最新中职数学模拟试题：解答题(04)

中职数学模拟试题：解答题

解答题（本大题满分74分）：

19、（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.

20、（本题满分14分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且23f π⎛⎫

= ⎪⎝⎭

（1）求A 的值； （2）设0,

2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛

⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛

⎫-= ⎪⎝

⎭，求cos()αβ+的

值.

21、（本题满分14分）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.

(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；

(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值

22、（本题满分18分）各项均为正数的数列{}n a 满足*2121,02N n a a a a n n n n ∈=--++，且

32a +是2a 、4a 的等差中项.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)若n n n n n b b b S a a b +++== 212

1,log ，求使502

1

>⋅++n n n S 成立的n 的最小.

23、（本题满分

16

分）设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，

2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =.

（1）求集合D （用区间表示）

（2）求函数32

()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.

19、【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，

故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；

直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h

考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111

(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=

而1AD C ∆中，11

AC DC AD ==，故13

2

AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为2

3

．

20、【答案】（1）cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫

=+===

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

2A =。 （2）

43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛

⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭，即

15

sin 17

α=

， 2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛

⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，即4cos 5β=。

因为0,

2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦

，所以8cos 17α==，3sin 5β==， 所以8415313

cos()cos cos sin sin 17517585

αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-。

21、【答案】

22、答案：

23、【答案】

【解析】（1）令2

()23(1)6g x x a x a =-++，

229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--。

① 当1

03

a <≤

时，0∆≥，

方程()0g x =的两个根分别为

1334

a x +-=

，

2x =

所

以

()0g x >的解集为

(()-∞+∞。

因

为

12,0

x x >，所以

D A B ==()+∞。 ② 当1

13

a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B ==(0,)+∞， 综

上所述，当1

03

a <≤

时，

D =3333(0,

()44

a a +++∞； 当

1

13

a <<时，D =(0,)+∞。 （2）2

()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，

令()0f x '=，得x a =或1x =。

① 当1

03

a <≤

时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞， 因为2

()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤， 所以1201a x x <<<≤，

所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：

所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点。

② 当

1

13

a <<时，由（1）知D =(0,)+∞， 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：

所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x =。 综上所述，当1

03

a <≤

时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点； 当

1

13

a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。