简谐振动

0
0 0 tg ( ) x0
1
0 A sin 0
0
4. 简谐振动的速度和加 速度
A2 x2
dx A sin( t 0 ) dt
d a A 2 cos( t 0 ) dt
a 2 x
美国Tacoma大桥倒塌前
每年肆虐于沿海各地的热带风暴，也是 借助于共振为虎作伥，才会使得房屋和 农作物饱受摧残。因为风除了产生沿着 风向的一个风向力外，还会对风区的构 筑物产生一个横力，而且风在表面的漩 涡在一定条件下产生脱落，从而对构筑 物产生一个震动。要是风的横力产生的 震动频率和构筑物的固定频率相同或者 相近时，就会产生风荷载共振.
A2 A1
(1)
A
Amax=A1+A2 , 相互加强 (2)
( 2k 1) ( k 0, 1, )
Amin= |A2 A1| , 相互减弱
0
A2 A1
A
(3) 一般情形
Amin＜A ＜ Amax
0
二、同方向、不同频率两谐振动的合成(了解)
x1 = A1cos (1 t+ 10) x2 = A2 cos (2t+20) 求： x＝ x1 ＋x2
振动动能
1 E k m 2 1 m 2 A2 sin 2 (t 0 ) 2 2 k 1 2 2 2 E k kA sin (t 0 ) m 2
1 2 1 kA 2 cos 2 ( t ) E P kx 0 2 2
振动势能
动能和势能的位相差为
x1 = A1cos ( t+ 10) x2 = A2 cos ( t+20) 求： x＝ x1 ＋x2
A2 A
x A cos(t 0 )
合振幅
2 1 2 2
20 0
0
A1 10 x
x2
x1
x
A A A 2 A1 A2 cos( 20 10 )
用旋转矢量表示相位关系

A2 A1
A2 A1


A1
0
x
0
x
A2
0
x
2 1
0 同步
x
反相
旋转矢量与振动曲线
t
用旋转矢量图画简谐运动的
x t 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
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பைடு நூலகம்
四、简谐振动的能量
x1
1
t
x2
2
t
x
= 1 - 2
t
无阻尼自由振动（理想的）：
一个物体不受任何阻力的作用，仅在恢复力的
作用下所做的振动 阻尼振动：在恢复力和阻力作用下的振动
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三、阻尼振动 能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。
阻 尼 振 动
摩擦阻尼： 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦 力的作用，系统的动能转化为热能。 辐射阻尼： 振动以波的形式向外传播，使振动 能量向周围辐射出去。
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归纳
1. 方 程
固有频率，圆频率
简谐振动的又一种定义： 如果物体的运动其动力 学方程可归纳为上述形 式即为简谐振动。
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2. 受 力（力矩）
1）
2）
3）
弹性恢复力： 力（力矩）的大小总是与物体相对于平衡位置的位 （大小，方向） 移（角位移）的绝对值成正比，方向总是指向平衡 位置。 平衡位置： 弹性恢复力为零的位置
周期性的驱动力跟振动“合拍”时，每次驱动 力都跟物体的速度方向一致，驱动力做的都是正功， 故振幅越来越大，能量也越来越大 . 当驱动力不与 振动“合拍”时，它做的一部分是负功，振动系统所 得能量要少，引不起共振.
共振的危害
桥梁 倒塌
共振危害 案例 机器 损坏
雪 崩
翻 船
共振的危害 桥梁倒塌
1940年，美国的全长860米的塔柯 姆大桥因大风引起的共振而塌毁， 尽管当时的风速还不到设计风速限 值的1/3，可是因为这座大桥的实 际的抗共振强度没有过关，所以导 致事故的发生。
忽略摩擦力 摆角极小
mg
l
T 0
l m
线性恢复力
F合 =mg sin
F mg
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线性恢复力
c
F mg
l
d 2 at l 2 dt
T
mg
l m
F ma
d 2 ml 2 mg dt g 2 l
0
动力学方程
d 2x dx m 2 kx F0 cos t dt dt
令
k 0 m
F0 , ,h 2m m

d 2x dx 2 2 0 x h cos t 2 dt dt
和尚的心病
共振的现象
唐朝洛阳有个和尚喜欢弹拨乐器——磬 . 奇怪的是，静静的磬经常自鸣自响，无缘无故 地发出嗡嗡的声音. 以为是妖孽作怪，结果忧 虑成疾，他向前来探望的朋友诉说了内心的忧 虑. 朋友明白了原由，悄悄用钢锉在磬上锉了 几处. 此后，磬再也不会无故发声了. 和尚以 为妖怪已被赶走，心事顿消，病也不治而愈.
磬自鸣原因
磬为什么会不敲自鸣呢？这是共振 引起 的一种现象. 当一物体的振动频率与另一物体 的固有频率一致时，前者的振动能引发后者的 振动. 磬的频率偶然地和钟的频率一样，因此 每当钟响时,磬也因共振而发出嗡嗡之声.
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共振的条件 系统在周期性外力(强迫力)作用下发生 受迫振动.在受迫振动时，如果外力的频率 跟系统的固有振动频率接近或相等时，受迫 振动达极大值，这种现象叫做共振.
d2 x k k 2 x 0 0 2 dt m m
d2 x 2 0 x 0 2 dt
2
A B
f l m G x
A O f B m x G B'
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二、简谐运动的运动学方程
d 2x 2 x0 2 dt
动力学方程 运动学方程
x＝Acos(t＋0)
简谐振动: 一个做往复运动的物体，如果其偏离平衡位置 的位移x (或角位移 )随时间t 按余弦(或正弦)规律变 化的振动
临界阻尼 0
临界阻尼
系统不做往复运动，而是较
快地回到平衡位置并停下来
过阻尼 0
系统不做往复运动，而是非常 缓慢地回到平衡位置 过阻尼
四、受迫振动 共振
受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。 F F0 cos t 周期性外力——驱动力 弱阻尼谐振子系统的受迫振动的方程
A2 x2
描述谐振动的三个特征量 1.振幅A 由初始条件决定
x A cos( t 0 ) t= dx A sin( t 0 ) 0 dt
x0 A cos 0 0 A sin 0
2
0 A x0 2
平衡位置为坐标原点 弹性恢复力
F= -kx
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F= -kx=ma
d2x m 2 kx dt
d 2x m 2 kx 0 dt k 2 令 m
动力学方程
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d2x 2 x0 2 dt
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微振动的简谐近似
1. 单摆
c
建模
不可伸长的轻线 球线度远小于线长
E Ek E p 谐振动的总能量

2
1 1 2 1 2 2 2 E kA m A m max 2 2 2
x 0
x=Acos(ωt＋π) t
E
E 1 2 kA 2
t
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作业：27-2
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二十八 简谐振动的合成 阻尼振动 一、同方向、同频率谐振动的合成
初位相 0 tg
1
A1 sin10 A2 sin 20 A1 cos10 A2 cos 20
合振动是简谐振动, 其频率仍为
位相差对合振幅的影响
(t 20 ) (t 10 ) 20 10 2k , ( k 0, 1, )
x 可作广义理解:
位移、电流、场强、温度…
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微分方程 运动学方程 1.速度
d2x 2 x0 2 dt x A cos( t 0 )
A、0 由初始条件所决定
dx A sin( t 0 ) dt
2.加速度
d a A 2 cos( t 0 ) dt a 2 x
dt dt 2
0
k 系统固有角频率 m
阻尼系数 2m
弱阻尼 0
x A0 e
t
cos( t 0 )
0 2 2
阻尼振动的振幅按指数衰减 阻尼振动的准周期
T 2
弱阻尼


2
0 2 2

2
0
每一周期内损失的能量越小，振幅衰 减越慢，周期越接近于谐振动。
cos( t 0 ) cos( 2 1 t 0 ) 2
合振动可以看作振幅缓变的“准谐振动” 。 若 1， 2 均较大，而差值较小，则合振动 的“振幅”时而大（为 2A），时而小（为 0）。 这种合振动周期性的时强时弱的现象称作拍 单位时间内振动加强（或减弱）的次数叫拍频。
阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减） 弱介质阻力是指振子运动速度较低时， 介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比 dx —阻力系数 f v r 阻力 dt 2 dx d x 动力学方程 kx m
d 2x dx 2 2 0 x 0 2 dt dt
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三、简谐振动与匀速圆周运动

t 时刻
m
a
t=0 时刻
0 O
x x0
X
x0 0
x
x A cos( t 0 )
m
用旋转矢量定相位 例： x0 = A/2 =? 0 > 0 答：

3
m cos( t 0 ) 2 a a m cos( t 0 )
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d 2 2 0 2 dt
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2.复 摆 建模
刚体 忽略摩擦力 摆角极小
o
h
c
F
重力力矩
M mghsin
M mgh
d 2 mgh J 2 dt
mgh 令 J
2
动力学方程
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d 2 2 0 2 dt
定
义3：
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物体在弹性恢复力（力矩）作用下的运动叫做简 谐振动。作简谐振动的物体也称为简谐振子。
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例题：弹簧下面悬挂一物体，不计弹簧质量和阻力， 证明物体在平衡位置附近的摆动是简谐振动。
解：
m g kl
d2 x mg k (l x) m 2 dt
(a)
(b)
(c)
d x kx m 2 dt
x 2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t 0 )
变化慢
变化快
合振动不是简谐振动。
当21，2 +1>> 2 - 1时， x可写作
x A(t ) cos( t 0 )
A(t) 2 A cos(
2 1
2
t)
随t缓变； 随t快变；

k m

频率：
1 T 2
T 2
m k


g l
mgh J
l T 2 g
T 2 J mgh
3. 位相和初位相 (1) 能唯一确定系统运动状态，而又能反映其周 期性特征的的物理量 =t+ 0叫做位相, 是描 述系统的机械运动状态的物理量 (2)初位相: t=0时的位 相0 x A cos
2
2. 周期T 完成一次完全振动所需的时间
A cos( t 0 2 )
x A cos( t 0 ) A cos (t T ) 0
周期T：
T
2
圆频率: 2 固有圆频率：仅由振动系统力学性质所决定频率 固有圆频率 固有振动周期 弹簧振子 单摆 复摆
模块二十七
简谐振动
振动中最简单最基本的是简谐振动 简谐振动: 一个做往复运动的物体，如果其偏离平 衡位置的位移x(或角位移)随时间t按余弦(或 正弦)规律变化的振动 x＝Acos(t＋0) 运动学方程 x 可作广义理解: 位移、电流、场强、温度…
一、弹簧振子模型 建模
轻质弹簧 忽略一切摩擦 小球看成质点