高中数学：单调性 函数的最大值、最小值 (1)

解法二(判别式法)： 由 y＝x2x－2－x＋x 1，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0. 当 y＝1 时，x∈∅； 当 y≠1 时，∵x∈R， ∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，∴－13≤y<1. ∴函数的值域为－13，1.
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(2)解法一(换元法)： 设 13－4x＝t，则 t≥0，x＝13－4 t2， 于是 g(t)＝2×13－4 t2－1－t＝－12t2－t＋121＝－12(t＋1)2＋6， 显然函数 g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数， 所以 g(t)≤g(0)＝121，因此原函数的值域是 －∞，121.
45分钟课时作业与单元测试 数学 必修 1A
第一章 集合与函数概念
1．3 函数的基本性质 1．3.1 单调性与最大(小)值
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核心素养归纳
一、函数单调性的应用 1．比较大小 【例 1】 若函数 f(x)＝x2＋mx＋n，对任意实数 x 都有 f(2 －x)＝f(2＋x)成立，试比较 f(－1)，f(2)，f(4)的大小． [解] 依题意可知 f(x)的对称轴为 x＝2， ∴f(－1)＝f(5)． ∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴f(2)<f(4)<f(5)，即 f(2)<f(4)<f(－1)．
【例 2】 求函数 y＝1100xx＋ －1100－ －xx的值域． [解] (有界性)因为 y＝1100xx＋ －1100－ －xx＝110022xx＋ －11， 所以 102x＝yy＋ －11(y≠1)． 又因为 102x>0，所以yy＋－11>0. 解得 y>1 或 y<－1，所以值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
解法二(单调性法)：
函数的定义域是xx≤143
，
当自变量 x 增大时，2x－1 增大， 13－4x 减小，
所以 2x－1－ 13－4x 增大，
因此函数 f(x)＝2x－1－ 13－4x在其定义域上是单调递增
函数，
所以当 x＝143时，函数取得最大值 f143＝121， 故原函数的值域是－∞，121.
显然不存在常数 a，使(x21＋x1x2＋x22－a)恒为负值． 又 f(x)在[1，＋∞)上是单调函数， ∴必有一个常数 a，使 x21＋x1x2＋x22－a 恒为正数， 即 x21＋x1x2＋x22>a. 当 x1，x2∈[1，＋∞)时，x21＋x1x2＋x22>3， ∴a≤3.此时，∵Δx＝x2－x1>0，∴Δy>0， 即函数 f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴a 的取值范围是(0,3]．
(3)函数 f(x)＝x＋ax＋2 在(0， a ]上是减函数， 在[ a，＋∞)上是增函数． 当 a>1，即 a>1 时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增， ∴f(x)min＝f( a)＝2 a＋2. 当 a≤1，即 0<a≤1 时，f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， ∴f(x)min＝f(1)＝a＋3.
3．求参数的值或取值范围 【例 3】 已知 a>0，函数 f(x)＝x3－ax 是区间[1，＋∞)上 的单调函数，求实数 a 的取值范围． [解] 任取 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2， 则 Δx＝x2－x1>0. Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x32－ax2)－(x31－ax1) ＝(x2－x1)(x21＋x1x2＋x22－a)． ∵1≤x1<x2，∴x21＋x1x2＋x22>3.
[评注] (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中 自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而大；(2)利 用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．
2．解不等式
【例 2】 已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是增函数，且 f(t
－1)<f(1－2t)，求实数 t 的取值范围．
二、函数值域的求法 求函数值域的常用方法：配方法、换元法、单调性法、判别 式法、不等式法、数形结合法、有界性法、分离常数法． 【例 1】 求下列函数的值域： (1)y＝x2x－2－x＋x 1； (2)y＝f(x)＝2x－1－ 13－4x.
[解] (1)解法一(配方法)： ∵y＝1－x2－1x＋1， 又 x2－x＋1＝x－122＋34≥34， ∴0<x2－1x＋1≤43，∴－13≤y<1. ∴函数的值域为－13，1.
【例 3】 求函数 y＝34＋－xx的值域． [解] ∵y＝34＋ －xx＝x－4－4＋x 7＝－1－x－7 4， 又∵x－7 4≠0，∴y＝－1－x－7 4≠－1， 即函数的值域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
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[解]
依题意可得－ －11<<t1－－12<t<11，， t－1<1－2t，
解得 0<t<23.
[评注] (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内 的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式．
(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考 虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围．
4．利用函数单调性求函数的最值 【例 4】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋a，x∈[1，＋∞)． (1)当 a＝4 时，求 f(x)的最小值； (2)当 a＝12时，求 f(x)的最小值； (3)若 a 为正常数，求 f(x)的最小值．
[解] (1)当 a＝4 时，f(x)＝x＋4x＋2， 易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6. (2)当 a＝12时，f(x)＝x＋21x＋2. 易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数． ∴f(x)min＝f(1)＝72.