损伤力学—第3章 - 第7节
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3.7 考虑塑性损伤的断裂问题
3.7.1 韧性损伤材料断裂的局部方法 如上节所述，损伤力学和断裂力学处理裂纹问题的基
本方法有明显不同。断裂力学方法主要是寻求裂纹扩展和 断裂的过程、规律与总体的载荷参数（如K,J,C*）的关系。 在相当广泛的范围内，尤其是对于二维的弹性裂纹问题， 比例加载条件下的小范围屈服裂纹问题和等幅应力作用下 的循环加载断裂问题，断裂力学方法是非常有效的，具有 良好的精度，并且得到了工程上的广泛应用，然而在另外 一些情况下，如对于非比例加载条件下的裂纹扩展问题、 与时间相关的裂纹扩展问题、裂纹尖端微孔洞损伤比较明 显的问题，断裂力学方法会遇到一些难以克服的困难。
.
vp ij
3 2
.
p
sij
e
（3.7.10）
（3.7.11）
对于铬镍铁合金 IN CON EL718, 实验测定了 本构关系中的各 个材 料常数, 在 Norton 方程中, K = 1786, n = 18; 在 Lemait re 方 程 中, K = 2432, n = 20, m = 16.75, 其它参数为 r = 14, k = 21.6, A = 2177, α= 0.15, β= 0。
*d
(x, )d
d
(3.7.3)
3.7.2 弹性-粘塑性材料断裂的局部方法 各向同性的蠕变损伤演化通过宏观变量 在0和1间的变化来
定量描述，损伤演化方程表示为
.
[
（）]r
(1
)k
A
（3.7.4）
式中 是依赖于应力不变量的函数，如
(
)
1
(1 ) e
（3.7.5）
土木工程专业教学质量工作汇报
或
( ) 1 3 m (1 ) e （3.7.6）
变形和损伤全耦合的局部方法是很有吸引力的一种方法， 因为它能够更恰当更完整地预测裂纹尖端的变形、损伤和断裂 行为。但是在实施这种方法时，往往遇到一些具体的问题。首 先，由于损伤的引入，控制裂纹尖端场的微分方程更加复杂， 对其进行求解有更多的困难，对于蠕变损伤的情况尤其明显。 由于解析解一般难以得到，断裂的局部方法经常借助于有限元 来实现。有限元计算中经常用到的单元消去技术，一旦某个单 元满足了损失断裂准则，则人为消去该单元，使其不再承受应 力。另一个技术是在耦合损伤的有限元程序中，采用自适应的 时间步长。第二，用连续损伤力学方法描述裂纹扩展时需要全 耦合的本构关系和损伤演化方程，例如在蠕变裂纹扩展问题中，
而损伤力学的方法则是在可用范围内比较详尽地分 析裂纹尖端附近的应力场及扩展过程，利用恰当的局部损 伤断裂准则，处理裂纹尖端的断裂行为。因此这种方法常 常被称为断裂问题的局部方法。由于损伤力学中的本构关
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系描述了材料逐渐劣化的过程，不需要再人为地引入材料断裂 条件，裂纹扩展的路径就是构件中已经完全损伤的所有质点的 集合，从而非常自然地刻划了裂纹的逐渐发展过程。
第二个算例是弹性 -粘塑性裂纹的扩展问题 , 图3. 34是网 格的划分，图3.35给出了用全耦合方法得到的裂纹尖端前方延
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图3.32 单拉试件
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长线上最大主应力和最大主应变的分布随时 间的变化。在加载的初始时刻, 裂纹尖端附 近有很 强的应力集中, 由于蠕变损伤的逐渐 演化, 裂尖附近应力分布逐渐平滑, 这种应力 和应变场的变化以及裂纹的逐渐扩展过程是 经典的断裂力学方法难以描述的。
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第一个算例是 圆柱形试件, 试件的形状及网格划分如 图 3.32( a) 所示, 采用均匀应变率的单向拉伸加载由于粘塑性变形, 应力在试件中 部越来越集中, 图 3.32( b) 给出了有限元预测的 载荷-位移曲线及损伤演化曲线。计算的结果表明, 如果采用局 部意义上的损伤定义 ( d * = 0) , 则出现明显的网 格敏感性, 即 构 件的寿命 与网格划分的大小直接相关, 而且在计算过程中的 最后几秒内, 应力分布发生混沌变化。而如果采用非局部意义 上的损伤定义( 这里取d * = 100μ m) , 则上述局部化效应可以 避免, 得到比较稳定的计算结果。此外, 图 3.33 对照了损伤和 变形全耦合的方法和解耦的方法得到的损伤演 化曲线, 解耦方 法预测的构件寿命往往是偏于保守的。
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损伤不仅影响粘塑性应变率，而且影响弹性应变，也就说有限元
中的刚度矩阵是随时间不断变化的。第三，损伤导致材料的软化
行为，即对于宏观单调加载情况，裂纹尖端可以出现非单调的材
料变形，这可以引起解的不唯一（分叉）、数值结果不稳定、变 形局部化以及网格敏感性等一系列问题。
为了避免损伤的局部效应，可以采用的几种方法有：（1） 根据细观缺陷的统计结果，用一个特征尺寸来限定有限单元的最 小尺寸；（2）在非局部的连续介质理论的框架上，引入应力和应 变的高阶梯度；（3）采用局部限制手段；（4）用非局部的方法 定义损伤演化律。例如，在任意一点x处的损伤演化律可以表达为
式中1是最大主应力， m 是静水应力， e 是Mises等效应力，，
是材料常数。式（3.7.5）和式（3.7.6）都考虑了拉伸和压缩时
损伤演化的不同，对于式（3.7.5），在单压时
.
0
；对于式
（3.7.6），则有
.
.
comp (1 2 )r tens
（3.3.7）
材料的应变可以分解为弹性应变和粘塑性应变，即
.
(x)
1 *d
.
(x, )( )d
d
（3.71）
式中 d 是x点附近的一个小体元， 是体元内任意一点，. 是局部意
义上的损伤演化律，. 是非局部意义上的损伤演化律。（x,）是人为
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取定的一个函数，如
（x,
）
exp[
d
2 (x, d *2
)
]
（3.源自文库.2）
式中d* 是一个特征长度，d(x,)是x和 之间的距离。*d 定义为
ij
e ij
vp ij
（3.7.8）
利用有效应力的定义
# ij
ij
/(1)
和应变等效假设，各向同性的弹
性本构关系为
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e ij
E
1 (1
)
[(1
)
sij
1 2
3
kk ij ]
（3.7.9）
对于没有应变强化和有应变强化的情况，分别利用幂次蠕变律（即
Norton方程，得到粘塑性流动律表示为
3.7.1 韧性损伤材料断裂的局部方法 如上节所述，损伤力学和断裂力学处理裂纹问题的基
本方法有明显不同。断裂力学方法主要是寻求裂纹扩展和 断裂的过程、规律与总体的载荷参数（如K,J,C*）的关系。 在相当广泛的范围内，尤其是对于二维的弹性裂纹问题， 比例加载条件下的小范围屈服裂纹问题和等幅应力作用下 的循环加载断裂问题，断裂力学方法是非常有效的，具有 良好的精度，并且得到了工程上的广泛应用，然而在另外 一些情况下，如对于非比例加载条件下的裂纹扩展问题、 与时间相关的裂纹扩展问题、裂纹尖端微孔洞损伤比较明 显的问题，断裂力学方法会遇到一些难以克服的困难。
.
vp ij
3 2
.
p
sij
e
（3.7.10）
（3.7.11）
对于铬镍铁合金 IN CON EL718, 实验测定了 本构关系中的各 个材 料常数, 在 Norton 方程中, K = 1786, n = 18; 在 Lemait re 方 程 中, K = 2432, n = 20, m = 16.75, 其它参数为 r = 14, k = 21.6, A = 2177, α= 0.15, β= 0。
*d
(x, )d
d
(3.7.3)
3.7.2 弹性-粘塑性材料断裂的局部方法 各向同性的蠕变损伤演化通过宏观变量 在0和1间的变化来
定量描述，损伤演化方程表示为
.
[
（）]r
(1
)k
A
（3.7.4）
式中 是依赖于应力不变量的函数，如
(
)
1
(1 ) e
（3.7.5）
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或
( ) 1 3 m (1 ) e （3.7.6）
变形和损伤全耦合的局部方法是很有吸引力的一种方法， 因为它能够更恰当更完整地预测裂纹尖端的变形、损伤和断裂 行为。但是在实施这种方法时，往往遇到一些具体的问题。首 先，由于损伤的引入，控制裂纹尖端场的微分方程更加复杂， 对其进行求解有更多的困难，对于蠕变损伤的情况尤其明显。 由于解析解一般难以得到，断裂的局部方法经常借助于有限元 来实现。有限元计算中经常用到的单元消去技术，一旦某个单 元满足了损失断裂准则，则人为消去该单元，使其不再承受应 力。另一个技术是在耦合损伤的有限元程序中，采用自适应的 时间步长。第二，用连续损伤力学方法描述裂纹扩展时需要全 耦合的本构关系和损伤演化方程，例如在蠕变裂纹扩展问题中，
而损伤力学的方法则是在可用范围内比较详尽地分 析裂纹尖端附近的应力场及扩展过程，利用恰当的局部损 伤断裂准则，处理裂纹尖端的断裂行为。因此这种方法常 常被称为断裂问题的局部方法。由于损伤力学中的本构关
土木工程专业教学质量工作汇报
系描述了材料逐渐劣化的过程，不需要再人为地引入材料断裂 条件，裂纹扩展的路径就是构件中已经完全损伤的所有质点的 集合，从而非常自然地刻划了裂纹的逐渐发展过程。
第二个算例是弹性 -粘塑性裂纹的扩展问题 , 图3. 34是网 格的划分，图3.35给出了用全耦合方法得到的裂纹尖端前方延
土木工程专业教学质量工作汇报
图3.32 单拉试件
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长线上最大主应力和最大主应变的分布随时 间的变化。在加载的初始时刻, 裂纹尖端附 近有很 强的应力集中, 由于蠕变损伤的逐渐 演化, 裂尖附近应力分布逐渐平滑, 这种应力 和应变场的变化以及裂纹的逐渐扩展过程是 经典的断裂力学方法难以描述的。
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第一个算例是 圆柱形试件, 试件的形状及网格划分如 图 3.32( a) 所示, 采用均匀应变率的单向拉伸加载由于粘塑性变形, 应力在试件中 部越来越集中, 图 3.32( b) 给出了有限元预测的 载荷-位移曲线及损伤演化曲线。计算的结果表明, 如果采用局 部意义上的损伤定义 ( d * = 0) , 则出现明显的网 格敏感性, 即 构 件的寿命 与网格划分的大小直接相关, 而且在计算过程中的 最后几秒内, 应力分布发生混沌变化。而如果采用非局部意义 上的损伤定义( 这里取d * = 100μ m) , 则上述局部化效应可以 避免, 得到比较稳定的计算结果。此外, 图 3.33 对照了损伤和 变形全耦合的方法和解耦的方法得到的损伤演 化曲线, 解耦方 法预测的构件寿命往往是偏于保守的。
土木工程专业教学质量工作汇报
损伤不仅影响粘塑性应变率，而且影响弹性应变，也就说有限元
中的刚度矩阵是随时间不断变化的。第三，损伤导致材料的软化
行为，即对于宏观单调加载情况，裂纹尖端可以出现非单调的材
料变形，这可以引起解的不唯一（分叉）、数值结果不稳定、变 形局部化以及网格敏感性等一系列问题。
为了避免损伤的局部效应，可以采用的几种方法有：（1） 根据细观缺陷的统计结果，用一个特征尺寸来限定有限单元的最 小尺寸；（2）在非局部的连续介质理论的框架上，引入应力和应 变的高阶梯度；（3）采用局部限制手段；（4）用非局部的方法 定义损伤演化律。例如，在任意一点x处的损伤演化律可以表达为
式中1是最大主应力， m 是静水应力， e 是Mises等效应力，，
是材料常数。式（3.7.5）和式（3.7.6）都考虑了拉伸和压缩时
损伤演化的不同，对于式（3.7.5），在单压时
.
0
；对于式
（3.7.6），则有
.
.
comp (1 2 )r tens
（3.3.7）
材料的应变可以分解为弹性应变和粘塑性应变，即
.
(x)
1 *d
.
(x, )( )d
d
（3.71）
式中 d 是x点附近的一个小体元， 是体元内任意一点，. 是局部意
义上的损伤演化律，. 是非局部意义上的损伤演化律。（x,）是人为
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取定的一个函数，如
（x,
）
exp[
d
2 (x, d *2
)
]
（3.源自文库.2）
式中d* 是一个特征长度，d(x,)是x和 之间的距离。*d 定义为
ij
e ij
vp ij
（3.7.8）
利用有效应力的定义
# ij
ij
/(1)
和应变等效假设，各向同性的弹
性本构关系为
土木工程专业教学质量工作汇报
e ij
E
1 (1
)
[(1
)
sij
1 2
3
kk ij ]
（3.7.9）
对于没有应变强化和有应变强化的情况，分别利用幂次蠕变律（即
Norton方程，得到粘塑性流动律表示为