初三【数学(人教版)】圆的有关性质复习
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2．取劣弧AB的中点C；
3．连接AC，BC.
则四边形OACB是菱形.
原来做过的一道例题
例 4.如例图4.如，如图图AA，，，ABB，是 B 是O上上的O的两上两点的点，两，∠点A，AOOBB=A1O21B02°0．12，0 ，
C 是 CACB是的A中B的的点中中.试点点判..试断试判四判断边断四形四边O边形A形COOBAA的CCB形B的状形，状并，说并说 明理由明并.理说由明. 理由.
以 O、A、B、C为顶点的
四边形是菱形？
O
例2
【方法一】
例2
【作法一的证明】 证明：
O
A
B
C
例2
【作法一的证明】 证明：
O
A
B
C
例2
【作法一的证明】
证明： O和 C是等圆，
O
OA AC CB BO. A
B
四边形OACB是菱形.
C
例2
【作法二】
例2
【作法二的证明】
证明： O 半径OC⊥弦AB，
1
2 1 AOB 60 , BOC
o
2
OA OC OB,
A
O
12
B
△AOC和△BOC是等边三角形. C
OA AC CB BO.
四边形OACB是菱形.
例2
【其它证法】
MN⊥AB于点E ，EN=0.2米，
O
则 AE BE 1 AB 0.6米. A E B
2
N
例1
连接OA . 设半径OA=x ,
在△OAE中，有 AE2 O,E2 OA2
即 0.62 +(x 0.2)2 x2.
M
解得：x 1 即半径为1米.
O
E
A
B
N
例1
如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面
离最低点的距离为0.2米时，水面的宽度为1.2
O
A
B
C
例2
【原来的证法】 证明：连接OC.
AC BC,
1
2 1 AOB 60 , BOC
o
2
A
O
12
B
C
例2
【原来的证法】 证明：连接OC.
AC BC,
1
2 1 AOB 60 , BOC
o
2
OA OC OB,
AΒιβλιοθήκη Baidu
O
12
B
△AOC和△BOC是等边三角形. C
例2
【原来的证法】 证明：连接OC.
AC BC,
O
A
B
例1
如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面 离最低点的距离为0.2米时，水面的宽度为1.2 米. 求当水面上升多少米时，水面宽度为1.6 米？
O
A
B
例1
如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面
离最低点的距离为0.2米时，水面的宽度为1.2
米. 求当水面上升多少米时，水面宽度为1.6
米？
M
解：依题意，有AB=1.2米，直径
24.1圆的有关性质复习
年 级：九年级
学 科：数学（人教版）
知识框架
圆的 基本 性质
圆的轴对称性—— 垂径定理
圆的旋转不变性—— 弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与 圆心角之间的关系
圆内接四边形
知识框架
圆的 基本 性质
圆的轴对称性—— 垂径定理
圆的旋转不变性—— 弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与 圆心角之间的关系
P 构造90°的圆周角
M
N O
隐含直径
圆内接四边形性质定理
A
圆内接四边形对角互补.
1
1+ 2=180
D
B
O
23
C
圆内接四边形的外角等于它的内对角.
E
1= 3
例1
如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面 离最低点的距离为0.2米时，水面的宽度为1.2 米. 求当水面上升多少米时，水面宽度为1.6 米？
D
E
A
B
N
例1
圆是轴对称图形
圆是中心对称图形
C'
D'
O
C
D
D'
C'
O
C
D
例1
解：若水面在如图C ' D ' 的位置，
仍有OF ' =0.6 米. EF ' 0.8+0.6 1.4米.
’
综上所述，当水面上升0.2米 或1.4米时，水面宽度为1.6米.
例2
如图，如何在 O上找到
三个点 A、B、C，使得
R2 (R CD)2 (1 AB)2. A 2
O
C
B
D
知识框架
圆的 基本 性质
圆的轴对称性—— 垂径定理
圆的旋转不变性—— 弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与 圆心角之间的关系
圆内接四边形
弧、弦、圆心角关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角相等，所对的 弦也相等.
圆内接四边形
垂径定理及其推论
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
CD是⊙O的直径
AE BE
C
AC BC
O
AD BD A E
B
D
垂径定理及其推论
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
CD是⊙O的直径
C
AC BC
O
AD BD A E
B
D
垂径定理及其推论
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
米. 求当水面上升多少米时，水面宽度为1.6
米？
M
O
E
A
B
N
例1
解：依题意，AB∥CD, 故直径MN⊥CD于点F.
则 CF DF 1 CD 0.8米.
2
连接OC. 则半径OC=1米.
M
在△OCF中，OF 2 OC2 CF 2,
米.
OE 1 0.2 0.8米, EF 0.8 0.6 0.2米.
O
C
F
在同圆或等圆中，如果两条弦相等， 那么它们所对的圆心角相等，所对的 优弧和劣弧也分别相等.
知识框架
圆的 基本 性质
圆的轴对称性—— 垂径定理
圆的旋转不变性—— 弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与 圆心角之间的关系
圆内接四边形
圆心角、圆周角关系定理及其推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
OC平分AB． O
A
B
C
例2
【作法二的证明】
证明： O 半径OC⊥弦AB，
OC平分AB．
O
AB平分OC，
A
B
四边形OACB是平行四边形．
C
例2
【作法二的证明】
证明： O 半径OC⊥弦AB，
OC平分AB．
O
AB平分OC，
A
B
四边形OACB是平行四边形．
C
四边形OACB是菱形.
例2
【另一种画法】
1．画圆心角∠AOB=120°，
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧.
C
CD是⊙O的直径
AE BE
AC BC
O
AD BD A E
B
D
垂径定理及其推论
常用的辅助线：
O
A
C
B
计算时通常需要构造半径OA、半弦AC和垂线 段OC围成的直角三角形.
垂径定理及其推论
常用的辅助线：
已知弦AB的长和CD的长， 可列方程求半径：
P P
P
O
O
O
M
NM
NM
N
P 1 MON 2
圆心角、圆周角关系定理及其推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
同弧或等弧所对的圆周角相等.
P Q
O
S
M
N
PQS
圆心角、圆周角关系定理及其推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角． 90°的圆周角所对的弦是直径．
重要的辅助线：
连接MP ( 或NP )，
3．连接AC，BC.
则四边形OACB是菱形.
原来做过的一道例题
例 4.如例图4.如，如图图AA，，，ABB，是 B 是O上上的O的两上两点的点，两，∠点A，AOOBB=A1O21B02°0．12，0 ，
C 是 CACB是的A中B的的点中中.试点点判..试断试判四判断边断四形四边O边形A形COOBAA的CCB形B的状形，状并，说并说 明理由明并.理说由明. 理由.
以 O、A、B、C为顶点的
四边形是菱形？
O
例2
【方法一】
例2
【作法一的证明】 证明：
O
A
B
C
例2
【作法一的证明】 证明：
O
A
B
C
例2
【作法一的证明】
证明： O和 C是等圆，
O
OA AC CB BO. A
B
四边形OACB是菱形.
C
例2
【作法二】
例2
【作法二的证明】
证明： O 半径OC⊥弦AB，
1
2 1 AOB 60 , BOC
o
2
OA OC OB,
A
O
12
B
△AOC和△BOC是等边三角形. C
OA AC CB BO.
四边形OACB是菱形.
例2
【其它证法】
MN⊥AB于点E ，EN=0.2米，
O
则 AE BE 1 AB 0.6米. A E B
2
N
例1
连接OA . 设半径OA=x ,
在△OAE中，有 AE2 O,E2 OA2
即 0.62 +(x 0.2)2 x2.
M
解得：x 1 即半径为1米.
O
E
A
B
N
例1
如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面
离最低点的距离为0.2米时，水面的宽度为1.2
O
A
B
C
例2
【原来的证法】 证明：连接OC.
AC BC,
1
2 1 AOB 60 , BOC
o
2
A
O
12
B
C
例2
【原来的证法】 证明：连接OC.
AC BC,
1
2 1 AOB 60 , BOC
o
2
OA OC OB,
AΒιβλιοθήκη Baidu
O
12
B
△AOC和△BOC是等边三角形. C
例2
【原来的证法】 证明：连接OC.
AC BC,
O
A
B
例1
如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面 离最低点的距离为0.2米时，水面的宽度为1.2 米. 求当水面上升多少米时，水面宽度为1.6 米？
O
A
B
例1
如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面
离最低点的距离为0.2米时，水面的宽度为1.2
米. 求当水面上升多少米时，水面宽度为1.6
米？
M
解：依题意，有AB=1.2米，直径
24.1圆的有关性质复习
年 级：九年级
学 科：数学（人教版）
知识框架
圆的 基本 性质
圆的轴对称性—— 垂径定理
圆的旋转不变性—— 弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与 圆心角之间的关系
圆内接四边形
知识框架
圆的 基本 性质
圆的轴对称性—— 垂径定理
圆的旋转不变性—— 弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与 圆心角之间的关系
P 构造90°的圆周角
M
N O
隐含直径
圆内接四边形性质定理
A
圆内接四边形对角互补.
1
1+ 2=180
D
B
O
23
C
圆内接四边形的外角等于它的内对角.
E
1= 3
例1
如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面 离最低点的距离为0.2米时，水面的宽度为1.2 米. 求当水面上升多少米时，水面宽度为1.6 米？
D
E
A
B
N
例1
圆是轴对称图形
圆是中心对称图形
C'
D'
O
C
D
D'
C'
O
C
D
例1
解：若水面在如图C ' D ' 的位置，
仍有OF ' =0.6 米. EF ' 0.8+0.6 1.4米.
’
综上所述，当水面上升0.2米 或1.4米时，水面宽度为1.6米.
例2
如图，如何在 O上找到
三个点 A、B、C，使得
R2 (R CD)2 (1 AB)2. A 2
O
C
B
D
知识框架
圆的 基本 性质
圆的轴对称性—— 垂径定理
圆的旋转不变性—— 弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与 圆心角之间的关系
圆内接四边形
弧、弦、圆心角关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角相等，所对的 弦也相等.
圆内接四边形
垂径定理及其推论
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
CD是⊙O的直径
AE BE
C
AC BC
O
AD BD A E
B
D
垂径定理及其推论
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
CD是⊙O的直径
C
AC BC
O
AD BD A E
B
D
垂径定理及其推论
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
米. 求当水面上升多少米时，水面宽度为1.6
米？
M
O
E
A
B
N
例1
解：依题意，AB∥CD, 故直径MN⊥CD于点F.
则 CF DF 1 CD 0.8米.
2
连接OC. 则半径OC=1米.
M
在△OCF中，OF 2 OC2 CF 2,
米.
OE 1 0.2 0.8米, EF 0.8 0.6 0.2米.
O
C
F
在同圆或等圆中，如果两条弦相等， 那么它们所对的圆心角相等，所对的 优弧和劣弧也分别相等.
知识框架
圆的 基本 性质
圆的轴对称性—— 垂径定理
圆的旋转不变性—— 弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与 圆心角之间的关系
圆内接四边形
圆心角、圆周角关系定理及其推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
OC平分AB． O
A
B
C
例2
【作法二的证明】
证明： O 半径OC⊥弦AB，
OC平分AB．
O
AB平分OC，
A
B
四边形OACB是平行四边形．
C
例2
【作法二的证明】
证明： O 半径OC⊥弦AB，
OC平分AB．
O
AB平分OC，
A
B
四边形OACB是平行四边形．
C
四边形OACB是菱形.
例2
【另一种画法】
1．画圆心角∠AOB=120°，
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧.
C
CD是⊙O的直径
AE BE
AC BC
O
AD BD A E
B
D
垂径定理及其推论
常用的辅助线：
O
A
C
B
计算时通常需要构造半径OA、半弦AC和垂线 段OC围成的直角三角形.
垂径定理及其推论
常用的辅助线：
已知弦AB的长和CD的长， 可列方程求半径：
P P
P
O
O
O
M
NM
NM
N
P 1 MON 2
圆心角、圆周角关系定理及其推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
同弧或等弧所对的圆周角相等.
P Q
O
S
M
N
PQS
圆心角、圆周角关系定理及其推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角． 90°的圆周角所对的弦是直径．
重要的辅助线：
连接MP ( 或NP )，