高等代数 考研习题 张升祝

欧氏空间(高等代数选讲) 第九章 欧氏空间(高等代数选讲)
由条件, 其中 λ i > 0, µ i > 0 ( i = 1, 2, L , n ) . 由条件,则
f ( λ ) = λ 3 − ( 1 + λ2 + λ 3 ) λ 2 + ( λ 2 + λ 3 + 1 ) λ − 1 .
记 t = ( 1 + λ2 + λ3 ) , 因 λ2 , λ3 彼此共轭， λ i = 1, 彼此共轭， 且 由哈密尔顿故 t ∈ R, −1 ≤ t ≤ 3 , 由哈密尔顿-凯莱定理则
A − tA + tA − E = 0 .
3 2
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9.37 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 称 A 为等 是欧氏空间 的一个变换 距变换, 距变换, 如果 A α − A β = α − β , ∀ α , β ∈ V , 对于 γ ∈ V , 定义 S γ : V → V , 使得 S γ (α ) = α + γ , 决定的平移变换. 证明: 则称 S γ 为由 γ 决定的平移变换. 证明: 存在正交 变换 B 使得 A = S γ B . 首先, 是等距变换, 其实: 证 首先 S γ 是等距变换 其实 ∀ α , β ∈ V ,
对于等距变换 A , 设 A (0) = γ , 令 B = S − γ A , 则
B (α ) = S − γ A (α ) = A (α ) − γ , ∀α ∈ V ,
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所以 B (0) = 0 , 并且
B (α ) − B ( β ) = ( A (α ) − γ ) − ( A ( β ) − γ ) = A (α ) − A ( β ) = α − β .
sin θ . − cos θ
η = − sin θ γ 1 + (1 + cos θ ) γ 2 , η ′ = (1 + cos θ ) γ 1 + sin θ γ 2 ,
的一个正交基, 则 η ,η ′ 是V 的一个正交基, 且
A R ξ (η ) = −η , A R ξ (η ′ ) = η ′ .
⇐⇒ ⇐⇒ ( A , A) = 0 ⇐⇒ aki = 0 ⇐⇒ A = 0.
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9.33 设 X , Y 均为实 维列向量, A为 n × n 正定矩阵, 为实n维列向量 为 维列向量, 正定矩阵, 证明: 证明: ( X ′ Y ) ≤ ( X ′ A X ) Y ′ A−1 Y .
O + ( n, Z ) , O − ( n , Z ) 为其行列式等于 1 , − 1 的
正交矩阵构成的子集. 正交矩阵构成的子集. 中元素的个数; 1) 确定 O ( n , Z ) 中元素的个数;
O + ( n, Z ) 与 O − ( n, Z ) 的元素个数相同. 证明: 的元素个数相同. 2) 证明:
1 或 − 1 , 列也有此性质, 反之结论也成立 列也有此性质, 反之结论也成立.
2 2 9.40 设 A ,B 均为 n 阶正定矩阵, 并且 A = B . 阶正定矩阵,
证明:矩阵 A ,B 相似 相似. 证明: 存在正交矩阵T 证 存在正交矩阵 ,S 使得
µ1 λ1 −1 −1 B = S O A=T O S , T , µn λn
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于是 A R ξ = R η , 并且 A = R ηR ξ . 当 1 + cos θ = 0 时, sin θ = 0 , 则 A = R γ R ξ . 1 是整元素正交矩阵集合. 9.39 设 O ( n , Z ) 是整元素正交矩阵集合. 分别记
§1 定义与基本性质 §3 同构 §5 子空间
§2 标准正交基 §4 正交变换 §6 对称矩阵的标准形
向量到子空间的距离, §7 向量到子空间的距离,最小二乘法 §8 酉空间介绍
9.32 在实线性空间 R n× n 中, 定义二元向量函数
A, B ) = Tr ( A′ B ) , A, B ∈ R n×n . (
提示 设 A = a ij ∈ O ( n , Z ) , 则 a ij ∈ Z , 并且
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( )
a + a + L + a = 1 , i = 1, 2,L , n .
2 i1 2 i2 2 in
中有且只有一个元素非零, 则 a i 1 , a i 2 ,L , a in 中有且只有一个元素非零, 值为
证明: A = λ 1ξ1ξ1′ + λ 2ξ 2ξ 2′ + L + λ nξ nξ n′ . 证明: 证 记 Q = ( ξ1 , ξ 2 ,L , ξ n ) , 则Q 是正交矩阵, 使得 是正交矩阵,
λ1 λ2 −1 , Q AQ = O λn λ1 λ2 Q′ ∴A=Q O λn
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f ( λ ) = λ − ( λ 1 + λ2 + λ3 ) λ
3
2
+ ( λ 1λ2 + λ 1λ3 + λ2 λ3 ) λ − A ,
为正交矩阵， 由于 A = 1 , 并且 A 为正交矩阵，则它必有特征 值 1 （补充题 2）,不妨设 λ 1 = 1 , 那么 ）
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ξ ′ λ1 1 ′ λ2 ξ2 , = ( ξ1 , ξ 2 ,L , ξ n ) M O λn ξ ′ n = λ 1ξ1ξ1′ + λ 2ξ 2ξ 2′ + L + λ nξ nξ n′ .
2
2
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问题 设 ai ∈ R ( i = 1, 2,L , n ) , 证明: 证明:
∑
i =1
n
2 2 2 ai ≤ n ( a1 + a2 + L + an ) .
证 作向量 α = ( 1 , 1 , L , 1 ) , β = a1 , a2 ,L , an , 由柯西（Cauchy）不等式， 由柯西（Cauchy）不等式，那么
S γ (α ) − S γ ( β ) = (α + γ ) − ( β + γ ) = α − β .
其次, 是等距变换, 其次,若 B 是等距变换, 且 B (0) = 0 , 则 B 是
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正交变换, 其实: 正交变换, 其实: ∀ α , β ∈ V , 则
−1 0
仍为正交矩阵. 证明: 正交矩阵, 9.36 设 A 为 3 × 3 正交矩阵, 并且 A = 1 . 证明: 存在实数 t , − 1 ≤ t ≤ 3 , 使得
A3 − tA2 + tA − E = 0 .
证 设A 的三个特征值分别为 λ 1, λ 2 , λ 3 , 则A 的 特征多项式为： 特征多项式为：
B (α ) = B (α ) − B (0) = α − 0 = α ,
2 2 2 2
( B (α ), B ( β ) )
1 2 2 2 B (α ) + B ( β ) − B (α ) − B ( β ) = 2 1 2 2 2 α + β − α − β = (α , β ) , = 2 由补充题4 是正交变换. 由补充题4，则 B 是正交变换.
A , B 使得 A 2 = A B + B 2 . 证明: 9.35 证明:不存在正交矩阵
A , B 使得 A 2 = AB + B 2 , 反证) 证 (反证)设存在正交矩阵
2 1 1 2 那么 A + B = A B − , A − B = A− B . 由于正交矩阵
的乘积及逆仍为正交矩阵, 的乘积及逆仍为正交矩阵, 因此 A + B , A − B 都是
解 令 A=
3 2 1 2
1 3 − − 2 2 , B= 1 3 2 2
1 − 2 , 3 − 2
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0 并且 A + B = 那么 A , B 均为正交矩阵， 均为正交矩阵， 1
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正交矩阵, 正交矩阵, 那么
E = ( A + B )′ ( A + B ) = 2 E + A ′ B + B ′A , E = ( A − B )′ ( A − B ) = 2 E − A ′ B − B ′A ,
矛盾. 所以 2 E = 4 E , 矛盾. 问题 构造两个正交矩阵 A , B 使得和 A + B 仍为 正交矩阵. 正交矩阵
Байду номын сангаас
= Tr ( A′ C ) + Tr ( B′ C ) = ( A, C ) + ( B , C ) .
3) ( kA, B ) = Tr ( ( kA)′ B ) = Tr ( k ⋅ A′ B )
= k ⋅ Tr ( A′ B ) = k ( A, B ) .
2 4) ( A, A ) = Tr ( A′ A ) = ∑∑ aki ≥ 0 , 并且 i =1 k =1 n n