第13章压杆稳定
《建筑力学》复习提纲及题库
《建筑力学（一）》复习考试说明考试形式及试卷结构考试方法（闭卷）。
试卷满分（为100分，考试时间120分钟）。
●试卷内容比例（各章节内容分数比例）（1）静力学35%（2）材料力学65%轴向拉伸与压缩25%剪切和挤压20%平面弯曲15%压杆稳定5%●题型比例选择题40%填空题20%计算题40%●试卷难易比例容易题60%中等题30%较难题10%复习题库一、选择题（每题2分，共40分）第1章：静力学基础1、“二力平衡公理”和“力的可传性原理”只适用于（D ）。
A、任何物体B、固体C、弹性体D、刚体2、只限制物体任何方向移动，不限制物体转动的支座称（A ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面3、既限制物体任何方向运动，又限制物体转动的支座称（ C ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面4、物体系统的受力图上一定不能画出（B ）。
A、系统外力B、系统内力C、主动力D、约束反力5、光滑面对物体的约束反力，作用在接触点处，其方向沿接触面的公法线（A ）。
A、指向受力物体，为压力B、指向受力物体，为拉力C、背离受力物体，为拉力C、背离受力物体，为压力6、柔体约束反力，作用在连接点，方向沿柔体（B）。
A、指向被约束体，为拉力B、背离被约束体，为拉力C、指向被约束体，为压力C、背离被约束体，为压力7、两个大小为3N和4N的力合成一个力时，此合力的最大值为（B ）。
A、5NB、7NC、12ND、16N8、三力平衡汇交定理是（A ）。
A、共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点B、共面三力若平衡，必汇交于一点C 、三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡D 、此三个力必定互相平行 第2章：平面汇交力系1、一个物体上的作用力系，满足（ A ）条件，就称这种力系为平面汇交力系。
A 、作用线都在同一平面内，且汇交于一点 B 、作用线都在同一平面内，但不汇交于一点 C 、作用线不在同一平面内，且汇交于一点 D 、作用线不在同一平面内，且不交于一点2、平面汇交力系的合成结果是（ C ）。
压杆稳定
2 [25.6 12.74 (1.52 a / 2) 2 ]
当 I z I y 时最为合理：
即:
198 .3 25.6 12.74(1.52 a / 2) 2
a=4.32cm
39
2、求临界压力：
0 .7 6 i Iz 2 A1
L
0 .7 6 396 .6 10 8 2 12 .74 10 4
.
第九章
§9-1 §9-2
§9-3 §9-4 §9-5
压杆稳定
基本概念 细长压杆的临界力
压杆的临界应力 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施
1
目录
目录
问题的提出
拉压杆的强度条件为：
FN = —— [ ] A
(a): 木杆的横截面为矩形（12cm), 高为3cm，当荷载重量为6kN 时杆还不致破坏。
解：1、对于单个10号槽钢，形心在C1点。
4 4 A1 12.74cm2 , z0 1.52cm, I z1 198 .3cm , I y1 25 .6cm .
两根槽钢图示组合之后: I z 2 I z1
2 198 .3 396 .6cm4
2 （z1） I y 2[ I y1 A1 ( z0 a / 2) ]
一端固定一端自由
2 EI
( 2l ) 2
2 EI Fcr ( l ) 2
l
欧拉公式普遍形式
长度系数（长度因数） 相当长度
22 目录
§9-2
细长压杆的临界力
23 目录
§9-3欧拉公式的适用范围 临界应力总图
欧拉公式只适用于大柔度压杆
24
11-3
材料力学面试重点概念36题
材料力学面试重点概念36题第一章绪论1.什么是强度、刚度、稳定性?答:(1)强度:抵抗破坏的能力(2)刚度:抵抗变形的能力(3)稳定性:细长压杆不失稳。
2、材料力学中的物性假设是?答：（1)连续性；物体内部的各物理量可用连续函数表示。
(2)均匀性:构件内各处的力学性能相同。
(3)各向同性:物体内各方向力学性能相同。
3.材料力学与理论力学的关系答:相同点:材力与理力:平衡问题，两者相同不同点:理论力学描述的是刚体，而材料力学描述的是变形体。
4.变形基本形式有答:拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。
5.材料力学中涉及到的内力有哪些?通常用什么方法求解内力?答:(1)轴力，剪力，弯矩，扭矩。
(2)用截面法求解内力。
6，变形可分为?答:1)、弹性变形:解除外力后能完全消失的变形2)、塑性变形:解除外力后不能消失的永久变形7，什么是切应力互等定理答:受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小8，什么是纯剪切?答:单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。
9、材料力学中有哪些平面假设1）拉(压)杆的平面假设实验:横截面各点变形相同，则内力均匀分布，即应力处处相等。
2)圆轴扭转的平面假设实验:圆轴横截面始终保持平面，但刚性地绕轴线转过一个角度。
横截面上正应力为零。
3)纯弯曲梁的平面假设实验:梁横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于梁的纵向纤维;正应力成线性分布规律。
第二、三章轴向拉压应力表嘻10、轴向拉伸或压缩有什么受力特点和变形特点。
答:(1)受力特点:外力的合力作用线与杆的轴线重合。
(2)变形特点:沿轴向伸长或缩短。
11，什么叫强度条件?利用强度条件可以解决哪些形式的强度问题?要使杆件能正常工作，杆内(构件内)的最大工作应力不超过材料的许用应力，即≤[σ],称为强度条件。
σmax=F NmaxA利用强度条件可以解决:1)结构的强度校核；2)结构的截面尺寸设计;3)估算结构所能承受的最大外荷载。
结构弹性
Fcr F2 0.382kl
y2 1.618 y1
2. 弹性压杆（无限自由度）的临界荷载
图示一段固定另一端铰支的等 截面弹性压杆。设失稳时杆件 的挠曲线为 y=y(x)，C为任一 截面，其弯矩为M，取AC段 分析， 由
F
A C
Fs
A
F Fs
l-x C y M
y
l x
M
得
c
0
y
B
M Fy Fs (l x) 0
即
(kl F ) y1 Fy 2 0 (2kl F ) y1 kly 2 0
y1 、y2 不能全为零，其非零解的条件是：上述方程的系数 行列式为零，即
(kl F ) F 0 (2kl F ) kl
展开得 F 2 3klF (kl) 2 0
3 5 kl 2.618kl 2
取下段隔离体分析，由 M A 0 有
δ
F
B
F
M
因 EIy" M 于是可得挠曲线微分方程
EIy" Fy k11
或
k11 F y" y EI EI
y
1
y
EI
y x
l y
1
k1 1
x A
A
k1
M Fy k11
F 令 n EI
2
，上式可写为
k11 y" n y n F
y
l
x
FS
M
φ1
A k1
FN =F
方程的通解（挠曲 线方程）为
k2 k3 y A cosnx B sin nx 1 l x 2 F F
材料力学第13超静定结构_OK
示，求圆环内弯矩M。
解封闭圆环为3次超静定。在A处截开，则有3个多余未知力，弯矩 X1，轴力
X2，剪力 X3（图13.18（b））。直径AB为一对称轴，对称截面A
26
的平衡可得 X2=P/2。故只有弯矩X1未知（见图13.18（c））。 选半圆环为静定基，作用于半圆环的力如图13.18(c)所示，则协调条件应是A 或B截面在 P及弯矩X1作用下转角 θ 应为零（由对称性可知），所以有 静定基上施加外力P（见图13.18(d)）及单位力偶（见图13.18（e）），用莫尔 法求δ11与Δ1P。 外力引起弯矩
（c）），而 是弯矩图面积ωn对ln左侧的静矩，如以an表示跨度ln内弯矩
图面积的形心到左端的距离，则 。同理bn+1表示外载荷单独作用下，跨
度ln+1内弯矩图面积ωn+1的形心到右端的距离，则
。于是有
31
（2）δn(n－1)，δnn，δn(n+1)的计算 当n支座铰链处作用有Mn=1时，其弯矩图如图 13.20（e）所示，用莫尔积分有
21
图13.13 对称结构的对称变形与反对称变形图13.14对称结构的对称变形现以如图13.14 （a）所示的对称变形为例证明载荷对称的性质。此结构为3次外力超静定结 构，切开结构对称截面，其上应有3个多余未知力，即轴力X1，弯矩X2与剪 力X3，如图13.14（b）所示。变形协调条件是，上述切开截面两侧水
3
图13.2
4
一次内力超静定结构。如图13.2（e）所示为静定刚架加EF杆后形成一封闭刚 架结构，这样就有6个内力（见图13.2（f）），其中有3个内力不能由静力学 平衡方程解出，因而为3次内力超静定结构。 对于内力超静定结构，超静定形式及超静定次数有以下常见形式：一个平面 封闭框架为3次内力超静定；平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数 减去两倍的节点数。例如，如图13.4中所示桁架结构为内力二次超静定。
压杆稳定性
中心受压直杆(理想压杆 ： 杆由均质材料制成, 中心受压直杆 理想压杆)： 杆由均质材料制成 理想压杆 轴线为直线, 外力的作用线与压杆轴线重合。 不 轴线为直线 外力的作用线与压杆轴线重合。(不 存在压杆弯曲的初始因素) 存在压杆弯曲的初始因素 研究方法： 研究方法： 在分析中心受压直杆时, 当压杆承受轴向压力后, 在分析中心受压直杆时, 当压杆承受轴向压力后, 假想地在杆上施加一微小的横向力, 假想地在杆上施加一微小的横向力 使杆发生弯 曲变形, 然后撤去横向力。 曲变形 然后撤去横向力。 而要准确了解压杆的失稳问题,必须首先弄清楚 而要准确了解压杆的失稳问题 必须首先弄清楚 平衡的分类问题 问题。 平衡的分类问题。
补充 压杆稳定研究简史
(二) 二
文艺复兴以来, 文艺复兴以来 人们逐渐开始用实验和理论分析 的方法研究柱的承载能力问题。 的方法研究柱的承载能力问题。 Leonardo da Vinci做过一些开拓性的工作。他认 做过一些开拓性的工作。 做过一些开拓性的工作 为 : 高度一定的柱的承载能力与其直径的立方 (??????????????????)成正比。 成正比。 成正比
x
2δ cos(kl / 2) = 0
时才能成立。 上式仅在δ＝0或cos(kl/2)＝0时才能成立。 或 ＝ 时才能成立 显然, 显然 若δ＝0, 则压杆的轴线并非微 弯的挠曲线。 弯的挠曲线 。欲使压杆在微弯形态 下维持平衡, 下维持平衡 必须有 kl
x Fcr
cos
kl nπ = 即得: 即得 2 2
浙江余姚河姆渡新石器文化遗址的木构榫卯
补充 压杆稳定研究简史 几千年来, 几千年来 柱子大多采用圆形和各种正多边形的 截面, 尤其值得一提的是“拼合柱” 截面 尤其值得一提的是“拼合柱”。 除了房屋的柱子, 古代兵器的柄也采用了合理的 除了房屋的柱子 古代兵器的柄也采用了合理的 截面形状。 截面形状。 古希腊人在建造神殿时, 采用了仿生学 仿生学的方法来 古希腊人在建造神殿时 采用了仿生学的方法来 确定柱子的尺寸。他们测量男人的足印, 确定柱子的尺寸。他们测量男人的足印 发现足 的尺寸大约是身高的1/6。 的尺寸大约是身高的 。 于是他们把这个比例 用到柱子上。 用到柱子上。
压杆稳定计算
第二节
欧拉在 1774 年首先解决的。
细长压杆的临界力
现在我们来求压杆的临界力 Plj ，即杆弯曲后在平衡状态时的纵向力 P，这个问题是 设有一根等截面的直杆 AB，长为 L，两端铰支(图 25-2)，在纵向力 P 作用下，发生 微小弯曲变形，选取坐标轴如图所示，杆在弯曲状态下，距下端为 x 的任一截面的挠度 为 y，该截面的弯矩为 M（x）= -Py （ a） 压杆开始丧失稳定时，挠度很小，可以根据挠曲线的近似微分方 程来进行分析，将式（a）代入挠曲线近似微分方程得 d2 y EI = M ( x) = − Py d x2 P (b) 令 k2 = EI 那么上面的微分方程就可写成 d2 y + k2 y = 0 d x2 它的通解是 y=c1sinkx+c2coskx 不知道，所以式中的K也是一个待定值。 要确定上述这几个待定值，可以利用杆端的两个边界条件。在 A 端，即 x=0 处，挠 度 y=0，把它代入式（c） ，即可求得 c2=0 因此挠度曲线方程为 y=C1sinkx (d) 又在 B 端，即 x= l 处，挠度 y=0，代入上式得
P lj
=
π
2
EI
2
(0 .7 l )
2 2
（25-4）
综合上述四个公式可得临界力的一般表达式为
P lj =
π EI = π EI 2 2 (μl ) L0
（25-5）
式中 μ 为长度系数，其值取决于压杆两端的约束情况，可见表 25-1。L0= μ l ，为 压杆的计算长度；E为杆件材料的弹性模量：I为杆件截面的惯矩。
k= l
或 (e)
若取C1=0，则由式（d）得挠曲线方程为y=0，表示杆仍保持直线形式，这个结论与原来
《建筑力学》复习提纲及题库
《建筑力学（一）》复习考试说明考试形式及试卷结构考试方法（闭卷）。
试卷满分（为100分，考试时间120分钟）。
●试卷内容比例（各章节内容分数比例）（1）静力学 35%（2）材料力学 65%轴向拉伸与压缩 25%剪切和挤压 20%平面弯曲 15%压杆稳定 5%●题型比例选择题 40%填空题 20%计算题 40%●试卷难易比例容易题 60%中等题 30%较难题 10%复习题库一、选择题（每题2分，共40分）第1章：静力学基础1、“二力平衡公理”和“力的可传性原理”只适用于（ D ）。
A、任何物体B、固体C、弹性体D、刚体2、只限制物体任何方向移动，不限制物体转动的支座称（ A ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面3、既限制物体任何方向运动，又限制物体转动的支座称（ C ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面4、物体系统的受力图上一定不能画出（ B ）。
A、系统外力B、系统内力C、主动力D、约束反力5、光滑面对物体的约束反力，作用在接触点处，其方向沿接触面的公法线（ A ）。
A、指向受力物体，为压力B、指向受力物体，为拉力C、背离受力物体，为拉力 C、背离受力物体，为压力6、柔体约束反力，作用在连接点，方向沿柔体（ B）。
A、指向被约束体，为拉力B、背离被约束体，为拉力C、指向被约束体，为压力 C、背离被约束体，为压力7、两个大小为3N和4N的力合成一个力时，此合力的最大值为（ B ）。
A、5NB、7NC、12ND、16N8、三力平衡汇交定理是（ A ）。
A、共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点B、共面三力若平衡，必汇交于一点C、三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡D、此三个力必定互相平行第2章：平面汇交力系1、一个物体上的作用力系，满足（ A ）条件，就称这种力系为平面汇交力系。
A、作用线都在同一平面内，且汇交于一点B、作用线都在同一平面内，但不汇交于一点C、作用线不在同一平面内，且汇交于一点D、作用线不在同一平面内，且不交于一点2、平面汇交力系的合成结果是（ C ）。
《工程力学》(工程类)课程复习大纲
《工程力学》（工程类）课程学习资料继续教育学院《工程力学》（工程类）课程复习大纲一、考试要求本课程是一门专业课，要求学生在学完本课程后，能够牢固掌握本课程的基本知识，并具有应用所学知识说明和处理实际问题的能力。
据此，本课程的考试着重基本知识考查和应用能力考查两个方面，包括识记、理解、应用三个层次。
各层次含义如下：识记：指学习后应当记住的内容，包括概念、原则、方法的含义等。
这是最低层次的要求。
理解：指在识记的基础上，全面把握基本概念、基本原则、基本方法，并能表达其基本内容和基本原理，能够分析和说明相关问题的区别与联系。
这是较高层次的要求。
应用：指能够用学习过的知识分析、计算和处理涉及一两个知识点或多个知识点的会计问题，包括简单应用和综合应用。
二、考试方式闭卷笔试，时间120分钟三、考试题型●选择题：20%●填空题：20%●简单计算题：30%●综合计算题：30%四、考核的内容和要求第1章物体的受力分析与结构计算简图了解工程力学课程的研究对象、内容及研究方法和学习目的；了解静力学公理，理解约束和约束力。
掌握物体的受力分析和受力图。
第2章平面任意力系理解平面汇交力系合成与平衡的几何法和解析法、平面力对点之矩、平面力偶的概念，平面任意力系的简化；静定和超静定问题的判断。
掌握求解平面汇交力系问题的几何法和解析法的计算、平面力对点之矩的计算和平面力偶系合成与平衡问题的计算，平面任意力系的平衡条件和平衡方程，物体系统平衡问题的计算。
第3章空间力系理解空间汇交力系、空间力对点的矩和力对轴的矩及空间力偶的概念。
掌握空间任意力系的平衡方程及空间平衡问题的求解，重心的概念及重心问题的求解。
第4章杆件的内力与内力图理解变形固体的基本假设。
掌握内力、截面法和应力的概念和变形与应变及杆件变形的基本形式。
第5章拉伸、压缩与剪切理解直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力，拉伸、压缩超静定问题和温度应力、装配应力。
掌握轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力的概念及计算，材料拉伸、压缩时的强度计算以及轴向拉伸或压缩时的变形及变形能。
第13章 外压容器设计
用圆筒的抗弯刚度
D EJ (1 2 )
代替式(13-1)中圆环的抗弯刚度EJ，即得长圆筒的临界 压力计算式
3D 3EJ pcr 3 2 3 R (1 ) R
将 J e3 12 代入式(13-2)，得
(13-2)
2E e 3 pcr ( ) 2 1 D
3. 筒体的椭圆度和材料的不均匀性
筒体的椭圆度定义为e=（Dmax-Dmin）， Dmax 、Dmin
分别为壳体的最大直径、最小直径。 筒体的 椭圆度大小和材料的不均匀性 影响临界压力 的大小。但必须注意的是：外压容器的失稳是外压容 器固有的力学行为，并非由于壳体不圆或材料不均匀
引起的。
GB150中对外压容器椭圆度的要求比内压容器要严格。
13.1.1 外压容器的失稳
外压容器指容器外面的压力大于内部的容器。 例如：石油分馏中的减压蒸馏塔，多效蒸发中的真空 冷凝器，带有蒸汽加热夹套的反应容器以及某些真空
输送设备等。
圆筒容器受外压时的应力计算方法与
受内压相类似。其环向应力值是
pD 2
若超过材料的屈服极限或强度极限时，也会引起强度 失效。但薄壁容器极少出现这种失效，往往是在壳壁的
压应力还远小于筒体材料的屈服极限时，筒体就已经被
压瘪或出现褶皱，突然间失去自身原来的几何形状而导 致容器失效。 外压容器的 失效形式有 两种：
1.发生压缩屈服破坏;
2.当外压达到一定的数值时，壳 体的径向挠度随压缩应力的增 加急剧增大，直至容器压扁.
这种在外压作用下壳体突然被压瘪
（即突然失去自身原来形状）的现象
式（13-4）仅适合于 cr
(13-5)
s ，即弹性失稳。
13.2.2 短圆筒的临界压力
材料力学 第十三章压杆稳定
（4）若压杆在两个形心主惯性平面内的杆端约束不相
同时，该杆的临界力应按两个方向的(I/ μl)min值计算。 y z x
轴销
（5）假设压杆是均质的直杆，且只有在压杆的微弯 曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的;实际压杆 的临界力均小于理论值。
9l 5l
2l
稳定性
丧失原有平衡形式的现象称为失稳 失稳也是一种失效形式 理想中心受压细长压杆的临界力
§13-2
一﹑Euler公式
细长压杆的临界力
x Fcr
1.两端铰支的临界压力
M（x）=Fcrw （a）
l
E I w″= -M（x）（b） 得 E I w″= - Fcrw
w
x O y
令 k2=Fcr / EI
M(x) Fcr=F
2 0.8 160 p 0.04 i 4
l
l
2 EI 2 210 109 0.044 / 64 Fcr 102kN 2 2 (2 0.8) l
Fcr F Fst 34kN nst
例4：厂房钢柱长7m，由两根16b号Q235槽钢组成。截
稳定的。
F ≥ Fcr
F ≥ Fcr
F≥Fcr
（2）当F≥Fcr时，
在干扰力除去后，杆
干扰力
件不能恢复到原直线 位置，在曲线状态下 保持平衡。 原有的直线平衡状态是
(a)
(b)
(c)
不稳定的。
这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳.
Fcr——压杆保持稳定平衡所能承受的极限压力， 即临界压力（临界荷载）。 压杆在外力作用下保持原有平衡形式的能力
第十三章压杆的稳定性
(a)
(b)
7
§ 13-2
细长压杆的临界力
w A sin kx B cos kx (c)
将边界条件x=0，w=0代入式(c)得 B=0。于是根据(c)式并利用边界条件 x=l，w=0得到
A sin kl 0
由于B=0，故上式中的A不可能等于零，则
sin kl 0
w
解得：kl 0，π, 2π，
φ28 800 C
P=30kN
1
μ1l1 0.5 900 75 i1 6 s 1 P
解： 1.根据已知条件求 s ,P cr1 304 1.12 75 220MPa
a - s 304 - 240 s 57.1 b 1.12
3
§ 13-1
压杆稳定性的概念
2. 理想中心杆件 1. 压杆轴线是理想直线即无初弯曲， 2. 压力作用线与轴线完全重合， 3. 材料是绝对均匀的。
二、失稳（屈曲）
压杆丧失其直线平衡而过渡到曲线平衡，
称为丧失稳定性，简称失稳或屈曲。
4
§ 13-1
压杆稳定性的概念
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
Fcr：临界压力
F 30 103 2 48.72MPa A2 p 282 4
24
§ 13-4
压杆的稳定性计算
作业：P1076； P10916 思考：P11017； P11018
25
§ 13-4
压杆的稳定性计算
答疑通知
地点：工科二号楼A424（力学系）
时间：17周的周二下午两点；
26
§ 13-4
P=30kN
n2
第十三章-压杆稳定知识讲解
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
理想受压直杆、理想受压直杆稳定性、屈曲、临界压力。
1.2临界压力
细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。
1.3稳定计算
为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：
稳定计算要求掌握安全系数法。
解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。
3典型问题解析
3.1临界压力
例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm、(2)、a=56.5mm、(3)、d=63.8mm、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm。若已知材料的E=200GPa，σs=235MPa，σcr=304－1.12λ，λp=100，λs=61.4，试计算各杆的临界荷载。
解题指导：
1．计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。当
λ＞λP时压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力；
λs<λ<λP时压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力；
λ<λs时压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。
压杆的柔度
iy=iz=i
由于
所以，λ＞λP压杆为大柔度杆
用欧拉公式计算临界压力
例题13.4所示工字钢直杆在温度t1=20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l=6m，材料的λP=132,E= 200GPa，线膨胀系数α=12.5×10-6/℃。试问当温度升高到多少度时杆将失稳。
第十三章结构的稳定计算
•由位移参数不全为零得稳定方程并求解：
Pl k
Pl
k Pl
k
0
展开得：只P2是 3理P论k 上存k 在2 的0 失稳(曲3)线
l l
解得：P1
0.38
k l
•求失稳曲线：将P1
P2 0.38
k2.代62入kl （, 1）Pc得r P11
l
结 •稳定性演算：高强度材料应用、结构形式的发展，结构
构
趋于轻型、薄壁化，更易失稳，稳定计算
日益重要。
2、平衡状态的三种情况
稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，恢复原位。
中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。
不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，
干扰消失，不能恢复原位。
Pcr
Pcr
原始平衡：轴向受压 新平衡形式：压弯组合
原始平衡：轴向受压
Pcr
新平衡形式：压弯组合
分支点失稳的特点：
原始平衡：平面弯曲 新平衡形式：斜弯曲加扭转
结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定
而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时，
这种现象带有突然性。
5
5、极值点失稳：非完善体系出：现极极具承值值有受点点初偏失失曲心稳稳率荷的。的载特平压的点衡杆压：形杆非式完不善出体现系分
2）P>k/l ，当θ≠0，Π恒小于零（Π为负定） (即U<UP表示体系缺
少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。
当θ=0，Π为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。
3）P=k/l ，当θ为任意值时，Π恒等于零(即U=UP) 。 体系处
第十三章-压杆稳定
例题13.8图13－8所示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，连接处均为铰链，各杆直径均为d＝40 mm，a＝1 m。材料的λp=110，λs=60，E＝200 GPa，经验公式为 ，nst＝1.8。试求结构的许可载荷。
第十三章压杆稳定
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
理想受压直杆、理想受压直杆稳定性、屈曲、临界压力。
1.2临界压力
细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。
1.3稳定计算
为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：
压杆的柔度
iy=iz=i
由于
所以，λ＞λP压杆为大柔度杆
用欧拉公式计算临界压力
例题13.4所示工字钢直杆在温度t1=20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l=6m，材料的λP=132,E= 200GPa，线膨胀系数α=12.5×10-6/℃。试问当温度升高到多少度时杆将失稳。
[解]
随着温度的升高，直杆在杆端受到压力FA＝FB，当两端压力达到压杆的临界压力即：FA＝FB＝Fcr时，压杆将失稳。
由压杆稳定条件
则许用外载荷
FP≤139.2kN
3．计算由AC杆稳定条件确定的许用外载荷
AB杆的柔度
用欧拉公式计算压杆的临界应力：
由压杆稳定条件
则许用外载荷
FP≤240.6kN
4．确定整个结构的许用载荷
由稳定计算结果可知，结构的许用载荷为
[FP]=139.2kN
解题指导：
对于这类题目，所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。
材料力学第十三章
A 2L
CL
P=4KN
B
y1
L=1m y2
D
8、各构件均为圆截面，直径d＝20毫米，材料弹性模
量E＝200GPa，L＝1米，第一特征柔度λp= 100，第 二特征柔度λs=57，经验公式σcr＝304－1.12λ，稳定安 全系数nw=3，许用应力 [σ]=140MPa，求此结构的许 可载荷[P]。
C
P
L
B
A
D
L
L
L EL
9、横梁为刚性杆，1、2杆件的材料相同均为A3钢，比例极 限σP＝200MPａ，屈服极限为σs=240Mpa，强度极限为σb＝ 400MPａ。 1杆的直径为ｄ１＝10毫米，杆长L1＝1米。2杆 的直径为ｄ２＝20毫米，杆长为L2＝1米。1杆与横梁的夹角 为30度，2杆与横梁的夹角为60度。两杆的强度与稳定安全 系数均为2.0。求结构的许可载荷[P]＝？
材料和直径均相同问题压杆的临界应力总图弹性失稳弹塑性稳定问题强度失效细长杆细长杆中长杆中长杆粗短粗短杆杆临界应力总图150030sin30cos1计算工作压力mm161081610732crcr26118ab杆满足稳定性要求3选用公式计算临界应力4计算安全系数5结论kn11822两根直径均为两根直径均为dd的压杆杆材料都是材料都是qq235235钢钢但二者长度和约束条件但二者长度和约束条件各不相同各不相同
A
B
L
L
C
3、钢制矩形截面杆的长度为L＝1.732米，横截面为 60×100，P＝100KN，许用应力为[σ]＝30MPａ， 弹性模量E＝200GPａ，比例极限σP＝80MPａ， 屈服极限σS＝160MPａ，稳定安全系数ｎw＝2， ａ＝304MPａ，ｂ＝1.12MPａ。构件安全吗？
压杆稳定
压杆的柔度
λ
λ=
µl
i
是压杆本身的几何性质 几何性质， 压杆的柔度 λ 是压杆本身的几何性质，综 合反映了压杆长度、杆端约束、截面形状的影响。 合反映了压杆长度、杆端约束、截面形状的影响。 与压杆的受载情况、材料情况无关。 柔度 λ 与压杆的受载情况、材料情况无关。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式的适用范围为： 欧拉公式的适用范围为：
比较:最大压力值 与临界压力F 比较 最大压力值Pb与临界压力 cr 最大压力值 解： P = σb ⋅ A = 400×106 ×10×1×10−6 b
= 4000N
F = cr
π 2EI
2
1 3 π ×200×10 × ×10×1 ×10−12 12 = (0.3)2 =18N
9
l2
细长压杆的失稳临界载荷远小于其受压破坏载荷。 细长压杆的失稳临界载荷远小于其受压破坏载荷。
σcr ≤σ p
代入临界应力计算公式，得到： 代入临界应力计算公式，得到：
σcr
得到： 得到：
π 2E = ≤σ p 2 λ
π2E E =π σp σp
欧拉公式的适用范围为： 欧拉公式的适用范围为：
λ≥
令：
E λp = π σp
λ ≥ λp
欧拉公式的适用范围为： 欧拉公式的适用范围为： λ ≥ λp
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
一、临界载荷
Fr的定义 c Fr计算公式的推导 c
F A B F
压杆在微弯状态下，能够保持随遇平衡的最小轴向力。 压杆在微弯状态下，能够保持随遇平衡的最小轴向力。 微弯状态下 随遇平衡的最小轴向力 二、临界载荷
压杆AB处于微弯 压杆 处于微弯 处于 随遇平衡状态 平衡状态， 随遇平衡状态， 假设： 假设： < σ p σ 弯曲挠曲线方程为: 弯曲挠曲线方程为: 挠曲线方程为
建筑力学(第二版)第1章至第13章知识点节选
绪论部分荷载：直接施加在结构上的力，在工程上统称荷载。
结构：在建筑物中承受和传递荷载而起骨架作用的部分。
构件：组成结构的每一个部分。
平衡状态：建筑的结构及组成结构的各构件，都相对于地面保持着静止状态，这种状态在工程上称为平衡状态。
要保证构件的正常工作，必须同时满足三个要求：1）在荷载作用下构件不发生破坏，即应具有足够的强度2）在荷载作用下构件所产生的变形在工程的允许范围内，即应具有足够的刚度3）承受荷载作用时，构件在其原有形状下应保持稳定，即应具有足够的稳定性※构件的强度、刚度和稳定性统称为构件的承载能力建筑力学的任务是：研究和分析作用在结构（或构件）上力与平衡的关系，结构（或构件）的内力、应力、变形的计算方法以及构件的强度、刚度与稳定条件，为保证结构（或构件）既安全可靠又经济合理提供计算理论依据。
杆系结构：由杆件组成的结构。
建筑力学：是由研究建筑结构的力学计算理论和方法的一门科学。
第一章静力学的基本概念力的定义：力是物体间的相互机械运动。
用一个带有箭头的有向线段来表示一个力（注意作用点的位置）物体在受到力的作用后，产生的效应可以分成两种：外效应，也称为运动效应，使物体的运动状态发生改变。
内效应，也称为变形效应，使物体的形状发生变化。
力的三要素：大小、方向、作用点力的大小反应物体之间的相互机械作用的强弱程度力的方向包含力的作用线在空间的方位和指向力的作用点是指力在物体的作用位置当接触面面积很小时，则可以将微小面积抽象为一个点，这个点称为力的作用点。
该作用力称为集中力；反之，如果接触面积较大而不能忽略时，则力在整个接触面上分布作用，此时的作用力称为分布力。
分布力的大小用单位面积上的力的大小来度量，称为荷载集度。
力是矢量，记作F刚体：在外力的作用下，不发生形变的物体。
平衡：在外力作用下，物体相对于地球保持静止或匀速直线运动状态，我们就称物体在外力作用下保持平衡。
力系分类汇交力系：力系中各力作用线汇交于一点力偶系：力系中各力可以组成若干力偶或力系由若干力偶组成平行力系：力系中各力作用线相互平行一般力系：力系中各力作用线既不完全交于一点，也不完全相互平行等效力系：若某一力系对物体产生的效应，可以用另一个力系来代替，则这两个力系称为等效力系。
压杆稳定欧拉公式
B
1.6 a
A
C
l 1.3a
杆C： 0.7
d
l 1.12a
结论： A 杆先失稳
15
第十章
一、压杆稳定与压杆失稳
压杆稳定
第一节 引言
压杆稳定： 压杆能够稳定地保持其原有直线形式的平衡 压杆失稳： 压杆丧失了其原有直线形式的平衡
FF F F cr cr
F FF ≥ ≥ F Fcr F≥ cr cr
压杆稳定
压杆失稳
1
工程结构中的压杆失稳破坏具有突发性，往往会引起严重灾难
1907年8月29日，享有盛誉的美国桥梁学家库柏在圣劳伦斯河上 建造的魁比克大桥（Quebec Bridge）发生稳定性破坏，85 位工
9
三、欧拉公式的适用范围
cr
π2 E
2
≤ p
或者
≥
π2 E
p
p
其中，欧拉公式适用的柔度的界限值 p 为材料常数
这类杆称为细长杆（或大柔度杆），亦即欧拉公式适用于细长 杆（或大柔度杆）
10
[例1] 如图，矩形截面的细长压杆两端铰支。已知杆长 l = 2m , 截 面尺寸 b = 40 mm， h = 90 mm，材料弹性模量 E = 200 GPa。试计 算此压杆的临界力Fcr. 解： 显然 Iy < Iz ，故应按 Iy 计算临界力
人死亡，成为上世纪十大工程惨案之一。
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
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确定的原因是推导采用了挠曲线近似微分方程。如果采用
挠曲线精确微分方程，则可以解出 Fcr ~ 的关系。
13
工程力学电子教案
§13-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧 . 拉公式 · 压杆的长度系数
当压杆的约束情况改变时，压杆的挠曲线近似微分方
程和挠曲线的边界条件也随之改变。仿照前面的方法，也 可以求得其它杆端约束情况下压杆的公式。例如：将一端 固定，另一端自由，长为 l 的细长压杆从固定端延长 l ， 则得到相当于两端铰支，长 2l 压杆失稳后的挠曲线，故其
力的欧拉(L.Euler)公式。 (a)
工程力学电子教案
在图a 所示微弯状态下，两 端铰支压杆任意 x 截面的挠度(侧 向位移)为 w，该截面上的弯矩为
M(x)=Fcrw (图b)。杆的挠曲线近
似微分方程为
EIw M x Fcr w
(b)
(a)
工程力学电子教案
Fcr 令 k EI
2 cr s [1 ( ) ] c
工程力学电子教案
临界应力总图（ cr 关系曲线 ）
cr s
抛物线
0.57s
cr s [1 ( / c )2 ]
cr
双曲线
π2E
2
p
c
工程力学电子教案
小结：
（1）
p 能应用欧拉公式求临界应力的压杆称为大
Q Q
轴压 直线平衡
压弯 曲线平衡
恢复 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
工程力学电子教案
§13-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
本节以两端球形铰支(简称两 端铰支)的细长中心受压杆件(图a) 为例，按照对于理想中心压杆来说 临界力就是杆能保持微弯状态时的
轴向压力这一概念，来导出求临界
1 ，xz平面内弹性固定 0.8 。求此压杆 cr， 问 b / h
为多少设计才合理。 解：1. 求 cr 分别计算压杆在xoy和xoz平面内不同柔度，从而定 cr xoy平面， z 1
iz
Iz A
bh3 12 h 60 17.32m m bh 12 12
判断粗短、细长杆呢？这需要引入临界应力和柔度的概念。
1
临界应力和柔度
临界力 F 作用下压杆横截面上的平均压应力称为压 cr
杆临界应力 cr 。
Fcr cr A
工程力学电子教案
从前面的推导可以看到，求压杆临界荷载的欧拉 公式只适用于压杆失稳时仍在线弹性范围内工作的情 况。
因此，可以把临界状态下按直杆算得的横截面上
2
，将挠曲线近似微分方程(a)改写成 (b)
w k 2 w 0
该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为
w A sin kx B cos kx
(c)
将边界条件 x=0，w=0 代入式 (c)得 B=0。 利用边界条件 x=l， w=0得到
A sin kl 0
工程力学电子教案
注意到已有 B=0，故上式中的 A 不可能等于零，否则将有
已经不能用 Euler 公式计算。通常采用建立在实验基础上的 经验公式求 cr 。 常用的为直线公式和抛物线公式。
（1）直线公式：
cr a b
式中的 a 和 b 是与材料性质有关的常数，其单位均为
MPa 。可以查有关手册得到。
对 Q235 钢
a 304MPa, b 1.12MPa
可知：在相邻两段挠曲线的交界点，挠度相等，转角亦
相等。此外中点C处的切线应与x轴平行。
Fcr A D C E
M ( x) Fcr v
分段列挠曲线近似微分方程，最后求解得到
Fcr
1.68π 2 EI y l2
B
工程力学电子教案
§13-4 欧拉公式的适用范围· 临界应力总图
粗短的压杆是强度问题，细长的压杆是稳定问题。如何
I A
称为截面惯性半径，其量纲为长度的一次方。则（2）式可 表示为
工程力学电子教案
2 Ei2 2 E 2 E cr 2 2 l 2 ( l ) ( )
i
其中
(3)
lLeabharlann ilI A
是压杆的柔度，亦称长细比。是一个无量纲的量。它反 映杆端约束情况、杆长、截面形状和尺寸等因素对临界 力的综合影响。 越大，杆越细长，Fcr 越小。所以
w≡ 0 而压杆不能保持微弯临界状态。由此可知，欲使(c)成
立，则必须 sinkl=0 。满足此条件的 kl 为
kl 0，π , 2π ，
或即
Fcr l 0，π ， 2π ， EI
Fcr l 0 意味着临界力 Fcr ＝0，也就是杆根本未 由于 EI 受轴向压力，这不是真实情况。在 kl≠0 的解中，最小解相
x
A l
π 2 EI Fcr 2 l 1
A
l
B
π 2 EI Fcr (0.7l ) 2 0.7
y
B
工程力学电子教案
Fcr
Fcr
A l B
π 2 EI Fcr (0.5l ) 2 0.5
l
v
π 2 EI Fcr (2l ) 2 2
从上述分析可知,中心受压直杆的临界力 Fcr 与杆端的 约束情况有关，杆端的约束越强，μ就越小，临界力也就
工程力学电子教案
第十三章
压杆稳定
工程力学电子教案
§13-1 关于稳定性的概念
一根宽30mm，厚5mm的矩形截面松木杆，对其施加轴 向压力，设材料的抗压强度为40MPa， 则当杆很短
（如h=30mm），将杆压坏的压力为：
F c A 40106 0.005 0.03 6000N
F
生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲
变形。 压杆是在压缩与弯曲组合变形的状
态下工作的。
工程力学电子教案
可以用下列模型来说明稳定问题的关键： 在杆上施加一竖向力 F ，再施加一横向力 Q，使杆 发生转动。如果 F 不大，杆能保持平衡，且撤去 Q 后， 杆将恢复到其原来的直线状态。但当 F 大过一个临界值
工程力学电子教案
注意到当 x=l/2 时 w= ，故有 A= 。从而挠曲线方程为
πx w sin l
可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。但是 是一个无法确 定的值。即不论 为任何微小值，上述平衡都可以维持， 好象压杆受 作用时可以在微弯状态下处于“随遇而安” 的平衡状态。事实上这种平衡状态是不成立的。 值无法
工程力学电子教案
工程中，许多受压构件需要考虑其稳定性，例如：千
斤顶顶杆，托架中的压杆，无缝钢管穿孔机顶杆，采矿工 程中的钻杆等，在轴向压力较大时，就可能丧失稳定而突 然破坏，造成严重事故。 截面窄而高的梁，受外压的薄壁容器，都可能发生失
稳现象。
工程力学电子教案
压杆受压力时弯曲的原因在于： （1）杆本身不可能绝对地直； （2）杆的材质不可能绝对地均匀； （3）轴向压力不可能与杆轴线绝对重合。 这些因素使压杆在外加压应力下除了发
工程力学电子教案
2
压杆的临界应力总图 细长压杆临界应力 cr 随柔度 的变化情况，以及欧拉
公式的适用范围如图：
cr p
cr
π2E
2
双曲线
p
欧拉公式可用
对 p 的压杆，又怎样计算它们的临界应力呢？
工程力学电子教案
工程中常用的压杆，其柔度往往小于 P ，故其 cr
柔度压杆或细长压杆 。
（2） p 只能用经验公式求临界应力的压杆称为中柔
度压杆。
（3）临界应力接近材料屈服强度的压杆称为小柔度压杆
或短杆，这时杆的破坏是强度问题而不再是稳定性问题。
工程力学电子教案
例13-1 矩形截面压杆，h=60mm，b=40mm，杆长L=2m，材
料Q235钢 E=206GPa，两端用柱形铰连结，xy平面内铰支
临界应力总图
工程力学电子教案
（2）抛物线公式
我国钢结构设计规范中对于由Q235钢制
成的压杆，根据试验资料规定，对于 ≥c （而不是 ≥p）
的压杆才能用欧拉公式求临界应力，而
E c 0.57 s
该规范还规定,对于＜c的钢压杆，临界应力的计算式 采用抛物线型的半经验公式
对于Q235钢制成的压杆， = 0.43。
时，撤去 Q ，杆不再能恢复到原来的状态。前者称为稳
定平衡，后者称为不稳定平衡。这个从稳定平衡转变到 不稳定平衡的压力临界值称为临界力，用 Fcr 表示。而Fcr 只与系统本身的性质 l 、EI 有关。 可见，研究压杆稳定的关键就是寻找 Fcr 。
工程力学电子教案
F
F（较小） F（较小）
F（特殊值） F（特殊值）
越大。
工程力学电子教案
工程力学电子教案
实际杆端的连接情况，往往是介于固定端与铰支端之
间。在工程计算中，为简单起见，有时将有一定固结程度 的杆端简化成铰支端，这种简化是偏于安全的。
工程力学电子教案
思考题8-1
如下图所示两端固定但上端可有水平位移的等截面中 心受压直杆，其长度为 l，横截面对z轴的惯性矩为I。推导
应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。
工程力学电子教案
由 k l＝ 有
Fcr lπ EI
亦即
Fcr 2 l π 2 EI
从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：
π 2 EI Fcr 2 l
π w A sin l x
I 是横截面最小 形心主惯性矩
此时杆的挠曲线方程可取 k l＝ ，代入式(c)得到为：