§2 指数映射与测地坐标系
测量坐标系有哪几种
测量坐标系有哪几种在实际生活和工程领域中，我们经常需要使用坐标系进行测量和定位。
坐标系是一个数学概念，用于描述和确定一个点在空间中的位置。
在测量领域，有几种常用的坐标系形式，包括笛卡尔坐标系、极坐标系、球坐标系和柱坐标系。
1. 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是最为常见和广泛使用的坐标系之一。
它由三个互相垂直的坐标轴组成，分别为X轴、Y轴和Z轴。
这三个轴可以形成一个立体直角坐标系，用来描述和定位三维空间中的点。
其中，X轴水平朝右，Y轴垂直向上，Z轴垂直向外。
在笛卡尔坐标系中，每个点都可以用其在X、Y和Z轴上的坐标值来表示，常用的表示形式为(x, y, z)。
通过测量和记录一个点在三个坐标轴上的坐标值，我们可以准确地确定这个点在三维空间中的位置。
2. 极坐标系极坐标系采用极径和极角来表示一个点的位置。
它由一个极点（原点）和一个固定方向（通常为X轴正方向）构成。
极径表示从极点到点的距离，而极角表示从固定方向到从极点连线的方向所需旋转的角度。
在极坐标系中，一个点的位置可以用(r, θ)表示，其中r为极径，θ为极角。
极径可以是正数也可以是零，而极角通常取自[-π，π]或[0，2π]的范围内。
极坐标系对于描述天文学、雷达测量和极地导航等领域非常有用。
需要注意的是，极坐标系和笛卡尔坐标系之间可以进行相互转换，通过对应关系可以在两个坐标系之间进行转换和计算。
3. 球坐标系球坐标系是一种用球面半径、极角和方位角来表示点位置的坐标系。
球坐标系由一个固定点（通常为原点）、一个球面和两个角度构成。
固定点表示球心，球面表示距离球心固定距离的点的集合。
在球坐标系中，一个点的位置可以用(r, θ, φ)表示，其中r为球面半径，即球心到点的距离；θ为极角，表示从正Z轴到点的方向与正Z轴之间的夹角；φ为方位角，表示从正X轴到点的投影与正X轴之间的夹角。
球坐标系在天文学、物理学、机器人学等领域得到了广泛应用。
类似于极坐标系，球坐标系也可以与笛卡尔坐标系相互转换。
各种坐标系的定义
各种坐标系的定义一：空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
二：大地坐标系：大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高师空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
附：经度和纬度的详细概念，呵呵。
经度和纬度都是一种角度。
经度是个面面角，是两个经线平面的夹角。
因所有经线都是一样长，为了度量经度选取一个起点面，经1884年国际会议协商，决定以通过英国伦敦近郊、泰晤士河南岸的格林尼治皇家天文台（旧址）的一台主要子午仪十字丝的那条经线为起始经线，称为本初子午线。
本初子午线平面是起点面，终点面是本地经线平面。
某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角。
在赤道上度量，自本初子午线平面作为起点面，分别往东往西度量，往东量值称为东经度，往西量值称为西经度。
由此可见，一地的经度是该地对于本初子午线的方向和角距离。
本初子午线是0°经度，东经度的最大值为180°，西经度的最大值为180°，东、西经180°经线是同一根经线，因此不分东经或西经，而统称180°经线。
纬度是个线面角。
起点面是赤道平面，线是本地的地面法线。
所谓法线，即垂直于参考扁球体表面的线。
某地的纬度就是该地的法线与赤道平面之间的夹角。
纬度在本地经线上三：平面坐标系（这里主要将gis中高斯－克吕格尔平面直角坐标系，不是数学里面的平面坐标系）高斯－克吕格尔平面直角坐标系Gauss-Krüger plane rectangular coordinates system 根据高斯-克吕格尔投影所建立的平面坐标系,或简称高斯平面坐标系。
测量的坐标系有哪些
测量的坐标系有哪些1. 相对坐标系相对坐标系是一种以某一参考点为基准确定其他点位置的坐标系。
在相对坐标系中，位置坐标是相对于参考点的位置表示。
常见的相对坐标系有极坐标系和二维平面直角坐标系。
- 极坐标系极坐标系由极径和极角两个参数来确定一个点的位置，极径表示点到原点的距离，极角表示点与参考方向的夹角。
极坐标系在极地导航、雷达测距等领域被广泛应用。
- 平面直角坐标系平面直角坐标系由两个相互垂直的轴线确定，一般称为X轴和Y轴。
点的位置由X轴和Y轴上的坐标值确定，常用于平面几何、图像处理等领域。
2. 绝对坐标系绝对坐标系是一种以确定的坐标轴为基准确定点的位置的坐标系。
在绝对坐标系中，点的位置是相对于坐标轴原点的绝对位置表示。
常见的绝对坐标系有笛卡尔坐标系和球坐标系。
- 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系由三个相互垂直的轴线确定，分别称为X轴、Y轴和Z轴。
点的位置由X轴、Y轴和Z轴上的坐标值确定。
笛卡尔坐标系广泛应用于三维几何、计算机图形学等领域。
- 球坐标系球坐标系由球坐标半径、极角和方位角三个参数确定一个点的位置。
球坐标半径表示点到原点的距离，极角表示与半径的夹角，方位角表示点与参考方向的夹角。
球坐标系常用于球面上的测量，如天文学、地理学等领域。
3. 相对坐标系和绝对坐标系的比较相对坐标系和绝对坐标系在表示点的位置时具有不同的特点和应用场景。
- 相对坐标系的优势和应用场景相对坐标系基于参考点确定点的位置，具有以下优势： - 相对坐标系在描述位置时更加直观，可以更容易表达点与参考点之间的相对关系。
- 相对坐标系在一些测量场景中更加方便，如极坐标系可以直接表示距离和角度。
相对坐标系在以下场景中被广泛应用： - 极地导航系统中使用极坐标系表示导航目标的方位角和距离。
- 绘制图形和进行图像处理时，使用平面直角坐标系表示图形上的点位置。
- 绝对坐标系的优势和应用场景绝对坐标系根据确定的坐标轴确定点的位置，具有以下优势： - 绝对坐标系提供了固定的参考点，可以准确确定点的位置，具有较高的精度和稳定性。
测量中的常用坐标系及坐标转换概述
三、坐标转换
5、高斯投影的邻带换算
应用高斯投影正反算公式间接进行换带计算：实质是把椭球 面上的大地坐标作为过渡坐标，首先把某投影带（比如I带）内 有关点的平面坐标（x，y） I ，利用高斯投影反算公式换算成椭球 面上的大地坐标（B ，ι），进而得到L=L10+ ι，然后再由大地坐 标（B ，ι），利用投影正算公式换算成相邻带第Ⅱ带的平面坐标 （x，y） Ⅱ，在这一步计算中，要根据第Ⅱ带的中央子午线L20来 计算经差ι，此时ι=L- L20
大地高H：某点沿投影方向到基准面（参考椭球面）的距离。
在大地坐标系中，某点的位置用（B ， L，H）来表示。
二、测量中的各种坐标系
2、空间直角坐标系
定义：以椭球体中心为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤 道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴。
在空间直角坐标系中，某点的位置用（X，Y，Z）来表示。
二、测量中的各种坐标系
3、平面直角坐标系
在小区域进行测量工作若采用大地坐标来表示地面点位置是不方便的， 通常采用平面直角坐标系。 测量工作以x轴为纵轴，以y轴为横轴 投影坐标：为了建立各种比例尺地形图的控制及工程测量控制，一般应 将椭球面上各点的大地坐标按照一定的规律投影到平面上，并以相应的 平面直角坐标表示。
三、坐标转换
3、大地坐标同空间直角坐标的变换
X N cos B cos L Y N cos B sin L Z N (1 e 2 ) sin B
三、坐标转换
4、大地坐标与高斯平面坐标的变换
将大地坐标转换为高斯平面坐标，按照高斯投影正算公式 进行。
高斯投影正算公式：
x X 0 0.5 N sin B cos B l 2 y N cos B l 1 / 6 N cos3 B l 3 (1 t 2 2 )
大地测量常用的几大坐标以及转换方式
大地测量常用的几大坐标以及转换方式在大地测量学中通常采用的坐标系有大地坐标系，空间直角坐标系，高斯平面直角坐标系等。
在同一参考椭球基准下，大地坐标系，空间直角坐标系，高斯平面直角坐标系是等价的，一一对应的，只是不同的坐标表现形式。
1、大地坐标大地坐标是大地测量的基本坐标系，它是大地测量计算，地球形状大小研究和地图编制等的基础大地坐标以参考椭球面为基准面的坐标，地面点P的位置用大地经度L、大地纬度B和大地高H表示。
大地坐标多应用于大地测量学，测绘学等。
坐标原理：当点在参考椭球面上时，仅用大地经度L和大地纬度B 表示。
大地经度L是通过P点的大地子午面与起始大地子午面（通过格林尼治天文台的子午面）之间的夹角。
规定以起始子午面起算，向东由0°至180°称为东经；向西由0°至180°称为西经。
大地纬度B是通过P点的法线与赤道面的夹角，规定由赤道面起算，由赤道面向北从0°至90°称为北纬；向南从0°到90°称为南纬。
大地高H是地面点沿法线到参考椭球面的距离。
2、空间直角坐标在卫星大地测量中，常采用空间大地直角坐标系来确定地面点的三维坐标。
空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴与椭球的旋转轴一致，指向参考椭球的北极; X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上，按右手系与X轴正交成90“夹角。
3、高斯平面直角坐标为了方便工程的规划、设计与施工，我们需要把测区投影到平面上来，使测量计算和绘图更加方便。
而地理坐标是球面坐标，当测区范围较大时，要建平面坐标系就不能忽略地球曲率的影响。
把地球上的点位化算到平面上，称为地图投影。
地图投影的方法有很多，我国采用的是高斯——克吕格投影（又称高斯正形投影），简称高斯投影。
它是由德国数学家高斯提出的，由克吕格改进的一种分带投影方法。
它成功解决了将椭球面转换为平面的问题。
与数学中的平面直角坐标系不同的是，其x轴为纵轴，上(北)为正，Y轴为横轴，右(东)为正，方位角是从北方向为准按顺时针方向计算出的夹角。
测量中常用的坐标系
测量中常用的坐标系一、坐标系类型1、大地坐标系定义：大地测量中以参考椭球面（不准确）为基准面建立起来的坐标系。
一定的参考椭球和一定的大地原点上的大地起算数据，确定了一定的坐标系。
通常用参考椭球参数和大地原点上的起算数据作为一个参心大地坐标系建成的标志。
大地坐标（地理坐标）：将某点投影到椭球面上的位置用大地经度L和大地纬度B表示，（ B ， L）统称为大地坐标。
大地高H：某点沿投影方向到基准面（参考椭球面）的距离。
在大地坐标系中，某点的位置用（B ， L，H）来表示。
2、空间直角坐标系定义：以椭球体中心为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴。
在空间直角坐标系中，某点的位置用（X，Y，Z）来表示。
3、平面直角坐标系在小区域进行测量工作若采用大地坐标来表示地面点位置是不方便的，通常采用平面直角坐标系。
测量工作以x轴为纵轴，以y轴为横轴投影坐标：为了建立各种比例尺地形图的控制及工程测量控制，一般应将椭球面上各点的大地坐标按照一定的规律投影到平面上，并以相应的平面直角坐标表示。
4、地方独立坐标系基于限制变形、方便、实用和科学的目的，在许多城市和工程测量中，常常会建立适合本地区的地方独立坐标系，建立地方独立坐标系，实际上就是通过一些参数来确定地方参考椭球与投影面。
二、国家大地坐标系1.1954年北京坐标系（BJ54旧）坐标原点：前苏联的普尔科沃。
参考椭球：克拉索夫斯基椭球。
平差方法：分区分期局部平差。
存在问题：（1）椭球参数有较大误差。
（2）参考椭球面与我国大地水准面存在着自西向东明显的系统性倾斜。
（3）几何大地测量和物理大地测量应用的参考面不统一。
（4）定向不明确。
2.1980年国家大地坐标系（GDZ80）坐标原点：陕西省泾阳县永乐镇。
参考椭球：1975年国际椭球。
平差方法：天文大地网整体平差。
特点：（1）采用1975年国际椭球。
（2）参心大地坐标系是在1954年北京坐标系基础上建立起来的。
坐标系统与地图分幅资料
地理信息系统培训系列之一坐标系统与地图分幅一、坐标系统名词：地理坐标系，投影坐标系，高程坐标系，地球椭球体。
我们先从ArcGIS安装目录下的Coordinate Systems文件夹说起：1、地理坐标系（Geographic Coordinate Systems）地理坐标系，也可称为真实世界的坐标系，用于确定地物在地球上位置。
用经纬度来表达位置信息。
1）地球椭球体（Spheroid）因为地球是不规则的近梨形，所以在定义地理坐标系之前，需要对地球做近似逼近。
即假想地球绕地轴高速旋转形成一个表面光滑的球体，这就是地球椭球体（也称旋转椭球体或双轴椭球体）。
地球椭球体（Spheroid）的常用四个参数是：地球引力常数（GM）、长半径（a）、扁率（f）和地球自转角速度（w）。
四个参数的不同也就形成了不同的椭球体，比如：克拉索夫斯基椭球体、1975地球椭球体（IAG75）、WGS-84椭球体等。
2）大地基准面（Datum）有了椭球体后还不能形成地理坐标系，还需要一个大地基准面（Datum）将椭球体定位，大地基准面是利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼近，因此每个国家和地区均有各自的基准面，北京54坐标系和西安80坐标系即为我国的两大基准面。
（1）北京54坐标系我国参照前苏联从1953年起采用北京54坐标系，它与苏联1942年建立的以普尔科夫天文台为原点的大地坐标系统相联系，相应的椭球为克拉索夫斯基椭球(Krassovsky)。
到20世纪80年代初，我国已基本完成了天文大地测量，经计算表明，54坐标系统普遍低于我国的大地水准面，平均误差为29米左右。
（2）西安80坐标系1978年4月在西安召开全国天文大地网平差会议，确定重新定位，建立我国新的坐标系，为此有了1980年国家大地坐标系。
1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据，即1975地球椭球体（IAG75）。
工程测量坐标系有哪些
工程测量坐标系有哪些在工程测量中，为了准确测量和描述物体的位置、形状和大小，我们需要使用坐标系来建立空间参考系统。
工程测量坐标系是一个用于定量描述和比较空间位置的框架。
有许多种不同的工程测量坐标系，每一种坐标系都具有其特定的应用和优势。
1. 地心坐标系地心坐标系是以地球质心为原点的坐标系，用于描述地球表面和地下的测量。
地心坐标系常用于大地测量、地壳运动分析、全球定位系统（GPS）等应用。
在地心坐标系中，地球被近似为一个球形体，采用经度和纬度作为坐标进行描述。
经度用于表示东西方向，纬度用于表示南北方向。
2. 平面直角坐标系平面直角坐标系是最常用的一种工程测量坐标系。
它是一个平面坐标系，以水平平面为基准，通过确定平面上的两个垂直轴来建立。
其中一个轴称为X轴，另一个轴称为Y轴。
平面直角坐标系常用于平面测量、建筑工程设计、土地测量等。
在平面直角坐标系中，点的位置可以由其在X轴和Y轴上的坐标表示。
3. 空间直角坐标系空间直角坐标系是在三维空间中建立的坐标系，用于描述三维物体的位置和形状。
它由三个垂直的轴组成，分别称为X轴、Y轴和Z轴。
空间直角坐标系常用于三维测量、建筑结构分析、地质勘探等领域。
在空间直角坐标系中，点的位置可以由其在X轴、Y轴和Z轴上的坐标表示。
4. 高程坐标系高程坐标系用于描述物体的垂直位置，即物体距离参考水平面的高度。
在建筑工程、土地测量等领域中，高程信息是非常重要的。
高程坐标系通常使用垂直方向的坐标值来表示物体的高度。
高程坐标系可以与平面直角坐标系或空间直角坐标系结合使用，以提供完整的三维位置信息。
5. 大地坐标系大地坐标系是地表上的测量参考系统，用于描述地球表面上的位置。
它是一种综合了地心坐标系和地表特征的坐标系。
在大地测量和地理信息系统中，大地坐标系广泛应用。
大地坐标系使用经度、纬度和高程来定位地球上的点，以提供更准确的位置信息。
小结工程测量坐标系是一种重要的工具，用于测量和描述物体的位置和形状。
测量中坐标系和其坐标转换课件
02
坐标转换基本概念
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ERA
坐标转换的必要性
解决不同测量系统之间的兼容性问题
01
由于不同的测量系统可能采用不同的坐标系，为了实现数据共
享和整合，需要进行坐标转换。
提高测量精度
02
通过坐标转换，可以将测量数据归一化处理，消除系统误差，
在进行坐标转换时，应尽量提高原始数据的精度，选择高精度的转换算法，并对转 换参数进行校验。
坐标转换的精度问题可能导致测量结果的误差，因此需要进行误差分析和处理。
误差传播
坐标转换过程中，原始数据的误 差会传递到目标坐标系中，导致
目标坐标系中的误差增大。
误差传播的程度取决于转换算法 和参数的精度，因此需要进行误 差分析和处理，以减小误差对测
量结果的影响。
在进行坐标转换时，应尽量减小 原始数据的误差，并选择合适的 转换算法和参数，以减小误差的
传播。
转换参数的获取与校验
坐标转换参数的获取方法有多种，如 通过测量、计算或经验公式等。
校验方法包括对比验证、重复测量和 统计分析等。
在获取参数后，需要进行校验，以确 保参数的精度和可靠性。
在实际应用中，应根据具体情况选择 合适的参数获取和校验方法，以确保 测量结果的准确性和可靠性。
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测量中坐标系和其坐标转
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
换课件
• 测量中坐标系介绍 • 坐标转换基本概念 • 常见坐标转换公式 • 坐标转换在测量中的应用 • 坐标转换的注意事项
目录
CONTENTS
01
测量中的坐标系及其
地方独立坐标系的由来及特点
基于限制变形、方便、实用和科学的目的，在许多城市和工程测 量中，常常会建立适合本地区的地方独立坐标系，建立地方独 立坐标系，实际上就是通过一些参数来确定地方参考椭球与投 影面。
地方参考椭球一般选择与当地平均高程相对应的参考椭球，该椭 球的中心、轴向和扁率与国家参考椭球相同，其椭球半径a增 大为：
再利用高斯投影坐标正算公式，计算该点在邻带的平 面直角坐标(x2,y2)。
1）平面直角坐标系之间的转换
假设原始坐标系为 xoy ，转换后为 x'o' y',令P表示平面上一个未 被转换的点，P’表示经某种变换后的新点，则平面直角坐标系 之间存在三种变换分别是平移变换、比例变换和旋转变换。
对于平移变换，假定 Tx 表示点P沿X方向的平移量，Ty 为沿Y方向 的平移量。则有相应的矩阵形式为。 （1）
x'
1
y
'
(1
m)
z
x
1
x
y
x y
x y
z
'
y x 1 z z
式中，x, y, z 为三个平移参数， x , y , z 为三个旋转参数，m为尺 度变化参数。
上式即为测量中两个不同空间直角坐标系之间的转换模型，在实 际中，为了求得这7个转换参数，在两个坐标系之间需要至少 有3个已知坐标的重合的公共点，列9个方程。
（4）带号与中央子午线经度的关系为 L6,0 6n 3
L3,0
3k
高程系统的由来及特点
在测量中有三种高程，分别是大地高，正高，正常高， 我国高程系统日常测量中采用的是正常高，GPS测量 得到的是大地高。
高程基准面是地面点高程的统一起算面，通常采用大地 水准面作为高程基准面。所谓大地水准面是假想海洋 处于完全静止的平衡状态时的海水面，并延伸到大陆 地面以下所形成的闭合曲面。
测量坐标系的种类
一、测量坐标系的种类
（二）、按坐标的中心（原点）分类 1.参心坐标系 （1）参心大地坐标系 地球椭球的中心和地球质心不重合的大地坐标系。 （2）地心空间直角坐标系 地球椭球的中心和三维直角坐标系的原点不重合的空间
直角坐标系。 （3）地心平面直角坐标系
由参心大地坐标系转化而来的平面直角坐标系。
地球 坐标 系的 分类 及其 相互 关系
一、测量坐标系的种类
确定地球表面或外层空间中实体（点）的空间位置，是 测绘的基本任务之一，也是最重要、最基础的工作。
实体（点）的空间位置的表达可用多种方式。常用的是 用处于某种坐标系中的坐标表达。
要表达实体（点）的空间位置，应用三维坐标表示。 测量上的常用坐标系有多种，可按不同的方式进行描述。 （一）、按坐标的表达方式分类 可分为笛卡尔坐标、曲线坐标和平面直角坐标。 1.大地坐标系 表示点在大地坐标系中的位置，用经度、纬度和高程表示。
点上的铅垂线和地球椭球的法线不相重合。两者产生的夹角 称之为垂线偏差。
（2）高程 点的高程，常见的有：大地高、正高、正常高。
一ห้องสมุดไป่ตู้测量坐标系的种类
（一）、按坐标的种类分类 1.大地坐标系 （1）经、纬度 （2）高程
大地高：点沿地球椭球法线到地球椭球的距离。 正 高：点沿地球铅垂线到大地水准面的距离。 正常高：点沿铅垂线到似大地水准面的距离。
一、测量坐标系的种类
（一）、按坐标的种类分类 1.大地坐标系 （1）经、纬度 经纬度有天文经纬度和大地经纬度之分。 天文经、纬度用λφ表示，以铅垂线为基准线，用天文测
量方法测定。 大地经、纬度用L、B表示，以地球椭球的发现为计算的
基准线，用大地测量的方法计算得到。 同一点的天文经纬度和大地经纬度不相同，原因在于同
高等代数课件-§2 仿射坐标系和直角坐标系
2. 定理1.2 向量的坐标等于其终点坐标减去 其起点坐标.
2.3 三点（或两向量）共线的条件
1.定理1.3 在三个点A，B，C所在的平面上取 一个仿射标架 [O; e1 , e2 ] ，设A，B，C的坐标分 别是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x3 , y3 ), 则三点A，B，C共 线的充分必要条件是 x1 x 2 x 3 y1 y 2 y 3 0. (1.5) 1 1 1
设 B' F与E交于点 M ( x , y , z ) ，设 B ' M kMF D' D ' M lME
1 1 1 1 k 0 0 l 0 k 0 l 2,y 2 2, x 2 1 k 1 l 1 k 1 l
a 由上述得： b的坐标是(a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ).
证明 对于向量 AB ，设A，B的坐标分别 是 ( x1 , y1 , z1 ) ， x2 , y2 , z 2 ) ，它们也分别是 OA ， ( OB 的坐标.因为 AB OB OA ,所以AB 的坐标
2.命题1.6
设A，B的坐标分别是 ( x1 , y1 , z1 ),
( x2 , y2 , z2 ),则分线段AB成定比 ( 1) 的分点
C的坐标是
x1 x2 y1 y2 z1 z 2 ( , , )。 1 1 1
证明 坐标写出就是
设C点的坐标是 ( x , y, z ). AC CB ，用
则得 ( x x1 )e1 ( y y1 )e2 ( z z1 )e3 0. 因为 e1 , e2 , e3 不共面，所以
大地测量中常用的坐标系
B) 椭球大地测量学：研究坐标系建立及地球椭球性 质以及投影数学变换为主要内容。
C) 大地天文测量学：以研究测量天文经度、纬度及 天文方位角为中心内容。 D) 大地重力测量学：以研究重力场及重力测量方法 为中心内容。
E) 测量平差：以研究大地测量控制网平差计算为主 要内容。
高斯平面直角坐标系
高斯投影平面特点 1,中央子午线是直线，其长度 不变，离开中央子午线的其它 子午线是弧形，凹向中央子午 线。离开中央子午线越远，变 形越大； 2,投影后赤道是一条直线，赤 道与中央子午线保持正交； 3 离开赤道的纬线是弧线，凸 向赤道。
高斯平面直角坐标系
高斯投影可以将椭球面变成平 面，但是离开中央子午线越远 变形越大。实际中采用分带投 影的方法。投影带宽度是以两 相邻子午线的径差l来划分。有 6°带和3 °带等不同投影方法。
a) 几何大地测量学：基本任务是确定地球的形状和 大小及确定地面点的几何位置。 B) 物理大地测量学：基本任务是用物理方法（重力 测量）确定地球形状及其外部重力场。 C) 空间大地测量学：以人造地球卫星及格其他空间 探测器为代表的空间大地测量的理论、技术与方法。
二 大地测量的基本概念
2.3 大地测量学的基本体系
a＝6378137米， α =1:298.257223563
新华网北京2001年２月２３日电（记者张继民）覆盖我国全部国土，其分 辨率东部为３０公里见方格网、西部为６０公里见方格网，精度为３０厘 米至６０厘米的２０００中国似大地水准面，近日通过国家验收。这表明， 新一代分米级精度大地水准面已在我国建立。 曾确定了被称为１９８０中国大地水准面。这一水准面的精度为±３ 米至±５米，分辨率为２２０公里见方网格。随着科学技术特别是卫星空 间技术的飞速发展，测绘生产技术发生了重大变革，１９８０中国大地水 准面已远远不能满足现代大地测量发展以及地学研究、国民经济建设的需 要。为此，国家测绘局在“九五”期间设立了重点科技攻关项目——建立 我国分米级精度大地水准面研究。 使用大量我国大陆及其周边海洋地区的重力、高精度ＧＰＳ水准、 多代卫星测高数据和数字高程模型及海深模型等国内外资料，并结合国情， 最终建立了我国新一代分米级精度大地水准面。通过用中国地壳运动观测 网络的７３个ＧＰＳ水准点进行独立检核，表明其精度在我国东部即东经 １０２度以东地区，优于０．３米。西部即东经１０２度以西、北纬３６ 度以北优于０．４米，东经１０２度以西、北纬３６度以南优于０．６米。 首次以整体分米级精度覆盖了我国全部国土。
测量学简述(坐标系统)
静止而不流动的水面上的每一个分子，各自都受到重力的作用，
在重力位相同时这些水分子便不流动而成静止状态，形成一个重力等 位面，这个面被称之位水准面。
由物理学知，等位面处处与产生等位能的力的方向垂直，即水准
面是一个处处与重力方向垂直的连续曲面。
G G
G G G
4
一、地球基本形状
四. 大地水准面（GB/T17159－1997）
6°带和 3°的划分及中央子午线和带号计算
21
二、测量坐标系
1. 6°带 设某点的经度为L，则该点在6°带的带号为N，中央子午线为 LN0。
1，前项有余数 N L / 6 0，前项无余数
LN 0 6 N 3
22
二、测量坐标系
2. 3°带
设某点的经度为L，则该点在3°带的带号为n，中央子午线为Ln0 。
23
二、测量坐标系
我国位于北半球，纵坐标均为 正值，横坐标则有正有负，如图 1-
5a) 所示， Ya = +148 680.m ， Yb =
-134 240.69ｍ。为了避免横坐标出 现负值和标明坐标系所处的带号，
规定将坐标系中所有点的横坐标值
加上 500km( 相当于各带的坐标原点 向西平移500km)，并在横坐标前冠 以带号。如图 1-5b) 中所标注的横坐标为： Ya = 20 648 680.54 ｍ， Yb = 20 365 759.31 ｍ。这就是高斯平面直角坐标的通用值或通用坐标， 最前两位数 20 表示带号，不加 500km 和带号的横坐标值称为自然值或自 然坐标。
16
二、测量坐标系
地心空间直角坐标
在卫星大地测量中，常用地心 空间直角坐标系来表示空间一点 的位置。 地心空间直角坐标系 的定义 为：原点为 O 地球质心，z 轴与 地球自转轴重合，x 轴通过起始 子午面与赤道的交点，y 轴与 z，
测量人员必收藏的知识点：常用坐标系统知识点汇总
测量人员必收藏的知识点：常用坐标系统知识点汇总2022-10-31 17:10·大水牛测绘1、椭球体GIS中的坐标系定义由基准面和地图投影两组参数确定，而基准面的定义则由特定椭球体及其对应的转换参数确定。
基准面是利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼近，因此每个国家或地区均有各自的基准面。
基准面是在椭球体基础上建立的，椭球体可以对应多个基准面，而基准面只能对应一个椭球体。
椭球体的几何定义：O是椭球中心，NS为旋转轴，a为长半轴，b为短半轴。
子午圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆。
纬圈：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆，也叫平行圈。
赤道：通过椭球中心的平行圈。
基本几何参数：椭圆的扁率椭圆的第一偏心率椭圆的第二偏心率其中a、b称为长度元素；扁率α反映了椭球体的扁平程度。
偏心率e和e’是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。
套用不同的椭球体，同一个地点会测量到不同的经纬度，下面是几种常见的椭球体及参数列表：2、坐标系统之间的转换坐标系分类不同参心坐标系之间的转换、不同地心坐标系之间的转换；参心坐标系与地心坐标系之间的转换；相同坐标系的直角坐标与大地坐标之间的坐标转换；大地坐标与高斯平面坐标之间的转换；在两个空间角直坐标系中，假设其分别为O-XYZ和o-xyz，如果两个坐标系的原点相同，通过三次旋转，就可以两个坐标系重合；如果两个直角坐标系的原点不在同一个位置，通过坐标轴的平移和旋转可以取得一致；如果两个坐标系的尺度也不尽一致，就需要再增加一个尺度变化参数。
对于大地坐标和高斯投影平面坐标之间的转换，则需要通过高斯投影正算、高斯投影反算，通过使用中央子午线经度、不同的参考椭球、不同投影面的选择来实现坐标的转换。
3、三参数、四参数、七参数（1）七参数：平移变量（Dx、Dy、Dz）、旋转变量（Rx、Ry、Rz）、尺度缩放（K）；三参数：平移变量（Dx、Dy、Dz）、旋转变量= 0、尺度缩放=1；三参数就是七参数的特例；参数和七参数都是两个空间坐标系之间转换-椭球转换（不同椭球体）。
认识坐标系：什么是坐标系？如何表示点的位置？
**认识坐标系：什么是坐标系及如何表示点的位置**坐标系是一种数学工具，用于在二维或三维空间中描述点的位置。
它是几何学、物理学、工程学等领域中不可或缺的基础概念。
通过坐标系，我们可以将空间中的点、线、面等几何对象量化，进而进行数学分析和计算。
一、坐标系的概念坐标系由一组互相垂直的数轴组成，这些数轴通常称为坐标轴。
在二维空间中，常用的坐标系是直角坐标系，它由两条互相垂直的数轴——x轴和y轴构成。
在三维空间中，除了x轴和y轴外，还增加了一条与x轴、y轴都垂直的z轴。
每个坐标轴都有正方向和负方向，通常规定从原点出发向右为x轴正方向，向上为y轴正方向，向外为z轴正方向。
坐标系的原点（O）是一个特殊的点，它位于所有坐标轴的交点处。
在二维直角坐标系中，原点的坐标是（0,0）；在三维直角坐标系中，原点的坐标是（0,0,0）。
二、坐标系的分类1. 二维坐标系二维坐标系中最常用的是直角坐标系和极坐标系。
（1）直角坐标系：通过两个互相垂直的数轴（x轴和y轴）来确定平面内点的位置。
点的坐标（x,y）表示该点与原点O在x轴和y轴上的距离。
（2）极坐标系：通过一个极点（通常是原点O）和从该点出发的射线（极轴）以及射线与极轴之间的夹角（极角θ）和射线上的长度（极径r）来确定点的位置。
点的坐标（r,θ）表示该点到原点的距离r和与正方向的夹角θ。
2. 三维坐标系三维坐标系中最常用的是直角坐标系和柱坐标系。
（1）直角坐标系：通过三个互相垂直的数轴（x轴、y轴和z轴）来确定空间内点的位置。
点的坐标（x,y,z）表示该点与原点O在x轴、y轴和z轴上的距离。
（2）柱坐标系：通过一个垂直于x轴的平面（通常称为xy平面）以及从原点出发的射线（极轴）和射线与xy平面之间的夹角（极角θ）和射线上的长度（极径r）以及从xy平面到点的垂直距离（高度h）来确定点的位置。
点的坐标（r,θ,h）表示该点到原点的距离r、与xy平面的夹角θ以及在xy平面上的高度h。
测量的坐标系有哪几类
测量的坐标系有哪几类在各种工程领域中，测量坐标系是一种重要的工具，用于确定和描述空间中点的位置。
在测量中，不同的坐标系适用于不同的情况和需求。
本文将介绍几种常见的测量坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系，也称为笛卡尔坐标系，是最常见和最基本的坐标系之一。
它由两条相互垂直的坐标轴组成，通常表示为X轴和Y轴。
在直角坐标系中，任何点都可以使用两个数值表示，分别为X坐标和Y坐标。
这种坐标系适合描述平面上的点的位置和方向。
使用直角坐标系进行测量时，可以通过在X轴和Y轴上测量距离来确定点的位置。
例如，在建筑工程中，可以使用直角坐标系确定建筑物的平面布局和尺寸。
2. 极坐标系极坐标系是一种描述点在平面上位置的坐标系统，相比于直角坐标系，它更适用于描述点相对于特定起点的距离和角度。
极坐标系由两个值组成：极径和极角。
极径表示点与坐标原点之间的距离，以正数表示。
极角表示点相对于参考方向（通常为正X轴）的顺时针方向的角度。
对于极坐标系，同一个点可以有多种不同的表示方法。
极坐标系在测量中常用于描述点的极坐标位置，特别适用于圆形、螺旋等几何形状和极坐标转换问题。
例如，在航海中，可以使用极坐标系表示船只相对于固定起点的方位。
3. 球坐标系球坐标系是一种三维坐标系，用于描述点在球体上的位置。
它由三个值组成：极径、极角和方位角。
极径表示点与坐标原点之间的距离，以正数表示。
极角表示点相对于参考方向（通常为正Z轴）的角度，范围为0到180度。
方位角表示点在水平面上与参考方向（通常为正X轴）之间的角度，范围为0到360度。
球坐标系在测量中常用于描述球体上的点的位置，特别适用于球面几何和球面坐标转换问题。
例如，在天文学中，球坐标系被广泛用于描述星体的位置和方向。
4. 柱坐标系柱坐标系是一种三维坐标系，用于描述点在柱面上的位置。
它由三个值组成：极径、极角和高度。
极径表示点与柱面轴线之间的距离，以正数表示。
极角表示点相对于起始方向（通常为正X轴）的角度，范围为0到360度。
常用坐标系
工作原因接触到大量生产单位的一线测量员，发现多数人对GPS测量中的关键概念“坐标系”了解甚少。
所以找了点相关资料贴出来，希望对大家有帮助。
测量的基本任务就是确定物体在空间中的位置、姿态及其运动轨迹。
而对这些特征的描述都是建立在某一个特定的空间框架和时间框架之上的。
所谓空间框架就是我们常说的坐标系统，而时间框架就是我们常说的时间系统。
坐标系统一个完整的坐标系统是由坐标系和基准两方面要素所构成的。
坐标系指的是描述空间位置的表达形式，而基准指的是为描述空间位置而定义的一系列点、线、面。
在大地测量中的基准一般是指为确定点在空间中的位置，而采用的地球椭球或参考椭球的几何参数和物理参数，及其在空间的定位、定向方式，以及在描述空间位置时所采用的单位长度的定义。
坐标系的分类正如前面所提及的，所谓坐标系指的是描述空间位置的表达形式，即采用什么方法来表示空间位置。
人们为了描述空间位置，采用了多种方法，从而也产生了不同的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。
在测量中，常用的坐标系有以下几种：空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上，且按右手系与X轴呈90 夹角。
某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
（见错误！未找到引用源。
）⏹空间大地坐标系空间大地坐标系是采用大地经度（L）、大地纬度（B）和大地高（H）来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角，经度是空间中的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角，大地高是空间点沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
⏹平面直角坐标系平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标（空间直角坐标或空间大地坐标）通过某种数学变换映射到平面上，这种变换又称为投影变换。
投影变换的方法有很多，如UTM投影、Lambuda 投影等，在我国采用的是高斯-克吕格投影，也称为高斯投影。
测量中常用的坐标系有哪几种
测量中常用的坐标系有哪几种在测量领域中，坐标系是一个非常重要的概念，用于描述和定位物体在空间中的位置和方向。
不同的测量任务和应用需要使用不同的坐标系。
下面将介绍一些测量中常用的坐标系。
直角坐标系（笛卡尔坐标系）直角坐标系，也称为笛卡尔坐标系，是最常见和最基本的坐标系形式。
它由三个相互垂直的轴组成，通常用于描述平面或三维空间中的位置。
在二维平面上，直角坐标系由X轴和Y轴组成，原点为(0, 0)。
在三维空间中，直角坐标系由X轴、Y轴和Z轴组成，原点为(0, 0, 0)。
直角坐标系通过给定一个点的X、Y和Z坐标值来表示一个位置。
例如，一个点的坐标可以表示为(2, 3)或(2, 3, 4)，其中2表示X轴上的位置，3表示Y轴上的位置，4表示Z轴上的位置。
极坐标系极坐标系是另一种描述平面上位置的坐标系。
它以原点为中心，使用角度和半径两个参数来定位一个点。
极坐标系中，角度通常用弧度表示，表示一个点与X轴正方向之间的旋转角度。
半径表示一个点到原点的距离。
使用极坐标系可以方便地描述某些特定形状的物体，比如圆形。
在某些测量任务中，例如雷达和声纳测量，极坐标系也常常被使用。
地理坐标系地理坐标系是用于在地球表面定位位置的坐标系。
地理坐标系使用经度和纬度两个参数来描述一个位置。
经度表示一个点在东西方向上的位置，以本初子午线（通常为格林尼治子午线）为参考。
经度的取值范围从-180°到180°，东经为正，西经为负。
纬度表示一个点在南北方向上的位置，以赤道为参考。
纬度的取值范围从-90°到90°，北纬为正，南纬为负。
地理坐标系在全球定位系统（GPS）和地图绘制中广泛应用，用于确定地球上任何一个点的精确位置。
本地坐标系本地坐标系是指相对于特定物体或参考物体而言的坐标系。
相对于一个参考物体建立的本地坐标系可以使测量更加精确和方便。
例如，航空航天和汽车工业中常用的局部坐标系是以飞机或汽车为参考，将其位置和方向与自身的坐标系相关联。
笛卡尔坐标系和测量坐标系
笛卡尔坐标系和测量坐标系一、引言在数学和物理学领域中，坐标系是一种用于描述和表示空间中位置的体系。
常见的坐标系有笛卡尔坐标系和测量坐标系。
本文将介绍笛卡尔坐标系和测量坐标系的定义、特点以及应用。
二、笛卡尔坐标系1.定义笛卡尔坐标系是基于直角坐标的坐标系统，由两个互相垂直的直线（通常为水平线和垂直线）组成。
它们在一个固定的原点交叉，通过给定的单位长度（通常为1），可以表示空间中每一个点的准确位置。
笛卡尔坐标系是二维平面或三维空间中最常用的坐标系统。
2.特点–笛卡尔坐标系是直角坐标系的一种，使用直角坐标系的x、y、z轴表示空间中的位置。
–笛卡尔坐标系下，任意一点的位置可以通过它在x、y、z轴上的坐标唯一确定。
–笛卡尔坐标系可以用于描述平面几何和三维空间中的几何问题，广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
3.应用笛卡尔坐标系在各个领域都有广泛的应用，例如：–物理学：在力学中，通过笛卡尔坐标系可以描述物体的位置、速度和加速度等。
–工程学：在建筑设计和土木工程中，使用笛卡尔坐标系进行建模和测量，确定各个构件的位置和尺寸。
–计算机图形学：计算机图形学中的三维渲染和模型构建也需要使用笛卡尔坐标系。
三、测量坐标系1.定义测量坐标系是一种专门用于测量和定位的坐标系统。
它是在特定测量设备的基础上建立起来的，可以根据实际测量需求进行定义和调整。
测量坐标系通常使用三维坐标进行描述，但在某些特定场合也可以是二维坐标。
2.特点–测量坐标系的原点和坐标轴的选择是根据实际测量需求进行的，可以具有任意的位置和方向。
–测量坐标系下，需要使用测量设备来测量和确定各个点的位置。
–测量坐标系可以根据需要随时进行调整和改变，以适应不同的测量任务。
3.应用测量坐标系主要应用于工业生产和地理测量等领域，例如：–机械加工：在机械加工过程中，可以使用测量坐标系来确定零件的加工位置和尺寸，确保加工精度。
–地理测量：地理测量中的地图制作和地物定位需要使用测量坐标系进行测量和标注。
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则 (y1, y2) 为 TP 的直角坐标系，(ρ, ψ) 为 TP 的相应极坐标系．
引理 1 若曲面 S: r = r(u1, u2) 上的两族坐标曲线在点 P 单位正交，令
-4-
作者：王幼宁
G
=
(−
ρ
sinψ
,
ρ
cosψ)(g*ij)2×2
⎛− ρ sinψ ⎝ ρ cosψ
⎞ ⎠
= [g*11 sin2ψ + g*22 cos2ψ − 2 g*12 sinψ cosψ ] ρ 2 ． 记 f(ρ, ψ) = g*11 sin2ψ + g*22 cos2ψ − 2 g*12 sinψ cosψ ，则
g11(ρ, ψ0) = 1 ．
由此，注意到 ψ0 的任意性，有 (2.5) g11(ρ, ψ) ≡ 1 ，Γ1i1(ρ, ψ) ≡ 0 ； 从而有 (g11)i ≡ 0 ，(r11)•ri = Γ1k1rk •ri = 0 ，进而
(g12)1 = (r1•r2)1 = r11•r2 + r1•r21 = r1•r12 =
lim
ρ→0
f(ρ, ψ) = 1 ，lim
ρ→0
fρ(ρ, ψ) = 0 ．
于是，当 ρ→0 时，有
G=
f ρ →0 ，( G)ρ =
f
+
fρ
ρ 2f
→1 ．
□
注记 测地ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ坐标系性质当 ρ→0 时用无穷小表示则写为
(2.9)
G = ρ + ρ O(ρ 2) = ρ + O(ρ 3) ．
定义 2 在曲面 S 上的以 P 为原点的测地极坐标系 (ρ, ψ) 下，设正数 ρ0 使 0 < ρ ≤ ρ0 时 (ρ, ψ) 为正则参数．称 ψ 坐标曲线 ρ = ρ0 为 S 上的以 P 为（圆）心、以 ρ0 为半径的测地圆周，记为 S1(P, ρ0) ；称开区域 D(P, ρ0) = {r(ρ, ψ)∈S | ρ < ρ0 } 为 S 上的以 P 为（圆）心、以 ρ0 为半径的测地 （开）圆盘；称闭区域⎯D(P, ρ0) = {r(ρ, ψ)∈S | ρ ≤ ρ0 } 为 S 上的以 P 为 （圆）心、以 ρ0 为半径的测地闭圆盘；亦称 ρ0 为上述测地圆周或测地圆 盘的测地半径．
fρ = (g*11)ρ sin2ψ + (g*22)ρ cos2ψ − 2(g*12)ρ sinψ cosψ = [(g*11)1cosψ + (g*11)2sinψ ]sin2ψ + [(g*22)1cosψ + (g*22)2sinψ ]cos2ψ
− 2[(g*12)1cosψ + (g*12)2sinψ ]sinψ cosψ ； 故由法坐标系性质可知
-3-
作者：王幼宁
三．测地极坐标系性质
同理，从直观上看，曲面上的测地极坐标系在局部近似于“欧氏平面
上的极坐标系”． 在曲面 S 上任取单位切向 a = η1cosψ0 + η2sinψ0 = y0iηi ∈TP ，在测地极
坐标系 (ρ, ψ) 下，测地射线 CP,a 的弧长 s 参数化方程直接写为 ψ = ψ0 = const. , ρ = s , s > 0 ．
定义 1 上述引理及其推论中所确定的曲面 S 上的参数系 (y1, y2) 称为 S 上的以 P 为原点、以 η1, η2 为初始标架的（局部）法坐标系，相应参数 系 (ρ, ψ) 称为 S 上的以 P 为原点（或极点）、以 η1 为极轴的（局部）测地 极坐标系．
-2-
作者：王幼宁
例 2 ① 在欧氏平面上，法坐标系就是直角坐标系；测地极坐标系 就是极坐标系．
(2.2)
{ Γjik(y01s, y02s) y0j y0k = 0 ， gjk(y01s, y02s) y0j y0k = 1 ．
在法坐标系原点 P(0, 0) 处，由法坐标系构造过程可见坐标曲线在该点处具
有单位正交自然切向，即 gjk(0, 0) = δjk ；进一步，在 (2.2) 式中令 s→0 ，并 注意到 (y01, y02) 的任意性便可见
四．测地凸域 下面进一步考虑最短线的局部存在范围．
定义 3 在曲面 S 上给定开区域 U ．若对 U 上的任意两点 P、Q ，存 在以之为端点的唯一一条测地线段 CPQ ，使 CPQ 成为在 S 上连接两点 P、 Q 的最短连线段，并且使 CPQ⊂U ，则称区域 U 为 S 上的一个测地凸域．
例 3 ① 在欧氏平面上，测地凸域就是凸域． ② 球面上的测地凸域，最大者为开半球面． ③ 在圆柱面上，测地圆盘为测地凸域的充要条件为其测地半径小于 圆柱面正截圆周周长的四分之一． □
≥ ∫L0 |ρ ′(s)|ds ≥ ∫L0 ρ ′(s)ds = ρ0 ． 上式右端等于从 P 点出发而到达 Q 点的测地射线段的长度；且当等号成立 时，ρ ′(s) ≡ 1 , ψ ′(s) ≡ 0 ，CPQ 也只能是测地射线段． □
曲面内蕴几何与平面几何的局部差异，在一点邻近可以通过测地圆周 和测地圆盘的行为而做出反映，并且可用该点处的 Gauss 曲率来刻画（参 见习题 1）．
② 圆柱面上固定一点处的指数映射，将切平面上从切点出发的射线 映射成半条直纹或半条圆柱螺线或者纬圆周及其正向延长线． □
-1-
作者：王幼宁
根据常微分方程组的唯一连续性理论，从固定一点出发的测地线作为
方程组 (1.4) 的解，连续可微依赖于初始切向的取值．因此，指数映射 expP 可定义在切平面 TP 上的点 P 的某个邻域内，并且在该邻域内成为连续可 微映射．为了深入了解指数映射的性质，需要考察相应的解析表达式．为
作者：王幼宁
第六章 曲面的内蕴几何初步
§2 指数映射与测地坐标系
测地线在内蕴几何中的重要性，还体现在特殊坐标系的构造之上．可 以想象，就像在欧氏平面上取坐标曲线为直线会带来某些方便一样，曲面 的一部分甚或全部坐标曲线若由测地线构成，则有助于对于内蕴性质的有 效刻划以及对于内蕴几何量的简化或突出表示．本节的中心内容，就是揭 示如何在曲面上引进一般的内蕴坐标系．
推论 1（Gauss 引理） 曲面 S 上从 P 点出发的测地射线总正交于以 P 为心的测地圆周．
推论 2（测地线局部最短性） 在曲面 S 上的以 P 为原点的测地极坐 标系 (ρ, ψ) 下，在 S 上连接原点 P 和测地圆周 S1(P, ρ0) 上任一点 Q 的最短 连线是存在的，并且恰为从 P 点出发而到达 Q 点的测地射线段．
射
expP(s
v |v|
)
=
r(u1(s),
u2(s))
∈CP,v⊂S
，
即像点 Qs = r(u1(s), u2(s)) 是 CP,v 上从 P 点出发而经过弧长 s 所到达的点． 由此定义映射
expP: V⊂TP → S v →expP(v) ，
则此映射称为曲面 S 上点 P 处的指数映射．
例 1 ① 球面上的北极点处的指数映射，将北极切平面上从北极出 发的射线映射成经线及其正向延长线．
ηi = ri|P ，视指数映射expP: y = (y1, y2) → r(u1(y1, y2), u2(y1, y2)) ，则
| ∂ui
∂yj
y = (0, 0)
= δij , i, j = 1, 2 ．
证明（想法：借助于Taylor展开，将 ui 用 yj 表示） 观察下列三点：
① 对于 v∈TP−{0} ，测地线 CP,v 的微分方程由 (1.4) 式给出，其在点
定理 2（测地极坐标系性质） 一基本形式形为 (2.7) Ⅰ= dρ 2 + G(ρ, ψ) dψ2 ， 其中系数 G 满足性质
曲面 S 在测地极坐标系 (ρ, ψ) 下的第
(2.8)
lim
ρ→0
G = 0 ，lim (
ρ→0
G)ρ = 1 ．
证明 (2.5) 和 (2.6) 两式已经说明 (2.7) 式成立．为证 (2.8) 式，取法坐 标系 (y1, y2) 使 Ⅰ = g*ij(y1, y2) dyi dyj ，则
{ Γjik(0, 0) = 0 ， gjk(0, 0) = δjk ．
将联络系数与第一基本形式系数的偏导数相互表出，上式等价化为
(2.3)
{(gij)k(0, 0) = 0 ， gjk(0, 0) = δjk ．
至此所得的结论可以总结成下列定理．
定理 1（法坐标系性质） 曲面 S 在法坐标系 (y1, y2) 下的第一基本形 式系数满足性质 (2.3) ，或写为 (2.4) gij(y1, y2) = δij + O((y1)2 + (y2)2) ．
② 球面上以北极点为原点的法坐标系，在去掉南极的球面上是正则 参数系；以北极点为原点的测地极坐标系，在去掉两极的球面上是局部正 则参数系．
③ 圆柱面上固定一点处的法坐标系，在去掉对径直纹的区域上是正 则参数系． □
二．法坐标系性质
从直观上感觉，曲面上的法坐标系在局部近似于“欧氏平面上的直角
坐标系”．
(g11)2 2
≡0，
此即 g12 = g12(ψ) ．进一步，
| | lim
ρ→0
|rψ|
=
lim
ρ→0
−ρ
sinψ
∂r ∂y1
+
ρ
cosψ
∂r ∂y2
=0，
从而
g12(ψ)
=
lim
ρ→0
g12(ψ)
=
lim