高二数学棱柱的面积和体积PPT精品课件
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8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)
（
）
2.几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
（
）
3.棱锥的体积等于底面面积与高之积.
（
）
4.等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
（
）
答案：√，√，×，√.
练习
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上
底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：由题意知， 长方体−’ ’ ’’ = 1 × 1 × 0.5 = 0.5(3 ) ，
1
1
棱锥− = × 1 × 1 × 0.5 = (3 ).
3
6
所以这个漏斗的容积 =
1
2
1
+
6
2
3
= ≈ 0.67(3 ).
新知探索
辨析1：判断正误.
1.几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.
解：(2)设三棱锥 − 1 的高为ℎ，则
三棱锥−
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ ∆1 ∙ ℎ = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵三棱锥− = 三棱锥 − = 3 ，
6
1
1
= 3 ，解得ℎ =
3
.
3
∴三棱锥 − 1 的高为
’ =
= ℎ
上底缩小
1 ’
= ( + ’ + )ℎ
3
’ = 0
1
= ℎ
3
例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共25张PPT)
垂线，这点与垂足之间的距离。
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱 柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0 V 1 (S
3
SS S)h S S
V 1 Sh 3
S为底面面积， S 、S 分别为上、下
h为锥体高
底面面积，h 为台体
S为底面面积， h为柱体高
的体积是( A )
1
1
A.6
B.3
1 C.2
D．1
【解析】三棱锥
D1-ADC
的体积
V
＝
1 3
S△ADC×D1D
＝
1 3
×
1 2
×AD×DC×D1D＝13×12＝16.
3．已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形 (如图)，则三棱锥B1-ABC的体积为( D )
1 A.43 C. 6习回顾矩形面积公式： S ab
三角形面积公式： 梯形面积公式：
S 1 ah 2
S 1 (a b)h 2
长方体体积： V abc
正方体体积： V a3
复习： 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
空间问题
平面图形面积 平面问题
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足 A 之间的距离。
S
h C
B
根据台体的特征，如何求台体的体积？
P
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利
用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式
A
D
S
C
(过程略)．
B
新教材人教版高中数学必修第二册 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 教学课件
第八页，共十九页。
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台 的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去 “小棱锥”的方法求棱台的体积．
第九页，共十九页。
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 [例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线
长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [ 解] 如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，
第十二页，共十九页。
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 [例 2] (1)如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A-DED1 的体积为________．
第(1)题图
第(2)题图
第十三页，共十九页。
(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD-A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S -ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该 几何体的体积为________．
[思考发现]
1．棱长为 3 的正方体的表面积为
()
A．27
B．64
C．54
D．36
解析：根据表面积的定义，组成正方体的表面共 6 个，且每
个都是边长为 3 的正方形．从而，其表面积为 6×32＝54.故
选 C.
答案：C
第三页，共十九页。
2．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为
A．48 6
B．64
[变式训练]
1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积 等于________ cm3.
第十七页，共十九页。
解析：由三视图可知原几何体如图所示． 所以 V＝VABC-A′B′C′－VM -ABC ＝S△ABC·5－13S△ABC·3 ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24.
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台 的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去 “小棱锥”的方法求棱台的体积．
第九页，共十九页。
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 [例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线
长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [ 解] 如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，
第十二页，共十九页。
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 [例 2] (1)如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A-DED1 的体积为________．
第(1)题图
第(2)题图
第十三页，共十九页。
(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD-A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S -ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该 几何体的体积为________．
[思考发现]
1．棱长为 3 的正方体的表面积为
()
A．27
B．64
C．54
D．36
解析：根据表面积的定义，组成正方体的表面共 6 个，且每
个都是边长为 3 的正方形．从而，其表面积为 6×32＝54.故
选 C.
答案：C
第三页，共十九页。
2．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为
A．48 6
B．64
[变式训练]
1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积 等于________ cm3.
第十七页，共十九页。
解析：由三视图可知原几何体如图所示． 所以 V＝VABC-A′B′C′－VM -ABC ＝S△ABC·5－13S△ABC·3 ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24.
人教A版高中数学必修第二册棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积精品系列PPT
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相
等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥
的体积的3倍.因此，一般地，如果棱锥的
底面面积为S，高为h，那么该棱锥的体积
V棱锥=
1 3
Sh
棱锥的高是指 从顶点向底面作垂 线，顶点与垂足之 间的距离.
人 教 A 版 高中 数学必 修第二 册第八 章8.3 .1 棱 柱 、 棱 锥、棱 台的表 面积和 体积课 件（共 10张PP T）
8.3 简单几何体的表面积与体积
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示， 本节进一步认识简单几何体的表面积和体积. 表面积是几何体表 面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的 大小.
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的表面积吗 ？ S正方体=6a2(a为正方体的棱长)
其中S'、S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.
V棱台=观31察(S棱+柱、S棱S +锥S、)h棱,台它的们体之积间公有式什：么V关棱系柱=?S你h、能V用棱锥棱=柱31 、Sh棱、锥、 棱台的结构特征来解释这种关系吗?
S'=S
S'=0
人 教 A 版 高中 数学必 修第二 册第八 章8.3 .1 棱 柱 、 棱 锥、棱 台的表 面积和 体积课 件（共 10张PP T）
•
1.小彼得 是一个 商人的 儿子。 有时他 得到他 爸爸做 生意的 商店里 去瞧瞧 。商店 里每天 都有一 些收款 和付款 的账单 要经办 ，彼得 经常被 派去把 这些账 单送往 邮局寄 走。
•
2.写故事 一定要 有头有 尾,完整 地叙述 一件事 。要想 将故事 叙述完 整具体 ，各要 素必须 交代清 楚，揭 示故事 发展变 化的原 因和内 在联系 ，才能 使读者 对整个 故事有 全面完 整的印 象。
棱柱棱锥棱台和球的表面积和体积精选ppt
O`
注意:表面积=全面积= 侧面积+底面积.
O
.
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是扇形
2r
l rO
S圆锥侧rl
S 圆锥 表 r2 面 . r 积 lr(r l)
例5：
已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。
它的侧面展开图的形状为__扇__形____。该图形
的弧长为_4_π___cm，半径为___3___cm，所以圆 锥的侧面积为_6_π__cm2。表面积为_1_0_π__cm2，
S2r(rl)
S侧
1 2
2r
l
rl
Sr(rl)
S侧
1 2
(2
r
'
2
r)
l
S(r'2r2r'lr)l
(r ' r) l
.
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
rO
r 'O’
r′＝r
l 上底扩大
O
rO
l r′＝0
上底缩小
l rO
S柱2r(rl) S 台 (r2r2rlr)lS锥r(rl)
(5)扇形面积公式：___S___12_rl__。
(6)梯形面积公式: __S__12_(_a__b)_h。
.
把长方体展成平 面图形，利用平 面图形求面积的 方法，求长方体
的表面积
正方体、长方体的表面积.就是各个面的面积之和。
二、棱柱、棱台、棱锥的表面积
用空间几何体的展开图来求它的表面积
几何体的侧面展开图
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
注意:表面积=全面积= 侧面积+底面积.
O
.
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是扇形
2r
l rO
S圆锥侧rl
S 圆锥 表 r2 面 . r 积 lr(r l)
例5：
已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。
它的侧面展开图的形状为__扇__形____。该图形
的弧长为_4_π___cm，半径为___3___cm，所以圆 锥的侧面积为_6_π__cm2。表面积为_1_0_π__cm2，
S2r(rl)
S侧
1 2
2r
l
rl
Sr(rl)
S侧
1 2
(2
r
'
2
r)
l
S(r'2r2r'lr)l
(r ' r) l
.
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
rO
r 'O’
r′＝r
l 上底扩大
O
rO
l r′＝0
上底缩小
l rO
S柱2r(rl) S 台 (r2r2rlr)lS锥r(rl)
(5)扇形面积公式：___S___12_rl__。
(6)梯形面积公式: __S__12_(_a__b)_h。
.
把长方体展成平 面图形，利用平 面图形求面积的 方法，求长方体
的表面积
正方体、长方体的表面积.就是各个面的面积之和。
二、棱柱、棱台、棱锥的表面积
用空间几何体的展开图来求它的表面积
几何体的侧面展开图
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式. 2.能利用计算公式求多面体的表面积与体积. 3.能用计算公式解决与多面体相关的简单实际问题.
棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.多面体的表面积就是围成多面体① 各个面 的面积的和. 2.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的② 各个面 的面积的和.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,
俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中
点,则三棱锥P-A1MN的体积是
.
思路点拨 把三棱锥P-A1MN的体积转化为三棱锥A1-PMN的体积,再转化为三棱锥P-AMN 的体积.
∵AB=2EF,EF∥AB, ∴S△EAB=2S△BEF.
∴V =V = V F-EBC C-EFB
C-ABE
= VE-ABC= × VE-ABCD= . ∴V=VE-ABCD+VF-EBC =6+ = .
答案 D
如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,求四面体C-A1BC1的体积.
思路点拨 利用等底同高的棱锥体积相等可以证明三棱柱被分割成的三个部分体积相等,进而 求得答案.
思路点拨 由VC-PBD=VP-BCD,结合三棱锥的体积公式即可求解.
解析 因为PA是四棱锥P-ABCD的高, 所以PA是三棱锥P-BCD的高, 所以VC-PBD=VP-BCD= ×S△BCD×PA= × ×1×1×2= .
运用“割补法”求几何体的体积
孔明锁,也叫八卦锁、鲁班锁,是中国古代民族传统的土木建筑固定结合器,是 曾广泛流传于中国民间的智力玩具,它还有“别闷棍”“六子联芳”“莫奈何”“ 难人木”等叫法.
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式. 2.能利用计算公式求多面体的表面积与体积. 3.能用计算公式解决与多面体相关的简单实际问题.
棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.多面体的表面积就是围成多面体① 各个面 的面积的和. 2.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的② 各个面 的面积的和.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,
俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中
点,则三棱锥P-A1MN的体积是
.
思路点拨 把三棱锥P-A1MN的体积转化为三棱锥A1-PMN的体积,再转化为三棱锥P-AMN 的体积.
∵AB=2EF,EF∥AB, ∴S△EAB=2S△BEF.
∴V =V = V F-EBC C-EFB
C-ABE
= VE-ABC= × VE-ABCD= . ∴V=VE-ABCD+VF-EBC =6+ = .
答案 D
如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,求四面体C-A1BC1的体积.
思路点拨 利用等底同高的棱锥体积相等可以证明三棱柱被分割成的三个部分体积相等,进而 求得答案.
思路点拨 由VC-PBD=VP-BCD,结合三棱锥的体积公式即可求解.
解析 因为PA是四棱锥P-ABCD的高, 所以PA是三棱锥P-BCD的高, 所以VC-PBD=VP-BCD= ×S△BCD×PA= × ×1×1×2= .
运用“割补法”求几何体的体积
孔明锁,也叫八卦锁、鲁班锁,是中国古代民族传统的土木建筑固定结合器,是 曾广泛流传于中国民间的智力玩具,它还有“别闷棍”“六子联芳”“莫奈何”“ 难人木”等叫法.
高二数学棱柱2-(中学课件201908)
顶点
M
对角线
N
底面
四棱柱 平行六面体
底面是平行 定 四边形的四 义 棱柱叫平行
六面体。
直平行六面体
侧面与底面 垂直的平行 六面体叫直 平行六面体。
长方体
底面是矩形 的直平行六 面体叫长方 体。
正方体
棱长都相等 的长方体。
图 形
侧 平行四 面 边形
矩形
矩形
性 底 平行四 面 边形
平行四边形
矩形
正方形 正方形
二简单几何体----9.7棱柱
棱柱的概念：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且 相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的 几何体叫做棱柱。
棱柱的性质：
（1）侧棱都相等;侧面是平行四 边形。
（2）两个底面与平行于底面的截 面是全等的多边形；
侧棱
高 侧面
（3）过不相邻的两条侧棱的截面 是平行)同＃(2)四条对
对 ＃四条对角 角 线交于一点， 线 并在这点互
相平分。
＃四条对角 线交于一点， 并在这点互 相平分。
角线的长相等；
角线的长相等；
；中药祛痘 / 中药祛痘 ;
；
有妨肄业 己卯 十二月癸亥 戊子 十二度七分 忄龙苏 以冠军将军邵陵王子元为湘州刺史 复亲民职公田 由此言之 反本复始 答问凡五十九人 先立春九日 宵中星虚 二月甲戌 公自洛入河 夕伏西方 徐於京口图之 玄纁束帛俪皮 在日前 先是 检十一年七月十六日望月蚀 各推行数 甲寅 己巳 斩伪尚书仆射袁顗 十月 人不自保 乙丑 立秋日 加以旧章乖昧 以土圭测景 高祖命辅国将军诸葛长民击走之 三月乙丑 兼置旗鼓 以中军将军王景文为安南将军 九十一日行百五度而顺 皆如朝仪 诏曰 虽连战克胜 以安西将军 虽有定势 正直侍中量宜奏严 殿
棱柱,棱锥的体积及表面积ppt课件
.
例1:求棱长都为a的正四棱锥的表面积.
S 1 3 a2
例2:已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a,侧棱 和底面所成的角是45°,求它的全面积.
3 15 a2 4
.
四、棱锥的体积
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式
A’
C’
B’
ALeabharlann CB.与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
例2:已知正四棱柱的对角线的长是9cm,全面积 是144cm,2 求这个棱柱的底面边长和侧棱长.
4,7或6,3
.
例3:有两个相同的直三棱柱，高为
2 a
,底面三角
形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0).用它们拼成
一个三棱柱或四棱柱,在所有的可能情形中,表
面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是
_____ _0 _, __31 _5 ______.
D’
C’
如果这是一个
平行六面体呢？
A’
B’
C
D
A
B
.
练习2:
从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到
一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的
几分之几？
A
问问题题棱体12、、长A-解你如为BC法能果aD的的？有改正体几为四积种求面。
B
你能有几种解法？
解一二、补利形用，体将积三公棱式 D 锥V补四面成体一＝个正1 S方△B体CD。·h
A
10
12
10
B
10 D
12
10
C
48 7
.
利用体积求距离
例:如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件ppt
连接 AC,BD,交于 O,连接 PO,则 PO⊥底面
1
1
ABCD,OC=2AC=2×3 2 ×
2=3(cm),
又棱长 PC=5 cm,∴OP= 52 -32 =4(cm),
1
∴VP-ABCD=3×18×4=24(cm3).
取 BC 边的中点 E,连接 PE,则 PE 为等腰三角形 PBC 的高,在 Rt△PBE
所以 A1B1=A1O1= 42 -22 =2 3(m),
取 A1B1 的中点为 Q,连接 O1Q,PQ,易得 PQ⊥A1B1.
1
所以 A1Q=2O1A1= 3,PQ= 12 -1 2 =
13(m),
设帐篷上部的侧面积为 S1,下部的侧面积为 S2,
1
所以 S1=6× A1B1·PQ=6 39(m2),
(
27
A． 4
9
B．4
27 3
C． 4
9 3
D． 4
)
【答案】D
1
3 2
【解析】
由题意可得底面正三角形的边长为 3，
所以 V＝3× 4 ×3 ×3
9 3
＝ 4 .故选 D．
3.已知正四棱锥棱长为5,底面边长为6,则此正四棱锥的表面积是(
A.48
B.12 7
C.84
D.36+12 7
)
答案 C
2
6
解析 正四棱锥的底面积为 6×6=36,侧面等腰三角形的高为 52 - 2 =4,则
2
2
所以 A1H= 1
2 - 2
=
1
1
其面积 S1= BD·A1H= ×
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
( 2) -
1
1
ABCD,OC=2AC=2×3 2 ×
2=3(cm),
又棱长 PC=5 cm,∴OP= 52 -32 =4(cm),
1
∴VP-ABCD=3×18×4=24(cm3).
取 BC 边的中点 E,连接 PE,则 PE 为等腰三角形 PBC 的高,在 Rt△PBE
所以 A1B1=A1O1= 42 -22 =2 3(m),
取 A1B1 的中点为 Q,连接 O1Q,PQ,易得 PQ⊥A1B1.
1
所以 A1Q=2O1A1= 3,PQ= 12 -1 2 =
13(m),
设帐篷上部的侧面积为 S1,下部的侧面积为 S2,
1
所以 S1=6× A1B1·PQ=6 39(m2),
(
27
A． 4
9
B．4
27 3
C． 4
9 3
D． 4
)
【答案】D
1
3 2
【解析】
由题意可得底面正三角形的边长为 3，
所以 V＝3× 4 ×3 ×3
9 3
＝ 4 .故选 D．
3.已知正四棱锥棱长为5,底面边长为6,则此正四棱锥的表面积是(
A.48
B.12 7
C.84
D.36+12 7
)
答案 C
2
6
解析 正四棱锥的底面积为 6×6=36,侧面等腰三角形的高为 52 - 2 =4,则
2
2
所以 A1H= 1
2 - 2
=
1
1
其面积 S1= BD·A1H= ×
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
( 2) -
高中数学(人教B版)必修第四册：棱柱【精品课件】
（2）写出这个多面体的一条面 对角线和体对角线；
（3）判断直线BE与面ABCD的 位置关系.
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （1）分别写出这个多面体顶 点，棱和面的个数；
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （1）分别写出这个多面体顶 点，棱和面的个数；
共有10个顶点，15条棱，7个面
例.如图是一个底面为菱形的直四 棱柱，AB=1，AA'=2. （1）判断直线AB与CC'，直线 AB与A'B'的位置关系； （2）求面对角线AB'的长； （3）求这个四棱柱的侧面积；
例.如图是一个底面为菱形的直四
棱柱，AB=1，AA'=2.
（4）若BAD 60 ，求体对角 线AC'的长.
例.如图是一个底面为菱形的直四 棱柱，AB=1，AA'=2. （1）判断直线AB与CC'，直线 AB与A'B'的位置关系； 直线AB与CC'异面 直线AB与A'B'平行
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （2）写出这个多面体的一条面 对角线和体对角线；
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （2）写出这个多面体的一条面 对角线和体对角线；
面对角线：AC，AE，AN等 体对角线：AM，AC'等
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （3）判断直线BE与面ABCD的 位置关系.
底面是矩形的平行六面体，它的侧棱不一定与底 面垂直，因此侧面只能确定是平行四边形，不一定是 矩形，所以它不是长方体.
正四棱柱的底面为正方形，正方形是特殊的平行四 边形，因此它是平行六面体. 又因为正四棱柱也是直四 棱柱，它的侧棱垂直于底面，因此也是直平行六面体.
（3）判断直线BE与面ABCD的 位置关系.
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （1）分别写出这个多面体顶 点，棱和面的个数；
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （1）分别写出这个多面体顶 点，棱和面的个数；
共有10个顶点，15条棱，7个面
例.如图是一个底面为菱形的直四 棱柱，AB=1，AA'=2. （1）判断直线AB与CC'，直线 AB与A'B'的位置关系； （2）求面对角线AB'的长； （3）求这个四棱柱的侧面积；
例.如图是一个底面为菱形的直四
棱柱，AB=1，AA'=2.
（4）若BAD 60 ，求体对角 线AC'的长.
例.如图是一个底面为菱形的直四 棱柱，AB=1，AA'=2. （1）判断直线AB与CC'，直线 AB与A'B'的位置关系； 直线AB与CC'异面 直线AB与A'B'平行
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （2）写出这个多面体的一条面 对角线和体对角线；
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （2）写出这个多面体的一条面 对角线和体对角线；
面对角线：AC，AE，AN等 体对角线：AM，AC'等
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （3）判断直线BE与面ABCD的 位置关系.
底面是矩形的平行六面体，它的侧棱不一定与底 面垂直，因此侧面只能确定是平行四边形，不一定是 矩形，所以它不是长方体.
正四棱柱的底面为正方形，正方形是特殊的平行四 边形，因此它是平行六面体. 又因为正四棱柱也是直四 棱柱，它的侧棱垂直于底面，因此也是直平行六面体.
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积PPT课件(人教版)
解 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝A2C2＋B2D2＝a2＋4 b2＝200＋ 4 56＝64， ∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
S侧＝2S底＝2×12＝24， ∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
题型二 求棱柱、棱锥、棱台的体积
【例2】 正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其 体积.
解 正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取 A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的 中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
1.思考辨析，判断正误 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( × ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( × ) (3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.( × ) 提示 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的31. (2)棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形. (3)由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同.但是，不 论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的.
16Sh∶56Sh＝1∶5.
课堂小结
1.空间几何体的表面积问题一般是先分解、转化为各个面的面积之和，注意利 用侧面展开图，将空间问题平面化，有时候“还台为锥”也是不错的想法.
2.多面体的表面积为围成多面体各个面的面积之和. 3.对棱柱、棱锥、棱台体积公式及应用的说明：
(1)求台体的体积转化为求锥体的体积，根据台体的定义进行“补形”，还 原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积. (2)求三棱锥的体积可以通过转换底面的方法求解，即“等积法”.
S侧＝2S底＝2×12＝24， ∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
题型二 求棱柱、棱锥、棱台的体积
【例2】 正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其 体积.
解 正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取 A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的 中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
1.思考辨析，判断正误 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( × ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( × ) (3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.( × ) 提示 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的31. (2)棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形. (3)由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同.但是，不 论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的.
16Sh∶56Sh＝1∶5.
课堂小结
1.空间几何体的表面积问题一般是先分解、转化为各个面的面积之和，注意利 用侧面展开图，将空间问题平面化，有时候“还台为锥”也是不错的想法.
2.多面体的表面积为围成多面体各个面的面积之和. 3.对棱柱、棱锥、棱台体积公式及应用的说明：
(1)求台体的体积转化为求锥体的体积，根据台体的定义进行“补形”，还 原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积. (2)求三棱锥的体积可以通过转换底面的方法求解，即“等积法”.
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件(2)-人教A版高中数学必修第二册(共22张PPT)
2．若长方体的长、宽、高分别为 3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积
为( )
A．27 cm3
B．60 cm3
C．64 cm3
D．125 cm3
答案 B
3．棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于 ________．
答案 6＋2 2
题型分析 举一反三
题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
例 1 已知如图，四面体 S ABC 的棱长均为 a ，求它的表面积．
解析 因为四面体 S－ABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的 4 倍． 不妨求△ SBC 的面积，过点 S 作 SD⊥BC，交 BC 于点 D，如图所示．
因为 都是 0.5m，公共面 ABCD 是边长为 1m 的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米 （精确到 0.01m3 ）？
解析 由题意知
长方体 ABCD A'B'C'D' 的体积V 110.5 0.5 m3 ，
棱锥
P
A'B'C'D' 的体积V
1 11 0.5 3
1 6
m3
，
所以这个漏斗的容积
【跟踪训练2】
1、
在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中点，若△BC1D 是面积为 6 的直角三角形，则此三棱柱的体积为________；
解析 由题意，设 AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，则 BD＝C1D＝ a2＋b42，BC1＝ a2＋b2，由△BC1D 是面积为 6 的直角三角形，
V 1 1 2 0.67 m3 . 26 3
解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项)
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(课件)2022-2023学年高一数学教材配套教学精品课件
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
A
所以
SPBC
1 a a sin 60 2
3 a2. 4
因此，四面体P-ABC的表面积
B
C
SP ABC 4
3 a2 4
3a 2 .
引导探究
[变式训练]
现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为 9 和
15，高是 5，求该直四棱柱的侧面积．
[ 解] 如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，
是展开图的面积．
侧面积等于侧面各个平行四边形的面积和. 表面积等于底面积与侧面积的和.
棱柱
棱柱 展开图
引导探究
侧面积等于侧面各个三角形的面积和； 表面积等于底面积与侧面积的和.
棱锥
棱锥展开图
侧面积等于侧面各个梯形的面积和； 表面积等于底面积与侧面积的和.
棱台
棱台展开 图
引导探究
【例1】已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
2．已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方
体的表面积为( )
A．22
B．20
C．10
D．11
解析：长方体的表面积为S表＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋ 2×(2×3)＝22.
答案：A
3．三棱锥V - ABC底面是边长为2的正三角形，高为3，求三
棱锥的体积( )
A. 3
B．2 3
对角线 A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB
2＝
AC 2
2＋
BD 2
2＝a2＋b2＝200＋56＝64，
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A
C
D
B
例6 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，P 是AA1的中点，
（1）Q为棱BB1上任意一点，求PQ+QC的最小值. （2）求从P点沿侧面到C1点的最近距离.
D1C1A1Fra bibliotekB1 Q
P
D
C
A
B
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汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/02/24
12
P
Q
柱体的体积
定理 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它
的底面积S 和高h 的积。
V柱体= Sh
例1 斜棱柱的底面是等腰三角形ABC,AB=10， AC=10，BC=12，棱柱顶点A1到A、B、C等 距离，侧棱长是13，求它的侧面积.
A1
C1
B1
A
O
C D
E
B
例2 一个斜棱柱的高是h,直截面的周长是P，
D1 A1
D
A
F C1 E
B1
C
B
D1 A1
C1 B1
D
C
A D1
A1
B C1
B1
D
C
A
B
例5 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=3，P、Q 分别是棱AA1、B1C1上的点,AP=1,PQ 与平 面ABB1A1 、平面 BCC1B1都成30度，求此 三棱柱的侧面积.
A1
F
P
C1
Q
M
B1
E
直棱柱的侧面积公式：
A1
E1 B1 C1 D1
A1 B1
C1 D1
E
A
D
B
C
AB C D
E1 A1 EA
斜棱柱的侧面积公式： A1
E1 B1 C1 D1
E A
D
B
C
祖暅原理夹在两个平行平面间的两个几何体，被平 行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个 截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
侧棱和底面所成的角是 ，求它的侧面积.
A1
C1
B1
AO
C
B
例3 平行六面体相交于顶点A的三条棱长 AB=a,AD=b,AA1=c,这三条棱中每两条的 夹角都是60度，求它的体积。
D1 A1
D
O
A
B
C1 B1
C
例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，E是 B1C1的中点，过D、B、E作截面，求截面面 积与表面积之比.