椭圆化圆的初步研究
椭圆的性质及应用
椭圆的性质及应用教学目标(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．教学重点：椭圆的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．)教学难点：椭圆离心率的概念的理解．(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．)教学疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．教学过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书．(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．1．范围即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．2．对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．3．顶点只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．教师还需指出：(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．4．离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．先分析椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．(三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆．由此例不难归纳出椭圆的第二定义．(四)椭圆的第二定义1．定义平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．2．说明这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．(五)小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结下列表格：五、布置作业1．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．2．我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面266Km，远地点距地面1826Km，求这颗卫星的轨道方程．3．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．的方程．作业答案：4．顶点(0，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：。
“化椭为圆”解决椭圆中的面积问题
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“化椭为圆”解决椭圆中的面积问题
作者：王旭光
来源：《广东教学报·教育综合》2019年第46期
【摘要】在仿射变换下，图形的一些性质不会发生变化。
如，同素性、结合性、平行性、面积比等。
本文通过仿射变换“化椭为圆”来解决椭圆中的一些面积问题，在椭圆的教学和学习过程中，许多问题只能用解析幾何的方法来解决，计算量往往比较大，技巧也比较多。
而在解决圆的某些问题时，往往利用一些性质来处理，过程简明很多。
通过仿射变换正好可以“化椭为圆”，将椭圆中的面积问题转化到圆中来处理。
【关键词】仿射变换；椭圆；圆；面积
参考文献：
[1]吐尔洪艾尔米丁.仿射变换在椭圆面积中的应用[J].新疆师范大学大学学报（自然科学版），2009（1）：44.。
圆的认识说课稿(15篇)
圆的认识说课稿1 一、说教材： 在之前的学习中，学生已经学习过长方形、正方形等平面图形以及他们的周长、面积计算，也直观地认识过圆。
在此基础上，本单元开始正式学习圆的有关知识，这也是小学阶段的最后一个认识平面图形的单元。
长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等都是直线图形，而圆是曲线图形。
从研究直线图形到研究曲线，对学生而言是一种跨越。
因为研究曲线图形的思想、方法与直线图形相比，是有变化和提升的。
二、说学生 曲线图形的思想、方法与直线图形相比，是有变化和提升的'。
因此，通过对圆的研究，学生不仅需要掌握圆的一些基础知识，还需要通过学习，感受“化曲为直”“等积变形”“极限”等数学思想方法，进一步发展数学思维能力和问题解决能力。
三、说教学目标 1、认识圆各部分的名称，知道圆的各部分名称。
2、掌握圆的特征以及在同一个圆里半径和直径的关系； 3、初步学会用圆规画圆，培养学生的作图能力。
四、说重点 掌握圆的特征以及在同一个圆里半径和直径的关系； 五、说难点 掌握三种画圆的方法。
六、说教学过程 （一）口算练习 （二）板书课题 今天我们学习圆的认识 同学们生活中有很多关于圆的物品，老师搜集了一些，请同学们欣赏，课件出示。
同学们你们能举出生活中有关有的物品的例子吗？ 同学们刚才你们都谈到了有关圆的物品的面，是的圆是平面图形，以前我们还学过很多平面图形，谁能举例？（同学们可能会谈到长方形、正方形、三角形等） 如果让大家用最快的速度剪一个图形，你剪哪个图形？为什么？进而引出圆是曲线图形，有别与前面学过的直线图形。
（三）出示学习目标 1、了解三种画的方法； 2、掌握圆的特征，了解圆各部分的名称，以及直径与半径的关系。
（四）请同学们在小组里用准备的工具画圆，看哪个小组方法多，圆画的最好。
（五）各小组汇报 1、实物画圆 2、绳子画圆 3、圆规画圆 4、教师总结，画圆的历史圆的认识说课稿2 一、教学内容 《圆的认识》选自小学数学教材第11册，是在学生学的多种平面图形的基础上展开，是小学数学阶段认识的最后一种常见的平面图形。
中班数学活动：《认识椭圆形》
教学反思：1.我的设计思路是先复习记录表，然后通过游戏幼儿自己做记录，激发幼儿自己做记录的兴趣，游戏是由浅入深，由易到难来设计的。
在活动中，幼儿很轻松地融入到游戏里，并学会了用不同方式做记录。
2.在“小猫钓鱼”游戏环节中，教师钓鱼幼儿做记录，孩子意犹未尽，在区角活动中我投放了小猫钓鱼的游戏材料。
让幼儿自己来钓鱼，会更直观，同时也锻炼了幼儿的动手能力。
3.在整个活动中，我的语言简洁精练，通俗易懂，幼儿很有兴趣而且听得明白、理解透彻。
4.在本活动中利用不同的教学方法，引起幼儿的兴趣，并且我运用这些教学方法，有针对性地引导幼儿、启发幼儿，例如，游戏法，我设计的游戏“采蘑菇”，它们目的和规则都是为教学活动所服务的，而且与活动要求相吻合，激发了幼儿学习兴趣。
5.幼儿在用笔做记录画圆圈时，有些难度，他们对笔掌控得不是很灵活，在美工区我投放图画材料，来锻炼小手的灵活性。
活动设计设计思路：幼儿在小班已经对圆形有了一定的了解和认识，看到椭圆形能够说出名称，但对于其特征不是很了解；在生活中经常能够接触到椭圆形的物体；幼儿比较、观察的能力进一步提高，能够尝试用完整的语言进行讲述。
认识椭圆形是在与圆形对比的基础上进行的，通过动手操作、比较获得体验，感知到两者的区别。
在操作活动中找椭圆形，进一步巩固对椭圆形的认识，发展幼儿的观察、思维能力及动手操作能力。
活动目标：1.认识椭圆形，感知椭圆形特征，知道椭圆形在生活中的应用。
2.体验操作活动的乐趣。
活动准备：1.ppt课件。
2.圆形、椭圆形卡片每人各一份。
3.画有椭圆形的A4纸、蜡笔每人一份。
活动重点：认识椭圆形。
活动难点：知道椭圆形的特征。
中班数学活动：《认识椭圆形》王秀红（遵化市第二幼儿园，河北唐山064200）关键词：椭圆形；圆形；操作活动；生活中的应用中图分类号：G613.3文献标识码：B文章编号：1009-010X（2016）04-0064-03. All Rights Reserved.活动过程：一、欣赏故事《圆圆购物》小朋友们，今天我想给大家讲一个故事，在讲故事之后我想请小朋友回答几个问题，好吗？（一）提出问题好，请小朋友先听好我提出的问题：（1）故事中的圆圆是什么形状？（2）圆圆被压扁后变成了什么形状？（重复问题）听清楚了吗？好请小朋友一边看屏幕，一边听故事，同时在心里想着我提出的问题。
《椭圆的简单几何性质》教学设计
《椭圆的简单几何性质》教学设计椭圆的简单几何性质《椭圆的简单几何性质》教学一. 教材分析1. 教材的地位和作用本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第二章2.1.2第1课时：椭圆的简单几何性质。
在此之前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。
而这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数”的转化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了学数学的乐趣，受到了数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。
2. 教材的内容安排和处理本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因此可根据学生实际情况及认知特点，改变了教材中原有研究顺序，引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手，按照通过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，循序渐近进行探究。
在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用，而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透，通过教师合理的情境创设，师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生真正意义上理解在解析几何中，怎样用代数方法研究曲线的性质，巩固数形结合思想的应用，达到切实地用数学分析解决问题的能力。
3. 重点、难点：教学重点：掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题,体会数形结合思想方法在数学中的应用教学难点；利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。
二. 学生的学情心理分析我的任教班是普班,大多数学生的数学基础较为薄弱, 独立分析问题，解决问题的能力不是很强,但是他们的思维活跃，参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，因此依据以上特点,在教学设计方面，我打算借助多媒体手段，创设问题情境，结合图形启发引导，组织学生合作探究等形式，都符合我班学生的认知特点，为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。
椭圆—圆孔型系统设计
攀枝花学院学生课程设计（论文）题目：椭圆—圆孔型系统设计学生姓名：学号： 201111102042 所在院(系)：材料工程学院专业：材料成型及控制工程班级： 2011级压力加工班指导教师：肖玄职称：助教2014年10 月13 日攀枝花学院教务处制攀枝花学院本科学生课程设计任务书摘要椭圆—圆孔型因其延伸较小,轧制稳定性差等原因, 过去在生产中较少使用。
近年来,由于对钢材表面质量要求越来越高,具有变形较均匀和表面皱折少等特点的椭圆—圆孔型在国外被广泛使用,尤其在轧制合金钢中使用更为普遍。
但由于过去使用少,因此其设计方法研究也较少。
椭圆-圆孔型系统中变形较为均匀，轧制前后的断面形状过渡缓和，能防止产生局部应力；轧件断面各处冷却均匀；氧化铁皮易于脱落；还可由延伸孔型轧出成品圆钢，减少了轧辊数量和换辊次数。
椭圆—圆孔型系统多用轧制低塑性的合金钢，也用于轧制普通的后几个延伸孔型，特别是现代化连续式线材轧机上45°无扭精轧机组的延伸孔型。
关键词椭圆-圆孔型，表面质量，轧件断面，延伸孔型目录摘要........................................................................................................................................ - 1 -1 绪论 ..................................................................................................................................... - 3 -1.1椭圆-圆孔型设计简介................................................................................................. - 3 -1.1.1椭圆-圆孔型系统的优点 ................................................................................... - 3 -1.1.2椭圆-圆孔型系统的缺点 ................................................................................... - 3 -1.2椭圆-圆孔型系统的应用范围..................................................................................... - 3 -1.3变形系数 ...................................................................................................................... - 4 -1.3.1宽展系数............................................................................................................. - 4 -1.3.2延伸系数............................................................................................................. - 4 -1.4椭圆-圆孔型系统的孔型尺寸及其构成....................................................................... - 4 -2 了解生产条件 ................................................................................................................... - 6 -2.1了解产品的技术条件................................................................................................... - 6 -2.2了解原料条件............................................................................................................... - 6 -2.3了解轧机的性能及其它设备条件............................................................................... - 6 -3 选择合理的孔型系统 ..................................................................................................... - 7 -4 总轧制道次数的确定 ..................................................................................................... - 8 -4.1 当钢锭或钢坯的断面尺寸.......................................................................................... - 8 -4.2如有几种钢坯尺寸可以任意选择时........................................................................... - 8 -5 各道次变形量的分配 ..................................................................................................... - 9 -5.1 金属的塑性.................................................................................................................. - 9 -5.2咬入条件 ...................................................................................................................... - 9 -5.3轧辊强度和电机能力................................................................................................... - 9 -5.4孔型的磨损................................................................................................................... - 9 -6 确定轧制断面形状和尺寸 .......................................................................................... - 11 -6.1 椭圆-圆孔型的设计尺寸........................................................................................ - 11 -6.2轧机辊缝调整............................................................................................................. - 12 -6.2.1 孔型设计误差................................................................................................... - 12 -6.2.2 辊缝调整量计算............................................................................................... - 12 -7 结论 ................................................................................................................................... - 15 -1 绪论1.1椭圆-圆孔型设计简介图1 椭圆—圆孔型系统1.1.1椭圆-圆孔型系统的优点⑴轧件变形较为均匀，轧制前后轧件的断面形状过渡均匀，从而避免了金属由于剧烈的不均匀变形而产生局部应力。
高中数学椭圆的几何性质
A.1x424＋1y228＝1
B.3x62 ＋2y02 ＝1
C.3x22 ＋3y62 ＝1
2.1.2(一)
2.1.2 椭圆的几何性质(一)
【学习要求】 1．理解椭圆的简单几何性质． 2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题． 【学法指导】
通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合 的数学思想.通过几何性质的代数研究,养成辩证统一的世界观．
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填一填·知识要点、记下疑难点
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结论：我们把椭圆的焦距与长轴长的比c称为椭圆的离心 a
率，用 e 表示，即 e＝ac. e 越接近于 1，椭圆越扁；e 越接近于 0，椭圆越接近于圆．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.2(一)
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问题 4 (1)ba或bc的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ (2)你能运用三角函数的知识解释，为什么 e＝ac越大，椭圆 越扁？e＝ac越小，椭圆越圆吗？ 答案 (1)都能．由ba＝ a2－ a2 c2＝ 1－e2 (0<e<1)可知，当 e 越趋近于 1 时，ba越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时， ba越趋近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a＝b 时，c＝0，
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2.1.2(一)
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问题 3 观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻 画椭圆的扁平程度呢？
答案 在椭圆xa22＋by22＝1 (a>b>0)中，若保持 a 不变，改变 c，可以发现 c 越接近于 a， 椭圆越扁平，可以用 a，c 两个量来刻画椭 圆的扁平程度．
别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，
高中数学 2.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质教案 选修1-1
第2课时椭圆方程及性质的应用(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．2．过程与方法通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．3．情感、态度与价值观培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．●重点、难点重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．(教师用书独具)●教学建议由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．●教学流程创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？⇒引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法——代数法.⇒引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)课标解读1.掌握椭圆的方程及其性质的应用．(重点)2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．(难点)点与椭圆的位置关系【问题导思】点与椭圆有几种位置关系？【提示】 三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外．设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.直线与椭圆的位置关系【问题导思】1．直线与椭圆有几种位置关系？【提示】 三种位置关系：相离、相切、相交．2．我们知道，可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】 不能．3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？ 【提示】 代数法．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b 2＝1，消y 得一个一元二次方程．位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ＞0 相切 一解 Δ＝0 相离无解Δ＜0(对应学生用书第26页)直线与椭圆的位置关系的判定当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1相交、相切、相离？【思路探究】 错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1， ②将①代入②得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝－5或m ＝5时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆位置关系的步骤：试判断直线y ＝x －12与椭圆x 2＋4y 2＝2的位置关系．【解】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝2，消去y ，整理得5x 2－4x －1＝0，(*)Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，即方程(*)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．直线与椭圆相交问题已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？ (2)点P 与A 、B 的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？ 【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k x －4，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12.这时直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0.由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 从而(x 2－x 1)＋2(y 2－y 1)＝0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，于是直线AB ，即为l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4. 1．求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解．也可以直接代入弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2求解．2．解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y 后转化为关于x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解．法二：通过弦AB 的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 两点在椭圆上， ∴x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4. 两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0 ①显然x 1≠x 2， 故由①得：k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2. ②又点P (－1,1)是弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ③把③代入②得：k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.与椭圆相关的实际应用问题 图2－1－3如图2－1－3，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？【思路探究】 恰当建系→设椭圆方程→错误!→错误!→错误!【自主解答】 如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1.∵P (11,4.5)在椭圆上， ∴112a 2＋4.52b2＝1，又b ＝h ＝6代入①式，得a ＝4477.此时l ＝2a ＝8877≈33.3(米)．因此隧道的拱宽约为33.3米．1．解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题．2．实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论． 有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m ，短轴长60 m ，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形， 所以矩形ABCD 关于原点O 及x 轴，y 轴都对称． 已知椭圆的长轴长2a ＝100 m ，短轴长2b ＝60 m ， 则椭圆的方程为x 2502＋y 2302＝1.考虑第一象限内的情况，设A (x 0，y 0)， 则有1＝x 20502＋y 20302≥2x 20502·y 20302＝2x 0y 01 500， 当且仅当x 20502＝y 20302＝12，即x 0＝252，y 0＝152时，等号成立，此时矩形ABCD 的面积S ＝4x 0y 0取最大值3 000 m 2.这时矩形的周长为4(x 0＋y 0)＝4(252＋152)＝160 2 (m).(对应学生用书第27页) 运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(12分)(2013·本溪高二检测)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】 【规范解答】 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.2分(2)设EF ：x ＝my －1(m ＞0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，4分 由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得 (－2m m 2＋3)2＝1m 2＋3，∴m ＝1，m ＝－1(舍去)， 直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. 7分(3)记P (x ′1，y ′1)，Q (x ′2，y ′2)．将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx＋9＝0(*)，x ′1，x ′2是此方程的两个相异实根．设PQ 的中点为M ，则x M ＝x ′1＋x ′22＝－6k 3k 2＋1，y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1.由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.10分但k ＝1，k ＝13均不能使方程(*)有两相异实根，∴满足条件的k 不存在.1．直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．2．直线和椭圆相交时要切记Δ＞0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．1．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ来判定．直线与椭圆相交的弦长公式： |P 1P 2|＝[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋k2或|P 1P 2|＝[y 1＋y 22－4y 1y 2]1＋1k 2.2．直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中重要的解题方法．3．解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题，弄懂题意，再把实际问题中的量化归为椭圆的性质，从而得以解决.(对应学生用书第28页)1．下列在椭圆x 24＋y 22＝1内部的点为( )A ．(2，1)B ．(－2，1)C ．(2,1)D ．(1,1)【解析】 点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x 24＋y 22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内．【答案】 D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3， 椭圆焦点坐标为(±3，0)． 【答案】 A3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)【解析】 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)．∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为(－23，13)．【答案】 C4．直线2x －y －2＝0与椭圆x 25＋y 24＝1交于A 、B 两点，求弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2AB ·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·532－4×0＝553.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2. 【答案】 A2．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22 C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0.∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C3．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．3x －2y －4＝0 C ．2x ＋3y －7＝0D ．3x ＋2y －8＝0【解析】 根据点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为：y －1＝－32(x －2)．化简得3x ＋2y －8＝0. 【答案】 D4．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个【解析】 若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点．【答案】 A5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a ＞c ＞0)，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( )A ．2(a －c )B ．2(a ＋c )C ．4aD ．以上答案均有可能【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a －c )；当小球沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；当是其他情况时，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .【答案】 D 二、填空题6．(2013·济宁高二检测)已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线方程联立消去x 得(a 2＋3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0，由Δ＝0及c ＝2得a 2＝7，∴2a ＝27.【答案】 277．(2013·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．【解析】 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a＝cb 2＋c2＝c2c＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m1＋2m＝2－1.【答案】2－1或228．(2013·石家庄高二检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．【解析】 直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B (53，43)，∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积)．【答案】 53三、解答题9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 【解】 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7. 即m 的取值范围是(－7，7)．10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b 2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.图2－1－411．(2013·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2. 证明：1k 1－3k 2＝2.【解】 因为椭圆过点(1，22)，e ＝22， 所以1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1，c ＝1， 故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋1，k 2＝y 0x 0－1， 因为点P 不在x 轴上，所以y 0≠0，又x 0＋y 0＝2， 所以1k 1－3k 2＝x 0＋1y 0－3x 0－1y 0＝4－2x 0y 0＝2y 0y 0＝2. (教师用书独具)(2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.(2013·济南高二检测)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．【解】 (1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 22＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 22－2a 3a 2＋b2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.则3b 22＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 22－2a3a 2＋b 2. 解得a ＝3.又b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5. ∴b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。
谈椭圆化圆的方法、结论及运用
如 图１ ，在ｘ Ｏ ｙ 平 面 内设直 线 的斜 率为ｋ ， Ｐ （ ｓ ， ｔ ） ，
则ｐ（ 一 ｓ ， 一 ｔ ） ， Ｎ （ Ｏ ， ｔ ） ，
（ １ ） 若Ａ， Ｂ， ｃ 三点共线 ， 贝 ， Ｂ ， Ｃ 三点共线 ； 若Ａ ／ ／ Ｃ Ｄ， 则４ Ｂ ／ ／ Ｃ Ｄ ；
１
ｃ ： ＝ １ 通 过 矩 阵 ＝ ［ 【 ０ ２ 。 ］ Ｊ 变 化 得 到 椭 圆 ２ ＋ ４ ＝ １ ， 那
根据矩 阵知识 ，椭 圆Ｘ ２ ＋ ： １ 通 过矩 阵 的逆矩 阵 一 ：
得 。 ， Ｉ Ｙ Ｉ ＝ ｒ Ｅ ， ／ ｌ Ｙ 。 Ｉ ， 所以 。 ， ｌ ｙ ｏ Ｉ ＝ Ｉ Ｙ ｌ ， 将（ ｙ ｏ ） 代人
一 ） ，
如果简单看待这个 问题 ，也 就是用 求轨迹方程类 型 中的相关动 点法求 轨迹 而已 但换 个角 度看 这个 问题 ，
１ Ｄ Ｍｌ ＝ ｍＩ Ｄ Ａ ｌ 的几何意义就是 ： 若Ｏ ＜ ｍ ＜ ｌ ， 它是向礴由 方
向压缩 ， 即对于 轴上方的点 向下压缩 ， 对于确 下方 的点 向上压缩 ， 而 轴上 的点保持不变 ； 若ｍ ＞ ｌ ， 也就 是相应拉 伸 ，这不正 是矩阵 中伸压变换 的本质吗 ！无论Ｏ ＜ ｍ＜ ｌ 或 ｍ＞ ｌ ， 均将 圆转化 为了椭 圆． 那 自然联 想到 ， 类 似此方 法 ， 椭圆不是也 可以转 化为圆吗？
一
例１ （ ２ ０ １ ２ 年湖 北理 ２ 】 题） 设Ａ是 单位 圆 ＋ ＝ ｌ 上 的任 意一点 ， ｆ 是过点Ａ 与 轴垂直 的直线 ， Ｄ 是直线Ｚ 与 轴
点Ｐ （ ， Ｙ ） ，
的交点 ， 点 在直线ｚ 上， 且满足 ｌ Ｄ ＭＩ ＝ ｍ Ｉ Ｄ Ａ Ｉ （ ｍ ＞ Ｏ ， 且
圆教案(10篇)
圆教案(10篇)《圆的认识》教案篇一一、教材分析：《圆的认识》是人教版小学数学六年级上册第五单元《圆》中的教学内容。
本节课要求学生进一步认识圆、了解圆的特征、掌握用圆规画圆。
渗透了曲线图形和直线图形的关系。
通过对圆的认识，不仅能加深对周围事物的了解，提高解决实际问题的能力，也为今后学习圆的周长、面积、圆柱、圆锥等知识打好基础。
二、学情分析：本课是在学生认识了长方形、正方形、三角形等多种平面图形的基础上展开，也是小学阶段认识的最后一种常见的平面图形。
圆是一种常见的、简单的曲线图形，在学习《圆的认识》以前，学生已经具备一定的生活经验，对圆有了初步的感性认识，小学生很难将圆的认识与生活中的数学问题联系起来，对圆的理性认识有一定的难度在上课时，加强与实际生活的联系，加强实践操作，让学生通过折、量、画的手段，在动手做中获得知识的体验，增强学习兴趣，达到顺利完成本节内容的目的。
三、教学目标：1、认识圆，掌握圆的各部分名称及特征，2、理解同圆中或等圆中直径与半径的关系。
3、会使用工具正确规范画圆，培养学生的作图能力．四、教学重难点：1、教学重点：感知并了解圆的基本特征，认识圆的各部分名称。
2、教学难点：理解直径与半径的关系。
五、课前准备：1、学生准备好圆规、直尺、圆纸片2、自带一个轮廓为圆的物体学生自带一两个轮廓为圆的小物品。
六、教学过程（一）、创设情境，激发兴趣1、让学生观察课本第57页的`主题图，提问：同学们，现在请大家认真观察主题图看谁在这幅图上找到的圆多？学生汇报，（车轮、花坛、水池？）圆与我们的生活关系非常密切，谁还能举一些外形是圆的物体？学生汇报（钟面，??），老师也找了一些圆，我们一起来分享。
3、引出课题，圆在我们的生活中密切联系，今天这节课我们就来一起学习“圆的认识”。
4、我们以前学过的平面图行有哪些？这些图形都是用什么线围成的？简单说说这些图形的特征？长方形正方形平行四边形三角形梯形出示圆片图形：（二）、探索新知，动手发现1、“我能画”环节，学生用自己喜欢的方法画圆（不限定用圆规）（学生用圆柱、三角板中的小圆、直尺中小圆、茶杯盖？）（1）先自己在纸上画圆，再和组内的同学说一说你画圆的方法。
高中数学必修第二册椭圆的简单几何性质 教案
椭圆的简单几何性质课堂设计理念：授人于鱼不如授人于渔。
通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位。
教学目标：（1）知识与技能：掌握椭圆的X围、对称性、顶点，掌握ca,b,ba,,几何意义以及c 的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
（2）过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。
（3）情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
教学重点、难点：重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。
难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。
通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。
教学策略与学法指导：教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案。
学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。
解答题：利用“仿射变换”化椭为圆
浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用一、仿射变换思想方法椭圆)0,0(1:2222>>=+b a b y a x C 中，令a x x ='，by y =',，则椭圆方程变为单位圆 1'22=+y x C ： ，该变换过程称为仿射变换。
相当于在xoy 与'''y o x 两个坐标系来研究问题，但圆中几何意义明显，便于计算。
但最后要还原到椭圆中去解决问题。
变化前后点的坐标对应变化：),()','(),(bya x y x y x =→ )','(),()','(by ax y x y x =→二、性质1、点线关系不变（1）同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线 （2）结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上 （3）原三点共线，后三点也共线；原直线平行，后直线也平行 2、原弦长||AB ,斜率k ，后弦长|''|B A ，22211||k k m AB ++=|''|B A （其中ba m =） 3. 直线与圆锥曲线的位置关系不变（相切、相交）已知直线0:=++C Bx Ax l ，椭圆1:2222=+b y a x C ，讨论直线与椭圆的位置关系。
由a x x ='，byy =',仿射变换后，直线0:=++C Bx Ax l 变为0:'=++C Bbx Aax l 。
（此结论可以作为公式背下，提高平时做题的速度）椭圆变为1'22=+y x C ： ，由直线与圆的位置关系易得答案。
例1 已知直线03=-+y x ，椭圆1422=+y x ，则直线与椭圆的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C. 相离 D. 相切或相交解：由2'x x =，y y ='仿射变换后，直线03=-+y x ，椭圆1422=+y x 分别变为直线03''2=-+y x 、椭圆1''22=+y x ，而直线03''2=-+y x 到圆1''22=+y x 的距离15312|3|22>=+-=d ，所以直线和圆相离，由于仿射变换直线与圆锥曲线的位置关系不变，所以原直线和椭圆相离。
《椭圆的几何性质1》(课件)
①若c与a的比值变大时，椭圆的形状如何变化？ ②若c与a的值比变小时，椭圆的形状如何变化？ ③若c与a的比值不变时，椭圆的形状如何变化？
（ 在 R t B 2O F2中, co s B 2 F2O
c a
,
c a
越 大 ， B 2 F2O 越 小 ，
椭
圆
越
扁
；c a
越
小
，
B 2 F2O
越大，椭圆越圆）
X
把x换成-x，同时把y换成P-y（3方-x程，不-y变）， P（2 x，-y）
∴图象关于原点成中心对称。
结论： 坐标轴是椭圆的对称轴，
原点是椭圆的对称中心，
椭圆的对称中心叫椭圆的中心.
2、顶点
（1）椭圆的顶点：椭圆与对y称轴的交点。 结论：顶点的坐标为：AB12（(0-,ab,)0）、A2（a ,0）
（二）教学目标
1、知识目标
■ 探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线 性质的方法。
■ 掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间 互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题。
2、技能目标
■ 通过椭圆方程研究椭圆的简单几何性质，使学生经历知 识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理， 理性思维的能力。 ■ 通过掌握椭圆的简单几何性质及应用过程，培养学生对 研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，有亲 历体验发现和探究的兴趣，有动手操作，归纳猜想， 逻辑推理的能力，有分组讨论、合作交流的良好习 惯，从而愿意在教师的指导下主动与同学探究、发 现、归纳数学知识。
三、教 学 过 程
一.复习 椭圆的标准方程
y
y
专题2、椭圆化圆
( x, y) ( x, y) (ax, by)
2、椭圆化圆的常见结论：
AB BC AB u BC （1）原三点共线，后也三点共线：
原直线平行，后也直线平行：AB // CD AB // CD （2）直线：原直线斜率 k ，后直线斜率 k
例3、椭圆
x2 y2 1(a b 0) a 2 b2
离心率为 23 ，过右焦点斜率为
k (k 0) 的直线与椭圆交于 A, B ，若 AF 3FB ，求 k
解：
3 b2 1 e 2 a 2 4b 2 , c 2 3b 2 2 a 4
椭圆为
x x 2b y y b
3、椭圆化圆的应用
x2 y2 例1、求过椭圆 2 2 1(a b 0) 上一点P( x0 , y0 ) 的切线方程。 a b
x x a 解：令 y y b
化椭圆为 x2 y2 1
x0 y0 x O y 在 坐标系中：P( x0 , y0 ) P ( , )
专题二、椭圆化圆
1、椭圆化圆的思想方法
椭圆
x2 y2 1(a b 0) a 2 b2
中，令
x x a y y b
则椭圆方程变为：
x2 y2 1 为单位圆。
相当于在 xoy 与 xoy 两个坐标系来研究问题，但圆 中几何意义明显，便于计算。但最后要还到椭圆中 去解决问题。 变化前后点的坐标对应变化：
y0 y1 y0 y2 k1 k2 1 1 在 xOy 坐标系中： x0 x1 x0 x2 y1 y2 y1 y0 y2 y0 y0 y0 k2 2 1 2 k1 x1 x0 x2 x0 2 x1 2 x0 2 x2 2 x0
椭圆内切圆外切圆角度关系_概述说明以及解释
椭圆内切圆外切圆角度关系概述说明以及解释1. 引言1.1 概述椭圆是数学中一个重要的曲线形状，具有许多特殊性质和广泛应用。
内切圆和外切圆是与椭圆密切相关的几何图形。
本文将探讨椭圆内切圆和外切圆之间的角度关系，并解释其背后的原理和数学推导过程。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分。
引言部分对整篇文章进行了简要介绍；椭圆与内切圆外切圆的基本概念部分包括了对椭圆、内切圆和外切圆的定义与性质进行了详细阐述；接下来，我们将探究内接和外接角度之间的关系并推导出椭圆内切圆外切圆角度关系的过程；在实例分析与计算验证部分，我们将建立一个球面上的实例模型，并使用数学方法对其进行计算验证；最后，在结论与展望中总结归纳研究成果，并展望未来可能的研究方向。
1.3 目的本文旨在深入研究椭圆内切圆和外切圆之间的角度关系，了解他们之间的数学原理和性质。
通过实例分析和计算验证，我们将检验这种角度关系在实际应用中的准确性，并探讨它们可能具有的应用价值。
最终，希望能够为相关领域的研究提供理论支持和指导，并促进对椭圆内切圆外切圆角度关系更深入的研究。
2. 椭圆与内切圆外切圆的基本概念2.1 椭圆的定义与性质椭圆是平面上所有到给定两个焦点距离之和等于常数的点的轨迹。
其中，这两个焦点被称为椭圆的焦点，且它们之间的距离是椭圆的长轴长度。
此外，椭圆还有一个短轴，其长度取决于与长轴共线且垂直于长轴的直径。
椭圆具有一些重要的性质。
首先，任意一条从一个焦点到椭圆上任意一点再到另一个焦点的线段长度始终相等。
其次，椭圆关于两个坐标轴都对称。
此外，在以焦点为中心建立直角坐标系时，椭圆方程可以表示为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1或(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(a,b)是半长轴和半短轴长度，(h,k)是椭圆中心在坐标系中的坐标。
2.2 内切圆与外切圆的概念及特点内切圆指的是一个圆与椭圆的内部（即圆心位于椭圆内部）仅有一个公共点，而这个点是椭圆上距离该点最近的点。
椭圆度 零圆度 真圆度的关系
椭圆度零圆度真圆度的关系以人为本，椭圆度零圆度真圆度的关系以可持续发展为准则的生态规划设计成为椭圆度零圆度真圆度的关系园林景观设计的发展趋势，而椭圆度零圆度真圆度的关系又将是城市可持续发展的必由之路。
有人说：“椭圆度零圆度真圆度的关系的终生目标和工作就是帮助人类，使人、建筑物、社区、城市以及他们的生活同生活的地球和谐共处。
”久居高楼如林、车声嘈杂、空气污染的城市之后，椭圆度零圆度真圆度的关系又企盼着亲近自然和返回自然，于是返朴归真成为时尚。
椭圆度零圆度真圆度的关系随着席卷全球的生态主义浪潮，椭圆度零圆度真圆度的关系不得不站在科学的视角上重新审视园林景观行业，椭圆度零圆度真圆度的关系也开始将椭圆度零圆度真圆度的关系的使命与整个地球生态系统联系起来。
椭圆度零圆度真圆度的关系已不再停留在椭圆度零圆度真圆度的关系的狭小天地或是图纸上的空谈，而开始介入更为广泛的椭圆度零圆度真圆度的关系设计领域。
对椭圆度零圆度真圆度的关系生态发展过程的尊重、对椭圆度零圆度真圆度的关系的循环利用、对椭圆度零圆度真圆度的关系自我维持和可持续处理技术的倡导，具体到每个椭圆度零圆度真圆度的关系，都体现了浓厚的椭圆度零圆度真圆度的关系。
在设计中对生态的追求已经与对功能和形式的追求同等重要，有时甚至超越后两者，占据首要位置。
椭圆度零圆度真圆度的关系已成为景观设计师内在和本质的考虑，其创造的是一种可持续发展的景观。
一、椭圆度零圆度真圆度的关系设计理念1、椭圆度零圆度真圆度的关系以人为本。
在椭圆度零圆度真圆度的关系设计时要本着“以人为本”的原则，在椭圆度零圆度真圆度的关系设计中充分考虑人们的多维感觉。
椭圆度零圆度真圆度的关系内的休憩、娱乐设施，诸如亭、沙发、亲水平台以及花架等均以人性化设计为本，椭圆度零圆度真圆度的关系兼顾功能与美观，体现出椭圆度零圆度真圆度的关系的现代化要求。
充分考虑椭圆度零圆度真圆度的关系的气候特征，并评估周边地区环境特征，实现人与自然环境的和谐共生。
解决椭圆部分问题的新思路——化椭为圆
解决椭圆部分问题的新思路——化椭为圆——山西大学附中 刘嘉信一、概念与基本的推导化椭为圆，顾名思义，就是把椭圆变成圆。
那如何实现这一点呢?这里我们以中心在坐标系原点O 点，长轴在X 轴上的椭圆为例，看看如何将椭圆变成一个圆（在本文中默认a>b 〉0）： 椭圆的标准方程为：)1......(12222=+by a x 将（1）式中左右两边同时乘以2a 可得: )2......(22222a yb a x =+ 我们可以设y ba z =，代入（2）式消去y 就有： )3......(222a z x =+这时，我们可以发现，（3)式中的形式就是xoz 坐标系里面的一个以坐标原点为圆心、以a 为半径的一个圆.这时我们就把一个xoy 坐标系里面的椭圆成功的变成了一个xoz 坐标系里面的一个比较特殊的圆.实际上，我们可以发现，这个方法的本质就是把y 轴人为地拉长为原来的y b a z =倍,变成xoz 坐标系.二、应用无论什么理论，有实际的应用才有价值，那么那么这个方法到底有什么用处呢?我们知道，一般情况下，解决椭圆与直线关系等的问题时,我们需要联立、求解或者用韦达定理求解出21x x +或者是21x x ，较为繁琐，计算量较大，原因就是椭圆的几何性质太少，没有办法直接作出判断。
但是，在我们把椭圆变成圆以后，我们就可以利用远的一些性质来解决一些问题。
1、 判断直线与椭圆的位置关系.比如我们已知一条直线L ：)1)......(0(0≠=++AB C By Ax 我们还知道一个椭圆C ：)2......(12222=+by a x 我们可以用上面的方法，设y ba z =，代入（1)、(2）式得到： )3......(0=++C z aBb Ax )4......(222a z x =+这时候，我们就可以看出来：（3）式是xoz 坐标系里面的一条直线，而（4)式是xoz 坐标系里面的一个圆心为（0，0)、半径为a 的一个圆。
由浅入深，自然形成--活动单导学模式下的以椭圆为例的性质探究
由浅入深，自然形成--活动单导学模式下的以椭圆为例的性质探究潘丹丹【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2016(000)003【总页数】3页(P82-84)【作者】潘丹丹【作者单位】江苏省白蒲高级中学【正文语种】中文圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，近几年圆锥曲线的综合问题涉及面广、运算量大，既考查了学生的思维能力，又考查了学生的运算能力.很多学生对这块的得分并不抱太大希望，其实这正是学生们能取得进步的一个突破口.圆锥曲线有很多丰富精彩、生动有趣的性质，其定点、定值问题是诸多性质中的一条主线，而如何让学生从根本上记住这些结论以及运用这些结论是关键.事实上，仔细分析后我们发现，处理好圆锥曲线的这些问题的根本在于处理好与之相关的点.本文就以椭圆为例，如何由浅入深，一步一步引入并理解其性质及运用做一个思考.1.已知t∈R，圆C：x2+y2－2tx－2t2y+4t－4=0，若圆C过定点M，则定点M 的坐标为_________.2.圆O中，AB是它的一条直径，C是圆上异于A，B的任一点，则kCA·kCB=_________.3.A，B是椭圆的左、右顶点，C是椭圆上异于A，B的任一点，则kCA·kCB=_________.4.A，B是双曲线的左、右顶点，C是双曲线上异于A，B的任一点，则kCA·kCB=_________.基础自测的目标是能够让所有学生都能去操作，明确学习目标，并体会到本节课所研究的内容.事实上，很多学生在做活动单的时候第一想法就是不管会与不会，拿到手就做，做之前和做完后也没有什么反思与总结.基础自测是预习内容中强调主干核心的知识，对知识的主干进行精确的梳理和科学的整合，加强知识与知识的内在联系，便于学生能有充分的主观认识.其形式以填空题的方式呈现，帮助学生进行知识的回顾.基础自测第一题通过对无数个圆都过相同的点，特殊到两个圆的交点，然后验证这个交点就是研究的定点，以及通过无数个圆的认识体会到与变量无关，从而初步体现求定点问题的两种常见方法：（1）利用曲线系（直线系）特征确定点或由特殊值确定一定点，再进行一般性证明；（2）直接推理计算，并在计算推理过程中消去变量（与变量无关），利用方程组思想，从而得到定值.事实上，这道题目也可以通过配方从形式上直接得到结论.通过第三题，第四题对a2，b2及结论的关系，初步感受它们之间的内在联系，在授课过程中，从而提出疑问是巧合还是必然？明确研究目标，以椭圆为例，进而进行研究.要点梳理是每张活动单知识核心的展现，是通过老师的传授，在学生理解的基础上展现出的知识核心，其过程展现方式有：1.学生自我梳理.通过对基础自测的完成以及学生对本节知识的自我回顾，借助于书本或者参考资料对知识体系加以梳理，其作用在于可激发学生自主的去学习，提升自我的归纳总结的能力.2.老师与学生的共同提炼.通过对题目的思路的分析，方法的总结，在学生理解的基础上，提炼出考查的相关知识点和结论.对于本节课的知识梳理是：（1）求定点及定值问题的常见方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.（2）结论：结论1 椭圆上长轴的两个顶点与椭圆上任一点（除这两个顶点）连线的斜率乘积为定值结论2 椭圆上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上任一点（除这两个端点）连线斜率乘积为定值典型例题是基础自测中题目的升华，通过经典例题能更深层次地展现本节课的知识核心，是学生能力展现，思维升华的展现.例1 已知椭圆C：，B为椭圆的上顶点，过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于点R，S（不同于B点），设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标.思路分析：本题研究直线RS过定点，只要求出直线的方程即可，关键在于通过联立方程组求出直线上R，S的两点坐标.处理方式：在思路分析后，学生独立自主完成，小组讨论交流后，让学生通过黑板展示自我的成果.解：由题可知，BR的直线方程为y=k1x+2，将直线与椭圆联立方程组因为R，S关于原点对称，所以直线恒过定点（0，0）注：本题在证明RS过定点（0，0）时，也可通过证明OR，OS的斜率相等.教学过程中发现学生的思路清晰，方法明确，但在计算转化方面存在问题，由于圆锥曲线对于计算要求较高，笔者认为此题过程中在学生板书后应跟学生一起分析怎样求解，并鼓励学生加强学生的计算信心，为以后更复杂的计算打下基础.为了进一步探究圆锥曲线中定点、定值的性质，笔者对此题做了一些变式：变式训练1 已知椭圆，B为椭圆的上顶点，过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于点R，S（不同于B点），若直线RS过定点（0，0），设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，求思路分析：本题研究直线的斜率乘积，只要分别求出相对应的点即可，通过与学生共同分析分析可以发现，本题有两种不同的思路，思路一：可以选择设出直线方程后联立方程组求出点的坐标；思路二：可以根据点的对称性选择设而不求.处理方式：在思路分析后，学生独立自主完成，通过投影展示，对比不同的思路. 方法1：设直线RS的方程为：y=kx，与椭圆联立方程组得，所以，又B（0，2），所以方法2：设R（x，y），由椭圆的对称性可得S（-x，-y）.则，所以，又所以，则通过对方法1和方法2的对比，让学生在掌握基本方法的同时能灵活运用一些解题的技巧将解题过程进行优化，进而提高解题的能力.很显然，若R，S为椭圆的左、右顶点，结论亦成立.在变式1的基础上引导学生观察基础自测第三题，发现若R，S是左、右顶点，B是任意一点，探究一般性的结论，进而得到下面的变式：变式训练2 已知椭圆C：，R，S为椭圆的左、右顶点，B为椭圆的上任意一点（不同于R，S），设直线BR，BS的斜率分别为k1，k2，求学生通过自主探究得出一般性结论：结论1 椭圆上长轴的两个顶点与椭圆上任一点（异于两个顶点）连线的直线的斜率乘积为定值在授课过程中发现当学生在充分认识了结论1之后，有不少同学带有疑问，有同学就及时提出：如果在前面例题设而不求，利用对称性的基础上，如果保证R，S始终关于原点对称，B为异于R，S上任意一点，那结论还是否成立呢？此时，笔者自然而然提出下面的变式：变式训练3 已知椭圆，直线RS过点原点交椭圆于R，S两点，B为椭圆的上异于R，S上任意一点，设直线BR，BS的斜率分别为k1，k2，求学生思考，独立自主完成，小组适当交流后，然后通过投影将成果展示.结论2 椭圆上任意一条过原点的弦的两个端点与椭圆上任意一点（除这两个端点）连线斜率的成绩为定值显然结论1是结论2的特殊情况，在上述变式过程逐层递进，通过逆向思维引入变式1，通过变式1发现特殊情况，从特殊情况到一般情况，再研究一般情况.通过数形结合、归纳类比、设而不求的数学方法得到一般性的结论，并通过结论解决椭圆中与过原点弦的有关问题，以此来解决例2和变式.例2 如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆为，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.对任意k＞0，求证：PA⊥PB.分析：要证：PA⊥PB，即证，通过引导学生利用今天所学的结论知识发现结论，所以只要证：kPA=2kAB即可.证明：设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0），所以kPA=，即，所以-1，即PA⊥PB.建立在本节课所研究的基础上大大简化了这道题目的复杂性.事实上，不少同学在没有认知这个结论的时候，利用的方法就是将直线与椭圆联立方程组，通过方程组解出点的坐标，进而求出斜率，证明kPA·kPB=-1，对学生的运算能力和推理证明的能力较高，不少学生因为计算能力做到一半甚至就会打退堂鼓，当然上述结论在解答题中不能直接运用，需有证明的过程.变式如图2，若D是椭圆的右顶点，直线AD， PD交直线x=3于E，F两点，求|EF|的最小值.解：由题意可知，直线AD的斜率存在且大于0，设kAD=k1＞0，则lAD：y=k1（x-2）.令x=3，得E（3，k1），由结论可得，所以令x=3，得F因为k1＞0，所以，当且仅当即时等号成立，所以|EF|的最小值为活动单导学不仅重视学生获得知识的对与错，多与少，完成作业的优与劣，更关注学生的态度、情感、能力、责任心及合作精神等个性品质的培养，注重学生对过程的主体性体验，注重活动过程本身对学生的教育价值.事实上，在以椭圆为例的基础上探究了椭圆中与过原点弦的有关问题，通过类比的思想，可引导学生通过自主探究，自主学习，合作讨论去研究双曲线，抛物线中的类似结论.在活动单导学的模式下，本节课中以“合作学习小组”为基本学习单位，以“自主、合作、探究”为主要学习方式，以“课堂反馈与评价机制”为保障，充分体现了“教为主导、学为主体、学会与会学、个性发展与全面发展”相统一的教学理念，以此培养学生的自主学习能力，探究问题的意识和合作学习的精神.。
椭圆 化标准型
椭圆化标准型在解析几何中，椭圆是一种常见的二次曲线。
对于椭圆的研究，经常需要将其化为标准型，以便更好地研究其性质和进行计算。
本文将详细介绍椭圆化标准型的过程和意义。
一、椭圆的基本性质椭圆是平面内所有满足一定条件的点的集合。
具体来说，椭圆是平面内所有满足方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（其中$a>b>0$）的点的集合。
这个方程就是椭圆的标准方程，其中$a$和$b$分别表示椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆有两个对称轴，分别是$x$轴和$y$轴。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，这个常数等于椭圆的长轴长。
二、椭圆化标准型的过程对于一般的二次曲线方程，我们可以通过平移、旋转等变换将其化为标准型。
对于椭圆来说，化标准型的过程主要包括以下步骤：1. 平移：将坐标原点平移到椭圆的中心。
这可以通过在方程中加减常数项来实现。
2. 旋转：将坐标轴旋转到与椭圆的对称轴重合。
这可以通过引入新的坐标变量，并通过正交变换来实现。
3. 缩放：将坐标轴单位长度缩放到与椭圆的半轴长相等。
这可以通过在方程中乘以适当的常数来实现。
经过以上步骤，我们就可以将一般的椭圆方程化为标准型。
需要注意的是，化标准型的过程需要保证变换的可逆性，以便在需要时可以将标准型还原为一般型。
三、椭圆化标准型的意义将椭圆化为标准型有以下几方面的意义：1. 便于研究椭圆的性质：标准型能够直接反映椭圆的对称性和焦点位置等性质，便于我们进行深入研究。
2. 便于进行计算：在标准型下，我们可以方便地计算椭圆的面积、周长等几何量，以及进行与椭圆相关的其他问题的计算。
3. 便于进行图形绘制：在标准型下，我们可以方便地绘制出椭圆的图形，从而更好地理解其几何意义。
四、结论椭圆化标准型是解析几何中的重要内容之一。
通过掌握化标准型的方法和技巧，我们可以更好地理解和应用椭圆的相关知识，为解决实际问题提供有力的数学工具。
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椭圆化圆的初步研究胶州市实验中学刘红升 2015.8椭圆化圆就是通过“伸缩变换”将坐标空间伸缩，使椭圆转化成圆（有些题目须再化回椭圆），使问题的运算量下降、难度降低，毕竟圆的“数形结合”属性要比椭圆明显好用的多！这也是转化化归思想的体现。
并不是所有椭圆问题都可以化圆处理，必须保证转化前后的等价性。
目前我认为能够明确等价的是：“直线与椭圆的位置关系”伸缩后等价于“直线与圆的位置关系”； 直线平行关系等价；（直线的垂直关系及夹角大小一般会改变）； 面积与伸缩成正比； 直线斜率与伸缩反比；坐标与完全伸缩同步。
平行或共线的线段长度比值不变！相互垂直的线段比值化其中一个关于y=x 对称点后不变（见后面08文）！ （证明略，其他情况暂不可控！）目前为止，我尚不能确定长度、角度是否存在可实际操作的关系，暂认为“不可控”。
由于山东高考题11年来文理科均有一些题目必须依赖长度，因此能够用“椭圆化圆”处理的题目比例约为60%多一点（准确统计见后面的统计表），尽管“椭圆化圆”不是一种放之四海皆准的“通法”，但依然有很大的使用价值，从知识上看：近几年尖子生难以逾越140与解析几何关系最大，我们岂能因循守旧坐以待毙！11,,222222='+'=+='='y x by a x b x y a x x 可转化为则椭圆S ab S S abS m k bak m x ka y b m kx y '=='='⇒+'='+=即不变！纵截距可化为：直线,1,椭圆化圆在山东高考中的有效率统计：例题分析：(2015山东理20题)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b +=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.（ⅰ）求||||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积最大值.研究：（Ⅰ）椭圆C 的方程为2214x y +=.过程略。
（Ⅱ）（ⅰ）椭圆化圆：1,,222='+'='='y x C y y xx 可化为圆：则椭圆，椭圆422='+'y x E 可化为圆：，（Ⅱ）（ⅱ）1,,2=+=='y x C y y xx 可化为圆：则椭圆,椭圆422='+'y x E 可化为圆：， 104)(42216322222≤<'+-=•-•===∴'''∆∆∆d AB O d d d d d S S S O B A ABO ABQ 的距离，到直线为其中 364)(6222≤+-=∴∆d d S ABQ（2015山东文21题仅第（1）问与理科稍有不同，略）与常规法相比“椭圆化圆”充分利用了圆“数形结合”的属性，使此题此题大大降低运算量与运算能力！甚至可以乐观地估计，只要能够合理的转化过来，那么此题大部分“一本线上”的学生都能够得满分！（2014文22）圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，直线y x =被椭圆C截得的线段长为.（Ｉ）求椭圆C 的方程；（II ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.（i ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求OMN ∆面积的最大值. 注：本题由课本经典结论改编而成！研究：（Ｉ）椭圆C 的方程：1422=+y x ，过程略。
（II ）（i ）1,,222='+'='='y x C y y xx 可化为圆：则椭圆.由题知：41-='•'⇒-=•AD AB AD AB k k k k11-='•AB k k ,11144,1k x y k k k k B B AB AD '=''⇒'='⇒-='•'∴，设直线)0,3()(4:B B BBB x M x x x y y y D B '-'⇒'-''='-''1212122212112-=⇒-=⇒'-='⇒'-=''-='∴λk k k k k x y k BB（ii ）由（i ）可求的：89216)(168921)43,0(22≤'=∴='+'≤''=''''='⇒''∆∆∆OMN OMN B B BB OMN B S S y x y x N O M O S y N此题“椭圆化圆”的优势并不明显，因为此涉及斜率较多，即使在椭圆内运算量也不大，主要是量的代换问题！因此此题不是一道很典型适合“椭圆化圆”的题目，不过总体来看“椭圆化圆”还是使得此题稍变简单！直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l.12=+y （Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1、PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线 PM 交C 的长轴于点M （m，0），求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 设直线PF 1,PF 2的斜率分研究：（Ⅱ）考吧！系难找到！请老师们思的角平分线了，等价关已经不再是伸缩后21PF F PM ∠（Ⅲ）1,,222='+'='='y x C y y xx 可化为圆：则椭圆. 8)11(411,,23,23212121-=''+''=+∴''-='-''='+''='k k k k kk kk y x k x y k x y kP PP P P P 太轻松了！ 椭圆化圆与常规方式比较起来无论是思维难度还是运算难度大大降低，甚至相当于一道小题！（2013山东高考数学文科22题（2））A,B 为椭圆C ：1222=+y x 上满足AOB ∆E 为线段AB的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP tOE =，求实数t 的值 研究：1,,222='+'='='y x C y y x x 可化为圆：则椭圆，方式一：332214341431221222或，或==''''==∴=⇒=-='⇒'=∆∆∆d E O P O OE OP t d d d S S S AOB AOB AOB 方式二：33221233sin 216sin32343sin 2122或或或==''''==∴======⇒='''∠⇒='''∠='⇒'=∆∆∆d E O P O OE OPt r OE d r OE d B O A B O A r S S S AOB AOB AOB ππππ由于三角形面积公式太多，其他方式略。
椭圆化圆与常规方式比较起来无论是思维难度还是运算难度大大降低，甚至相当于一道小题！(2012文科21) 如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为32，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ) 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.研究：虽然长度本身伸缩后的变换“不可控”，但是共线与平行线段的比值伸缩前后不变，因此可保证此题的等价性！ 解析：m x y y x C y y x x +'='='+'='='21,,222，直线可化为：可化为圆：则椭圆当[)3,12-∈m 时，)12(263122m m STPQ -+-=，以下略。
当(]21,3--∈m 时，与[)3,12-∈m 时对称，结果相同！当[)1-2,2-1∈m 时，263122m ST PQ -=，以下略。
本题与常规方法相比椭圆化圆使得Q P 运算简化，但是ST 、||||PQ ST 等运算不仅未得到简化甚至略有增加。
当然不排除换一种处理方式会好一些，我暂时还未想到其他好的处理方式！2012理科考得是抛物线，无法转化！（2011理科22题）已知直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()1x y ⋅.Q ()1x y ⋅两不同点，且△OPQ 的面积S=62,其中Q 为坐标原点。
（Ⅰ）证明:2221x x +和2221y y +均为定值（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求PQ OM 的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得26===∆∆∆OEG ODG ODE S S S 若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由。
研究：（Ⅰ）POQ POQ S S y x C y y x x ∆∆'=='+'='='61,2,322，可化为圆：则椭圆 ,2)(2,3)(311)1)(1(1)1)(1()()(021sin sin 11212122212221222122212221222122212221221212121='+'=+='+'=+='+'⇒='-'-∴='+'⇒'-'-=''=''⇒=''+''∴''⊥''⇒='''∠⇒='''∠⇒'''∠•••=='∴∆y y y y x x x x y y y y x x x x y y x x y y x x Q O P O Q O P Q O P Q O P S POQ π（Ⅱ）不平行且不是比值问题等价关系难以找到！（Ⅲ）椭圆化圆会导致三角形形状改变且不可控（不好等价转化）！（2011山东文科22）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -. （Ⅰ）求22m k +的最小值； （Ⅱ）若2OG OD =∙OE ， （i ） 求证：直线l 过定点；（ii ） 试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABC ∆的外接圆方程；若不能，请说明理由.研究：（Ⅰ）由于伸缩变换对于坐标是等价变换，因此很适合椭圆化圆处理！1),3(,311:),3(,3,331,,322=⇒-'-=''-='⇒'⊥''-'='-='-=='+'='='''''km l m D x kx k y l l E O m D k k x x y x C y y x x E O E O 上，在直线可化为，直线可化为圆：则椭圆研究：（Ⅱ）线段共线且次数相同，本质仍未比值问题，因此可通过等价转化使用“椭圆化圆”利用圆的“形”避开椭圆“联立”！）恒过（）恒过（上在直线又上，在直线又又，0,1-0,33-)33(3)31333(331)313(3:)313(331:)31,313(,313)1,3(),311,313(222222222222222222l l x k kk x k k kk k x k y l k k x k k k y l l E k kk k E l E k k x k D kk k G x x x E O D O G O E O E ED G ⇒'∴+=+++=++++=''∴++=+-''⇒''++-'⇒'+-='⇒-'++-'''='⇒''''='''' ，最后一问：由于三角形形状会改变，因此难以找到外接圆的等价状态！（2010山东文22）说明理由。