数学建模交巡警服务平台的设置与调度模型

交巡警服务平台设置与调度方案摘要本文主要讨论了交巡警服务平台的设置与调度问题.对于问题一，首先，运用Floyd算法结合Matlab软件得出了区域A各个节点之间连通的最短路径．引入0-1决策变量建立以平均出警时间最短为目标函数，以3分钟不能到达案发现场的总数最小为约束条件的线性优化模型，得出各交巡警服务平台的管辖范围（见文中表1）．其次，通过分析重大突发事件发生时交巡警服务平台调度的特点，建立了一个以平均出警时间最小，各个服务平台的工作量均衡为目标函数，以一个平台的警力最多封锁一个路口和3分钟内不能到达案发现场总数最小为约束条件的双目标0-1规划模型，运用层次分析法对模型进行改进，用Lingo软件对改进模型进行求解，得出A区交巡警服务平台警力合理的调度方案(见文中表3)．最后，考虑到现有交巡警服务平台的设置情况，建立了以平均出警时间最小，各个服务平台的工作量均衡为目标函数的规划模型，得出需要增加四个交巡警服务平台，分别为节点28，29，38和39．针对问题二，首先，采用层次分析法得到全市各区域的综合评价指标权重，运用TOPSIS 算法建立多目标决策分析模型，得出其各区交巡警平台设置方案优劣次序为：A>C>F>B>D>E，并给出合理建议．其次，建立了以交巡警到达犯罪嫌疑人逃离最长路径所需最短时间为目标函数的多元线性优化模型，并采用由内到外逐圈围堵法，直到搜捕到嫌疑犯为止，得出其最佳围堵方案(见文中表6)．关键词0-1规划模型；交警服务平台；综合评价指标；TOPSIS算法一、问题重述“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语．警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能．为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台．每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同.由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题．根据某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：(1) 附录1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附录．请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地．对于重大突发事件，给出合理的调度方案，使A区20个交巡警服务平台的警力资源对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁（实际中一个平台的警力最多封锁一个路口）．根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在A区内再增加2至5个平台，确定需要增加平台的具体个数和位置．(2) 针对全市（主城六区A,B,C,D,E,F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附录）的合理性．如果有明显不合理，请给出解决方案．如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑．为了快速搜捕嫌疑犯，给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案．二、问题分析良好的社会环境是人民生活幸福、经济发展的重要保障．因此，切实加强治安管理的工作成为我国政府及广大公安机关干警必须面对和解决的问题．然而随着城市化进程的加快，城市预警系统的重要性越发突出．所以，交巡警在控制社会治安问题起到了很重要的作用．针对问题一，首先，已知20个交巡警服务平台在该市中心城区A的交通网络中的设置情况，可以运用图论的思想把题目转化为在一定的时间内求最短路径的问题，计算最短路径的经典算法通常有：Dijkstra算法、Bellman算法和Floyd算法．其中求图中所有的最短路径适合使用Floyd算法．根据题目要求，先求出图中所有节点之间的最短路径，然后通过现有的20个服务平台进行筛选，得出它们各自的管辖范围，为此可以采用Floyd算法求最短路径．其次，要保证每个区域划分后，所包含最长路径小于等于三分钟车程，即交巡警到其管辖范围内最远距离应尽量小，以缩短接到报警后到达现场的时间．一个平台的警力最多封锁一个路口，要用最少的资源实现快速全封锁，因此需要13个巡警平台．为得出一个较合理的调度方案，可以建立以出警时间最短，警力资源强度均衡以及3分钟内到不能到达事发现场的总数最小的目标函数建立多目标决策数学模型进行求解．现实生活中，因其各个节点的发案率不同使得交巡警服务平台的工作量不均衡以及有些地方出警时间过长．要改变这种现象，需确定增加交巡警服务平台的最佳数量和位置，使最少的服务平台能覆盖最大的区域．针对问题二，根据全市的具体情况，该市划分为6个主城区(A，B，C，D，E，F)，因此可以分别讨论6个主城区是否设置合理．又因为方案的合理性与见警率、警员比例、3分钟到达率和平均工作强度这些因素有关，可以运用层次分析法得出综合评价指标的权重，并结合Topsis法建立综合评价模型从而得出结论并给出建议．要快速搜捕嫌疑犯，根据题意可知，警车时速为60km/h，考虑到实际情况中，嫌疑犯在逃亡过程中有恐惧心理，故可以假设其以时速为80km/h的恒定速度驾车逃亡.为了快速搜捕嫌疑犯，需调度全市交巡警服务平台警力资源进行围堵．由于警方在案发3分钟后才接到报警，嫌疑犯已经驾车逃亡一定距离，为订制最佳围堵方案，可以采用由内到外逐圈围堵法，直到搜捕到嫌疑犯为止．三、模型假设1. 目前该市所有公路上车辆都可以顺利通过，且路面条件均相同；2. 车辆在所有公路上速度恒定，道路的曲折、转弯等因素不会对车速产生影响；3. 区域内的每条道路都是双行线；4. 图中任意两相邻节点之间的路段为直线；5. 管辖范围是指管辖的节点数；6. 一个区域内没有两个或两个以上的节点同时发生突发事件．四、符号说明与名词解释节点：街面上的交叉路口．最短路径问题：是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由节点和路径组成）中两节点之间的最短路径．五、模型建立与求解随着国民经济的发展与城市化进程的加快，社会治安问题也日益险峻起来，此时交巡警在整治治安问题中起着关键性的作用，如何设置与调度交巡警服务平台，使其资源能被有效利用，根据问题的分析可以建立如下模型：5.1 线性优化模型Floyd 算法[1]的基本思路是：从图的带权邻接矩阵()[]n n j i I ⨯=,开始，递归地进行n 次更新，即由矩阵()I D =0，按一个公式，构造出矩阵()1D ；又由同样的公式由()1D 构造出矩阵()2D ；……最后又用同样的公式由()1-n D 构造矩阵()n D ．矩阵()n D 的i 行j 列元素便是i 号顶点到j 号顶点的最短路径长度，称()n D 为图的距离矩阵，同时还可引人一个后继点矩阵path 来记录两点间的最短路径．递推公式为：()()[]nn ij d D ⨯=11，其中()()()(){}010101,min j i ij ij d d d d += ()()[]nn ijd D ⨯=22，其中()()()(){}121212,min ji ijijd d d d +=……()()[]nn n ijn d D ⨯=，其中()()()(){}1,111,1,min -----+=n j n n n i n ij n ij d d d d 上述矩阵序列(){}k D 可递归地产生，利用循环迭代便可简便求出．算法的详细步骤如下：()j i d ,：()k ij d ，它表示中间只允许经过k ,,2,1Λ号顶点，从i 到j 的路径中，最短路径的长度；()j i path ,：对应于()k ij d 的路径上i 的后继点，最终的取值为i 到j 的最短路径i 的后继点．输入带权邻接矩阵:a .赋初值．对所有j i ,，()()j i j i d ,a ,=；当()∞=j i a ,时，()0,=j i path ，否则()j j i path =,；1=k ．b .更新()j i d ,，()j i path ,。

对所有j i ,，若()()()j i d j k d k i ,,,d ≥+，则转c ，否则()()()j kd k i d j i d ,,,+=，()()k i path j i path ,,=，1+=k k ；继续执行c ．c .重复b ，直到1+=n k ．根据题目要求并结合Floyd 算法用Matlab 软件可以得出中心城市A 的交通网络图的带权邻接矩阵为9292⨯阶矩阵，以及任意两个节点之间连通的最短路径(见附录)．先引入0-1决策变量．如果整数线性规划问题的所有决策变量i x 仅限于取0或1两个数值，则称此问题为0-1线性整数规划，简称0-1规划．ij x 表示i 节点是否管辖j 节点：要求各平台的管辖范围，可以建立以平均出警时间最小为目标函数，以3分钟内不能到达的总数最小为约束条件的优化模型：其中10=v ，对上式优化模型运用Lingo 软件进行求解，具体结果如表1所示：要使服务平台调度合理且有效，应该使平均出警时间最短和各个服务台的工作量均衡，因此可以建立如下目标函数：目标函数一：平均出警时间最短in M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑=∈201201i k j i ij ij v f d x T (1) 其中{}62,48,38,30,29,28,24,23,22,21,16,14,12∈k . 目标函数二：各个服务台的工作量均衡in M 220113120113120201∑∑∑∑====⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=i j j i i ij ij j ij ij f d x f d x G (2) 上述模型是一个双目标的0-1规划模型问题.一般情况下不可能使所有目标达到最优，因此可以运用层次分析法得出两目标项之间的成对比较矩阵如下：对判断矩阵做一致性检验；为检验矩阵的一致性，首先根据表2中的1~9比率标度计算出它的一致性指标CI ：max CI 愈大，矩阵的一致性越差.为判断矩阵是否具有满意的一致性，要将CI 与平均一致性指标RI 进行比较，对于表中n=1,2时0=RI ,是因为1,2阶的正互反矩阵总是一致阵.令RICICR =,当CR<0.1时，则判断矩阵具有满意的一致性.再运用Matlab 软件计算得出相对权重系数，求得其系数权重分别为：8.01=w ，2.02=w因此可以把(1)和(2)式结合，得到(3)式，即：in M G w T w Z 21+= (3)运用Lingo 软件对上式进行求解，得到部分服务平台封锁全部要道的序号．又因为合理的调度方案不仅要使路口有警力封锁，还应该让警力以最短路径前往封锁．根据5.1中Floyd 的算法知道了任意两个节点之间连通的最短路径，所以各巡警服务平台以最短路径前往封锁要道所经过的节点如表3所示：针对现实生活中，交巡警服务平台工作量不均衡和有些地方出警时间过长的情况，以平均出警时间最短，各个服务台的工作量均衡建立目标函数一、二，通过求解确定增加平台个数及位置．已知在5.1中求得A 区被覆盖的节点数有86个，所以有6个节点不被覆盖，即为盲点区. 用Excel 对A 区进行筛选，不能在三分钟之内到达的节点即为盲点，分别为：28、29、38、39、61和92．要使平台的分配更加合理，应尽可能的覆盖盲点． 引进()92,,21Λ=n n λ，再引入0-1变量，其中： 此时目标值变为()∑+n λ20 ．目标函数一：平均出警时间最短目标函数二：各个服务台的工作量均衡 约束条件为：利用5.2中的结合方法，得出优化模型为： 约束条件为：(){}⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-==∑∑∑===1,03092,,2,1,1201921201ij i j ij ij i ij x d x sign Min j x Λ (5)运用Lingo 软件对(5)式进行求解得:需要在节点28，29，38和39四处增加平台，具体结果见表4所示TOPSIS 算法是一种常用的有限方案多目标决策分析法，它主要借助于决策问题的“理想解”和“负理想解”进行排序优选，也称为逼近理想解排序法，简称为理想解法．要研究该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性，需要考虑影响其设置的主要因素，综合分析建立多目标决策分析模型.TOPSIS 算法的基本思路1、定义决策问题的理想解和负理想解2、在可行方案中找到一个方案，使其距理想解的距离最近，而距负理想解的距离最远．理想解是一个理想的最优解，其各个指标值都达到最优值，故也称为最优解；而负理想解是另一个设想的最劣解，其各个指标值都达到最差值，故也称为最劣解．其求解步骤如下： 构建决策矩阵设{}n q q q Q ,,,21Λ=为多属性决策问题的方案集，{}n u u u U ,,,21Λ=为决策问题的指标集，{}n w w w W ,,,21Λ=为决策问题的评价指标的加权向量，且满足10≤≤j w ，11=∑=nj j w ．方案i q 对指标j u 的评价记为ij a ，则由方案集Q 和指标集U 就可以确定一个n m ⨯阶的矩阵()nm ijq Q ⨯=，称矩阵Q 为决策矩阵．设规范后的决策矩阵为()nm ijb B ⨯=，∑==mk kj ij ij a a b 12/()n j m i ,,1;,,1ΛΛ==．加权的规范决策矩阵为()nm ij c C ⨯=，其中()n j m i b w c ij j ij ,,1;,,1ΛΛ===．由此构成评价问题的正理想解+C 和负理想解-C ，即：计算得到正理想解和负理想解的距离+i d 和-i d ，用误差平方和表示，即：然后计算各方案的贴近度：其中容易看出m C i ≤≤*1且贴近度越大的方案越优，贴近度越小的方案越劣，故可根据贴近度的大小对方案进行排序，从而从中选出最优方案．题目中要求得各区域交巡警服务平台的设置方案是否合理，可以运TOPSIS 算法求得各方案的贴近度，从而选出最优方案并进行合理性的分析．首先建立层次结构，见图1所示．共分为三层： 第一层为目标层()O ：合理性；第二层为准则层()C ：相关条件，共有四个指标，依次为以3分钟到达率、见警率、警员比例和平均工作强度；第三层为方案层()P ：分别为A 、B 、C 、D 、E 和F ．服务平台目标层(准则层(C 方案层(P根据表5可以得出各指标的成对比判断矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛121121212312112123121，该判断矩阵的最大特征值1545.4max =λ，对应的一致性比率1.0057.0<=CR ，通过一致性检验，将对应的特征向量归一化得对应的权向量为： 所以根据TOPSIS 法得出决策矩阵：所以各方案正理想距离和负理想距离依次为： 得到各方案的贴近度依次为：六个地区的综合评价优劣次序为:A>C>F>B>D>EA 区的综合评价指标最高，E 区综合评价指标最低. 明显不合理的地方在于E 区单位面积交巡警台个数较小，且三分钟到达率较低,故应在E 区增加交巡警服务台，优化服务台的地址布置. D 区单位面积交巡警服务平台最少，应增加服务台个数. 5.5 多元线性优化模型根据题意可知，警车时速为60km/h ，考虑到实际情况中，嫌疑犯在逃亡过程中有恐惧心理，故假设其以时速为80km/h 的恒定速度驾车逃亡.为了快速搜捕嫌疑犯，需调度全市交巡警服务平台警力资源进行围堵，但由于警方在案发3分钟后才接到报警，嫌疑犯已经驾车逃亡一定距离，为订制最佳围堵方案，应采用由内到外逐圈围堵法，直到搜捕到嫌疑犯为止，故可建立以下以求到达最长路径所需最短时间为目标的函数： 其约束条件为：据此可以运用Lingo 软件结合Matlab 软件运行得出警务平台，围堵节点，警务平台到围堵点距离以及P 点到围堵节点距离，其中，第t 个围堵圆周的t 是变量.由于嫌疑犯逃跑路线随机，很难求出最优解，故可近似求出较优解.当60=t 时，由程序运行结果可看出，有一个节点处警务平台到围堵点距离大于P 点到围堵点距离，即嫌疑犯可能从此节点逃跑，无法围堵；同理，当50=t ,45=t ，41=t ，25=t 时，均无法围堵；然而，当40=t 时，却可以得到以下结果：的较优解，可近似认为是此模型的最优解，即第40个围堵圆周是搜捕嫌疑犯的最佳位置，具体围堵方案表6中前两列.六、结果分析从总体考虑，五个小问题中均用到了优化的思想，得到了符合实际的答案以及各种方案，较切合题意，但是由于个别问题只考虑最短路径，忽视了各交巡警的平均工作任务量，导致个交巡警台管理的节点数不均衡. 为了使问题更贴近实际需将交巡警的平均工作任务量作为目标函数，建立多目标函数的优化问题. 但这又使得计算量增加了许多，鉴于计算机的运算能力有限，在此就不做详细计算了.七、模型推广与改进7.1 推广多目标函数的优化问题可以推广到农业生产中，如同时要使施肥较少，且农作物产量较高;也可以推广到股市投资中，同时达到风险低回报高的目标.TOPSIS法可以推广到多决策因素的综合分析商业投资行为的可行性等.Floyd算法可以解决最短路径问题，它可以运用到网络理论中，如设备更新、管道铺设、线路安排、厂区布局等方面.7.2 改进警车行驶速度上下限、见警率定义等；文中假设的数值限于本文计算和讨论，针对某一实际路网，其行驶速度限制值一定，不需要假设.另外，文中所用的部分数值已将现实问题简化，实际中影响车辆行驶路线因素很多，该模型在应用中需要适当修正或调整部分参数，并加以改进.参考文献[1] 李志林等，数学建模及典型案例分析[M]，北京：化学工业出版社，2007.[2] 龙文等，多目标城市应急系统选址问题的免疫算法[J]，广西物理，第29卷：26，2008.[3] 韩中庚，数学建模方法及其应用[M]，北京：高等教育出版社，2005.6.[4] 熊义杰，运筹学教程[M]，北京：国防工业出版社，2004.9.[5] 阮晓晴等，数学建模引论[M]，北京：高等教育出版社，2005.7.[6]杨桂元等，数学建模[M]，安徽：中国科技大学出版社，2008.8.[7] 李辉来，大学数学课程实验[M]，北京：高等教育出版社，2008.6.[8] 卢开澄等，图论及其应用[M]，北京：清华大学出版社，2004.3.[9] 周培德，交通道理网中任意两点之间最短路径的快速算法[J], 计算机工程与科学，第24卷：35，2002.附录1.92×92阶矩阵0 18.987 38.839 45.352 93.743 95.375 115 90.226 92.254 146.5 190.88 222.36220.02 160.28 142.49 92.868 35.912 25.646 17.583 52.632 192.93 210.96 225.02228.93 210.9 181.88 189.31 190.01 195.16 120.83 112.81 103.6 98.503 97.27988.012 90.824 95.923 58.809 55.809 38.132 44.412 26.063 18.001 28.474 81.30480.926 108.3 118.5 88.743 86.067 82.259 80.656 82.035 59.231 51.498 76.41364.034 71.534 79.344 62.745 97.458 48.852 35.044 25.989 23.599 20.437 16.19412.071 5 10.385 11.403 16.403 10.296 6.265 9.3005 12.836 16.403 6.4031 13.11117.583 32.354 36.439 31.031 40.88 48.16 56.238 51.942 47.911 43.88 45.17149.915 69.9418.987 0 21.117 56.851 78.337 98.421 97.281 72.504 74.532 128.77 173.16 204.64201.03 141.3 124.77 73.881 25.911 43.848 36.571 70.834 173.95 191.97 206.03 211.21 193.18 164.16 171.59 172.29 177.44 103.11 95.089 85.879 80.78 79.55770.289 71.836 76.935 39.822 36.822 19.144 34.411 16.062 8 9.4868 63.581 63.20392.897 103.1 73.337 83.282 79.474 75.173 66.629 43.825 33.776 79.416 75.53283.032 82.39 74.243 108.96 60.351 46.543 37.488 31.657 28.494 24.252 21.05913.987 8.6023 20.391 16.062 24.125 25.252 25.586 29.122 33.594 25.391 32.09936.571 50.556 54.641 49.233 59.082 66.362 74.439 70.144 66.113 62.082 63.37368.117 80.72838.839 21.117 0 40.434 57.221 77.304 76.165 51.387 53.416 107.66 152.04 183.52187.41 127.67 103.65 60.256 47.028 58.949 41.943 85.935 160.32 178.35 192.41 190.09 172.07 143.04 150.47 151.17 156.32 81.996 73.973 64.763 59.664 58.4449.173 54.173 59.272 60.938 57.938 40.261 55.528 37.179 29.117 11.63 42.46542.087 71.781 81.979 52.221 62.165 58.358 54.056 45.512 22.709 12.659 58.29959.115 66.615 61.273 57.826 92.539 43.934 30.126 21.071 15.24 18.402 22.64526.768 33.839 29.719 40.242 37.179 45.241 45.104 31.157 27.622 32.094 42.09446.415 50.887 65.657 69.743 64.334 74.183 81.463 89.541 85.245 81.214 77.18378.475 83.218 101.8445.352 56.851 40.434 0 49.2 50.023 76.567 83.273 89.867 144.11 188.49 219.97209.82 150.09 114.75 82.669 74.705 63.844 46.837 67.989 182.73 200.76 214.82 226.54 208.52 179.49 186.92 162.27 155.35 81.03 99.673 87.969 91.549 94.89285.624 80.624 85.723 48.61 45.61 63.287 83.205 64.856 56.794 47.364 79.97273.972 63.761 73.959 50.556 40.715 36.907 35.304 43.848 34.495 44.544 31.06118.682 26.182 33.992 17.392 52.106 3.5 10.308 19.363 25.194 28.356 32.599 36.72243.793 49.178 50.196 55.196 55.648 51.617 36.052 32.516 36.988 46.988 51.30955.781 70.552 74.637 69.229 70.797 63.517 71.594 81.859 77.828 73.797 77.33280.869 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