组合变形时的强度计算分解
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12组合变形的强度计算.
例 一桥墩如图示。承受的荷载为：上部结构传递给桥墩的压力F0＝ 1920kN，桥墩墩帽及墩身的自重F1＝330kN，基础自重F2＝1450kN， 车辆经梁部传下的水平制动力FT＝300kN。试绘出基础底部AB面上的 正应力分布图。已知基础底面积为b×h＝8m×3.6m的矩形。
3700kN 1740kNm
例
FB
FAx
FBy
FAy
FBx
F
49.7kN
30kNm
B左截面压应力最大
max
FN M z A Wz
3
Mz Wz
Wz 187.5cm3
查表并考虑轴力的影响：
20a Wz 237cm
A 35.5cm
2
max
49.7 103 30 106 140.6MPa 2 3 35.5 10 237 10
bh 2 a b 1.786mm 12 F
12.1 弯扭组合变形的强度计算
一、弯扭组合变形的应力分析F
MBy B Iz M max max Wz
a
L
F Fa
T IP T max WP
2
B
x x 2 13 x 2 2
B
FL
1 3
2 4 2
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
Fa
2 3 2
二、弯扭组合变形的强度计算
图示圆轴.已知,F=8kN,M=3kNm,［σ］=100MPa,试用第 三强度理论求轴的最小直径. T 3kNm M max FL 4kNm F
工程力学弯扭组合
试按第四强度理论校核轴的强度。
Fy
Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y Fz
1
D 300 2
2 F'z
F'z
D1 D2
上海应用技术学院
Fy Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y
Fz
1 2
11
2 F'z
300
D
F'z
Fy M1 Fz
A
y M2
B
F'y
C
D1 D2
D
z 解：1. 外力分析
x
32 M 0.75 T 2 πd 3
2
O
x
32 1.0642 106 0.75 1 106 99.4MPa [σ ] 3 π 0.052
∴ 轴满足强度要求。
上海应用技术学院
例4 已知一单级直齿圆柱齿轮减速器输出轴，齿轮轮齿受力：14 Ft= 4053 N，Fr=1475.2 N，输出转矩T= 664669 N· mm，支 承间跨距 l=180mm，齿轮对称布置，轴的材料为 45钢，许 用应力[s ]=100 MPa。 试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
上海应用技术学院
㊀
x Me
–Fl
O
x
3. 应力分析 由危险截面上的s、t 分布可知： a、b点为危险点： 取单元体： a b A M O T
㊉
F
2 MesMa来自lBsM
M σM W T T sM τT Wp 2W
tT tT
b
Fy
Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y Fz
1
D 300 2
2 F'z
F'z
D1 D2
上海应用技术学院
Fy Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y
Fz
1 2
11
2 F'z
300
D
F'z
Fy M1 Fz
A
y M2
B
F'y
C
D1 D2
D
z 解：1. 外力分析
x
32 M 0.75 T 2 πd 3
2
O
x
32 1.0642 106 0.75 1 106 99.4MPa [σ ] 3 π 0.052
∴ 轴满足强度要求。
上海应用技术学院
例4 已知一单级直齿圆柱齿轮减速器输出轴，齿轮轮齿受力：14 Ft= 4053 N，Fr=1475.2 N，输出转矩T= 664669 N· mm，支 承间跨距 l=180mm，齿轮对称布置，轴的材料为 45钢，许 用应力[s ]=100 MPa。 试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
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㊀
x Me
–Fl
O
x
3. 应力分析 由危险截面上的s、t 分布可知： a、b点为危险点： 取单元体： a b A M O T
㊉
F
2 MesMa来自lBsM
M σM W T T sM τT Wp 2W
tT tT
b
建筑力学 第9章 组合变形杆件的应力分析与强度计算
建筑力学
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
12-2 工程力学-组合变形的强度计算
故，安全。
3 2 4 2
6.37 2 435.7 2 71.7 MPa
[例7] 方形截面杆的横截面面积在 mn 处减少一半，试求由 轴向载荷 P 引起的 mn 截面上的最大拉应力。
解：
N M m ax A W
a2 a a a2 P P/ P / 8 2 2 4 4 6 a
§12–3
拉(压)弯组合 偏心拉（压）
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产
生的变形。
P P R
x z
P
x y z Mz
P
My
y My
二、应力分析： x z Mz P
P
MZ
My
y My
P xP A
Mzy xM z Iz
xM
y
Myz Iy
P Mz y Myz x A Iz Iy
max
F1 M max A Wz F1 F e A Wz
m
m
4）强度计算 因危险点的应力是单向应力 状态，所以其强度条件为：
F1 F e max 135MPa [ ] A Wz
例11-11 如图所示为一起重支架。已知a =3.0m， b=1.0m，F=36.0kN，AB梁材料的许用应力[ ]=140 MPa。试确定AB梁槽钢的型号。
拉压与弯曲组合变形的分析步骤
(1)、外力分析：
y
x
y P1
y
y P
x
=
P1
x
+
x P2
P2
P
P1 P cos
P2 P sin
(2)、内力分析：
组合变形的强度计算
yC
Ft l 4
5 0.2 4
0.25(kN m)
所以，轴的危险截面为C截面的左 侧截面。
例2
（3）校核强度。
r3
M
2
M
2 x
M
2 zC
M
2 yC
M
2 x
Wz
d 3 / 32
0.12
0.252 0.52 503 / 32
106
46.3(MPa)
例2
（2）画扭矩图及弯矩图。从扭矩图
可以看出，CD段各截面上扭矩相同，
大小为
M
x
Me
Ft
d 2
5 0.2 0.5(kN m) 2
而从弯矩图来看，无论是铅垂面还是 水平面内，最大弯矩均出现在截面C， 其最大值分别为
M zC
Fr l 4
2 0.2 4
0.1(kN m)
M
M
2 z
0.75M
2 x
Wz
三 弯拉（压）组合的强度计算举例
例1 图示为一摇臂钻床，钻孔时钻头所受轴向力P＝15 kN。己知偏心距e＝0.4 m，铸 铁立柱的直径d＝125 mm，其许用拉应力为[ ]+=35 MPa，许用压应力[ ]-=120 MPa。 试校核铸铁立柱的强度。
解：（1）分析内力。采用截面法求立柱 横截面上的内力。截开后取上侧一部分 考虑，由其平衡条件可知，横截面上既 有轴力FN，又有弯矩M。所以立柱的变 形为弯曲与拉伸的组合变形。轴力和弯 矩的大小分别为
FN＝F＝15kN M =Pe =15×0.4 =6 kN·m （2）校核其强度。由于整个立柱内 的最大正应力为拉应力，且铸铁的许用 拉应力小于许用压应力，所以，只要最 大拉应力不超过许用拉应力，立柱的强 度也就足够了。
组合变形的强度计算
组合变形的强度计算 组合变形的概念拉伸与弯曲的组合一.组合变形的概念1.组合变形:在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠加）在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形PRzxyPP2、组合变形的研究方法——叠加原理叠加原理应用的基本步骤：①外力分析：将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形.②内力分析：分析每种载荷的内力，确定危险截面.③应力分析：分别计算构件在每种基本变形情况下的危险将各基本变形情况下的应力叠加，确定最④强度计算:二.弯曲与拉伸(的组合杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸（压缩）变形称为弯曲与拉伸（压缩）的组合偏心拉伸:弯曲与拉伸的组合变形链环受力立柱受力拉伸与弯曲组合的应力分析ϕϕsin p p cos p p y x ==A P x ='σy I M x l P M zy =''-=σ)(作用下：z T W M A N max max +=σzC W M A N max max -=σ危险截面处的弯矩抗弯截面模量y I M A N z +=''+'=σσσ根据叠加原理，可得x 横截面上的总应力为[]T z max max T W M A N σσ≤+=[]c zmax max C W M A N σσ≤-=强度条件为例:悬臂吊车,横梁由25 a 号工字钢制成，l =4m ，电葫芦重Q 1=4kN ，起重量Q2=20kN , α=30º, [σ]=100MPa，试校核强度。
取横梁AB为研究对象，受力如图b所示。
梁上载荷为P =Q1+Q2= 24kN，斜杆的拉力S 可分解为X B和Y B（1）外力计算横梁在横向力P和Y A、Y B作用下产生弯曲；同时在X A和X B作用下产生轴向压缩。
第八章组合变形时的强度计算
Iy
IY
由 mz 产生的正应力
s"' MZ .y Fyp y
IZ
IZ
假设C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知, s ',s '',s ''' 均为拉应
力，由叠加原理，即得 C点处的正应力为：
σ σ' σ'' σ'''
任意横截面 n-n上的 C点的正应力为
c
σ F F zP z F yP y
与y轴的夹角θ为：
tgθ z0 Mz Iy Iy tgφ y0 My Iz Iz
公式中角度 是横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角 . 横截面上合成弯矩 M 为：
M
M
2 y
M
2 z
tgθ Iy tgφ Iz
讨论：
（1） 一般情况下，截面的 IzIy ,故中性轴与合成弯矩 M 所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。导致挠曲线与外 力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的变பைடு நூலகம்特征。
s s ' s '' My z - Mz y
Iy
Iz
式中，Iy和Iz分别为横截面对于两对称轴y和z的惯性矩； M y和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且 其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向相一致。在具体计算中，
也可以先不考虑弯矩M y、Mz和坐标y、z的正负号，以它们的 绝对值代入，然后根据梁在P1和P2分别作用下的变形情况， 来判断上式右边两项的正负号。
FN A
Mz Wz
158 MPa
s
所以强度是安全
【例8-4】矩形截面柱如图所示。P1的作用线与杆轴线重合， P2作用在 y 轴上。已知， P1= P2=80kN，b=24cm , h=30cm。 如要使柱的m—m截面只出现压应力，求P2的偏心距e。
组合变形杆件的强度—斜弯曲梁的应力和强度计算(建筑力学)
6
180 120 2 6
mm 3
4.32 105 mm 3
屋面坡度为1：2，则
tan 1 sin 0.4472
2
cos 0.8944
斜弯曲梁的强度计算
（3）强度校核
max
M zmax M ymax
Wz
Wy
M max cos
Wz
M max sin
Wy
cos sin
M max( Wz
A处的正应力为最大拉应力，点C处的正应力为最大压应力：
yA yC ymax
zA zC zmax
max min
t max
cmax
My Iy
zmax
Mz Iz
ymax
My Wy
Mz Wz
M
sin
Wy
cos
Wz
M z 2.51 0.336 2 3.172 kN m M y 1.256 2 2.215 kN m
斜弯曲梁的强度计算
抗弯截面系数为：
Wz
bh2 6
0.6h h2 6
0.1h3
Wy
hb2 6
h (0.6h)2 6
0.06h3
由强度条件：
max
Mz Wz
My Wy
3.172 106 0.1h3
2.512 106 0.06h3
73.587 106 h3
≤[
]
h ≥ 3 73.587 106 194.5(mm) 10
取h = 200mm，b = 120mm。
斜弯曲梁的应力计算 一、斜弯曲的概念
对称截面梁在水平和铅垂两纵向 对称平面内同时承受横向外力的作用， 这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵 对称面内发生对称弯曲，称为斜弯曲 （即为两个相互垂直平面内的弯曲） x
180 120 2 6
mm 3
4.32 105 mm 3
屋面坡度为1：2，则
tan 1 sin 0.4472
2
cos 0.8944
斜弯曲梁的强度计算
（3）强度校核
max
M zmax M ymax
Wz
Wy
M max cos
Wz
M max sin
Wy
cos sin
M max( Wz
A处的正应力为最大拉应力，点C处的正应力为最大压应力：
yA yC ymax
zA zC zmax
max min
t max
cmax
My Iy
zmax
Mz Iz
ymax
My Wy
Mz Wz
M
sin
Wy
cos
Wz
M z 2.51 0.336 2 3.172 kN m M y 1.256 2 2.215 kN m
斜弯曲梁的强度计算
抗弯截面系数为：
Wz
bh2 6
0.6h h2 6
0.1h3
Wy
hb2 6
h (0.6h)2 6
0.06h3
由强度条件：
max
Mz Wz
My Wy
3.172 106 0.1h3
2.512 106 0.06h3
73.587 106 h3
≤[
]
h ≥ 3 73.587 106 194.5(mm) 10
取h = 200mm，b = 120mm。
斜弯曲梁的应力计算 一、斜弯曲的概念
对称截面梁在水平和铅垂两纵向 对称平面内同时承受横向外力的作用， 这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵 对称面内发生对称弯曲，称为斜弯曲 （即为两个相互垂直平面内的弯曲） x
组合变形时的强度计算
§84弯曲与扭转组合变形
一、单向弯曲与扭转组合变形
1.引例：以钢制摇臂轴为例。
①外力向形心简化(建立计算模型)：
②作弯矩、扭矩图(找危险截面)：
由弯矩图知：A截面|M|→max；全梁Mn处处相同，
∴A截面为危险截面：
|TMn AP|aPL
③危险截面的危险点：A截面K1、K2点，t、s数值均为最大，
⑤用强度准则进行强度计算
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或
外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时， 梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。
斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内
同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面
∴K1、K2点均为危险点：
K1点：
sstmax|M W A z|
tMn W n
K2点：sscmax|M W A z|
tMn W n
y
A d
z
L
Tn
_
PL
M
_
P C
B a x
P Pa
K1
st Pa
K1 A
t s
s K2 t
K2
ss t
s
Байду номын сангаас
④对危险点进行应力分析：(从K1、K2点取单元体，因它们的 s、t数值分别相同，危险程度也相同，不妨取K1点研究)：
一、单向弯曲与扭转组合变形
④对危险点进行应力分析(s1≥s2≥s3)
在梁的任意横截面m—m上，由P1和P2引起的弯矩值依次为：
在梁的任意横截面m—m上，由P 和P 引起的弯矩值依次为： 试校核此夹具竖杆的强度。
材料力学第七章组合变形
P2=406N
外力向形心简化并分解 弯扭组合变形
每个外力分量对应 的内力方程和内力图
M (x)
M
2 y
(
x)M
2 z
(
x)
解续
MMZz ((NNmm)) 71.25
40.6
MMyy ((NNmm)) MT n (（NNmm)）
7.05 120 Mn
+
MM ((NNmm)) Mmax=71.3
41.2
核心边界上的一个角点；
截面角点边界
核心边界上的一条直线；
截面曲线边界
核心边界上的一条曲线。
例：
求右图示矩形截面的截面核心。
解：取截面切线 l1作为中性轴，其截距：
b
az
b 2
ay
4
3
a
并注意到： iz2 Iz / A h2 /12 iy2 I y / A b2 /12
故
h
5 21 z
34
ay
iz2 yP
az
iy2 zP
当偏心外力作用在截面 形心周围一个小区域内， 而对应的中性轴与截面周 边相切或位于截面之外时， 整个横截面上就只有压应 力而无拉应力。
2.截面核心的性质及其确定
(1)性质：是截面的一种几何特征，它只与截面的形状、尺
寸有关，而与外力无关。
(2)确定：根据中性轴方程知，截面上中性轴上的点的坐标
cmax
B
Fp A
MB Wz
Fp 6M B 13.4MPa bh bh2
在 B 截面右边缘处
3、最大拉应力
t
max
Fp A
MB Wz
3.4MPa
4、最大剪应力
工程力学-第8章组合变形
斜弯曲也称为双向平面弯曲。 一、强度计算：
外力分解： Py Pcos
内力计算： Pz Psin
MzPyxPcosxMco;s MyPzxPsinxMsin;
应力计算：
返. 回 下一张 上一张 小结
最大应力：
ma x M Izzym ax M Iyyzma x M W zzM Iyy;
强度条件：
m axM Wzz
返. 回 下一张 上一张 小结
二、计算： 以挡土墙为例。
自重作用使任意截面产生轴向
压力N(x)；对应各点产生压应力：
N(x);
N
A
土压力作用使截面产生弯矩
M(x)；对应点产生正应力：
M(x)y;
M
Iz
X截面任意点应力：
k
N(x)M(x)y;
A
Iz
ma x N(x)M(x);
min
A
W z
挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，
返. 回 下一张 上一张 小结
3. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩） （4） 弯扭组合
二、计算方法 ： 组合变形若忽略变形过程中各基本变形间的互相影
响，则可依据叠加原理计算。
1. 叠加原理 ：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独 作用所产生的应力、变形等互不影响，可叠加计算。
设计 W z ： M [m ]a x12c0 m 3;
查表 1号 6选工字 W z 钢 14 c， 1 m 3,A2,6 1 cm 2;
校核 m a | xN A ： M W m z | a1 x .4 0 M 0 1 P 0 0 0 a [] 5;
因此，可选16号工字钢。
工程力学组合受力与变形时的强度计算
FN A
M W
3103
d 2
8 103
d 3
81.1
MPa
81.9
4
32
位置？
例题：图示钢板受集中力P=128KN作用，当板在
一侧切去深4cm的缺口时，求缺口截面的最大正应 力？若在板两侧各切去深4cm的缺口时，缺口截面 的最大正应力为多少?(不考虑应力集中) 10
P
360
求： 1．链环直段部分横截面上 的最大拉应力和最大压应力； 2. 中性轴与截面形心之间 的距离。
解：根据平衡，截面上将
作用有内力分量FNx 和Mz
Fx 0 M C 0
得到 FNx＝800 N
Mz＝ 12 N·m
x FNx
FNx A
4FNx πd 2
π
4 800 122 106
简支梁在中点受力的情
形下，最大弯矩
Mmax=FPl / 4。得到两个 平面弯曲情形下的最大
d
弯矩：
c
M max
FPz
FPx l FPsin l
4
4
M max
(FPy )
FPy l 4
FP
cos l 4
在Mmax(FPy)作用的截面上，截面上边缘的角点 a、b 承受最大压应力；下边缘的角点c、d 承受最 大拉应力。
Pz P cos
以y为中性轴弯曲 M y Pz (l x)
P cos(l x) M cos
M z Py (l x)
P sin(l x) M sin
M z y M y sin M y z M z cos
材料力学组合变形的强度计算第3节 弯曲与扭转的组合变形
• 以曲拐 AB 杆为例，说明杆的弯曲与扭转这种组 合变形时的强度计算方法和步骤
1）外力分析
=
+
2）内力分析，确定危险截面的位置 —— A+ 截面
M max Fl M T M B Fa
k、k 两点为危险点
M max
Wz
MT
WP
3）强度计算
危险点的应力是二向应力状态，轴类零件一般都采 用塑性材料——钢材，因此应选用第三或第四强度理 论建立强度条件，即：
r3
32
F
l2 πd 3
R2
[ ]
按第四强度理论得到强度条件为
r4 32 F
l 2 0.75 R2 πd 3
[ ]
例9-3 卷扬机结构尺寸如图所示，l = 0.8m，R =0.18m，AB轴径 d = 0.06m。已知电动机的功率 P = 22kW，轴AB的转速 n =150r/min，轴材料的许用
应力[ ] = 100MPa，试校核AB轴的强度。
解： 1）外力分析 — 计算电动机输入的力偶矩 M0
M0
9550
P n
9550 22 150
Nm
1.4
k
N m
卷扬机的最大起重量 G M0 1.4 kN 7.78 kN R 0.18
2）内力分析，确定危险截面的位置 —— C_截面
1 3
2
2
2
2
2 0
r3 2 4 2 [ ]
r4 2 3 2 [ ]
WZ
d3
32
，WP
1）外力分析
=
+
2）内力分析，确定危险截面的位置 —— A+ 截面
M max Fl M T M B Fa
k、k 两点为危险点
M max
Wz
MT
WP
3）强度计算
危险点的应力是二向应力状态，轴类零件一般都采 用塑性材料——钢材，因此应选用第三或第四强度理 论建立强度条件，即：
r3
32
F
l2 πd 3
R2
[ ]
按第四强度理论得到强度条件为
r4 32 F
l 2 0.75 R2 πd 3
[ ]
例9-3 卷扬机结构尺寸如图所示，l = 0.8m，R =0.18m，AB轴径 d = 0.06m。已知电动机的功率 P = 22kW，轴AB的转速 n =150r/min，轴材料的许用
应力[ ] = 100MPa，试校核AB轴的强度。
解： 1）外力分析 — 计算电动机输入的力偶矩 M0
M0
9550
P n
9550 22 150
Nm
1.4
k
N m
卷扬机的最大起重量 G M0 1.4 kN 7.78 kN R 0.18
2）内力分析，确定危险截面的位置 —— C_截面
1 3
2
2
2
2
2 0
r3 2 4 2 [ ]
r4 2 3 2 [ ]
WZ
d3
32
，WP
知识资料材料力学知识资料应力状态分析和强度理论(三)组合变形压杆稳定(新版)
需要课件请或强度理论（一）强度理论的概念1．材料破坏的两种类型材料破坏型式不仅与材料本身的材质有关，而且与材料所处的应力状态、加载速度温度环境等因素有关。
材料在常温、静载荷下的破坏型式主要有以下两种：脆性断裂材料在无显然的变形下骤然断裂。
塑性屈服(流动) 材料浮上显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力。
2．强度理论在复杂应力状态下关于材料破坏缘故的假设，称为强度理论。
研究强度理论的目的，在于利用容易应力状态下的实验结果，来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。
（二）四个常用的强度理论四个常用强度理论的强度条件可以统一地写成式中σr称为相当应力，其表达式为最大拉应力理论σr1＝σ1(第一强度理论)最大拉应变理论σr2＝σ1－ν(σ1+σ2)(第二强度理论)最大剪应力理论σr3＝σ1－σ3(第三强度理论)形状改变比能理论(第四强度理论)[σ]为材料的许用应力。
第1 页/共18 页对于工程上常见的一种二向应力状态如图5—9—3所示，其特点是平面内某一方向的正应力为零。
设σy=0，则该点的主应力为代入(5—9-15)式得：第三强度理论(最大剪应力理论)的相当应力为第四强度理论(形状改变比能理论)的相当应力为最大拉应力理论、最大拉应变理论是关于脆性断裂的强度理论；最大剪应力理论、形状改变比能理论是关于塑性屈服的强度理论。
强度理论的选用在三向拉应力作用下，材料均产生脆性断裂，故宜用第一强度理论；而在三向压缩应力状态下，材料均产生屈服破坏，故应采用第三或第四强度理论。
当材料处于二向应力状态作用下时：脆性材料易发生断裂破坏，宜用第一或第二强度理论；塑性材料易发生塑性屈服破坏，宜用第三或第四强度理论。
[例5-9-1] 已知构件上某点的应力单元体如图5-9-4(a)，(b)所示(图中应力单位为MPa)。
试求指定斜截面上的应力。
[解] 图示单元体处于平面应力状态。
(1)在图示坐标中代人公式(5-9-1)、(5-9-2)得σα、τσ方向如图中所示。
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路标牌立柱——弯扭组合
§9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组合
例9-1 图示起重机的最大吊重G=12kN，材料许用应力[s]=100MPa，试
为AB杆选择适当的工字梁。 FAy
FAx A
M
FC
FCy
FCx C
B
G
_
1.5m
A 2m
C
B
1m G FN
12kN·m
_ 24kN
解：1)作AB杆的受力简图
3)按弯曲正应力预选AB梁W
§9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组合
1．如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分 区域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力 和最大压应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算；。
2．如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略， 则轴向力在横截面上引起附加弯矩DM=Fy亦不能忽 略，这时叠加法不能使用，应考虑横向力与轴向力 之间的相互影响。
3．一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯 曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯 曲切应力。
§9-1 组合变形与叠加原理
二、基本解法(叠加法)
1．叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起
的变形和内力不受彼此影响，可采用代 数相加；
2．基本解法 1)将外力分解或简化：使每一组力只产生一种基本变 形； 2)分别计算各基本变形下的内力与应力； 3)将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面危险点)；
/
az
)
2)特殊情况 a)截面周界有直线段时，对应的压力作用点只是一点；
b)截面周界有棱角时，对应压力作用点为一直线； c)中性轴不能穿过截面，则当截面周界有内凹时，取
中性轴为跨过内凹部分的切线。
§9-3 偏心压缩与截面核心
第九章 组合变形时的强度计算
• §9-1 组合变形与叠加原理 • §9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组合 • §9-3 偏心压缩与截面核心 • §9-4 扭转与弯曲的组合 • 小结
§9-1 组合变形与叠加原理
一、组合变形的概念
1．组合变形：构件同时发生两种以上基本变形
2．分类 1)斜弯曲(两个平面弯曲的组合) 2)拉伸(压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉伸(压缩)； 3)扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩)及弯曲的组合；
中性轴将截面分成两个区，压力F所在区受压，另一 区受拉。在截面周边上，D1和D2两点切线平行于中性 轴，它们是离中性轴最远的点，应力取极值。
§9-3 偏心压缩与截面核心
二、截面核心
1．定义 当压力F作用在截面某个区域内时，整个截面 上只产生压应力，该区域就称为截面核心。
2．研究意义 1)工程中的混凝土柱或砖柱，其抗拉性很差，要 求构件横截面上不出现拉应力； 2)地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离 地基。
4)对危险点进行应力分析(s1≥s2≥s3)；
5)用强度准则进行强度计算。
§9-1 组合变形与叠加原理 二、组合变形工程实例
钻床立柱——压弯组合
§9-1 组合变形与叠加原理 二、组合变形工程实例
吊车臂 ——压弯组合
§9-1 组合变形与叠加原理 二、组合变形工程实例
厂房牛腿 ——偏心压缩
§9-1 组合变形与叠加原理 二、组合变形工程实例
解：1)横截面形心到F距离e
y2 yc
e500 yc mm 2)横截面内力
M Fe FN F
h
e
FN=F
sa
M=Fe
sN
sa'
b
ca F
sb
sb'
y2
yc
§9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组合
3)轴力FN对应的横截面上的应力
s N FN / AF / A(拉)
弯矩M对应的横截面上a、b点的
应力
s
a
q
F
F
y
x
§9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组合
F F
500
z yc
c
y
例9-2 图示压力机，最大压力 F=1400kN，
e
FN=F M=Fe
b ca
机架用铸 铁制成：[st]=35MPa， [sc]=140MPa，试校核该压力机立柱
部分强度。立柱截面几何性质：
yc=200mm，h=700mm， A=1.8×105mm2，Iz=8.0×109mm4。 F
My：s
'''
M I
y y
z
Fz I
F y
z
§9-3 偏心压缩与截面核心
z
zF zB
A
O y yF
3)组合应力(B点)
y
s
s
's
"s
'''
F A
F (1 A
yF
i
2 z
y
zF z
i
2 y
)
FyF Iz
y
Fz F Iy
z
式中：i z2
Iz A
，i
2 y
Iy A
——截面对z、y轴的惯性半径
3．中性轴方程
M
A
0： FFCCxy
1.5G 4 FCy
18kN / 3 24kN
W |M|max /[s ]120cm3
4)查表选W=141cm3，按压弯组合变
2)作AB杆的内力图
形进行校核
C点左截面上，弯矩绝对值最大而轴 力与其它截面相同，故为危险截面。
|s |max
FN MC AW
94.3MPa[s ]
1)利用中性轴处的正应力为零得到
s
F (1 A
yF i
y0
2 z
zF i
z0
2 y
)
0
yF y0
i
2 z
z
F
i
z
2 y
0
1
——直线方程
§9-3 偏心压缩与截面核心B
A
O y yF
2)中性轴在y、z轴上的截距分别为
y
a
y
i
2 z
yF
，az
i
2 y
zF
az D2
ay、az分别与yF、zF符号相反，故中性轴与偏心压力F 的作用点位于截面形心的两侧。
2．横截面任意点的应力
x
Fz
F Mz
My
O
zF e yF
A
1)对于受偏心压缩的短柱，y、z
轴为形心主惯性轴，将F向形 心简化：M y FzF ，M z FyF y ( yF，zF)为F作用点坐标 2)各力在( y，z)点引起的应力为：
F ：s 'F / A
Mz：s
"
M I
z z
y
FyF Iz
y
O
§9-3 偏心压缩与截面核心
3．求截面核心方法
1)基本方法：将截面周界上一系列点的切线作为中性 轴，反求出相应压力F作用点位置，其连线即为截 面核心的周界。
设y、z轴为形心主惯性轴，周界某一点切线为中性
轴时，在y、z轴上的截距分别为ay、az，则压力F作
用点坐标为：
(
y
F
iz2
/
a
y
，z
F
i
2 y
'
Feyc Iz
(
拉
)，s
b
'
Fey2 Iz
(
压)
4)组合应力
s
s
a b
s
N
s
a
'
F A
Feyc Iz
32.3MPa(拉)[s t
s
N
s
b
'
F A
Fey2 Iz
]
53.5MPa(压)[s c ]
立柱符合强度要求
§9-3 偏心压缩与截面核心
一、偏心压缩
1．构件压力与轴线平行但不重合时，即为偏心压缩。
§9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组合
例9-1 图示起重机的最大吊重G=12kN，材料许用应力[s]=100MPa，试
为AB杆选择适当的工字梁。 FAy
FAx A
M
FC
FCy
FCx C
B
G
_
1.5m
A 2m
C
B
1m G FN
12kN·m
_ 24kN
解：1)作AB杆的受力简图
3)按弯曲正应力预选AB梁W
§9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组合
1．如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分 区域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力 和最大压应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算；。
2．如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略， 则轴向力在横截面上引起附加弯矩DM=Fy亦不能忽 略，这时叠加法不能使用，应考虑横向力与轴向力 之间的相互影响。
3．一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯 曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯 曲切应力。
§9-1 组合变形与叠加原理
二、基本解法(叠加法)
1．叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起
的变形和内力不受彼此影响，可采用代 数相加；
2．基本解法 1)将外力分解或简化：使每一组力只产生一种基本变 形； 2)分别计算各基本变形下的内力与应力； 3)将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面危险点)；
/
az
)
2)特殊情况 a)截面周界有直线段时，对应的压力作用点只是一点；
b)截面周界有棱角时，对应压力作用点为一直线； c)中性轴不能穿过截面，则当截面周界有内凹时，取
中性轴为跨过内凹部分的切线。
§9-3 偏心压缩与截面核心
第九章 组合变形时的强度计算
• §9-1 组合变形与叠加原理 • §9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组合 • §9-3 偏心压缩与截面核心 • §9-4 扭转与弯曲的组合 • 小结
§9-1 组合变形与叠加原理
一、组合变形的概念
1．组合变形：构件同时发生两种以上基本变形
2．分类 1)斜弯曲(两个平面弯曲的组合) 2)拉伸(压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉伸(压缩)； 3)扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩)及弯曲的组合；
中性轴将截面分成两个区，压力F所在区受压，另一 区受拉。在截面周边上，D1和D2两点切线平行于中性 轴，它们是离中性轴最远的点，应力取极值。
§9-3 偏心压缩与截面核心
二、截面核心
1．定义 当压力F作用在截面某个区域内时，整个截面 上只产生压应力，该区域就称为截面核心。
2．研究意义 1)工程中的混凝土柱或砖柱，其抗拉性很差，要 求构件横截面上不出现拉应力； 2)地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离 地基。
4)对危险点进行应力分析(s1≥s2≥s3)；
5)用强度准则进行强度计算。
§9-1 组合变形与叠加原理 二、组合变形工程实例
钻床立柱——压弯组合
§9-1 组合变形与叠加原理 二、组合变形工程实例
吊车臂 ——压弯组合
§9-1 组合变形与叠加原理 二、组合变形工程实例
厂房牛腿 ——偏心压缩
§9-1 组合变形与叠加原理 二、组合变形工程实例
解：1)横截面形心到F距离e
y2 yc
e500 yc mm 2)横截面内力
M Fe FN F
h
e
FN=F
sa
M=Fe
sN
sa'
b
ca F
sb
sb'
y2
yc
§9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组合
3)轴力FN对应的横截面上的应力
s N FN / AF / A(拉)
弯矩M对应的横截面上a、b点的
应力
s
a
q
F
F
y
x
§9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组合
F F
500
z yc
c
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例9-2 图示压力机，最大压力 F=1400kN，
e
FN=F M=Fe
b ca
机架用铸 铁制成：[st]=35MPa， [sc]=140MPa，试校核该压力机立柱
部分强度。立柱截面几何性质：
yc=200mm，h=700mm， A=1.8×105mm2，Iz=8.0×109mm4。 F
My：s
'''
M I
y y
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Fz I
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§9-3 偏心压缩与截面核心
z
zF zB
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3)组合应力(B点)
y
s
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'''
F A
F (1 A
yF
i
2 z
y
zF z
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FyF Iz
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Fz F Iy
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式中：i z2
Iz A
，i
2 y
Iy A
——截面对z、y轴的惯性半径
3．中性轴方程
M
A
0： FFCCxy
1.5G 4 FCy
18kN / 3 24kN
W |M|max /[s ]120cm3
4)查表选W=141cm3，按压弯组合变
2)作AB杆的内力图
形进行校核
C点左截面上，弯矩绝对值最大而轴 力与其它截面相同，故为危险截面。
|s |max
FN MC AW
94.3MPa[s ]
1)利用中性轴处的正应力为零得到
s
F (1 A
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0
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1
——直线方程
§9-3 偏心压缩与截面核心B
A
O y yF
2)中性轴在y、z轴上的截距分别为
y
a
y
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2 z
yF
，az
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2 y
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az D2
ay、az分别与yF、zF符号相反，故中性轴与偏心压力F 的作用点位于截面形心的两侧。
2．横截面任意点的应力
x
Fz
F Mz
My
O
zF e yF
A
1)对于受偏心压缩的短柱，y、z
轴为形心主惯性轴，将F向形 心简化：M y FzF ，M z FyF y ( yF，zF)为F作用点坐标 2)各力在( y，z)点引起的应力为：
F ：s 'F / A
Mz：s
"
M I
z z
y
FyF Iz
y
O
§9-3 偏心压缩与截面核心
3．求截面核心方法
1)基本方法：将截面周界上一系列点的切线作为中性 轴，反求出相应压力F作用点位置，其连线即为截 面核心的周界。
设y、z轴为形心主惯性轴，周界某一点切线为中性
轴时，在y、z轴上的截距分别为ay、az，则压力F作
用点坐标为：
(
y
F
iz2
/
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y
，z
F
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2 y
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Feyc Iz
(
拉
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压)
4)组合应力
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32.3MPa(拉)[s t
s
N
s
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]
53.5MPa(压)[s c ]
立柱符合强度要求
§9-3 偏心压缩与截面核心
一、偏心压缩
1．构件压力与轴线平行但不重合时，即为偏心压缩。