最新中职数学模拟试题：解答题(04)

中职数学模拟试题：解答题
解答题（本大题满分74分）：
19、（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.
20、（本题满分14分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且23f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（1）求A 的值； （2）设0,
2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，求cos()αβ+的
值.
21、（本题满分14分）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.
(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；
(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值
22、（本题满分18分）各项均为正数的数列{}n a 满足*2121,02N n a a a a n n n n ∈=--++，且
32a +是2a 、4a 的等差中项.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若n n n n n b b b S a a b +++== 212
1,log ，求使502
1
>⋅++n n n S 成立的n 的最小.
23、（本题满分
16
分）设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，
2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =.
（1）求集合D （用区间表示）
（2）求函数32
()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.
19、【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，
故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；
直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h
考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111
(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=
而1AD C ∆中，11
AC DC AD ==，故13
2
AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为2
3
．
20、【答案】（1）cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫
=+===
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
2A =。

（2）
43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，即
15
sin 17
α=
， 2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛
⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，即4cos 5β=。

因为0,
2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦
，所以8cos 17α==，3sin 5β==， 所以8415313
cos()cos cos sin sin 17517585
αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-。

21、【答案】
22、答案：
23、【答案】
【解析】（1）令2
()23(1)6g x x a x a =-++，
229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--。

① 当1
03
a <≤
时，0∆≥，
方程()0g x =的两个根分别为
1334
a x +-=
，
2x =
所
以
()0g x >的解集为
(()-∞+∞。

因
为
12,0
x x >，所以
D A B ==()+∞。

② 当1
13
a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B ==(0,)+∞， 综
上所述，当1
03
a <≤
时，
D =3333(0,
()44
a a +++∞； 当
1
13
a <<时，D =(0,)+∞。

（2）2
()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，
令()0f x '=，得x a =或1x =。

① 当1
03
a <≤
时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞， 因为2
()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤， 所以1201a x x <<<≤，
所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：
所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点。

② 当
1
13
a <<时，由（1）知D =(0,)+∞， 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：
所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x =。

综上所述，当1
03
a <≤
时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点； 当
1
13
a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。