)若则A,B一定独立;(B)A2,A3,A4相互独立;(D)A2,A3,A4两两独立.03数四考研题02数四考研题掷第二次出现正面正、反面各出现一次正面出现两次},03数三考研题(B)若则A,B有可能独立;(D)若则A,B一定不独立.7.从数1,2,3,4中任取一个数, 记为X, 再从中任取一个数, 记为Y, 则三、四考研题.1.考研真题二1.设随机变量X的概率密度为,其它以Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数,则94数三考研题2.假设随机变量X的概率密度为,其它现在对X进行n次独立重复观测,以Vn表示观测值不大于0.1的次数.试求随机变量Vn的概率分布.94数四考研题3.设随机变量X服从正态分布2),则随的增大,概率95数三、四考研题(A)单调增大;(B)单调减少;(C)保持不变;(D)增减不定.4.假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂;以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂,以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求:(1)全部能出厂的概率(2)其中恰好有两件不能出厂的概率其中至少有两件不能出厂的概率95数三、四考研题5.假设随机变量X服从参数为2的指数分布,证明在区间(0,1)上服从均匀分布.95数四考研题6.一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件,第i个零件是不合格品的概率p1以X表示3个零件中合格品的个数,则96数四考研题.3.7.假设随机变量X的绝对值不大于4;在事件出现的条件下,X在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,试求X的分布函数97数三考研题8.设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布,随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分布.若59,则数四考研题9.假设随机变量X的绝对值不大于4;在事件出现的条件下,X在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求(1)X的分布函数取负值的概率p.97数四考研题10.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取( ).5;.98数三、四考研题11.设随机变量X的概率密度为其它若k使得3,则k的取值范围是__________.00数三考研题12.设随机变量X的概率密度为,其它F(x)是X的分布函数,求随机变量的分布函数.03数三、四考研题.4.则这两个数之差的绝对值小于12的07数三、四考研题.5. 考研真题三1.随机变量X和Y的联合分布是正方形上的均匀分布,试求随机变量的概率密度p(u).01数三考研题2.假设一设备开机后故障工作的时间X服从指数分布,平均无故障工作的时间(EX)为5小时.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机,试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y).02数三考研题3.设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y),求随机变量的概率密度g(u).03数三考研题4.设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布,在的条件下,随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布,求:(1)随机变量X和Y的联合概率密度;(2)Y的概率密度;(3)概率数四考研题5.设二维随机变量(X,Y)的概率分布XY0100.4a1b0.1若随机事件}与相互独立, 则数三考研题6.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为其它..6.13.在区间(0,1)中随机地取两个数,概率为____________.求:(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y);的概率密度fZ(z);数三、四考研题7.设二维随机变量(X,Y)的概率分布XY0100.4a1b0.1已知随机事件与相互独立, 则( ).05数四考研题设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0, 3]上的均匀分布,则数三考研题9.随机变量x的概率密度为06数三、四考研题其它令为二维随机变量(X ,Y)的分布函数,求:(1) Y的概率密度设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为( ).07数三、四考研题(A)fX(x); (B)fY(y); (C)fX(x)fY(y); (D)fX(x)f.Y(y)11.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为07数三、四考研题其它,.7.(Ⅰ)求Ⅱ)求的概率密度fz(z)..8.考研真题四1.设随机变量X在区间上服从均匀分布;随机变量若若若则方差00数三、四考研题2.设A,B是二随机事件;随机变量若A出现若A不出现若B出现;.若B不出现.试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.00数三、四考研题3.设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f1其中和都是二维正态密度函数,且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为113和它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零,方差都是1.(1)求随机变量X和Y的密度函数f1(x)和f2(y),及X和Y的相关系数可以直接利用二维正态密度的性质).(2)问X和Y是否独立?为什么?00数四考研题4.设随机变量X和Y的数学期望分别为和2,方差分别为1和4,而相关系数为则根据切比雪夫不等式P01数三考研题5.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977..9.其中是标准正态分布函数.)01数三、四考研题6.设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式01数四考研题7.设随机变量X和Y的联合分布是以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量的方差.01数四考研题8.设随机变量X和Y的联合概率分布为概YX0.080.320.20则X2和Y2的协方差02数三考研题9.假设随机变量U在区间上服从均匀分布,随机变量若若若若试求:(1)X和Y的联合概率分布;02数三考研题10.设随机变量X和Y的联合概率分布为概YX0.180.1510.080.320.20则X和Y的相关系数02数四考研题11.设随机变量相互独立则根据列维林德伯格中心极限定理,当n充分大时,Sn近似服从正态分布,只要02数四考研题(A)有相同的数学期望;(B)有相同的方差;(C)服从同一指数分布;(D)服从同一离散型分布..10.12.设随机变量X和Y都服从正态分布,且它们不相关,则( ).(A)X与Y一定独立;(B)(X,Y)服从二维正态分布;(C)X与Y未必独立;服从一维正态分布.03数四考研题13.设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若则Y与Z的相关系数为____________.03数三考研题14.设总体X服从参数为2的指数分布为来自总体Xn的简单随机样本,则当时1X2依概率收敛于__________.i03数三考研题15.设随机变量X和Y的相关系数为则E(X03数四考研题16.对于任意两个事件A和称做事件A和B的相关系数.(1)证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零;(2)利用随机变量相关系数的基本性质,证明数四考研题17.设随机变量X服从参数为的指数分布,则04数三考研题18.设A,B为两个随机事件,且,令发生,发生不发生,不发生.求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布;(2)X与Y的相关系数的概率分布.04数三、四考研题.11.19.设随机变量X服从参数为的指数分布,则04数四考研题20.设随机变量X独立同分布,且其方差为令随机变量1则( ).04数四考研题nn;21.设为独立同分布的随机变量列, 且均服从参数为的指数分布, 记为标准正态分布函数,则( ).05数四考研题22.设为独立同分布的随机变量, 且均服从N(0,1),记1nXi,求(1)Yi的方差(2)Y1与Yn的协方差05数四考研题23.设总体X的概率密度为x2e为总体的简单随机样本, 其样本方差S2, 则E(S2)=__________.06数三考研题24. 设随机变量X服从正态分布服从正态分布且则( )06数三、四考研题(A)(B)(C)(D)25. 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为06数四考研题XY00.1c其中a,b,c为常数,且x的数学期望记求:(1)a,b,c的值；(2)Z的概率分布；26.设随机变量X与Y独立同分布,且X的概率分布为07数四考研题X12P记求(Ⅰ)(U,V)的概率分布;(Ⅱ)U与V的协方差Cov(U,V)..13.考研真题五1.设是来自正态总体的简单随机样本,X是样本均值,记nn1n2则服从自由度为的t分布的随机变量是( ).94数三考研题;s4/n.2.设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32),而和分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则统计量9服从_______分布,参数为_______. 97数三考研题3.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,则当时,统计量X 服从分布,其自由度为________. 98数三考研题4.在天平上重复称量一重为a 的物品,假设各次称量结果相互独立且同 服从正态分布N(a,0.22).若以Xn 表示n 次称量结果的算术平均值,则为使n 的最小值应不小于自然数_________. 99数三考研题 5.设是来自正态总体X 的简单随机样本, .14.9证明统计量Z 服从自由度为2的t 分布.99数三考研题6.设总体X 服从正态分布N(0,22),而是来自总体X 的简单随机样本,则随机变量 2服从_________分布,参数为___________.01数三考研题7.设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布,则( ).02数三考研题服从正态分布服从分布; (C)X2和Y2都服从分布;(D)X2/Y2服从F 分布.8.设随机变量X 服从正态分布N(0,1),对给定的数满足若则x 等于( ).04数三、四考研题229.设总体X服从正态分布总体Y服从正态分布和分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则数三考研题10.设随机变量X的分布函数为,.15.其中参数设为来自总体X的简单随机样本,(1)当时,求未知参数的矩估计量;(2)当时,求未知参数的最大似然估计量;(3)当时,求未知参数的最大似然估计量.04数三考研题.16.考研真题六1.设由来自正态总体容量为9的简单随机样本,得样本均值则未知参数的置信度为0.95的置信区间是_______.96数三考研题2.假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体X的简单随机样本值.已知服从正态分布(1)求X的数学期望EX(记EX为b);(2)求的置信度为0.95的置信区间;(3)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.00数三考研题3.设总体X的概率密度为,若若而是来自总体X的简单随机样本,则未知参数的矩估计量为_______.02数三考研题4.设一批零件的长度服从正态分布其中均未知. 现从中随机抽取16个零件, 测得样本均值样本标准差则的置信度为0.90的置信区间是( ).05数三考研题;;.5.设为来自总体的简单随机样本, 其样本均值为,记.17.(1)求Yi的方差求Y1与Yn的协方差cov(Y1,Yn);(3)若是的无偏估计量, 求常数c.05数三考研题设总体X的概率密度为其中是未知其它参数为来自总体的随机样本,记N为样本值x1, 中小于1的个数, 求的最大似然估计.06数三考研题7.设总体X的概率密度为0,其它其中参数未知是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值.(Ⅰ)求参数的矩估计量;(Ⅱ)判断4X2是否为的无偏估计量,并说明理由.07数三考研题.18.,其中参数的t检验使95数三考研题.19. 考研真题答案考研真题一1.C.2.A.3.D.5.C.6.B.7.13/48.8.C.考研真题二1.9/64.2.Cmn(0.01)m(0.99)若若若若若若若若若考研真题三其它其它其它其它其它.20.考研真题七1.设是来自正态总体的简单随机样本n1n22和未知,记则假设用统计量;(3)34.其它7.B.8.1983;(3)14.其它11.(Ⅰ)724;(Ⅱ0,其它考研真题四1.89.23.(1)f1e22e;(2)不独立.4.1/12.5.98.6.1/12.7.1/18.9.(1)(2)2.11/21/410.0.11.C.12.C.13.0.9.14.1/2.15.6.17.1.18.(1)XY01;Z0102/31/12(2)15;(3)2P2/31/41/12.11/61/1219.1/e.20.C.21.C.22.(1);12..21.23.2.24.A.1210.10.50.30; (3)0.4.P0.V26.(Ⅰ)U121;(Ⅱ) 4081.241考研真题五1.B.2.t;9.3.1/20,1/100,2.4.16.210.(1)n;(2)n;考研真题六1.(4.412,5.588n3.4.C.5.(1)n.6.N. 7.(Ⅰ)12;(Ⅱ)不是.考研真题七1.XQ.22.。
考研数学三概率论与数理统计(大数定律和中心极限定理)模拟试卷1
考研数学三概率论与数理统计（大数定律和中心极限定理）模拟试卷1(总分：86.00，做题时间：90分钟)一、<B>选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
</B>(总题数：10，分数：20.00)1.设随机变量X 1，X 2，…，X n相互独立，S n =X 1 +X 2+…+X N，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时S N近似服从正态分布，只要X 1，X 2，…，X N（分数：2.00）A.有相同期望和方差．B.服从同一离散型分布．C.服从同一均匀分布．√D.服从同一连续型分布．解析：解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X 1，X 2，…，X n独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在。
选项(A)不成立，因为X 1，X 2，…，X n有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立．2.假设随机变量X 1，X 2，…相互独立且服从同参数A的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是（分数：2.00）A.X 1，X 2，…，X n，…B.X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…C.X 1，2X 2，…nX n,…√解析：解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的．显然无论是X 1，…，X n，…，还是X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…；X 1，2X 2，…，nX n，…以及X 1，都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在．由于EX n =λ，DX2λ，．因此四个备选答案都n =λ，E(X n +n)=λ+n，D(X n +n)=λ，E(nX n )=nλ，D(nX n )=n满足第二个条件；第三个条件是方差DX 1，…，DX n，…有公共上界，即DX n＜c，c是与n无关的常数．对于(A)=DX n =λ＜λ+1；对于(B)：D(X n +n)=DX n =λ＜λ+1；对于(C)：D(nX n )=n 2 DX n =n 2λ没有公共上界；对于(D)：综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．3.设随机变量序列X 1，…X n，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n→∞时学期望，只要{X n，n≥1}（分数：2.00）A.有相同的数学期望．B.有相同的方差．C.服从同一泊松分布．√D.服从同一连续型分布，一∞＜x＜+∞)．解析：解析：辛钦大数定律要求：{X n，n≥1}独立同分布且数学期望存在．选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)．4.设X n表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：5.设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数F α (3，4)满足P{X＞F α (3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，则x=（分数：2.00）√C.F α (4，3)．D.F 1-α (4，3)．解析：解析：因X～F(3，4)，故～F(4，3)．又1一α=P{X≤x}=P{X＜x}= 所以=F 1-α(4，3)，即因此选(A)．6.设X 1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体N(0，2 2 )的简单随机样本，记Y=a(X 1一2X 2 ) 2 +b(3X 3—4x2，其中a，b为常数．已知Y～χ2 (n)，则4 )（分数：2.00）A.n必为2．B.n必为4．C.n为1或2．√D.n为2或4．解析：解析：依题意X i～N(0，2 2 )且相互独立，所以X 1 -2X 2～N(0，20)，3X 3—4X 4～N(0，100)，且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知(1)当时，Y～χ2(2)；(2)当b=0，或a=0，时，Y～χ2 (1)．由上可知，n=1或2，即应选(C)．7.设X 1，X 2，…，X n是来自标准正态总体的简单随机样本，S 2为样本均值和样本方差，则（分数：2.00）服从自由度为n一1的χ2分布．D.(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布．√解析：解析：显然，(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布，故应选(D)．其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体，由于X 1，X 2，…，X n相互独立并且都服从标准正态分布，可见服从自由度为n的χ2分布．8.设随机变量X～t(n)(n＞1)，（分数：2.00）A.Y～χ2 (n)．B.Y～χ2 (n一1)．C.Y～F(n，1)．√D.Y～F(1，n)．解析：解析：根据t分布的性质，如果随机变量X～t(n)，则X 2～F(1，n)，又根据F分布的性质，如果X 2～F(1，n)，则～F(n，1)．因此～F(n，1)，故应选(C)．9.设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义t α满足P{X≤t α }=1一α(0＜α＜1)．若已知P{|X|＞x}=b(b＞0)，则x等于（分数：2.00）A.t 1-b．C.t b．√解析：解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0．从而P{X≤x}=1一P{X＞x}= 根据题设定义P{X≤t α }=1一α，可知应选(D)．10.假设总体X的方差DX存在，X 1，…，X n是取自总体X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，则EX 2的矩估计量是（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：按定义，EX 2的矩估计量是由于所以EX 2的矩估计量，选(D)．二、填空题(总题数：20，分数：40.00)11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n 1。
《概率论》考研试题
2005-2012年全国硕士研究生入学统一考试概率论与数理统计部分试题2012考研数学(三)一、选择题（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则+ΡΧΥ≤22｛1｝()（A）14（B）12（C）8π（D）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X −的分布()（A）N （0，1）（B）(1)t （C）2(1)χ（D）(1,1)F 二、填空题（14）设,,A B C 是随机事件，,A C 互不相容，11(),(),23P AB P C ==则(C)P ΑΒ=_________.三、解答题（22）已知随机变量X ,Y 以及XY 的分布律如下表所示：X 012P121316Y 012P131313XY 0124P712130112求（1）(2)P X Y =;（2）cov(,)XY X Y Y −ρ与.（23）设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度；（2）()E U V +.2012数学（一）一、选择题（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}=<Y X P (A)51(B)31(C)52(D)54(8)将长为1m 的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为（）（A）1（B）21（C）-21（D）-1二、填空题(14)设C B A ,,是随机文件，A 与C 互不相容，()()11,,()23P AB P C P AB C ===三、解答题(22)设二维随机变量X 01201/401/4101/3021/121/12(Ⅰ)求{}Y X P 2=(Ⅱ)求()Y Y X Cov ,−.（23）设随机变量X 与Y 相互独立分别服从正态分布()2,σµN 与()22,σµN ，其中σ是未知参数且0>σ。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(16年)设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝【】A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与Y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－[E(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计2．(94年)设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，是样本均值，记则服从自由度为n－1的t分布的随机变量是【】A．B．C．D．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计3．(02年)设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则【】A．X＋Y服从正态分布．B．X2＋Y2服从Z2分布．C．X2和Y2都服从χ2分布．D．X2／Y2服从F分布．正确答案：C解析：∵X～N(0，1)，Y～N(0，1)∴X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计4．(11年)设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn(n ≥2)为来自该总体的简单随机样本．则对于统计量T1＝和T2＝，有【】A．ET1＞ET2，DT1＞DT2．B．ET1＞ET2，DT1＜DT2．C．ET1＜ET2，DT1＞DT2．D．ET1＜ET2，DT1＜DT2．正确答案：D解析：由题意知X1，X2，…，Xn独立同分布，EXi＝DXi＝λ，i＝1，2，…，n．故：可见ET1＜ET2，DT1＜DT2，故选D．知识模块：概率论与数理统计5．(12年)设X1，X2，X3，X4为来自总体N(1，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量的分布为【】A．N(0，1)B．t(1)C．χ2(1)D．F(1，1)正确答案：B解析：由题意得：E(X1－X2)＝EX1－EX2＝1－1＝0，D(X1－X2)＝DX1＋DX2＝σ2＋σ2＝2σ2，∴X1－X2～N(0，2σ2) 同理，E(X3＋E4)＝EX3＋EX4＝1＋1＝2，D(X3＋X4)＝DX3＋DX4＝2σ2，∴X3＋X4～N(2，2σ2) 又∵X1－X2与X3＋X4独立，故知识模块：概率论与数理统计6．(14年)设X1，X2，X3为来自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，则统计量S＝服从的分布为【】A．F(1，1)B．F(2，1)C．t(1)D．t(2)正确答案：C解析：由题意可知：X1－X2～N(0，2σ)，∴～N(0，1) 又：～N(0，1)，∴～χ2(1)且X3与X1－X2独立，故～t(1) 即S～t(1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计7．(15年)设总体X～B(m，θ)，X1，X2，…，Xn为来自该总体的简单随机样本，一为样本均值，则【】A．(m－1)nθ(1－θ)．B．m(n－1)θ(1－θ)．C．(m－1)(n－1)θ(1－θ)．D．mmθ(1－θ)．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计8．(92年)设n个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则【】A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计9．(05年)设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是【】A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(10年)设X1，X2，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)(σ＞0)的简单随机样本．记统计量T＝，则ET＝_______．正确答案：σ2＋μ2解析：由题意知EXi＝μ，DXi＝σ2，∴EXi2＝DXi十(EXi)2＝σ2＋μ2，i＝1，2，…，n．故ET＝＝σ2＋μ2．知识模块：概率论与数理统计11．(14年)设总体X的概率密度为其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．若＝θ2，则c＝_______．正确答案：解析：由题意得：故c＝知识模块：概率论与数理统计12．(93年)设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为_______．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计13．(96年)设由来自正态总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588)解析：由题意知X～N(μ，) ∴～N(0，1) 故0．95＝＝P{－0．3×u0．975＜μ＜＋0．3×u0．975 而u0．975＝1．96，＝5，故得μ的置信度为0．95的置信区间为(5－0．3×1．96，5＋0．3×1．96)＝(4．412，5．588) 知识模块：概率论与数理统计14．(02年)设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：解析：知识模块：概率论与数理统计15．(06年)设总体X的概率密度为f(χ)＝(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2＝_______．正确答案：2 涉及知识点：概率论与数理统计16．(95年)设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．(89年)设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(三)题库 概率论与数理统计(第八章 假设检验)打印版【圣才出品】
第八章 假设检验一、选择题1．设总体X ～N （μ0，σ2），μ0未知，X 1，X 2，…，X n 为来自正态总体X 的样本，记X ＿为样本均值，S 2为样本方差，对假设检验H 0：σ≥2；H 1：σ＜2，应取检验统计量χ2为（ ）。
A ．（n －1）S 2/8B ．（n －1）S 2/6C ．（n －1）S 2/4D ．（n －1）S 2/2【答案】C【解析】χ2＝（n －1）S 2/σ2，，σ＝2。
2．在假设检验中，H 0表示原假设，H 1表示备择假设，则犯第一类错误的情况为（）。
A ．H 1真，接受H 1B ．H 1不真，接受H 1C ．H 1真，拒绝H 1D ．H 1不真，拒绝H 1【答案】B【解析】第一类错误：H 0为真，H 1非真，但是接受了H 1否定了H 0。
二、填空题()22111ni i S X X n ==--∑1．设X 1，X 2，…X 16是来自正态总体N （μ，22）的样本，样本均值为X ＿，则在显著性水平α＝0.05下检验假设H 0：μ＝5；H 1：μ≠5的拒绝域为____。
【答案】{|X ＿－5|≥0.98}【解析】已知σ2＝σ02＝22，设检验H 0：μ＝μ0；H 1：μ≠μ0，取检验统计量为，|u|≥u 1－α/2为拒绝域，其中，又u 1－α/2＝1.96，所以拒绝域为{|X ＿－5|≥0.98}。
2．设X 1，X 2，…，X n 是来自正态总体N （μ，σ2）的样本，其中参数μ和σ2未知，记，，则假设H 0：μ＝0的t 检验使用的统计量T ＝____。
【解析】，其中又μ＝0，S 2＝Q 2/（n －1），所以3．设总体X ～N （μ0，σ2），μ0为已知常数，（X 1，X 2，…，X n ）为来自正态总体X 的样本，则检验假设H 0：σ2＝σ02；H 1：σ2≠σ02的统计量是____；当H 0成立时，服从____分()0X U μσ-=)52X u -=11ni i X X n ==∑()221n i i Q X X ==-∑X ()1X T t n Sμ-=-()22111n i i S X X n ==--∑X T =布。
考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷19
考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷19(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A，B，C为随机事件，且A发生必导致B与C最多有一个发生，则有（（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：解析：B与C最多有一个发生（即B与C同时发生的反面）等价于事件。
当A发生时必导致B与C，故选C。
3.设A，B为随机事件，P（B）＞0，则（）（分数：2.00）A.P（A∪B）≥P（A）+P（B）B.P（A—B）≥P（A）—P（B）√C.P（AB）≥P（A）P（B）D.P（A|B解析：解析：根据概率运算性质可知，P（A∪B）=P（A）+P（B）一P（AB）≤P（A）+P（B），选项A不成立。
P（A—B）=P（A）—P（AB）≥P（A）—P（B），故正确选项为B。
而P（A|B）B，则P（A8）=P（A）≥P（A）P（B）。
4.设随机事件A，B，C两两独立，且P（A），P（B），P（C）∈（0，1），则必有（）（分数：2.00）A.C与A—B独立B.C与A—B不独立C.A∪C与D.A∪C与√解析：解析：对于选项A、B：P（C（A—B））=P（A C）=P（AC）—P（ABC）=P（A）P（C）—P（ABC），P（C）P（A—B）=P（C）[P（A）一P（AB）]=P（A）P（C）一P（A）P（B）P（C）。
尽管A，B，C两两独立，但未知A，B，C是否相互独立，从而不能判定P（ABC）=P（A）P（B）P（C）是否成立，故选项A、B与题设P（A），P（B），P（C）∈（0，1）矛盾，所以排除C选项，故选D。
2006年全国考研数学三真题及答案.doc
2006年考研数学三真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。
）(1)。
【答案】。
【解析】【方法一】记因为且故。
【方法二】而无穷小量，为有界变量，则原式。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算(2)设函数在的某领域内可导，且则。
【答案】。
【解析】本题主要考查复合函数求导。
由知。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数(3)设函数可微，且则在点处的全微分。
【答案】。
【解析】因为, 所以。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分(4)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则___________。
【答案】2。
【解析】因为，所以。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—矩阵的线性运算(5)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则___________。
【答案】。
【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。
事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布(6)设总体的概率密度为为总体的随机简单样本，其样本方差为则_______。
【答案】。
【解析】。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A)(B)(C)(C)【答案】A。
【解析】【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图由图可得【方法二】由凹曲线的性质，得，于是，即综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义(8)设函数在处连续，且则(A)且存在(B)且存在(C)且存在(D)且存在【答案】C。
考研数学三概率论与数理统计历年真题试卷汇编16_真题-无答案
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编16(总分150,考试时间180分钟)选择题1. 1.[2007年] 设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下X的条件密度fX|Y(x|y)为( )．A. fX(x)B. fY(y)C. fX(x)fY(y)D. fX(x)／fY(y)2. 2.[2009年] 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布P(Y=0)=P(Y=1)=1／2．记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断点的个数为( )．A. 0B. 1C. 2D. 33. 3.[2012年] 设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)内的均匀分布，则P{X2+Y2≤1}=( )．A. 1／4B. 1／2C. π／8D. π／44. 4.[2016年] 设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)=( )．A. 6B. 8C. 14D. 155. 5.[2008年] 设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则( )．A. P(Y=－2X－1)=1B. P(Y=2X－1)=1C. P(Y=－2X+1)=1D. P(Y=2X+1)=16. 6.[2002年] 设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则( )．A. X+Y服从正态分布B. X2+Y2服从χ2分布C. X2和Y2都服从χ2分布D. X2／Y2服从F分布填空题7. 7.[2015年]设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y＜0)=___________．8. 8.[2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则a=__________，b=___________．9. 9.[2013年] 设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2x)=_________．10. 10.[2011年] 设二维随机变量(X，Y)服从N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=_____________．11. 11.[2002年] 设随机变量X和y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)=___________．12. 12.[2003年] 设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=X－0．4，则Y和Z的相关系数为_________．13. 13.[2001年] 设随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式P(|X+Y|≥6)≤_________．解答题14. 14.[2003年] 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)．[2008年] 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=i)=1／3(i=－1，0，1)，Y的概率密度为记Z=X+Y.15. 15.求P(Z≤1／2|X=0)；16. 16.求Z的概率密度fZ(z)．[2016年] 设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0＜x＜1，}上服从均匀分布，令17. 17.写出(X，Y)的概率密度；18. 18.问U与X是否相互独立?并说明理由．19. 19.求Z=U+X的分布函数FZ(z)．[2017年] 设随机变量X，Y相互独立，Y的概率密度为20. 20.求P{Y≤E(y)}；21. 21.求Z=X+Y的概率密度．[2013年] 设(X，Y)是二维随机变量，X的边缘概率密度为在给定X=x(0＜x＜1)的条件下，Y的条件概率密度为22. 22.求(X，Y)的概率密度f(x，y)；23. 23.求Y的边缘概率密度fY(y)；24. 24.求P(X＞2y)．[2009年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为25. 25.求条件概率密度fY|X(y|x)；26. 26.求条件概率P(X≤1 |Y≤1)．[2006年] 设随机变量X的概率密度为令Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数．求：27. 27.Y的概率密度函数fY(y)；28. 28.cov(X，Y)；29. 29.F(－1／2，4)．[2015年] 设总体X的概率密度为：其中θ为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自该总体的简单随机样本．30. 30.求θ的矩估计量；31. 31.求θ的最大似然估计量．。
考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(二).doc
考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(二)(总分：108.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：54，分数：108.00)1.设矩阵A的秩为t，则秩r(A T A)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________2.已知（分数：2.00）填空项1:__________________3.已知三阶矩阵A的特征值是（分数：2.00）填空项1:__________________4.设A是主对角线元素之和为-5的三阶矩阵，且满足A2+2A-3E=0，那么矩阵A的三个特征值是______．（分数：2.00）填空项1:__________________5.已知α(a，1，1)T是矩阵A=（分数：2.00）填空项1:__________________6.设α=(1，-1，a)T是（分数：2.00）填空项1:__________________7.设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，且Aα1=α1，Aα2=-α3，Aα3=α2+2α3则矩阵A的三个特征值是______．（分数：2.00）填空项1:__________________8.已知α是3维列向量，αT是α的转置，若矩阵ααT相似于（分数：2.00）填空项1:__________________9.已知A是三阶方阵，其特征值分别为1，2，一3，则行列式|A|中主对角线元素的代数余子式之和A11+A22+A33=______．（分数：2.00）填空项1:__________________10.设（分数：2.00）填空项1:__________________11.已知A是三阶实对称矩阵，特征值是1，3，-2，其中α1=(1，2，-2)T，α2=(4，-1，a)T分别是属于特征值λ=1与λ=3的特征向量，那么矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量是______．（分数：2.00）填空项1:__________________12.设A是三阶实对称矩阵，存在正交阵Q=[ξ1，ξ2，ξ3]，使得Q-1AQ=Q T AQ=，则矩阵B=A-ξ1（分数：2.00）填空项1:__________________13.设α=(1，-1,a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是______．（分数：2.00）填空项1:__________________14.已知矩阵（分数：2.00）填空项1:__________________15.已知A是四阶实对称矩阵，秩r(A)=3，矩阵A满足A4-A3-A2-2A=O则与A相似的对角矩阵是______．（分数：2.00）填空项1:__________________16.已知矩阵（分数：2.00）填空项1:__________________17.A是三阶矩阵，ξ，α，β是三个三维线性无关的列向量，其中Ax=0有解ξ，Ax=β有解α，Ax=α有解β，则A～______．（分数：2.00）填空项1:__________________18.设f(x1，x2)=（分数：2.00）填空项1:__________________19.已知三元二次型f(x1，x2，x3)=（分数：2.00）填空项1:__________________20.二次型f(x1，x2，x3，x4)=（分数：2.00）填空项1:__________________21.已知二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax=2x12+2x22+ax23+4x1x3+2tx2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=y12+2y22+7y32，则t=______．（分数：2.00）填空项1:__________________22.若二次型f(x1，x2，x3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3是正定的，则a的取值范围是______．（分数：2.00）填空项1:__________________23.设α=(1，0，1)T，A=ααT，若B=(kE+A)*是正定矩阵，则k的取值范围是______．（分数：2.00）填空项1:__________________24.已知矩阵与二次型x T Bx=（分数：2.00）填空项1:__________________25.已知（分数：2.00）填空项1:__________________26.设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A-6E，保证kE+A是正定阵，则k的取值范围是______．（分数：2.00）填空项1:__________________27.设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=-aE+A T A是正定阵，则a的取值范围是______．（分数：2.00）填空项1:__________________28.设两个相互独立事件A与B至少有一个发生的概率为（分数：2.00）填空项1:__________________29.已知事件A与B相互独立，P(A)=a，p(B)=b．如果事件C发生必然导致事件A与B同时发生，则A，B，C都不发生的概率为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________30.已知事件A、B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A，B至少有一个不发生的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________31.10个同规格的零件中混入3个次品，现进行逐个检查，则查完5个零件时正好查出3个次品的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________32.设A，B，C是两两相互独立且三事件不能同时发生的随机事件，且它们的概率相等．即P(A∪B∪C)的最大值为______．（分数：2.00）填空项1:__________________33.已知甲袋有3个白球，6个黑球，乙袋有5个白球，4个黑球．先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球放回甲袋，则甲袋中白球数不变的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________34.考试时有四道单项选择题，每题附有四个答案，现随意选择每题的答案，那么至少答对一道题的概率α=______；已知答对某道题，那么确实知道解答该题的概率β=______．（分数：2.00）填空项1:__________________35.将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现二次的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________36.已知每次试验“成功”的概率为p，现进行n次独立试验，则在没有全部“失败”的条件下，“成功”不止一次的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________37.在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积小于（分数：2.00）填空项1:__________________38.某种产品由自动生产线进行生产，一旦出现不合格品就立即对其进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格品的概率为0.1．那么两次调整之间至少生产3件产品的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________39.袋中有8个球，其中3个白球5个黑球，现随意从中取出4个球，如果4个球中有2个白球2个黑球，试验停止．否则将4个球放回袋中，重新抽取4个球，直到出现2个白球2个黑球为止．用X表示抽取次数，则PX=k=______(k=1，2，…)．（分数：2.00）填空项1:__________________40.假设X服从参数为λ的指数分布，对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为（分数：2.00）填空项1:__________________41.假设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且X落入区间(1，2)内的概率达到最大，则λ=______．（分数：2.00）填空项1:__________________42.一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布．系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作．那么到48小时为止，系统仅更换一个元件的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________43.设随机变量X～N(μ，σ2)，σ＞0，设其分布函数F(x)的曲线的拐点坐标必为______．（分数：2.00）填空项1:__________________44.已知X的概率密度f(x)=（分数：2.00）填空项1:__________________45.假设随机变量X的密度函数f(x)=(x∈R,b，c为常数)在x=1处取最大值，则概率（分数：2.00）填空项1:__________________46.设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的概率分布密度f Y(y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________47.从1，2，…，N(N＞3)这N个数中任取三个数，记这三个数中中间大小的数为X，则随机变量X的分布律PX=k= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________48.设随机变量X的概率分布PX=k)=，k=1，2，…．其中a为常数，X的分布函数为F(x)，已知F(b)=（分数：2.00）填空项1:__________________49.设X是服从参数为2的指数分布的随机变量，则随机变量Y=X-（分数：2.00）填空项1:__________________50.设随机变量X～N(μ，σ2)(σ＞0)，其分布函数为F(x)，则有F(μ+xσ)+F(μ-xσ)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________51.设随机变量X服从参数为1的指数分布，随机变量函数Y=1-e-X的分布函数为F Y(y)，则F Y(（分数：2.00）填空项1:__________________52.已知随机变量X与Y都服从正态分布N(μ，σ2)，如果Pmax(X，Y)＞μ=a(0＜a＜1)，则Pmin(X，Y)≤μ等于______．（分数：2.00）填空项1:__________________53.设X～N(μ，σ2)，Y～N(2μ，)，X与Y相互独立，已知PX-Y≥1=（分数：2.00）填空项1:__________________54.假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立且都服从0-1分布：PX i-1=p，PX i=0=1-p(i=1，2，3，4，0＜p＜1)，已知二阶行列式的值大于零的概率等于（分数：2.00）填空项1:__________________。
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考研数学三（概率论与数理统计）-试卷20(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设二维随机变量(X 1，X 2 )的密度函数为f 1 (x 1，x 2 )，则随机变量(Y 1，Y 2 )(其中Y 1 =2X 1，Y 2 = )的概率密度f 2 (y 1，y 2 )等于（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：设(X 1，X 2 )的分布为F 1 (x 1，x 2 )，(Y 1，Y 2 )的分布为F 2 (y 1，y 2 )．故选项B正确．3.设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则( )（分数：2.00）A.X与Y一定独立．B.(X，Y)服从二维正态分布．C.X与Y未必独立．√D.X+Y服从一维正态分布．解析：解析：因为只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X与Y与Y相互独立．本题已知X 和Y服从正态分布，不能推得(X，Y)服从二维正态分布，因此由不相关推不出X与Y一定独立，故排除选项A．若X和Y都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但由题设并不知道X和Y是否相互独立，故排除选项B．同样，当X和Y都服从正态分布且相互独立时，才能推出X+Y服从一维正态分布，又排除选项D．综上可知，选择C．4.设相互独立的两随机变量X，Y均服从[0，3]上的均匀分布，则P{1＜max(X，Y)≤2}的值为（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：P{1＜max(X，Y)≤2}=P{max(X，Y)≤2}一P{max(X，Y)≤1} =P{X≤2，Y≤2}一P{X≤1，Y≤1}=P{X≤2}P{Y≤2}一故选项C正确．5.设相互独立的两随机变量X和Y分别服从E(λ)(λ＞0)和E(λ+2)分布，则P{min(X，Y)＞1}的值为( ) （分数：2.00）A.e -(λ+1)B.1一e -(λ+1)C.e -2(λ+1)√D.1一e -2(λ+1)．解析：解析：P{min(X，Y)＞1}=P{X＞1，Y＞1}=P{X＞1}P{Y＞1} =e -λ.e -(λ+2)=e -2(λ+1)．故选项C正确．6.设相互独立的两随机变量X，Y，均服从E(1)分布，则P{1＜min(X，Y)≤2}的值为( )（分数：2.00）A.e -1一e -2B.1一e -1C.1一e -2D.e -2一e -4．√解析：解析：P{1＜min(X，Y)≤2}=P{min(X，Y)＞1}一P{min(X，Y)＞2} =P{X＞1，Y＞1}一P{X＞2，Y＞2} =P{X＞1}P{Y＞1}一P{X＞2}P{Y＞2} =e -1 .e -1—e -2 .e -2 =e -2—e -4．故选项D正确．7.设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若X与Y不相关，则X 2与Y 2不相关．B.若X 2与Y 3不相关，则X与Y不相关．C.若X与Y均服从正态分布，则X与Y独立和X与Y不相关等价．D.若X与Y均服从0—1两点分布，则X与Y独立和X与Y不相关等价．√解析：解析：对于选项D：设X～B(1，p)，Y～B(1，Q)，当X与Y独立时X与Y不相关．反之，当X与Y不相关，即E(XY)=E(X)E(Y)=pq由此可知X与Y独立．故此时X与Y独立和X 与Y不相关等价，故选项D正确．根据不相关的性质可排除选项A和B．对于选项C，当X与Y均服从正态分布时，(X，Y)未必服从二维正态分布，故选项C不正确．8.设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12 )，Y服从正态分布N(μ2，σ22 )，且P{|X一μ1 | ＜1}＞P{|Y—μ2 | ＜1}．则必有( )（分数：2.00）A.σ1＜σ2．√B.σ1＞σ2．C.μ1＜μ2．D.μ1＞μ2．9.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关f X (x),f Y (y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y，条件下，X的条件概率密度f X|Y (x|y)为( )（分数：2.00）A.f X (x)．√B.f Y (y)．C.f X (x)f Y (y)．解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，那么X与Y独立，且f(x，y)=f X(x)f Y(y)．则故正确答案为A．10.随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Z=max{X，Y}的分布函数为( )（分数：2.00）A.F 2 (x)．√B.F(x)F(y)．C.1一[1一F(x)] 2．D.[1一F(x)][1一F(y)]．解析：解析：设Z的分布函数为F z(z)，则F Z(x)=P(Z≤x)=P{max{X，Y}≤x}=P(X≤x)P(Y≤x)=F 2(x)．故选项A正确．11.设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为记F Z (z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数F Z (z)的间断点个数为( )（分数：2.00）A.0．B.1．√C.2．D.3．解析：解析：根据题意可知， F Z(z)=P(XY≤z)=P(XY≤z|Y=0)P(Y=0)+P(XY≤z|Y=1)P(Y=1) = 一[P(XY≤z|Y=0)+P(XY≤z|Y=1)]，由于X，Y独立，所以所以z=0为间断点，因此选项B正确．12.设F 1 (x)，F 2 (x)为两个分布函数，其相应的概率密度f 1 (x)与f 2 (x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)．B.2f 2 (x)F 1 (x)．C.f 1 (x)F 2 (x)．D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 1 (x)．√解析：解析：因为f 1 (x)与f 2 (x)均为连续函数，故它们的分布函数F 1 (x)与F 2 (x)也连续．根据概率密度的性质，应有f(x)非负，且∫ -∞+∞ f(x)dx=1．在四个选项中，只有D项满足．∫ -∞+∞ [f 1 (x)F2 (x)+f 2 (x)F 1(x)]dx =∫ -∞+∞ [F1 (x)F 2(x)]’dx =F 1 (x)F2 (x)| -∞+∞ =1—0=1，故选项D正确．二、填空题(总题数：11，分数：22.00)13.已知(X，Y)的联合概率密度为f(x， 1。
（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：F(1，1)）解析：解析：根据题设可知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为故X～N(0，2 2)，Y～N(1，3 2)，X与Y的相关系数ρ=0，所以X与Y独立，N(0，1)，根据F分布典型模式知14.设随机变量X与Y0一1分布，则随机变量Z=max{X，Y}的分布律为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据题意显然Z也是离散型随机变量，只取0，1两个值，且P{Z=0}=P{max(X，Y)=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=P{Z=1}=1一P{Z=0}=所以Z15.设随机变量X和Y X的分布函数F(x)为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据题意分布函数F(x)是F(x，y)的边缘分布函数，所以F(x)=F(x，+∞)=F(x，1)，因此F(x)=16.已知随机变量X与Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，记Z=max(X，Y)，则(X，Z)的联合分布函数F(x，z)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：已知X与Y独立且有相同分布F(x)，所以(X，Z)的联合分布函数F(x，z)=P{X≤x，max(X，17.设(X，Y) ～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则P{X＜Y}= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）18.已知随机变量X与Y的联合概率分布为P{X+Y=1} =0．4，则α= 1；β= 2；P{X+Y＜1} = 3；P{X 2 Y 2 =1}= 4．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0．3）填空项1:__________________ （正确答案：0．1）填空项1:__________________ （正确答案：0．4）填空项1:__________________ （正确答案：0．3）解析：解析：根据题意得知，0．1+0．2+α+β+0．1+0．2=1及P{X+Y=1}=P{X=0，Y=1} +P{X=1，Y=0}=α+0．1=0．4解得α=0．3，β=0．1，于是 P{X+Y＜=P{X=0，Y=一1}+P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=一1}=0．1+0．2+0．1=0．4： P{X 2 Y 2 =1}=P{X=1，Y=一1}+P{X=1，Y=1}=0．1+0．2=0．3．19.已知随机变量X与Y均服从0—1分布，且P{X+Y≤1}= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为X与Y均服从0一1分布，可以列出(X，Y)20.已知n维向量α1，α2，α3线性无关，则α1 +α2，α2 +2α3，Xα3 +Yα1线性相关的概率为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为α1，α2，α3线性无关，所以“α1 +α2，α2 +2α3，Xα3 +Yα1线性相关” =X+2Y=0”，故所求的概率为21.设相互独立的两个随机变量X和Y均服从标准正态分布，则随机变量X—Y的概率密度函数的最大值等于 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据题意可知，X—Y～N(0，2)，其概率密度函数f(x)的最大值在x=0处，22.已知随机变量X 1，X 2，…，X n相互独立，且都服从标准正态分布，Y 1 =X 1，Y 2 =X 2则Y 1一Y 2服从 1分布，参数为 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：正态）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：解析：Y 1一Y 2=X 1一X 2+ ，所以Y 1一Y 2为相互独立正态变量和，且服从正态分布．23.设随机变量(X，Y)k= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据概率密度性质∫ -∞+∞∫ -∞+∞ f(x，y)dxdy=1，则有∫ 02dx∫ 24 k(6一x一y)dy=1，又知由8k=1，得常数三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。