二次函数的认识
认识二次函数和抛物线了解二次函数和抛物线的特征和像
认识二次函数和抛物线了解二次函数和抛物线的特征和像二次函数和抛物线是数学中重要的概念，它们与许多实际问题有着密切的关联。
了解二次函数和抛物线的特征和像，对于我们解决实际问题以及应用数学知识具有重要的意义。
本文将介绍二次函数和抛物线的基本概念、性质以及它们在实际中的应用。
1. 二次函数的基本概念我们首先来了解一下二次函数的基本概念。
二次函数是指形如f(x)= ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。
b和c则分别决定了二次函数的对称轴和纵轴截距。
2. 抛物线的特征和像抛物线是一种特殊的二次函数图像，它具有许多独特的特征。
首先，抛物线是关于对称轴对称的，对称轴是二次函数的一个重要特征，可以通过b/(-2a)来计算得出。
其次，抛物线的开口方向由二次函数的系数a决定，开口向上的抛物线具有最小值，开口向下的抛物线具有最大值。
最后，抛物线还包括了顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点，可以通过对称轴计算得出。
3. 二次函数和抛物线的应用二次函数和抛物线在许多实际问题中都有广泛的应用。
比如，在物理学中，抛物线可以描述抛体的运动轨迹；在经济学中，二次函数可以用来建模成本、利润等与产量和价格相关的变量；在工程学中，抛物线可以用来设计各种曲线形状的结构等等。
4. 二次函数和抛物线的图像二次函数和抛物线的图像通常可以通过绘制函数的图像来展示。
在绘制图像时，我们可以确定对称轴、顶点以及开口方向，然后通过描点法或利用平移和拉伸等变换来绘制出完整的抛物线图像。
通过观察图像，我们可以获得更直观的信息，更好地理解二次函数和抛物线的特征。
总结：本文介绍了二次函数和抛物线的基本概念，包括二次函数的定义及其系数的意义，抛物线的对称轴、开口方向和顶点等特征。
我们还探讨了二次函数和抛物线在实际中的应用，并提到了通过绘制图像可以更好地理解这些概念和特征。
小学数学认识简单的二次函数
小学数学认识简单的二次函数二次函数是数学中的重要概念之一，它是一种特殊的代数函数。
在小学数学中，二次函数的认识相对简单，我们可以从以下几个方面来介绍。
一、什么是二次函数二次函数是指一个函数的函数表达式可以写成 $y=ax^2+bx+c$ 的形式，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，并且 $a\neq0$。
在这个函数中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。
其中的 $a$ 决定了二次函数的开口方向和开口大小，$b$ 决定了二次函数的对称轴，$c$ 决定了二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的图像特征对于二次函数 $y=ax^2+bx+c$，我们可以通过绘制函数的图像来了解它的特点。
当 $a>0$ 时，二次函数的图像开口朝上；当 $a<0$ 时，二次函数的图像开口朝下。
决定开口方向的 $a$ 的绝对值越大，开口越大。
对于二次函数的对称轴，我们可以通过计算 $x=-\frac{b}{2a}$ 来得到。
对称轴是二次函数图像上的一条线，用来将图像分成两个对称的部分。
另外，二次函数的顶点是图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
顶点的横坐标为 $-\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f(-\frac{b}{2a})$。
三、二次函数在几何中的应用1. 面积计算：当一个平面图形的边缘为二次函数的图像时，我们可以通过计算该二次函数在两个给定的横坐标之间的定积分来求得图形的面积。
2. 抛物线：二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状。
抛物线在物理学、建筑学等领域中有着广泛的应用，如喷泉的水流轨迹、拱形门的设计等。
四、小学数学中的二次函数教学在小学数学教学中，二次函数的概念并不是直接教授给学生，而是通过计算函数对应的 $x$ 和 $y$ 的值，探究二次函数的特点。
教师可以利用图形绘制软件或手工绘图，让学生观察二次函数图像与各个参数的关系，进而培养学生的观察力和分析能力。
针对小学生的认知能力和数学水平，在教学过程中应注重培养学生的思维能力和解决问题的能力。
小学数学教案认识简单的二次函数
小学数学教案认识简单的二次函数教案教案标题：认识简单的二次函数教学目标：1. 了解什么是二次函数及其基本特点2. 能够识别二次函数的图像和标准形式方程3. 掌握二次函数的平移、拉伸和翻转规律4. 能够应用二次函数解决实际问题教学准备：1. 教材：小学数学教材2. 教具：白板、黑板、彩色粉笔、数学作业本、直尺、圆规教学步骤：一、导入 (10分钟)老师向学生提问：“你们知道什么是函数吗？请举例说明。
” 老师倾听学生的回答，并纠正或补充他们的答案。
接着，老师展示一个图形，并问学生：“这是一个什么图形？它是通过哪个方程来描述的呢？” 引导学生思考和回答。
最后，引出今天的主题：二次函数。
二、理论讲解 (20分钟)1. 介绍二次函数的定义和标准形式方程：y = ax^2 + bx + c。
讲解方程中各项的含义，并解释a、b、c对图像的影响。
2. 展示二次函数的图像，解释二次函数的对称轴、顶点、开口方向等基本特点。
引导学生观察图像并发现规律。
3. 通过实例讲解如何通过已知的标准形式方程识别二次函数的图像，并求得对称轴、顶点等信息。
三、示范演练 (15分钟)1. 老师以一个具体的例子，如 y = x^2 为模板，让学生自行探索和练习填写其他二次函数的标准形式方程，并绘制出对应的图像。
2. 指导学生观察、比较和总结不同二次函数图像的特征，如a的正负对开口方向的影响，c对图像的平移等。
四、独立练习 (20分钟)1. 发放练习册或试卷，让学生独立完成一些关于二次函数的基本练习题，包括标准形式方程的确定和图像的绘制。
2. 教师巡回指导，关注学生的思路和解题方法，及时纠正错误或给予帮助。
五、拓展应用 (20分钟)1. 将二次函数应用于实际问题，如抛物线的运动轨迹、抛物线天桥的建设等。
引导学生思考并解决这些实际问题。
2. 带领学生探究二次函数的平移、拉伸和翻转规律，并解释这些规律与图像的关系。
六、归纳总结 (10分钟)1. 教师引导学生回顾本节课的内容，总结二次函数的基本特点和图像绘制方法。
用“三个特殊点”来认识二次函数
用“三个特殊点”来认识二次函数函数揭示变量之间的关系，函数图象揭示函数各自的特征。
函数是高中数学的主线，而二次函数是高中数学的传统经典内容，它具有丰富的内涵和外延，通过对它的研究可以把数和形有机地融合起来，使数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、函数和方程的思想方法得到充分的发挥，它沟通了函数、方程、不等式、曲线等知识之间的内在联系，使数学知识的综合运用得到很好的体现。
那么如何有效地来学习二次函数知识呢？我们知道函数的性质与它的图象密不可分，那么二次函数的图象上有哪些特殊点呢？一、二次函数图象上最关键的点——顶点在二次函数的教学和学习时，通常是从最简单的二次函数y=ax2开始去研究其图象的特征和性质，有函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性和最值等等。
关键是从图象入手来认识函数的基本性质，我们可以看到它的性质其实就是围绕着顶点的横坐标和纵坐标来展开的。
而接下来的扩展型y=ax2+k和y=a（x-h）2的图象的特征和性质，通过具体作图感受图象的特征及形状后，发现图象还是抛物线，只是顶点和对称轴发生了变化，顶点的变化才是关键，函数y=ax2+k的图象是由y=ax2向上或者向下平移k个单位而得，顶点由（0,0）移动到了（0，k），所以最值由0变为k，其余则不变；函数y=a（x-h）2的图象是由y=ax2向左或者向右平移h个单位而得，顶点由（0，0）移动到了（h，0），从而对称轴变为直线x=h。
我们始终抓住顶点的变化和对称轴位置的所在，紧密联系其图象，可以很明显地看到这两个扩展型函数的性质和特征还是围绕顶点的两个坐标展开的。
对于顶点式就更显而易见了，顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），除了开口方向其余特征和性质都与h或k有关。
而一般式y=ax2+bx+c也可以通过配方法或者公式法得到它的顶点坐标为（- ，）。
这样一系列的学习调理清晰、层层递进、主题突出，紧紧抓住顶点，对二次函数的学习有很大的帮助。
关于二次函数的反思
关于二次函数的反思二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中最常见的一类函数。
它的标准形式是y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
二次函数具有许多独特的性质和特点，通过对二次函数的学习与反思，我深刻体会到了它的重要性和应用价值。
首先，二次函数在实际生活中有广泛的应用。
二次函数可以描述很多实际问题中的变化关系，比如抛物线的运动轨迹、物体的抛射运动、弹簧的拉伸与回弹等等。
深入研究二次函数，我们能够更好地理解这些问题，并能应用二次函数的理论知识解决实际问题，提高生活的质量和效率。
其次，通过学习二次函数，我认识到数学中的抽象思维对于问题的解决至关重要。
二次函数是对实际问题的抽象，通过建立函数关系来描述实际问题。
我们需要运用抽象思维，将实际问题抽象成数学问题，再通过对数学问题的研究来解决实际问题。
在这个过程中，我们需要进行变量的定义与运算，假设条件的引入与分析，得出结论，并加以验证。
这培养了我的逻辑思维和分析问题的能力，使我能够用数学的方式解决其他领域的问题。
另外，二次函数的图像特点给了我对函数的几何意义的理解。
二次函数的图像是一个抛物线，在平面上表现出独特的形态。
通过观察和分析抛物线的对称轴、顶点、开口方向等特点，我对函数的几何意义有了更深的认识。
在解题时，通过研究抛物线的图像，我们可以确定函数的性质，找出函数的最值点，进而进行问题的解答。
因此，对二次函数图像的理解有助于我们在实际问题中更好地应用函数的概念。
此外，二次函数的变化规律也引发了我对函数的持续研究的兴趣。
二次函数的图像的开口方向、开口大小、顶点位置等与系数a、b、c的取值有关。
通过改变这些系数的值，我们可以得到不同的二次函数，并分析它们之间的异同。
这使我对函数的种类、性质和变化规律有了更深入的了解。
同时，我也开始探索更高次的函数，如三次函数、四次函数等，并学会利用数学软件进行函数图像的绘制与观察。
这不仅增加了我的数学兴趣，也拓宽了我的数学视野。
一次函数与二次函数的认识知识点总结
一次函数与二次函数的认识知识点总结一、一次函数的定义和特点：一次函数亦称为线性函数，在数学中表示为y = kx + b的形式，其中k和b为常数。
1. 定义：一次函数是一种变量之间的线性关系，其中x为自变量，y为因变量，k为斜率，b为截距。
2. 斜率：斜率k代表函数曲线的倾斜程度，其定义为曲线上任意两点之间的纵向变化量与横向变化量的比值。
斜率越大，曲线越陡峭，斜率为正表示曲线上升，斜率为负表示曲线下降。
3. 截距：截距b表示函数曲线与y轴的交点，即当x=0时，对应的y值。
4. 图像特点：一次函数的图像是一条直线，特点是直线上的所有点都满足y = kx + b的方程。
二、二次函数的定义和特点：二次函数是一类非线性函数，其中数学表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
1. 定义：二次函数是变量之间的二次关系，其中x为自变量，y为因变量，a、b、c为常数。
2. 平移：二次函数可以通过将一般形式y = ax^2 + bx + c表示为标准形式y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
此变换称为平移，它可以使得二次函数图像在坐标平面上上下左右移动。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和开口方向确定的，对称轴与平移后顶点的横坐标相等。
4. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定，a > 0时，开口向上；a < 0时，开口向下。
5. 最值点：当二次函数开口向上时，二次函数的最小值为顶点坐标；开口向下时，二次函数的最大值为顶点坐标。
三、一次函数与二次函数的比较：1. 变化速率：一次函数的斜率是恒定的，代表了以恒定速率变化；而二次函数的斜率是不断变化的，代表了以不同速率变化。
2. 图像形状：一次函数的图像是一条直线，而二次函数的图像是一个抛物线。
3. 极值点：一次函数没有极值点，而二次函数有极值点（最大值或最小值）。
4. 开口方向：一次函数没有开口方向的区别，而二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
初步认识二次函数二次函数与其他函数的关系
初步认识二次函数二次函数与其他函数的关系二次函数是数学中一类重要且常见的函数类型。
它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a,b,c为常数且a不等于0。
本文将初步介绍二次函数的性质及与其他函数的关系。
一、二次函数的基本形式二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，当a大于0时，函数开口向上；当a小于0时，函数开口向下。
b决定了二次函数在x轴方向上的平移，正值表示向左平移，负值表示向右平移。
c表示二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的图像特点1. 开口方向与开口大小：根据二次函数的a值可以确定开口的方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
a的绝对值越大，开口越窄；a的绝对值越小，开口越宽。
2. 顶点坐标：对于标准形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
顶点坐标是二次函数的最高点或最低点，也是对称轴与x轴的交点。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的一条垂直线，其方程为x = -b/2a。
对称轴将二次函数分为两个对称的部分。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。
三、二次函数与其他函数的关系1. 线性函数与二次函数：线性函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
与二次函数相比，线性函数的图像是一条直线，没有弯曲的部分。
二次函数可以看作是线性函数的一种特殊情况，当a=0时，二次函数变为线性函数。
2. 指数函数与二次函数：指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为常数且不等于0。
与二次函数相比，指数函数的图像呈现出不同的特征。
指数函数是逐渐增长或逐渐减小的，与二次函数的弯曲程度不同。
3. 对数函数与二次函数：对数函数的一般形式为f(x) = loga(x)，其中a为底数。
数学教辅材料中二次函数的认识
数学教辅材料中二次函数的认识
二次函数是数学教学中的一个重要概念，它在解决实际问题和
建立数学模型方面有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的定义、
图像以及常见应用。
定义
二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b 和 c 都是
实数，且a ≠ 0。
其中，a 决定了二次函数的开口方向和开口大小，
b 决定了二次函数的对称轴位置，
c 决定了二次函数的纵坐标截距。
图像
二次函数的图像是一个抛物线。
当a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，其
对称轴的横坐标为 x = -b/2a，纵坐标截距为 c。
应用
二次函数广泛应用于解决实际问题和建立数学模型。
以下是二
次函数的常见应用：
1. 物体运动的模拟：二次函数可以用来描述物体的抛体运动，
例如抛体的轨迹和飞行高度随时间的变化。
2. 金融和经济学：二次函数可以用来描述市场需求和供给的关系，以及投资回报率的估计。
3. 工程问题：二次函数可以用于建模和优化物体的形状，例如
桥梁的拱形和的设计。
4. 自然科学：二次函数可以用来描述物质的衰减和变化，例如
放射性元素的衰变和生物种群的增长。
总结
二次函数在数学教学和实际应用中起着重要的作用，它的图像
特点和应用广泛且多样化。
了解二次函数的定义、图像以及常见应用，有助于学生更好地理解数学概念和应用数学知识解决实际问题。
二次函数考点、知识点、例题(全)
二次函数命题点年份各地命题形式考查频次2015考查方向二次函数的图象和性质2014 （T12填）填空1个近3年考查2次，主要考查对图象的认识与性质的理解，预计2015年考查的可能性较大.2013 （T9选）选择1个确定二次函数的解析式2014 （T23解）,（T24解）解答2个高频考点：近3年考查12次，主要考查求二次函数的解析式，一般出现在压轴题中，预计2015年考查的可能性很大.2013（T23解），（T24解），（T23解），（T25解），（T23解），普洱（T23解），德宏（T23解），红河（T23解），西双版纳（24解）解答9个2012 （T23解）解答1个考点1 二次函数的概念一般地，形如①(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.考点2 二次函数的图象和性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)a a＞0 a＜0图象开口方向抛物线开口向②，并向上无限延伸抛物线开口向③，并向下无限延伸对称轴直线x=-2ba直线x=-2ba顶点坐标(-2ba，244acab-) (-2ba，244acab-)最值抛物线有最低点，当x=-2ba时，y有最小值，y最小值=244acab-抛物线有最高点，当x=-2ba时，y有最大值，y最大值=244acab-增减性在对称轴的左侧，即当x＜-2ba时，y随x的增大而④；在对称轴的右侧，即当x＞-2baa时，y随x的增大而⑤，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x＜-2ba时，y随x的增大而⑥；在对称轴的右侧，即当x＞-2ba时，y随x的增大而⑦，简记左增右减【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.考点3 二次函数的图象与字母系数的关系ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴⑬侧c c=0 经过⑭c＞0 与y轴⑮半轴相交c＜0 与y轴⑯半轴相交b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有○17交点(顶点)b2-4ac＞0 与x轴有○18不同交点b2-4ac＜0 与x轴○19交点特殊关系当x=1时，y=○20当x=-1时，y=○21若a+b+c＞0，即当x=1时，y○220若a+b+c＜0，即当x=1时，y○230方法适用条件及求法一般式若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为○24. 顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，可设所求二次函数为○25. 交点式若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，可设所求的二次函数为○26. 【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与○27轴的交点的○28坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.二次函数与不等式抛物线y=ax2＋bx＋c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c○290的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c○300的解集.考点6利用二次函数解决实际问题的步骤（1）通过阅读理解题意；（2）分析题目中的变量与常量，以及它们之间的关系；（3）依据数量关系或图形的有关性质列出函数表达式；（4）根据问题的实际意义或具体要求确定自变量的取值围；（5）利用二次函数的有关性质，在自变量的取值围.1.二次函数y=(x-h)2+k的图象平移时，主要看顶点坐标的变化，一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行.2.二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值，如果自变量的取值中不包含顶点，那么在取最大值或最小值时，要依据其增减性而定.3.求二次函数图象与x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程；求函数图象与y轴的交点的方法是令x=0得y 的值，最后把所得的数值写成坐标的形式.命题点1 二次函数的图象和性质例1 (2013·)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A.a ＞0B.3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根C.a ＋b ＋c ＝0D.当x ＜1时，y 随x 的增大而减小方法归纳：解决此类问题应注意观察所给抛物线的特征，逐个排除不符合的选项.1.（2014·）如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是( ) A.y ＝x 2－1 B.y ＝x 2＋1 C.y ＝(x －1)2 D.y ＝(x ＋1)22.（2012·）对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，下列说确的是( )A.图象的开口向下B.当x>1时，y 随x 的增大而减小C.当x<1时，y 随x 的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=－1 3.（2014·）抛物线y=x 2-2x+3的顶点坐标为 . 4.（2014·）如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为 .5.（2014·滨州）已知二次函数y=x 2-4x+3.（1）用配方法求其函数的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；（2）求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标（A 在B 的左侧），及△ABC 的面积.命题点2 二次函数的图象与系数的关系例2 抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列说确的是( ) A.b 2-4ac ＜0 B.abc ＜0 C.-2ba＜-1 D.a-b+c ＜0方法归纳：解决此类问题应当了解a,b,c,Δ=b2-4ac,a+b+c,a-b+c 的符号判定的方法，同时还要观察对称轴x=2b a.1.(2014·黔东南)如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列4个结论： ①abc ＜0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④b 2-4ac ＞0. 其中正确结论的有( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④2.(2014·)二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是()A.c ＞-1B.b ＞0C.2a+b ≠0D.9a+c ＞3b3.（2014·）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，则下列叙述正确的是( )A.abc＜0B.-3a+c＜0C.b2-4ac≥0D.将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c命题点3 确定二次函数的解析式例3 （2013·）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=23x2+bx+c的图象经过B,C两点.（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y>0时x的取值围.【思路点拨】（1）通过正方形的边长得出点Ｂ，Ｃ的坐标，然后代入函数解析式列方程求解；（２）求出函数图象与x轴的交点坐标，结合图象求解.【解答】方法归纳：求二次函数的解析式，通常采用待定系数法，根据题目给出的条件选择不同的函数表达式，这样便于计算.1.（2013·）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式.2.（2014·）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2,0），B（0，-1）和C（4,5）三点.（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么围时，一次函数的值大于二次函数的值.1.（2013·）抛物线y=2（x-3）2+1的顶点坐标是( )A.（3，1）B.（3，-1）C.（-3，1）D.（-3，-1）2.（2014·宿迁）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的解析式为( )A.y=(x+2)2+3B.y=(x－2)2+3C.y=(x+2)2－3D.y=(x－2)2－33.（2013·）设A（-2，y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+m上的三点，则y1,y2,y3的大小关系为( )A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2C.y3＞y2＞y1D.y2＞y1＞y34.(2014·东营)若函数y=mx2+(m+2)x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )A.0B.0或2C.2或-2D.0,2或-25.（2014·）抛物线y=2x2，y=-2x2,y=12x2共有的性质是( )A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小6.（2014·）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值围是( )A.x＜-1B.x＞3C.-1＜x＜3D.x＜-1或x＞37.（2014·）对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说确的是( )A.开口向下B.对称轴是x=-1C.顶点坐标是（1，2）D.与x轴有两个交点8.（2014·）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，-2）.它与反比例函数y=8x的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为( )A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x2+x+29.（2013·）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc＞0，②2a+b=0，③b2-4ac＜0，④4a+2b+c＞0.其中正确的是( )A.①③B.只有②C.②④D.③④10.（2014·）抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是.11.（2013·）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式.12.已知函数y=-3(x-2)2+4，当x= 时，函数取得最大值为.13.（2013·）点A（2，y1）,B（3，y2）是二次函数y=x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1<y2（填“＞”“＜”或“=”）.14.(2014·)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为.15.(2013·)如图，抛物线y=a(x－1)2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD.已知点A的坐标为（－1,0）.（1）求抛物线的解析式；（2）求梯形COBD的面积.16.（2014·龙东）如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A（－3,0）和B（1,0）两点，交y轴于点C，点C,D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B,D.（1）请直接写出D点的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值围.1.（2014·荆州）将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A.y＝(x－4)2－6B.y＝(x－4)2－2C.y＝(x－2)2－2D.y＝(x－1)2－32.（2014·黔东南）已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2 014的值为( )A.2 012B.2 013C.2 014D.2 0153.（2014·）函数y=ax与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )4.（2014·）已知函数y=-（x-m）（x-n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mxn的图象可能是( )5.（2014·凉山）下列图形中阴影部分的面积相等的是( )A.②③B.③④C.①②D.①④2x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 则该二次函数图象的对称轴为( )A.y轴B.直线x=52C.直线x=2D.直线x=327.（2014·）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点（－1，0），对称轴为直线x=2,下列结论：其中正确的结论有( )①4a+b=0;②9a+c＞3b;③8a+7b+2c＞0;④当x＞－1时，y的值随x的值的增大而增大.A.1个B.2个C.3个D.4个8.（2014·）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）,抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C,D两点.点P是x 轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式;（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标.9.(2014·)某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？参考答案考点解读①y=ax 2+bx+c ②上 ③下 ④减小 ⑤增大 ⑥增大 ⑦减小 ⑧上 ⑨下 ⑩小⑪y ⑫左 ⑬右 ⑭原点 ⑮正 ⑯负 ○17唯一 ○18两个不同 ○19没有 ○20a+b+c ○21a-b+c ○22＞ ○23＜ ○24y=ax 2+bx+c ○25y=a(x-h)2+k ○26y=a(x-x 1)(x-x 2) ○27x ○28横 ○29＞ ○30＜ 各个击破 例1 B解析：根据抛物线的开口向下，可判断a ＜0，故A 错误；由抛物线与x 轴的交点（-1,0)和对称轴x=1可知抛物线与x 轴的另一个交点是（3,0），故B 正确；由当x=1时，y=a+b+c ≠0，故Ｃ错误；从图象即可看出，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，故Ｄ错误.故选B. 题组训练1.C2.C3.(1,2)4.直线x=25.(1)y=x 2-4x+3=x 2-4x+4-1=(x-2)2-1,∴其函数的顶点C 的坐标为（2，-1），∴当x ≤2时，y 随x 的增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的增大而增大. (2)令y=0,则x 2-4x+3=0，解得x 1=1,x 2=3, ∴A （1，0），B （3，0），AB=|1-3|=2. 过点C 作CD ⊥x 轴于D ，则△ABC 的面积=12AB ·CD=12×2×1=1.例2 C 解析：由图象与x 轴有2个交点可判断Ａ错误；根据图象的开口方向、对称轴、与y 轴的交点可判断a ＜0，2ba-＜-1，c ＞0，即abc ＞0，故B 错误，C 正确；由当x=-1时，y=a-b+c ＞0可判断D 错误.故答案选C. 题组训练 1.B 2.D 3.B例3 (1)由题意可得：B （2,2），C （0,2），将B,C 坐标代入y=23-x 2+bx+c ，得c=2，b=43，∴二次函数的解析式是y=23-x 2+43x+2.(2)解23-x 2+43x+2=0，得x 1=3，x 2=-1.由图象可知：y>0时x 的取值围是-1＜x ＜3.题组训练1.设二次函数的解析式为y=a （x-1）2-1（a ≠0）， ∵函数图象经过原点（0，0）， ∴a （0-1）2-1=0，解得a=1， ∴该函数解析式为y=（x-1）2-1.2.(1)∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过B （0，－1）， ∴二次函数解析式为y=ax 2+bx －1.∵二次函数y=ax 2+bx －1的图象过A （2,0）和C （4,5）两点，∴42101641 5.a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得1,21.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩－∴y=12x 2－12x －1. (2)当y=0时，12x 2－12x －1=0，解得x=2或x=-1，∴D （-1,0）.(3)如图，当-1＜x ＜4时,一次函数的值大于二次函数的值.整合集训 基础过关1.A2.B3.A4.D5.B6.D7.C8.A9.C10.(2,5) 11.y ＝x 2＋1 12.2 4 13.＜ 14.y=a(1＋x)2 15.(1)把A （－1,0）代入y=a(x －1)2+4，得 0=4a+4，∴a=－1. ∴y=－(x －1)2+4.(2)当x=0时，y=3，∴OC=3.∵抛物线y=－(x －1)2+4的对称轴是直线x=1，∴CD=1. ∵A （－1,0），∴B （3,0），∴OB=3. ∴S 梯形COBD =13)32+⨯（=6. 16.(1)D （-2，3）.(2)把点A,B 代入y=ax 2+bx+3中，得9330,30.a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得1,2.a b =-⎧⎨=-⎩∴二次函数的解析式为y=-x 2-2x+3. (3)x ＜-2或x ＞1. 能力提升1.B2.D3.D4.C5.A6.D7.B 提示：∵抛物线的对称轴为直线x=2ba-=2，∴b=-4a ，即4a+b=0，故①正确； ∵当x=-3时，y ＜0，∴9a-3b+c ＜0，即9a+c ＜3b ，故②错误； ∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），∴a-b+c=0，而b=-4a ，∴a+4a+c=0，即c=-5a ，∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a ， ∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴8a+7b+2c ＞0，故③正确; 观察图象，④明显错误,即正确的结论是①③2个. 8.(1)∵抛物线顶点坐标为（1,4）， ∴设y=a(x-1)2+4，由于抛物线过点B(0，3)， ∴3=a(0-1)2+4，解得a=-1. ∴解析式为y=-(x-1)2+4， 即y=-x 2+2x+3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E （0，-3），连接AE 交x 轴于点P .设AE 解析式y=kx+b ，则4,3.k b b +=⎧⎨=-⎩解得7,3.k b =⎧⎨=-⎩ ∴y AE =7x-3.当y=0时，x=37，∴点P坐标为(37，0).9.(1)y=ax2+bx-75图象过点（5，0），（7，16），∴255750, 4977516.a ba b+-=⎧⎨+-=⎩解得1,20.ab=-⎧⎨=⎩y=-x2+20x-75的顶点坐标是（10，25）.当x=10时，y最大=25.答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元. (2)∵函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y=-x2+20x-75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16.答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元.。
小学生数学练习题认识和使用简单的二次函数
小学生数学练习题认识和使用简单的二次函数1. 引言数学是一门重要的学科，对于小学生来说，学习数学是培养逻辑思维和问题解决能力的关键。
在小学阶段，数学教学的一个重点是让学生掌握和应用简单的二次函数。
本文将介绍小学生如何认识和使用简单的二次函数。
2. 二次函数的基本概念2.1 二次函数的定义二次函数是一个以x的二次方为最高次幂的函数。
一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
2.2 二次函数的图像特点二次函数的图像一般为抛物线，开口的方向取决于二次项系数a的正负。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
可通过计算顶点坐标来确定开口方向。
2.3 二次函数的顶点二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为函数在顶点横坐标处的纵坐标。
3. 如何认识和使用简单的二次函数3.1 理解二次函数的概念二次函数是一种特殊的函数类型，了解二次函数的定义和图像特点是认识和使用的基础。
通过观察和分析二次函数的图像，可以了解抛物线开口的方向和顶点的位置。
3.2 学习二次函数的基本性质了解二次函数的基本性质有助于学生熟练地应用二次函数。
例如，学生应该掌握二次函数的对称轴和顶点的关系等性质，以便解决与二次函数相关的问题。
3.3 解决实际问题通过解决实际问题，小学生可以将二次函数的概念和性质应用到实际情境中。
例如，可以通过给定二次函数的顶点和一个点的坐标，让学生画出抛物线并回答相关问题，培养学生的分析和解决问题的能力。
4. 举例演练以下是几个小学生常见的二次函数练习题，供学生理解和应用二次函数：4.1 问题一已知二次函数 y = 2x^2 + 3x - 1 的顶点坐标为 (-0.75, -1.75)，求对称轴的方程。
解析：对称轴的方程为 x = -b/2a，将 a=2，b=3代入计算得 x = -3/4。
小学五年级数学下册认识简单的二次函数
小学五年级数学下册认识简单的二次函数认识简单的二次函数二次函数是数学中重要的一类函数，也是小学五年级数学下册的学习内容之一。
通过学习二次函数，可以帮助学生进一步认识数学的规律和特点，培养数学思维和解决问题的能力。
本文将介绍小学五年级数学下册认识简单的二次函数的相关知识。
一、什么是二次函数二次函数是指在坐标平面上由二次方程所表示的函数关系。
通常可以写成y=ax²+bx+c的形式，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在坐标平面上呈现出一种特殊的曲线形态，称为抛物线。
二、二次函数的图像特点1. 抛物线的开口方向二次函数的抛物线可以有两种开口方向：向上开口和向下开口。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
这是因为二次函数的二次方项ax²的系数a决定了抛物线的开口方向。
2. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴是垂直于x轴的一条直线，将抛物线分为左右对称的两部分。
对称轴的方程一般可以用x=h来表示，其中h为实数。
对称轴的特点是，抛物线上任意一点在对称轴上的对称点也在抛物线上。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线上最高或最低的点，也就是离对称轴最近的点。
对于向上开口的抛物线，顶点位于抛物线的上方；对于向下开口的抛物线，顶点位于抛物线的下方。
顶点在坐标平面上的坐标形式一般可以表示为顶点坐标为(h,k)，其中h和k都是实数。
三、二次函数的应用1. 面积问题二次函数的应用之一是求解面积问题。
比如，给定一个矩形的边长为x和y，且矩形的面积为A。
如果已知x和y之间的关系，可以建立一个二次函数表达式，从而通过求解方程找到使得面积最大或最小的边长。
2. 运动问题二次函数的应用之二是求解运动问题。
比如，一个物体在空中以一定初速度向上抛掷，根据物体的初速度和时间的关系，可以得到物体的高度-时间函数的二次函数表达式。
通过对这个二次函数的研究，可以计算物体的最高点、飞行距离等运动信息。
认识二次函数及其图像性质
认识二次函数及其图像性质二次函数是数学中的一类重要函数，它的表达式可以写成f(x) =ax^2 + bx + c的形式，其中a、b、c都是常数，且a ≠ 0。
在本文中，我们将探讨二次函数的性质及其图像表现。
一、二次函数的图像形状二次函数的图像是一个抛物线，其形状取决于二次项的系数a的正负。
1. 当a > 0时，抛物线开口向上，形状为向上的U型。
这种情况下，抛物线的最低点称为顶点，是函数的极值点。
2. 当a < 0时，抛物线开口向下，形状为向下的U型。
这种情况下，抛物线的最高点称为顶点。
二、二次函数的顶点及对称轴二次函数的顶点可以通过以下公式得到：x = -b / (2a)，将这个值代入函数中即可得到对应的y值。
顶点坐标为(x, y)。
对称轴垂直于x轴，通过顶点。
这意味着对称轴的方程为x = -b /(2a)。
三、二次函数的零点二次函数的零点是函数与x轴相交的点，即f(x) = 0的解。
零点可以通过以下公式得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
这个公式称为二次函数的根公式。
根公式中的判别式（Δ）可以用来判断二次函数的零点情况：1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根，即与x轴有两个交点。
2. 当Δ = 0时，二次函数有一个实根，即与x轴有一个交点。
3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根，即不与x轴有交点。
此时，函数的取值范围都在x轴上方或下方。
四、二次函数的凹凸性二次函数的凹凸性可以通过a的正负来判断。
1. 当a > 0时，抛物线开口向上，函数是凹的。
2. 当a < 0时，抛物线开口向下，函数是凸的。
五、二次函数的图像平移二次函数的图像可以通过平移变换得到新的函数。
平移变换可以沿着x轴或y轴方向进行。
1. 沿着x轴平移：将f(x) = ax^2 + bx + c中的x替换为x - h，其中h 为平移的距离。
平移后的函数为f(x - h) = a(x - h)^2 + b(x - h) + c。
小学数学重点认识二次函数和二次方程的概念
小学数学重点认识二次函数和二次方程的概念敬爱的老师：今年我们小学数学的学习内容非常丰富，其中涉及到了二次函数和二次方程的概念。
二次函数和二次方程在数学中的应用非常广泛，我们需要认真掌握它们的概念和基本性质。
下面是我对二次函数和二次方程的认识的总结。
一、二次函数的概念二次函数是指以自变量的二次幂最高次项的函数，通常可以表示为y=ax²+bx+c的形式，其中a、b、c是实数且a≠0。
在二次函数中，x是自变量，y是对应的函数值。
二次函数的图像通常为一个抛物线，并且抛物线的开口方向可以通过a的正负性判断。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是x轴的一个垂直线，对称轴的方程为x=-b/2a。
抛物线在对称轴上的顶点，具有最小或最大值，可以通过对称轴的方程计算得到。
另外，二次函数还可以应用于解决实际问题，例如通过二次函数模型来研究抛物线的运动轨迹等。
二、二次方程的概念二次方程是指以自变量的二次幂最高次项的方程，通常可以表示为ax²+bx+c=0的形式，其中a、b、c是实数且a≠0。
在二次方程中，变量是x，我们需要找到使方程成立的解，这些解被称为方程的根。
解二次方程最常用的方法是配方法、用公式和图像法。
在配方法中，我们可以通过变形将二次方程化简成平方差或完全平方，以便于求解。
二次方程的解可以分为实数解和复数解两种情况。
如果二次方程的判别式b²-4ac大于0，则方程有两个不相等的实数解；如果判别式等于0，则方程有两个相等的实数解；如果判别式小于0，则方程没有实数解，但可以有两个复数解。
三、二次函数和二次方程的联系二次函数和二次方程之间有着密切的联系。
事实上，二次函数的图像和二次方程的解之间存在着一一对应的关系。
对于二次函数y=ax²+bx+c来说，函数的图像与x轴的交点就是方程的解，也就是说，对于函数上的每一个点(x, y)，都有对应的方程的解(x, 0)。
认识二次函数
认识二次函数二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学建模、物理学、经济学等领域都有广泛应用。
本文将从定义、图像特征、性质和应用等方面逐一进行介绍。
一、定义二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。
二次函数的自变量为x，因变量为y，其图像在平面直角坐标系中呈现一条开口向上或向下的曲线。
二、图像特征1. 平移二次函数的图像可以通过平移来改变其位置。
平移的方式有水平方向平移和垂直方向平移。
水平方向平移是改变x的值，垂直方向平移是改变y的值。
2. 对称轴二次函数的图像关于一条直线对称，这条直线称为对称轴。
对称轴的方程为x=-b/2a。
3. 顶点二次函数的图像的最高点（对于开口向下的函数）或最低点（对于开口向上的函数）称为顶点。
顶点的横坐标与对称轴的横坐标相同。
4. 开口方向二次函数的开口方向由二次系数a的正负确定。
当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。
开口的大小也由a的绝对值确定。
三、性质1. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标。
可以通过求解一元二次方程来确定二次函数的零点。
2. 增减性二次函数的增减性取决于二次系数a的正负。
当a大于0时，二次函数是递增的；当a小于0时，二次函数是递减的。
3. 极值二次函数在顶点处取得极值。
对于开口向上的函数，极小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的函数，极大值为顶点的纵坐标。
四、应用1. 物理学二次函数广泛应用于物理学中的运动学问题。
例如，自由落体运动的高度-时间关系可以用二次函数来表示。
2. 经济学在经济学中，二次函数可以用来描述成本、利润、供求关系等问题。
例如，成本函数可以用二次函数来模拟。
3. 生活中的应用二次函数在我们的日常生活中也有很多实际应用，比如抛物线的形状可以用二次函数来刻画。
结论通过本文的介绍，我相信大家对二次函数有了更深入的了解。
二次函数在数学和实际应用中都具有重要的地位，掌握二次函数的定义、图像特征、性质和应用将有助于我们解决实际问题。
中考复习----二次函数
二次函数考纲要求1.理解二次函数的有关概念．2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能掌握二次函数图象的平移．4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.备考指津二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查．考点梳理考点一二次函数的概念一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．注意：(1)二次项系数a≠0；(2)ax2＋bx＋c必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x的取值范围是全体实数．(a＜0)求抛物线的顶点、对称轴的方法：（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线c bx ax y ++=2的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.其中ab ac k a b h 4422-=-=，.（3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点..【例1】 (1)二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( )． A ．(－1,8) B ．(1,8)C ．(－1,2)D ．(1，－4)(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)(3)函数y= (x+1) ²-9的图象是 __________，开口_____，对称轴是_____，顶点坐标是 _____，函数y 有最_____值，是_____，当 x_____ 时， y 随x 的增大而减小，当 x _____时， y 随x 的增大而增大。
二次函数导学案(全章)
第1课时 二次函数的概念【学习目标】1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。
【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。
【课时类型】概念课 【学习过程】 一、学习准备1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。
2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k ≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。
二、解读教材——数学知识源于生活3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。
现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。
4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。
那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。
5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数。
它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。
例1 下列函数中，哪些是二次函数？(1)2321x y +-= (2)112+=x y(3)x y 222+=(4)251t t s ++= (5)22)3(xx y -+= (6)210rs π=即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)252132+-=x x y(4)1132--=）（x y (5)cax y -=2(6)12+=x s三、挖掘教材6．对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数1232++=+-kx x y k k是二次函数，求k 的值。
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二次函数的初步认识
一、教材分析：
《二次函数》是义务教育课程标准教科书《数学》（人教版）九年级上册第二十二章，这章是在学生学习了正比例函数与一次函数，对于函数已经有所认识，从一次函数和反比例函数的学习大家已经知道学习函数大致包括以下内容：1．通过具体的事例认识这种函数；2．探索这种函数的图像和性质；3．利用这种函数解决实际问题；4．探索这种函数与相应方程等的关系。
本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开。
首先让学生认识二次函数，掌握二次函数的图像和性质，然后让学生探索二次函数与一元二次方程的关系，从而得出用二次函数的图像求一元二次方程的方法。
最后让学生运用二次函数的图像和性质解决一些实际问题。
二、学情分析：
学生对函数的相关知识已经很陌生，第一课时应对上学段学的一次函数和正比例函数的知识做一个回顾，让学生重温学习函数应该从以下四个内容入手：认识函数；研究图像及其性质；利用函数解决实际问题；函数与相应方程的关系。
再通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系.
本节教学目标：
知识技能：
1．探索并归纳二次函数的定义；
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系。
过程与方法:
1.感悟新旧知识间的关系，让学生更深刻地体会数学中的类比思想方法；
2.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；
3．能够利用尝试求值的方法解决实际问题，进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。
情感态度与价值观:
营造学生在老师指导下的自主学习氛围,在整节课的教学设计中，无论是对概念的引入、概念的形成、概念的辨析和应用巩固，都是让学生自己通过观察、思考、归纳和概括后才得出结论，使学生完全参与到了整个教学过程．通过自主探索，学生发现了规律，建立了概念，从而真正理解了概念的实质和内涵。
教学重点:
1经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。
2.能过表示简单变量之间的二次函数。
教学难点:
经历探索和表示二次函数的过程，获得二次函数表示变量之间关系的体验。
教学方法：教师引导---自主探究----合作交流
教具、学具：教学课件
教学媒体：幻灯片
教学活动过程：
1．多媒体放映图片：新课内容标题。
2 .复习部分:提出问题：我们学过的函数，什么是函数？变量常量及函数概念。
我们学过几种函数？各是什么函数？都有什么特征？表达式是什么？（使学生弄清变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解；同时,通过复习一次函数学习的过程,为二次函数概念及本章的后续学习做铺垫。
）幻灯片展示相关图片。
3.活动一：
幻灯片展示问题1：
问题1.正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为：
y=6x2。
学生们自己得出结论。
幻灯片展示问题2.
问题2：要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙(足够长）,围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边AB 的长为xm，矩形的面积为y m2 ，你能写出y与x的函数关系式吗？
解：y = x (20-2x)= =-2x2+20x。
幻灯片展示问题3.
问题3：矩形的长为4厘米，宽为3厘米，如果将长与宽都增加x厘米，新矩形的面积为y平方厘米，试写出y与x的关系式？
解：y=(3+x)(4+x)= =x2+7x+12
幻灯片展示以上三个关系式。
教师提问：它们有什么特征。
给学生留思考时间，观察并讨论得出结论。
（引导从自变量的次数和项数方面来思考做答）
4.活动二：
总结二次函数的定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。
其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。
（幻灯片展示）以上三个函数关系式均为二次函数。
引导学生思考：二次函数的条件是什么？
１.自变量x的最高次数为2次.
２.二次项系数a ≠ ０.
3.函数的两边都是整式 .
二次函数的一般形式和特殊形式：
二次函数的一般形式：
y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a 、b 、c 是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当a≠0 ,b＝0时， y ＝ax 2＋c.
当a≠0 ,c＝0时， y ＝ax 2＋bx .
当a≠0 ,b＝0，c ＝0时， y ＝ax 2
5.活动三.课上练习题。
1.判断下列函数中，哪些是二次函数？（此题重点考察学生对二次函数定义的
理解）
(1)y=3x-1 (2)y=3x 2
(3)y=3x 3+2x 2 (4)y=2x 2-2x+1
(5)y=x -2+x (6)y=x 2-x(1+x)
2、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项.（考查学生分辨各
项和系数）
（1） y=-x 2+58x-112
（2） y=πx 2
3. 指出下列函数y=ax²+bx+c 中的a 、b 、c.
（1） y=-3x 2-x-1
（2） y=5x 2
-6
（3） y=x(1+x)
4.当m 取何值时，函数()()m x m x m y m m +-++=--31122是二次函数？ （学生可以
讨论做答，注意引导思考问题的全面性）
5、()723-+=m x m y
（1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m 取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m 取什么值时，此函数是二次函数？
（综合考察学过的几种函数理解和运用）
5活动四： 本节小结 这节课我们学习了哪些内容？有哪些知识需要我们掌握？带领学生总结知识点。
活动五： 作业布置。
29页1.2题.41页1.2题. 课后反思：在课堂教学中，教师应该充分相信学生，让学生在课堂上有充分
的活动空间和时间，形成学生自我寻求发展的愿望，充分发挥他们的自主精神。
当然，学生在归纳、表述的时候会出现不正确、思维不太严谨的地方，教师可
给于适当的引导、纠正。