北师大版必修1-指数扩充及其运算性质

1
1
32 5
2
2
2
2
探究点一 分数指数幂
一般地，给定正实数a,对于任意给定的整数n,存在唯
一的正实数b,使得bn=a,我们把b叫作a的 次1幂，记
1
n
作b= a n
说一说
b2 4
b3 17
x5 25
b叫做4的1 次幂
2
b叫做17的 1次幂
3
x叫做25的
1 5
次幂
探究点一 分数指数幂
问题4：在bn=am中，已知正实数a和整数m,n(m,n互素)，
(1) 4x+4-x;
(2) 8x+8-x.
练习2.已知10α=2，10β=3，把下面的数写成底数是10的幂的
形式： （1）2 ； （2）8； （3）24； （4） 3 .
3
2
例题讲解
1
1
例5. 已知 a 2 a 2 3, 求下列各式的值：
（1）a a1；
3
3
（2）a2 a2；
（3）a a
2 a
1
2－a
2
1 2
.
练习3.已知 2x+2-x=5, 求下列各式的值:
2
93,所以9 27 3 ,
2
27 3
1
2
273
1. 9
探究点二 无理数指数幂
问题5：现在，指数已经扩充为可以是任意的整数 和分数了，也就是可以是任意有理数了，那么，指 数还可扩充为任意的无理数吗？
我们以10 2 为例来认识无理数指数幂
探究点二 无理数指数幂
1.已知 2 1.414 213 56，则1.41, 1.414, 1.414 2, 1.414 21, …是 2
扩充
把整数指数幂
分数指数幂
探究点一 分数指数幂
问题3：在整数指数幂的运算bn=a中，已 知正实数a和整数n，如何求b？
x2 9, x ? 只有唯一的正数 3, 使得32 9
1
1
把3记作92 ,即3 92.
x5 32, x ?只有唯一的正数1 ,使得(1)5 32
把
1
记作32
1 5
,
即
5
2b 34 ;
3b
3m 5n
;
(3)b5n 3m m, n N ;
探究点一 分数指数幂
正分数指数幂可以写成根式形式：
m
写一写 a n n a m
1
2
（1）82 _8_ （2）27 3 3__272
3
5
（3） 42 _4_3 （4）27 3 3_2_75
5
2
（5） a5 _a_2 （6）3 m2 _m_3
探究点二 无理数指数幂
一、无理数指数幂的意义
一般地，无理数指数幂aα(a>0, α是无理数）是一个确定的实数.
注意!
1.底数a>0; 2.由于无理数指数幂aα(a>0, α是无理数）是一个确定的 实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有 理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂.
即
无理数指数幂的运算性质：
25.959 719 76… 1.414 3
1.414 21 25.954 340 62…
…
…
25.954 938 25 … 1.414 22
…
…
101.4 101.41 101.414 101.414 2 10 2 101.414 3 101.415 101.42 101.5.
（1）aman=am+n （a>0,m, n 都是无理数）
（2）(am)n=amn （a>0, m, n 都是无理数 ）
（3）(ab)n=anbn（a>0, b>0, n是无理数 ）
扩充
整数指数幂
实数指数幂
探究点三 实数指数幂
二、实数指数幂的运算性质 对任意的实数 m, n, 均有下面的运算性质：
探究点一 分数指数幂 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿
规定
m
a n
1
m
a
0, m, n
N , 且n
1
an
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂无意义.
扩充
整数指数幂
有理数指数幂
探究点一 分数指数幂
例2 计算
18
1 3
;
227
2 3
解1因为23
8,
所以8
1 3
1
1
83
1 2
2因为27 2
（1）am·an=am+n （a>0, m, n ∈R） （2）(am)n=amn （a>0, m, n ∈R） （3）(a·b)n=anbn（a>0, b>0, n ∈R ）
例题讲解
例3.化简（式中字母均为正数）：
1
(1) 3x 2 (2x 2 yz); (2) ( x a y)a (4 ya ).
点评： 注意运算性质的应用.
练习1.化简（式中字母均为正数）：
1
1
（1）3 2 4 2 ; (2) 2x 3 (3x 3 y 3 ).
例题讲解
例4.已知10α=3，10β=4，求10α+β， 10α-β，10-2α， 10 5.
点评：运用整体思想和运算性质是解决本题的关键，要深 刻理解这种方法.
的什么近似值？而1.42, 1.415, 1.414 3, 1.414 22, …是 2的什么近
似是值2？不足近似值
是 2过剩近似值
2.从1.4下<面1.4两1<个1.表41中4<，1.4能14发2现<…什<么2样<的…<规1.律41？4 3<1.415<1.42<1.5
α3.10 2是一个什10么α 性质的数呢？
如何求b？ 给定正实数a,对于任意给定的整数m,n(m,n互素),
存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们把b叫作a的 m 次
n
幂，记作
m
b an
它就是分数指数幂。
探究点一 分数指数幂 例题讲解
例1 把下列各式中的b(b>0)写成分数指数幂的形式.
(1)b5 32; (2)b4 35;
1
解 1b 32 5 ;
10α
α
14..4利用25上.1面18的86结4论31你…能说出一般性的结论吗31？.622 776 60… 1.5
1.41 25.703 957 82…
26.302 679 91… 1.42
1.414 25.941 793 62…
பைடு நூலகம்26.001 596 63 … 1.415
1.414 2 25.953 743 00…
§2 指数的扩充及其运算性 质
温故知新 整数指数幂
问题1: 整数指数幂是如何的？有何规定？ 定义:
规定：
探究点一 分数指数幂
问题2：实际问题中，指数不一定都是整数.例如， 在§1的问题2,关于臭氧含量Q与时间t的函数关系, 我们只讨论了自变量是正整数的情况,如果时间t是 半年,或15年零3个月,此时自变量不是一个整数,而 是分数,那么此时情况又怎样呢?