高中数学必修4三角函数常考题型同角三角函数的基本关系案

同角三角函数的基本关系

【知识梳理】

同角三角函数的基本关系

()平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于.即α＋α＝.

()商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝α.

【常考题型】

题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例】()已知α＝，并且α是第二象限角，求α和α.

()已知α＝－，求α和α.

[解]()α＝－α＝－＝，又α是第二象限角，所以α<，α＝－，α＝＝－.

()α＝－α＝－＝，

因为α＝－<，所以α是第二或第三象限角，

当α是第二象限角时，α＝，α＝＝－；当α是第三象限角时，α＝－，α＝＝.

【类题通法】

已知三角函数值求其他三角函数值的方法

()若已知α＝，可以先应用公式α＝±，求得α的值，再由公式α＝求得α的值．

()若已知α＝，可以先应用公式α＝±，求得α的值，再由公式α＝求得α的值．

()若已知α＝，可以应用公式α＝＝⇒α＝α及α＋α＝，求得α＝±，α＝±的值．

【对点训练】

已知α＝，且α是第三象限角，求α，α的值．

解：由α＝＝，得α＝α，①

又α＋α＝，②

由①②得α＋α＝，即α＝.

又α是第三象限角，故α＝－，α＝α＝－.

题型二、化切求值

【例】已知α＝，求下列各式的值．

()α－α α＋α)；

()α· α－αα－α)；

()α＋α.

[解]()原式＝α－α＋)＝＝；

()原式＝α－－α)＝＝－；

()原式＝＝

＝＝.

【类题通法】

化切求值的方法技巧

()已知α＝，可以求或的值，将分子分母同除以α或α，化成关于α的式子，从而达到求值

的目的．()对于α＋αα＋α的求值，可看成分母是，利用＝α＋α进行代替后分子分母同时除以α，得

到关于α的式子，从而可以求值．

【对点训练】

已知α＝，求下列各式的值：

()；

()α－αα－α.

解：()＝＝＝－.

()α－αα－α

＝，

这时分子和分母均为关于α，α的二次齐次式．

因为α≠，所以分子和分母同除以α，

则α－αα－α＝＝＝.

题型三、化简三角函数式

【例】化简α，其中α是第二象限角．

[解]因为α是第二象限角，所以α>，α<.

故α＝α

＝α＝·

＝·

＝－.

【类题通法】

三角函数式化简技巧

()化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目

的．()对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．()对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造α＋α＝，以降低函数次数，

达到化简的目的．

【对点训练】

化简：()；

() ，θ是第二象限角．

解：()＝＝＝θ.