2019年陕西省西安市高新一中高考数学一模试卷(文科)

5．（5 分）命题 p：若 1＜y＜x，0＜a＜1，则
，命题 q：若 1＜y＜x，a＜0，则
xa＜ya．在命题①p 且 q②p 或 q③非 p④非 q 中，真命题是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【考点】2E：复合命题及其真假． 菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
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3．（5 分）在等差数列{an}中，前 n 项和为 Sn，
，则 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】85：等差数列的前 n 项和． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】根据等差数列的前 n 项和公式得到 a1＝ d，即可求出答案．
A．13，12
B．13，13
C．12，13
D．13，14
9．（5 分）如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）若 x、y 满足
，且 z＝y﹣x 的最小值为﹣6，则 k 的值为（ ）
A．3
B．﹣3
C．
D．
11．（5 分）设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．如
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2019 年陕西省西安市高新一中高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1．（5 分）已知复数 z 满足（3+4i）z＝25，则 z＝（ ）
A．3﹣4i
B．3+4i
C．﹣3﹣4i
D．﹣3+4i
【考点】A1：虚数单位 i、复数． 菁优网版权所有
B．∁U（A∩B）
C．A∪（∁UB）
D．∁U（A∪B）
3．（5 分）在等差数列{an}中，前 n 项和为 Sn，
，则 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）设 f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当 x∈[﹣2，1）时，f（x）＝
，则 f（ ）＝（ ）
A．0
B．1
C．
D．﹣1
5．（5 分）命题 p：若 1＜y＜x，0＜a＜1，则
＜﹣4 成立的最小自然数 n 的值为
．
16．（5 分）设函数 （f x）是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数，若 （f 2）＞1，（f 3）＝
，
则 a 的取值范围是
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 2acosA＝ccosB+bcosC．
求 k 的取值范围．
请考生从第 22、23 二题中任选一题作答，多选、多答，按所选的首题进行评分．[选修 44： 坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 22．（10 分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴非负半轴重合，且取
相同的长度单位．曲线 C1：ρcosθ﹣2ρsinθ﹣7＝0，和 C2：
为 ；在 C 中，函数
的对称中心为（﹣
，0），k∈Z；在 D 中，
由 cos（﹣3）＝cos3＜0，sin（﹣3）＝﹣sin3＜0，得到角 α 的终边经过点（cos（﹣3），
sin（﹣3）），则角 α 是第三象限角．
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【解答】解：在 A 中，∵cosx0∈[﹣1，1]， ∴1﹣cos3x0＝（1﹣cosx0）（1+cosx0+cos2x0）≥0， ∵log2 ＜log21＝0，
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A．
B．
C．
D．
【考点】EF：程序框图． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5K：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出 S＝
的值．
【解答】解：n＝5 时，k＝1，S＝0，
第一次运行：S＝0+
＝ ，k＝1＜5，
第二次运行：k＝1+1＝2，S＝
B．函数 y＝sin2xcos2x 的最小正周期为 π
C．函数
的一个对称中心为
D．角 α 的终边经过点（cos（﹣3），sin（﹣3）），则角 α 是第三象限角 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质． 【分析】在 A 中，1﹣cos3x0≥0，log2 ＜0；在 B 中，函数 y＝sin2xcos2x 的最小正周期
19．（12 分）等腰△ABC 的底边
，高 CD＝3，点 E 是线段 BD 上异于点 B，D 的动
点．点 F 在 BC 边上，且 EF⊥AB．现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使 PE⊥AE．
（Ⅰ）证明 EF⊥平面 PAE；
（Ⅱ）记 BE＝x，V（x）表示四棱锥 P﹣ACFE 的体积，求 V（x）的最值．
【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】既然 3 是周期，那么﹣3 也是周期，所以 f（ ）＝f（﹣ ），代入函数解析式
即可． 【解答】解：∵f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的函数，∴f（ ）＝f（ ﹣3）＝f（﹣ ）
＝4（﹣ ）2﹣2＝﹣1
故选：D．
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【点评】本题考查函数的周期性以及分段函数的表示，属于基础题．
∴不存在 x0∈R，使得
，故 A 错误；
在 B 中，函数 y＝sin2xcos2x＝
的最小正周期为 ，故 B 错误；
在 C 中，由 2（x+ ）＝ +kπ，k∈Z，得 x＝﹣
，k∈Z，
∴函数
的对称中心为（﹣
，0），k∈Z，故 C 错误；
在 D 中，∵cos（﹣3）＝cos3＜0，sin（﹣3）＝﹣sin3＜0，
＝ ，k＝2＜5，
第三次运行：k＝2+1＝3，
＝ ，k＝3＜5，
第四次运行：k＝3+1＝4，S＝
＝ ，k＝4＜5，
第五次运行：k＝4+1＝5，S＝
＝ ，k＝5，
结束运行，输出 S＝ ．
故选：D． 【点评】本题考查程序框图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合 理运用． 7．（5 分）下列说法正确的是（ ） A．存在 x0∈R，使得
（Ⅰ）求 cosA 的值；
（Ⅱ）若 a＝1，cos2 +cos2 ＝1+ ，求边 c 的值．
18．（12 分）某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了 5 块土 地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测 得棉花的亩产量如图所示： （Ⅰ）请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由； （Ⅱ）求从种植甲种棉花的 5 块土地中任选 2 块土地，这两块土地的亩产量均超过种植 甲种棉花的 5 块土地的总平均亩产量的概率．
2．（5 分）已知全集 U＝R，
，则集合 C
＝（ ）
A．A∩B
B．∁U（A∩B）
C．A∪（∁UB）
【考点】1H：交、并、补集的混合运算． 菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4R：转化法；5J：集合．
【分析】根据集合的运算性质判断即可．
D．∁U（A∪B）
【解答】解：
，
故 A∪B＝{x|x＜ }，
故 C＝∁U（A∪B）， 故选：D． 【点评】本题考查了集合的运算，熟练掌握集合的运算性质是解题的关键，本题是一道 基础题．
．
（1）写出 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程； （2）已知点 P（﹣4，4），Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到曲线 C1 距离的最小值． [选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 0 分） 23．已知不等式|x﹣1|＜|x|+a，其中 a∈R （1）当 a＝1 时，求不等式|x﹣1|＜|x|+a 的解集； （2）若不等式|x﹣1|＜|x|+a 的解集不是空集，求 a 的取值范围．
a3＝8，且 a1，a3，a7 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ）
A．13，12
B．13，13
C．12，13
D．13，14
【考点】8M：等差数列与等比数列的综合；BB：众数、中位数、平均数． 菁优网版权所有
【解答】解：设首项为 a1，公差为 d，
∵
，
∴
＝，
即 a1＝ d，
则＝
＝
＝，
故选：A． 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和公式，属于基础题． 4．（5 分）设 f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当 x∈[﹣2，1）时，f（x）＝
，则 f（ ）＝（ ）
A．0
B．1
C．
D．﹣1
【考点】3T：函数的值． 菁优网版权所有
2019 年陕西省西安市高新一中高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1．（5 分）已知复数 z 满足（3+4i）z＝25，则 z＝（ ）
A．3﹣4i
B．3+4i
C．﹣3﹣4i
D．﹣3+4i
2．（5 分）已知全集 U＝wenku.baidu.com，
，则集合 C
＝（ ） A．A∩B
【分析】分别判断出 p，q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可．
【解答】解：∵1＜y＜x，∴ ＜ ，
而 0＜a＜1，则 ＞ 故命题 p 是假命题； 若 1＜y＜x，a＜0，则 xa＜ya． 故命题 q 是真命题， 故①p 且 q 是假命题， ②p 或 q 是真命题； ③非 p 是真命题， ④非 q 是假命题， 故选：C． 【点评】本题考查了复合命题的判断，考查指数函数的性质，是一道中档题． 6．（5 分）如果执行如图所示的框图，输入 N＝5，则输出的 S 等于（ ）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在对应题号后的横线上．
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13． （5 分）已知向量
，
，若
，则代数式
的值是
．
14．（5 分）若直线 ax+2y+6＝0 和直线 x+a（a+1）y+a2﹣1＝0 垂直，则 a＝
．
15．（5 分）已知数列{an}的通项公式 an＝log2 （n∈N*），设其前 n 项和为 Sn，则使 Sn
果直线 AF 的斜率为 ，那么|PF|＝（ ）
A．
B．8
C．
D．16
12．（5 分）设 f（x）＝ ，g（x）＝ax+5﹣2a（a＞0），若对于任意 x1∈[0，1]，总存在
x0∈[0，1]，使得 g（x0）＝f（x1）成立，则 a 的取值范围是（
A．[4，+∞）
B．（0， ]
C．[ ，4]
） D．[ ，+∞）
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20．（12 分）已知圆 C 的方程为 x2+y2＝4，点 P 是圆 C 上任意一动点，过点 P 作 x 轴的垂 线，垂足为 H，且 ＝ （ + ），动点 Q 的轨迹为 E．轨迹 E 与 x 轴、y 轴的正半轴
分别交于点 A 和点 B；直线 y＝kx（k＞0）与直线 AB 相交于点 D，与轨迹 E 相交于 M、 N 两点． （Ⅰ）求轨迹 E 的方程； （Ⅱ）求四边形 AMBN 面积的最大值． 21．（12 分）设函数 f（x）＝x2﹣xlnx+2 （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若存在区间[a，b]⊆[ ，+∞），使 f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，计算求
得 z 的值．
【解答】解：∵复数 z 满足（3+4i）z＝25，则 z＝
＝
＝
＝3﹣4i， 故选：A． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基 础题．
B．函数 y＝sin2xcos2x 的最小正周期为 π
C．函数
的一个对称中心为
D．角 α 的终边经过点（cos（﹣3），sin（﹣3）），则角 α 是第三象限角
8．（5 分）一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列{an}，若
a3＝8，且 a1，a3，a7 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ）
∴角 α 的终边经过点（cos（﹣3），sin（﹣3）），则角 α 是第三象限角，故 D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查三角函数、对数函数、二倍角公式、立方差公
式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程
思想，属于中档题．
8．（5 分）一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列{an}，若
，命题 q：若 1＜y＜x，a＜0，则
xa＜ya．在命题①p 且 q②p 或 q③非 p④非 q 中，真命题是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
6．（5 分）如果执行如图所示的框图，输入 N＝5，则输出的 S 等于（ ）
第1页（共21页）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）下列说法正确的是（ ） A．存在 x0∈R，使得