勾股定理及两点间距离公式B(学生版)

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坐标系中两点间的距离公式

坐标系中两点间的距离公式
在坐标系中，我们经常需要计算两个点之间的距离。

这个距离可以用勾股定理来计算，也可以用坐标系中两点间的距离公式来计算。

本文将介绍坐标系中两点间的距离公式及其应用。

坐标系中两点间的距离公式
假设在坐标系中有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以用以下公式来计算：
d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
其中，d表示两点之间的距离，√表示开方，(x2 - x1)²表示x2与x1之间的差值的平方，(y2 - y1)²表示y2与y1之间的差值的平方。

应用举例
假设在坐标系中有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以用上述公式来计算它们之间的距离：
d = √[(5 - 2)² + (7 - 3)²]
= √[3² + 4²]
= √(9 + 16)
= √25
= 5
因此，点A和点B之间的距离为5。

坐标系中两点间的距离公式的应用不仅限于计算两个点之间的距离，还可以用于其他问题的求解。

例如，我们可以用这个公式来计算一个点到某一直线的距离，或者计算一个点到某一平面的距离等等。

总结
坐标系中两点间的距离公式是计算两个点之间距离的一种常用方法。

它可以用于计算两个点之间的距离，也可以用于其他问题的求解。

在实际应用中，我们可以根据具体问题来选择合适的方法来求解。

平面坐标2点之间距离公式

平面坐标2点之间距离公式在平面直角坐标系中，我们经常需要计算两个点之间的距离。

这个距离可以用一个简单的公式来计算，即两点间距离公式。

本文将介绍如何使用该公式来计算平面坐标系中两点之间的距离。

1. 坐标系简介平面直角坐标系是一个由两条垂直的坐标轴组成的二维坐标系。

其中，横轴称为x轴，纵轴称为y轴。

任意一点在坐标系中可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x是该点在x轴上的坐标，y是该点在y轴上的坐标。

2. 两点间距离公式设平面上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们需要计算这两点之间的距离。

根据勾股定理，两点之间的直线距离可以表示为：距离= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，√表示开平方根，(x2 - x1)²表示x坐标差的平方，(y2 - y1)²表示y 坐标差的平方。

3. 实例演示假设有两点A(3, 4)和B(-2, -1)，我们将演示如何使用上述公式计算它们之间的距离。

根据公式，我们可以计算出：距离= √((-2 - 3)² + (-1 - 4)²)= √((-5)² + (-5)²)= √(25 + 25)= √50≈ 7.07所以，点A和点B之间的距离约为7.07个单位。

4. 总结通过上述实例演示，我们可以看到，在平面直角坐标系中，计算两点之间的距离可以使用距离公式。

这个公式简单直观，只需要计算两点的坐标差的平方和，然后将其开平方根即可得到两点之间的距离。

在实际应用中，这个公式可以用于测量两个平面坐标点之间的距离，以及计算线段或多边形的长度等。

它在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

希望本文能够帮助你理解平面坐标系中两点之间距离的计算方法，并能够应用于实际问题的解决中。

两点间距离公式的推导过程

两点间距离公式
两点间距离公式是∣AB∣=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。

两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。

设两个点A、B以及坐标分别为：A(X1,Y1)、B(X2,Y2)则A和B两点之间的距离为：∣AB∣=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。

两点距离公式是常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。

两点间距离公式推论：
已知AB两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)。

过A做一直线与X轴平行,过B做一直线与Y轴平行，两直线交点为C。

则AC垂直于BC(因为X轴垂直于Y轴);则三角形ACB为直角三角形，
由勾股定理得：AB^2=AC^2+BC^2;故AB=根号下AC^2+BC^2,即两点间距离公式。

点到直线的距离：
直线Ax+By+C=0 坐标(x0，y0)那么这点到这直线的距离就为：d=│
Ax0+By0+C│/根号(A^2+B^2)。

初二上勾股定理(经典题型)

初二上勾股定理(经典题型)数学秋季班教案第十九章几何证明——勾股定理及两点之间的距离公式知识回顾】勾股定理是指对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a²+b²=c²（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。

勾股定理的逆定理是指如果三角形的三边长a、b、c有关系，a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

常见的勾股数有(3n,4n,5n)、(5n,12n,13n)、(8n,15n,17n)、(7n,24n,25n)、(9n,40n,41n)等。

勾股定理的证明图如下：两点之间的距离公式是AB = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]。

例题讲解】例题1：已知a₁=1，a₂=5，a₃=13，a₄=25，a₅=41，a₆=61.aₙ=aₙ₋₂+aₙ₋₃，求a₇。

解析：根据题意，a₇=a₅+a₄=66.例题2：如图所示，已知△ABC的三边AB=15，BC=20，AC=25，求△ABC最长边上的高。

解析：根据海伦公式，可得△ABC的面积为150，再根据最长边上的高公式，可得最长边上的高为12.例题4：已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF²=BE²+FC²．解析：根据勾股定理，可得BE²=AB²-AE²，FC²=AC²-AF²，代入EF²=BE²+FC²中得证。

例题6：一只2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚移动的距离是多少？解析：根据勾股定理，可得梯子顶端到地面的距离为√(2.5²-0.7²-0.4²)=2.31m，因此梯脚移动的距离为2.31-0.7=1.61m。

两点间的距离公式和中点公式

两点间的距离公式和中点公式首先，让我们来看两点间的距离公式。

假设有两个平面上的点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的直线距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式实际上是根据勾股定理推导出来的。

我们可以将点A和点B看作是一个直角三角形的两个顶点，而线段AB就是斜边。

根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和。

在这里，两个直角边的长度分别是(x2-x1)和(y2-y1)，所以直线距离可以表示为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

这个公式的意义非常直观。

实际上，我们可以将其应用到三维空间或更高维度的情况中。

只要将坐标分量的平方和根号进行推广即可。

这个公式在测量两点间的距离时非常有用，例如在地理学和导航系统中，我们可以使用它来计算两个地理位置之间的直线距离。

接下来，我们来看中点公式。

中点公式用于计算一个线段的中点坐标。

假设有一个线段AB，其中点A的坐标为(x1,y1)，而点B的坐标为(x2,y2)，线段AB的中点C的坐标可以通过以下公式计算：Cx=(x1+x2)/2Cy=(y1+y2)/2中点公式的推导非常简单。

由于线段AB的中点C位于点A和点B之间，所以C的x坐标就是x1和x2的平均值，而C的y坐标就是y1和y2的平均值。

这个公式也可以推广到更高维度。

例如，在三维空间中，线段的中点可以表示为(x1+x2)/2，(y1+y2)/2和(z1+z2)/2中点公式在几何学和代数学中经常使用。

它可以帮助我们计算线段的中心位置，这在绘图和建模中非常有用。

此外，中点公式还可以与向量的概念结合使用，用于计算线段的向量表示。

总结起来，两点间的距离公式和中点公式是数学中两个非常重要的公式。

两点距离公式用于计算平面上两个点之间的直线距离，而中点公式用于计算线段的中点坐标。

尽管它们的推导和计算方法都非常简单，但它们在几何学、代数学和应用数学中有广泛的应用。

沪教版八年级上册-勾股定理及两点间距离公式讲义

2、线段的中点公式
点，之间所连线段的中点坐标为（，）
公式对于和两点在平面内任意位置都是成立的
热身练习
1、在中，那么AC长等于（B）
A. B. C. D.
2、三角形的三边长是9、15、12，它的最长边上的高是（A）
A。7.2 B.6.5 C.10 D无法求出
3、两船分别从港口向东北、西北方向行驶，速度分别为15海里/小时和10海里/小时，若两船同时开出，2小时后相距（A）
，解得或，所以B的坐标是（0，0）或（6，0）；
（2）点B在轴上，那么可设B的坐标为（0，）
，解得或，所以点B的坐标是（0，0）或（0，8）；
（3）点B在第一、三象限的角平分线上，那么可设B的坐标为（）
，解得或，所以点B的坐标是（0，0）或（7，7）；
（4）点B与轴的距离等于1，则点B在与轴平行且分布在轴两侧的直线上，那么可设B的坐标为（1，）和（-1，）
证明：利用面积相等有，
整理得c2＝a2＋b2.
例2、如果一个直角三角形的三边长为三个连续的偶数，求这三角形的三边长。
解：设直角三角形的三边长为（为正整数），显然最长，则有
，
，
所以直角三角形的三边为6、8、10
例3、如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
解：联结AC
在Rt 中，因为，AB=12,BC=9
所以AC= （勾股定理）
在中，AC=15，AD=8，CD=17
而，即
所以为直角三角形，且（勾股定理逆定理）
所以
例5、已知在直角坐标平面内，A、B两点的坐标为A（2，2）、B（-1，-2），点P在X轴上且

勾股定理及两点间的距离公式

模块一：勾股定理的证明及应用知识精讲1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．例题解析【例1】（1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．【例2】（1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【例3】（1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________；（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【例4】（1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【例5】如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长．【例6】如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【例7】已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．【例8】如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）．A BCD A BCM MNBC D【例9】如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?【例10】如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积．【例11】如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．APQMNABCD EF A BC DA B CDP2、逆定理：（1）如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2）在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例12】下列命题中是假命题的是（）A ．在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ．在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ．在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形【例13】（1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形．【例14】（1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用例题解析知识精讲【例15】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断△ABC 的形状．【例16】如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ．（1）若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2）若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【例17】如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．ABCD A BCDE【例18】如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值．3、距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1）当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -；（2）当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．【例19】已知点A （2，2）、B （5，1）．（1）求A 、B 两点间的距离；（2）在x 轴上找一点C ，使AC =BC ．例题解析模块三：两点间的距离公式ABCDEF知识精讲【例20】（1）已知A（x，3）、B（3，x+1）之间的距离为5，则x的值是_________；（2）已知点P在第二、四象限的平分线上，且到Q（2，-3）的距离为5，则点P的坐标为_________．【例21】（1）以点A（1，2）、B（-2，-1），C（4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A（0，3）、B（0，-1），△ABC是等边三角形，则点C的坐标是_______．【例22】已知直角坐标平面内的点A（4，1）、B（6，3），在坐标轴上求点P，使P A=PB．【例23】已知直角坐标平面内的点P（4，m），且点P到点A（-2，3）、B（-1，-2）的距离相等，求点P的坐标．【例24】已知点A（2，3）B（4，5），在x轴上是否存在点P，使得PA PB的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【例25】已知直角坐标平面内的点A（4，32）、B（6，3），在x轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形．【例26】已知点A（4，0）、B（2，-1），点C的坐标是（x，2-x），若△ABC是等腰三角形，求C的坐标．【习题1】六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A．2、4、8B．4、8、10C．6、8、10D．8、10、12随堂检测【习题2】已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【习题3】（1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．【习题4】如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长．【习题5】如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积． A B CDABC DEF【习题6】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC 的面积．【习题7】若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【习题8】如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长．【习题9】已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．AB D CABQP M【习题10】如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==o ，，是ABC ∆内一点，且 312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【习题11】若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明．【作业1】下列命题中，正确的有()个（1）腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等（2）有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等（3）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3课后作业ABCM【作业2】如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______．【作业3】如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________．【作业4】已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________．【作业5】现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，C 与E 重合，且AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.【作业6】如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是 ____________．【作业7】已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D 两点的距离为_______. 5072A【作业8】知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=o o ，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30o 后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________.【作业9】已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状.【作业10】阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状.解：Q 222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B )222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________；（2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.ABCDQPABCQP【作业11】如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【作业12】在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标.。

3.1 探索勾股定理(学生版) 2024-2025学年七年级数学上册同步课堂(鲁教版五四制)

3.1 探索勾股定理◆勾股定理的定义：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：222a b c += ．题型一应用勾股定理求线段长1.（2024春•嘉祥县期中）如图，在ABC D 中，90C Ð=°，若1AC =，2AB =，则BC 的长是( )A ．1BC．2D2.（2023秋•临淄区期末）如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，3BC =，4AC =，CD AB ^于点D ，E是AB的中点，则DE的长为( )A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9题型二应用勾股定理求面积1.（2024春•齐河县校级月考）如图，字母B所代表的正方形的面积是( )cmcm D．306 2cm B．15 2A．12 2cm C．144 22.（2022秋•郓城县期中）如图，在Rt ABCD中，90Ð=°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在C数学史上称为“希波克拉底月牙”，当4BC=时，则阴影部分的面积为( )AC=，2A．4B．4p C．8p D．83.（2024春•济南期末）已知，如图长方形ABCD中，3=，将此长方形折叠，使点BAD cmAB cm=，9D的面积为( )与点D重合，折痕为EF，则ABE6cm D．212cm3cm B．24cm C．2A．24.（2023秋•阳信县期末）如图，在Rt ABCAB=，则正方形ADEC和正方形BCFGÐ=°，若15D中，90C的面积和为( )A．225B．200C．150D．无法计算5.（2024春•沂水县校级月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是( )A．50B．16C．25D．416.如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是( )A．16B．25C．144D．169题型三勾股定理的证明1.（2024春•历下区期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是( )A．B．C．D．2.（2024春•梁山县校级月考）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若7ab=，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为( )A．16B．8C．4D．23.（2024春•阳谷县校级月考）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a b+的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．84.（2024春•嘉祥县期中）如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值是( )A ．25B ．17C ．29D ．225.（2023秋•邹平市期末）下面图形能够验证勾股定理的有( )A ．0B ．1C ．2D ．36.（2022春•兖州区期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )A ．B ．C ．D ．7.（2024春•齐河县校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，那么2()a b +的值为．8.（2015秋•滕州市校级期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为．9.（2024春•河东区校级月考）阅读下列材料，并完成相应任务．教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a 、b 、c ，将它们拼成如图2的大正方形．（1）观察：图2中，大正方形的面积可以用2()a b +表示，也可以用含a 、b 、c 的代数式表示为，那么可以得到等式：．整理后，得到a 、b 、c 之间的数量关系：222a b c +=，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边a 、b 与斜边c 所满足的关系式．（2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可）（3）应用：如图3，在直角三角形ABC 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，那么AB = ，点D 为射线BC 上一点，将ACD D 沿AD 所在直线翻折，点C 的对应点为点1C ，如果点1C 在射线BA 上，那么CD = ．（直接写出答案）10.（2024春•兰山区校级月考）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a ，()b a b <，斜边长为c ．（1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②)．①小正方形的边长为c ，大正方形的边长为；②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式，整理得，从而验证勾股定理；（2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使BC 和CD 在一条直线上，连接AE ．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．11.（2024春•昌乐县期中）公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a 、b 与斜边c 满足关系式222a b c +=．还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足222a b c +=，则这个三角形是直角三角形．（1）小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形ACDE 边CD 上取点B ，连接AB ，得到Rt ACB D ，三边分别为a ，b ，c ，剪下ACB D 把它拼接到AEF D 的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理．（2）一个零件的形状如图3，按规定这个零件中A Ð和C Ð都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：)cm 如图③所示，这个零件符合要求吗？12.（2024春•长清区期中）（1）计算：(2)()a b a b ++= ；（2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式：图2: ；图3: ；（3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系：做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，再做1个长分别为c 的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：222a b c +=．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即222a b c +=．（4）如图5，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD 是AB 边上高，4AC =，3BC =，求CD 的长度．。

两点间距离公式。

两点间距离公式是在数学学科中，用来计算平面上两个点之间距离的公式。

它是非常重要的一种数学工具，更是各个学科以及实际生活中常用到的一种公式，具有重要的指导意义。

让我们先来了解一下两点间距离公式的具体内容。

在平面直角坐标系中，设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是平面上的两个点，则它们之间的距离公式为：d（AB）=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]这个公式的推导通常采用勾股定理，将两点看作直角三角形的两个端点，通过利用勾股定理进行计算，从而得到两点间距离的公式。

在实际生活中，两点间距离公式被广泛应用于各个领域。

比如在地图制作中，我们需要知道两个城市之间的距离，就可以通过两点间距离公式来计算。

在建筑设计中，也需要了解两个地点之间的距离，这时候两点间距离公式便大有用途。

甚至在航空航天领域中，两点间距离公式也派上了用场，它可以计算出航班路线中各个机场之间的距离，更好地指导航空飞行。

此外，两点间距离公式还被广泛应用于科学研究。

比如物理学中研究物体的运动和位置关系时，需要计算两点之间的距离；在地理学中，研究不同区域之间的相对位置时，也需要用到这个公式。

通过对两点间距离公式的研究和应用，我们可以更好地理解数学的本质和应用意义。

在生活和工作中，我们还有很多类似的公式需要
学习和掌握，以便更好地处理各种问题。

因此，我们应该重视这些数学工具的学习和运用，切实提升自己的数学素养。

小学数学五年级思维-几何-勾股定理与弦图(B级)学生版

课前预习华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下：两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。

即（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2化简整理得a2＋b2＝c2勾股定理与弦图点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

两点之间距离公式

两点之间距离公式距离是一个对象与另一个对象之间的空间间隔。

在数学中，我们使用距离公式来计算两个点之间的距离。

在平面几何中，我们通常使用欧几里得距离公式来计算两个点之间的距离。

欧几里得距离公式可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，(x1,y1)表示第一个点的坐标，(x2,y2)表示第二个点的坐标，d表示两点之间的距离。

这个公式来自于勾股定理，也称为直角三角形的斜边长度。

它可以用来计算两点之间的直线距离。

这个公式的原理是基于欧几里得空间的平方距离公式，将平方根运算应用于平方和。

让我们通过一个实际的例子来说明这个公式的应用。

假设有两个点A 和B，它们的坐标分别是A(2,3)和B(5,6)。

我们可以使用欧几里得距离公式来计算它们之间的距离。

d=√((5-2)²+(6-3)²)=√(3²+3²)=√(9+9)=√18≈4.24所以，点A和点B之间的距离约为4.24个单位。

除了欧几里得距离公式，还有其他一些距离公式也常用于计算两点之间的距离，例如曼哈顿距离和切比雪夫距离。

曼哈顿距离公式可以表示为：d=，x2-x1，+，y2-y1它表示点A和点B之间的曼哈顿距离，也称为城市街区距离。

它是基于在城市街区内从一个点到达另一个点所需的最短距离。

切比雪夫距离公式可以表示为：d = max(，x2 - x1，, ，y2 - y1，)它表示点A和点B之间的切比雪夫距离，也称为棋盘距离。

它是基于在一个棋盘上从一个方格移动到另一个方格的最短距离。

距离公式在数学和科学领域中有广泛的应用，例如在计算机图形学中用于计算物体之间的距离，以及在机器学习算法中用于计算样本之间的相似性。

空间两点间的距离公式

空间两点间的距离公式空间中两点间的距离可以通过使用三维几何的方法来计算。

在三维坐标系中，我们可以使用欧几里得距离公式来计算两点之间的直线距离。

这个公式是根据勾股定理得到的。

假设有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们想要计算它们之间的距离。

根据三维欧几里得距离公式，点A和点B之间的直线距离为：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)其中，^表示乘方运算，sqrt表示平方根。

这个公式是基于二维欧几里得距离公式的推广，可以将其扩展到三维空间。

假设我们要计算点A(2,3,4)和点B(5,6,7)之间的距离。

将这些值代入公式中，我们可以得到：d = sqrt((5 - 2)^2 + (6 - 3)^2 + (7 - 4)^2)= sqrt(3^2 + 3^2 + 3^2)= sqrt(9 + 9 + 9)= sqrt(27)≈5.196因此，点A和点B之间的距离约为5.196这个公式可以推广到n维空间中，只需要将公式中的坐标差值的平方求和。

除了计算两点之间的直线距离，我们还可以使用其他方法来度量空间中两点之间的距离。

例如，曼哈顿距离是计算两个点之间的横纵坐标差值的绝对值之和。

在二维空间中，两点之间的曼哈顿距离可以通过以下公式计算：d=，x2-x1，+，y2-y1在三维空间中，曼哈顿距离可以通过以下公式计算：d=，x2-x1，+，y2-y1，+，z2-z1这个公式可以推广到任意维度的空间。

除了欧几里得距离和曼哈顿距离，还有其他计算两点距离的方法，如切比雪夫距离、闵可夫斯基距离等。

切比雪夫距离是计算两个点之间的坐标差值的最大绝对值。

在二维空间中，两点之间的切比雪夫距离可以通过以下公式计算：d = max(，x2 - x1，, ，y2 - y1，)在三维空间中，切比雪夫距离可以通过以下公式计算：d = max(，x2 - x1，, ，y2 - y1，, ，z2 - z1，)闵可夫斯基距离是欧几里得距离和切比雪夫距离的推广。

两点间的距离公式和中点公式

两点间的距离公式和中点公式一、两点间的距离公式：设平面上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)分别是点A和点B的坐标。

则两点之间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，d表示两点之间的距离。

这个公式可以通过勾股定理来推导得到。

我们可以把两点连线分解成一个直角三角形，然后利用勾股定理求得斜边的长度。

例如，如果A(1,2)和B(4,6)是平面上的两点，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离：d=√((4-1)²+(6-2)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以，点A和点B之间的距离为5这个公式也适用于三维坐标系和更高维度的坐标系，只需将平面上的坐标(x1,y1)和(x2,y2)扩展为空间中的坐标(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，距离公式的计算方式保持不变。

二、中点公式：设平面上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)分别是点A和点B的坐标。

则这两点连线的中点的坐标可以通过以下公式计算：M(xm, ym) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)其中，M表示两点连线的中点，xm和ym分别表示中点的x坐标和y坐标。

例如，如果A(1,2)和B(4,6)是平面上的两点，我们可以使用中点公式来计算它们连线的中点坐标：M=((1+4)/2,(2+6)/2)=(5/2,8/2)=(2.5,4)所以，连线AB的中点坐标是(2.5,4)。

同样地，中点公式也适用于三维坐标系和更高维度的坐标系，只需将平面上的坐标(x1,y1)和(x2,y2)扩展为空间中的坐标(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，中点公式的计算方式保持不变。

总结起来，两点间的距离公式和中点公式是平面二维坐标系中常用的数学公式。

通过这两个公式，我们可以准确地计算出两点之间的距离以及连线的中点坐标。

19-勾股定理及两点的距离公式 - 学生版

教师姓名学生姓名年级上课时间学科数学课题名称勾股定理及两点的距离公式待提升的知识点/题型Ⅰ知识梳理知识点一：勾股定理（1）定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；（2）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．知识点二：两点的距离公式（1）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式为12PP = 222121()()x x y y -+-．（2）中点坐标公式：对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．Ⅱ知识精析一.勾股定理（一）典例分析.学一学例1-1利用222c b a =+求未知边在一直角三角形中有两边长分别是3.4，则其第三边长为例1-2勾股数的考察（345、51213、81517、72425）下面四组数中是勾股数的有（）．（1）1.5，2.5，2 （2）2，2，2 （3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组例1-3直角三角形的判定问题已知：在△ABC 中，∠A.∠B.∠C 的对边分别是a.b.c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c . 试判断△ABC 的形状.例1-4面积问题已知：如图，已知∠B =∠D =90°，∠A =60°，AB =10，CD =6. 求：四边形ABCD 的面积.AB CD例1-5折叠问题如图，矩形纸片ABCD 的边AB =10cm ，BC =6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.例1-6最短路程问题一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B ’点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?已知长方体的长2cm.宽为1cm.高为4cm .例1-7实际问题如图，一个梯子AB =5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 间的距离为3m 梯子滑动后停在DE 位置上，如图，测得DB 的长为1m ，则梯子顶端A 下落了多少m ?例1-8思维发散在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.（二）限时巩固，练一练1．已知直角三角形的两边长为3.2，则另一条边长是________________．2．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为D ˊ ABCD A ˊB ˊC ˊ_______________．3.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12 4.若△ABC的三边a.b.c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状.5.已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积6.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.7.有一立方体礼盒如图所示，在底部A处有壁虎，C’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行__________________厘米（用根号表示）8.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯多少米?9.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．（1）2+1=2 S1=1 2（2）2+1=3 S2=2 2（3）2+4=5 S3=3 2（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S22+…+S102的值．二.两点的距离公式（一）典例分析.学一学例2-1（1）求A(-1,3).B（2，5）两点之间的距离；（2）已知A（0，10），B（a，-5）两点之间的距离为17，求实数a的值．例2-2已知三角形ABC的三个顶点13(1,0),(1,0),(,)22A B C-，试判断ABC∆的形状．例2-3已知ABC∆是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC=．例2-4已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．（二）限时巩固.练一练1.式子22(1)(2)a b ++-可以理解为( )()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离； ()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离 ()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离； ()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离2.以A (3,-1), B (1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为( )()A 2x +y -5=0 ()B 2x +y +6=0 ()C x -2y =0 ()D x -2y -8=03. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是． 4．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求取最小值．※三.延伸拓展：对称性问题（选讲）（一）典例分析，学一学例3-1已知直线1:12l y x =-，（1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；（2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程．例3-2一条光线经过点(2,3)P ,射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．（二）限时巩固.练一练1．点(-1,2)关于直线x +y -3=0的对称点的坐标为( )()A (1,4) ()B (-1,4) ()C (1,-4) ()D (-1,-4)2．直线3x -y -2=0关于x 轴对称的直线方程为．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D 点的坐标,使四边形ABCD 为等腰梯形．4．已知定点(2,2)A ，(8,4)B ，求2222(2)2(8)4x x -++-+的最小值．Ⅲ课堂测评一.填空题.1.如果直角三角形的边长分别是6.8.x ，则x 的取值范围是 .2.如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，BD ＝5，AC ＝BC ，则BC ＝ .第2题图13125DCBA第3题图DCB A第5题图DCB A3.如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝900，则∠DAB ＝ .4.等腰△ABC 中，一腰上的高为3cm ，这条高与底边的夹角为300，则ABC S ∆＝ .5.如图，△ABC 中，∠BAC ＝900，∠B ＝2∠C ，D 点在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB ＝1，则BD 的长为 .6.已知Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6，则ABC S ∆＝ .7.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，腰长为8cm ，AC.BD 相交于O 点，且∠AOD ＝600，设E.F 分别为CO.AB 的中点，则EF ＝ .第7题图 FEODC BA第8题图 EQPDCBA第9题图 DC BA8.如图，点D.E 是等边△ABC 的BC.AC 上的点，且CD ＝AE ，AD.BE 相交于P 点，BQ ⊥AD .已知PE ＝1，PQ ＝3，则AD ＝ .9.如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A.B.C.D 的面积的和是 .二.选择题1.如图，已知△ABC 中，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论：①AS ＝AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP 中（）A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确2.如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定3.在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝4，AD ＝3，则∠ACB 的度数是（） A.大于900 B.小于900 C.等于900 D.不能确定第1题图S R Q PCBA第4题图OCBA4.如图，已知△ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝3，OA ＝OC ＝6，则∠O AB 的度数为（） A.100 B.150 C.200 D.250 三.解答题1.阅读下面的解题过程：已知a .b .c 为△ABC 的三边，且满足42222a c b c a =-4b -，试判断△ABC 的形状.解：∵42222a c b c a =-4b -……①∴))(()(2222222b a b a b ac -+=-……② ∴222c b a =+……③ ∴△ABC 是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号；（2）错误的原因是；（3）本题的正确结论是 . 2.已知△ABC 中，∠BAC ＝750，∠C ＝600，BC ＝33+，求AB 、AC 的长.3.如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G . （1）求证：G 是CE 的中点；（2）∠B ＝2∠BCE .第3题图G E D CB A4.已知△ABC 的两边AB.AC 的长是方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC ＝5.（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积.Ⅳ 回顾总结1.勾股定理及其逆定理分别是？常考题型有哪些？常见勾股数有哪些？2.两点的距离公式及中点坐标公式思维点拔：平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式为222121()()x x y y -+-，线段12PP 中点坐标为1212(,)22x x y y ++.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积，判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题.Ⅴ 课后巩固1．已知△ABC 中，∠A =12∠B =13∠C ，则它的三条边之比为（）． A ．1：1：2 B ．1：3：2 C ．1：2：3 D ．1：4：1111222(,),(,)P x y P x y 中点坐标1212(,)22x x y y ++ 22122121()()PP x x y y =-+-2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．A．52B．3 C．322+D．332+3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，54．下列各命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．A．3cm2B．23cm2C．33cm2D．4cm26．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．A．2 B．4 C．22D．107．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．A．5B．3C．1 D．1 28．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）A．182 B．183 C．184 D．1859．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，•求CN的长10.已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F•处，•如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．.。

勾股定理及两点间距离公式B(教师版)

学科教师辅导讲义【例7】在直角三角形中，已知一条直角边的长为6，斜边上的中线长为5，则另一条直角边的长为【答案】8【说明】在此处主要是帮助学生复习上节课学习的直角三角形的性质【例8】三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm ，则最小边长是_________cm ．【答案】8【方法总结】在含有30°的直角三角形中，最短边是30°所对的直角边，最长边是直角三角形的斜边.因此本题不需要求出两条直角边，直接利用30°所对的直角边等于斜边的一半求解即可.【借题发挥】1．已知在Rt △ABC 中，∠C =90，10AB =°.（1）若∠A =30°，则BC = ,AC = .（2）若∠A =45°，则BC = ,AC = .【答案】（1）5,53；（2）293cm2．已知等边△ABC 的边长是6厘米.（1）求高AD 的长；（2）求△ABC 的面积S △ABC .【答案】233;93cm cm 3．已知直角三角形的两边长分别是8cm 和6cm ，求它的面积.【答案】2224;67cm cm题型三：【例9】如下图，字母B 所代表的正方形的面积是；【答案】144【例10】如图，在一块用边长为cm 20的正方形的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在A 点处，，鸽子吃完小B 16925朋友洒在B、C处的鸟食，最少需要走多远？【答案】360厘米【例11】欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？【答案】13米【例12】如图，有一个高是1.5米、半径是1米的圆柱形油桶，在上地面靠边的地方有一小孔，从孔中插入一根铁棒，已知铁棒在油桶外的部分最短是0.5米，这根铁棒有多长？CBA【答案】3米【例13】中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。

赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。

八下数学勾股定律

有关“数学”的勾股定理
有关“数学”的勾股定理如下：
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。

在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派。

勾股定理的公式为a²+b²=c²，其中a、b代表两条直角边，c代表斜边。

这个定理的证明方法有很多种，其中最有代表性的是几何证明。

此外，还有代数证明、三角函数证明等多种证明方法。

勾股定理不仅在数学中有着广泛的应用，它在日常生活中也有着很多用途。

比如，可以用勾股定理测量房屋的面积、修建水平线等等。

此外，勾股定理也是其他学科的基础，比如实验物理中的力学、声学等等。

平面上两点间的距离和点到直线的距离公式

平面上两点间的距离和点到直线的距离公式在平面上，假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以使用勾股定理来计算这两个点之间的距离。

勾股定理表述为：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

根据这个定理，我们可以得出两个点之间的距离公式：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，d表示两点之间的距离。

点到直线的距离公式：在平面上，假设有一条直线L，以及一个点P(x,y)不在直线上。

我们可以使用点到直线的距离公式来计算点P到直线L的距离。

点到直线的距离可以表示为该点到直线上的垂直线段的长度。

为了计算点P到直线L的距离，我们可以通过以下步骤进行：1.首先，我们需要确定直线的方程。

直线可以用一般式方程Ax+By+C=0来表示，其中A、B和C是常数。

2.然后，我们可以使用以下公式来计算点P到直线L的距离：d=，Ax+By+C，/√(A²+B²)其中，d表示点P到直线L的距离，Ax+By+C，表示点P带入直线方程后的结果的绝对值，√(A²+B²)是直线方程中A和B的平方和的平方根。

这个公式的推导过程可以通过垂直距离的性质证明。

假设直线L的方程是Ax+By+C=0，点P的坐标是(x,y)，以及点Q是直线L上离点P最近的点。

我们可以通过求点P和点Q的连线与直线L的交点来找到点Q的坐标。

然后，我们可以证明向量PQ与直线L的法向量是垂直的。

根据向量的性质，我们可以得出以下等式：(A,B)·(x-xQ,y-yQ)=0化简上述等式得到：Ax-AxQ+By-ByQ=0其中，(A,B)表示直线L的法向量，(xQ,yQ)表示点Q的坐标。

最后，我们可以得出以下等式：Ax+By=AxQ+ByQ将点P的坐标代入上述等式得到：Ax+By=AxP+ByP进一步化简得到：Ax+By+C，=，AxP+ByP+C因此，点P到直线L的距离可以表示为：d=，Ax+By+C，/√(A²+B²)这就是点到直线的距离公式。