考研数学三(概率论与数理统计)-试卷20

考研数学三（概率论与数理统计）-试卷20

(总分：64.00，做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：12，分数：24.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：

2.00）

__________________________________________________________________________________________ 解析：

2.设二维随机变量(X 1，X 2 )的密度函数为f 1 (x 1，x 2 )，则随机变量(Y 1，Y 2 )(其中Y 1 =2X 1，

Y 2 = )的概率密度f 2 (y 1，y 2 )等于

（分数：2.00）

A.

B. √

C.

D.

解析：解析：设(X 1，X 2 )的分布为F 1 (x 1，x 2 )，(Y 1，Y 2 )的分布为F 2 (y 1，y 2 )．

故选项B正确．

3.设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则( )

（分数：2.00）

A.X与Y一定独立．

B.(X，Y)服从二维正态分布．

C.X与Y未必独立．√

D.X+Y服从一维正态分布．

解析：解析：因为只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X与Y与Y相互独立．本题已知X 和Y服从正态分布，不能推得(X，Y)服从二维正态分布，因此由不相关推不出X与Y一定独立，故排除选项A．若X和Y都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但由题设并不知道X和Y是否相互独立，故排除选项B．同样，当X和Y都服从正态分布且相互独立时，才能推出X+Y服从一维正态分布，又排除选项D．综上可知，选择C．

4.设相互独立的两随机变量X，Y均服从[0，3]上的均匀分布，则P{1＜max(X，Y)≤2}的值为

（分数：2.00）

A.

B.

C. √

D.

解析：解析：P{1＜max(X，Y)≤2}=P{max(X，Y)≤2}一P{max(X，Y)≤1} =P{X≤2，Y≤2}一P{X≤1，Y≤1}

=P{X≤2}P{Y≤2}一故选项C正确．

5.设相互独立的两随机变量X和Y分别服从E(λ)(λ＞0)和E(λ+2)分布，则P{min(X，Y)＞1}的值为( ) （分数：2.00）

A.e -(λ+1)

B.1一e -(λ+1)

C.e -2(λ+1)√

D.1一e -2(λ+1)．

解析：解析：P{min(X，Y)＞1}=P{X＞1，Y＞1}=P{X＞1}P{Y＞1} =e -λ.e -(λ+2)=e -2(λ+1)．故选项C正确．

6.设相互独立的两随机变量X，Y，均服从E(1)分布，则P{1＜min(X，Y)≤2}的值为( )

（分数：2.00）

A.e -1一e -2

B.1一e -1

C.1一e -2

D.e -2一e -4．√

解析：解析：P{1＜min(X，Y)≤2}=P{min(X，Y)＞1}一P{min(X，Y)＞2} =P{X＞1，Y＞1}一P{X＞2，Y＞2} =P{X＞1}P{Y＞1}一P{X＞2}P{Y＞2} =e -1 .e -1—e -2 .e -2 =e -2—e -4．故选项D正确．

7.设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是( )

（分数：2.00）

A.若X与Y不相关，则X 2与Y 2不相关．

B.若X 2与Y 3不相关，则X与Y不相关．

C.若X与Y均服从正态分布，则X与Y独立和X与Y不相关等价．

D.若X与Y均服从0—1两点分布，则X与Y独立和X与Y不相关等价．√

解析：解析：对于选项D：设X～B(1，p)，Y～B(1，Q)，当X与Y独立时X与Y不相关．反之，当X与Y

不相关，即E(XY)=E(X)E(Y)=pq由此可知X与Y独立．故此时X与Y独立和X 与Y不相关等价，故选项D正确．根据不相关的性质可排除选项A和B．对于选项C，当X与Y均服从正态分布时，(X，Y)未必服从二维正态分布，故选项C不正确．

8.设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12 )，Y服从正态分布N(μ2，σ22 )，且P{|X一μ1 | ＜1}＞P{|Y—μ2 | ＜1}．则必有( )

（分数：2.00）

A.σ1＜σ2．√

B.σ1＞σ2．

C.μ1＜μ2．

D.μ1＞μ2．

9.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关f X (x),f Y (y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y，条件下，X的条件概率密度f X|Y (x|y)为( )

（分数：2.00）

A.f X (x)．√

B.f Y (y)．

C.f X (x)f Y (y)．

解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，那么X与Y独立，且f(x，y)=f X(x)f Y(y)．则

故正确答案为A．

10.随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Z=max{X，Y}的分布函数为( )

（分数：2.00）

A.F 2 (x)．√

B.F(x)F(y)．

C.1一[1一F(x)] 2．

D.[1一F(x)][1一F(y)]．

解析：解析：设Z的分布函数为F z(z)，则F Z(x)=P(Z≤x)=P{max{X，Y}≤x}=P(X≤x)P(Y≤x)=F 2(x)．故选项A正确．

11.设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为

记F Z (z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数F Z (z)的间断点个数为( )

（分数：2.00）

A.0．

B.1．√

C.2．

D.3．

解析：解析：根据题意可知， F Z(z)=P(XY≤z)=P(XY≤z|Y=0)P(Y=0)+P(XY≤z|Y=1)P(Y=1) = 一

[P(XY≤z|Y=0)+P(XY≤z|Y=1)]，由于X，Y独立，所以所以z=0为间断点，因此选项B正确．12.设F 1 (x)，F 2 (x)为两个分布函数，其相应的概率密度f 1 (x)与f 2 (x)是连续函数，则必为概率密度的是( )

（分数：2.00）

A.f 1 (x)f 2 (x)．

B.2f 2 (x)F 1 (x)．

C.f 1 (x)F 2 (x)．

D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 1 (x)．√

解析：解析：因为f 1 (x)与f 2 (x)均为连续函数，故它们的分布函数F 1 (x)与F 2 (x)也连续．根据概率密度的性质，应有f(x)非负，且∫ -∞+∞ f(x)dx=1．在四个选项中，只有D项满足．∫ -∞+∞ [f 1 (x)F

2 (x)+f 2 (x)F 1(x)]dx =∫ -∞+∞ [F

1 (x)F 2(x)]’dx =F 1 (x)F

2 (x)| -∞

+∞ =1—0=1，故选项D正

确．

二、填空题(总题数：11，分数：22.00)

13.已知(X，Y)的联合概率密度为f(x， 1。

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：F(1，1)）

解析：解析：根据题设可知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为故X～N(0，2 2)，Y～N(1，3 2)，X与Y的相关系数ρ=0，所以X与Y独立，N(0，1)，根据F分布典型模式知

14.设随机变量X与Y0一1分布，则随机变量Z=max{X，Y}的分布律为 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：根据题意显然Z也是离散型随机变量，只取0，1两个值，且P{Z=0}=P{max(X，Y)=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=P{Z=1}=1一P{Z=0}=所以Z

15.设随机变量X和Y X的分布函数F(x)为 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：根据题意分布函数F(x)是F(x，y)的边缘分布函数，所以F(x)=F(x，+∞)=F(x，1)，因此F(x)=