高一数学向量的加法二人教版

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6.2.1 向量的加法运算(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

化简下列三式：
(1)BC + CE + EA;

(2)OE + AB + EA;
(3)AB + FE + DC.

解：(1) + + = + = .
(2) + + = ( + ) + = + = .
(3)∵, , 分别是, , 的中点，
(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方.向(用与江水速度间的夹角
表示，精确到1°).
解(2)：在∆中，|| = 6，|| = 15，
于是|| =
||2 + ||2 = 62 + 152 = 261 ≈ 16.2.
∵∠ =
||
||
5
练习巩固
练习3：如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，AB//CD，AC = BD，CD = 2AB，E为的
CD的中点.试求：

(1)AB + AE；(2)AB + AC + EC；
(3)CD + AC + DB + EC.

解：由已知，得：四边形、四边形均为平行四边形.
(1) + = .
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解(1)：如图，表示船速，表示江水速度，以
，为邻边作□，则表示船实际航行
的速度.
练习巩固
例2：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸A
地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h.
Ԧ

向量的加法运算-高一数学教材配套教学课件(人教A版2019必修第二册)

Ԧ
新知探究
根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，
运算律可以有效地简化运算.
思考：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结
合律呢？非零向量，，研究
Ԧ
Ԧ + 与 + Ԧ .
作 = ，
Ԧ
= ，

以，为邻边作□，容易发现 = ， = ，
Ԧ
故 = + = Ԧ + .
又 = + = + ，
Ԧ
所以Ԧ + = + .综上，向量的加法满足交换律.
Ԧ

+

新知探究
思考：你能否验证结合律，即(Ԧ + ) + Ԧ = Ԧ + ( + )呢？
Ԧ
如图，作 = ，
[3,13] .
牛刀小试：若|| = 8，|| = 5，则||的取值范围是__________
新知探究
思考：如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力1 与2 的作用，
你能作出这个物体所受合力吗？

我们知道，合力在以，为邻边的平行四
2

边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.
B.BE
C. AD
D. CF
)
E
F
A
D
思路：用相等向量代换，使首尾相接
C
B
习题演练
变2.如图所示，在∆中，为重心，，，分别是, , 的中

点，化简下列三式.
(1) + +

(2) + + .

向量的加法运算(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

经典例题题型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则
作法 1：如图 1 所示，首先在平面内任取一点 O，作向量O→A＝a，接着作向量 A→B＝b，则得向量O→B＝a＋b；然后作向量B→C＝c，则向量O→C＝(a＋b)＋c＝a ＋b＋c 即为所求．
经典例题题型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则
课堂小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行． 3．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．
点拨：根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以得出上述结论．
三．向量加法的运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
小试牛刀
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( √ ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( × ) (3)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．( × ) (4)若A→B＋B→C＋C→A＝0，则 A，B，C 为一个三角形三个顶点．( × ) (5)对于任意的点 A，B，C，D，都有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.( √ ) (6)如果 a，b 是共线的非零向量，那么 a＋b 的方向必与 a，b 之一的方向相同．( × )
当堂达标
5．已知非零向量 a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为__1_3___．

【课件】向量的加法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

E
C
B
c
b
D
a＋b
O
乙
法二：平行四边形法则
a
A
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
多维探究
变式1 在本例(1)条件下，求＋.
1 2 ＋2 3 ＋3 4 ＋…＋−1
= 1
[例1]
(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F
为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么
(在横线上只填一个向量)：

①＋＝________；
＋＝＋＝

②＋＝________；
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
课前小测
1．下列各式不一定成立的是( D )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
2. ＋＋等于(
A.
C)
B.
C.
D.
(1) ＋；
＋=
(2) ＋；
= = =
＋ =+ =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是
统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点
时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照
行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．

向量的加法运算课件——高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

新知探究
追问2 给出如图中的三个向量 a ，b ，c ，分别作出 a +b+c 和 a +b+c ，看看两
个向量是否相等？
不难发现：a +b+c = a +b+c ，
即向量的加法运算满足结合律．
新知探究
追问3 图中向量的和，与向量相加的顺序有关吗？为什么？
无关．原因在于向量的加法运算满足交换律，因此可以任意调整有关顺序．事实上，由于向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的．
这种求两向Байду номын сангаас和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则．
C
D
b
b a+b
A
a
B
a
例题讲解
例3 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过渡轮进行运输．如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直
于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时江水的速度为向东6km/h． (1) 用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2) 求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到１°）.
(1)如图，AD表示船速，AB 表示江水速度，以AD，AB为邻
边作 ABCD ，则 AC 表示船实际航行的速度．
(2)在Rt ABC 中，AB 6 ，BC 15 ，于是
AC
2
2
AB BC
62 152
261 16.2
因为tan CAB BC 5 ，所以利用计算工具可得 CAB 68 ．因此，船 AB 2
因 a，b 正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．

向量的加法运算高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活运用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字
母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
变式训练2如图,四边形ABDC为等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E为
CD的中点.化简:
(1) + ;
(2) + + ;
A.2
B.3
C.4
D.5
解析由向量加法的交换律与结合律可知,所给的5个向量都与a+b+c相等.
3.化简:(1)( + )+ =
(2) + + =
0
.
.
解析 ( + )+ =( + )+ = + = .
知识点3 |a+b|与|a|,|b|之间的关系
(2)平行四边形法则:作平移,共起点,四边形,对角线.
5.规定:对于零向量与任意向量a,规定:a+0=0+a=a.
名师点睛
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与联系
区别有两个:(1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调的是
“共起点”;(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形法
(3) + + + .
解由已知得四边形 ACEB,四边形 ABDE 均为平行四边形.
(1) + = .
(2) + + = + = (答案不唯一).
的运算,叫做向量的加法,两个向量
的和仍然是一个向量.
2.向量加法的三角形法则:已知非零向量 a,b,在平面内取任意一点 A,作

6.2.1向量的加法运算课件-高一下学期数学人教A版必修第二册

A
B
变式：船在静水中的速度为6Km/s，水流的速度为3km/s，则它必须朝那个方向开，才能保证船沿水流的垂直方向前进？船实际前进的速度为多少？
向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键.
课堂小结 1、向量加法的三角形法则（首尾相连，起点指向终点）
以第一个向量的终点作为第二个向量的起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是和向量。
CO : OF 2:1
B
A
F O
D
E C
3. 若点O为△ABC所在平面内一点，且 OA OB OC 0，则点 O为△ABC的重心.
(a b) c a (b c).
向量加法的运算律
交换律： a b b a
结合律： (a b) c a (b c).
想一想
1.若两向量互为相反向量,则它们的和为多少?
a
(a)
(a)
a
____0______
2.零向量和任一向量 a 的和为多少?
a a 0 0 a __________
O
②作OA a ，OB b ，
③以OA、OB为邻边作 OACB ，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
ab
B
C
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。
【练习1】如图，已知向量 a, b，求作向量 a b 。
b
作法1：三角形法则
在平面内任取一点O，作 OA a ，AB b ，则 OB a b
|| a | | b ||| a b || a | | b |
4、向量加法的运算律交换律： a b b a 结合律： (a b) c a (b c).

向量的加法运算【新教材】人教A版高中数学必修第二册优质课件

6 ． 2 . 1 向量的加法运算 -【新教材】人教A版（2019 ）高中数学必修第二册课件 (共25张 PPT)
3．已知正方形 ABCD 的边长等于 1，则|―AB→＋―B→C ＋―AD→＋
―D→C |等于
()
A．1
B．2 2
C．3
D. 2
解析：原式＝2|―A→C |＝2 2.故选 B.
―→ A. CA
―→ C. AB
―→ B. BC
―→ D. AC
解析： ―A→B ＋―B→ C ＝―A→C .故选 D.
答案：D
2．下列等式中不正确的是
()
A．a ＋0＝a
B．a ＋b ＝b ＋a
C．|a ＋b |＝|a |＋|b |
D.―A→ C ＝―D→C ＋―A→ B ＋―BD→
解析：当 a 与 b 方向不同时，|a ＋b |≠|a |＋|b |.故选 C. 答案：C
6 ． 2 . 1 向量的加法运算 -【新教材】人教A版（2019 ）高中数学必修第二册课件 (共25张 PPT)
6 ． 2 . 1 向量的加法运算 -【新教材】人教A版（2019 ）高中数学必修第二册课件 (共25张 PPT)
[解] (1)如图 a 所示，设―O→A ＝a，∵a 与 b 有公共点 A，故过 A 点作―A→B ＝b，连接―O→B 即为 a＋b.
6 ． 2 . 1 向量的加法运算 -【新教材】人教A版（2019 ）高中数学必修第二册课件 (共25张 PPT)
6 ． 2 . 1 向量的加法运算 -【新教材】人教A版（2019 ）高中数学必修第二册课件 (共25张 PPT)

向量的加法课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册

的位移.
C
知识探究（一）：向量加法的三角形法则
如图，已知非零向量 a , b ，在平面内任取一点A，
作 AB a, BC b ，则向量 AC 叫做 a与 b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC
a 求两个向量和的运算，叫向量的
b
加法。这种求向量和的方法，称
为向量加法的三角形法则。
1、方向相同
a b
2、方向相反
a b
A
B
AC = a + b
C
BCA
AC = a + b
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b | 若a，b方向相反，则 | a b || a | | b（个非零向量
1.当__a_与__b__不__共__线____时, 2.当_a__与__b__同__向______时, 3.当_a_与__b__反_向__且__a____b时, 4.当_a _与__b__反_向__且___a___b 时,
C
B A
由左图得：
AB BC CD AD
D
由此可得：n个向量连加是将向量加法的三角形法则推广为n个向量相加的多边形法则:由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和.(注意:首尾相接)
向量加法的多边形法则
方法拓展
向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量.
如图，即：―A―1A→2＋―A―2A→3 ＋―A―3A→4＋… ＋―A―n―－―1―A→n ＝ ―A―1A→n.或―A―1A→2＋―A―2A→3＋… ＋―A―n―－―1―A→n ＋―A―nA→1＝0.

6.2.1 向量的加法-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)

这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
注意
1.两向量的和仍然是一个向量
2.对与零向量与任意向量，规定 + = + =
3.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型
概念讲解
思考2.使用向量加法的三角形法则的具体做法是什么？
a
①两个向量首尾顺次相接，
b
②第一个向量的起点和后一个向量的终点，并指向后一个向
引进向量的加法呢？
思考1：如图，某质点从A点经过B走到C.这质点的位移如何表示?
C
分析 :由物理知识可以知道:
从A点到B点然后到C点的合位移,就是从A点到C点的位移.
A
AB + BC = AC
从运算的角度看，可以认为是��与的和，
即位移、可以看作向量的加法。
B
概念讲解
定
义
一般的，求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
D
概念讲解
思考5:向量加法的平行四边形法则和三角形法则一致吗？为什么？
D
C
a+b
b
b
a+b
B
A
特点：（通过平移）首尾相接
b
B
A
a
C
a
a
特点：（通过平移）起点相同
不同法则，效果相同
概念讲解
对向量加法两个法则的理解
①两个法则的使用条件不同：
三角形法则适用于任意两个非零向量求和
= + = Ԧ + .

Ԧ

图1
Ԧ

高一数学向量的加法二人教版教案

高一数学向量的加法二一．课题：向量的减法二．教学目标：1.掌握向量减法及相反向量的的概念；2.掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量；3.能用向量运算解决一些具体问题。

三．教学重、难点：向量减法的定义。

四．教学过程：（一）复习：1. 向量的加法法则。

2．数的运算：减法是加法的逆运算。

（二）新课讲解：1．相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。

说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。

（2）性质：()a a --=；()()0a a a a +-=-+=．2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

表示()a b a b -=+-．3．向量减法的法则：已知如图有a ，b ，求作a b -．（1）三角形法则：在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA a b =-．说明：a b -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a ，b 有共同起点）．（2）平行四边形：在平面内任取一点O ，作OA a = ，BO b =-，则BA BO OA a b =+=-．思考：若//a b ，怎样作出a b -？4．例题分析：例1．试证：对任意向量a ，b 都有||||||||||||a b a b a b -≤+≤+．证明：（1）当a ，b 中有零向量时，显然成立。

（2）当a ，b 均不为零向量时：①a ，b ，即//a b 时，当a ，b 同向时，||||||||||||a b a b a b -<+=+；当，b 异向时，||||||||||||a b a b a b -=+<+．②a ，b 不共线时，在ABC ∆中，||||||AB BC -<||AC <||||AB BC +，则有||||||||||||a b a b a b -<+<+．∴||||||||||||a b a b a b -≤+≤+其中：当a ，b 同向时，||||||a b a b +=+，当a ，b 同向时，||||||||a b a b -=+．例2．用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形。