递推公式求解
使用数列的递推公式求解数列问题
使用数列的递推公式求解数列问题数列问题是数学中常见的一类问题，通过递推公式可以求解。
递推公式表示数列中的每个元素与前一或多个元素之间的关系，从而可以依次计算出数列的每个元素。
本文将介绍使用递推公式求解数列问题的方法和步骤。
首先，我们来定义一个数列。
数列是由一系列数字按照一定顺序排列而成的集合，可以用如下形式表示：a1, a2, a3, ..., an其中ai表示数列中的第i个元素。
数列中的元素之间可能存在一定的关系，这种关系可以通过递推公式来表示。
递推公式是数列中相邻元素之间的关系式，用来计算第n个元素。
递推公式通常可以分为两类：线性递推公式和非线性递推公式。
线性递推公式的形式如下：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + ... + ck * an-k其中c1, c2, ..., ck是常数。
这种公式表示第n个元素是前k个元素的线性组合。
要求使用这种公式求解数列问题，我们需要确定递推公式中的常数c1, c2, ..., ck。
通常可以通过已知条件来确定这些常数。
非线性递推公式的形式比较灵活，可以根据具体问题来确定。
例如，斐波那契数列的递推公式为：an = an-1 + an-2这个公式表示数列中的第n个元素等于前两个元素之和。
类似地，我们可以根据不同的数列问题确定递推公式的形式。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设有一个数列，前四个元素依次为1，3，5，7。
现在我们需要求解数列中的第n个元素。
根据已知条件，我们可以设定数列的递推公式为：an = an-1 + 2其中a1 = 1是已知条件。
通过这个递推公式，我们可以计算出数列中的任意一个元素。
下面是根据递推公式计算数列中的一些元素的结果：a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3a3 = a2 + 2 = 3 + 2 = 5a4 = a3 + 2 = 5 + 2 = 7a5 = a4 + 2 = 7 + 2 = 9通过不断代入递推公式，我们可以计算出数列中任意一个元素的值。
数列求通项的十种方法
数列求通项的十种方法
数列是数学中的一个重要概念，对于求数列通项的问题，有许多不
同的解法。
下面将介绍十种求解数列通项的方法。
1. 暴力求解法：将数列中的前几项写出来，然后根据已知项之间的规
律来推出通项公式。
2. 公式推导法：利用一些已知的数列通项公式，结合这个数列的特点，在此基础上推导出此数列的通项公式。
3. 通项公式分解法：将数列的通项公式分解为元素之和的形式，从而
得到每一项的通项公式。
4. 递推公式求解法：根据数列中一些指定的通项公式，推导出递推公式，并使用递推公式依次求出数列中每一项的通项公式。
5. 差分法：通过对数列求差（即相邻项之差），得到一个新数列，然
后对新数列再次求差，直到差分后的数列为常数列，最后通过累加得
到原数列的通项公式。
6. 微积分法：对数列进行微积分操作，得到导数，然后再对导数积分，通过积分得到原数列的通项公式。
7. 特征方程法：将递推公式转化为特征方程，并求解特征根，然后根
据特征根求得通项公式。
8. 奇怪公式法：有些数列的通项公式看起来十分奇怪，但通过反复验证，发现确实有效。
9. 递归法：通过一个递归的函数，根据某一项的值递归计算其他项的值，最终得到整个数列的通项公式。
10. 牛顿插值法：利用牛顿插值法，通过已知的数列中一部分数值，反
推出整个数列的通项公式。
以上是十种求解数列通项的方法，每种方法都有其适用范围和局限性。
对于不同的数列，选择不同的方法求解，可以得到更加准确和简便的
结果。
递归算法 递推公式求解
递归算法递推公式求解递归算法是一种自我调用的算法，它通过不断将问题分解为更小的子问题来求解问题。
递归算法的核心是递推公式，也称为递归式，它描述了如何将问题分解为子问题，并如何从子问题的解中得到原问题的解。
递推公式通常具有以下形式：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，T(n) 表示问题规模为n 时的时间复杂度，a 表示每次递归调用的次数，b 表示每次递归调用后问题规模缩小的比例，f(n) 表示除了递归调用外的其他操作的时间复杂度。
为了求解递推公式，我们可以使用以下方法：1.迭代法：通过迭代递推公式的方式逐步计算出T(n) 的值。
这种方法比较直观，但对于较大的n 值，迭代次数可能非常多，计算量也会非常大。
2.替换法：通过猜测T(n) 的形式，并将其代入递推公式中进行验证。
如果猜测正确，则可以得到T(n) 的解。
这种方法需要对问题有一定的了解和猜测能力。
3.大师定理：大师定理是一种求解递推公式的通用方法。
它可以根据递推公式的形式，直接给出T(n) 的时间复杂度。
大师定理有多种形式，其中最常用的是以下三种：a. 如果f(n) = O(n^c)，其中c < log_b(a)，则T(n) = O(n^log_b(a))。
b. 如果f(n) = O(n^c)，其中c = log_b(a)，则T(n) = O(n^c * log_n)。
c. 如果f(n) = O(n^c)，其中c > log_b(a)，且对于所有足够大的n，有af(n/b) <= f(n)，则T(n) = O(f(n))。
需要注意的是，大师定理只是一种求解递推公式的工具，它并不能解决所有类型的递推公式。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的求解方法。
根据递推关系求数列通项公式的几种方法
根据递推关系求数列通项公式的几种方法要求根据递推关系求解数列的通项公式，其实是要求找到一个能将数列的每一项都表示为n（项数）的函数的公式。
在数学中，有几种方法可以求解这类问题。
一、代数方法：对于一些简单的递推关系，可以尝试使用代数方法来求解数列的通项公式。
这种方法通过观察数列中的模式，尝试将递推关系转化为代数方程，然后解方程得到通项公式。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设通项公式为Fn=k1a^n+k2b^n，其中k1、k2为常数，a、b为待定数。
k1a^n+k2b^n=k1a^(n-1)+k2b^(n-1)+k1a^(n-2)+k2b^(n-2)整理得：k1a^2-k1a-k2=0。
解这个方程，可以得到a和b的值，然后将a和b的值代入通项公式中，即可求解斐波那契数列的通项公式。
二、特征根法：特征根法是求解一阶线性递推关系（如Fn=aFn-1+b）的通项公式的常用方法。
该方法的基本思想是，将递推关系转化为一个一阶线性常微分方程，然后解方程得到通项公式。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列满足的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1将递推关系转化为一阶线性常微分方程得到：y''-y'-y=0其中y=Fn。
解这个方程得到的特征根为α1=(1+√5)/2，α2=(1-√5)/2通项公式可以表示为：Fn=k1(α1)^n+k2(α2)^n其中k1、k2为常数。
利用初始条件F1=1，F2=1，可以求解出k1和k2的值，进而求解出斐波那契数列的通项公式。
三、母函数法：母函数法是一种求解递推关系的高效方法，尤其适用于求解求和问题。
该方法的基本思想是，将数列视为一个幂级数的系数列，通过构造母函数来解决递推关系。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设母函数为F(x)=F0+F1x+F2x^2+F3x^3+...F(x)=x(F(x)-F0)+x^2F(x)整理得：F(x)=F0+xF(x)+x^2F(x)移项得：F(x)=F0/(1-x-x^2)。
数列的求和与递推公式
数列的求和与递推公式在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
求解数列的和以及找到递推公式是数学中常见的问题，本文将介绍数列求和的方法以及递推公式的推导过程。
一、等差数列的求和与递推公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持相等的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。
1.1 求和公式对于等差数列来说，我们可以通过求和的方法来快速计算数列的和。
等差数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = (n/2) * (a + an)其中，n为项数，a为首项，an为第n项。
1.2 递推公式递推公式是求解等差数列中第n项的常用方法。
根据等差数列的性质，可以得出递推公式为：an = a + (n-1) * d其中，an为第n项，a为首项，d为公差，n为项数。
二、等比数列的求和与递推公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
2.1 求和公式对于等比数列而言，我们可以通过求和的公式来计算数列的和。
等比数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，n为项数，a为首项，r为公比。
2.2 递推公式递推公式是求解等比数列中第n项的常用方法。
根据等比数列的定义和性质，可以得出递推公式为：an = a * r^(n-1)其中，an为第n项，a为首项，r为公比，n为项数。
三、斐波那契数列的求和与递推公式斐波那契数列是一种特殊的数列，在数学和自然界中都有广泛的应用。
斐波那契数列的定义如下：首项为1，第二项为1，之后的每一项都是前两项的和。
3.1 求和公式斐波那契数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = Fn+2 - 1其中，Fn为斐波那契数列的第n项。
3.2 递推公式递推公式是求解斐波那契数列中第n项的常用方法。
根据斐波那契数列的定义和性质，可以得出递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn为第n项，Fn-1为第n-1项，Fn-2为第n-2项。
数列通项的七种方法
数列通项的七种方法一、递推公式法递推公式法是一种常见的求解数列通项的方法。
通过观察数列中相邻两项的关系，可以找到递推公式，从而求得数列的通项。
例如，我们考虑一个等差数列，已知首项为a，公差为d。
根据等差数列的性质，我们可以得到递推公式an = an-1 + d。
其中，an 表示数列的第n项，an-1表示数列的第n-1项。
利用递推公式，我们可以通过已知的首项和公差，依次求得数列的每一项。
这种方法简单直观，适用于求解各种类型的数列。
二、通项公式法通项公式法是一种通过数学公式来表示数列通项的方法。
对于某些特殊的数列，可以通过观察数列中的规律，建立通项公式，从而直接求得数列的任意项。
例如，斐波那契数列就可以通过通项公式来表示。
斐波那契数列的通项公式为Fn = (1/sqrt(5)) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)。
其中，Fn表示数列的第n项。
通项公式法适用于某些特殊的数列，可以直接求得数列的任意项，省去了逐项求解的步骤，提高了求解效率。
三、递归关系法递归关系法是一种通过递归关系来求解数列通项的方法。
通过观察数列中相邻两项的关系，可以建立递归关系式，从而求得数列的通项。
例如，斐波那契数列就可以通过递归关系来表示。
斐波那契数列的递归关系式为Fn = Fn-1 + Fn-2。
其中，Fn表示数列的第n项，Fn-1表示数列的第n-1项，Fn-2表示数列的第n-2项。
利用递归关系，我们可以通过已知的前两项，依次求得数列的每一项。
递归关系法适用于一些特殊的数列，可以通过递归的方式来求解。
四、等差数列通项公式对于等差数列，我们可以通过等差数列的通项公式来求解数列的任意项。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差。
利用等差数列的通项公式，我们可以直接求解数列的任意项，无需逐项计算，提高了求解效率。
递推公式法
递推公式法
递推公式法是数学中一种重要的求解方法，它可以通过已知的一些值，推导出后面的值。
这种方法通常用于数列的求解，例如斐波那契数列就是一种应用递推公式法求解的典型例子。
递推公式的一般形式为：
$a_{n}=f(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k})$，其中 $a_{n}$ 表示数
列中第 $n$ 项的值，$f$ 是一个函数，
$a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k}$ 表示数列中前面若干项的值。
在使用递推公式法求解数列时，通常需要先求出数列的前若干项，然后利用递推公式求出后面的值。
这个过程可以用计算机程序来实现，通常需要设置一个循环语句，不断地根据递推公式求解出数列中的下一项。
递推公式法不仅可以用于求解数列，还可以用于求解其他一些问题，例如动态规划中的状态转移方程等。
在实际应用中，递推公式法具有很高的效率和灵活性，因此被广泛应用于各个领域。
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六类递推数列通项公式的求解方法
六类递推数列通项公式的求解方法一、an-1=an+f(n)型利用叠加法.a2=a1+f(1)，a3=a2+f(2)，…，an=an-1+f(n-1),an=a1+∑n-1k=1f(k)．【例1】数列{an}满足a1=1，an=an-1+1n2-n(n≥2) ，求数列{an}的通项公式．解：由an+1=an+1(n+1)2-(n+1) 得an=a1+∑n-1k=11(k+1)2-(k+1) =1+∑n-1k=1(1k-1k+1)=1+1-1n =2-1n.二、an+1=anf(n)型利用叠代法.a2=a1f(1)，a3=a2f(2)，…，an=an-1f(n-1)．an=a1∏n-1k=1f(k).【例2】数列{an}中a1=2，且an=(1-1n2)an-1 ，求数列{an}的通项．解：因为an+1＝［1-1(n+1)2 ］an，所以an=a1∏n-1k=1f(k)=2∏n-1k=1［1-1(k+1)2 ］=2∏n-1k=1［kk+1 ×k+2k+1 ］=n+1n .三、an+1=pan+q，其中p,q为常数，且p≠1,q≠0当出现an+1=pan+q(n∈n*）型时可利用叠代法求通项公式，即由an+1=pan+q得an=pan-1+q=p(pan-2+q)+q=…=pn-1a1+(pn-2+pn-3+…+p2+p+1)q=a1pn-1+q(pn-1-1）p-1 （p≠1).或者利用待定系数法，构造一个公比为p的等比数列，令an+1+λ=p(an+λ)，则(p-1)λ=q,即λ=qp-1 ，从而｛an+qp+1 ｝是一个公比为p的等比数列．【例3】设数列{an}的首项a1=12 ，an=3-an-12 ，n=2,3,4，…,求数列{an}的通项公式．解：令an+k=-12(an-1+k) ，又∵an=3-an-12=-12an-1+32 ，n=2,3,4,…，∴k=-1，∴an-1=-12(an-1-1) ,又a1=12,∴{an-1} 是首项为-12,公比为-12 的等比数列，即an-1=(a1-1)(-12)n-1 ，即an=(-12)n+1 ．四、an+1=pan+qan-1(n≥2)，p,q为常数可用下面的定理求解：令α,β为相应的二次方程x2-px-q=0的两根(此方程又称为特征方程)，则当α≠β时，an=aαn+bβn；当α=β时，an=(a+bn)αn-1，其中a、b分别由初始条件a1、a2所得的方程组aα+bβ=a1，aα2+bβ2=a2和 a+b=a1，(a+2b)α=a2唯一确定．【例4】数列{an}，{bn}满足：an+1=-an-2bn①,bn+1=6an+6bn ②,且a1=2，b1=4，求an，bn．解：由②得an=16bn+1-bn,∴an+1=16bn+2-bn+1 ，代入①到式中，有bn+2=5bn+1-6bn，由特征方程可得bn=-12×2n+283×3n ，代入②式中，可得an=8×2n-143×3n ．五、an+1＝pan+f(n)型，这里p为常数，且p≠1【例5】在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n ∈n*),其中λ＞0，求数列{an}的通项公式．解：由 a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈n*)，λ＞0,可得，an+1λn+1-(2λ )n+1=anλn -(2λ )n+1,所以{anλn-(2λ)n}为等差数列，其公差为1，首项为0．故anλn-(2λ )n=n-1，所以数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n．六、an+1=makn(m＞0,k∈q,k≠0,k≠1)一般地，若正项数列{an}中，a1=a,an+1=makn(m＞0,k∈q,k≠0,k≠1)，则有lgan+1=klgan+lgm，令lgan+1+a=k(lgan+a)(a为常数)，则有a=1k-1lgm．数列{lgan+1k-1lgm }为等比数列，于是lgan+1k-1lgm=(lga+1k-1lgm)kn-1 ，从而可得an=akn-1?mkn-1-1k-1 ．【例6】已知各项都是正数的数列{an}满足a1=32，an+1=12an(4-an) ，求数列{an}的通项公式．解：由已知得an+1=-12(an-2)2,令2-an=bn，则有b1=12,bn+1=12b2n ．∵an＞0,∴0＜an+1＜2,又0＜a1＜2，∴0＜an＜2，从而bn＞0．取对数得lgbn+1=2lgbn-lg2，即lgbn+1-lg2=2(lgbn-lg2)．∴{lgbn-lg2}是首项为-2lg2，公比为2的等比数列，∴lgbn-lg2=-2nlg2,∴bn=21-2n,∴an=2-21-2n．(责任编辑金铃）。
三项递推关系求通项
三项递推关系求通项要求一个递推关系的通项，需要知道递推关系的初始条件和递推公式。
以下是三种常见的递推关系的通项求解方法：1. 线性递推关系：假设线性递推关系为 a_n = p*a_(n-1) + q*a_(n-2)，其中p和q为常数，a_n为第n项的值。
我们需要知道的初始条件为 a_0和 a_1。
假设通项形如a_n = x^n，其中x为常数。
将其代入递推关系，得到：x^n = p*x^(n-1) + q*x^(n-2)整理，得到特征方程：x^2 - p*x - q = 0解特征方程，得到x1和x2，这两个根就是递推关系的通项的形式。
2. 非线性递推关系：假设递推关系为 a_n = f(a_(n-1), a_(n-2))，其中f为一个函数。
我们需要知道的初始条件为 a_0 和 a_1。
通常情况下，求非线性递推关系的通项比较困难，没有统一的解法。
需要根据具体的递推关系和函数f的性质来进行分析和求解。
3. 递归递推关系：递归递推关系是一种常见的递推关系形式，常用于定义数列的递推关系。
比如斐波那契数列的递推关系为：F_n = F_(n-1) + F_(n-2)，初始条件为 F_0 = 0 和 F_1 = 1。
可以通过数学归纳法证明，斐波那契数列的通项为F_n = (φ^n - (-φ)^(-n)) / √5，其中φ=(1+√5)/2为黄金分割比。
总结来说，要求一个递推关系的通项，需要根据具体的递推关系形式进行分析和解决。
对于线性递推关系，可以通过特征方程解得通项表达式；对于非线性递推关系，需要具体问题具体分析；对于递归递推关系，可以通过数学归纳法证明通项的形式。
数列的推理技巧
数列的推理技巧数列的推理技巧是数学中的一项重要技能。
在解数列问题时，我们需要观察数列中元素之间的规律，并通过找出这些规律来确定数列的通项公式。
以下是一些常见的数列推理技巧：1. 观察数列中元素之间的差异：有些数列的元素之间存在着规律性的差异，如等差数列和等比数列。
对于等差数列而言，元素之间的差值是恒定的；对于等比数列而言，元素与前一个元素之间的比值是恒定的。
通过观察数列中元素之间的差异，我们可以推断出数列的通项公式。
2. 观察数列中元素的倍数关系：有些数列中的元素之间存在着倍数关系，即后一个元素是前一个元素的倍数。
例如，斐波那契数列中的每个元素都是前两个元素之和。
通过观察数列中元素的倍数关系，我们可以得出数列的通项公式。
3. 观察数列中元素的个位数或末尾数字：有时候，数列中元素的个位数或末尾数字会出现规律。
例如，某个数列中的元素的个位数交替出现2和8。
通过观察数列中元素的个位数或末尾数字，我们可以推断出数列的通项公式。
4. 观察数列中元素之间的关系：有些数列中的元素之间存在着特定的关系。
例如，一个数列中的元素是前一个元素加上一个固定值，再减去一个固定值得到的。
通过观察数列中元素之间的关系，我们可以推断出数列的通项公式。
5. 列出递推公式求解：有些数列的元素可以通过一个递推公式来求解。
递推公式指的是通过前面的元素计算出后一个元素的公式。
例如，一个数列中的元素可以通过公式An = An-1 + An-2求解，其中An表示第n个元素。
通过列出递推公式，我们可以推断出数列的通项公式。
以上是数列问题中常用的推理技巧，通过观察和分析数列中元素之间的关系，我们可以找到数列的规律，并推断出其通项公式。
在实际解题过程中，我们可以灵活运用这些技巧，将数列推理问题转化为数学运算问题，从而解决数列推理问题。
推导数列的递推公式与通项公式
推导数列的递推公式与通项公式数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
在数列中，通过递推公式和通项公式可推导出数列中的任意项。
本文将介绍推导数列的递推公式与通项公式的方法。
一、递推公式的推导方法递推公式是指通过已知的数列项求解下一项的公式。
一般情况下，递推公式可以由数列中相邻项之间的关系推导而来。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推公式为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(n)表示数列中第n项，f(n-1)表示第n-1项，f(n-2)表示第n-2项。
推导斐波那契数列的递推公式的思路如下：1. 确定数列中第n项与前两项的关系；2. 根据数列中相邻项的关系，将第n项表示为前两项的和。
对于其他数列，推导递推公式的方法也是类似的，根据数列中相邻项的关系，找出其中的规律并表示为公式。
二、通项公式的推导方法通项公式是指通过已知数列中的某一项求解任意项的公式。
通项公式能够直接计算数列中的任意项，无需依次计算中间项。
通项公式的推导可通过数列的规律和特点进行分析和归纳。
以下以等差数列和等比数列为例，介绍通项公式的推导方法。
1. 等差数列等差数列的通项公式为：An = A1 + (n-1)d，其中An表示第n项，A1表示首项，d表示公差。
推导等差数列的通项公式的方法如下：1. 分析数列的特点，找出数列中每一项与首项的关系；2. 根据数列中项与首项的关系，将第n项表示为首项与公差的函数。
2. 等比数列等比数列的通项公式为：An = A1 * r^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示首项，r表示公比。
推导等比数列的通项公式的方法如下：1. 分析数列的特点，找出数列中每一项与首项的关系；2. 根据数列中项与首项的关系，将第n项表示为首项与公比的函数。
通过以上的例子，我们可以看出推导数列的递推公式与通项公式的方法都是根据数列中项与前一项或首项的关系进行分析和推导的。
总结：推导数列的递推公式与通项公式的方法需要根据数列的特点和规律进行分析和归纳。
求不定积分的递推公式
求不定积分的递推公式求不定积分是微积分中的重要内容之一，它在数学的应用中起到了至关重要的作用。
在求不定积分的过程中，我们常常需要使用一些递推公式来简化计算。
本文将介绍一些常用的求不定积分的递推公式，并对其应用进行一定的解析。
一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是求不定积分的基本公式之一。
它表示了函数的原函数与其定积分之间的关系。
具体而言，如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么对于任意一个连续函数f(x)，有以下公式成立：∫f(x)dx = F(x) + C其中，C为常数，表示积分的不确定性。
牛顿-莱布尼茨公式的应用非常广泛，是求不定积分的基础。
通过该公式，我们可以将求解不定积分的问题转化为求解函数的原函数的问题，简化了计算的过程。
二、递推公式的应用1. 幂函数对于幂函数f(x) = x^n，其中n是正整数，我们可以利用递推公式来求解其不定积分。
根据积分运算的性质，我们可以得到以下递推公式：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C其中，C为常数。
通过递推公式，我们可以快速求解幂函数的不定积分。
例如，对于函数f(x) = x^2，我们可以求解其不定积分如下：∫x^2 dx = x^3/3 + C2. 指数函数对于指数函数f(x) = a^x，其中a是常数且a>0，我们可以利用递推公式来求解其不定积分。
根据积分运算的性质，我们可以得到以下递推公式：∫a^x dx = a^x/ln(a) + C其中，C为常数。
通过递推公式，我们可以快速求解指数函数的不定积分。
例如，对于函数f(x) = e^x，我们可以求解其不定积分如下：∫e^x dx = e^x + C3. 三角函数对于三角函数f(x) = sin(x)或f(x) = cos(x)，我们可以利用递推公式来求解其不定积分。
根据积分运算的性质，我们可以得到以下递推公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C其中，C为常数。
由递推公式求通项的9种方法经典总结
精析由递推公式求通项的9种方法1．a n ＋1＝a n ＋f (n )型把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)．[例1] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n，求a n . [解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ， 所以a n －a 1＝1－1n. 因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1n. 2．a n ＋1＝f (n )a n 型把原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1＝f (n －1)，累乘可得a n a 1＝f (1)f (2)…f (n －1)．[例2] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n，求a n . [解] 由a n ＋1＝n n ＋1·a n ，得a n ＋1a n ＝n n ＋1， 故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12×23＝23n .即a n ＝23n . 3．a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，比较系数可知t ＝q p －1，可令a n ＋1＋t＝b n ＋1换元即可转化为等比数列来解决．[例3] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .[解] 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，则t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3. 4．a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型(1)一般地，要先在递推公式两边同除以q n ＋1，得a n ＋1qn ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，引入辅助数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，再用待定系数法解决；(2)也可以在原递推公式两边同除以pn ＋1，得a n ＋1p n ＋1＝a n p n ＋1p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n ，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n p n ，得b n ＋1－b n ＝1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n ，再利用叠加法(逐差相加法)求解．[例4] 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1，求a n . [解] 法一：在a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1两边乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1. 令b n ＝2n ·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1， 根据待定系数法，得b n ＋1－3＝23(b n －3)． 所以数列{b n －3}是以b 1－3＝2×56－3＝－43为首项， 以23为公比的等比数列． 所以b n －3＝－43·⎝⎛⎭⎫23n －1，即b n ＝3－2⎝⎛⎭⎫23n .于是，a n ＝b n 2n ＝3⎝⎛⎭⎫12n －2⎝⎛⎭⎫13n . 法二：在a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1两边乘以3n ＋1，得 3n ＋1a n ＋1＝3n a n ＋⎝⎛⎭⎫32n ＋1.令b n ＝3n ·a n ，则b n ＋1＝b n ＋⎝⎛⎭⎫32n ＋1.所以b n －b n －1＝⎝⎛⎭⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝⎛⎭⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝⎛⎭⎫322.将以上各式叠加，得b n －b 1＝⎝⎛⎭⎫322＋…＋⎝⎛⎭⎫32n －1＋⎝⎛⎭⎫32n . 又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋32， 所以b n ＝1＋32＋⎝⎛⎭⎫322＋…＋⎝⎛⎭⎫32n －1＋⎝⎛⎭⎫32n ＝1·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n ＋11－32＝2⎝⎛⎭⎫32n ＋1－2，即b n ＝2⎝⎛⎭⎫32n ＋1－2.故a n ＝b n 3n ＝3⎝⎛⎭⎫12n －2⎝⎛⎭⎫13n . 5．a n ＋1＝pa n ＋an ＋b (p ≠1，p ≠0，a ≠0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a n ＋1＋x (n ＋1)＋y ＝p (a n ＋xn ＋y )，与已知递推式比较，解出x ，y ，从而转化为{a n ＋xn ＋y }是公比为p 的等比数列．[例5] 设数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝3a n －1＋2n －1(n ≥2)，求a n .[解] 设递推公式可以转化为a n ＋An ＋B ＝3[a n －1＋A (n －1)＋B ]，化简后与原递推式比较，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2A ＝2，2B －3A ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝1. 令b n ＝a n ＋n ＋1.(*)则b n ＝3b n －1，又b 1＝6，故b n ＝6·3n －1＝2·3n ， 代入(*)式，得a n ＝2·3n －n －1.6．a n ＋1＝pa r n (p >0，a n >0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为a n ＋1＝pa n ＋q 型数列，再利用待定系数法求解．[例6] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1a ·a 2n(a >0)，求数列{a n }的通项公式． [解] 对a n ＋1＝1a ·a 2n的两边取对数， 得lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 1a. 令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 1a. 由此得b n ＋1＋lg 1a ＝2⎝⎛⎭⎫b n ＋lg 1a ，记c n ＝b n ＋lg 1a，则c n ＋1＝2c n ， 所以数列{c n }是以c 1＝b 1＋lg 1a ＝lg 1a为首项，2为公比的等比数列． 所以c n ＝2n －1·lg 1a. 所以b n ＝c n －lg 1a ＝2n －1·lg 1a －lg 1a＝lg ⎣⎡⎦⎤a ·⎝⎛⎭⎫1a 2n －1＝lg a 1－2n ， 即lg a n ＝lg a 1－2n ，所以a n ＝a 1－2n .7．a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C(A ，B ，C 为常数)型 对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式[例7] 已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ＝1,2,3，…，求{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1＝23＋13a n， ∴1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n －1. 又1a 1－1＝23，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以23为首项，13为公比的等比数列， ∴1a n －1＝23·13n －1＝23n ， ∴a n ＝3n3n ＋2. 8.)(1n f a a n n =++型由原递推关系改写成),()1(2n f n f a a n n -+=-+然后再按奇偶分类讨论即可例8.已知数列{}n a 中，,11=a .21n a a n n =++求n a解析：.21n a a n n =++2212+=+++n a a n n ，故22=-+n n a a即数列{}n a 是奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，⎩⎨⎧∈≥-=∴*,1,1,N n n n n n n a n 且，为偶数为奇数 9.)(1n f a a n n =⋅+型将原递推关系改写成)1(12+=+⋅+n f a a n n ，两式作商可得,)()1(2n f n f a a n n +=+然后分奇数、偶数讨论即可例9.已知数列{}n a 中，,2,311n n n a a a =⋅=+求{}n a 解析：⎪⎩⎪⎨⎧∈≥⋅⋅=+-N n n n n a n n n ,1,231,23221，为偶数为奇数。
用递推公式求等比数列的和
用递推公式求等比数列的和数学中存在许多有趣的数列，其中等比数列就是一种非常基础的数列模型。
所谓等比数列，就是指各项之间的比值是一个固定的常数。
比如，一个等比数列可能是1, 2, 4, 8, 16,……其中，任意两项之间的比值都是2。
当我们需要计算等比数列的和时，可以运用递推公式，这种方法既简便又高效。
一、等比数列的递推公式在求等比数列的和时，最常用的方法就是递推公式。
这个公式是这样的：S(n) = a1(1 - q^n) / (1 - q)其中，S(n)代表数列的前n项的和，a1是数列的首项，q是数列的公比。
通过这个公式，我们可以很快地算出等比数列的总和。
二、等比数列的递推公式怎样推导出来的？可能会有人好奇，为什么等比数列的和可以使用这个递推公式来表示呢？其实，这个公式的推导比较简单。
首先，我们可以将等比数列的前n项分别乘以公比q，得到下面的式子：S(n)q = a1q + a2q^2 + a3q^3 + …… + anq^n接下来用S(n)减去S(n)q，有S(n) - S(n)q = a1(1 - q^n)因为S(n)q = q * S(n)，这样就可以通过S(n)将这个式子变成S(n) = a1(1 - q^n) / (1 - q)于是，我们就得到了等比数列的递推公式。
三、实际应用：求等比数列的总和有了这个递推公式，我们可以很方便地求解等比数列的总和。
举个例子，比如我们要求的数列是1, 2, 4, 8, 16，它的首项是1，公比是2，要求前5项的和。
应用递推公式，可以得出这样的计算过程：S(5) = 1(1 - 2^5) / (1 - 2)S(5) = 1(1 - 32) / (-1)S(5) = 31所以，前5项的和是31。
实际应用中，由于递推公式的高效性，我们可以很快地求得等比数列的总和，而不必费时费力地将整个数列加起来。
这对于数学或工程学科的学生或从业人员来说，是一项很实用的技能。
四、总结在本文中，我们详细介绍了等比数列以及递推公式的相关内容。
递推和递归
递推和递归
递推和递归都是计算机科学中常用的算法思想。
递推是一种通过已知值求解未知值的算法，通常是从已知值开始，根据已知值和某种递推公式，依次计算出未知值。
递推算法通常使用循环结构实现，适用于求解数列、斐波那契数列等问题。
例如，斐波那契数列的递推公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0)=0，F(1)=1。
通过递推公式和已知值F(0) 和F(1)，可以依次计算出F(2)、F(3)、F(4) 等未知值。
递归是一种通过调用自身函数来解决问题的算法，通常用于解决复杂的问题，例如树的遍历、图的搜索等问题。
递归算法通常使用函数的递归调用来实现，适用于求解具有递归结构的问题。
例如，计算n! 的递归函数可以定义为：factorial(n) = n * factorial(n-1)，其中factorial(0)=1。
通过递归调用factorial 函数，可以依次计算出n! 的值。
需要注意的是，递推和递归都需要考虑边界条件和递归深度等问题，否则可能会导致程序出现栈溢出等错误。
定积分的递推公式法
定积分的递推公式法定积分是微积分中的一个重要分支，通过对函数曲线下面的面积进行计算，可以求解出很多实际问题的结果。
在定积分的求解中，递推公式法是一种基础的求解方式，本文将详细介绍它的方法和应用。
一、递推公式法的基本思路递推公式法是一种基于积分学基本定理，以及分部积分的思路来逐步递推求解定积分的方法。
基本定理告诉我们，对于一个函数f(x)，它的一个定积分可以转化为求取它的一个原函数F(x)在区间[x0,x]上的差值F(x)−F(x0)。
这就为我们提供了一个新的计算思路：将定积分分解成为两个不同区间上的积分，通过求解这两个积分来逐步得到定积分的结果。
接下来，我们可以用分部积分来处理这个新的积分式，对于一个函数f(x)g(x)，由积分学的公式得到：∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫g(x)f'(x)dx因此，我们可以对新的积分式进行分部积分，得到下面的递推公式：∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)其中，F(x)表示f(x)的一个原函数，在第二步中将式子拆成了两个区间的积分来处理。
这个递推式子实现了将原来的一个积分拆成了两个积分的思路。
二、递推公式法的具体应用递推公式法通过分解积分式子，并结合分部积分的方式，将定积分的求解分解成了逐步递推的方式。
接下来我们将通过具体的例子来介绍这个方法的应用。
例一：求解积分∫[0,1]x^2dx对于这个积分，我们可以用递推公式法逐步求解。
首先，我们将定积分分解成为两个不同区间上的积分：∫[0,1]x^2dx=∫[0,1/2]x^2dx+∫[1/2,1]x^2dx。
接下来，我们进行分部积分，对于第一个积分得到：∫[0,1/2]x^2dx=[x^3/3]0 1/2=1/24对于第二个积分，我们同样进行分部积分，得到：∫[1/2,1]x^2dx=[x^3/3]1/2 1=7/24因此，将两个积分的结果进行叠加，即可得到原来定积分的值：∫[0,1]x^2dx=1/24+7/24=1/4例二：求解积分∫[0,1]e^xdx对于这个积分，我们同样可以将定积分分解成为两个不同区间上的积分：∫[0,1]e^xdx=∫[0,1/2]e^xdx+∫[1/2,1]e^xdx。
te的t次方求积分
te的t次方求积分在数学中，我们经常会遇到各种类型的积分问题。
其中一个类别就是求te的t次方的积分，也就是∫ te^t dt。
这个问题看起来很难，但如果我们分步骤来解决它，其实并不难。
第一步：利用递推公式首先我们需要知道一组递推公式：∫ e^t dt = e^t + C1∫ te^t dt = te^t - ∫ e^t dt = te^t - e^t + C2∫ t^2e^t dt = t^2e^t - 2∫ te^t dt = t^2e^t - 2(te^t - e^t) + C3根据这组递推公式，我们可以逐步推导出∫ te^t dt 的结果。
第二步：按照递推公式展开首先，我们可以将 te^t 带入第二个递推公式中，得出：∫ te^t dt = te^t - ∫ e^t dt然后，我们将∫ e^t dt 带入第一个递推公式中，得出：∫ te^t dt = te^t - e^t + C2现在我们已经得到了∫ te^t dt 的通解。
如果需要特定的积分值，可以根据初始条件来解出C2。
第三步：举例求解举一个例子，如果我们需要求解∫ xe^x d x，我们可以将它转化成∫ te^t dt 的形式：∫ xe^x dx = ∫ te^t dt按照前面得出的通解，我们可以得到：∫ xe^x dx = xe^x - e^x + C现在我们已经成功地求解了这个积分问题。
总结通过递推公式和分步求解的方法，我们可以比较轻松地计算出像∫ te^t dt 这样的问题。
当然，在实际应用中，我们可能会遇到更为复杂的积分问题，此时我们仍然需要灵活运用各种数学知识和方法来解决。
不定积分的递推公式法
不定积分的递推公式法不定积分是高等数学中的重要概念，它的求解方法有很多种。
其中一种比较简单的方法是递推公式法。
递推公式法是一种通过使用递推公式求解不定积分的方法，本文将从递推公式法的基本思想、使用步骤和具体实例等方面进行介绍。
一、递推公式法的基本思想递推公式法的基本思想是通过使用一个已知的不定积分的递推公式，来求解与之类似的不定积分。
递推公式法的有效性在于很多不定积分的求解过程可以转化为使用递推公式进行求解，这样可以大大简化不定积分的求解过程，提高求解的效率。
递推公式法的使用前提是要有一个已知的不定积分递推公式，也即是一个可用来表示该类型不定积分的标准形式。
这个标准形式可以是已知的公式，也可以是根据该类不定积分的性质及规律得到的。
二、递推公式法的使用步骤递推公式法的使用步骤可以概括为以下几步：1. 将待求积分化为适合该类型不定积分递推公式的形式，即将积分中的函数转化为公式中的函数。
2. 利用递推公式，将待求积分转化为已知不定积分加上其他一些项的和。
3. 对于新出现的项，根据已知的递推公式表示出来。
4. 将递推公式应用到每一步，直到将待求积分转化为已知的不定积分形式，从而求解出积分。
三、递推公式法的具体实例下面以一个具体的不定积分为例来介绍递推公式法的具体应用。
$$\int \frac{x dx}{\sqrt{x^2-4}}$$首先将该不定积分化为适合使用递推公式的形式。
由于积分中的根式与幂次函数比较相似，因此我们对根式进行变形：$$\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=\frac{x}{\sqrt{(x-2)(x+2)}}$$令 $t=x-2$，则：$$\begin{aligned} \int \frac{x dx}{\sqrt{x^2-4}} &=\int \frac{(t+2) dt}{\sqrt{t(t+4)}} \\ &=\int \frac{t}{\sqrt{t(t+4)}} dt+2\int\frac{dt}{\sqrt{t(t+4)}} \end{aligned}$$利用递推公式：$$\int\frac{dx}{\sqrt{x(x+a)}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\ln\left|\frac{\sqrt{x(x+a)} +\sqrt{a}x}{\sqrt{x(x+a)}-\sqrt{a}x}\right|+C$$可以将第二项进行求解：$$2\int \frac{dt}{\sqrt{t(t+4)}}=\sqrt{\frac{t+4}{t}}+C_1$$现在需要求解的是第一项。
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• 递归树法能让我们有直观的认识
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T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2
T(n)
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T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2
T(n/4) + T(n/2) + n2
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T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2
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习题
4.1-1 证明T(n)=T(⎡n/2⎤)+1的解为O(logn) 4.1-2 证明T(n)=2T(⎣n/2⎦)+n的解为Θ(nlogn) 4.1-3 求T(n)=2T(√n)+1的渐进紧的解
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递归树法
• 用递归树对算法递归执行过程的时间开销 进行建模
• 递归树法非常适合于为代入法提供一个好 的猜测
这只需要：c ≥ 2并且n ≥ 1
余项
于是有 T(n)= Ο (n3)
5
例：T(n) = 4T(n/2) + n
• 还必须处理初始情形，才能使归纳成立。 • 注意到，因为对所有的 1 ≤ n < n0 都有
T(n) = Θ(1) （其中n0是某个适当的常数） • 于是当 1 ≤ n < n0时，只要 c 足够大，就有
• 取尽量小的 c 可以保证 n 较小时假设成立。
20
序列求和
等差级数{ak} 等比级数{aqk} 调和级数{1/k}
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例题 求和
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例题 调和级数求和的界
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习题
4.2-1 猜测并证明 T(n)=3T(⎣n/2⎦)+n 的渐进上界 4.2-4 找 T(n)=T(n-a)+T(a)+cn 的渐进紧确界
≤ cn2
但对任何 c > 0，上式最后一步不可能成立！
7
更紧的上界
要点：加强归纳假设 *减去一个低阶项 假设：对于 k < n，有 T(k) ≤ c1k2 – c2k T(n) = 4T(n/2) + n
≤ 4(c1(n/2)2 – c2(n/2)) + n = c1n2 – 2c2n + n = c1n2 – c2n – (c2n – n) ≤ c1n2 – c2n 当 c2 > 1 可以取 c1 足够大来处理初始情况。
其中 a ≥ 1 且 c > 0 事常数
24
主定理法
• 主定理法适用于形如下式的递归式 • 其中 a ≥ 1, b>1，并且 f 是渐进正的函数。
25
主定理有三种情形
1. 如果存在正数 ε > 0，使得 则
2. 如果 则
3. 如果对于某个常数 ε > 0，使得 ，并且对某个常数c <
和所有足够大的 n 都有 则
…
nlogb a
主定理法 例题 1
30
主定理法 例题 2
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主定理法 例题 3
32
主定理法 例题 4
主方法不适用 对于任意 ε > 0，nε = ω(logn)
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主定理法 练习
• 题目 4-1: 递归式例题 a) T(n) = 2T(n/2) + n3 T(n) = Θ(n3) Case 3 b) T(n) = T(9n/10) + n T(n) = Θ(n) Case 3 c) T(n) = 16T(n/4) + n2 T(n) = Θ(n2logn) Case 2
• 证明：如果访问数组 A 中信息的唯一方式是这种 单一位操作，仍能在 O(n) 时间内找出所缺失的整 数。
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问题4-2: 寻找缺失的整数
• 解题思路
– 进行类似二分搜索的查找 – 我们知道在 0 到 n 这 n+1 个数中 – 大于等于2⌊logn-1⌋数，其第⌊logn-1⌋位为1，否则为 0 – 通过查数组A中有多少个⌊logn-1⌋位为 1 的数，可以判
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T(n) b
f (n)
a
T(n) b
…
T(n) b
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f (n)
f(n) b
a
…
f(n)
f(n)
b
b
a
a
a
…
…
…
T
(
n b2
)
T
(
n b2
)
T
(
n b2
)T
(
n b2
)
T
(
n b2
)
T
(
n b2
)T
(
n b2
)
T
(
n b2
)
T
(
n b2
)
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f (n)
a
…
f(n)
f(n)
f(n)
logbn b
b
b
a
a
a
…
…
…
f( n b2
)
f( n b2
)
f( n b2
)
f
(
n b2
)
f( n b2
)
f( n b2
)
f
(
n b2
)
f( n b2
)
f( n b2
)
f (n) af ( n)
b a2 f ( n )
b2
aaaaaaaaa
…
…
…
…
…
…
…
…
…
...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
n2
T(n/4)
T(n/2)
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T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2
n2
(n/4)2
(n/2)2
T(n/16) T(n/8) T(n/8) T(n/4)
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T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2
n2
(n/4)2
(n/2)2
(n/16)2 (n/8)2 (n/8)2 (n/4)2
通用方法 (Akra-Bazzi)
如果 其中 p 为上式的唯一解。 ogb a
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通用方法 例题
• T (n) = T (n/3) + T (2n/3) + cn 解： a1=a2 =1, b1=3, b2 =3/2 令p=1 则 a1/b1p+ a2/b2p = 1/3+ 2/3 =1
n/(4log(n/4)) …
……
n/(logn-2)
…
…
Θ(1)
T(n) = Θ(n(1+1/2+1/3+…+1/logn))
= Θ(nlog(logn))
39
T(n) = 2T(n/2) + n/logn = O(nlog(logn))
• 代换法，先证明T(n) = O(nlog(logn)) • 假设对于k < n，都有T(k) ≤ cklog(logk)
• 先证明 T(n) = O(n2)， 假设对于 k < n， 都有 T(k) ≤ ck2
• 取尽量大的 c 可以保证 n 较小时假设成立。
19
代入法证明T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2 = Θ(n2)
• 再证明 T(n) = Ω(n2)， 假设对于 k < n， 都有 T(k) ≥ ck2
• 代换法，再证明T(n) = Ω(nlog(logn)) • 假设对于k < n，都有T(k) ≥ cklog(logk)
45
T(n) = 2T(n/2) + n/logn = Ω(nlog(logn))
取尽量小的 c 可以保证 n < 4 时 T(n) = Θ(1) ≥ cnloglogn
46
T(k) ≤ ck3 • 通过归纳法证明
T(n) ≤ cn3
4
例：T(n) = 4T(n/2) + n
T(n) = 4T(n/2) + n
≤ 4c(n/2)3 + n
= (c/2)n3 + n
= cn3 – ((c/2)n3 – n)
期望的形式 - 余项
≤ cn3
期望的形式
这里要保证：((c/2)n3 – n) ≥ 0，
算法设计与分析
第二讲 递推公式求解
汪小林 北京大学计算机系
本讲内容
• 代换归纳法（Substitution method）
– 猜测、归纳证明、调整、变量代换
• 递归树求和法（Recursion-tree method）
– 递归树展开、数列求和
• 主定理法（Master method）
– 主定理、主定理的直观含义、通用定理
9
例：T(n)=2T(√n)+logn
• 通过改变变量转化递归式，将√n转化为整 数。令m = logn，于是 T(2m) = 2T(2m/2) + m
• 再令S(m) = T(2m)，于是 S(m) = 2S(m/2) + m = Θ(mlogm) T(n) = T(2m) = S(m) = Θ(mlogm) = Θ(logn loglogn)
f(n) = cn = Θ(np) 于是 T (n) = Θ(nlogn) （情形 2）
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思考题4-2: 寻找缺失的整数
• 某数组 A[1 ‥ n] 包含有从 0 到 n 的整数，但其中 一个整数不在数组中。通过一个辅助数组 B[0 ‥ n] 来记录 A 中出现的整数，很容易在O(n) 时间内找出所缺的整数。但在这个问题中，我们 却不能由一个单一操作来访问 A 中的一个完整的 整数，因为 A 中的元素是以二进制表示的。我们 所能用的唯一操作就是“取 A[i] 的第 j 位”，这 个操作所花时间为常数。