椭圆化圆的初步研究

椭圆化圆的初步研究

胶州市实验中学刘红升 2015.8

椭圆化圆就是通过“伸缩变换”将坐标空间伸缩，使椭圆转化成圆（有些题目须再化回椭圆），使问题的运算量下降、难度降低，毕竟圆的“数形结合”属性要比椭圆明显好用的多！这也是转化化归思想的体现。并不是所有椭圆问题都可以化圆处理，必须保证转化前后的等价性。 目前我认为能够明确等价的是：

“直线与椭圆的位置关系”伸缩后等价于“直线与圆的位置关系”； 直线平行关系等价；（直线的垂直关系及夹角大小一般会改变）； 面积与伸缩成正比； 直线斜率与伸缩反比；

坐标与完全伸缩同步。

平行或共线的线段长度比值不变！相互垂直的线段比值化其中一个关于y=x 对称点后不变（见后面08文）！ （证明略，其他情况暂不可控！）

目前为止，我尚不能确定长度、角度是否存在可实际操作的关系，暂认为“不可控”。由于山东高考题11年来文理科均有一些题目必须依赖长度，因此能够用“椭圆化圆”处理的题目比例约为60%多一点（准确统计见后面的统计表），尽管“椭圆化圆”不是一种放之四海皆准的“通法”，但依然有很大的使用价值，从知识上看：近几年尖子生难以逾越140与解析几何关系最大，我们岂能因循守旧坐以待毙！

11,,2222

22='+'=+='='y x b

y a x b x y a x x 可转化为则椭圆

S ab S S ab

S m k b

a

k m x ka y b m kx y '

=='='⇒+'='+=即不变！纵截距可化为：直线,1,

椭圆化圆在山东高考中的有效率统计：

例题分析：

(2015山东理20题)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率为，左、右焦点分别是12,F F ,

以

1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设椭圆22

22:144x y E a b +=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭

圆E 于点Q.

（ⅰ）求||

||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积最大值.

研究：（Ⅰ）椭圆C 的方程为2

21

4x y +=.过程略。

（Ⅱ）（ⅰ）椭圆化圆：1,,2

22='+'='=

'y x C y y x

x 可化为圆：则椭圆，椭圆422='+'y x E 可化为圆：，

（Ⅱ）（ⅱ）1,,2

=+==

'y x C y y x

x 可化为圆：则椭圆,椭圆422='+'y x E 可化为圆：， 1

04)(422

1

6322

222≤<'+-=•-•=

==∴'''∆∆∆d AB O d d d d d S S S O B A ABO ABQ 的距离，到直线为其中 364)(6222≤+-=∴∆d d S ABQ

（2015山东文21题仅第（1）问与理科稍有不同，略）

与常规法相比“椭圆化圆”充分利用了圆“数形结合”的属性，使此题此题大大降低运算量与运算能力！甚至可以乐观地估计，只要能够合理的转化过来，那么此题大部分“一本线上”的学生都能够得满分！

（2014文22）圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率为，直线y x =被椭圆C

截得的线段长为.

（Ｉ）求椭圆C 的方程；（II ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且

AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.

（i ）设直线BD ，AM 的斜率分别为

12

,k k ，证明存在常数λ使得

12

k k λ=，并求出λ的值；

（ii ）求OMN ∆面积的最大值. 注：本题由课本经典结论改编而成！

研究：（Ｉ）椭圆C 的方程：1

422

=+y x ，过程略。

（II ）（i ）1,,2

22='+'='=

'y x C y y x

x 可化为圆：则椭圆.由题知：41-='•'⇒-=•AD AB AD AB k k k k

11-='•AB k k ,11144,1k x y k k k k B B AB AD '=''⇒

'='⇒-='•'∴，设直线)0,3()(4:B B B

B

B x M x x x y y y D B '-'⇒'-''='-''

1212122212

112

-=⇒-=⇒'-='⇒'-=''-='∴λk k k k k x y k B

B

（ii ）由（i ）可求的：

89216

)(168921)43,

0(2

2≤'=∴='+'≤''=''''='⇒''∆

∆∆OMN OMN B B B

B OMN B S S y x y x N O M O S y N

此题“椭圆化圆”的优势并不明显，因为此涉及斜率较多，即使在椭圆内运算量也不大，

主要是量的代换问题！因此此题不是一道很典型适合“椭圆化圆”的题目，不过总体来看“椭圆化圆”还是使得此题稍变简单！

直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l.

12=+y （Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1、PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线 PM 交C 的长轴于点M （m

，0），求m 的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 设直线PF 1,PF 2的斜率分研究：（Ⅱ）考吧！系难找到！请老师们思的角平分线了，等价关已经不再是伸缩后21PF F PM ∠

（Ⅲ）1,,222='+'='=

'y x C y y x

x 可化为圆：则椭圆. 8)11(411,,23

,2

3

2

1212

1

-=''+''=+∴''-

='-

''='+

''='k k k k kk kk y x k x y k x y k

P P

P P P P 太轻松了！ 椭圆化圆与常规方式比较起来无论是思维难度还是运算难度大大降低，甚至相当于一道小题！

（2013山东高考数学文科22题（2））A,B 为椭圆C ：12

22

=+y x 上满足AOB ∆E 为线段AB

的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP tOE =，求实数t 的值 研究：1,,2

22='+'='=

'y x C y y x x 可化为圆：则椭圆，

方式一：3

3

2214341431221222或，或==''''==∴=⇒=-='⇒'=∆∆

∆d E O P O OE OP t d d d S S S AOB AOB AOB 方式二：

3

3

2212

33sin 216

sin

3

2343sin 2122或

或或==''''==∴====

==⇒='''∠⇒='''∠='⇒'=∆∆∆d E O P O OE OP

t r OE d r OE d B O A B O A r S S S AOB AOB AOB ππ

ππ

由于三角形面积公式太多，其他方式略。

椭圆化圆与常规方式比较起来无论是思维难度还是运算难度大大降低，甚至相当于一道小题！