动点路径长专题(含答案)
2023-2024年人教版七年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练(含答案)
2023-2024年人教版七年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练(1) ______， ______(1)若点P 到A 、B 两点的距离都相等，请直接写出点P 对应的数(2)数轴上是否存在点P ，使点P 到点A ，点B 的距离之和为10=a b =(1)___________，___________．(2)若在数轴上有两动点、分别从同时出发向右运动，点的速度为2个单位长度/秒，点的速度为1个单位长度秒，当点在点追上了点，求点对应的数为多少？=a c =P Q A B ，P Q P D Q D(1)写出数轴上点B 表示的数 ；(2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为(1)求出线段的长度；(1)点表示的数为________，点|53|-AB A(1)请直接写出a 、b 、c 的值． ______，设点P 运动时间为t 秒．(1)若M ，N ，P 三点同时出发，=a(1)数轴上点B 表示的数是 ；当点P 运动到(1)则______，______． A =a b =(1)A 点所表示的数是___________，C 点所表示的数是___________；(2)若动点P 从点C 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一动点Q 恰好从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设点P 和点Q 在数轴上的点M 相遇，求点M所表示的数是多少？(3)若动点P 从C 点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，另一动点Q 恰好从A 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，是否存在时间t ，使得P ，Q 到原点的距离相等，并求出此时点P 和点Q 所表示的数．13．如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．(1)线段的长为______．(2)当点与点相遇时，求的值．(3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值．(4)当时，直接写出的值．14．如图，在数轴上点A 、C 、B 表示的数分别是、1、12．动点P 从点A 出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点B 匀速运动；同时，点Q 从点B 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点A 匀速运动，设点Q 的运动时间为t 秒．C AB 3AC =11BC =P A AB 3B Q B BA 2A P Q P t AB P Q t P Q 9t 2.5PC QB +=t 8-(1)的长为________；AB(2)当点P与点Q相遇时，求t的值；(1)点A表示的数为___________，点B表示的数为(1)OA=__________cm，OB=__________cm参考答案：。
初一数学上学期线段中的动点问题专题汇编练习(含答案)
初一数学上学期线段中的动点问题专题汇编练习1.如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t ＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；解：（1）由题意得点B表示的数为－6；点P表示的数为8－5t；（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图）则AC=5，BC=3，∵AC－BC=AB∴5－3="14"解得：=7，∴点P运动7秒时，在点C处追上点Q；（3）没有变化．分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP=AP+BP=(AP+BP)=AB="7"②当点P运动到点B的左侧时：MN=MP－NP= AP－BP=(AP－BP)=AB="7"∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7；2.已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数-26，-10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=______，PC=______．（2）当点P运动到B点时，点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，当点Q开始运动后，请用t的代数式表示P、Q两点间的距离．解：（1）PA=t，PC=36-t；（2）当16≤t≤24时PQ=t-3（t-16）=-2t+48，当24＜t≤28时PQ=3（t-16）-t=2t-48，当28＜t≤30时PQ=72-3（t-16）-t=120-4t，当30＜t≤36时PQ=t-[72-3（t-16）]=4t-120．3.已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为______，点B表示的数为______，点C表示的数为______；（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=______，PC=______；（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．①在点Q向点C运动过程中，能否追上点P？若能，请求出点Q运动几秒追上．②在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．解：（1）点A表示的数为-26，点B表示的数为-10，点C表示的数为10；（2）PA=1×t=t，PC=AC-PA=36-t；（3）①在点Q向点C运动过程中，设点Q运动x秒追上点P，根据题意得3x=1（x+16），解得x=8．答：在点Q向点C运动过程中，能追上点P，点Q运动8秒追上；②分两种情况：Ⅰ）点Q从A点向点C运动时，如果点Q在点P的后面，那么1（x+16）-3x=2，解得x=7，此时点P表示的数是-3；如果点Q在点P的前面，那么3x-1（x+16）=2，解得x=9，此时点P表示的数是-1；Ⅱ）点Q从C点返回到点A时，如果点Q在点P的后面，那么3x+1（x+16）+2=2×36，解得x=13.5，此时点P表示的数是3.5；如果点Q在点P的前面，那么3x+1（x+16）-2=2×36，解得x=14.5，此时点P表示的数是4.5．答：在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能为2个单位，此时点P表示的数分别是-3，-1，3.5，4.5．4.已知数轴上有A、B、C三点表示-24、-10、10，两只电子蚂蚁甲、已分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4单位/秒。
小专题 物体滚动中的圈数或者路线长
小专题(十三) 物体滚动中的圈数或者路线长类型1 直线上的滚动方法归纳：滚动中物体上某点走的路径长，实际上就是弧的长度．因此找准圆心角和半径是解决问题的关键．【例1】 (黄冈中考改编)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，边CD 在直线l 上，将矩形ABCD 沿直线l 作无滑动翻滚，当点A 第一次翻滚到点A 1位置时，求点A 经过的路线长．1．(恩施中考)如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于________．2．如图所示，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC ＝3，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为__________．(结果用含π的式子表示)3．(恩施中考)如图，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成图形的面积为( )＋12＋1 C ．π＋1 D ．π＋124．如图所示，扇形OAB 的圆心角为60°，半径为1，将它向右滚动到扇形O′A′B′的位置，点O 到O′所经过的路线长为( )A ．π π π D ．2π5．如图，边长为2的正六边形ABCDEF 在直线l 上按顺时针方向作无滑动的翻滚．(1)当正六边形绕点F 顺时针旋转________度时，A 落在点A 1位置；(2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，求点A 所经过的路径长．类型2 折线上的滚动方法归纳：转动整数圈时，圆面上的所有点走的路程相同，通常将圆心所走的路程作为突破口解决问题．注意：拐角处，圆心走的路程分类讨论．拐角为钝角时，圆心走的路程是线段＋线段；拐角为锐角时，圆心走的路程为线段＋弧线＋线段．【例2】 如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动滚动，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了( )A ．4圈B ．3圈C ．5圈D ．圈6．如图，⊙P 的半径为r ，正方形ABCD 的边长为2πr ，⊙P 在正方形外部沿正方形的边无滑动地滚动．如果⊙P 从点A 的正上方出发，沿正方形的边无滑动地滚动，⊙P 至少自转________周后再次回到点A 的正上方．7．如图，⊙P 的半径为r ，长方形ABCD 的周长为8πr ，如果⊙P 从点A 的正上方出发，沿长方形的边无滑动地滚动，⊙P 至少自转________周后再次回到点A 的正上方．8．如图，⊙P 的半径为r ，任意四边形ABCD 的周长为8πr ，如果⊙P 从点A 的正上方出发，沿长方形的边无滑动地滚动，⊙P 至少自转________周后再次回到点A 的正上方．9．(芜湖中考)一个小朋友在粗糙不滑动的“Z ”字型平面轨道上滚动一个半径为10 cm 的圆盘，如图所示，AB 与CD 是水平的，BC 与水平面的夹角为60°，其中AB ＝60 cm ，CD ＝40 cm ，BC ＝40 cm ，请你作出该小朋友将圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度．参考答案【例1】 图略，由A″C 1＝32＋42＝5，则AA′︵＝90π×3180＝32π，A′A″︵＝90π×4180＝2π，A″A 1︵＝90π×5180＝52π，则点A 第一次翻滚到点A 1位置时，经过的路线长为AA′︵＋A′A″︵＋A″A 1︵＝32π＋2π＋52π＝6π.1．5π π＋3π 5.(1)60 (2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，点A 所经过的路径长为：l ＝AA 1︵＋A 1A 2︵＝60π·2180＋60π·23180＝2（3＋1）π3. 【例2】 A 9.如图所示，圆盘在滚动过程中圆心经过的路线由四段组成，第一段：线段OO 1，第二段：线段O 1O 2，第三段：O 2到O 3的一段圆弧，第四段：线段O 3O 4.由点O 1分别作O 1E ⊥AB ，O 1F ⊥BC ，可∠O 1BE ＝∠O 1BF ＝60°，在Rt △O 1BE 中，由勾股定理可得BE ＝1033(cm)．所以，OO 1＝AB －BE ＝60－1033(cm)；由BE ＝BF 得，O 1O 2＝BC －BF ＝40－1033(cm)；由∠O 2CO 3＝360°－120°－2×90°＝60°，可求得圆弧O 2O 3的长＝60π×10180＝103π(cm)；O 3O 4＝CD ＝40 cm.所以，圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的长度是(60－1033)＋(40－1033)＋103π＋40＝140－2033＋103π(cm)．。
中考数学重点难点专题练习-第12讲 运动路径长度问题
中考数学重点难点专题练习-第12讲运动路径长度问题想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等Ps强烈建议：如果您之前没有对上述模型进行过学习，建议您先到学科网搜索下载独家精品出版的：《中考数学几何模型能力提升篇》专题系列资料包，您一定可以大有提升！一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论.二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 2【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2 B．2C．D．5【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为．4．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．8．如图，A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），P，C，M按逆时针顺序排列，动点P在线段AB上，∠C＝90°，∠CPM＝30°，请求出当P点从A运动到B点时，点M运动的路径时什么？并求出M点运动路径长度．9．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD 运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段D﹣O﹣C运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）当t＝1秒时，求动点P、Q之间的距离；（2）若动点P、Q之间的距离为4个单位长度，求t的值；（3）若线段PQ的中点为M，在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为．10．（2019秋•江岸区校级月考）如图，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQ＝AD，点M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为．(看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之)11．如图，在四边形ABCD中，∠C＝60°，∠A＝30°，CD＝BC．（1）求∠B+∠D的度数．（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由．（3）若BC＝2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE2＝CE2+BE2，求点E运动路径的长度．12．已知在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝8．（1）如图1，过点O作OE⊥OB，交弧AB于点E，再过点E作EF⊥OA于点F，则FO的长是，∠FEO＝°；（2）如图2，设点P为弧AB上的动点，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，点M，N分别在半径OA，OB上，连接MN，则①求点P运动的路径长是多少？②MN的长度是否是定值？如果是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）中的条件下，若点D是△PMN的外心，直接写出点D运动的路经长．13．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．（1）求∠OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．14．（2019•兴化市模拟）正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥P A交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2 B．1 C．4 D．15．（2019•武汉模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P 向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（）A．πB．πC．πD．π16．如图，BC是⊙O的直径，BC＝4，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON＝120°，△ABC的内心为E点，当点A在上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（）A．B．C．D．17．（2020•河北模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P是边BC上的一个动点，由点B开始运动，运动到C停止．连接AP，以AP为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为Q．则点P从B运动到C的过程中，点Q的运动路径长为（）A．πB．C．D．118．无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．Q（m，n）是直线l上的点，则（2m﹣n+3）2的值等于．19．如图，已知点C是以AB为直径的半圆的中点，D为弧AC上任意一点，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，若AB＝4，则AE的最小值为．20．如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是．21．如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），点P（0，m），将线段P A绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PB，连接AB，OB，则BO+BA的最小值为．22．如图，P为边长为2的正方形ABCD的边BC上一动点，将线段DP绕P逆时针旋转90°得到线段PE （E为D的对应点），M为线段PE的中点，当点P从点C运动到点B的过程中，点M的运动路径长为____________.23．等边△ABC的边长为18，在AC，BC边上各取一点D，E，连接AE，BD相交于点P，若AE＝BD，当D从点A运动到点C时，点P所经过的路径长为．24．（2020•武汉模拟）如图，定直线l经过圆心O，P是半径OA上一动点，AC⊥l于点C，当半径OA绕着点O旋转时，总有OP＝OC，若OA绕点O旋转60°时，P、A两点的运动路径长的比值是．25．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD 于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．26．如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：10.《隐圆模型》11.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”12.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”13.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：14.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上15.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上16.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半17.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例18.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等Ps强烈建议：如果您之前没有对上述模型进行过学习，建议您先到学科网搜索下载独家精品出版的：《中考数学几何模型能力提升篇》专题系列资料包，您一定可以大有提升！一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论.二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【分析】解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》【解析】如图，连接OP，AQ，设⊙O与AB相切于C，连接OC，则OC⊥AB，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，∴＝，∠ABQ＝∠OBP，∴△ABQ∽△OBP，∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，∴AQ＝，又∵点P在弧MN上由点M运动到点N，∴0°≤∠BOP≤90°，∴0°≤∠BAQ≤90°，∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，∴点Q运动的路径长为＝，故选：D．[本题用《主从联动模型》来接替会更快得到结果]【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQ⊥AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，∵∠AFD＝90°，∴点F在以AD为直径的圆上，∴点F运动的路径为，∵弦CD⊥AB且过OB的中点，∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴MQ和ME为中位线，∴MQ＝，∠QME＝60°，∴F运动的路径长度＝＝．故选：A．【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型【解析】连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 2【分析】解题标签：“线段垂直平分线”产生“平行定距型”【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ，QF=22BQ，∴PE+QF=22（CQ+BQ）=22BC=2×22=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=12（PE+QF）=12，即点M到AB的距离为12，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故答案为：C．[或连接OM，CM，点M运动路径为线段OC中垂线]【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【分析】解题标签：“共顶点模型”、“全等或相似转固定角度法确定动点的直线运动”【解析】（1）∵∠ODB＝45°，∠AOB＝90°，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OD＝OB，∵△BDE是等边三角形，∴DE＝BE，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠DEO＝∠BEO，即OE平分∠BED；（2）∵△BOE是等边三角形，∴∠EDB＝60°，∵OB⊥DE，设OD＝x，则OE＝x，∵∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，∴∠DBO＝∠ABD＝∠BAO＝30°，∴BD＝2OD＝2x，AD＝BD＝2x，∵OA＝AD+OD＝3x＝6，解得，x＝2，∴E（0，﹣2）；（3）如图1，在x轴上取点C，使BC＝BA，连接CE，∵∠ABD+∠OBD＝∠CBE+∠OBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAO＝30°，∴当D在OA上滑动时，点E总在与x轴夹角为30°的直线CE上滑动，如图可知，点E运动路径的长度为6．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是8﹣12．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′＝OC＝8，∵AC′∥OB，∴∠AC′O＝∠COB，∴cos∠AC′O＝cos∠COB＝＝，∴＝，∴OC′＝4，∴CC′＝4﹣8；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：8﹣12．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x＝2，∴c＝0，﹣＝2，则b＝﹣4、c＝0，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x；（2）设点B（a，a2﹣4a），∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴点A（2，﹣4），则OA2＝22+42＝20、OB2＝a2+（a2﹣4a）2、AB2＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，①若OB2＝OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a＝2（舍）或a＝，∴B（，﹣），则直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣3，即P（2，﹣3），∴t＝（﹣3+4）÷1＝1；②若AB2＝OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2＝20+a2+（a2﹣4a）2，解得a＝0（舍）或a＝，∴B（，），则直线OB解析式为y＝x，当x＝2时，y＝1，即P（2，1），∴t＝[1﹣（﹣4）]÷1＝5；③若OA2＝AB2+OB2，则20＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，整理，得：a3﹣8a2+21a﹣18＝0，a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18＝0，a2（a﹣3）﹣5a（a﹣3）+6（a﹣3）＝0，（a﹣3）（a2﹣5a+6）＝0，（a﹣3）2（a﹣2）＝0，则a＝3或a＝2（舍），∴B（3，﹣3），∴直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣2，即P（2，﹣2），∴t＝[﹣2﹣（﹣4）]÷1＝2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5．（3）∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t＝1时，如图1，由（2）知∠OAB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B（，﹣），∴M（，﹣）；当t＝5时，如图2，由（2）知，∠AOB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B（，）、A（2，﹣4），∴M（，﹣）；当t＝2时，如图3，由（2）知，∠OBA＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，∵A（2，﹣4），∴M（1，﹣2）；则点M经过的路径长度为＝．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2 B．2C．D．5【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系．设OB＝t，则OA＝5﹣t，∴B（t，0），A（0，5﹣t），∵AP＝PB，∴P（，），令x＝，y＝，消去t得到，y＝﹣x+（0≤x≤），∴点P的运动轨迹是线段HK，H（0，），K（，0），∴点P的运动路径的长为＝，故选：C．【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6．∵点Q（0，2t），P（6-t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x= 代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【分析】解题标签：“主从联动模型”【解析】22；2；4；26【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示，易得点D的运动轨迹的长为=2 π．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴OP＝AB＝1，∵CM＝MP，CK＝OK，∴MK＝OP＝，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，∴点M运动的路径长＝•2•π•＝，故答案为．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4﹣3．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H．∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∠AEP＝∠BFP∵∠A＝∠FPB，∴AH∥PF，同理，BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵M为EF的中点，∴M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，∴QN＝CD＝4﹣3，即M的移动路径长为4﹣3．故答案是：4﹣3．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为5．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H，∵∠A＝∠FPB＝60°，∴AH∥PF，∵∠B＝∠EP A＝60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：54．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【解析】连接BQ，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AP•AQ＝AB2．即＝，而∠BAP＝∠QAB，∴△ABP∽△AQB，∴∠ABQ＝∠APB＝90°，∴BQ为⊙O的切线，点Q运动的路径长为切线长，∵弧AC的度数是60°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAC＝60°，当点P在C点时，∠BAQ＝60°，∴BQ＝AB＝3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．【答案】4【解析】如图所示：过点M作GH⊥AD.∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC.在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM.∴MG=MH.∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2，当点P与点B重合时,∠F2+∠EBF1=90∘,∠BEF1+∠EBF1=90∘，∴∠F2=∠EBF1.∵∠EF1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2.∴，即∴F1F2=8，∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2= F1F2=4.故答案为：4.6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，又∵AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°．∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°．（2）如图1，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP 为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，∴∠AOB＝120°，又∵AB＝2，∴OA＝2，点P的路径是l＝＝＝；（3）如图2，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，∴当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，即点P为△ABC的中心，过B作BE′⊥AC于E′，∴PC＝BE′，∵△ABC是等边三角形，∴BE′＝BC＝3，∴PC＝2．∴CP长度的最小值是2．方法二：由图1可知，CP最小值等于CO减OA，OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为2．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．【答案】【解析】解：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D两点运动到恰好是半圆的三等分点时，AD与BC的相点P是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点E，点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD，∠PAB=∠PBA=30°,连接AE,DE，根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证△ADE是一个等边三角形，∠AED=60°,在Rt△ADO中，∠DOA=90°,∠PAB=30°,AO=1,故AD=,∴AE=AD=,弧APB的长度==。
(中考数学)动点问题专题训练(含答案)
中考专题训练 动点问题例1. 如图， 在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =． 点P 从点B 出发， 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发， 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移， 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时， 点P 与直线m 同时停止运动， 设运动时间为t 秒(0)t >．（1） 当2t =时， 连接DE 、DF ，求证： 四边形AEDF 为菱形；（2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF ∆的面积存在最大值， 当PEF ∆的面积最大时， 求线段BP 的长；（3） 是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t 的值；若不存在， 请说明理由 ．【解答】（1） 证明： 当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点， 如答图 1 所示 ． 又EF AD ⊥ ，EF ∴为AD 的垂直平分线，AE DE ∴=，AF DF =．AB AC = ，AD BC ⊥于点D ，AD BC ∴⊥，B C ∠=∠．//EF BC ∴，AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=，AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形 ．（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽， ∴EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5102EF t =-． 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<< ， ∴当2t =秒时，PEF S ∆存在最大值， 最大值为210cm ，此时36BP t cm ==．（3） 解： 存在 ． 理由如下：①若点E 为直角顶点， 如答图 3①所示，此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =．//PE AD ，∴PE BP AD BD =，即2385t t =，此比例式不成立， 故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示，此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-．//PF AD ，∴PF CP AD CD =，即210385t t -=，解得4017t =；③若点P 为直角顶点，如答图③所示 ．过点E 作EM BC ⊥于点M ，过点F 作FN BC ⊥于点N ，则2EM FN DH t ===，////EM FN AD ．//EM AD ，∴EM BM AD BD =，即285t BM =，解得54BM t =， 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=． 在Rt EMP ∆中， 由勾股定理得：2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=． //FN AD ，∴FN CN AD CD =，即285t CN =，解得54CN t =， 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-． 在Rt FNP ∆中， 由勾股定理得：22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+． 在Rt PEF ∆中， 由勾股定理得：222EF PE PF =+， 即：2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得：21833508t t -=， 解得：280183t =或0t =（舍 去） 280183t ∴=． 综上所述， 当4017t =秒或280183t =秒时，PEF ∆为直角三角形 ．例2. 如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板Rt ABC ∆和Rt ADC ∆拼在一起，使斜边AC 完全重合， 且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，90ABC ADC ∠=∠=︒，30CAD ∠=︒，4AB BC cm ==（1） 填空：AD = )cm ，DC = ()cm（2） 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发， 且分别在AD ，CB 上沿A D →，C B →方向运动， 当N 点运动到B 点时，M 、N 两点同时停止运动， 连接MN ，求当M 、N 点运动了x 秒时， 点N 到AD 的距离 （用 含x 的式子表示）（3） 在 （2） 的条件下， 取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设PMN ∆的面积为2()y cm ，在整个运动过程中，PMN ∆的面积y 存在最大值， 请求出y 的最大值 ．（参考数据sin 75︒=sin15︒=【解答】解： （1）90ABC ∠=︒ ，4AB BC cm ==，AC ∴===，90ADC ∠=︒ ，30CAD ∠=︒，12DC AC ∴==，AD ∴==；故答案为：，；（2） 过点N 作NE AD ⊥于E ，作NF DC ⊥，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE DF =，90ABC ADC ∠=∠=︒ ，AB BC =，30CAD ∠=︒，45ACB ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，180456075NCF ∴∠=︒-︒-︒=︒，15FNC ∠=︒，sinFC FNCNC ∠=，NC x=，FC x∴=，NE DF x∴==+，∴点N到ADx+；（3）sinFN NCFNC ∠=，FN x∴=，P为DC的中点，PD CP∴==PF x∴=PMN∴∆的面积y=梯形MDFN的面积PMD-∆的面积PNF-∆的面积111)) 222x x x x=+-+--+2x x=+，即y是x的二次函数，0<，y∴有最大值，当x==时，y=．例3. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，2BC =，边BC 在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO BD ⊥，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1） 请直接写出线段BC 在平移过程中， 四边形APQD 是什么四边形？（2） 请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；（3） 在平移变换过程中， 设OPB y S ∆=，(02)BP x x =……，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值 ．【解答】（1） 四边形APQD 为平行四边形；（2）OA OP =，OA OP ⊥，理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC PQ ∴==，45ABO OBQ ∠=∠=︒，OQ BD ⊥ ，45PQO ∴∠=︒，45ABO OBQ PQO ∴∠=∠=∠=︒，OB OQ ∴=，在AOB ∆和OPQ ∆中，AB PQABO PQO BO QO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB POQ SAS ∴∆≅∆，OA OP ∴=，AOB POQ ∠=∠，90AOP BOQ ∴∠=∠=︒，OA OP ∴⊥；（3） 如图， 过O 作OE BC ⊥于E ．①如图 1 ，当P 点在B 点右侧时，则2BQ x =+，22x OE +=， 1222x y x +∴=⨯，即211(1)44y x =+-， 又02x ……，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ；②如图 2 ，当P 点在B 点左侧时，则2BQ x =-，22x OE -=， 1222x y x -∴=⨯ ，即211(1)44y x =--+， 又02x ……，∴当1x =时，y 有最大值为14； 综上所述，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ．例4. 如图， 在平面直角坐标系中，O 为原点， 四边形ABCO 是矩形， 点A ，C 的坐标分别是(0,2)A 和C ，0)，点D 是对角线AC 上一动点 （不 与A ，C 重合） ，连结BD ，作DE DB ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1） 填空： 点B 的坐标为 ；（2） 是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在， 请求出AD 的长度；若不存在， 请说明理由；（3）①求证：DE DB =； ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式 （可 利用①的结论） ，并求出y 的最小值 ．【解答】解： （1） 四边形AOCB 是矩形，2BC OA ∴==，OC AB ==90BCO BAO ∠=∠=︒，B ∴2)．故答案为2)．（2） 存在 ． 理由如下：2OA = ，OC =，tan AO ACO OC ∠== ， 30ACO ∴∠=︒，60ACB ∠=︒①如图 1 中， 当E 在线段CO 上时，DEC ∆是等腰三角形， 观察图象可知， 只有ED EC =，30DCE EDC ∴∠=∠=︒，60DBC BCD ∴∠=∠=︒，DBC ∴∆是等边三角形，2DC BC ∴==，在Rt AOC ∆中，30ACO ∠=︒ ，2OA =，24AC AO ∴==，422AD AC CD ∴=-=-=．∴当2AD =时，DEC ∆是等腰三角形 ．②如图 2 中， 当E 在OC 的延长线上时，DCE ∆是等腰三角形， 只有CD CE =，15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒，75ABD ADB ∴∠=∠=︒，AB AD ∴==，综上所述， 满足条件的AD 的值为 2 或（3）①如图 1 ，过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ，交OC 于N ，(0,2)A 和C ，0)，∴直线AC 的解析式为2y x =+，设(,2)D a +，2DN ∴=+，BM a =90BDE ∠=︒ ，90BDM NDE ∴∠+∠=︒，90BDM DBM ∠+∠=︒，DBM EDN ∴∠=∠，90BMD DNE ∠=∠=︒ ，BMD DNE ∴∆∆∽，∴DE DN BD BM ===②如图 2 中， 作DH AB ⊥于H ．在Rt ADH ∆中，AD x = ，30DAH ACO ∠=∠=︒，1122DH AD x ∴==，AH x ==，BH x ∴=， 在Rt BDH ∆中，BD ==，DE ∴==， ∴矩形BDEF的面积为22612)y x x ==-+，即2y x =-+，23)y x ∴=-+，0>，3x ∴=时，y ．例5. 已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图 1 ，连接BC ．（1） 填空：OBC ∠= 60 ︒；（2） 如图 1 ，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3） 如图 2 ，点M ，N 同时从点O 出发， 在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点M 的运动速度为 1.5 单位/秒， 点N 的运动速度为 1 单位/秒， 设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【解答】解： （1） 由旋转性质可知：OB OC =，60BOC ∠=︒，OBC ∴∆是等边三角形，60OBC ∴∠=︒．故答案为 60 ．（2） 如图 1 中，4OB = ，30ABO ∠=︒，122OA OB ∴==，AB ==11222AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=BOC ∆ 是等边三角形，60OBC ∴∠=︒，90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，AC ∴==2AOC S OP AC ∆∴===．（3）①当803x <…时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则sin 60NE ON x =︒= ，11 1.522OMN S OM NE x x ∆∴==⨯ ，2y x ∴=．83x ∴=时，y 有最大值， 最大值=． ②当843x <…时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动 ．作MH OB ⊥于H ． 则8 1.5BM x =-，sin 60 1.5)MH BM x =︒=- ，212y ON MH x ∴=⨯⨯=+．当83x =时，y 取最大值，y < ③当4 4.8x <…时，M 、N 都在BC 上运动， 作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==，12y MN OG ∴== ，当4x =时，y 有最大值， 最大值=，综上所述，y 有最大值， ．。
中考数学：点动产生路径长问题
点动产生的路径长问题近几年中考，和我们同学做的中考模拟试卷中，不断的出现了因动点计算路径长问题，这种题型因为隐藏的比较深，从而难以发现，计算比较繁琐。
在填空题选择题中比较多。
只要同学们在做题的过程中发现是这种题型，那么点所经过的路径一般就是就是两种结果。
一是线段。
二是圆弧。
为什么呢？因为只有这两图形是可以计算路径长的。
其它图形我们目前能计算路径长吗。
哈哈，这样解释印象有没有很深。
下面我们来看看我们会碰到的几种题型。
题型1：简单的图形翻转问题。
解法：这种题型比较简单。
只要找出旋转圆心，旋转时圆的半径，还有圆心角就可以了，然后利用扇形的弧长计算公式来计算。
注意，如果是圆弧旋转的话，圆心的路径是直线。
例题1：一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为___________试题分析：现将木板沿水平线翻滚， B点从开始至结束走过了4条弧，每条弧是一等边三角形的边为半径的扇形，圆心角为等边三角形的内角，所以 B点从开始至结束所走过的路程长度=4l=点评：本题考查扇形的弧长公式，关键是找出扇形的圆心角和半径，考查学生的空间想象能力例题2：矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是例题3：将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A’O’B’处，则顶点O经过的路线长为。
例题4：如图，一个圆心角为270°，半径为2m的扇形工件，未搬动前如图所示，A，B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是m．（结果保留π）例题5：已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m。
数学专题：动点轨迹长度问题
一、直线型：
【特殊型变一般型】
变式2：如图，等腰Rt∆ABC中，斜边AB的长为2，O为AC上的
动点，过点O作OP⊥AB交AB于点P，过点P作PQ∥AC交BC于
点Q，连接OQ，M为OQ的中点，当点O从点A运动到点C时，
点M所经过的路线长为
。
一、直线型：
【变2：解法分析】
转化中点，由题意可得四边形ODQC为矩形，则OQ的中点也是 DC的中点，点M所经过的路线长= 1 点D所经过的路线长. 那如何求点D所经过的路线长呢？ 2
10 4
.
一、直线型：
【往返型轨迹】
变式3：如图，等腰Rt∆ABC中，斜边AB的长为2，O为AB上的
动点，连接OC将点C绕着点O逆时钟旋转45°交AB于点P，线段
BP的中点为点M，当点O从点A运动到点B时，点M所经过的路
线长为
。
一、直线型： 【变3：解法分析】
由一线三等角模型可得，∆AOC∽∆BPO,
1 OM=CM= 2 PQ，可知点M在线段OC的垂直平分线上，即点M 的轨迹为直线（OC的垂直平分线）一部分。
一、直线型：
【解法分析】 （2）确定始末点：连接OC易证∆APO≌∆CQO（ASA）， 则可得OP=OQ，即∆POQ为等腰直角三角形。 易确定始末两点分别是AC,BC的中点， 即点M的轨迹长度= 1 AB=1。
在等边三角形ABC中，PC为AB边上的高，所以PC= 3a，在
2
⊿OPC中，根据三角形三边关系，OC ≤ OP+PC
所以OC的长的最大值为 1 a + 3a，
2
2
二、圆弧型：
变式练习：如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在
边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，
正方形的动点问题 含答案
专题1.21正方形的动点问题（专项练习）一、单选题1．如图，在正方形ABCD 中，2,AB P =是AD 边上的动点，PE AC ⊥于点,E PF BD ⊥于点F ，则PE PF +的值为（）A ．4B ．CD ．22．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且6EF =，M 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则CP PM +的最小值是（）A ．10B ．3-C ．3D ．5+3．如图，动点M 在边长为2的正方形ABCD 内，且AM BM ⊥，P 是CD 边上的一个动点，E 是AD 边的中点，则线段PE PM +的最小值为（）A 1-B 1+CD 1+二、填空题4．如图，已知2AB =，点D 是等腰Rt ABC ∆斜边AC 上的一动点，以BD 为一边向右下方作正方形BDEF ，当动点D 由点A 运动到点C 时，则动点F 运动的路径长为______.5．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，点P 是边BC 上的动点，点Q 是对角线AC 上的动点（包括端点A 、C ），则EP ＋PQ 的最小值是_________．6．如图，已知正方形ABCD 的边长是1，点E 是CD 边上的中点.P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A B C E →→→运动，到达点E .若点P 经过的路程为自变量x ，APE ∆的面积为因变量y ，则当15y =时，x 的值等于_________．7．已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点，P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A B C D →→→运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，则当y ＝13时，x 的值等于_____________．8．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ．点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，CG ，则DCG ∠=________度，运动变化过程中，GH 的最小值为________．9．如图，在正方形ABCD 中，AB =，点P 为边AB 上一个动点（不与A ，B 重合），过点A ，P 在正方形内部作正方形APEF ，交边AD 于F 点，连接DE ，EC ，当CDE △为等腰三角形时，AP =__________．10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一个动点，点F 是CD 边上一个动点，且AE ＝CF ，过点B 作BG ⊥EF 于点G ，连接AG ，则AG 长的最小值是_____．11．如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，作PN CD ⊥于点N ，连接BP ，BN．若3AB =，BP =，则BN 的长为_________．12．如图，正方形ABCD 的边长是9，点E 是AB 边上的一个动点，点F 是CD 边上一点，4CF =，连接EF ，把正方形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在点A '，D ¢处，当点D ¢落在线段BC 上时，线段AE 的长为__________．三、解答题13．（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．（2）如图2，在正方形ABCD 中，如果点E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF 、BE 、DF 之间数量关系是什么？请写出证明过程．（3）如图1，若正方形ABCD 的边长为6，35AE =AF 的长．14．如图，已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 的中点，P 为正方形边上的一个动点，动点P 从A 出发沿A B C E ⇒⇒⇒运动，最终到达点E ，若点P 经过的路程AP x =，APE 的面积记为y ，问当x 等于何值时，y 的值等于13？15．如图，正方形ABCD 中，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF ，连接DE ，连接BG 并延长交DE 于H ．()1求证：BGC DEC ∠=∠．()2若正方形ABCD 的边长为1，试问当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？16．如图，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC ==，点D 为边BC 上一动点，四边形ADEG 是正方形，连接GC ，正方形对角线AE 交BC 于点F ．（1）求证：ABD ACG △≌△；（2）若4BD =，求AE 的值；（3）若5DF =，求BD 的值．17．已知：正方形ABCD 的对角线交于点O ，E 是线段OC 上的一动点，过点A 作AG BE ⊥交G ，交BD 于F ．（1）若动点E 在线段OC 上（不含端点），如图（1），求证：OF OE =；（2）若动点E 在线段OC 的延长线上，如图（2），试判断OEF 的形状，并说明理由．18．（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 边上的动点，且∠EAF ＝45°，求证：EF ＝DF+BE ．（2）如图2，在正方形ABCD 中，如果点E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的动点，且∠EAF ＝45°，则EF 、BE 、DF 之间数量关系是什么？请写出证明过程．（3）如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE ＝AF 的长．19．如图所示，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，CD 上的两个动点，且AE DF =，BE 交AF 于点H ，2AB =，连DH .求证：AF BE ⊥.20．已知，如图所示，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点H .（1）求证：①BCG ∆≌△DCE .②BH DE ⊥.（2）当BH 平分DE 时，求GC 的长.21．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ADEB 和正方形BCFH ．（1）当BC m =时，正方形BCFH 的周长=_______（用含m 的代数式表示）；（2）连接CE ．试说明：三角形BEC 的面积等于正方形BCFH 面积的一半．（3）已知2AC BC ==，且点P 是线段DE 上的动点，点Q 是线段BC 上的动点，当P 点和Q 点在移动过程中，APQ ∆的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．22．如图，,M N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足,,CM DN AC BM =相交于点,E DE 与AN 相交于点F ，连接CF ．（1）求证：DE AN ⊥；（2）若正方形ABCD 的边长为4，求CF 的最小值．23．已知正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别是OB 、OC 上的动点，（1）如果动点E 、F 满足BE=CF （如图）：①写出所有以点E 或F 为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；②证明：AE ⊥BF ；（2）如果动点E 、F 满足BE=OF （如图），问当AE ⊥BF 时，点E 在什么位置，并证明你的结论．24．在正方形ABCD中，点E是边CD的中点，点M是对角线AC上的动点，连接ME，⊥交正方形的边于点F；过点M作MF ME（1）当点F在边BC上时，①判断ME与MF的数量关系；∠=∠时，判断点M的位置；②当AEM DFM（2）若正方形的边长为2，请直接写出点F在BC边上时，AM的取值范围.参考答案1．C【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA ⊥OD ，对角线平分一组对角可得∠OAD=45°，然后求出四边形OEPF 为矩形，△AEP 是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF=OE ，根据等腰直角三角形的性质可得PE=AE ，从而得到PE+PF=OA ，然后根据正方形的性质解答即可．解：在正方形ABCD 中，OA ⊥OB ，∠OAD=45°，∵PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，∴四边形OEPF 为矩形，△AEP 是等腰直角三角形，∴PF=OE ，PE=AE ，∴PE+PF=AE+OE=OA ，∵正方形ABCD 的边长为2，∴11.22===OA AC 故选：C【点拨】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质求出PE+PF=OA 是解题的关键．2．B【分析】延长CD 到C′，使C′D ＝CD ，CP ＋PM ＝C′P ＋PM ，当C′，P ，N 三点共线时，C′P ＋PM 的值最小，根据题意，点M 的轨迹是以B 为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M 距离的最小值C′M ＝C′B−3，根据勾股定理即可得到结论．【详解】延长CD 到C′，使C′D ＝CD ，CP ＋PM ＝C′P ＋PM ，当C′，P ，M 三点共线时，C′P ＋PM 的值最小，根据题意，点M 的轨迹是以B 为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M 距离的最小值C′M ＝C′B−3，∵BC ＝CD ＝8，∴CC′＝16，∴C′B ==∴CP＋PM的最小值是−3，故选B．【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．3．A【分析】作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE＋PM的最小值为OE'的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．解答：解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝12AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE ＝12AD ＝12×2＝1，∵点E 与点E '关于DC 对称，∴DE '＝DE ＝1，PE ＝PE '，∴AE '＝AD ＋DE '＝2＋1＝3，在Rt △AOE '中，OE '，∴线段PE ＋PM 的最小值为：PE ＋PM＝PE '＋PM＝ME '＝OE '−OM−1．故选：A ．【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．4．【分析】连接CF ，根据题意先证出BAD BCF ∆≅∆，然后得出AD CF =，所以点F 运动的路径长度即为点D 从A 到C 的运动路径，继而得出结论【详解】连接CF ，∵2AB =，ABC ∆是等腰直角三角形，∴AC =∠ABC=90°∵四边形BDEF 是正方形∴BD=BF ，∠DBF=∠ABC=90°，∴∠ABD=∠CBF,在△DAP 与△BAP 中AB BC ABD CBF BD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD BCF∆≅∆，∴AD CF=，点F运动的路径长度即为点D从A到C的运动路径,为22CF=.故答案为22【点拨】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．5．32【解析】试题解析：如图作点E关于BC的对称点E′，作E′Q′⊥AC于Q′交BC于P．∴PE=PE′，∴PQ+PE=PE′+PQ，当Q用Q′重合时，PE+PQ最小（垂线段最短），∵四边形ABCD是正方形，∴∠E′AQ′=45°，∵AE′=6，∴2∴PE+PQ的最小值为2．6．25或115或2110【解析】【分析】经过分析，点P 只有在AB 边，或者BC 边上，或DC 边上时，才有y=15.根据P 点的位置，由三角形面积公式表达出分段函数，在分段函数中，已知y 的值，求x ．【详解】经过分析，点P 只有在AB 边，或者BC 边上，或DC 边上时，才有y=15，当点P 在AB 边上时，y=12•x•1=15，解得x=25，当点P 在BC 边上时，如图所示，y=12•（1+12）•1-12•（x-1）•1-12•12•（2-x ）=15，解得x=115；当点P 在DC 边上时，y=12×（1+1+12-x ）×1=15，解得：x=2110，综上所述，当y=15时，x 的值等于25或115或2110，故答案为：25或115或2110【点拨】此题考查了由动点的运动变化来列函数关系式，应注意自变量的变化范围分段来列．7．23或53【分析】根据P 点的运动轨迹，分析出当P 在AB 或BC 上均有可能，再根据APE ∆的面积为13分类讨论计算即可．【详解】（1）当P 在AB 上时，如图：11123y x ==∴23x =（2）当P 在BC 上时，如图：()()11111111112222223ABP EDC y S S S x x ∆∆⎛⎫=--=+--⋅--= ⎪⎝⎭ 梯ABCE ∴53x =故答案为：23或53【点拨】本题考查动点问题与三角形面积求算，不规则图形面积求算通常采用割补法，同时注意分类讨论．8．45°2【分析】连接CG ．证明△ADE ≌△CDG （SAS ），推出∠DCG=∠DAE=45°，推出点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH ⊥CG 时，GH 的值最小．解：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形，四边形DEFG 是正方形，∴DA=DC ，DE=DG ，∠ADC=∠EDG=90°，∠DAC=45°，∴∠ADE=∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴∠DCG=∠DAE=45°，∴点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH ⊥CG 时，GH 的值最小，∵DH=23CD=2，∴CH=CD-DH=3-2=1，∴最小值=CH•sin45°=1×2222=．故答案为：45°；2．【点拨】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答．91或2【分析】分三种情形进行讨论：①当CE CD =时；②当CE DE =时；③当CD DE =时，E 与A 重合，不符合题意．然后根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE 即可解决问题．解：如图所示，连接AE∵四边形ABCD 和四边形APEF 都是正方形，且P 在AB 上，F 在AD 上∴∠CAB =∠EAB =∠DCE =45°，AB =BC ，AP =PE∴A ，E ，C 三点共线①当CE CD ==2AC ==，2AE AC CE =-=，2AE ==-1AP ==；②当CE DE =时，∵CE DE=∴∠CDE =∠DCE =45°∴∠DEC=90°∴CD ==∴1CE DE ==∵2AC ==∴1AE AC EC =-=，1AE ==∴22AP =；③当CD DE =时，E 与A 重合，不符合题意．综上所述，当CDE △为等腰三角形时，1AP =或2．1-或22．【点拨】本题考查正方形的性质，等腰三角形的定义，二次根式的运算，解题的关键是灵活运用相关知识点进行解题．10【分析】设正方形的中心为O ，可证EF 经过O 点．连结OB ，取OB 中点M ，连结MA ，MG ，则MA ，MG 为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．解：设正方形的中心为O ，可证EF 经过O 点．连结OB ，取OB 中点M ，连结MA ，MG ，则MA ，MG 为定长，过点M 作MH ⊥AB 于H ．则MH=BH=1，AH=3，由勾股定理可得，MG=12，∵，当A，M，G三点共线时，AG最小．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．11【分析】延长NP交AB于H．易知AH=PH，设AH=PH=x，则BH=3-x，在Rt△PBH中，根据PB2=PH2+BH2，可得x2+（3-x）2=2，推出x=1或2，接下来分两种情形分别求出BN即可．解：延长NP交AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，AB∥CD，∵PN⊥CD，∴PN⊥AB，∴∠HAP=∠HPA=45°，∴AH=PH，设AH=PH=x，则BH=3-x，在Rt△PBH中，∵PB2=PH2+BH2，∴x2+（3-x）2=）2，∴x=1或2，当x=1时，BH=CN=2，在Rt△BCN中，==，当x=2时，BH=CN=1，在Rt△BCN中，==．综上所述，BN或．或．【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．12．2【分析】当D'落在线段BC上时，连接ED、ED'、DD'，由折叠性质可知D'和D关于EF对称，即EF垂直平分DD'，得出D E=D'E.求出DF=D'F=CD-CF=5，3CD'==.得出BD'=BC-CD'=6，设AE=x，则BE=9-x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理列方程解答即可．【详解】解：当D落在线段BC上时，如图1:连接ED、E D'.、DD'由折叠性质可知，D'和D关于EF对称，即EF垂直平分DD'.∴DE=D'E，∵正方形ABCD的边长是9，∴AB=BC=CD=AD=9.∵CF=4，∴DF=D'F=CD-CF=9-4=5CD'==∴3∴BD'=BC-CD'=6设AE=x，则BE=9-x，在Rt△AED和Rt△BED'中.由勾股定理得：2222222222DE AD AE x D E BE BD x9,(9)6''=+=+=+=-+92+x2=（9-x）2+62，解得：x=2，即AE=2．【点拨】本题主要考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；掌握折叠变换的性质和利用勾股定理列方程是解答本题的关键．13．（1）见解析；（2）EF DF BE =-；证明见解析；（3）AF =．【分析】（1）把 ABE 绕点A 顺时针旋转90°至 ADG ，由“SAS”可证 EAF ≌ GAF ，可得出EF ＝FG ，则结论得证；（2）将 ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADM ，根据SAS 可证明 EAF ≌ MAF ，可得EF ＝FM ，则结论得证；（3）由全等三角形的性质可得AE ＝AG ＝EF ＝FG ，BE ＝DG ，由勾股定理可求DG 的长，FD 的长，AF 的长．（1）证明：把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，如图1，∴BAE DAG ∠=∠，AE AG =，∵45EAF ∠=︒，∴45BAE FAD ∠+∠=︒，∴45DAG FAD ∠+∠=︒，∴EAF FAG ∠=∠，∵AF AF =，∴()△△≌EAF GAF SAS ，∴EF FG DF DG ==+，∴EF DF BE =+；（2）结论：EF DF BE =-；证明：如图2，将ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADM ，∴EAB MAD ∠=∠，AE AM =，90EAM =︒∠，BE DM =，∴45FAM EAF ∠=︒=∠，∵AF AF =，∴()△△≌EAF MAF SAS ，∴EF FM DF DM DF BE ==-=-；（3）解：由（1）可知AE AG ==∵正方形ABCD 的边长为6，∴6DC BC AD ===，∴3DG ==．∴3BE DG ==，∴633CE BC BE =-=-=，设DF x =，则3EF DG x ==+，6CF x =-，在Rt EFC △中，∵222+=CF CE EF ，∴222(6)3(3)x x -+=+，解得：2x =．∴2DF =，∴AF ===．【点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．14．当23x =或53x =时，APE 的面积为13【分析】利用面积公式求解即可.解：由题意可知：当动点P 从A 运动到B 时，111122ABE S =⨯⨯= ，当动点P 从B 运动到C 时，1111224ACE S =⨯⨯= ，由于111432<<，因此满足题意的点P 的位置只有两种情况①当01x <<时，即点P 在AB 边上运动时，如图a ，此时AP x =，11122APE S y x x ==⨯⨯= ，当13y =时，解得：()263x =②当12x <<时，即点P 在BC 边上运动，如图b ，此时折线1BP x =-，2PC x =-，()()1111311112222444APE ABP PEC ADE ABCD S y S S S S x x x ==---=--⨯--⨯-=- 正方形当13y =时，解得：53x =综上所述，当23x =或53x =时，APE 的面积为13【点拨】找出临界点是解题的关键.15．（1）证明见解析（2）当21CG =时，BH 垂直平分DE【分析】（1）根据正方形的边的性质和直角可通过SAS 判定△BCG ≌△DCE ，从而利用全等的性质得到∠BGC=∠DEC ；（2）连接BD ，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE ，从而找到2，2-1，根据全等三角形的性质求解即可．解：()1证明：∵四边形ABCD 、GCEF 都是正方形，∴BC DC =，90BCG DCE ∠=∠= ，GC EC=∴BCG DCE ≅∴()2BGC DEC ∠=∠连接BD如果BH 垂直平分DE ，则有BD BE=∵1BC CD ==，∴2BD =∴21CE BE BC =-=-∴21CG CE ==即当21CG =-时，BH 垂直平分DE ．【点拨】本题考查了全等三角形与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质.16．（1）见详解；（2）45（3）3或4【分析】（1）根据同角的余角相等，证明BAD CAG ∠=∠，然后根据正方形的性质，得出边相等，由三角形全等的判定条件SAS 即可证明（2）由（1）中全等的性质以及勾股定理求出DG 的长，根据正方形的性质：对角线相等即可求解（3）根据SAS 证明DAF GAF △≌△，然后根据全等的性质，在直角△GFC 根据勾股定理即可求解（1）证明： 四边形ADEG 是正方形AD AG ∴=，90DAG =︒∠90BAC ∠=︒BAC DAG∴∠=∠BAD DAC DAC CAG∴∠+∠=∠+∠BAD CAG∴∠=∠在ABD △和ACG 中AB AC BAD CAG AD AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACG∴△△≌故答案为ABD ACG△≌△（2）90BAC ∠=︒ ，62AB AC ==，45B ACB ∴∠=∠=︒在Rt ABC △中22BC AB AC ∴=+=22(62)(62)12+=4BD = 1248DC BC BD ∴=-=-=由（1）知ABD ACG △≌△，4GC BD ∴==，45ACG B ∠=∠=︒454590ACB ACG ∴∠+∠=︒+︒=︒连接DG在Rt DCG △中22228445DG DC CG =+=+= 四边形ADEG 是正方形AE DG∴=45AE ∴=故答案为5（3）如图所示，连接FG四边形ADEG 是正方形AD DE ∴=，90ADE ∠=︒45DAE AED ∴∠=∠=︒90BAC ∠=︒BAD FAC BAC ∴∠+∠=∠-904545DAE ∠=︒-︒=︒由（1）知ABD ACG △≌△，BAD CAG ∴∠=∠，AD AG =，BD GC=45CAG FAC BAD FAC ∴∠+∠=∠+∠=︒45FAG ∴∠=︒FAG FAD∴∠=∠在DAF △和GAF 中AF AF FAG FAD AG AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)DAF GAF ∴△≌△GF DF∴=5DF = 5GF ∴=设BD x =，则1257FC x x=--=-由（2）知90FCG ∠=︒在Rt FCG △中222GC FC FG +=222(7)5x x ∴+-=13x ∴=，24x =BD ∴的值为3或4．故答案为3或4【点拨】本题主要考察三角形全等的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键17．（1）见解析（2）△OEF 为等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）利用正方形的性质得OA ＝OB ，∠AOB ＝∠BOC ＝90°，则利用等角的余角相等得到∠GAE ＝∠OBE ，则可根据“ASA ”判断 AOF ≌ BOE ，从而得到OF ＝OE ；（2）同样方法证明△AOF ≌△BOE ，仍然得到OF ＝OE ，再结合90BOC ∠=°即可判定OEF 是等腰直角三角形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴OA OB =，AOB BOC∠=∠90=︒，∴∠OBE +∠OEG ＝90°，∵AG BE ⊥于点G ，∴90AGE ∠=︒，∴∠OAF +∠OEG ＝90°，∴GAE OBE ∠=∠，在AOF 和BOE △中，AOF BOE AO BO OAF OBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AOF BOE ASA △△≌，∴OF OE =；（2）解：OEF 是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴OA OB =，AOB BOC∠=∠90=︒，∴∠OBE +∠OEG ＝90°，∵AG BE ⊥于点G ，∴90AGE ∠=︒，∴∠OAF +∠OEG ＝90°，∴GAE OBE ∠=∠，在AOF 和BOE △中，AOF BOE AO BO OAF OBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AOF BOE ASA △△≌∴OF OE =；又∵90BOC ∠=°，∴OEF 是等腰直角三角形．【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意证得AOF BOE ≌△△是解此题的关键．18．（1）见解析；（2）EF ＝DF ﹣BE ，见解析；（3）【分析】（1）把△ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADG ，由“SAS”可证△EAF ≌△GAF ，可得出EF ＝FG ，则结论得证；（2）将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADM ，根据SAS 可证明△EAF ≌△MAF ，可得EF ＝FM ，则结论得证；（3）由全等三角形的性质可得AE ＝AG＝，EF ＝FG ，BE ＝DG ，由勾股定理可求DG 的长，FD 的长，AF 的长．【详解】（1）把△ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADG ，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；（3）如图，由（1）可得AE＝AG＝，EF＝FG，BE＝DG，=，∵DG3∴BE＝DG＝3，∴EC＝BC﹣BE＝3，∵EF2＝EC2+CF2，∴（DF+3）2＝9+（6﹣DF）2，∴DF＝2，∴AF＝＝．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转等知识，此题为半角模型，∠EAF是∠BAD的一半，故命名半角模型，半角模型必旋转，再证全等即可．19．见解析【分析】根据正方形性质可得AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又根据AE=DF，利用SAS可证得△ABE≌△DAF，于是∠ABE=∠DAF；由于∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，从而∠AHB=90°，于是证得结论证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又∵AE=DF，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE=∠DAF.∴∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AF⊥BE.【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质.掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．20．（1）①见详解；②见详解；（2）1-【分析】①根据正方形确定BC=DC,CE=CG及∠BCD=∠ECG=900，即可证明全等；②根据（1）的全等得出∠BGC=∠DEC，再根据∠BGC+∠CBG=900，即可证得⊥BH DE（2）根据勾股定理求出线段BD的长，然后利用三角形全等证出BE=BD,再由BE-BC求出CE即CG的长.【详解】（1）①∵四边形ABCD与四边形GCEF均为正方形，∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=900，∆≌△DCE∴BCG∆≌△DCE,②∵BCG∴∠BGC=∠DEC,∵∠BGC+∠CBG=900，∴∠DEC+∠CGB=900∴∠BHE=900⊥即BH DE(2)连接BD，∵四边形ABCD是正方形，边长为1，∴AB=AD=1，∠A=900，∴BD===∵BH平分DE，BH⊥DE，∴DH=EH,∠BHD=∠BHE,又∵BH=BH∴△BHD≌△BHE,∴,∴1.【点拨】此题考察正方形的性质运用，②中的垂直应有效利用①中全等的结论去证明，（2）中连接BD利用全等求得BE是解题的关键.21．（1）4m；（2）证明见解析；（3）△APQ的周长的最小值为【分析】（1）直接由正方形的性质得出答案即可；（2）连接AH，证明△BHA≌△BCE，利用△BHA的面积=△BCE的面积得出结论；（3）作点A关于DE的对称点A′，点A关于BC的对称点F，利用对称的性质得出△APQ 的周长的最小值为A′F，进一步求得问题即可．【详解】（1）∵四边形BCFH是正方形，∴BC=BH=FH=CF，∴当BC=m时，正方形BCFH的周长为4m，故答案为：4m；（2）如图1，连接AH，在△BHA和△BCE中，AB BE CBE ABH BC BH ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△BHA ≌△BCE （SAS ），∵AF ∥BH ，∴BH 边上的高=正方形BCFH 的边∴△BHA 的面积等于12正方形BCFH 的面积．∴△AEC 的面积等于12正方形BCFH 的面积；（3）△APQ 的周长存在最小值．如图2，作点A 关于DE 的对称点A∴AP=A′P∵点A 关于BC 的对称点F ，∴AQ=QF ，∴△APQ 的周长的最小值为A′F ，过A′作A′M ⊥FA 交FA 的延长线于M ，∵2AC BC ==，90ACB ∠=︒∴∠BAC=45°，AB=2∴∠A′AM=45°,，∴△AA′M 为等腰直角三角形，，∴MA=MA′=4，∴MF=8，∴A′F=222284MF A M '+=+=45，∴△APQ 的周长的最小值为45．【点拨】此题综合考查正方形的性质，对称的性质，勾股定理的运用以及利用对称性求最短距离的问题，对于求最短距离的问题体现了建模思想的运用，注意辅助线的作法．22．（1）证明见解析；（2）CF 的最小值252-．【分析】（1）由正方形的四边相等，四个直角性质，证明()BCM ADN SAS ≌，再根据全等三角形的对应角相等，整理，证明()BCE DCE SAS ≌，最后整理出25∠∠、的数量关系即可；（2）取AD 中点P ，连接PF ，由（1）中结论，计算FP 的长，在Rt CPD △中，利用勾股定理求得CP 的长，最后根据三角形三边关系：两边之和大于第三边解题即可．（1）证明：ABCD 是正方形，90BC AD BCD ADC ∴∠∠︒＝，＝＝()CM DN BCM ADN SAS ∴ ＝，≌．12∴∠∠＝又345ACD CE CE∠∠︒＝＝，＝()BCE DCE SAS ∴ ≌1424∴∠∠∴∠∠＝．＝．251590∴∠+∠∠+∠︒＝＝．DE AN ∴⊥．（2）取AD 中点P ，连接PF由（1），得122FP AD =＝在Rt CPD △中，由勾股定理，得224225CP =+=2+≥∴≥，CF FP CP CF∴CF的最小值2-．【点拨】本题考查几何综合，其中涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．23．（1）①△ABE≌△BCF,△AOE≌△BOF,△ABF≌△DEA②见解析（2）见解析（1）①根据正方形性质及BE=CF即可得出全等的三角形，②根据全等三角形及正方形的性质即可得出结论．（2）根据正方形性质及已知条件由ASA得出△ABE≌△BCF，即可由等量代换得证．（1）①△ABE≌△BCF,△AOE≌△BOF,△ABF≌△DEA②证明：如图，延长AE交BF于点M，∵ABCD是正方形，∴AB＝BC,∠BCF＝∠ABE．∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴∠CBF＝∠BAE∵∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°，∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE＝90°．∴∠AMB＝90°．∴AE⊥BF．（2）点E是OB的中点．证明如下：∵ABCD是正方形，∴AB＝BC,∠BCF＝∠ABE．∵AE⊥BF，∴∠AMB＝90°．∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE＝90°．∴∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°．∴∠CBF＝∠BAE．∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴BE＝CF．∵BE＝OF，∴CF＝OF．又∵OB＝OC，∴BE=OE．∴点E是OB的中点．24．（1）①ME MF =，理由详见解析；②点M 位于正方形两条对角线的交点处（或AC 中点出），理由详见解析；（2）23222AM <<【分析】(1)①过点M 作MG CD ⊥于点G ，MH BC ⊥于点H ,通过证,MFH MGE ∆∆≌可得ME=MF ；②点M 位于正方形两条对角线的交点处时，,AE DF MFD MAE =∆∆≌，可得AEM DFM ∠=∠；（2）当点F 分别与B 重合时处和端点C 处时，可得M 的位置，进而得出AM 的取值范围．解：（1）ME MF =．理由是：过点M 作MG CD ⊥于点G ，MH BC ⊥于点H在正方形ABCD 中，90BCD ∠=︒45,ACD BCA ∠=∠=︒MH HC∴=∴矩形MHCG 为正方形90,HMG MH MG∴∠=︒=又,MF MG FMH EMG⊥∠=∠ ,MFH MGE ∴∆∆≌ME MF∴=②点M 位于正方形两条对角线的交点处（或AC 中点处）如图，ME 是ACD ∆的中位线，1,2ME AD ME AD ∴⊥=又ME MF = ，此时，F 是BC 中点，且AED CDF ∆∆≌，,AE DF MFD MAE ∴=∆∆≌，AEM DNF∴∠=∠（2）当点F 与B 重合时，M 在AC,BD 交点处时，此时AM 最小，AM=12AC=22;当点F 与点C 重合时，M 在AC,BD 交点到点C 的中点处，此时AM 最大，AM=322．故答案为23222AM <<【点拨】本题是运动型几何综合题，考查了全等三角形、正方形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）添加恰当的辅助线是解题的关键．。
初一线段上的动点问题专题(含答案)
七年级（上）动点问题专题1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|．（1）求线段AB的长．（2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值．（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变．2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．（1）PA=_________；PB=_________（用含x的式子表示）（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B 以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由．3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．（1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D 点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．5．如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是200．（1）若BC=300，求点A对应的数；（2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）；（3）如图3，在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为﹣800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q 在从是点D运动到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由．6．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB=12，CE=6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF=2，则BE=_________，若CF=m，BE与CF的数量关系是（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD=7，且DF=3DE？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．7．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM=_________AB．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．。
动点运动路径长问题
乘胜 追击
例 2（2017 宁波考纲）在矩形 ABCD 中, AD=6，AB=
6 2 3 ,E 是 AB 边上的一点,且 AE=AD,P 是线段 CD 上
一点，连接 PE,将矩形沿着 PE 折叠,点 B、C 分别落在 G、
F 处，当点 P 从点 C 移动到点 D 时，点 G 经过的路径长为
________。
例 3（2016 武汉）如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC=2 2 ， 点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆 O 上，M 为 PC 的中点．当
点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是（ B ）
A． 2
B． C． 2 2
D． 2
本节课学习了哪些内容
课后 拓展
(2014 义乌)如图,等边三角形 ABC 的边长为 6，点 E，F 分别
在 AC，BC 上，连结 AF，BE 相交于点 P, 若 AE=CF，当点
E 从点 A 运动到点 C 时，求点 P 经过的路径长。
D（P）
C
A
E
B
F G
攻坚 克难
例 3（2016 武汉）如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC=2 2 ， 点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆 O 上，M 为 PC 的中点．当
点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是（ B ）
A． 2Biblioteka B． C． 2 2D． 2
攻坚 克难
∵∠ADO=90°
∴点 D 在以 AO 为直径的圆上
当点C与A重合;D与A重合；
当点C运动90°时;
∴点 D 的运动路线是以 AO 为直径的 1 圆弧
∴ l n R 90 2
【中考数学专题】11 连锁轨迹—动点在直线(线段)上产生的动点轨迹类问题探究-
专题十一：连锁轨迹——动点在直线（线段）上产生的动点轨迹类问题探究专题导例已知，如图Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，M是DE上一动点，点M从点D开始沿DE向终点E运动，在运动过程中AM的中点移动的路径长为．【分析】取AD的中点P，AE的中点Q，连接PQ，根据勾股定理得到AB＝5，根据三角形中位线定理计算即可．如果：①动点的初始位置②动点的中途位置③动点的终止位置三点在一条直线上，那么可以初步判断动点的运动路径是．导例答案解：取AD的中点P，AE的中点Q，连接PQ，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE＝AB＝，∵P、Q分别是AD、AE的中点，∴PQ＝DE＝，∴AM的中点移动的路径长为，故答案为：．典例剖析类型一：动点产生的路径与最值问题例1．如图，△AB C中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D为BC边上一动点，点O是正方形ADEF的中心，当点D沿BC边从点B运动到点C时，点O运动的路径长为．【分析】以点B为原点建立如图所示坐标系，作EG⊥x轴，证△ABD≌△DGE得AB＝DG＝4、BD ＝EG＝a，从而得E（4+a，a），根据线段的中点坐标知O（，），从而知点O在直线y＝x 上，由0≤a≤4知点O的横坐标2≤x≤4、纵坐标满足2≤y≤4，根据两点间的距离公式可得答案．类型二：动点产生的路径长问题例2．如图，在Rt△AB C中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB边上的动点，过点D作DE⊥AB 交边AC于点E，过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF．（1）当AD＝4时，求EF的长度；（2）求△DEF的面积的最大值；（3）设O为DF的中点，随着点D的运动，则点O的运动路径的长度为．【分析】（1）由勾股定理可求AB＝10，通过证明△AED∽△ABC，可得＝，可求AE＝5，CE ＝3，通过△CEF∽△ACB，可得＝，即可求EF的长度；（2）设AD＝x，由相似三角形的性质可可得DE＝•BC＝x，EF＝•AB＝10﹣x，由三角形的面积公式可得S△DEF＝DE•EF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+6，由二次函数的性质可求△DEF的面积的最大值；（3）以点A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，设AD＝t，则点D坐标（t，0），点E（t，t），点F（10﹣t，t），由中点坐标公式可求点O坐标，由t的取值范围可求点O的运动路径的长度．专题突破1．如图，在△AB C中，∠B＝45°，∠C＝60°，且AB＝，M是边BC上的一个动点，连接AM，P 为AM的中点，当M点从点B运动到点C的过程中，P点的运动路线长为（）A．1+B．1﹣πC．+D．2. 如图，在矩形ABC D中，已知AB＝2cm，BC＝4cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为（）A．（8﹣π）cm2B．4cm2C．（3+π）cm2D．8cm23.已知线段AB＝12，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为4.如图，等腰直角△AB C中，AC＝BC＝3，P为斜边AB上一动点，D为BC延长线上一点，以点D为直角顶点作直角△PQD，并且使∠DPQ＝30°，则当点P从点A运动到点B时，点Q运动的路径长为．5.如图，矩形ABC D中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE：ED＝1：2．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为．6．如图，在△AB C中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）x为何值时，PQ∥BC；（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；7.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．8．如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．9．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．过点E （1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，P是直线EF上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．（1）直线AB的表达式为；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）当S△ABP＝2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，请直接写出点C的坐标．10．如图，在矩形ABC D中，AB＝2，BC＝4，M是AD的中点，动点E在线段AB上，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，连接EG、FG．（1）求证：△AME≌△DMF；（2）在点E的运动过程中，探究：①△EGF的形状是否发生变化？若不变，请判断△EGF的形状，并说明理由；②线段MG的中点H运动的路程最长为多少？（直接写出结果）（3）设AE＝x，△EGF的面积为S．①当S＝6时，求x的值；②直接写出点E的运动过程中S的变化范围．11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．（1）如图1，当E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF＝AD，求证：CE平分∠BCF．（2）如图2，若点Q是AD的中点，连接EQ并延长交射线CD于点G，过Q作EG的垂线交射线BC于点P，连接PE、PG．①设AE＝x时，△PEG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．②若点M是PQ的中点，请直接写出点M的运动的路线的长．12．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线l∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝Rt∠，直线AQ交y轴于点C．（1）当a＝时，求点Q的坐标．（2）当P A+PO最小时，求a．专题十一答案：轨迹之点在直线（线段）上运动问题探究例1．解：如图，以点B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，过点E作EG⊥x轴于点G，连接AE，根据题意知，点A（0，4）、C（4，0），∵∠ABD＝∠ADE＝∠DGE＝90°，∴∠ADB+∠EDG＝∠ADB+∠DAB＝90°，∴∠DAB＝∠EDG，在△ABD和△DGE中，∵，∴△ABD≌△DGE（AAS），∴AB＝DG＝4，BD＝EG，设BD＝EG＝a，则BG＝BD+DG＝4+a，∴点E（4+a，a），∵点O为正方形ADEF的中心，即点O为AE的中点，∴点O（，），即O（，），则无论a为任意实数，点O的横纵坐标相等，即点O在直线y＝x上，∵0≤a≤4，∴2≤≤4，即点O的横坐标2≤x≤4、纵坐标满足2≤y≤4，则点O的运动路径长为＝2，故答案为：2．例2．解：（1）∵在Rt△AB C中，∠C＝90°，∴AB＝＝10．∵DE⊥AB，∴∠EDA＝90°．∵∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°，∴△AED∽△ABC，∴＝．∴AE＝•AB＝5．∴CE＝AC﹣AE＝8﹣5＝3．∵DE⊥AB，∴∠DEF＝90°．∵∠EDA＝∠DEF＝90°，∴EF∥A B．∴△CEF∽△ACB，∴＝．∴EF＝•AB＝．（2）设AD＝x．∵△AED∽△ABC，∴＝＝．∴DE＝•BC＝x，AE＝•AB＝x．∴CE＝AC﹣AE＝8﹣x．∵△CEF∽△ACB，∴＝．∴EF＝•AB＝10﹣x．∴S△DEF＝DE•EF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+6．∴当x＝时，S△DEF取最大值为6．因此，△DEF的面积的最大值为6．（3）如图，以点A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，设AD＝t，则点D坐标（t，0），点E（t，t），点F（10﹣t，t）∵点O是DF的中点，∴点O（5+t，t）∴点O在直线y＝上运动，∵过点D作DE⊥AB交边AC于点E，∴0≤t≤∴当t＝0时，点O坐标为（5，0）当t＝时，点O坐标为（，）∴点O的运动路径的长度＝＝故答案为：专题突破答案1.解：如图作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝，∠B＝45°，∴AH＝BH＝1，在Rt△ACH中，∵AH＝1，∠C＝60°，∴CH＝＝，∴BC＝1+当点M与B重合时，点P与A B中点E重合，当点M与C重合时，点P与F重合，∴点P的运动轨迹是△ABC的中位线EF，∴EF＝BC＝+．故选：C．2. 解：如图，∵P是EF的中点，∴BP＝EF＝×2＝1（cm），∵AB＝2，∴点P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，：又∵四个扇形的面积正好等于一个相同半径的圆的面积，∴4×2﹣π•12＝8﹣π（cm2）．故选：A．3.解：如图，分别延长AE、BF交于点M，∵∠A＝∠DPF＝60°，∴AM∥PF，∵∠B＝∠EP A＝60°，∴BM∥PE，∴四边形PEMF为平行四边形，∴EF与MP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PM的中点，即在P的运动过程中，G始终为PM的中点，∴G的运行轨迹为△MCD的中位线H I，∵H I＝CD＝×（12﹣2﹣2）＝4，∴G点移动的路径长度为4．故答案为：44.解：如图，过点D作DK⊥AD，使得∠DAK＝30°，连接AK，KQ．∵∠ADK＝90°，∠DAK＝30°，∴＝，∵∠PDQ＝90°，∠DPQ＝30°，∴＝，∴＝，∵∠ADK＝∠PDQ＝90°，∴∠ADP＝∠KDQ，∴△ADP∽△KDQ，∴＝＝，∠DAP＝∠DKQ，∴当则当点P从点A运动到点B时，点Q运动的轨迹是线段KQ，∵点P的运动路径是3，∴点Q的运动路径是3÷＝．故答案为．5.解：如图，当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F与G重合，点M 在N处，点M的运动轨迹是线段HN．在Rt△AE B中，AE＝2，AB＝4，∴BE＝＝2，∵△AEB∽△EBG，∴＝，∴BG＝＝10，∵BK＝AE＝2，∴KG＝BG﹣BK＝8，∴HN＝KG＝4，∴点M的运动路径的长为4．故答案为4．6．解：(1)∵PQ∥BC，∴∠AQP＝∠C.又∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝.即当x＝时，PQ∥B C.(2)能相似．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴△APQ和△CQB相似可能有以下两种情况：①△APQ∽△CQB，可得＝，即＝，解得x＝.经检验，x＝是上述方程的解．∴当AP＝4x＝cm时，△APQ∽△CQB；②△APQ∽△CBQ，可得＝，即＝，解得x＝5或x＝－10(舍去)．经检验，x＝5是上述方程的解．∴当AP＝4x＝20 cm时，△APQ∽△CBQ.综上所述，当AP的长为cm或20 cm时，△APQ与△CQB相似．7.（1）解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，∴∠AEP＝∠BPC，∴△APE∽△BCP∴，即，解得：AE＝；故答案为：；（2）①证明：如图3，取PE的中点Q，连接AQ，OQ，∵∠POE＝90°，∴OQ＝PE，∵△APE是直角三角形，∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，∴AQ＝PE，∴OQ＝AQ，∴点O一定在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上）②解：连接OA、AC，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP＝∠OEP＝45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝AC＝2，即点O经过的路径长为2；（3）解：设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：则MN∥AE，∵ME＝MP，∴AN＝PN，∴MN＝AE，设AP＝x，则BP＝4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE＝x﹣x2＝﹣（x﹣2）2+1，∴x＝2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大＝×1＝，即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．8．（1）证明：∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠DCG+∠DCB＝180°，∴点G在直线BC上；（2）解：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，如图1所示：则AC∥EK∥AD，∴∠HEK＝∠EHB，∠DEK＝∠EDA，∵∠EHB+∠BEH＝90°，∠EDA+∠AED＝90°，∠HEK+∠DEK＝90°，∴∠EDA＝∠BEH，∠AED＝∠EHB，∴△ADE∽△BEH，∴＝，即＝，∴BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积＝2×2﹣×2×x﹣×（2﹣x）×＝；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝×2×（4﹣x）＝4﹣x；（3）解：由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；∵BD＝＝＝2，∴BF+FG＝2BD＝4，∴点F运动的路径长为4．9．解：（1）∵y＝﹣x+b经过A（0，1），∴b＝1，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+1；故答案为：y＝﹣x+1；（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM＝1，∵x＝1时，y＝﹣x+1＝，P在点D的上方，∴PD＝n﹣，S PD•AM＝，由点B（3，0），可知点B到直线x＝1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，∴S△BPD＝PD×2＝n﹣，∴S△P AB＝S△APD+S△BPD＝n﹣+n﹣＝n﹣1；（3）当S△ABP＝2时，n﹣1＝2，解得n＝2，∴点P（1，2）．∵E（1，0），∴PE＝BE＝2，∴∠EPB＝∠EBP＝45°．第1种情况，如图1，∠CPB＝90°，BP＝PC，过点C作CN⊥直线x＝1于点N．∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°，∴∠NPC＝∠EPB＝45°，在△CNP与△BEP中，，∴△CNP≌△BEP，∴PN＝NC＝EB＝PE＝2，∴NE＝NP+PE＝2+2＝4，∴C（3，4）．第2种情况，如图2∠PBC＝90°，BP＝BC，过点C作CF⊥x轴于点M．∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，∴∠CBM＝∠PBE＝45°，在△CBP与△PBE中，，∴△CBM≌△PBE．∴BF＝CF＝PE＝EB＝2，∴OF＝OB+BF＝3+2＝5，∴C（5，2）．第3种情况，如图3，∠PCB＝90°，CP＝EB，∴∠CPB＝∠EBP＝45°，在△PCB和△PE B中，，∴△PCB≌△PEB（SAS），∴PC＝CB＝PE＝EB＝2，∴C（3，2）．∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．10．解：（1）在矩形ABC D中，AB∥CD，∴∠A＝∠FDM＝90°，∠AEM＝∠DFM，又∵M是AD的中点，∴AM＝DM，∴△AME≌△DMF（AAS）；（2）①△EGF的形状不发生变化，是等腰直角三角形，理由如下：如图1，过点M作MN⊥BC于点N，则∠NMD＝∠FMG＝90°，MN＝AB＝AD＝MD，∴∠NMD﹣∠MDG＝∠FMG﹣∠MDG，即∠FMD＝∠GMN，又∵∠MNG＝∠MDF＝90°，∴△MNG≌△MDF（ASA），∴MG＝MF，∴∠MGF＝45°，∵MG垂直平分EF，∴GF＝GE，∴∠EGM＝∠MGF＝45°，∴∠EGF＝90°，∴△EGF的形状不发生变化，是等腰直角三角形；②如图2，由题意知，MG的运动路线是从MN开始，至MC结束，∴点H的运动路程是如图所示的HO，∵H是MN的中点，O是MC的中点，∴HO＝NC＝1，∴线段MG的中点H运动的路程最长为1；（3）①由（1）和（2）知，△AME≌△DMF≌△NMG，∴AE＝NG＝x，BE＝2﹣x，∴EG2＝BE2+BG2＝（2﹣x）2+（2+x）2＝8+2x2，∴S△EGF＝EG2＝（8+2x2）＝x2+4，∴当S＝6时，x＝（取正值）；②由题意知，0≤x≤2，∴当x＝0时，S有最小值4；当x＝2时，S有最大值8，故S的取值范围为：4≤S≤8．11．解：（1）过点E作EG⊥CF于G，连接EF，∵AF＝AD，E是AB的中点，AB＝AD＝4，∴AF＝1，FD＝3，AE＝BE＝2，∴CF＝＝＝5，∵S△EFC＝4×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×3×4＝5，∴S△EFC＝×CF×EG＝5，∴EG＝2＝BE，且EG⊥CF，EB⊥BC，∴CE平分∠BCF；（2）设CP＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠GDQ＝∠BAQ＝90°，∵点Q是AD的中点，∴DQ＝AQ，∵∠DQG＝∠AQB，∴△GDQ≌△BAQ（ASA），∴DG＝AB＝4，∴CG＝CD+DG＝4+x，在Rt△BPE中，PE2＝BE2+BP2＝（4﹣x）2+（4+a）2，在Rt△GCP中，GP2＝CP2+CG2＝（4+x）2+a2，∵PE＝PG，∴a＝2x﹣2，PQ2＝PE2﹣QE2＝4x2+16，∴PQ＝，∴S＝y＝××＝2x2+8（其中0≤x≤4）（3）如图，MM′即为M点运动的距离；当点E与点A重合时，∵PQ⊥EQ，∠BAQ＝∠ABP＝90°，∴四边形ABPQ是矩形，∴BP＝AQ＝2，当点E与点B重合时，由（2）可得P'E'＝P'G，DG＝AB＝4，∴CG＝8，∵P'G2＝P'C2+CG2，∴P'E'2＝（P'E'﹣4）2+64，∴P'E'＝10，∴P'P＝8，∵点M，点M'分别是QP，QP'的中点，∴MM'＝PP'＝4，∴点M的运动的路线的长为4．12．解：（1）过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F，如图1．∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF＝∠PEO＝90°．∵∠APQ＝90°，∴∠EP A＝∠FPQ＝90°﹣∠APF．在△PEA和△PFQ中，∴△PEA≌△PFQ．∴PE＝PF，EA＝QF．∵a＝，∴P（，3）．∴OE＝BP＝，PE＝3．∵A（2，0），∴OA＝2，∴EA＝0.5．∴PF＝3，QF＝0.5．∴点Q的坐标为（4.5，3.5）．（2）如图2，作O点关于直线l的对称点O′，连接AO′，交直线l于点P，此时OP＝O′P，∴P A+PO＝P A+PO′，∴AO′是P A+PO的最小值，∵点B的坐标为（0，3）．∴点O′（0，6），．设直线AO′为y＝kx+6，代入A（2，0）得，0＝2k+6，解得k＝﹣3，∴直线AO′为y＝﹣3x+6，把y＝3代入得，3＝﹣3x+6，解得x＝1，∴P（1，3），∴当P A+PO最小时，a＝1．。
圆中动点路径类问题解析版
考点08 圆中动点路径类问题1.（2020•河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）A．πB．2πC．4πD．0.5π【解答】解：设⊙O于正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，则四边形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴EM＝NF，∴CM+CN＝CE+CF＝4，∴OE＝2，∴⊙O的面积为4π，故选：C．【知识点】正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系、切线长定理2.（2020•武汉模拟）如图，BC为⊙O直径，弦AC＝2，弦AB＝4，D为⊙O上一点，I为AD上一点，且DC＝DB＝Dl，AI长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接IC，作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，IG⊥BC于G．∵DB＝DC，∴＝，∠DBC＝∠DCB，∴∠BAD＝∠CAD，∵DI＝DC，∴∠DIC＝∠DCI，∵∠DIC＝∠DAC+∠ACI，∠DCI＝∠DCB+∠ICB，∠DBC＝∠DAC，∴∠ICA＝∠ICB，∴点I为△ABC内心，∴IE＝IF＝IG，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝2，∵S△ABC＝•AB•AC＝•IE•（AB+AC+BC），∴IE＝3﹣，∵∠IAE＝∠AIE＝45°，∴AI＝IE＝3﹣，故选：D．【知识点】圆周角定理3.（2020•高邮市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的⊙O上，连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，∵PD≥OD﹣OP（当且仅当O、P、D共线时，取等号），即P点运动到P′位置时，PD的值最小，最小值为DP′，在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，∴OD＝＝5，∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，∴线段PD的最小值为1．故选：B．【知识点】矩形的性质、圆周角定理4.（2020•朝阳区校级月考）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，∴OB＝＝＝6，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C．【知识点】圆的认识、矩形的性质、勾股定理5.（2020•镇海区期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（）A．0.5B．﹣1C．2﹣D．【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，∵∠PBC＝∠PCA，∴∠PBC+∠PCB＝45°，∴∠BPC＝135°，∴点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，作所对的圆周角∠BQC，则∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，∴△OBC为等腰直角三角形，∴四边形ABOC为正方形，∴OA＝BC＝2，∴OB＝BC＝，∵AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），∴AP的最小值为2﹣．故选：C．【知识点】旋转的性质、勾股定理、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、圆周角定理6.（2020•海珠区期末）已知：AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD＝10，OA＝4，BC＝16，则△PCD的面积的最小值是（）A．36B．32C．24D．10.4【解答】解：∵CD是定值，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，过P作EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F，当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，过O作OH∥BC，交EF于点G，交CD于点H，则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，∴OH＝（AD+BC）＝13，过D作DM⊥BC于点M，则DM＝AB＝8，MC＝BC﹣AD＝6，∴CD＝EF＝10，由切线长定理可知AE＝EP，BF＝PF，∴AE+BF＝EF＝10，∴OG＝（AE+BF）＝5，∴GH＝OH﹣OG＝8，又∵OP＝4，且＝，∴＝，∴PQ＝，∴S△PCD＝PQ•CD＝××10＝32．故选：B．【知识点】切线的性质7.（2020•黄埔区期末）如图，⊙O的半径为2，点C是圆上的一个动点，CA⊥x轴，CB⊥y轴，垂足分别为A、B，D是B的中点，如果点C在圆上运动一周，那么点D运动过的路程长为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：如图，连接OC，∵CA⊥x轴，CB⊥y轴，∴四边形OACB是矩形，∵D为AB中点，∴点D在AC上，且OD＝OC，∵⊙O的半径为2，∴如果点C在圆上运动一周，那么点D运动轨迹是一个半径为1圆，∴点D运动过的路程长为2π•1＝2π，故选：D．【知识点】轨迹、坐标与图形性质、圆周角定理8.（2020•江阴市期末）如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，∠P AC＝60°，交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A．B．1C．2D．【解答】解：连接OA、OB，如图1，∵OA＝OB＝2，AB＝2，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵∠P AC＝60°∴∠ACP＝90°∵AB＝2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，作△ABC的外接圆D，如图2，连接CD，∵∠ACB＝90°，点C在⊙D上，AB是⊙D的直径，当点C半圆的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC等腰直角三角形，∴CD⊥AB，CD＝1，∴S△ABC＝＝＝1，∴△ABC的最大面积为1．故选：B．【知识点】圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理9.（2020•海曙区期末）如图，三角形纸片ABC的周长为22cm，BC＝6cm，⊙O是△ABC的内切圆，玲玲用剪刀在⊙O的左侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一个△AMN，则△AMN的周长是（）A．10cm B．12cmC．14cm D．根据MN位置不同而变化【解答】解：设E，F，G，H分别是直线AC，AB，MN，BC与⊙O的切点．由切线长定理可知：CE＝CH，BH＝BF．ME＝MG，NG＝NF，∵AC+AB+BC＝22cm，BC＝6cm，∴AC+AB＝16cm，AE+AF＝10cm，∴△AMN的周长＝AM+AN+MG+NF＝AM+ME+AN+NF＝AE+AF＝10cm，故选：A．【知识点】三角形的内切圆与内心10.（2020•铁锋区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为．【解答】解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．又∵点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，∴∠BAD′＝∠CAB＝15°．∴∠CAD′＝45°．∴∠COD′＝90°．则△COD′是等腰直角三角形．∵OC＝OD′＝AB＝3，∴CD′＝3，故答案为3．【知识点】圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、轴对称-最短路线问题11.（2020•潜山市期末）如图，AB是圆O的弦，AB＝40，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是．【解答】解：连接OA、OB，如图，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴OA＝AB＝×40＝40．∵点M、N分别是AB、BC的中点，∴MN＝AC，当AC为直径时，AC的值最大，∴MN的最大值为40．故答案为40．【知识点】圆周角定理、三角形中位线定理12.（2020•潮南区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角线坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝2OA＝2OB＝AC＝2，∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，∴BA′＝AB，∴BA′＝2OB，∴∠OA′B＝30°，∴∠A′BA＝60°，即旋转角为60°，S阴影＝S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′＝﹣＝π﹣π＝π．故答案为π．【知识点】坐标与图形性质、扇形面积的计算、旋转的性质13.（2020•伊通县期末）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∴BD＝AC＝＝5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；故答案为：3≤r≤5【知识点】矩形的性质、直线与圆的位置关系14.（2020•西城区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边BC的中点，点P在边AD上，设DP＝x，若以点D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是．【解答】解：如图，当⊙D与AE相切时，设切点为G，连接DG，∵PD＝DG＝x，∴AP＝6﹣x，∵∠DAG＝∠AEB，∠AGD＝∠B＝90°，∴△AGD∽△EBA，∴＝，∴＝，x＝，当⊙D过点E时，如图4，⊙D与线段有两个公共点，连接DE，此时PD＝DE＝5，∴当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x＝或5＜x≤6；故答案为：x＝或5＜x≤6．【知识点】直线与圆的位置关系、矩形的性质15.（2020•连江县期中）在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM＝AB＝×2＝1，∴OA＝＝，∴CM＝OC+OM＝+1，∴S△ABC＝AB•CM＝×2×（+1）＝+1．故答案为：+1．【知识点】垂径定理、三角形的外接圆与外心、勾股定理、圆周角定理16.（2020•杏花岭区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为．【解答】解：取BC的中点G，连接BH，HG，DG．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝，BC＝AB2＝，∠DCG＝90°，∵CG＝BG＝，∴DG＝＝＝，∵BE是直径，∴∠BHE＝∠BHC＝90°，∵BG＝GC，∴HG＝BC＝，∵DH≥DG﹣HG，∴DH≥﹣＝，∴DH的最小值为．故答案为．【知识点】矩形的性质、圆周角定理、三角形三边关系、勾股定理17.（2020春•资中县期末）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝×＝，由垂径定理可知EF＝2EH＝，故答案为：．【知识点】垂线段最短、勾股定理、圆周角定理、垂径定理18.（2020•青羊区期末）△ABC中，AB＝CB，AC＝10，S△ABC＝60，E为AB上一动点，连结CE，过A作AF⊥CE于F，连结BF，则BF的最小值是．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，∵AB＝BC，∴AD＝CD＝AC＝5，∵S△ABC＝60，∴，即，BD＝12，∵AF⊥CE，∴∠AFC＝90°，∴F在以AC为直径的圆上，∵BF+DF＞BD，且DF＝DF'，∴当F在BD上时，BF的值最小，此时BF'＝12﹣5＝7，则BF的最小值是7，故答案为：7．【知识点】点与圆的位置关系、等腰三角形的性质、圆周角定理19.（2020春•富阳区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是线段AD上的一动点，点E是AB边上一动点，连结PC，PE．（1）当E是边AB的中点时，是否存在点P，使∠EPC＝90°？若存在，求AP的长，若不存在，请说明理由；（2）设BE＝a，若存在点P，使∠EPC＝90°，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DCP+∠DPC＝90°，∴∠APE＝∠DCP，又∠A＝∠D＝90°，∴△APE∽△DCP，∴＝，设AP＝x，则DP＝6﹣x，又AE＝BE＝2，∴x（6﹣x）＝2×4，整理得x2﹣6x+8＝0，解得，x1＝2，x2＝4，∴P A＝2或4．（2）设AP＝x，AE＝y，∵△APE∽△DCP，∴＝，即x（6﹣x）＝4y，∴y＝x（6﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣3）2+，∴当x＝3时，y的最大值为，∵AE＝y取最大值时，BE取最小值为4﹣＝，∴a的取值范围为≤BE＜4．【知识点】矩形的性质、圆周角定理20.（2020•常熟市期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动，P、Q中有一点到达终点时，另一点随之停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）几秒后，△DPQ是直角三角形；（3）在运动过程中，经过秒，以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切．【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，∴PD＝2PQ，∴PD2＝4 PQ2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2，∵PD2＝4 PQ2，∴62+（2t）2＝4[（8﹣2t）2+t2]，解得：t1＝，t2＝；∵0≤t≤4，∴t＝，答：秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）∵△DPQ是直角三角形，∴∠DPQ＝90°或∠DQP＝90°．当∠DPQ＝90°时，∠ADP＝∠BPQ，∴tan∠ADP＝tan∠BPQ，∴＝，即＝，解得：t＝，或t＝0（舍去）；当∠DQP＝90°时，∠CDQ＝∠BQP，∴tan∠CDQ＝tan∠BQP，∴＝，即＝，解得：t＝11﹣，或t＝11+（舍去），综上所述，当运动时间为秒或（11﹣）秒时，△DPQ是直角三角形．（3）设经过x，秒以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切于点E，连接PE、PD，如图所示：则PE⊥BD，PE＝AP，在Rt△APD和Rt△EPD中，，∴Rt△APD≌Rt△EPD（HL），∴AD＝ED＝6，∵BD＝＝＝10，∴BE＝BD﹣ED＝4，∵PE＝P A＝2x，则BP＝8﹣2x，在Rt△BPE中，由勾股定理得：（2x）2+42＝（8﹣2x）2，解得：x＝，即经过秒，以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切，故答案为：．【知识点】一元二次方程的应用、切线的判定、勾股定理21.（2020•镇江期中）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为秒，解答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵当运动时间为t秒时，P A＝t，BQ＝2t，∴PB＝5﹣t，BQ＝2t．∵△PBQ的面积等于4cm2，∴PB•BQ＝（5﹣t）•2t．∴（5﹣t）•2t＝4．解得：t1＝1，t2＝4．答：当t为1秒或4秒时，△PBQ的面积等于4cm2；（2）（Ⅰ）由题意可知圆Q与AB、BC不相切．（Ⅱ）如图1所示：当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．∵∠DAB＝90°，∴∠DPQ＝90°．∴DP⊥PQ．∴DP为圆Q的切线．（Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示．由题意可知：PB＝5﹣t，BQ＝2t，PQ＝CQ＝10﹣2t．在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2＝PB2+QB2，即（5﹣t）2+（2t）2＝（10﹣2t）2．解得：t1＝﹣15+10，t2＝﹣15﹣10（舍去）．综上所述可知当t＝0或t＝﹣15+10时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切．【知识点】切线的判定、一元二次方程的应用22.（2020•润州区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，∠A＝30°，D是AB的中点，点O为AC上一点，以O为圆心，半径为lcm的圆与AB相切，点E为切点．（1）求线段CO的长；（2）若将⊙O以1cm/s的速度移动，移动中的圆心记为P，点P沿O→C→B→A的路径运动，设移动的时间为t（s），则当t为何值时，⊙P与直线CD相切？【解答】解：（1）∵BA切⊙O于E，∴∠OEA＝90°，∵OE＝1，∴AO＝2OE＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝3，∠A＝30°，∴AC＝BC＝3，∴OC＝AC﹣OA＝3﹣2；（2）如图；①当P位于线段OC上时，设⊙P与CD的切点为G，则P1G⊥CD；由于D是AB的中点，所以CD＝DA，即∠DCA＝∠A，因此P1C＝OA＝2cm，OP1＝AC﹣2OA＝3﹣4，∴t＝（3﹣4）s；②当P位于线段CB上时，设⊙P与CD的切点为H，则P2H⊥CD；同①可得：P2C＝cm，因此P点运动的距离为：OC+P2C＝3﹣2+＝﹣2，即t＝（﹣2）s；③当P位于线段BD上时，P3M⊥CD，过B作BQ⊥CN于Q；易知：S△ABC＝，由于D是AB中点，则S△BCD＝；而CD＝AB＝3，可求得CD边上的高为：BQ＝cm；∵△PDM∽△BDQ，则＝，即＝，P3D＝；因此P3B+BC+OC＝3﹣+3+3﹣2＝+4，即t＝（+4）s；④当P位于线段AD上时，同③可求得t＝（+1）s；综上可知：当t分别为（3﹣4）s、（﹣2）s、（+4）s、（+1）s时，⊙P与直线CD相切．【知识点】含30度角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、切线的判定与性质23.（2020•新吴区期中）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB＝60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动：与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动，当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts（1）当P异于A，C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，⊙P与边BC公共点的个数有几种可能的情况？并求出相应的t所取的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠DAB，又∵∠DAB＝60°（已知），∴∠BAC＝∠BCA＝30°；当点P运动到点C，即t＝2时P与C重合，Q与B重合，也只有一个交点，此时，⊙P与边BC 有一个公共点，综上所述：当0≤t＜4﹣6或3﹣＜t＜2时，⊙P与边BC有0个公共点；当t＝4﹣6或1＜t≤3﹣或t＝2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点；【知识点】直线与圆的位置关系、菱形的性质附赠材料：怎样提高做题效率做题有方,考试才能游刃有余提到考试,映入我眼帘的就是一大批同学在题海里埋头苦干的情景。
初一线段上的动点问题专题(含答案)
七年级（上）动点问题专题1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|．（1）求线段AB的长．（2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值．（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变．2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．（1）PA=_________；PB=_________（用含x的式子表示）（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B 以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由．3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．（1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D 点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．5．如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是200．（1）若BC=300，求点A对应的数；（2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）；（3）如图3，在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为﹣800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q 在从是点D运动到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由．6．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB=12，CE=6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF=2，则BE=_________，若CF=m，BE与CF的数量关系是（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD=7，且DF=3DE？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．7．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM=_________AB．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．8．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是_________；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等？9．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数_________，点P表示的数_________用含t的代数式表示）；（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P 运动多少秒时追上点R？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；10．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）①写出数轴上点B表示的数_________，点P表示的数_________（用含t的代数式表示）；②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；（2）动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|．（1）求线段AB的长．（2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值．（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变．考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．分析：（1）根据非负数的和为0，各项都为0；（2）应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题；（3）利用中点性质转化线段之间的倍分关系得出．解答：解：（1）∵|2b﹣6|+（a+1）2=0，∴a=﹣1，b=3，∴AB=|a﹣b|=4，即线段AB的长度为4．（2）当P在点A左侧时，|PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣4≠2．当P在点B右侧时，|PA|﹣|PB|=|AB|=4≠2．∴上述两种情况的点P不存在．当P在A、B之间时，﹣1≤x≤3，∵|PA|=|x+1|=x+1，|PB|=|x﹣3|=3﹣x，∴|PA|﹣|PB|=2，∴x+1﹣（3﹣x）=2．∴解得：x=2；（3）由已知可得出：PM=PA，PN=PB，当①PM÷PN的值不变时，PM÷PN=PA÷PB．②|PM﹣PN|的值不变成立．故当P在线段AB上时，PM+PN=（PA+PB）=AB=2，当P在AB延长线上或BA延长线上时，|PM﹣PN|=|PA﹣PB|=|AB|=2．点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．（1）PA=|x+1|；PB=|x﹣3|（用含x的式子表示）（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B 以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由．考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．分析：（1）根据数轴上两点之间的距离求法得出PA，PB的长；（2）分三种情况：①当点P在A、B之间时，②当点P在B点右边时，③当点P在A点左边时，分别求出即可；（3）根据题意用t表示出AB，OP，MN的长，进而求出答案．解答：解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，∴PA=|x+1|；PB=|x﹣3|（用含x的式子表示）；故答案为：|x+1|，|x﹣3|；（2）分三种情况：①当点P在A、B之间时，PA+PB=4，故舍去．②当点P在B点右边时，PA=x+1，PB=x﹣3，∴（x+1）（x﹣3）=5，∴x=3.5；③当点P在A点左边时，PA=﹣x﹣1，PB=3﹣x，∴（﹣x﹣1）+（3﹣x）=5，∴x=﹣1.5；（3）的值不发生变化．理由：设运动时间为t分钟．则OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3，AM=AP=+3t，OM=OA﹣AM=5t+1﹣（+3t）=2t+，ON=OB=10t+，∴MN=OM+ON=12t+2，∴==2，∴在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，的值不发生变化．点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意利用分类讨论得出是解题关键．3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．（1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．考点：两点间的距离．分析：（1）求出MP，NP的长度，即可得出MN的长度；（2）分三种情况：①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上，分别表示出MN的长度即可作出判断；（3）设AC=BC=x，PB=y，分别表示出①、②的值，继而可作出判断．解答：解：（1）∵AP=8，点M是AP中点，∴MP=AP=4，∴BP=AB﹣AP=6，又∵点N是PB中点，∴PN=PB=3，∴MN=MP+PN=7．（2）①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上，均有MN=AB=7．（3）选择②．设AC=BC=x，PB=y，①==（在变化）；（定值）．点评：本题考查了两点间的距离，解答本题注意分类讨论思想的运用，理解线段中点的定义，难度一般．4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D 点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．考点：比较线段的长短．专题：数形结合．分析：（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；（2）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以．解答：解：（1）根据C、D的运动速度知：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，∴点P在线段AB上的处；（2）如图：∵AQ﹣BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ；又AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴，∴．当点Q'在AB的延长线上时AQ'﹣AP=PQ'所以AQ'﹣BQ'=3PQ=AB所以=；（3）②．理由：如图，当点C停止运动时，有，∴；∴，∵，∴，∴；当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，．点评：本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．5．如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是200．（1）若BC=300，求点A对应的数；（2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）；（3）如图3，在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为﹣800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由．考点：一元一次方程的应用；比较线段的长短．分析：（1）根据BC=300，AB=AC，得出AC=600，利用点C对应的数是200，即可得出点A对应的数；（2）假设x秒Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，得出等式方程求出即可；（3）假设经过的时间为y，得出PE=10y，QD=5y，进而得出+5y﹣400=y，得出﹣AM=﹣y原题得证．解答：解：（1）∵BC=300，AB=，所以AC=600，C点对应200，∴A点对应的数为：200﹣600=﹣400；（2）设x秒时，Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，∴MR=（10+2）×，RN=[600﹣（5+2）x]，∴MR=4RN，∴（10+2）×=4×[600﹣（5+2）x]，解得：x=60；∴60秒时恰好满足MR=4RN；（3）设经过的时间为y，则PE=10y，QD=5y，于是PQ点为[0﹣（﹣800）]+10y﹣5y=800+5y，一半则是，所以AM点为：+5y﹣400=y，又QC=200+5y，所以﹣AM=﹣y=300为定值．点评：此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．6．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB=12，CE=6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF=2，则BE=4，若CF=m，BE与CF的数量关系是（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD=7，且DF=3DE？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．考点：两点间的距离；一元一次方程的应用．分析：（1）先根据EF=CE﹣CF求出EF，再根据中点的定义求出AE，然后根据BE=AB﹣AE代入数据进行计算即可得解；根据BE、CF的长度写出数量关系即可；（2）根据中点定义可得AE=2EF，再根据BE=AB﹣AE整理即可得解；（3）设DE=x，然后表示出DF、EF、CF、BE，然后代入BE=2CF求解得到x的值，再求出DF、CF，计算即可得解．解答：解：（1）∵CE=6，CF=2，∴EF=CE﹣CF=6﹣2=4，∵F为AE的中点，∴AE=2EF=2×4=8，∴BE=AB﹣AE=12﹣8=4，若CF=m，则BE=2m，BE=2CF；（2）（1）中BE=2CF仍然成立．理由如下：∵F为AE的中点，∴AE=2EF，∴BE=AB﹣AE，=12﹣2EF，=12﹣2（CE﹣CF），=12﹣2（6﹣CF），=2CF；（3）存在，DF=3．理由如下：设DE=x，则DF=3x，∴EF=2x，CF=6﹣x，BE=x+7，由（2）知：BE=2CF，∴x+7=2（6﹣x），解得，x=1，∴DF=3，CF=5，∴=6．点评：本题考查了两点间的距离，中点的定义，准确识图，找出图中各线段之间的关系并准确判断出BE 的表示是解题的关键．7．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM=AB．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．考点：比较线段的长短．专题：分类讨论．分析：（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；（2）根据图形即可直接解答；（3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．解答：解：（1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=6cm∵AB=10cm，CM=2cm，BD=6cm∴AC+MD=AB﹣CM﹣BD=10﹣2﹣6=2cm（2）（3）当点N在线段AB上时，如图∵AN﹣BN=MN，又∵AN﹣AM=MN∴BN=AM=AB，∴MN=AB，即．当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN﹣BN=MN，又∵AN﹣BN=AB∴MN=AB，即．综上所述=点评：本题考查求线段的长短的知识，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答．8．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是﹣1；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等？考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．分析：（1）根据三点M，O，N对应的数，得出NM的中点为：x=（﹣3+1）÷2进而求出即可；（2）根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可；（3）分别根据①当点M和点N在点P同侧时，②当点M和点N在点P两侧时求出即可．解答：解：（1）∵M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P到点M，点N的距离相等，∴x的值是﹣1．（2）存在符合题意的点P，此时x=﹣3.5或1.5．（3）设运动t分钟时，点P对应的数是﹣3t，点M对应的数是﹣3﹣t，点N对应的数是1﹣4t．①当点M和点N在点P同侧时，因为PM=PN，所以点M和点N重合，所以﹣3﹣t=1﹣4t，解得，符合题意．②当点M和点N在点P两侧时，有两种情况．情况1：如果点M在点N左侧，PM=﹣3t﹣（﹣3﹣t）=3﹣2t．PN=（1﹣4t）﹣（﹣3t）=1﹣t．因为PM=PN，所以3﹣2t=1﹣t，解得t=2．此时点M对应的数是﹣5，点N对应的数是﹣7，点M在点N右侧，不符合题意，舍去．情况2：如果点M在点N右侧，PM=（﹣3t）﹣（1﹣4t）=2t﹣3．PN=﹣3t﹣（1+4t）=t﹣1．因为PM=PN，所以2t﹣3=t﹣1，解得t=2．此时点M对应的数是﹣5，点N对应的数是﹣7，点M在点N右侧，符合题意．综上所述，三点同时出发，分钟或2分钟时点P到点M，点N的距离相等．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据M，N位置的不同进行分类讨论得出是解题关键．9．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数﹣4，点P表示的数6﹣6t用含t的代数式表示）；（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P 运动多少秒时追上点R？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；考点：数轴；一元一次方程的应用；两点间的距离．专题：方程思想．分析：（1）B点表示的数为6﹣10=﹣4；点P表示的数为6﹣6t；（2）点P运动x秒时，在点C处追上点R，然后建立方程6x﹣4x=10，解方程即可；（3）分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN．解答：解：（1）答案为﹣4，6﹣6t；（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R（如图）则AC=6x，BC=4x，∵AC﹣BC=AB，∴6x﹣4x=10，解得：x=5，∴点P运动5秒时，在点C处追上点R．（3）线段MN的长度不发生变化，都等于5．理由如下：分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=5；②当点P运动到点B的左侧时：MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=5，∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．点评：本题考查了数轴：数轴的三要素（正方向、原点和单位长度）．也考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离．10．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）①写出数轴上点B表示的数﹣4，点P表示的数6﹣6t（用含t的代数式表示）；②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；（2）动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．专题：动点型．分析：（1）①设B点表示的数为x，根据数轴上两点间的距离公式建立方程求出其解，再根据数轴上点的运动就可以求出P点的坐标；②分类讨论：当点P在点A、B两点之间运动时；当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN；（2）先求出P、R从A、B出发相遇时的时间，再求出P、R相遇时P、Q之间剩余的路程的相遇时间，就可以求出P一共走的时间，由P的速度就可以求出P点行驶的路程．解答：解：（1）设B点表示的数为x，由题意，得6﹣x=10，x=﹣4∴B点表示的数为：﹣4，点P表示的数为：6﹣6t；②线段MN的长度不发生变化，都等于5．理由如下：分两种情况：当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=5；当点P运动到点B的左侧时：MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=5，∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．（2）由题意得：P、R的相遇时间为：10÷（6+）=s，P、Q剩余的路程为：10﹣（1+）×=，P、Q相遇的时间为：÷（6+1）=s，∴P点走的路程为：6×（）=点评：本题考查了数轴及数轴的三要素（正方向、原点和单位长度）．一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离公式的运用，行程问题中的路程=速度×时间的运用．。
中考数学动点问题专题练习(含答案)
动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧ＡB 上,有一个动点P,ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为G ．（1)当点Ｐ在弧AB 上运动时，线段ＧO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度．(２)设P Ｈx =,GP y =，求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)．(3）如果△PG Ｈ是等腰三角形,试求出线段PH 的长．二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ＡBC 中,ＡＢ=AC ＝1,点D,Ｅ在直线B Ｃ上运动.设BD=,x ＣＥ=y . (1)如果∠B ＡC=3０°,∠DA Ｅ=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(２)如果∠B ＡＣ的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α，β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(２0０4年·上海）如图,在△A ＢＣ中,∠BAC ＝９0°,AB=AC ＝22,⊙A 的半径为1.若点Ｏ在BC 边上运动(与点B 、C 不重合)，设ＢO=x ,△AOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域．(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆Ｏ，求当⊙O 与⊙Ａ相切时， △AO Ｃ的面积．一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．１.(09年徐汇区)如图，ABC ∆中，10==AC AB ,12=BC ，点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时，求AF 的长；（２)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长．AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二）线动问题2,在矩形A ＢＣD 中,AB ＝3,点O 在对角线A Ｃ上，直线ｌ过点O ，且与AC 垂直交ＡＤ于点E ．（1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A ＢＣＤ的对称中心A ＇重合，求BC 的长; （2)若直线l 与AB 相交于点F,且ＡＯ=41AC,设AD 的长为x ,五边形ＢＣDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在，请求出x 的值;若不存在,请说明理由．(三)面动问题３.如图，在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(１）试求ABC ∆的面积；(２)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、 特殊探路,一般推证例２:（２00４年广州市中考题第11题)如图,⊙O １和⊙Ｏ2内切于A,⊙O1的半径为３，⊙O2的半径为2，点Ｐ为⊙O1上的任一点（与点A 不重合)，直线ＰA 交⊙O2于点Ｃ,PB 切⊙O2于点B ，则PCBP的值为(A)2 (Ｂ）3 （C)23（Ｄ)26二、 动手实践,操作确认例４(２003年广州市中考试题）在⊙Ｏ中，C 为弧AB 的中点,D 为弧A Ｃ上任一点(与A 、C 不重合）,则(A)A Ｃ+CB=AD+ＤB (B) A Ｃ＋C Ｂ<AD+DB（Ｃ） AC+CB ＞A Ｄ＋D Ｂ （D) ＡＣ+C Ｂ与AD+ＤB 的大小关系不确定例５:如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和C Ｄ与大圆分别交于点B 、Ｅ，则下列结论中正确的是( ＊ ) （A)AB DE = (B ）AB DE >(Ｃ）AB DE <(D ）AB DE ,的大小不确定三、 建立联系，计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点Ｍ在边DC 上,且ＤM=１,Ｎ为对角线A Ｃ上任意一点,则ＤN ＋ＭN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC＝５，ＢC=12，∠ＡCＢ＝90°,P是ＡB边上的动点（与点A、B不重例1．在Rt ABC合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合),当PQ与ＡＣ不平行时，△CPＱ可能为直角三角形吗?若有可能，请求出线段CＱ的长的取值范围；若不可能,请说明理由。
动点问题(含答案).doc
文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.动点问题1.如图，在直角梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，∠ B=90°， AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点 P从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/s 的速度运动；动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm/s 的速度运动． P、Q 分别从点 A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为 ts ．（ 1）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？（ 2）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为等腰梯形？（ 3）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为直角梯形？点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2. 如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O 作直线 MN ∥BC ，设 MN 交∠ BCA 的外角平分线 CF 于点 F，交∠ ACB 内角平分线 CE 于 E．（1）试说明 EO=FO ；（2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形并证明你的结论；（3）若 AC 边上存在点 O，使四边形 AECF 是正方形，猜想△ ABC 的形状并证明你的结论．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（ 1），再利用结论（ 1）和矩形的判定证明结论（ 2），再对（ 3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3.如图，直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC ，∠ ABC=90°，已知 AD=AB=3 ，BC=4 ，动点 P 从 B 点出发，沿线段 BC 向点 C 作匀速运动；动点Q 从点 D 出发，沿线段 DA 向点 A 作匀速运动．过Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M，交 BC 于点 N． P、 Q 两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度．当 Q 点运动到 A 点， P、 Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为 t 秒．（1）求 NC ， MC 的长（用 t 的代数式表示）；（2）当 t 为何值时，四边形 PCDQ 构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线 QN 恰好将△ ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）探究： t 为何值时，△ PMC 为等腰三角形．点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4.如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm ，P，Q ，M，N 分别从 A，B ，C，D 出发沿 AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若 BQ=xcm （x≠0），则 AP=2xcm ，CM=3xcm ， DN=x2cm ．1文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.（1）当 x 为何值时，以 PQ ，MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q，M， N 为顶点的四边形是平行四边形；（ 3）以 P， Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由．点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ B=90°，AB=14cm ， AD=15cm ，BC=21cm ，点 M 从点 A 开始，沿边 AD 向点 D 运动，速度为 1cm/s ；点 N 从点 C 开始，沿边 CB 向点 B 运动，速度为 2cm/s 、点 M、 N 分别从点 A 、C 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒．（1）当 t 为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形MNCD 是等腰梯形？点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．5.如图，在直角梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，∠ C=90°， BC=16 ，DC=12 ， AD=21 ，动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动， P、Q 分别从点 D、C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动，设运动时间为 t （s ）．（1）设△ BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系；（2）当 t 为何值时，以 B 、 P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．6.直线 y=- 34x+6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出发，同时到达 A 点，运动停止．点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O? B? A 运动．（1）直接写出 A、 B 两点的坐标；（2）设点 Q 的运动时间为 t （秒），△ OPQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式；（3）当 S= 485 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标．文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（ 2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．1.分析：（1）四边形 PQCD 为平行四边形时 PD=CQ ．（2）四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC-PD=2CE ．（3）四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC ．所有的关系式都可用含有 t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（ 1）∵四边形 PQCD 平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得： t=6即当 t=6 时，四边形 PQCD 平行为四边形．（2）过 D 作 DE⊥BC 于 E则四边形 ABED 为矩形∴ BE=AD=24cm∴ EC=BC-BE=2cm∵四边形 PQCD 为等腰梯形∴QC-PD=2CE 即3t- （24-t ） =4解得： t=7 （ s）即当 t=7 （ s）时，四边形 PQCD 为等腰梯形．（3）由题意知： QC-PD=EC 时，四边形 PQCD 为直角梯形即 3t- （24-t ） =2解得： t=6.5 （ s）即当 t=6.5 （ s）时，四边形PQCD 为直角梯形．2．分析：（ 1）根据 CE 平分∠ ACB ，MN ∥ BC ，找到相等的角，即∠ OEC= ∠ECB ，再根据等边对等角得OE=OC ，同理 OC=OF ，可得 EO=FO ．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（ 1）∵ CE 平分∠ ACB ，∴∠ ACE= ∠BCE ，∵MN∥BC ，∴∠ OEC= ∠ECB ，∴∠ OEC= ∠OCE ，∴OE=OC ，同理， OC=OF ，∴OE=OF ．（2）当点 O 运动到 AC 中点处时，四边形 AECF 是矩形．如图 AO=CO ，EO=FO ，∴四边形 AECF 为平行四边形，∵ CE 平分∠ ACB ，∴∠ ACE=∠ ACB，同理，∠ ACF=∠ ACG，∴∠ ECF= ∠ ACE+ ∠ ACF=（∠ ACB+∠ACG）=×180°=90°，∴四边形 AECF 是矩形．（3）△ ABC 是直角三角形∵四边形 AECF 是正方形，∴ AC⊥ EN ，故∠ AOM=90°，∵MN∥BC ，∴∠ BCA=∠AOM ，∴∠BCA=90°，∴△ ABC 是直角三角形．3.分析：（ 1）依据题意易知四边形ABNQ 是矩形∴ NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ 就是 t ，即解；∵ AB ∥ QN ，∴△ CMN ∽△ CAB ，∴ CM ：CA=CN ： CB ，（ 2） CB 、 CN 已知，根据勾股定理可求 CA=5 ，即可表示 CM ；四边形 PCDQ 构成平行四边形就是PC=DQ ，列方程 4-t=t 即解；（3）可先根据 QN 平分△ ABC 的周长，得出 MN+NC=AM+BN+AB ，据此来求出 t 的值．然后根据得出的 t 的值，求出△ MNC 的面积，即可判断出△ MNC 的面积是否为△ ABC 面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的 t 值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当 MP=MC 时，那么 PC=2NC ，据此可求出t 的值．②当 CM=CP 时，可根据 CM 和 CP 的表达式以及题设的等量关系来求出t 的值．③当 MP=PC 时，在直角三角形MNP 中，先用 t 表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t 的值．综上所述可得出符合条件的t 的值．解答 :解：（ 1）∵ AQ=3-t在 Rt △ ABC 中， AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在 Rt △ MNC 中， cos ∠NCM==，CM=．（2）由于四边形 PCDQ 构成平行四边形∴ PC=QD ，即 4-t=t解得 t=2 ．（3）如果射线 QN 将△ ABC 的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（ 1+t ） +1+t=（3+4+5）解得： t=（5分）而 MN= NC= （1+t ）∴ S△MNC=（1+t）2=（1+t）2当 t=时，S△MNC=（1+t）2=≠×4×3∴不存在某一时刻t ，使射线 QN 恰好将△ ABC 的面积和周长同时平分．（4）①当 MP=MC 时（如图 1）则有： NP=NC即 PC=2NC ∴ 4-t=2 （ 1+t ）解得： t=②当 CM=CP 时（如图 2）则有：（1+t ） =4-t解得： t=③当 PM=PC 时（如图 3）则有：在 Rt △ MNP 中， PM2=MN2+PN2而 MN= NC= （1+t ）文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持. ∴[ （ 1+t ）]2+ （2t-3 ）2=（ 4-t ） 2解得： t1=，t2=-1（舍去）∴当 t=，t=，t=时，△ PMC为等腰三角形4.分析：以 PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC ）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点 P、 N 重合且点 Q、M 不重合，此时 AP+ND=AD 即 2x+x2=20cm ，BQ+MC≠ BC 即 x+3x≠ 20cm；或者点 Q、M 重合且点 P、N 不重合，此时 AP+ND≠AD 即 2x+x2≠20cm ，BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm ．所以可以根据这两种情况来求解x 的值．以P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q 只能在点M 的左侧．当点P 在点 N 的左侧时， AP=MC ，BQ=ND ；当点 P 在点 N 的右侧时， AN=MC ，BQ=PD ．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P， Q， M， N 为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠ BC 即 x+3x≠ 20cm，AP=ND 即 2x=x2 ，BQ=MC 即 x=3x ，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答：解：（ 1）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时，以 PQ ， MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点 P 与点 N 重合时，由 x2+2x=20 ，得 x1=-1 ， x2=--1（舍去）．因为 BQ+CM=x+3x=4 （-1）＜ 20，此时点 Q 与点 M 不重合．所以 x=-1 符合题意．②当点 Q 与点 M 重合时，由 x+3x=20 ，得 x=5 ．此时 DN=x2=25 ＞ 20，不符合题意．故点 Q 与点 M 不能重合．所以所求 x 的值为-1．（2）由（ 1）知，点 Q 只能在点 M 的左侧，①当点 P 在点 N 的左侧时，由 20- （x+3x ） =20-（2x+x2 ），解得 x1=0 （舍去），x2=2 ．当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形．②当点 P 在点 N 的右侧时，由 20- （x+3x ） =（ 2x+x2 ） -20，解得 x1=-10 （舍去），x2=4 ．当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形．所以当 x=2 或 x=4 时，以 P，Q，M， N 为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点 Q ，M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点 E， F．由于 2x ＞x ，所以点 E 一定在点 P 的左侧．若以 P， Q，M， N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点 F 一定在点 N 的右侧，且 PE=NF ，即 2x-x=x2-3x ．文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持. 由于当 x=4 时，以 P， Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以以 P，Q， M， N 为顶点的四边形不能为等腰梯形．5.解答：解：（ 1）∵ MD ∥NC ，当 MD=NC ，即 15-t=2t ，t=5 时，四边形 MNCD 是平行四边形；（2）作 DE ⊥ BC ，垂足为 E，则 CE=21-15=6 ，当 CN-MD=12 时，即 2t- （15-t ）=12，t=9 时，四边形 MNCD 是等腰梯形6.分析：（1）若过点 P 作 PM⊥ BC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形，得出 PM=DC=12 ，由 QB=16-t ，可知：s= PM× QB=96-6t ；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若 PQ=BQ ，在 Rt △PQM 中，由 PQ2=PM2+MQ2 ，PQ=QB ，将各数据代入，可将时间 t 求出；②若 BP=BQ ，在 Rt△ PMB 中，由 PB2=BM2+PM2 ，BP=BQ ，将数据代入，可将时间 t 求出；③若PB=PQ ，PB2=PM2+BM2 ，PB=PQ ，将数据代入，可将时间 t 求出．解答：解：（ 1）过点 P 作 PM ⊥BC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形．∴PM=DC=12 ，∵ QB=16-t ，∴ s= ?QB?PM=（16-t）×12=96-6t（0≤t≤）．（2）由图可知， CM=PD=2t ，CQ=t ，若以 B、 P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若 PQ=BQ ，在 Rt △ PMQ 中， PQ2=t2+122 ，由 PQ2=BQ2 得 t2+122= （16-t ）2，解得；②若 BP=BQ ，在 Rt△ PMB 中， PB2= （16-2t ）2+122 ，由 PB2=BQ2 得（ 16-2t ）2+122= （16-t ）2，此方程无解，∴ BP≠ PQ．文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.③若 PB=PQ ，由 PB2=PQ2 得 t2+122= （16-2t ）2+122 得，t2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．7.分析：（1）分别令 y=0 ， x=0 ，即可求出 A、B 的坐标；（2））因为 OA=8 ，OB=6 ，利用勾股定理可得 AB=10 ，进而可求出点 Q 由 O 到 A 的时间是 8 秒，点P 的速度是 2，从而可求出，当 P 在线段 OB 上运动（或 0≤t ≤3）时，OQ=t ，OP=2t ，S=t2 ，当 P 在线段 BA 上运动（或 3＜t ≤8）时， OQ=t ， AP=6+10-2t=16-2t ，作 PD ⊥ OA 于点 D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5 ，利用 S= 12OQ× PD ，即可求出答案；（3）令 S= 485 ，求出 t 的值，进而求出 OD、 PD ，即可求出 P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出 M 的坐标．解答：解：（ 1） y=0 ，x=0 ，求得 A（ 8，0）B （0，6），（2）∵ OA=8 ，OB=6 ，∴ AB=10 ．∵点 Q 由 O 到 A 的时间是 81=8 （秒），∴点P 的速度是 6+108=2 （单位长度 /秒）．当 P在线段 OB 上运动（或 O≤t ≤3）时，OQ=t ，OP=2t ，S=t2 ．当 P 在线段 BA 上运动（或 3＜ t ≤8）时，OQ=t ，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做 PD⊥OA 于点 D，由 PDBO=APAB ，得 PD= 48-6t5 ．∴ S= 12OQ?PD= -35t2+245t ．（3）当 S= 485 时，∵ 485 ＞12×3×6∴点 P 在 AB 上当 S= 485 时， - 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245 ， AD=16-2× 4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P（ 85， 245）M1（ 285， 245 ），M2（- 125 ， 245）， M3（ 125，- 245 ）。
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动点路径长专题(含答案)动点路径长专题一．选择题（共2小题）1．如图，抛物线y=x 2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（ ）A．B．C．D．图1 图22．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（ ） A．B．C．D．二．填空题（共9小题）3．（2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM 垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为 _________ ．图3 图4 图54．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为 _________ ．5．（2011•江西模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置，①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′；②点O到O′的路径是→→；③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2；④点O到O′的所经过的路径长为．以上命题正确的是 _________ ．6．（2013•宁德）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是 _________ ．图6 图7图87．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是 _________ ．8．（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P 从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 _________ ．9．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P 是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是 _________ ．图9 图10 图1110．（2013•竹溪县模拟）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 _________ ．11．如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为 _________ 米．三．解答题（共1小题）12．（2012•义乌市模拟）如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC．（1）当点P 运动到线段OA 的中点时，点C 的坐标为 _________ ；（2）在点P 从点O 到点A 的运动过程中，用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）在点P 从点O 到点A 的运动过程中，求出点C 所经过的路径长．《动点路径长专题》参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，抛物线y=x 2﹣x ﹣与直线y=x ﹣2交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），动点P从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．若使点P 运动的总路径最短，则点P 运动的总路径的长为（ ） A ．B ．C ．D．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：首先根据题意求得点A 与B 的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A 关于抛物线的对称轴x=的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′，则直线A ′B ′与直线x=的交点是E ，与x 轴的交点是F ，而且易得A ′B ′即是所求的长度．解答：解：如图∵抛物线y=x 2﹣x ﹣与直线y=x ﹣2交于A 、B 两点，∴x 2﹣x ﹣=x ﹣2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x ﹣2=﹣1，当x=时，y=x ﹣2=﹣，∴点A 的坐标为（，﹣），点B 的坐标为（1，﹣1），∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=作点A 关于抛物线的对称轴x=的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′，则直线A ′B ′与对称轴（直线x=）的交点是E ，与x 轴的交点是F ，∴BF=B ′F ，AE=A ′E ，∴点P 运动的最短总路径是AE+EF+FB=A ′E+EF+FB ′=A ′B ′，延长BB ′，AA ′相交于C ，∴A ′C=++（1﹣）=1，B ′C=1+=，∴A ′B ′==．∴点P 运动的总路径的长为．故选A ．点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．2．如图，半径为4的⊙O 中，CD 为直径，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为（ ）A ．B ．C ．D ．考圆的综合题．点：专题：压轴题．分析：连接AC ，AO ，由AB ⊥CD ，利用垂径定理得到G 为AB 的中点，由中点的定义确定出OG 的长，在直角三角形AOG 中，由AO 与OG 的长，利用勾股定理求出AG 的长，进而确定出AB 的长，由CO+GO 求出CG 的长，在直角三角形AGC 中，利用勾股定理求出AC 的长，由CF 垂直于AE ，得到三角形ACF 始终为直角三角形，点F 的运动轨迹为以AC 为直径的半径，如图中红线所示，当E 位于点B 时，CG ⊥AE ，此时F 与G 重合；当E 位于D 时，CA ⊥AE ，此时F 与A 重合，可得出当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长，在直角三角形ACG 中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG 的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC 的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F 所经过的路径长．解答：解：连接AC ，AO ，∵AB ⊥CD ，∴G 为AB 的中点，即AG=BG=AB ，∵⊙O 的半径为4，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，∴OG=2，∴在Rt △AOG 中，根据勾股定理得：AG==2，∴AB=2AG=4，又∵CG=CO+GO=4+2=6，∴在Rt △AGC 中，根据勾股定理得：AC==4，∵CF ⊥AE ，∴△ACF 始终是直角三角形，点F 的运动轨迹为以AC 为直径的半圆，当E 位于点B 时，CG ⊥AE ，此时F 与G 重合；当E 位于D 时，CA ⊥AE ，此时F 与A 重合，∴当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长，在Rt △ACG 中，tan ∠ACG==，∴∠ACG=30°，∴所对圆心角的度数为60°，∵直径AC=4，∴的长为=π，则当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为π．故选C ．点评：此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长，是解本题的关键．二．填空题（共9小题）3．（2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A 、B 两点，点P 为线段OA 上的动点，连接BP ，过点A 作AM 垂直于直线BP ，垂足为M ，当点P 从点O 运动到点A 时，则点M 运动路径的长为 ．考点：一次函数综合题．分析：根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A 、B 两点坐标，由题意可得点M 的路径是以AB 的中点N 为圆心，AB 长的一半为半径的，求出的长度即可．解答：解：∵AM 垂直于直线BP ，∴∠BMA=90°，∴点M 的路径是以AB 的中点N 为圆心，AB 长的一半为半径的，连接ON ，∵直线y=﹣x+4与两坐标轴交A 、B 两点，∴OA=OB=4，∴ON ⊥AB ，∴∠ONA=90°，∵AB==4，∴ON=2，∴=•2=．故答案为：π．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据∠BMC=90°，判断出点M 的运动路径是解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力．4．如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的上有一运动的点P ．从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设△OPH 的内心为I ，当点P 在上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为 ．考点：弧长的计算；全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心．专题：计算题．分析：如图，连OI ，PI ，AI ，由△OPH 的内心为I ，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO ﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH ）=135°，并且易证△OPI ≌△OAI ，得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I 在以OA 为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A 、I 、O 三点作⊙O ′，如图，连O ′A ，O ′O ，在优弧AO 取点P ，连PA ，PO ，可得∠APO=180°﹣135°=45°，得∠AOO=90°，O ′O=OA=×2=，然后利用弧长公式计算弧OA 的长．解答：解：如图，连OI ，PI ，AI ，∵△OPH 的内心为I ，∴∠IOP=∠IOA ，∠IPO=∠IPH ，∴∠PIO=180°﹣∠IPO ﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH ），而PH ⊥OA ，即∠PHO=90°，∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH ）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，又∵OP=OA ，OI 公共，而∠IOP=∠IOA ，∴△OPI ≌△OAI ，∴∠AIO=∠PIO=135°，所以点I 在以OA 为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A 、I 、O 三点作⊙O ′，如图，连O ′A ，O ′O ，在优弧AO 取点P ，连PA ，PO ，∵∠AIO=135°，∴∠APO=180°﹣135°=45°，∴∠AOO=90°，而OA=2cm ，∴O ′O=OA=×2=，∴弧OA 的长==（cm ），所以内心I 所经过的路径长为cm ．故答案为：cm ．点评：本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．5．（2011•江西模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O ′A ′B ′位置，①点O 到O ′的路径是OO 1→O 1O 2→O 2O ′；②点O 到O ′的路径是→→；③点O 在O 1→O 2段上运动路线是线段O 1O 2；④点O 到O ′的所经过的路径长为．以上命题正确的是 ．考点：旋转的性质；弧长的计算．分圆心O 由O 到O 1的路径是以A 为圆心，以OA 为半径析：的圆弧；由O 1到O 2圆心所经过的路线是线段O 1O 2；由O 2到O ′，圆心经过的路径是：以B ′为圆心，以O ′B ′为半径的圆弧．据此即可判断．解答：解：圆心O 由O 到O 1的路径是以A 为圆心，以OA 为半径的圆弧；由O 1到O 2圆心所经过的路线是线段O 1O 2；由O 2到O ′，圆心经过的路径是：以B ′为圆心，以O ′B ′为半径的圆弧．故正确的是：③④．故答案为：③④．点评：本题主要考查了图形的旋转，正确确定圆心O 经过的路线是解决本题的关键．6．（2013•宁德）如图，在Rt △ABC 纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P 在AC 上运动，将纸片沿PB 折叠，得到点C 的对应点D （P 在C 点时，点C 的对应点是本身），则折叠过程对应点D 的路径长是 ．考翻折变换（折叠问题）；弧长的计算．点：分析：根据翻折变换的性质以及△ABC 是等腰直角三角形判断出点D 的路径是以点B 为圆心，以BC 的长为半径的扇形，然后利用弧长公式列式计算即可得解．解答：解：∵∠C=90°，AC=BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，如图，点D 的路径是以点B 为圆心，以BC的长为半径的扇形，路径长==2π．故答案为：2π．点评：本题考查了翻折变换的性质，弧长的计算，判断出点D 的路径是扇形是解题的关键．7．如图，已知AB=10，P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 和△PDB ，连接CD ，设CD 的中点为G ，当点P 从点A 运动到点B 时，则点G 移动路径的长是 ．考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．专题：压轴题．分析：分别延长AC 、BD 交于点H ，易证四边形CPDH 为平行四边形，得出G 为PH 中点，则G 的运行轨迹△HAB的中位线MN ，运用中位线的性质求出MN 的长度即可．解答：解：如图，分别延长AC 、BD 交于点H ，∵∠A=∠DPB=60°，∴AH ∥PD ，∵∠B=∠CPA=60°，∴BH ∥PC ，∴四边形CPDH 为平行四边形，∴CD 与HP 互相平分．∵G 为CD 的中点，∴G 正好为PH 中点，即在P 的运动过程中，G 始终为PH 的中点，所以G 的运行轨迹为△HAB 的中位线MN ．∴MN=AB=5，即G 的移动路径长为5．故答案为：5．点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G 移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 8．（2013•湖州）如图，已知点A 是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y=﹣x 于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB=30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是 ．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）首先，需要证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0B n∽△AON，求出线段B0B n的长度，即点B运动的路径长．解答：解：由题意可知，OM=，点N在直线y=﹣x上，AC⊥x 轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=OM=×=．如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为B n，连接B0B n．∵AO⊥AB0，AN⊥AB n，∴∠OAC=∠B0AB n，又∵AB0=AO•tan30°，AB n=AN•tan30°，∴AB0：AO=AB n：AN=tan30°，∴△AB0B n∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0B n=ON•tan30°=×=．现在来证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．如答图②所示，当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点B 为B i ，连接AP ，AB i ，B0B i．∵AO ⊥AB 0，AP ⊥AB i ，∴∠OAP=∠B 0AB i，又∵AB 0=AO •tan30°，AB i =AP •tan30°，∴AB 0：AO=AB i：AP ，∴△AB 0B i∽△AOP ，∴∠AB 0B i=∠AOP ．又∵△AB 0B n ∽△AON ，∴∠AB 0B n=∠AOP ，∴∠AB 0B i =∠AB 0B n，∴点B i 在线段B 0B n 上，即线段B 0B n就是点B 运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B 运动的路径（或轨迹）是线段B 0B n ，其长度为．故答案为：．点评：本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．9．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P 是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是 ．考点：正方形的性质；轨迹．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段O 1O 2中点G 的运动路径的长．解答：解：如图所示：当P 移动到C 点以及D 点时，得出G 点移动路线是直线，利用正方形的性质即线段O 1O 2中点G的运动路径的长就是O 2O ″的长，∵线段AB=10，AC=BD=2，当P 与C 重合时，以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，∴AP=2，BP=8，则O 1P=，O 2P=4，∴O 2P=O 2B=4，当P ′与D 重合，则P ′B=2，则AP ′=8，∴O ′P ′=4，O ″P ′=，∴H′O ″=BO ″=，∴O 2O ″=4﹣=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出G 点移动的路线是解题关键．10．（2013•竹溪县模拟）如图：已知AB=10，点C 、D 在线段AB 上且AC=DB=1； P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连结EF ，设EF 的中点为G ；当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是 ．考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．分析：分别延长AE 、BF 交于点H ，易证四边形EPFH 为平行四边形，得出G 为PH 中点，则G 的运行轨迹为三角形HCD 的中位线MN ．再求出CD 的长，运用中位线的性质求出MN 的长度即可．解答：解：如图，分别延长AE 、BF 交于点H ，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH ∥PF ，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH ∥PE ，∴四边形EPFH 为平行四边形，∴EF 与HP 互相平分．∵G 为EF 的中点，∴G 正好为PH 中点，即在P 的运动过程中，G 始终为PH 的中点，所以G 的运行轨迹为三角形HCD 的中位线MN ．∵CD=10﹣1﹣1=8，∴MN=4，即G 的移动路径长为4．故答案为：4．点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G 移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．11．如图，一根长为2米的木棒AB 斜靠在墙角处，此时BC 为1米，当A 点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB 的中点P 运动的路径长为 米．考点：勾股定理的应用；弧长的计算．专题：压轴题．分析：先根据三角函数求出∠BAC 的度数，再根据直角三角形的性质得到∠ACP 的度数，同理求出∠B ′CP ′的度数，可得∠PCP ′的度数，再根据弧长的计算公式求解即可．解答：解：连接CP ，CP ′．∵∠ACB=90°，BC=1米，A ′B=2米，∴∠BA ′C=30°，∵P 是木棒AB 的中点，∴PC=PA=1米，∴∠PCA=30°，同理求出∠B ′CP ′=30°，则∠PCP ′=30°，∴木棒AB 的中点P 运动的路径长为：×2π×1=米．故答案为：米．点评：考查了三角函数，直角三角形的性质和弧长的计算公式，木棒AB 的中点P 运动的路径为半径为1的扇形的弧长． 三．解答题（共1小题）12．（2012•义乌市模拟）如图，边长为4的等边△AOB 的顶点O 在坐标原点，点A在x 轴正半轴上，点B 在第一象限．一动点P 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．在点P 的运动过程中，线段BP 的中点为点E ，将线段PE 绕点P 按顺时针方向旋转60°得PC ．（1）当点P 运动到线段OA 的中点时，点C 的坐标为 ；（2）在点P 从点O 到点A 的运动过程中，用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）在点P 从点O 到点A 的运动过程中，求出点C 所经过的路径长．考点：相似形综合题．分析：（1）过点作CD ⊥x 轴于点D ，先由等边三角形的性质求出P 点坐标及BP 的长，故可得出PE 的长，由图形旋转的性质求出PC=PE 及∠CPD 的度数，再由锐角三角函数的定义即可求出PD 及CD 的长，进而可得出结论；（2）过P 作PD ⊥OB 于点D ，过C 作CF ⊥PA 于点F ，在Rt △OPD 中 PD=OP •sin60°=，由相似三角形的判定定理得出△BPD ∽△PCF ，故可得出CF 及PF 的长，进而可得出C 点坐标；（3）取OA 的中点M ，连接MC ，由（2）得，，由锐角三角函数的定义得出∠CMF=30°，可知点C 在直线MC 上运动．故当点P 在点O 时，点C 与点M重合．当点P 运动到点A 时，点C 的坐标为（5，），由两点间的距离公式即可得出结论．解答：解：（1）如图1，过点作CD ⊥x 轴于点D ，∵△AOB 是等边三角形，P 是OA 的中点，∴P （2，0），BP=OB •sin60°=4×=2，∵E 是BP 的中点，∴PE=，∴PE=PC=，∵∠BPC=60°，∴∠CPA=30°，∴PD=PC •cos30°=×=，CD=PC •sin30°=×=，∴OD=OP+PD=2+=，∴C （，）；（2）如图2，过P 作PD ⊥OB 于点D ，过C 作CF ⊥PA 于点F在Rt △OPD 中 PD=OP •sin60°=，∵∠OBP+∠OPB=∠CPF+∠OPB=120°∴∠DBP=∠FPC，∵∠PDB=∠CFP=90°∴△BPD∽△PCF，∴CF=，∴点C的坐标是（）；（3）取OA的中点M，连接MC，由（2）得，．∴∴∠CMF=30°．∴点C在直线MC上运动．当点P在点O时，点C与点M重合．当点P运动到点A时，点C的坐标为∴点C所经过的路径长为．点评：本题考查的是相似形综合题及旋转的性质、等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．。