【高中数学单元检测】解析几何—椭圆(附详细答案)

e c 5 .即椭圆的离心率为 5 ．
a5
5
三、解答题
15．【解析】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ，依题意，2b 4, c 5 ，又 a2 b2 c2 ，可得 a 5 ， a5
b 2 ，c 1．
所以，椭圆的方程为 x2 y2 1 ． 54
(Ⅱ)由题意，设 P( xP ，yP )( xp 0),M (xM , 0．) 设直线 PB 的斜率为 k(k 0) ，又
y kx 2,
B(0, 2)，则直线
PB
的方程为
y
kx 2 ，与椭圆方程联立
x2 5
y2 4
1,
整理得
(4 5k 2 )x2
20kx
0 ，可得 xP
4
20k 5k
2
，代入
y
kx 2 得
yP
8 10k 2 4 5k 2
，进
而直线 OP 的斜率
yP xp
4 5k 2 10k
．在 y
一、选择题
单元检测：解析几何—椭圆
1．设 P 是椭圆 x2 y2 1上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） 53
A． 2 2
B． 2 3
C． 2 5
D． 4 2
2．已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1, 0)，F2(1, 0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若
| AF2 | 2 | F2B | ， | AB || BF1 | ，则 C 的方程为
的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为
A．4x52 ＋3y62 ＝1
B．3x62 ＋2y72 ＝1
C．2x72 ＋1y82 ＝1
D．1x82 ＋y92＝1
6．设 P,Q 分别为 x2 y 62 2 和椭圆 x2 y2 1 上的点，则 P,Q 两点间的最大距离
10
是
A． 5 2 B． 46 2 C． 7 2 D． 6 2
点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是__．
11．设椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1a
b 0 的左右焦点为 F1，F2 ，作 F2 作 x 轴的垂线与 C
交于
A，B 两点， F1B 与 y 轴相交于点 D ，若 AD F1B ，则椭圆 C 的离心率等于
________．
3 4
，∴ 4b2
3a2 ．故选
B．
3．B【解析】由题意设椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) ，连接 F1A ，令| F2B | m ，则
|
AF2
|2m
，|
BF1
|
3m ．由椭圆的定义知， 4m
2a ，得 m
a 2
，
故| F2 A | a | F1A | ，则点 A 为椭圆 C 的上顶点或下顶点，令 OAF2 ( O 为坐标原
单元检测：解析几何—椭圆（参考答案）
一、填空题
1．C【解析】由题意 a2 5 ，a 5 ．由椭圆的定义可知， P 到该椭圆的两个焦点的距离
之和为 2a 2 5 ，故选 C．
2．B【解析】由题意得，
c a
1 2
，∴
c2 a2
1 4
，又 a2
b2
c2 ，∴
a2 b2 a2
1， 4
b2 a2
为 (2, 0) ．
(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2)设 O 为坐标原点，证明： OMA OMB ．
17．已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ： x2 y2 1交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 43
M (1, m) (m 0) ． (1)证明： k 1 ；
6．D【解析】由题意可设 Q( 10 cos,sin) ，圆的圆心坐标为 C(0, 6) ，圆心到 Q 的距
离为| CQ | ( 10 cos)2 (sin 6)2 50 9(sin 2)2 ≤ 50 5 2 ，当 3
且仅当 sin
2 3
时取等号，所以 |
PQ |max≤| CQ |max
12．设
F1，F2
为椭圆 C
：x2 36
+
y2 20
1的两个焦点，M
为C
上一点且在第一象限．若 MF1F2
为等腰三角形，则 M 的坐标为___________．
13．设
F1,
F2
分别为椭圆
x2 3
y2
1的左、右焦点，点
A, B
在椭圆上，若 F1A
5F2 B
；则
点 A 的坐标是
．
14．椭圆
x2 a2
x1 x2 2
a2 b2
2
所以 e 2 ． 2
8．12【解析】设 MN 交椭圆于点 P ，连接 F1P 和 F2P ，利用中位线定理可得 AN BN
2 F1P 2 F2P 2 2a 4a 12 ．
9．(x 3)2 y2 25 【解析】 由题意圆过 (4, 0), (0, 2), (0, 2) 三个点，设圆心为 (a, 0) ，
2
4
其中 a 0 ，由 4 a a2 4 ，解得 a 3 ，所以圆的方程为 (x 3)2 y2 25 ．
2
2
4
10 ． (3, 15) 【 解 析 】 不 妨 令 F1 ， F2 分 别 为 椭 圆 C 的 左 、 右 焦 点 ， 根 据 题 意 可 知
c 36 20 4 ．因为 MF1F2 为等腰三角形，所以易知| F1M | 2c 8 ．
y2 b2
1(a
b 0) 的左、右顶点分别是
A, B ，左、右焦点分别是 F1, F2
．若
| AF1 |,| F1F2 |,| F1B | 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．
三、解答题
15．设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左焦点为 F
，上顶点为 B
．已知椭圆的短轴长为
y22 b2
1
②
①－②得
( x1
x2 )(x1 a2
x2
)
(
y1
y2 )( y1 b2
y2
)
0
，
∴ kAB =
y1 y2 x1 x2
=
b2 (x1 a2 ( y1
x2 ) y2 )
=
b2 a2
，又
k AB
=
0 1 31
=
1 2
，∴
b2 a2
= 1 ，又 9= c2 = a2 b2 ， 2
解得 b2 =9， a2 =18，∴椭圆方程为 x2 y2 1，故选 D. 18 9
y2 b2
1(a
b
0) 的左焦点，A，B
分别为
C
的
左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y
轴交于点 E．若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 3
D． 3 4
5．已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点．若 AB
ab
a
(0, m)
m mc m
和 B(a,0) 三点共线，则
a 2
m 2
，化简得 a 3c ，
2
c
a
则 C 的离心率 e c 1 ．故选 A． a3
5．D【解析】设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，则 x1 x2 =2， y1 y2 =－2，
x12 a2
y12 b2
1
①
x22 a2
kx
2 中，令 y
0 ，得 xM
2 k
．由题意得
N (0, 1) ，所以直线 MN 的斜率为 k ．由 OP MN ，得 4 5k 2 ( k ) 1，化简
2
10k 2
得 k 2 24 ，从而 k 2 30 ．
5
5
所以，直线 PB 的斜率为 2 30 或 2 30 ．
5
5
16．【解析】(1)由已知得 F (1, 0) ， l 的方程为 x 1 ．
4x22 (3 4
x22 4
y22
x2 )2 m
m
，得
y2
1 4
m
3 4
，所以
x22
m
(3
2 y2 )2
1 4
m2
5 2
m
9 4
1 4
(m 5)2
4≤4
，
所以当 m 5 时，点 B 横坐标的绝对值最大，最大值为 2．
13．(0, 1)【解析】设点 A 的坐标为 (m, n) ，B 点的坐标为 (c, d ) ．F1( 2, 0), F2 ( 2, 0) ，
可得 F1A (m 2, n) ， F2B (c 2, d ) ，∵ F1A 5F2B ，
∴ c m 6 2 , d n ，又点 A, B 在椭圆上，
5
5
∴
m2
n2
1，
(m
6 5
2 )2 ( n)2 1，解得 m 0, n 1，
3
3
5
∴点 A 的坐标是 (0, 1) ．
14． 55【解析】由椭圆的性质可知：AF1 a c ，F1F2 2c ，F1B a c .又已知 AF1 ， F1F2 ， F1B 成等比数列，故 (a c)(a c) (2c)2 ，即 a2 c2 4c2 ，则 a2 5c2 .故
别为 A ， B ，线段 MN 的中点在 C 上，则| AN | | BN |
．
9．一个圆经过椭圆 x2 y2 1的三个顶点，且圆心在 x 的正半轴上，则该圆的标准方程为 16 4
_________．
10．已知椭圆 x2 y2 1的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，若线段 PF 的中 95
由已知可得，点 A 的坐标为 (1, 2 ) 或 (1, 2 ) ．
a
点)，则 sin
1 a
，在等腰三角形
ABF1 中，cos 2
2 3a
1 3
，所以 1 3
1 2( 1)2 ，得 a
2
a2 3．又 c2 1，所以 b2 a2 c2 2 ，椭圆 c 的方程为 x2 y2 1．故选 B． 32
4．A【解析】设 E(0, m) ，则直线 AE 的方程为 x y 1，由题意可知 M (c, m mc) ，
以点
D
的坐标为 (0,
b2 ) 2a
，由
AD
F1B
，所以
kAD
kF1B
1，整理得
3b2 2ac ，解得 e 3 ． 3
12．5【解析】设
A( x1 ,
y1
)
，
B( x2
,
y2
)
，由
AP
2PB
，得
1x1y1
2 x2 2(
y2
1)
，
即
x1
2x2
，
y1
3
2 y2
．因为点
A
，B
在椭圆上，所以
所以 |
F2M
|
2a
8
4
．设 M (x,
y)
，则
x2 36 | F1M
y2 1 20 |2 (x
4)2
y2
64
，
x 0
y 0
得
x
3
，所以 M 的坐标为 (3, 15) ．
y 15
11．
3 3
【解析】由题意可得
A(c,
b2 a
)
，
B(c,
b2 a
)
，由题意可知点
D
为
F1B
的中点，所
二、填空题
7．过点 M (1,1) 作斜率为 1 2
的直线与椭圆 C
：
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
相交于
A, B 两点，
若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于
．
8．已知椭圆 C ： x2 y2 1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分 94
r
5
2
2 6
2 ，所以
P,Q 两点间的最大距离是 6 2 ．
二、填空题
7．
百度文库
2 2
【解析】设
A( x1 ,
y1) ，
B(x2 ,
y2 ) ，分别代入椭圆方程相减得
( x1
x2 )(x1 a2
x2 )
( y1
y2 )( y1 b2
y2 )
0 ，根据题意有
x1
x2
2,
y1
y2
2
，
且 y1 y2 1 ，所以 2 2 ( 1) 0 ，得 a2 2b2 ，整理 a2 2c2 ，
2 (2)设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 FP FA FB 0 ．证明：| FA | ，| FP | ，
| FB | 成等差数列，并求该数列的公差．
18．已知椭圆
x2 8
y2 4
1， F1, F2 为左、右焦点，直线 l 过 F2 交椭圆于
A、B
两点．
(1)若 AB 垂直于 x 轴时，求 AB ；
4，
离心率为 5 ． 5
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点
N 在 y 轴的负半轴上．若| ON || OF | ( O 为原点)，且 OP MN ，求直线 PB 的
斜率．
16．设椭圆 C : x2 y2 1的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A , B 两点，点 M 的坐标 2
(2)当 F1AB 90 时， A 在 x 轴上方时，求 A, B 两点的坐标； (3) 若 直 线 AF1 交 y 轴 于 M ， 直 线 BF1 交 y 轴 于 N ， 问 ： 是 否 存 在 直 线 l ， 使
S△F1AB S△F1MN ，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
A． x2 y2 1 2
B． x2 y2 1 32
C． x2 y2 1 43
D． x2 y2 1 54
3．已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a
b
0) 的离心率为
1 2
，则
A． a2 2b2
B． 3a2 4b2 C． a 2b
D． 3a 4b
4．已知
O
为坐标原点，F
是椭圆
C：
x2 a2