整理初中数学思想方法专题复习教学设计

课

题

数

学

思

想

方

法

专

题

复

习

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课题：数学思想方法专题复习

数形结合的思想

宜昌市第一中学周继业

一、教学设计

1.教学内容解析

高考《考试说明》在命题指导思想和命题原则中明确指出：“注重通性通法，强调考查数学思想方法”，并明确了“数学思想方法属方法范畴，但更多的带有思想、观点的属性，属于较高层次的提炼与概括”，而且把“数形结合的思想”作为所要考查的七种基本数学思想之一，纳入重点考查对象.

数形结合的思想贯穿整个高中数学的教学.本课是高三学生经过第一轮教材基础知识梳理后，在第二轮复习中关于数学思想方法的专题复习课.授课内容包含建系以数辅形、构造以形助数和转化数形互助三种结合方式，其目的是为了加强学生对数形结合思想的理解和应用，使学生能够通过数学问题的条件和结论的联系分析其代数含义和几何意义，提高学生运用图形、构造图形的能力，增强学生胸中有图、见数想图的意识.考虑到二轮专题复习回归教材的必要性，本课围绕人教版必修2中阅读材料为情景引入，紧扣数形结合思想内涵展开探究，由情景生成新的问题设问推进，层层深入实现思想建构.为系统展示数形结合思想及其应用的普遍性和重要性，改编题主要以线性规划、平面向量、函数、方程、不等式和解析几何等典型问题作为探究点，兼顾课本知识整合.

根据以上分析，本节课的教学重点确定为

教学重点：分析数学问题的代数含义和几何意义，由数思形解决问题；回顾涉及数形结合思想的知识点，完成思想建构.

2、学生学情诊断

本节课为数学思想方法的专题复习，涉及面广，分布零散，问题形式多样且难易兼备，因此学生容易以点盖面，以偏概全.数形结合思想渗透在中小学数学教材的各个章节，学生一向是以感受为主，经验为重，尚未系统整理建构，所以突破学生对数形结合思想理解上的局限性，站在思想方法的高度重新认识数形结合思想，在学生思维中留下一条清晰的认知线索为本节课成功的关键.二轮复习中，学生对线性规划知识和平面向量的坐标法接受起来相对容易，可以顺利实现以数辅形，但在中学数学的主体知识（函数、方程、不等式）中合理构造图形解决代数问题还是较难.在“探究二”中由2012年北京高考题设计了由两个不同初等函数组成的超越方程，让学生自然产生由数到形、以形助数的想法并完成求解，为凸显复习知识的深度和对学生思维训练的强度，设计的不等式问题将成为学生的难点，难在含有量词和逻辑联结词的处理，还有由数到形的等价性问题，此处要通过小组讨论、学生展示、几何画板演示进行突破.为体现“数”与“形”在本质上的相互渗透而设计“探究三”，让学生体会由形到数、由数到形的过程，帮助学生完善对数形结合思想的理解.

根据以上分析，本节课的教学难点确定为

教学难点：根据代数问题的几何含义构造图形，并借助图形特征找出处理问题的充要条件；运用数形结合思想方法时遵循等价性、简单性原则.

3.教学标准设置

（1）通过由情景生成的四个问题探究，让学生体会数形结合的三种途径，培养学生将复杂的数量关系自觉转化为直观的几何图形来解决问题的能力.

（2）明确数形结合思想所涉及的知识点，能够胸中有图、见数想图.

（3）借助几何画板演示，通过小组合作交流再展示的方式，让学生经历“数”的抽象和“形”的直观相互转化的过程，感受数学活动的探索性、创造性和数学的美感.

4.教学策略分析

本节课为数学思想专题复习课.本着“学生主体、教师主导”的设计理念，以故事“魔术师的地毯”的情景为明线，以数形结合方式为主线，以数形结合思想建构为暗线，根据真题改编了适合学生认知的问题，激发了学生的探究热情.教学过程以独立思考、小组合作研讨、动画演示和问题串为驱动方式，达到建构数形结合思想的目的，环节清晰，衔接流畅.首先以魔术师设计图中的“重叠区域”自然过渡到线性规划、平面向量知识，让学生体会通过建系以数辅形是数形结合的一种方式，并在此基础上回顾中学教材中用代数方法研究几何图形的相关知识，起到温故知新的复习效果；其次以魔术师的设计图为背景，创设了函数的零点、不等式恒成立等问题，提升学生思维，让学生从代数含义和几何含义分别入手，体验用图形解决代数问题的简易和直观，从而提升学生自觉用图、构图的意识；第三是从从魔术师的设计图出发创设了解析几何背景下的点的轨迹和三角形周长的最值问题，并借助几何画板动静结合，实现由形到数、由数到形的转化.通过小组合作交流再展示的方式，突出学生的主体地位，让学生在活跃的氛围和动态的图形中寻找代数问题的突破口，达到突破难点的目的.

教学流程：

二、课堂实录

【故事内容】

魔术师的地毯

（人教社A版必修2第90页“探究与发现”）

魔术师拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找敬师傅（图1），要求把这块正方形的地毯改制成宽0.8米、长2.1米的矩形.敬师傅对魔术师说：“边长为1.3米的正方形的面积为1.69平方米，而宽0.8米、长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者不相等，除非裁去0.01平方米，不然没法做.”魔术师拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图2）的尺寸把地毯裁成四块，然后再照另一张图（图3）把这四块拼在一起缝好就行了.

敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米、长2.1米.魔术师拿着改好的地毯走了，而敬师傅还是想不通那0.01平方米的地毯去哪儿了呢？你能揭开这个魔术的谜底吗？

(一) 建系----以数辅形

1.故事布疑---回归教材开篇

师：同学们，你能揭开这个魔术的谜底吗？

生：，即三点不在一条线上，设计图（3）不对.

师：很好.我们判定三点是否共线还会用到什么方法？

生：用其中两点连线的斜率是否相等来判定三点是否共线.

师：好的，斜率需要坐标，那我们应该先建系，长方形中如何建系？ 生：以N 为坐标原点，NA 为X 轴建立直角坐标系.

师：很好，请看大屏幕.在坐标系下，

不仅可以解释三

点不共线，还可以发现.可是那0.01平方米的地毯究竟去哪儿了呢？

生：失去的0.01平方米地毯，就在长方形的对角线附近，被拉成了一个细长的平行四边形重叠区域.

师：回答的非常好.魔术师正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法是逃不过精确的数学计算的.数和形是数学研究的基本对象，今天我们就开始数学思想方法专题复习之数形结合的思想.

【评析】激活教材阅读材料，让学生用所学的知识解决图形中的问题，体会学以致用的乐趣并揭示本节课的主题.通过斜率解释点不共线，并得到线线平行，为“探究一”中的问题做铺垫.

2.线性规划---动点坐标刻画

问题1：在魔术师设计图中的“重叠区域”内（含边界）有一动点.请在适当的坐标系下，写出动点坐标满足的约束条件. 【问题探究】 生：

.

师：我们成功地用二元一次不等组这一数的手段刻画出动点所在的平面区域，在平面区域中我们可以解决目标函数最值、范围等相关问题，这是我们学过的什么知识？ 生：线性规划.

【评析】回顾线性规划知识，感受图形与数量的关系.

3.平面向量---对比研讨呈现

问题2：（2012年江苏题改编）在魔术师设计的长方形边上有一动点，边的中点为E （如右图）.若，则

.

【问题探究】 生1：. 生2：以

为坐标原点建系，根据

，求出

点的坐标为，

再由坐标运算得到结果为

.

师：大家认为哪一种方法更好？ 生：第二种.

师：看来在此问题中坐标法要优于几何法.

平面向量具有数和形两个特点，是数形结合的典范. 【评析】回顾平面向量的坐标法，增强识图、用图的意识. 师：我们学过的哪些几何问题是可以借助代数方法解决的？ 生：解析几何、立体几何、函数图像、平面向量、斜三角形等. 师：几何问题是通过什么工具转化为代数问题的？ 生：通过建立坐标系

.