1.2.3复合函数的导数公式

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课件10：1.2.3 导数的四则运算法则

，
特别地当 f(x)＝1 时有g（1x）′＝－gg′2（（xx））
．
知识2：复合函数的导数问题导思已知函数 y＝2x＋π6＋sin x，y＝sin2x＋π6，y＝ln(x＋2)．这三个函数都是复合函数吗？答：函数 y＝sin2x＋6π，y＝ln(x＋2)是复合函数，函数 y ＝2x＋6π＋sin x 不是复合函数．
本节内容结： (1)y＝cos(2x－1)； (2)y＝2xe－x. 解：(1)y′＝－sin(2x－1)·(2x－1)′＝－2sin(2x－1)． (2)y′＝(2x)′e－x＋2x(e－x)′＝2e－x－2xe－x.
类型3：导数运算法则的综合应用
例3：求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．
例 1：求下列函数的导数． (1)y＝x4－2x2－3x＋3； (2)y＝xx2＋＋33； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(4)y＝xtan x.
解：(1)y′＝(x4－2x2－3x＋3)′＝4x3－4x－3 (2)y′＝xx2＋＋33′ ＝（x＋3）′（x2＋（3）x2＋－3（）x＋2 3）（x2＋3）′ ＝－（xx22－＋63x）＋23.
(3)函数 y＝log2(1－x)可看作函数 y＝log2u 和 u＝1－x 的复合函数， ∴ yx ＝5 yu · ux ＝5(log2u)′·(1－x)′ ＝u－ln52＝（x－15）ln 2.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数． ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x.

学案4：1.2.3 导数的四则运算法则

1.2.3 导数的四则运算法则学习目标(1)能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数；(2)理解并掌握复合函数的求导法则．知识导学一、导数的四则运算法则1．函数和(或差)的求导法则若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)．注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)±f2(x)±…±f n(x))′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f n′(x)．2．函数积的求导法则对于可导函数f(x)，g(x)，有[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)．注意：(1)若C为常数，则[Cf(x)]′＝C′f(x)＋Cf′(x)＝0＋Cf′(x)＝Cf′(x)，即[Cf(x)]′＝Cf′(x)，即常数与函数之积的导数，等于常数乘函数的导数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，a，b为常数．切忌把[f(x)·g(x)]′记成f′(x)·g′(x)．3．函数的商的求导法则对于可导函数f(x)，g(x)，有[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0)．注意：在两个函数积f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与g′(x)f(x)之间为“＋”号；而两个函数商f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之间为“－”号．二、复合函数的求导法则1．复合函数的求导法则一般地，设函数u＝φ(x)在点x处有导数u x′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y u′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y x′＝y u′·u x′或f′(φ(x))＝f′(u) φ′(x)或d y d x＝d y d u·d ud x，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数．2．求复合函数的导数的步骤(1)适当选定中间变量，正确分清复合关系；(2)分步求导；(3)把中间变量代回原自变量的函数．整个过程可简记为“分解——求导——回代”．熟练后，可省略中间过程．若遇多重复合，可相应的多次用中间变量．3．求复合函数的导数应处理好以下环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后要把中间变量换成自变量的函数．三、导数计算中的化简技巧有关导数的运算一般要按照导数的运算法则进行，但也不能盲目地套用公式，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，但每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运处算失误．探究点一导数的四则运算例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝2x ＋1x 2＋x 22x ＋1.归纳总结(1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式，并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确性．(2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开化为和、差的导数比用积的导数简单容易．练一练1.求下列函数的导数：(1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1；(2)y＝x cos x；(3)y＝sin2x；(4)y＝tan x＋cot x；(5)y＝x2ln x＋1log a x(a>0且a≠1，x>0)．探究点二复合函数的导数例2 求下列函数的导数．(1)y＝sin3x；(2)y＝3－x.方法总结复合函数的求导需注意以下问题：(1)分清复合函数的复合关系，看它是由哪些基本初等函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin2x )′＝2cos2x ，而(sin2x )′≠cos2x ；(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写．练一练2.求下列函数的导数：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6； (2)y ＝ln(2x 2＋3x ＋1)．探究点三求导法则的综合应用例3 求和S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1(x ≠0，n ∈N ＋)．方法总结本题事实上可用数列中的错位相减法求和解决，若利用导数转化，则可成为等比数列求和问题，从而简化运算．求解时要注意需对x 是否等于1分类讨论．练一练3.求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．当堂检测1.求函数y ＝x 3·cos x 的导数．解：y ′＝(x 3)′cos x ＋x 3·(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x .2.求y ＝x 2sin x的导数．3.求复合函数y ＝(2x ＋1)5的导数．4.函数f (x )＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)的导数为( )A ．x 2－x ＋1B ．(x ＋1)(2x －1)C ．3x 2D ．3x 2＋15、已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)·…·(x －2015)，则f ′(0)＝________.课堂小结导数的四则运算法则⎩⎪⎨⎪⎧ 函数和差积商的求导法则掌握复合函数的求导法则理解参考答案探究点一导数的四则运算例1 解：(1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′＋(6)′＝4x 3－6x －5.(2)解法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.解法2：∵y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2 ＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 解法2：∵y ＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′ ＝－(2)′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 2′＋⎝⎛⎭⎫x 22x ＋1′＝(2x ＋1)′x 2－(2x ＋1)(x 2)′x 4＋(x 2)′(2x ＋1)－x 2(2x ＋1)′(2x ＋1)2＝2x 2－4x 2－2x x 4＋4x 2＋2x －2x 2(2x ＋1)2＝－2x －2x 3＋2x 2＋2x (2x ＋1)2. 练一练1.解：(1)y ′＝4x 3－9x 2＋4x －4.(2)y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′＝cos x －x sin x .(3)y ′＝(sin2x )′＝(2sin x cos x )′＝(2sin x )′cos x ＋2sin x (cos x )′＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x .(4)y ′＝(tan x ＋cot x )′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＋⎝⎛⎭⎫cos x sin x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝1cos 2x －1sin 2x＝－cos2x cos 2x sin 2x ＝－4cos2x sin 22x . (5)y ′＝2x ln x ＋x 2·1x ＋0－1x ln a log 2a x＝2x ln x ＋x －ln a x ln 2x . 探究点二复合函数的导数例2 解：(1)设y ＝sin u ，u ＝3x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·3＝3cos3x .(2)设y ＝u ，u ＝3－x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u ·(－1)＝－123－x. 练一练 2.解：(1)设y ＝cos u ，u ＝3x －π6， ∴y ′x ＝－sin u ·3＝－3sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6. (2)设y ＝ln u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(4x ＋3)＝4x ＋32x 2＋3x ＋1. 探究点三求导法则的综合应用例3 解：当x ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2；当x ≠1时，∵x ＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝x (x n －1)x －1， ∴S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )′＝(x n ＋1－x x －1)′ ＝(x n ＋1－x )′(x －1)－(x n ＋1－x )(x －1)′(x －1)2＝1－(n ＋1)x n ＋nx n ＋1(x －1)2. 练一练3.解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)． ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0. ② 又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.当堂检测1.解：y ′＝(x 3)′cos x ＋x 3·(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x .2.解：y ′＝(x 2)′sin x －x 2·(sin x )′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. 3.解：∵函数y ＝(2x ＋1)5由函数y ＝u 5和u ＝2x ＋1复合而成， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′u ·(2x ＋1)′x＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4，即y ′x ＝10(2x ＋1)4.4.【答案】 C【解析】因为y ＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝x 3＋1，所以y ′＝(x 3＋1)′＝3x 2，故选C.5.【答案】－(1×2×3× (2015)【解析】依题意，设g (x )＝(x －1)(x －2)·…·(x －2015)，则f (x )＝x ·g (x )，f ′(x )＝[x ·g (x )]′＝g (x )＋x ·g ′(x )，故f ′(0)＝g (0)＝－(1×2×3×…×2015)．。

1.2.3导数的四则运算法则

所以 [(5x 3)5 ]' 5(u5 )u ' 5 5u4
=25(5x+3)4
（2） y ln(x2 1) 解：（2）y=ln(x2+1)
令u=x2+1，则y=lnu，所以y’= 1 ·(2x)
u 2x
x2 1
（3） y e2x3
解：y=e－2x－3 令u=－2x－3，则y=eu，所以y’=eu·(－2)=－2e－2x－3 .
x
x
(3) 当x 0, y 常数 x
一．函数和（或差）的求导法则
法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
证明：令y=f(x)+g(x)，则
y f (x x) g(x x) [ f (x) g(x)]
三．函数的商的求导法则
❖ 设f(x)，g(x)是可导的函数，g(x)≠0，
❖ 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的
积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的
平方。即
[ f (x)]' g(x)
f
'(x)g(x) f (x)g '(x) g 2 ( x)
例4．求y=tanx的导数。
解 : (1) y' ( sin x )' c os x
解：设x有一改变量△x，则对应于u，y分
别有改变量△u，△y，
由 y y u
x u x
得 lim y lim y lim u
x0 x u0 u x0 x
而
u lim x0 x
u '(x) a
所以
dy dx
a[ f

求导公式大全24个

求导公式大全24个1.常数函数的导数为零：(c)'=0。

2.幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)。

3.反比例函数的导数：(1/x)'=-1/x^2。

4. 指数函数的导数：(a^x)' = a^x*lna，其中lna为以e为底数的对数。

5. 对数函数的导数：(ln x)' = 1/x，其中x>0。

6. 正弦函数的导数：(sin x)' = cos x。

7. 余弦函数的导数：(cos x)' = -sin x。

8. 正切函数的导数：(tan x)' = sec^2 x = 1/cos^2 x。

9. 反正弦函数的导数：(arcsin x)' = 1/√(1-x^2)。

10. 反余弦函数的导数：(arccos x)' = -1/√(1-x^2)。

11. 反正切函数的导数：(arctan x)' = 1/(1+x^2)。

12. 双曲正弦函数的导数：(sinh x)' = cosh x。

13. 双曲余弦函数的导数：(cosh x)' = sinh x。

14. 双曲正切函数的导数：(tanh x)' = sech^2 x = 1/cosh^2 x。

15. 反双曲正弦函数的导数：(arcsinh x)' = 1/√(x^2+1)。

16. 反双曲余弦函数的导数：(arccosh x)' = 1/√(x^2-1)。

17. 反双曲正切函数的导数：(arctanh x)' = 1/(1-x^2)。

18.真分式的导数：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-g'(x)f(x))/g^2(x)。

19.复合函数的导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

20.积的导数：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

复合函数的导数

yu (u2 ) 2u , ux (sin x) cos x.
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x，求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且或
或
证设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0

课件2：1.2.3导数的四则运算法则

∴y′＝8x＋12.
【名师点评】利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤： (1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数； (3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．
跟踪训练 2．求下列函数的导数： (1)y＝ 3x－x2； (2)y＝e2x＋1； (3)y＝ 1－13x4； (4)y＝cos2x.
跟踪训练
3．求下列函数的导数： (1)y＝5log2(2x＋1)．
(2)y＝sin2(2x＋π)． 3
解：(1)设 y＝5log2u，u＝2x＋1，则 y′＝yu′·ux′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝u1ln0 2
＝
10 2x＋1ln
2.
(2)法一：∵
y＝121－
cos4x＋23π
＝12－12cos(4x＋23π)，
(2)由于(a3x)′＝a3xln a·(3x)′＝3a3xln a， [cos(2x＋1)]′＝－sin(2x＋1)·(2x＋1)′ ＝－2sin(2x＋1)． ∴y′＝[a3xcos(2x＋1)]′ ＝(a3x)′cos(2x＋1)＋a3x[cos(2x＋1)]′ ＝3a3xln a·cos(2x＋1)－2a3xsin(2x＋1)．【名师点评】如果函数(或变形后的函数)解析式中一部分是复合函数，可先求出复合函数的导数，然后再用导数的四则运算法则求导数．
v＝
cos(2x＋π)， 3
v′＝2，
∴
y′＝
yu′
·uv′
·vx′
＝
4sin(2x＋π)·cos(2x＋π)
3
3
＝2sin(4x＋23π)．
方法感悟
1．导数公式和运算法则为我们求导提供了更好的工具,求导前要先将函数解析式进行化简． 2．求复合函数的导数要分析函数的复合层次，把复合函数从外及内分解成若干个常见的基本初等函数，然后利用求导法则进行求导．

123复合函数求导

(2) y= x 4 (3) y= x -2
y 4x3
y

2x3

2 x3
(4) y= 2 x (5) y=log3x
y 2x ln 2
y 1 x ln 3
练习2、求下列函数的导数。
1、y=5
2、y=xn
3、y=sinx
4、y=cosx
5、y=ax
6、y=ex
7、y=logax 9、y=x5+sinx-7x
-4t3+16t2.
4
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.
(2) s(t) t 3 12t 2 32t, 令s(t) 0, 即t3-12t2+32t=0,
导数的运算法则：
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的
导数的和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
即: f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
0.05eu 0.05e0.05x1.
3函数y sinx 可以看作函数y sin u和
u x 的复合函数.
由复合函数求导法则有
y
' x

yu'

u
' x
sin u' x '
cosu cosx .

数学中求导的公式

数学中求导的公式求导是微积分中的一个重要概念，用于描述一个函数在某一点的变化率。

在数学中，求导的公式是通过对函数进行微分来计算它的导数。

导数表示了函数在某一点的切线斜率，也可以用来求函数的最值、高阶导数等。

在求导的过程中，我们常用的求导公式有以下几个：1. 常数函数的导数公式：对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0。

这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为0。

2. 幂函数的导数公式：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数为y' = n * x^(n-1)。

这个公式可以通过使用定义来推导，也可以使用幂函数的特殊性质来求导。

3. 指数函数的导数公式：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且不等于1，其导数为y' = ln(a) * a^x。

指数函数的导数与函数自身成正比，且比例常数是ln(a)。

4. 对数函数的导数公式：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，其导数为y' = 1 / (x * ln(a))。

对数函数的导数可以通过换底公式和指数函数的导数公式推导得到。

5. 三角函数的导数公式：对于三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等，它们的导数公式分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)等。

这些公式可以通过使用极限定义来推导。

6. 反三角函数的导数公式：对于反三角函数arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x)等，它们的导数公式分别为 1 / sqrt(1 - x^2)、-1 / sqrt(1 - x^2)、1 / (1 + x^2)等。

这些公式可以通过使用反函数的导数与原函数导数互为倒数的性质来推导。

7. 复合函数的导数公式：对于复合函数y = f(g(x))，其中f和g 分别为函数，其导数可以通过链式法则来计算。

链式法则表示，复合函数的导数等于外层函数在内层函数的导数上乘以内层函数的导数。

复合函数导数知识点总结

复合函数导数知识点总结一、基本概念1. 复合函数的定义复合函数由两个函数组合而成，形式为h(x) = f(g(x))，其中f和g是两个函数，g的输出是f的输入。

例如，f(x) = x^2, g(x) = 2x，则h(x) = f(g(x)) = (2x)^2 = 4x^2。

2. 复合函数的导数复合函数的导数描述了函数随着自变量变化时的变化率。

在微分学中，复合函数的导数可以求解两种方法：链式法则和隐函数法则。

二、链式法则链式法则是求解复合函数导数的重要方法，它描述了复合函数导数与原函数导数之间的关系。

1. 链式法则的定义假设函数h(x) = f(g(x))是一个复合函数，其中f和g是可导函数，那么h的导数为h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)。

这个公式表明，复合函数的导数等于外函数在内函数的值上的导数与内函数的导数的乘积。

2. 链式法则的应用链式法则最经典的应用是求解三角函数和指数函数的导数。

例如，如果f(x) = cos(x^2)，g(x) = x^2，则通过链式法则可以求解f'(x) = -2x * sin(x^2)。

三、隐函数法则隐函数法则是求解复合函数导数的另一种方法，它适用于隐式表达形式的复合函数。

1. 隐函数法则的定义如果函数y = f(u)是由u = g(x)隐式定义的，则y对x的导数可以通过链式法则和隐函数法则求解：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。

2. 隐函数法则的应用隐函数法则在物理和工程学中有着广泛的应用，例如在描述曲线运动的方程中，就需要对隐式函数进行求导。

四、实际问题中的应用复合函数导数在实际问题中有着广泛的应用，特别是在解决动态变化的问题时，复合函数导数的应用尤为重要。

1. 物理学中的应用在物理学中，复合函数导数可以描述物体的运动和变化规律。

例如，在描述加速度、速度和位移之间的关系时，就需要用到复合函数导数。

湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件第1章导数及其应用 1.2.3 简单复合函数的求导

2
f'(x)= .
2-1
2
3
f'(x0)=
=1,解得 x0= .故选
2 0 -1
2
1 2 3 4 5 6
B.
5.曲线y=(x2-2x)ln 2x在点(1,-ln 2)处的切线方程为 x+y+ln 2-1=0
.
解析由函数y=(x2-2x)ln 2x,可得y'=(2x-2)ln 2x+x-2,所以当x=1时y'=-1,所求
新函数.
பைடு நூலகம்2.复合函数求导法则的三个关注点:
(1)分析复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成,适当选定中
间变量;
(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的
是中间变量;
(3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把
中间变量转换成自变量的函数.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数 f(x)= x-1可以看作是由 f(x)=√u 和 u=x-1 复合而成的.( √ )
(2)函数y=sin 2x的导数为y'=cos 2x.( × )
2.[北师大版教材习题]写出下列函数的中间变量,并利用复合函数的求导
法则分别求出函数的导数:
则yx'=yu'·ux'=2u·(-2)=-4(-2x+1)=8x-4.
π
(2)y=sin(2x+3 );
解设 y=sin
π
u,u=2x+ ,
3
则 yx'=yu'·ux'=cos
π

导数的运算法则及复合函数的导数

导数的运算法则及复合函数的导数导数是微积分中非常重要的概念，它描述了一个函数在其中一点的变化率。

在实际应用中，我们常常需要对函数进行一系列运算，包括加减乘除和复合函数等，了解导数的运算法则以及复合函数的导数可以帮助我们更好地进行运算和解决实际问题。

1.导数的运算法则：(1)和差法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的和、差的函数f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在区间I上仍然可导，并且有如下的导数公式：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(2)乘法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的乘积函数f(x)g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(3)除法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，并且g(x)≠0，则它们的商函数f(x)/g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]²(4)常数法则：设c为常数，函数f(x)在区间I上可导，则常数函数cf(x)在区间I 上可导，并且有如下的导数公式：(cf(x))' = cf'(x)(5)幂函数法则：设函数f(x)=x^n在区间(x>0)上可导，则幂函数f(x)=x^k在区间(x>0)上可导，并且有如下的导数公式：(x^k)' = kx^(k-1)2.复合函数的导数：复合函数是指一个函数内部存在另一个函数，即一个函数的输入是另一个函数的输出。

在实际运算中，我们还需要计算复合函数的导数，可以利用链式法则来求解。

(1)链式法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由两个函数构成的复合函数，在函数f和g 满足一定的条件下dy/dx = dy/du * du/dx具体地，对于复合函数y=f(g(x))，先计算出f对u的导数df/du，再计算出g对x的导数dg/dx，最后将两个结果相乘即可得到复合函数对x的导数。

学案7：1.2.3 导数的四则运算法则

1.2.3 导数的四则运算法则新知初探已知f (x )＝x ，g (x )＝1x. 问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x的导数．问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？问题4：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )对吗？1．导数的四则运算法则(1)设f (x )，g (x )是可导的，则法则语言叙述[]f (x )±g (x )′＝两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数[f (x )g (x )]′＝两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以(2)特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 2．复合函数y ＝f (μ(x ))的导数y ＝f (μ(x ))是x 的复合函数，则y ′＝f ′(μ(x ))＝dy dμ·du dx＝f ′(μ)·μ′(x )．1.()f (x )±g (x )′＝f ′(x )±g ′(x )的推广(1)此法则可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导．(2)[]af (x )±bg (x )′＝af ′(x )±bg ′(x )．2．求复合函数的导数应注意(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系；(2)弄清每一步求导是对哪个变量按什么公式求导；(3)不要忘记将中间变量代回原自变量．题型探究题型一利用导数的四则运算法则求导[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2； (3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[一点通] 求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．跟踪训练1．函数y ＝x 2·sin x 的导数是( )A ．2x ·sin x ＋x 2·cos xB ．x 2·cos xC ．2x ·sin x －x 2·cos xD ．2x ·cos x2．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193 B .163C.133D.1033．求下列函数的导数：(1)y ＝cos x x；(2)y ＝x sin x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x；(4)y ＝lg x －1x 2.题型二简单的复合函数求导[例2] 求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln (6x ＋4)；(3)y ＝e 2x ＋1；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.[一点通] 求复合函数导数的步骤：(1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y ＝f (u )，u ＝g (x )；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求y u ′，再求u x ′；(3)计算y u ′·u x ′，并把中间变量转化为自变量．整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程．跟踪训练4．函数y ＝cos 2x 的导数为( )A ．y ′＝sin 2xB ．y ′＝－sin 2xC ．y ′＝－2sin 2xD ．y ′＝2sin 2x5．函数f (x )＝(2x ＋1)5，则f ′(0)的值为________．6．求下列函数的导数．(1)y ＝3－x ；(2)y ＝12ln (x 2＋1)；(3)y ＝a 1－2x (a ＞0，a ≠1)．题型三曲线切线方程的确定与应用[例3](12分)设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[一点通]基本初等函数的求导公式与求导运算法则联合使用，极大地方便了函数的导数的求解，从而为用导数研究曲线的切线注入了强大的源动力，使问题的解决快捷方便．跟踪训练7．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.8．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．课堂小结1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．求复合函数的导数应处理好以下环节：(1)正确分析函数的复合层次；(2)中间变量应是基本初等函数结构；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．当堂检测1．已知f (x )＝x －5＋3sin x ，则f ′(x )等于( )A ．－5x －6－3cos xB ．x －6＋3cos xC ．－5x －6＋3cos xD ．x －6－3cos x 2．已知f (x )＝sin n x ，则f ′(x )＝( )A ．n sin n －1xB ．n cos n －1x C ．cos n x D ．n sin n －1x ·cos x 3．曲线y ＝x 2x －1在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0 B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝04．已知直线y ＝x ＋1与曲线f (x )＝ln (x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－25．若f (x )＝e x ＋e －x 2，则f ′(0)＝________. 6．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 7．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝1＋cos x x 2； (3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)；(4)y ＝x 1＋x 2；(5)y ＝sin 3x ＋sin x 3.8．已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．参考答案新知初探问题1：提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x 2. 问题2：提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )， ∴Q ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1x 2. 问题3：提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差．问题4：提示：不对，因为f (x )g (x )＝1，[f (x )g (x )]′＝0，而f ′(x )·g ′(x )＝1×⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x2.1． (1) f ′(x )±g ′(x ) 和(或差)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 第一个函数乘上第二个函数的导数分母的平方题型探究[例1] [解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x(e x －1)2. 跟踪训练1．A【解析】y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2·(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .2．D【解析】f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103. 3．解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x. (3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x3. [例2] [解] (1)∵y ＝(3x －2)2由函数y ＝u 2和u ＝3x －2复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝6u ＝18x －12.(2)∵y ＝ln (6x ＋4)由函数y ＝ln u 和u ＝6x ＋4复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(6x ＋4)′＝6u ＝66x ＋4＝33x ＋2. (3)∵y ＝e 2x ＋1由函数y ＝e u 和u ＝2x ＋1复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1.(4)∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3由函数y ＝sin u 和u ＝2x ＋π3复合而成， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝2cos u ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 跟踪训练4．C【解析】y ′＝－sin 2x (2x )′＝－2sin 2x .5．10【解析】f ′(x )＝5(2x ＋1)4·(2x ＋1)′＝10(2x ＋1)4，∴f ′(0)＝10.6．解：(1)设y ＝u ，u ＝3－x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12u ·(－1)＝－123－x. (2)设y ＝12ln u ，u ＝x 2＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12·1u ·(2x )＝12·1x 2＋1·(2x )＝x x 2＋1. (3)令y ＝a u ，u ＝1－2x ，则y x ′＝y u ′·u ′x ＝a u ·ln a ·(－2)＝a 1－2x ·ln a ·(－2)＝－2a 1－2x ln a .[例3] [解] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12.① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.②(2分) 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x .(6分)(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．(8分)令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．(9分) 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．(10分)所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(12分)跟踪训练7．12【解析】因为y ′＝2ax －1x，依题意得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，所以a ＝12. 8．解：∵直线l 过原点，∴直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)，由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2. 又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝3x 20－6x 0＋2.又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，整理得2x 20－3x 0＝0.∵x 0≠0，∴x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14. 因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－38. 课堂小结1．C【解析】f ′(x )＝(x －5＋3sin x )′＝(x －5)′＋(3sin x )′＝－5x －6＋3cos x .2．D【解析】由于f (x )＝sin n x ，由函数y ＝t n ，t ＝sin x 复合而成，∴y x ′＝y t ′·t x ′＝nt n －1·cos x ＝n sin n －1x ·cos x .3．B【解析】y ′＝－1(2x －1)2，∴切线的斜率k ＝f ′(1)＝－1，由直线的点斜式方程得切线方程是x ＋y －2＝0.4．B【解析】设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1＝ln (x 0＋a )．又由f ′(x 0)＝1x 0＋a＝1，得x 0＋a ＝1，∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2.5．0【解析】∵f ′(x )＝12(e x －e －x )，∴f ′(0)＝0. 6．1【解析】∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝ 2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.7．解：(1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x3. (2)y ′＝(1＋cos x )′·x 2－(1＋cos x )(x 2)′x 4＝－x sin x －2cos x －2x 3. (3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ， ∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′ ＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x －1 ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′ ＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.(4)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x ()1＋x 2′ ＝ 1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2. (5)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.8．解：∵y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′ ＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴f ′(0)＝2，∴曲线在点(0,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. ∴直线l 的方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.。

课件11：1.2.3 导数的四则运算法则

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1.2.3 导数的四则运算法则
学习目标 (1)能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数； (2)理解并掌握复合函数的求导法则．
知识导学一、导数的四则运算法则 1．函数和(或差)的求导法则若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x) －g(x))′＝f′(x)－g′(x)．注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．
解：(1)y′＝4x3－9x2＋4x－4. (2)y′＝x′cosx＋x(cosx)′＝cosx－xsinx. (3)y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′＝(2sinx)′cosx＋2sinx(cosx)′ ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x. (4)y′＝(tanx＋cotx)′＝csoinsxx′＋csoinsxx′ ＝cos2cxo＋s2sxin2x＋－sins2ixn－2xcos2x＝co1s2x－sin12x
归纳总结 (1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式，并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确性． (2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开化为和、差的导数比用积的导数简单容易．
练一练 1.求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1； (2)y＝xcosx； (3)y＝sin2x； (4)y＝tanx＋cotx； (5)y＝x2lnx＋lo1gax(a>0 且 a≠1，x>0)．
(2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．

复合函数的导数公式推导

复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数是指将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值的过程。

在实际问题中，复合函数的应用非常广泛。

例如，在数学中，我们可以将两个函数复合起来，以便求出新函数的导数。

这个过程的推导如下：
假设 f(x) 表示一个函数，并且 g(u) 表示另一个函数。

现在，我们来寻找 f(g(u)) 的导数。

首先，根据复合函数的定义，我们可以得到：
f(g(u)) = f(x)
将其对 u 求导：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(x) * x'
其中，f'(x) 和 g'(u) 分别表示函数 f(x) 和 g(u) 的导数。

注意到，当 u 取特定的值时，x 和 g(u) 是相等的。

因此，我们可以将 x 替换为 g(u)，得到：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(g(u)) * g(u)'
将上式移项，得到：
(f'(g(u))) / (g'(u)) = g(u)'
这个公式就是复合函数的导数公式。

它告诉我们，f(g(u)) 在 u 处的导数等于 f'(g(u)) 和 g'(u) 的商，再乘以 g(u) 在 u 处的导数。

这个公式
在实际问题中非常有用，因为它可以帮助我们求出复合函数的导数，
从而解决问题。

复合函数求导公式

f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，
从而（公式）：f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)
呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！
f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)
所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x).
以此类推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)
y'={sin(3-x)]'=-cos(x)
用伟大的母语简单的说就是：复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。

举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u就是中间变量，则F（u）=Inu （1）
原函数对中间变量的导就是函数（1）的导，即1/u
中间变量对自变量的导就是u对x求导，即2
最后原函数的导数等于他们两个的乘积，即2乘以1/u，但千万别忘了把u=2x+5带进去，所以答案就是2/(2x+5)。

其他的不管在复杂的复合函数都是这么求的，要是有多重复合就一层一层的求下去，一般来讲，高三最多要你求3层复合就像：F(x)=log[(2x+5)平方}，这个就是简单的三层复合，设u=v平方，v=2x+5, 再用上面一样的方法把各自的求出来，来乘起来就是.。

2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.2 1.2.3 简单复合函数的导数含答案解析

1．2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2. 问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2是如何复合的？提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2是由 g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2复合而成的．问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2，g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2的导数．提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2]′＝[9x 2＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[对应学生用书P11]复合函数的求导[例1] (1)y ＝1(2x ＋3)3；(2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y ＝log 2(5－3x )．[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解． [精解详析] (1)y ＝1(2x ＋3)3＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －32，u ＝2x ＋3的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －32)′·(2x ＋3)′＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.(2)y ＝e －0.05x ＋1是函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(－0.05x＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e－0.05x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－3(5－3x )ln 2＝3(3x －5)ln 2. [一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f (x )＝ln 1x ，则f ′(x )＝________.解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1x的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝1u ·⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x . 答案：－1x2．函数y ＝sin 3x ＋sin x 3的导数为________．解析：y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3. 答案：3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3 3．求下列函数的导数： (1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝1(1－3x )4.解：(1)y ＝e u ，u ＝2x 2＋3x ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2＋3x )′＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2＋3x . (2)∵y ＝1(1－3x )4＝(1－3x )－4， ∴可设y ＝u －4，u ＝1－3x ，∵y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5×(－3)＝12(1－3x )－5.求导法则的综合应用[例2] (1)y ＝31－x sin(2x －1)；(2)y ＝ln (2x －1)2x －1.[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析] (1)y ′＝(31－x )′sin(2x －1)＋31－x ·[sin(2x －1)]′＝－31－x ln 3·sin(2x －1)＋31－x ·2cos(2x －1)＝31－x [2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．(2)y ′＝[ln (2x －1)]′·2x －1－ln (2x －1)·(2x －1)′(2x －1)2＝22x －12x －1－ln (2x －1)·12(2x －1)－12·22x －1＝22x －1－ln (2x －1)2x －12x －1＝2－ln (2x －1)(2x －1)·2x －1. [一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f (x )＝x cos 2x ，则f ′(x )＝________. 解析：f ′(x )＝x ′cos 2x ＋x (cos 2x )′ ＝cos 2x －2x sin 2x . 答案：cos 2x －2x sin 2x 5．求下列函数的导数： (1)y ＝2x －1x ；(2)y ＝12sin 2(1－x )．解：(1)y ′＝(2x －1)′x －2x －1·x ′x 2＝x2x －1－2x －1x 2＝1－x x 22x －1. (2)∵y ＝12sin 2(1－x )＝14[1－cos(2－2x )]＝14－14cos(2－2x )＝14－14cos(2x －2)． ∴y ′＝12sin(2x －2)．复合函数导数的应用[例3] f (1))处的切线为l ，若l与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．[思路点拨] 求函数f (x )的导数→求f ′(1)得切线l 的斜率→写出直线l 的点斜式方程→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .[精解详析] ∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′＝2ax －22－x，∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)，即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14 相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，所以有|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.∴a 的值为118.[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．6．函数y ＝cos 2x 在点⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线方程是________．解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π2＝－2.∴切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎫x －π4，即2x ＋y －π2＝0.答案：2x ＋y －π2＝07．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角．解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为π4.8．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式．解：∵y ＝e －x ，∴y ′＝(e －x )′＝－e －x ，∴y ′|x ＝t ＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )，即x ＋e t y －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1. 令x ＝0得y ＝e －t (t ＋1)．∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．[对应课时跟踪训练(五)]一、填空题1．设函数f (x )＝sin(4x －2)，则f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝sin(4x －2)，∴f ′(x )＝[sin(4x －2)]′＝4cos(4x －2)．答案：4cos(4x －2)2．(全国大纲卷改编)曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：y ′＝e x －1＋x e x －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2. 答案：23．设曲线y ＝f (x )＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2. 又∵f ′(x )＝(e ax )′＝a e ax ， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：24．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的导数为________．解析：∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x2sin 4x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－x 2′sin 4x ＋⎝⎛⎭⎫－x2·(sin 4x )′ ＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a，则1x 0＋a＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：2 二、解答题6．求下列函数的导数．(1)y ＝5log 2(2x ＋1)； (2)y ＝cos(53π－7x )；(3)y ＝(2x －1)5.解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u ln 2×2＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(2)设y ＝cos u ，u ＝53π－7x .则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ⎝⎛⎭⎫53π－7x . (3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1)) ＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))， a ＝(1,1)，∴f (x )＝AB ―→·a ＝x －1＋ln(2－x )－f ′(1) ＝ln(2－x )＋x －f ′(1)－1∴f ′(x )＝12－x ·(2－x )′＋1＝1x －2＋1，∴f ′(1)＝0，∴f (x )＝ln(2－x )＋x －1.。

复合函数求导及三角函数公式

复合函数的求导一、基础知识梳理：（一）复习引入：几种常见函数的导数公式2．和（或差）的导数 (u±v)’＝u’±v’．3．积的导数 (uv)’＝u’v ＋uv’． (Cu)’＝Cu’ ． 4．商的导数()（二）讲授新课1．复合函数：对于函数y=f[ϕ (x)],令u= ϕ (x),若y=f(u)是中间变量 u 的函数 u= ϕ (x)是自变量x 的函数则称y=f[ϕ (x)] 是自变量 x 的复合函数.例如 y ＝(3x －2)2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ．像y ＝(3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．练习1：指出下列函数是怎样复合而成的．.)12(tan )4( ;)3cos 1()3( );11(sin )2( ;)1()1(33232+=+=-=-=x xy x y x y x y2. 复合函数的导数复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。

一般地，设函数u ＝j(x)在点x 处有导数u'x ＝j'(x)，函数y ＝f(u) 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '(u) ，则复合函数y ＝f(j(x)) 在点x 处也有导数，且 y'x ＝y'u •u'x 或写作 f 'x (j(x))＝f '(u) j'(x)．例1 求y ＝(3x －2)2的导数．解：法1 y'＝[(3x －2)2]' ＝(9x 2－12x ＋4)'＝18x －12．法2 y'x ＝y'u •u'x函数y ＝(3x －2)2又可以看成由y ＝u 2，u ＝3x －2复合而成，其中u 称为中间变量．由于y'u ＝2u ，u'x ＝3，因而 y'x ＝y'u •u'x ＝2u•3＝2u•3＝2(3x －2)•3＝18x －12．例2 求y ＝(2x ＋1)5的导数．解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1，则 y'x ＝y'u •u'x ＝(u 5)'u •(2x ＋1) 'x ＝5u4•2＝5(2x ＋1)4•2＝10(2x ＋1)4．例3. 求函数 y=(x+1)(x+2)(x+3)的导数练习2. . 若211)(xx f +=，求f ’（1）例4. 求 41(13)y x =-的导数解：设y ＝u －4，u ＝1－3x ，则y'x ＝y'u •u'x ＝(u －4)'u •(1－3x)'x ＝－4u －5•(－3)＝12u －5＝12(1－3x)－5＝ .)31(125x - 复合求导法则可以推广到两个以上的中间变量例5. 求)32(sin 2π+=x y 的导数。

高考数学复合函数求导公式总结

高考数学复合函数求导公式总结高考数学中，复合函数求导是一个重要的知识点。

在解题过程中，掌握求导的公式和方法，可以大大减少解题的时间和复杂度。

下面我将总结高考数学中常见的复合函数求导公式。

一、基本复合函数求导法则1.基本求导法则对于单个函数的求导，我们可以用基本求导法则来求解。

例如，对于常数函数 f(x) = c (c为常数)，其导函数为 f'(x) = 0。

而对于多项式函数 f(x) = x^n (n为自然数)，其导函数为 f'(x) = nx^(n-1)。

另外，对于指数函数 f(x) = e^x，其导函数为 f'(x) = e^x。

在求导时，还需要注意链式法则和乘积法则等。

2.复合函数求导法则复合函数是由一个函数的输出作为另一个函数的输入而形成的函数。

在求复合函数的导数时，我们需要先求外函数的导数，然后再乘上内函数的导数。

例如，对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过以下公式求解：[f(g(x))]′=f′(g(x))g′(x)这个公式称为复合函数求导的链式法则。

二、特殊复合函数求导公式1.反函数设y=f(x)是x=g(y)的反函数，则有以下公式：[g(f(x))]′=[f'(x)]⁻¹2.自然对数函数的复合设 y = ln(u)，则有以下公式：[ln(u)]′= u' / u3.幂函数的复合设y=u^v，其中u是关于x的函数，v是关于x的函数，则有以下公式：[u^v]′= v' u^(v-1) + v ln(u)u^v u'其中v'是v的导数，u'是u的导数。

4.指数函数的复合设y=a^u，其中a是常数，u是关于x的函数，则有以下公式：[a^u]′= ln(a) a^u u'其中u'是u的导数。

5.对数函数的复合设 y = log_a(u)，其中 a 是常数，u 是关于 x 的函数，则有以下公式：[log_a(u)]′= 1 / (ln(a) u) u'其中u'是u的导数。

复合函数求导公式

复合函数求导公式一、复合函数的导数定义假设y=f(u)，u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))也是可导函数。

复合函数的导数定义如下：dy/dx = dy/du * du/dx其中dy/du表示y关于u的导数，du/dx表示u关于x的导数。

二、链式法则链式法则是复合函数求导的重要工具，它表明复合函数的导数等于内外导数的积。

链式法则的数学表示如下：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中f'(g(x))是f对于g(x)的导数，g'(x)是g对于x的导数。

三、基本公式1.复合函数的求导公式【公式1】(f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)【例题1】计算函数y=sin(x^2)的导数。

解：我们将y=sin(u)和u=x^2，那么y=sin(g(x))。

根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx= cos(u) * 2x所以，函数y=sin(x^2)的导数为2x * cos(x^2)。

【例题2】计算函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数。

解：我们将y=u^3和u=3x^2+2x+1，那么y=(g(x))^3、根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx=3u^2*(6x+2)=3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)所以，函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数为3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)。

2.反函数的导数公式如果y=f(g(x))，且g(x)与f(x)互为反函数，则有：dy/dx = 1 / (dx/dy)其中dx/dy表示g(x)对于x的导数。

【例题3】计算函数y=ln(sin(x))的导数。

解：将y=ln(u)和u=sin(x)，那么y=ln(g(x))。

根据反函数的导数公式：dy/dx = 1 / (dx/dy)= 1 / (d(sin(x))/dx)所以，函数y=ln(sin(x))的导数为1 / (cos(x))。

1.2.3复合函数的导数公式

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1.2.3导数的四则运算法则

求导公式大全24个

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123复合函数求导

数学中求导的公式

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