沪教版(五四制)九年级数学上同步练习：24.4平面向量的分解.docx

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沪教版九年级上册 24.4 平面向量的运算讲义

===3 OA AB BCOC a数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量．实数与向量相乘的运算=ka k a2a=8(3443b a bc --⨯55a -b ．，EF 是梯形中位线，AD2,4,a CB EF ==2,2CB EF aa==备注：老师适当给出标准过程供学生模拟；a b 那么由a b 可知a b b a=b k a =；b ka =-，3参考答案：1．平行； 2．平行 e =C . 设a 是非零向量，且a e ，那么a a e =D . 设a 是非零向量，且a e ，那么a a e =± 参考答案：C 备注：重点强调单位向量的概念；试一试：假设向量b 与单位向量e 的方向一样，且1||||2b e =，那么b ＝________．〔用e 表示〕参考答案：12e例题2：如图，两个不平行的向量,a b ．先化简，再求作：．〔不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量〕解：如图：,2OA a AB b =-=那么2OB a b =-+为所求备注：老师注意总结引出以下概念：1．向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 2．假如,a b 是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么xa yb +叫做,a b 线性组合.例题3：如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，E 、F 是AD 、BC 的中点，假设AB a =，CD b =，那么用a 、b 的线性组合表示向量EF = ．13(3)()22a b a b +-+13(3)()22a b a b +-+13322a b a b =+--2a b =-+1(22AB DC a +=注意向量和所求向量的方向，要求学生习惯性在图中标出。

77b2．如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1,向量a 和b 的起点、终点都是小正方形的顶点.请完成以下问题：〔1〕设1113()4()324m a b a b =---，225()3(6)33n a b a b =+-+，判断向量,m n 是否平行，说明理由；〔2〕在正方形网格中画出向量：342b a -，并写出342b a -的模．〔不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量〕．解：(1) ∵m a = 13n a =- ∵13n m =- ∵ n m(2) 图略 3452b a -=. 3．如图，12//l l ，点A 、G 、B 、C 分别在1l 和2l 上，25AF AB =．〔1〕求AGBC的值；〔2〕假设AB a =，AC b =，用向量a 与b 表示AG ．l 1l 2FABCG解：〔1〕∵12//l l ∵AF AGBF BC=∵25AF AB =∵23AF BF = ∵23AG BC = (2) ∵AB a =，AC b = ∵BC b a =-∵23AG BC = ∵AG =2222()3333BC b a a b -=--=-4．如图，在ABC ∆中，点D 是边AB 的中点，2AB AC =，4BC =.〔1〕求CD 的长；〔2〕设AB a =，AC b =，求向量CD 〔用向量a 、b 表示〕.解：〔1〕∵点D 是边AB 的中点，2AB AC =，∵1222AD AB AC == ∵22AD AC =，1222AC AB ==∵AD ACAC AB=，又A ∠公共．∵ADC ∆∵ACB ∆ ∵CD ACBC AB=，即242CD =，∵22CD = 〔2〕∵点D 是边AB 的中点，∵1122AD AB a == ∵ 12CD AD AC a b =-=-GDBCA课堂回忆：〔此环节设计时间在5－10分钟内〕让学生回忆本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科老师引导为辅，为本次课做一个总结回忆课后作业：【稳固练习】1．如图，在ABC ∆中，点G 是重心，设向量AB a =，GD b =，那么向量BC = 〔结果用a 、b 表示〕．2．G 是∵ABC 的重心，设AB a =，AC b =，那么AG = 〔用a 、b 表示〕．3．如图，梯形ABCD 中，AB ∵CD ，2AB CD =，AD a = ，AB b =，请用向量a b 、表示向量AC = ．4．在△ABC 中，点D在边BC 上，2CD BD =, AB a =, BC b = ，那么DA = ． 5．如图，点E 是平行四边形ABCD 边BC 上一点，且:2:1BE ED =，点F 是边CD 的中点，AE 与BF 交于点O ，〔1〕设,AB a AD b ==，试用a 、b 表示AE ；〔2〕求:BO OF 的值。

沪教版(五四制)九年级数学上同步练习：24.2三角形一边的平行线.docx

24.3三角形一边的平行线一、课本巩固练习1、如图，在△ABC 中，DE//BC,DE 与边AB 相交于点D ，与边ACA 相交于点E （1）已知AD=6，BD=3，AE=4，求CE,AC 的长。

（2）已知AE ：AC=2：5，AB=10，求AD 的长。

2、如图，点D,E 分别在△ABC 的边CA,BA 的延长线上，且DE//BC, （1）已知AB=18，AD=15，AE=9，求AC 的长。

（2）已知AB=18，CD=15，AE=9，求AC 的长。

3、如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且ECAEDBAD，求证：DE ∥BC 。

第1题BACDEA第2题DEBC4、如图，已知1L ∥2L ∥3L ，直线AB 、CD 分别与它们相交，如果8AB =cm ，5BN =cm ，4CM =cm ，求CD 的长。

二、基础过关1、如图所示，G 为△ABC 的重心，D 为BC 中点，则下列关系成立的是（）A ．21==FB AF GD AG ； B ．21==GF CG GD AG ； C ．2==GF CG GD AG ； D ．1==BFCE AF AE ．2、如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若:1:3AF FD =，则:AE EB = 。

B CL 3L 2（2题图）（3题图）（4题图）3、如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ， 5.5AD =cm ，11BD =cm ，5DE =cm ，那么BF =________cm 。

4、如图，△ABC 中，点P 在BC 上，四边形ADPE 为平行四边形，则BD CEDA EA⋅=_______。

（5题图）（6题图）（7题图）5、如图，在△ABC 中，E 是AC 中点，延长BC 到D ，使DC BC =，连接DE ，并延长交AB 于F ，则:DE EF = 。

6、如图，:14:16BG BE =，G 为AF 中点，则:BF FC = 。

沪教版(五四制)九年级数学上同步练习：24.3相似三角形章节总复习.docx

相似三角形的章节复习题一、填空题：1．若2m = 3n ，那么n ︰m= .2．已知线段a = 4cm , b =9㎝, 则线段a 、b 的比例中项是 .3．如图，已知 AD ∶DB = AE ∶EC ，AD = 15, AB = 40, AC = 28 , 则 AE = . 4．如上题图，DE ∥BC ，AD ∶DB= 2 ∶3 ，则ΔADE 与ΔABC 的周长之比为 .面积之比为 . 如DE 平分ΔABC 的面积，那么AD ∶AB= . 5．图纸上某个零件的长是 32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 . 6．如图，已知，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，则 AF ∶FC = .7．如图，⊿ABC 中，∠C = 090，CD ⊥AB ，AD = 9，BD = 4，则8．已知⊿ABC 中，P 是AB 上的一点，∠ACP =∠B ，AB=9，AC=6，那么9．在⊿ABC 中，AB=4，AC=7，D 是AB 中点，E 是AC 上的点，若⊿ADE 与原三角形相似，那么AE 的长为 . 10．两个相似三角形的相似比为3∶2，如果它们的面积之差为10，那么这两个相似三角形的面积分别是 .11．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，高AM 交DE 于N ，S ⊿ＡＤＥ∶S ⊿ＡＢＣ＝4∶5，如果AM=15，那么AN 的长为 . 12．在矩形ABCD 中，AB = 10，BC = 12，Ｅ为CD 的中点，连接B 、E ，作AF ⊥BE ，垂足为F ，则AF ＝ . 13．在比例尺1：10000是__________m ．14．若△ABC ∽△A ′B ′C °，则∠B ′等于_________． 15．在△ABC 中，点D 、E DE∥AC ．如果AD ＝6cm ，AB ＝9cm ，DE ＝4cm ，那么AC ＝ cm ．16．在△PAB 中，点C 、D 分别在PA 、PB 上，要使△PAB ∽△PCD ，那么需要添加的一个条件是_________________． 17．如图，点D 在△ABC 的AC 边上，∠ABD=∠C ，AB=2， CD=3，则AD=________．18．已知Rt △ABC 与Rt △DEF 相似，Rt △ABC 的两条直角边的长为6、8，如果Rt △DEF 较大的一条直角边的长为4，那么Rt △DEF 的较小一条直角边的长为_______．19．已知AD 、 BE 是△ABC 的中线，AD 、 BE 相交于G ，若BE=9cm ，则BG=_______ cm ． 20．如果两个相似三角形的面积比是9︰4，那么它们的周长比是．21．P 为线段AB 的黄金分割点，AB 的长为6cm ，则较长的线段AP 长为 cm. 22．如图：△ABC 中，D 为AB 上，若∠ACD =∠B ，那么△ABC ∽△ .23．如图：M 为平行四边形ABCD 的BC 边的中点，AM 交BD 于点P ，若PM =2，则AP =______________.ACDBE 第（3）题第（11）题 C 第（12）题ABCD24．如图：点G 是△ABC 的重心，那么AG ：AD = . 25．如果两个相似三角形的对应边长的比是4︰9是． 26．如果两个相似三角形的面积的比是4︰9，比是．27．若直角三角形的重心到直角顶点的距离为3厘米，则这个直角三角形的斜边上的中线长为__ ___．28．在比例尺为1：10000的地图上，相距4厘米的两地A 、B 的实际距离为米． 29．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB = 2，AC = 5，DF = 10，则DE = ．30．如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，FD ∥AB ，AE =18，BE =12，CD =14，则BD = ．二、选择题：1．如果C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ）那么AC ∶CB 的值为（）（A ）215- （B ）253-（C ） 215+ （D ）253+2．下列图形一定相似的是（）（A ）有一个锐角相等的两个直角三角形（B ）有一个角相等的两个等腰三角形（C ）有两边成比例的两个直角三角形（D ）有两边成比例的两个等腰三角形 3．在下列命题中，真命题的个数有（）①所有的等边三角形都相似；②所有的直角三角形都相似；③所有的菱形都相似．（A ）0个；（B ）1个；（C ）2个；（D ）3个． 4．下列说法中，正确的是（）（A ）直角三角形都是相似形（B ）等腰三角形都是相似形（C ）有一个角相等的等腰三角形都是相似形（D ）等腰直角三角形都是相似形5．如图，在⊿ABC 中，DF ∥EG ∥BC ，且AD ＝DE ＝EB ，则DF ，EG 分△ABC 成三部份的面积比为（）（A ）1∶1∶1 （B ）1∶2∶3 （C ）1∶4∶9 （D ）1∶3∶56．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >CB , 则下列说法正确的是( )A ．=2AC AB ·BC ; B ．=2BC AB ·AC ; C ．AB :BC = BC :AC ; D ． AC :BC = AB :BC ．7．在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，EF ∥CD 交AB 于F ，那么下列比例式中正确的是（）（A ）BC DE DF AF = （B ）AB AD BD AF = （C ）DF AF DB DF = （D ）BCDECD EF = 8．如图，已知D 是△ABC 中的边AB 上的一点，△ACD ∽△ABC ，AD =4，BD =5，那么这两个相似三角形的相似比是（）．（A ）4∶5 （B ）4∶9（C ）2∶3 （D ）5∶9CBABC9．如图，在锐角△ABC 中，高CD 、BE 相交于点H ，则图中所有与△CEH 相似（除△CEH 自身外）的三角形的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个(第7题) (第8题) 10．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，由下列比例式不能得到 DE ∥BC 的是（）．（A ）DE AD =（B ）CE AEBD AD =（C ）AC CE AB BD = （D ）AE AC AD AB =11．下列四个命题中，真命题是（）．（A ）直角三角形都相似（B ）等腰三角形都相似（C ）相似三角形角平分线的比等于相似比（D ）相似三角形面积的比等于相似比的平方 12．已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上。

2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第7讲平面向量的线性运算(解析版)

第7讲平面向量的线性运算知识一、实数与向量相乘1.平面向量的相关概念（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；（3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；（4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；（5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2.平面向量的加减法则（1）几个向量相加的多边形法则；（2）向量减法的三角形法则；（3）向量加法的平行四边形法则．3.实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka ．（1）如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =； ka 的方向：当k > 0时ka 与a 同方向；当k < 0时ka 与a 反方向．（2）如果k = 0或0a =，那么0ka =．4.实数与向量相乘的运算律设m 、n 为实数，则（1）()()m na mn a =；（2）()m n a ma na +=+；（3）()m a b ma mb +=+． 5.平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =．6.单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设e 为单位向量，则1e =．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a ．由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =．题型一、向量的相关概念与平面向量定理【例1】（1）（2020年上海中考课时练习）已知非零向量a ，b ，c ，下列条件中，不能．．判定a //b 的是（）A ．a b =；B ．a b =-；C ．a //c ，b //c ；D ．2a c =，4a c =．【答案】A【解析】A. ∵a b =，不能判断a //b ，故本选项，符合题意B. ∵a b =-，∵a //b ，故本选项，不符合题意；C.∵a //c ，b //c ，∵a //b ，故本选项，不符合题意；D.∵2a c =，4a c =，∵a //b ，故本选项，不符合题意；故选：A ．（2）（2021·上海九年级一模）已知向量a 与非零向量e 方向相同，且其模为e 的2倍：向量b 与e 方向相反，且其模为e 的3倍．则下列等式中成立的是（） A ．23a b = B ．23a b =- C ．32a b = D ．32a b =- 题型探究【答案】B【解析】解：由题意可知：a =2e ，b =-3e∵e =13b - ∵a =2e =23b - 故选：B ．（3）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）对于非零向量a 与b ，下列命题是假命题的是（）A ．若a b =，则a b =B ．若a b =，则a b =C ．若a b =-，则a b =-D ．若a b =，则a b =-【答案】B【解析】解：根据向量的概念，知：A 、C 、D 正确；B 、两个向量的长度相等，但两个向量不一定方向相等，故错误．故选：B ．（4）（2019·上海）下列说法中，正确的是（）A ．如果k ＝0，a 是非零向量，那么k a ＝0B ．如果e 是单位向量，那么e ＝1C ．如果|b |＝|a |，那么b ＝a 或b ＝﹣aD ．已知非零向量a ，如果向量b ＝﹣5a ，那么a ∵b【答案】D【解析】解：A 、如果k ＝0，a 是非零向量，那么k a ＝0，错误，应该是k a ＝0．B 、如果e 是单位向量，那么e ＝1，错误．应该是e ＝1．C 、如果|b |＝|a |，那么b ＝a 或b ＝﹣a ，错误．模相等的向量，不一定平行．D 、已知非零向量a ，如果向量b ＝﹣5a ，那么a ∵b ，正确．故选：D ．题型二、作图题【例2】已知非零向量a，求作75a ，3a -．【答案】图见解析. 【解析】在平面内任取一点A ,做=AB a ,在射线AB 上，取75AC AB =,则75AC a =；在射线AB 的反向延长线上，取3BD AB =,则3.BD a =-；题型三、向量的表示与相等向量【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，EG 与FH 相交于点O ．设AB a =，AD b =，试用向量a 或b 表示向量OE 、OF ，并写出图中与OG 相等的向量．AB C DE FG H O【答案】11;22OE a OF b =-=-，与OG 相等的向量有EO AF FB DH HC ；；；；．【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 、G 、H 分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以1111;2222OE AB a OF AD b ==-=-=-=-，与OG 相等的向量有EO AF FB DH HC ；；；；五个．题型四、向量的运算【例4】填空：AB BC += ； AB BC CA ++= ；AB BC BA ++= ； AE FC EF ++= ；AB AC BC -+= ； OA BC OC +-= ．【答案】AC ；0；BC ；AC ；0；BA ．【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如AB AC CB -=是利用减法法则，箭头指向被减数，同时AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=，这样运算复杂了，但也是一种思路．【例5】计算：（1）3322a b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）()()32523a b a b +--；（3）()1123322a b c b c ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭．【答案】（1）1322a b --；（2）17b ；（3）32a b c -+．【解析】（1）333313222222a b a a b a a b ⎛⎫--=--=-- ⎪⎝⎭；（2）()()325236156217a b a b a b a b b +--=+-+=；（3）()1113332333222222a b c b c a b c b c a b c ⎛⎫+---=+--+=-+ ⎪⎝⎭．【例6】设a 、b 是已知向量，解关于向量c 的方程42307c a b +-=．【答案】2372c b a =-．【解析】解：∵42307c a b +-=，∵4237c b a =-，∵2372c b a =-．【例7】用单位向量e 表示下列向量：（1）a 与e 方向相同，且长度为9；（2）b 与e 方向相反，且长度为5；（3）c 与e 方向相反，且长度为35．【答案】3955a eb ec e ==-=-；；．【解析】此题主要考查用单位向量e 来表示已知向量,3955a eb ec e ==-=-；；．题型五、向量的证明【例8】已知向量a 、b 满足()3132525a b a b a b +--=+，求证：向量a 和b 平行．【答案】证明见解析【解析】()3132525a b a b a b +--=+ 去分母：2(3)5()2(32)a b a b a b +--=+去括号：265564a b a b a b +-+=+移项合并得：79b a =系数化1：97b a = 所以，向量a 和b 平行．【例9】已知324a b c +=，25a b c -=，其中0c ≠，那么向量a 与b 是否平行？【答案】平行．【解析】联立方程组：32425a b c a b c⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得2a c b c ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，根据实数与向量相乘的意义，可知,,a c b c 所以，向量a 与b 平行．举一反三1.下列说法中，正确的是（） A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘 C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短 D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】D【解析】A 选项向量与零相乘，结果是零向量；B 选项向量可以与任何实数相乘；C 选项非零向量乘以一个负数，方向与原向量相反，长度不确定．2．（2021·上海九年级专题练习）已知,a b →→和c →都是非零向量，在下列选项中，不能判定/b /a →→的是（）A ．//,//a c b c →→→→B ．|a |||b →→=C ．3a b →→=-D ．1,22a c b c →→→→==【答案】B【解析】解：A 、∵//,//a c b c →→→→，∵/b /a →→，故本选项不合题意；B 、∵|a |||b →→=的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；C 、∵3a b →→=-，∵/b /a →→，故本选项不合题意；D 、∵1,22a c b c →→→→==，∵/b /a →→，故本选项不合题意．故选：B ．3.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知4a b a +=，那么b →的值为（） A ．a → B ．2a → C ．3a D ．4a【答案】C【解析】解：∵4a b a +=，∵43b a a a →→→→=-=；故选：C ．4.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）3a 与2a a +的长度与方向的关系是（）A ．长度相等，方向相同B ．长度相等，方向相反C ．长度不等，方向相同D ．长度不等，方向相反【答案】A【解析】23a a a +=∴3a 与2a a +相等向量长度相等，方向相同故选：A5.（2020·上海九年级专题练习）如果向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为3，那么用向量e 表示向量a 为（）A ．3a e =B ．3a e =-C ．3e a =D ．3e a =-【答案】B【解析】解：∵向量e 为单位向量，向量a 与向量e 方向相反， ∵3a e =-．故选：B ．6.（2021·上海九年级一模）已知1e 、2e 是两个单位向量，向量13a e =，23b e =-，那么下列结论正确的是（） A ．12e e = B ．a b =- C ．a b = D ．a b =-【答案】C【解析】解：∵1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，∵1e 与2e 不一定相等，选项A 错误； ∵1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，∵a 与b -不一定相等，选项B 错误； ∵133a e ==，233b e =-=，∵a b =，选项C 正确，选项D 错误；故选：C7.如图，已知a ，求作13a -（提示：利用三角形的重心）．【答案】图见解析.【解析】AD a =作，过点D 作线段BC ，使得D 是BC 中点，联结AB 、AC ．取AC 中点，则AD 、BE 分别是三角形ABC 的中线，根据三角形重心的性质可知：13DG a =-为所求作向量.8.如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，DE //BC ，AD = 4，BD = 7，试用向量BC 表示向量DE ．【答案】411DE BC =．【解析】∵47AD BD ==，，∵411AD AB =，又∵//DE BC ， ∵DE AD BC AB =． ∵411DE BC =． 9.计算：()35a -⨯=； ()()743a b a b a +--+=； ()()1123a b a b +--= ．【答案】151561166a ab a b -++；；．【解析】（1）()3515a a -⨯=-；（2）()()74377443611a b a b a a b a b a a b +--+=+-++=+；（3）()()1111111523223366a b a b a b a b a b +--=+-+=+． 10.在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--．求证：四边形ABCD 为梯形．【答案】证明过程见解析.【解析】∵245382AD AB BC CD a b a b a b a b =++=+----=--，4BC a b =--，∵2(4)2AD a b BC =--=，∵//AD BC ．∵四边形ABCD 是梯形．1.向量的线性运算如果a 、b 是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么xa yb +叫做a 、b 的线性组合.向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如25a b +、3a b -、()23a b +、3553a a b ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭等，都是向量的线性运算． 2.向量的合成与分解如果a 、b 是两个不平行的向量，c ma nb =+（m 、n 是实数），那么向量c 就是向量ma 与nb 的合成；也可以说向量c 分解为ma 、nb 两个向量，这时，向量ma 与nb 是向量c 分别在a 、b 方向上的分向量，ma nb +是向量c 关于a 、b 的分解式．知识二、向量的线性运算平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．题型一、作图题【例10】已知两个不平行的向量a 、b .求作∶3+2,a b 2a b -.【答案】图像见解析.【解析】如图,在平面内任取一点O ，作OA a =，=OB b ;再3OC a =，=2OD b .以 OC 、OD 为邻边，作平行四边形 OCED ，则32OE a b =+.作向量DA ，则 2DA a b =-.【例11】已知两个不平行的向量a 、b .求作∶()72.2a b a b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭【答案】图像见解析.【解析】()7752=23.222a b a b a b a b b a ⎛⎫+--+-+=- ⎪⎝⎭ 如图，在平面内取一点O ,作5,3;2OA a OB b ==再作AB ,则 5=32AB OB OA b a -=-. 题型探究题型二、向量的线性组合【例12】(1)（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，O 为∵ABC 内一点，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且11,43AD AE AB EC ==；若OB a =，OC b =，求：用向量a ，b 表示DE →．【答案】DE →1144b a →→=- 【解析】解：∵11,43AD AE AB EC == ∵14ADAE AB AC ∵DE∵BC∵14DEAD BCAB ∵BC b a →→→=-∵DE 1144b a →→=-； (2) （2020·上海九年级一模）如图，在梯形ABCD 中， //AD BC ， 2BC AD =，对角线AC 、BD 相交于点 O ，设AD a =， AB b =.试用a 、b 的式子表示向量 AO .【答案】1233AO b a =+ 【解析】//,2AD BC BC AD =12AO AD OC BC ∴== 13AO AC ∴=即13AO AC = AD a =， BC 与AD 同向，2BC a ∴=2AC AB BC b a =+=+1233AO b a ∴=+ 题型三、向量的分解【例13】如图，已知向量OA 、OB 和p 、q ，求作：（1）向量p 分别在OA 、OB 方向上的分向量；（2）向量q 分别在OA 、OB 方向上的分向量．【答案】（1）OD OE、是向量p分别在OA、OB方向上的分向量.（2）OG OF、是向量q分别在OA、OB方向上的分向量.【解析】（1）作向量OP p=;再过点P分别作PE//OA，PD//OB，E为直线PE与直线OB的交点，D为直线PD与直线OA的交点.作向量OD OE、.则OD OE、是向量p分别在OA、OB方向上的分向量.（2）作OQ q=;再过点Q分别作QF//OA，QG//OB，F为直线QF与直线OB 的交点，G为直线QG 与直线OA的交点.作向量OG OF、.则OG OF、是向量q分别在OA、OB方向上的分向量.举一反三1．（2020上海九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．（1）求GE的长；（2）若AB＝a，AD＝b，用a、b表示OB；（3）在图中画出12a b+．（不需要写画法，但需要结论）【答案】（1）GE ＝4；（2）3355OB a b =-；（3）AH 即为所求，作图见解析【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AD ＝BC ，AD ∵BC ，,GAE GBC ∴∽∵DE ＝2AE ，∵13GEAEGC BC ==∵CE ＝8，∵183GEGE =+∵GE ＝4．经检验：4GE =符合题意．（2）∵BD BA AD b a =+=- ，DE ∵BC ，DE ＝2AE ，,DOE BOC ∴∽∵23DEOD BC OB ==∵35OBOBBD OD OB ==+∵()333555OB b a a b =--=-；（3）如图，延长CD 到H ，使得DH ＝AG ，连接AH ．∵AE∵BC，, AGE BGC ∴∽∵13 GA AE GB BC==∵12 GA GAAB GB GA==-∵1122 DH AG BA a ===∵12a b AD DH AH+=+=∵AH即为所求．2．（2021·上海九年级一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设BA a=，CB b=．（1）试用a、b表示BO；（2）在图中作出CO在CB、CD上的分向量，并直接用a、b表示CO．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【答案】（1）2133BO a b=-；（2）见解析，2233CO b a=+【解析】解（1）∵//AD BC∵12OE AE BO BC == ∵23BO BE = ∵()222121333233BO BE BA AE a b a b ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭；（2）∵AE∵BC ，∵1=2AOAECO CB =，∵23CO CA =，∵()()2222233333CO CA CB BA b a b a ==+=+=+如图所示，CO 在CB 、CD 上的分向量分别为CN 和CM ．课后作业1.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列各式与3a 是相等向量的是（）A ．42a a +B ．62a a -C ．2b b +D ．1(5)2a a +【答案】D【解析】解：A 选项42a a +=6a ，不符合题意；B 选项62a a -=4a ，不符合题意；C 选项2b b +=3b ；不符合题意；D 选项11(5)6322a a a a →→→→+=⋅=，符合题意．故选：D ．2．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列说法错误的是（）A ．如果OA OB =，那么A 与B 重合 B ．若2OA OB =，则B 是OA 的中点C ．若2OA OB =，则若2OA OB =D ．B 是OA 的中点则 2OA OB =【答案】C【解析】因为OA =OB 且方向相同，所以A 与B 重合，此选项正确；B 、因为2OA OB =且方向相同，所以B 是OA 的中点，此选项正确，C 、因为2OA OB =，但方向不明确，所以2OA OB =或2OA OB =-，此选项错误；D 、因为B 是OA 的中点，所以2OA OB =，此选项正确，符合题意的选项是C ，故选：C ．3.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果点C 是线段AB 的中点，那么下列结论正确的是（）A ．0AC BC +=B ．0AC BC -=C ．0AC BC +=D ．0AC BC -=【答案】C【解析】解：由题意，∵点C 是线段AB 的中点，∵AC BC =∵AC 与BC 为相反向量，∵0AC BC +=；故选：C ．4.（2021·上海九年级专题练习）已知非零向量a 、b ，且有2a b =-，下列说法中，不正确的是（） A ．||2||a b =；B ．a ∵b ；C ．a 与b 方向相反；D ．20a b +=．【答案】D 【解析】 A.∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∵||2||a b =，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -与b 方向相反，但还是相互平行，∵a ∵b ，该选项不符合题意错误；C. ∵2a b =-，而2b -与b 方向相反，∵a 与b 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D5.（2020·上海九年级一模）已知a ，b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定a ∵b 的是（） A ．a //c ，b //cB ．1,22a c b c ==C ．2a b =D ．a b =【答案】D【解析】解：A.∵a //c ，b //c ，∵a ∵b ，故本选项错误； B.∵1,22a cbc ==∵a ∵b ，故本选项错误.C.∵2a b=，∵a∵b，故本选项错误；D.∵a b=，∵a与b的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D．6．（2020·上海九年级专题练习）若a＝2e，向量b和向量a方向相反，且|b|＝2|a|，则下列结论中不正确的是（）A．|a|＝2B．|b|＝4C．b＝4e D．a＝1 2b -【答案】C【解析】A、由a＝2e推知|a|＝2，故本选项不符合题意．B、由b＝-4e推知|b|＝4，故本选项不符合题意．C、依题意得：b＝﹣4e，故本选项符合题意．D、依题意得：a＝-12b，故本选项不符合题意．故选C．||||CA BD∴=．CA BD∴=．∴平行四边形ABCD是矩形．故选：A．7．（2021·上海中考真题）如图，已知平行四边形ABCD中，,AB a AD b==，E为AB中点，求12a b+=（）A．EC B．CE C．ED D．DE 【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB中点，∵1122a b AB BC EB BC EC+=+=+=故选A．8．（2021·上海九年级二模）如图，在∵ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设AB a=，AE b=，那么向量BG用向量a、b表示为（）A．2233-+a b B．2233a b+C．1122a b-+D．1122a b+【答案】A【解析】解：∵AB a=，AE b=，∵BE BA AE a b=+=-+，∵AD，BE是∵ABC的中线，∵G是∵ABC的重心，∵BG＝23 BE，∵BE ＝2233a b -+，故选A ．9．（2021·上海九年级一模）已知点M 是线段AB 的中点，那么下列结论中，正确的是（）． A ．AM BM =B ．12AM AB =C ．12BM AB =D ．0AM BM +=【答案】B【解析】解：A 、AM MB =，故本选项错误；B 、12AM AB =，故本选项正确； C 、12BM BA =，故本选项错误； D 、0AM BM +=，，故本选项错误．10．（2021·上海）以下说法错误的是（）A ．如果0ka =，那么0a =；B ．如果2a b =-，那么||2||a b =；C ．如果23a b =（b 为非零向量），那么//a b ； D ．如果0a 不是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =．【答案】A【解析】A 、如果0ka =，那么0a ≠，故该项错误，B 、如果2a b =-，那么||2||a b =，故该项正确；C 、如果23a b =（b 为非零向量），那么//a b ，故该项正确；D 、如果0a 不是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =，故该项正确；故选：A ．11．（2021·上海九年级一模）已知a 是非零向量，2b a =-，下列说法中错误的是（） A ．b 与a 平行 B ．b 与a 互为相反向量C ．||2||b a =D ．12a b =-【答案】B【解析】解：A.因为2b a =-（a ≠0），则b 与a 平行，故此结论正确；B.若两个向量方向相反，大小相等，则为相反向量，故此结论错误；C. 因为2b a =-，则||2||b a =结论正确；D. 2b a =-两边同除以-2，则12a b =-，故此结论正确．故答案为：B ．12．（2020·上海交大附中九年级期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（）∵()()3330a b a b ---=；∵若3a b =，则3a b =-；∵若m 、n 是实数，则()()m na mn a =；∵如果非零向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使得b ma =；∵如果非零向量a mb =，则a 与b 所在的直线平行；∵如果0a →与0b →分别是a 与b 的单位向量，则00//a b →→A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】∵()()()()333330a b a b a b a b ---=---=，该选项正确； ∵若3a b =，向量既有大小，也有方向，故不确定，该选项错误；∵若m 、n 是实数，则()()m na mn a =，该选项正确；∵如果非零向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使得b ma =，该选项正确； ∵如果非零向量a mb =，可得a 、b 方向相同，则a 与b 所在的直线平行，该选项正确；∵如果a 与b 不平行，则0a →与0b →也不平行，该选项错误．综上，∵∵∵∵正确，共4个．故选：C ．13．（2021·上海九年级一模）计算：()432a a b --=_________________．【答案】6a b +【解析】解：()432a a b -- 4366a a ba b =-+=+故答案为：6a b +．14．（2020·上海市位育初级中学九年级期中）化简：31()2()2a b a b +--＝_____．【答案】72a b +【解析】解：31()2()2a b a b+--＝3a+32b﹣2a+2b＝（3﹣2）a+（32++2）b＝72a b+故答案是：72a b +．15．（2021·上海九年级专题练习）已知向量a与e方向相反，长度为6，则a=_______e【答案】－6【解析】∵向量a与e方向相反，长度为6，∵6a e=-，故填：6．16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）化简：（1）AB BC CD++=________．（2）AB AD DC--=_________．（3）()()AB CD AC BD---=________．【答案】AD CB0【解析】解：（1）AB BC CD AC CD AD++=+=；（2）AB AD DC DB DC CB--=-=；（3）()()AB CD AC BD---AB BD CD AC=+--CAAD DC=++=；故答案为：AD；CB；0．17．（2021·上海九年级专题练习）已知向量,,a b x满足关系式34()0a b x+-=，那么可用向量,a b表示向量x＝_____．【答案】34ab+【解析】解：34()0a b x+-=，3a+4b＝4xx＝34ab+．故答案是：34ab+．18．（2021·上海松江区·九年级二模）如图，已知∵ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设,AB a AD b==，用,a b表示AF为__________________．【答案】2a b+【解析】解：在∵ABCD中，CD∵AC．∵E是边CD的中点，∵CE是∵ABF的中位线，∵BC＝CF．在四边形ABCD中，AD＝BC，AD＝b，则=2BF BC＝2AD=2b．∵AB＝a，∵AF＝AB BF+＝a+2b．故答案是：a+2b．19．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知DE∵AC，DF∵AB，BD：DC=2：5，设AB,a BD b==．,a b表示：,,,CD DF AC DE．【答案】52CD b=-；57DF a=-；72AC b=；27DE a b=--【解析】∵BD：DC=2：5，∵5522CD BD b=-=-，BD：BC=2：7，CD：BC=5：7，∵DF∵AB，∵57 DF CDAB BC==，∵55AB77DF a=-=-，∵BD：BC=2：7，∵72BC b=，∵72AC AB BC a b=+=+，∵DE//AC，∵DE BDAC BC==27，∵2272()7727DE AC a b a b =-=-+=--．20．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知a、b都是已知向量，x、y都是未知向量，且x+20a =，420x y a b -++=，求x 、y ．【答案】x =2a -；72y a b =-+【解析】解：∵x +20a =，∵x =2a -；∵420x y a b -++=，∵820a y a b --++=，∵72y a b =-+；21．（2021·上海九年级一模）如图，在ABCD 中，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ， 1.2AB =， 1.8BC =．（1）求:BF DF 的值；（2）设AB a =，BC =b ，求向量DF （用向量a 、b 表示）．【答案】（1）BF :DF =2：3，（2）3355DF a b =-．【解析】（1）在ABCD 中，∵BC ∵AD∵∵BEA =∵DAE ，又∵∵BFE =∵DF A ，∵∆BFE ∵∆DF A ，∵BE BF AD DF = ，又∵AE 平分BAD ∠，∵∵BAE =∵DAE ，∵∵BAE =∵BEA ，∵AB =BE ， ∵BE AB AD AD = 又∵ 1.2AB =， 1.8AD BC ==．∵1.221.83BF AB DF AD === ∵BF :DF =2：3（2）∵BF :DF =2：3∵DF =35DB ∵35DF DB ==3()5AB AD - ∵BC ∵ AD ， BC =AD ，AB a =，BC =b ，∵AD BC b ==∵333()555DF a b a b =-=-． 22．（2021·上海九年级一模）如图，一个33⨯的网格．其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似？请说明理由；（2）设AB a =，BC b =，写出向量AD 关于,a b 的分解式．【答案】（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由见解析；（2）2a 3b -【解析】解：（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由如下：设网格中小正方形的边长为a ，则BC=a ，AB=22a a 2a +=， AC=()2225a a a +=，其中BC ＜AB ＜AC如下图所示，连接BM 、AM则BM=()2225a a a +=，AM=()()223213a a a +=，其中AB ＜BM ＜AM ∵22AB a BC a==，51022BM a AB a == ∵AB BC ≠BM AB∵ABM 和ABC 不相似；如下图所示，连接AN则BN=2a ，AN=()22310a a a +=，其中AB ＜BN ＜AN∵22AB a BC a ==，222BN a AB a ==，1025AN a AC a==， ∵AB BC ＝BN AB =AN AC ∵NBA △∵ABC ；如下图所示，连接BP则BP=()2225a a a +=，AP=3，其中AB ＜BP ＜AP∵22AB a BC a ==，51022BP a AB a == ∵AB BC ≠BP AB∵ABP △和ABC 不相似；如下图所示，连接BQ 、AQ则BQ=()()222222a a a +=，AQ=()22310a a a +=，其中AB ＜BQ ＜AQ∵22AB a BC a==，2222BQ a AB a == ∵AB BC ≠BQ AB∵ABQ △和ABC 不相似；综上：点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似；（2）延长AB 至E ，使BE=AB ，根据正方形的性质可知，点E 正好落在格点上，如下图所示∵22AE AB a ==，33ED BC b =-=-∵AD =AE ＋ED=2a 3b -．23．（2021·上海九年级一模）如图，已知ABC 中，//DE BC ，且DE 经过ABC 的重心点G ，BD a =，BC b =．（1）试用向量a 、b 表示向量BE ；（2）求作向量()233a b -（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．【答案】（1）23BE a b =+；（2）见解析【解析】解：（1）如图，连接AG 并延长交BC 于点F ，则GF=12AG ， AG 2=AF 3∴， DE//BC ，BC b =ADE ABC ∴△△∽， DE AG 2==BC AF 3∴ ， 23b DE BC =＝，2a 3BE BD DEb ∴=+=+（2）BD a =，3BA a ∴=，作AD 的中点J ，2J=3a 23B a ∴⨯=，延长CB 到I ，使得BI=DE ，23BI b ∴=-，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，则()2223a 33BK BJ BI a b b =+=-=-，∵BK 即是所求的求作的向量24．（2021·上海）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．E 为OC 的中点，连接BE 并延长，交边CD 于点F ，设BA a =，BC b =．（1）填空：向量AE =__________；（2）填空：向量BF =__________，并在图中画出向量BF 在向量BA 和BC 方向上的分向量．（注：本题结果用含向量a 、b 的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】（1）3344b a -；（2）13a b +；作图见解析【解析】解：（1）∵平行四边形ABCD 中∵AO=OC=12AC∵OE=EC=12OC=14AC ∵AE=AO+OC=12AC+14AC=34AC ∵AC BC BA b a =-=-∵()33334444AE AC b a b a ==-=-；故答案为3344b a -；（2）∵EC=14AC,AE=34AC ∵13EC AE = ∵平行四边形ABCD∵AB//CD∵∵FCE∵∵BAE ∵13FC EC AB AE ==,即FC=13AB ∵AB//FC ∵13CF BA =,即13CF a = ∵13BF CF BC a b =++=+ 故答案为：13a b +．25．（2020·上海交大附中九年级期中）如图，点D 、E 分别在ABC 的边BA 、CA 的延长线上，且//DE BC ，12AE AC =，F 为AC 的中点．（1）设BF a →→=，→→=AC b ，试用x a y b →→+的形式表示,AB ED →→；（x 、y 为实数）（2）作出BF →在BA →、BC →上的分向量．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）【答案】（1）1AB=2a b -+，11ED=24a b +；（2）作图见解析．【解析】（1）∵F 为AC 的中点，AC=b ，∵1AF=FC=2b ， ∵11AB=AF+FB=22b a a b -=-+ 11AB=AF+FB=22b a a b -=-+ 1BC=BF+FC=2a b + ∵DE∵BC∵∵EDA∵∵CBA∵AE=12AC ，ED=12BC 11111ED=BC=22224a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ （2）作图如下：作GF∵AB 交BC 于G ， ∵F 为AC 中点，∵ G 为BC 中点，FG=12AB ， ∵BF 在BA 上的分向量1GF=BA 2， BF 在BC 上的分向量1BG=BC 2。

《平面向量》练习题及答案

《平面向量》练习题及答案《平面向量》练习题及答案向量是近代数学中重要和基本的概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，具有很高的教育价值。

接下来小编为你带来《平面向量》练习题及答案,希望对你有帮助。

一、教材分析全章地位：平面向量基本定理是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理。

这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。

应用空间：平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。

二、教学目标【知识与能力】(1)了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示一向量，掌握两向量夹角的定义及两向量垂直的概念，会初步求解简单两向量的夹角;(2)培养学生作图、判断、求解的基本能力。

【过程与方法】(1)经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法;(2)让学生体会用基底表示平面内一向量的方法、求两简单向量的夹角的方法。

【情感态度与价值观】培养学生动手操作、观察判断的能力，体会数形结合思想。

三、教学重点平面向量基本定理及其意义，两向量夹角的简单计算。

四、教学难点平面向量基本定理的.探究，向量夹角的判断。

五、学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等;另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。

六、学法指导教师平等地参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员、全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。

七、教学基本流程定理探究↓形成定理↓定理思考与应用↓定义形成与应用八、教学情境设计。

平面向量同步练习

平面向量同步练习预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制平面向量的概念及线性运算A组专项基础训练一、选择题（每小题5分，共20分）1. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③?a = 0（入为实数），则入必为零；④入□为实数，若?a= b 则a与b共线.其中错误命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 设P是厶ABC所在平面内的一点，BCrB A= 2西贝UA.PA^ PB= 0B. P CT P A= 0C. P B+ PC= 0D. PA^ PB+ PC= 03. 已知向量a, b不共线，c= ka+ b （k€ R）, d= a—b.如果c// d,那么A. k = 1且c与d同向B. k= 1且c与d反向C. k =— 1且c与d同向D. k=— 1且c与d反向4. （2011四川）如图，正六边形ABCDEI中, B A^C D^ EF等于（）A. 0B. "BEC. ADD. CF二、填空题（每小题5分，共15分）5.____________________________________________________________________ ____________________________ 设a、b是两个不共线向量，X B= 2a+ pb, BC= a+ b, CD= a—2b,若A、B D三点共线，则实数p的值为_________________6. 在?ABCDK X B= a, At= b, AN= 3心M为BC的中点，贝U S= ___（用a, b 表示）.7. 给出下列命题：①向量AB勺长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C D必在同一条直线上.其中不正确的个数为_________ .三、解答题（共22分）18 （10分）若a, b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a, t b, 3（a+ b）三向量的终点在同一条直线上？9. （12分）在厶ABC中, E、F分别为AC AB的中点，BE与CF 相交于G点，设AB= a,AC= b,试用a, b表示AG。

24.4.7向量的线性运算同步练习(2课时、无答案)(2024年版)九年级第一学期数学沪教版

24.7向量的线性运算同步练习2024-2025学年九年级第一学期数学沪教版(1) 平面向量的分解(线性运算的含义、向量的线性组合)(1)要点归纳1. 理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果.2. 知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合. 疑难分析例1 如图24-41,□ABCD 中,AC, BD 相交于点O, BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,用a,b 的线性组合表示向量 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .例2 如图24-42,在△ABC 中,G,E 为AC 的三等分点,F,H 为BC 的三等分点, CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,写出 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于a ，b 的线性组合，并通过向量证明EF ，GH ，AB 之间的位置关系.基础训练1. 在边长为1的正方形ABCD 中，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则 |a +b ⃗ +c |= , |a+c -b|= , |c-ā-b|= .2. 计算: (1)2(13a +12b ⃗ )−5(2a +14b ⃗ ); (2)(13a −23b ⃗ )−(56a +12b⃗ ).3. 已知向量α，b 不平行，x ，y 是实数，且 xa +yb ⃗ =3ya −(1+x )b ⃗ ,求x,y 的值.4. 如图，已知 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ .如果 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,试求 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (用向量a,b 表示).5. 如图,在平行四边形ABCD 中,M, N 分别为DC, BC 的中点,已知 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d ,试用C ，a 表示 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .6. 已知向量 m 1⃗⃗⃗⃗⃗ ,m 2⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行，点A ，B ，C 共线，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m 1⃗⃗⃗⃗⃗ +km 2⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m 1⃗⃗⃗⃗⃗ −4m 2⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数k 的值.7. 已知在 △ABC 中,点M 在AB 上,点 N 在AC 上, AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .求证： MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .8. 如图,在平行四边形ABCD 中,E 是AD 的中点,BE, AC 相交于点.F, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,用a,b 的线性组合表示向量 FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ .9. 如图,已知非零向量α,δ,以点O 为起点，求作 −32a +2b⃗ .O10. 如图,在平行四边形ABCD 中,点 E 在边 DC 上.若 DE EC =23,记 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ,用a 和b 表示 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ .拓展训练11. 如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是BC 延长线上的点,且 BE =2BC. (1) 用 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2) 用 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3) 设 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,求作 a −12b⃗ .(不要画在原图上)(2) 平面向量的分解(线性运算的含义、向量的线性组合)(2)要点归纳1. 知道向量的分解式，会画平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量.2. 在知识形成和运用过程中，体会向量的线性组合与分解的辩证关系.疑难分析例1 如图24-43,已知AB ∥CD ∥EF,AB:CD :EF =2:3:5,BF =a. (1)BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =¯(用a 来表示)；(2)求作向量 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的分向量. (不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)基础训练1. 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上 .用画图的方法，可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的 .2. 在△ABC 中,中线AD 和BE 相交于点G,如果 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,那么向量 AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3. 已知AM 是△ABC 的边BC 上的中线,若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,则AM 等于( ). A.12(a −b ⃗ ) B.12(b ⃗ −a ) C.12(a +b ⃗ ) D.−12(a +b⃗ ) 4. 若点O 为▱ABCD 的中心, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4m ⃗⃗ 1,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6m 2⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 3m 2⃗⃗⃗⃗⃗ −2m 1⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ). A.AO⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ C.CO ⃗⃗⃗⃗⃗ D.DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 已知m ，n∈R，则在以下各命题中，正确命题的个数为( ). ①m <0,a ≠0⃗ 时, ma 与a 的方向一定相反； ②m ≠0,a ≠0⃗ 时，mà与a 是平行向量； ③mn>0, ā≠0时, mā.与 na 的方向一定相同； ④mm <0,a ≠0⃗ 时，mā 与nā的方向一定相反. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 给出下列三个命题，其中真命题的个数是( ).①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 7. 点C 在线段AB 上,且 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若 AC⃗⃗⃗⃗⃗ =mBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m 的值等于( ). A. 23 B. 32 C.−23 D.−32 8. 已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +5b ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a +8b ⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a −b ⃗ ),则( ). A. A, B,D 三点共线 B. A,B, C 三点共线 C. B,C, D 三点共线 D. A, C, D 三点共线 9. 如图,在▱ABCD 中,下列结论错误的是( ). A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 10. 如图,已知平行四边形ABCD,点 M, N 是边DC, BC 的中点,设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ . (1) 求向量MN(用向量a,b 表示);(2) 在图中求作向量 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB,AD 方向上的分向量. (不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)。

沪教版(上海)九年级上册数学 24.6-24.7实数与向量相乘向量的线性运算同步练习

24.6-24.7实数与向量相乘向量的线性运算同步练习一、选择题1. 若四边形ABCD 的对角线交于点O ，且有，则以下结论正确的是（） A ．B ．C ．D ．2.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++=u u u r u u u ru u u ru u u r（）A.FE u u u rB.AC u u u rC.DC u u u rD.FC u u u r3.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C)，则AP =u u u r( )A ．(),(0,1)AB AD λλ+∈u u u r u u u r B ．2(),(0,)2AB BC λλ+∈u u u r u u u rC ．(),(0,1)AB AD λλ-∈u u u r u u u r D ．2(),(0,)2AB BC λλ-∈u u u r u u u r4. 已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，，那么等于（）A ．B ．C ．D ．6.在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，123AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，，则λ=( )A.23B.13C.13-D.23-二、填空题7．已知向量,a b r r ，且AB →＝2a b +rr ，BC →＝56a b -+r r ，CD →＝72a b -r r ，共线的三点是__________．8. 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若 AC →＝λAE →＋μAF → ，其中λ、μ均为实数，则λ＋μ＝________.9. 已知AD 是△ABC 的中线，点G 是△ABC 的重心，=，那么用向量表示向量为．10.如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量为123 r r r u r u r u r 、、，则OD u u u r=_______________.11. 如图，已知四边形ABCD ，点P ，Q ，R 分别是对角线AC,BD 和边AB 的中点，设,BC a DA b ==u u u r r u u u r r ，则向量PQ uuu r 关于向量,a b r r的分解式为 .12.如图，在△ABC 中，点E 、F 分别在边AC 、BC 上，EF ∥AB ，CE=AE ，若=，=，则= ．三、解答题13. 如右图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知 AM →＝c r ，AN →＝d ur ，试用c r ，d u r 表示 AB →，AD →.14. 已知O 、A 、B 是不共线的三点，且 OP →＝mOA →＋nOB →(m 、n 均为实数)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A 、P 、B 三点共线； (2)若A 、P 、B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.15.如图，在△ABC中，AB=AC=12，DC=4，过点C作CE∥AB交BD的延长线于点E，=，=．（1）求（用向量、的式子表示）；（2）求作向量+（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．答案与解析一、选择题 1.【答案】A ．【解析】解：A 、∵，∴AB ∥CD ，AB=2DC ， ∴△OAB ∽△OCD ，∴OA ：OC=AB ：DC=2：1， ∴OA=2OC ， ∴=2；故正确； B 、||不一定等于||；故错误；C 、≠，故错误；D 、=；故错误．2.【答案】B【解析】,FA BO AB ED OC =-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2BO AB BO OC AB BO OC AO OC AC ∴-+++=++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r原式=.3.【答案】A4.【答案】B【解析】由 MA →＋MB →＋MC →＝0得： MB →＋MC →＝－MA →①由向量的减法的三角形法则得： 2MB MA ABMB MC MA AB ACMC MA AC ⎧-=⎪⇒+-=+⎨-=⎪⎩u u u r u u u r u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ②将②代入①得：1()3AM AB AC =+u u u u ru u ur u u u r ∴M 为△ABC 的重心设BC 的中点为D ，得，AB →＋AC →＝2AD →，又AM →＝23AD →，故m ＝3.5.【答案】B【解析】∵▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∴OA=OC=AC ， ∵=，=，∴==（+）=+，故选B ．6．【答案】A【解析】在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD u u u r =2DB u u u r ，13CD CA CB λ=+u u u r u u u r u u u r，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1233CA CB =+u u u r u u u r ，∴23λ=.二、填空题7.【答案】A 、B 、D 【解析】AB →＋BC →＋CD →＝AD →＝36a b +r r ，∵AD →＝3AB →，∴A 、B 、D 三点共线． 8．【答案】43【解析】设AB →＝a r ，AD →＝b r，那么AE →＝12a b +r r，AF →＝12a b +r r. 又∵AC →＝a b +r r， ∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.9.【答案】﹣．【解析】∵三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍 ∴=﹣．∴用向量表示向量为﹣．10.【答案】132r r r +-u r u r u r【解析】∵132OD OA AD OA BC OA OC OB r r r =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u r u r u r .11.【答案】1122a b --r r【解析】∵点P ，Q ，R 分别是对角线AC,BD 和边AB 的中点 ∴1122PR BC a =-=-u u u ru u u r r ，1122RQ DA b =-=-u u u ru u ur r又∵PQ PR RQ =+u u u r u u u r u u u r∴1122PQ a b =--u u u rrr 12.【答案】﹣【解析】∵=，=， ∴=﹣=﹣，∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ， ∴，∵CE=AE ， ∴==﹣．三、解答题： 13．【解析】解法一：设AB →＝a r ，AD →＝b r，则a r ＝AN →＋NB →＝d u r ＋(－12b r)①b r ＝AM →＋MD →＝c r ＋(－12a r)②将②代入①得a r ＝d u r ＋(－12)[c r ＋(－12a r)]⇒a r ＝43d u r －23c r，代入②得b r ＝c r ＋(－12)(43d u r －23c r )＝43c r －23d ur .即AB →＝43d ur －23c r ，AD →＝43c r －23d u r .解法二：设AB →＝a r ，AD →＝b r.因为M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b r ，DM →＝12a r ，1212c b ad a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩r r r u r r r 解得：2(2)3a d c =-r u r r ，2(2)3b c d =-r r u r即AB →＝43d ur －23c r ，AD →＝43c r －23d u r ．14. 【解析】证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m)OB →＝OB →＋m(OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m(OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线, 又因为BP 与BA 有公共点B ， ∴A 、P 、B 三点共线．(2)若A 、P 、B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)，由条件得：mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0. 因O 、A 、B 不共线，∴OA →、OB →不共线，由平面向量基本定理知⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0∴m ＋n ＝1. 15. 【解析】解：（1）∵CE ∥AB ， ∴，∵AB=AC=12，DC=4，∴AD=8； ∴=，∴AB=2CE ， ∵， ∴， ∴=﹣=﹣；（2）如图，即为所求．∵AB∥CE，∴BD：DE=AB：CE=2，∴===﹣，∵=+=+，∴+=+．。

2019-2020学年九年级数学上册 24.4《解直角三角形》综合练习 (新版)华东师大版.doc

2019-2020学年九年级数学上册 24.4《解直角三角形》综合练习（新版）华东师大版◆随堂检测1、如图，在△ABC 中，∠B=60°，∠BAC=75°，BC 边上的高AD=3，则BC=______．1题图 2题图 3题图2、如图，点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OP 交OA 于点C ．若∠AOB=60°，OC=4，则点P 到OA 的距离PD 等于________．3、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，sinB=23，那么AB 的长是（）A ．4B ．9C ．．4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AC=6，AB=9，则AD 的长是（）A ．6B ．5C ．4D ．34题图 5题图5、如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m ，坝高24m ，斜坡AB 的坡角为45°，斜坡CD 的坡度i=1：2，则坝底AD 的长为（）A ．42mB ．（mC ．78mD ．（m◆典例分析如图，甲、乙两幢高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的仰角α为30°，测得乙楼底部B 点的仰角β为60°，求甲，乙两幢高楼各有多高？（计算过程和结果不取近似值）解：作CE ⊥AB 于点E ．∵CE ∥DB ，CD ∥AB ，且∠CDB=90°，∴四边形BECD 是矩形，∴CD=BE ，CE=BD ．在Rt △BCE 中，β=60°，CE=BD=90米．∵tan=BE CE，∴BE=CE·tan β．∴．在Rt △ACE 中，α=30°，CE=90米，∵tan α=AECE，∴AE=CE·tan α．∴．答：甲楼高为.点评：解直角三角形得应用是中考命题的热点之一，问题解决的关键是构造直角三角形模型，利用解直角三角形的知识建立未知的边、角与已知的边、角之间的关系.◆课下作业●拓展提高1、已知等腰梯形两底的差为1，则这个梯形的一个锐角为______°．2、在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E 点，CE=2，sinB=513，求菱形ABCD 的面积．3、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD=5，4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=5，∠B=45°，∠C=30°，求梯形ABCD 的面积．5、某学校体育场看台的侧面如图25-3-36阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB•及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB=66.5°）．（1）求点D与点C的高度差DH．（2）求所用不锈钢材料的总长度L（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）．（参考数据：sin66．5°≈0.92，cos66．5°≈0.40，tan66．5°≈2.30）6、如图，某校九年级3•班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC（计算过程和结果都不取近似值）．7、如图，点P表示广场上的一盏照明灯．（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）．（2）若小丽到灯柱MO 的距离为4.5米，照明灯P 到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P 的仰角为55°，她的目高QB 为1.6米，试求照明灯P 到地面的距离（结果精确到0.1米）（参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574）●体验中考1、（2009年衡阳市）如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2A BCD 15S cm =菱形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个2、(2009年鄂州)如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA=54 ，BC ＝10，则AB 的值是（）A ．3B ．6C ．8D ．9C3、（2009年深圳市）如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（）A ．3B ．5C ．25D ．2254、（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE=BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．DA B CE F参考答案随堂检测：1．2．3．B4．C5．C拓展提高：1∴由顶点的高构成的三角形的底为2，斜边为1，∴锐角为30°． 2、在Rt △ABE 中，sinB=513， ∴AE=5x ，AB=13x ，BE=12x ．又∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC ，即13x=12x+2，∴x=2．∴AB=26，AE=10，S 菱形ABCD =26×10=260．3、解：过D 作DE ⊥AB ，过C 作CF ⊥AB ，则DE=CF ，∵∠DAB=45°，∴DE=AE=3．∵tan60°=,tan 60CF CF BF BF ∴==︒∴S 梯形ABCD =12（=12（．4、5、（1）DH=1.6×34=1.2（米）．（2）如图过B 作BM ⊥AH 于M ，则四边形BCHM 是矩形．MH=BC=1，∴AM=AH-MH=1+1.2-1=1.2．在Rt △AMB 中，∵∠A=66.5°，∴AB=12cos 66.50.40AM ≈︒=3.0（米）． ∴D=AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0（米）．答：点D 与点C 的高度差DH 为1.2米，所用不锈钢材料的总长度约为5.0米6、解：过D 点作DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ．∵∠DAB=∠BAC-∠DAC=15°，∠DBA=∠HBD-∠HBA=15°，∴∠DAB=∠DBA ，∴DA=DB ．∵AD=18米，∴BD=180米．在Rt △ADF 中，DF=AD·sin30°=90（米）．在Rt △BDE ．∴BC=EC+BE=（（米）．7、（1）如图答，线段AC 是小敏的影子，（画图正确）（2）过点Q 作QE ⊥MO 于E ，过点P 作PF ⊥AB 于F ，交EQ 于点D ，则PF ⊥EQ ．在Rt △PDQ 中，∠PQD=55°，DQ=EQ-ED=4.5-1.5=3（米）． ∵tna55°=PD DQ，∴PD=3tan55°≈4.3（米），∵DF=QB=1.6米，∴PF=PD+DF=4.．3+1.6=5.9（米）．答：照明灯到地面的距离为5.9米．体验中考：1、A2、B3、D4、（1）证明：在矩形ABCD 中， 90BC AD AD BC B =∠=，∥，° DAF AEB ∴∠=∠DF AE AE BC ⊥=，90AFD B ∴∠=∠°=AE AD =ABE DFA ∴△≌△．（2）解：由（1）知ABE DFA △≌△ 6AB DF ∴==在直角ADF △中，8AF === 2EF AE AF AD AF ∴=-=-= 在直角DFE △中，DE ==sinEF EDF DE ∴∠===．。

246-247 平面向量的线性运算(难点)(作业)-2021-2022学年九年级数学上(沪教版原卷版

24.6-24.7平面向量的线性运算(难点)一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）已知非零向量a ，b ，c ，下列条件中，不能．．判定a //b 的是（） A ．a b =； B ．a b =-；C ．a //c ，b //c ；D ．2a c =，4a c =．2．（2021·上海九年级专题练习）下列命题中，正确的是（）A ．如果e 为单位向量，那么a a e =B ．如果a 、b 都是单位向量，那么a b =C ．如果a b =-，那么//a bD ．如果a b =，那么a b = 3．（2021·上海九年级专题练习）以下说法错误的是（）A ．如果0ka =，那么0a =；B ．如果2a b =-，那么||2||a b =；C ．如果23a b =（b 为非零向量），那么//a b ；D ．如果0a 不是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =．4．（2020·上海交大附中九年级期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（）①()()3330a b a b ---=； ②若3a b =，则3a b =-；③若m 、n 是实数，则()()m na mn a =；④如果非零向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使得b ma =；⑤如果非零向量a mb =，则a 与b 所在的直线平行；⑥如果0a →与0b →分别是a 与b 的单位向量，则00//a b →→ A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．（2021·上海九年级专题练习）已知非零向量a 与b ，那么下列说法正确的是（）A ．如果a b =，那么a b =B ．如果a b =-，那么//a b ；C ．如果//a b ，那么||||a b =；D ．如果a b =-，那么a b =．6．（2021·上海九年级专题练习）下列命题正确的是（）A ．如果|a |＝|b |，那么a ＝bB ．如果a 、b 都是单位向量，那么a ＝bC ．如果a ＝k b （k ≠0），那么a ∥bD ．如果m ＝0或a ＝0，那么m a ＝07．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中正确的是（）．A ．1a e a =；B ．e a a =；C ．b e b =；D ．11a b a b =．8．（2019·上海）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =2DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =13CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +λCB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ=( ) A ．23 B ．13 C ．−13 D ．−239．（2020·上海九年级专题练习）设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（）A ．m na mn a （）＝（）B ．m n a ma na ++（）＝ C ．m a b ma mb +（+）＝ D ．若0ma =，那么0a =10．（2017·上海普陀区·九年级二模）如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设ABa,BC k ，那么向量AO 用向量a b ⋅表示为（）A ．12a bB ．2133a bC ．2233a bD ．1124a b 11．（2020·上海九年级专题练习）下列说法不正确的是（） A ．设e 为单位向量，那么1e =B ．已知a 、b 、c 都是非零向量，如果2a c =，4b c =，那么a bC ．四边形ABCD 中，如果满足AB CD ∥，||||AD BC =，那么这个四边形一定是平行四边形D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解12．（2021·全国九年级专题练习）规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知：11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量，互相垂直的是（） A ．(3,2)OC =，(2,3)OD =- B ．(21,1)OE =，(21,1)OF = C ．0(3,2018)OG =，1(,1)3OH =-- D ．31(8,)2OM =-，2((2),4)ON =二、填空题13．（2018·上海九年级期末）计算：13222a b a b ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________． 14．（2017·上海第二工业大学附属龚路中学九年级期中）a 的长度是单位向量e 长度的2倍，方向相反，用e 表示a ，a =_________．15．（2019·上海市民办新北郊初级中学九年级期中）已知2,4a b →→==，且b →和a →反向，用向量a →表示向量b →=__________． 16．（2021·上海市实验学校九年级二模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AB 的中点，DE 与对角线AC 相交于点F ，如果AB a AD b ==，，那么_____________DF =（用含a b 、的式子表示）．17．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，那么向量AB 关于a 、b 的分解式为______． 18．（2021·上海九年级专题练习）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且//EF BC ，53AE BC BE AD ==，若AB a =，DC b =，则向量EF 可用a 、b 表示为______________．19．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，DC 、BE 交于点O ，AB ＝3AD ，设BD ＝a ，DE ＝b ，那么向量DO 用向量a 、b 表示是__．20．（2021·上海闵行区·九年级二模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，点D 为AB 中点，将ACD △沿直线CD 翻折后，点A 落在点E 处，设BC a =，DB b =，那么向量DE 用向量a ，b 表示为________．三、解答题21．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABCD 中，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ， 1.2AB =，1.8BC =．（1）求:BF DF 的值；（2）设AB a =，BC =b ，求向量DF （用向量a 、b 表示）．22．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，//AB DE ，//AC DF ，AC 与DE 相交于点G ，12AG DG GC GE ==，2BE =．（1）求BF 的长；（2）设EG a =，BE b =，那么BF = ，DF = （用向量a 、b 表示）．23．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，点M 为边BC 上一点，13BM BC =，联结AM 交DE 于点N ．（1）求DN NE的值；（2）设AB a =，AM b =，如果23AD DB =，请用向量a 、b 表示向量NE ． 24．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，一个33⨯的网格．其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似？请说明理由；（2）设AB a =a ，BC b =，写出向量AD 关于a 、b 的分解式．25．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，已知ABC 中，//DE BC ，2AD =，4DB =，8AC =．（1）求线段AE 的长；（2）设BA a =，BC b =．①请直接写出向量AE 关于a 、b 的分解式，AE =________；②连接BE ，在图中作出向量BE 分别在a 、b 方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论）26．（2021·上海九年级专题练习）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a 、b 、c （如图），求作线段x ，使::a b c x =他的作法如下：（1）以点O 为端点画射线OM ，ON ．（2）在OM 上依次截取OA a =，AB b =．（3）在ON 上截取OC c =．（4）联结AC ，过点B 作//BD AC ，交ON 于点D ．所以：线段________就是所求的线段x ．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是________③如果4OA =，5AB =，AC π=，试用向量π表示向量DB ．27．（2020·上海九年级专题练习）如图，已知AD 是△ABC 的中线，G 是重心．（1）设AB ＝a ，BC ＝b ，用向量a 、b 表示BG ；（2）如果AB ＝3，AC ＝2，∠GAC ＝∠GCA ，求BG 的长．28．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在ABC 中，点G 是ABC 的重心，联结AG ，联结BG 并延长交边AC 于点D ，过点G 作//GE BC 交边AC 于点E ．（1）如果AB a =，AC b =，用a 、b 表示向量BG ；（2）当AG BD ⊥，6BG =，45GAD ∠=︒时，求AE 的长．29．（2019·湖北九年级一模）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。

沪教版九年级上册 24.4 平面向量的运算讲义

,a b作图++=)()()a a a+-+-=？a a a即几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？以上面问题作图说明一下。

-；,3a a=++，又由于OC与a方向相同且3 OA AB BC a===，此时OC a a a=OC a++=同理：()()()3a a a aOC a=，∴33-+-+-=-a a a a13OC OA =根据实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳，数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量．a 为向量，我们用na 表示n 个a 相加；用na 表示n 个a 相加．又当a 表示与a 同向且长度为|na m的向量. 在此基础上规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算：为实数，a 为向量；如果0,0k a ≠≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >a 同方向；当0时，ka 与a 反方向。

如果或0a =，那么0ka =；根据实数与向量相乘的意义：ka a、DC 的三等分点，,AB a DA b ==试用向量,a b 表示向量1,3AE a AD b ==-；,a b ，求作（a a + （2）32a （3）2()ab + （4）2a b + （5）2(3a 。

观察、比较（）与（2），（3）与（），（5）与（6）的结果，你有什么发现？参考答案：图略；32a a a +=；2()22ab a b +=+；2(3)6a a = 讨论：通过前面的发现，讨论总结一下实数与向量相乘运算的一般规律。

注意引导实数变成一般字母的规律；同时注意让学生体会实数为负数同样成立的举例验证,a b 为向量，则）实数与向量相乘的结合律：)()na mn a =；）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma ma +=+；）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma nb +=+． ,a b 恒有：)m a b ma mb -=-和向量a ，恒有()m n a ma na -=-a ，若(0)ma na a =≠，则m 11322)8()63443a b c a b c -++-+⨯. ,,a b x 满足关系式)5()a b b x +=-，试用向量,a b 表示向量x .．C ．5710a b c -+ 3．3255x a b =-+ a 是非零向量，(0)b ma m =≠，那么向量a 与b 有什么位置关系？m 为正数，则a 与b 同向，a b ；m 为负数，则a 与b 反向，a b ．ABCD 中，AD BC ，EF 是梯形中位线，AD a =,能将向量a 表示出来吗？参考答案：∵AD BC EF ∴AD CB EF 且EF CB 与a 同向，EF 与a 反向；又2,4,3,a CB EF ===32,2CB EF aa==∴32,2CB a EF a =-=备注：老师适当给出规范过程供学生模仿；讨论：已知a 是非零向量，如果a b ，那么b 能用a 表示出来吗？b 是非零向量，那么由a b 可知a 与b 同向或反向；设b k a=，得b k a =；当a 与b 同向时，b ka =；当a 与b 反向时，b ka =-，如果0b =，那么0b a =；平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一实数m ，使b ma =. a ，b ，满足2()a b a b -=+，判断向量a ，b 是否平行？15,3a cbc ==-，其中c 是非零向量，判断向量a ，b 是否平行？参考答案：1．平行； 2．平行 e 表示，模长表示为：1e =，则下列说法e 有无数个不同的单位向量，它们的方向不同设a 是非零向量，且a e ，则a a e = D a 是非零向量，且a e ，则a a e =± 参考答案：C 备注：重点强调单位向量的概念；试一试：若向量b 与单位向量e 的方向相同，且1||||2b e =，则b ＝________．（用e 表示）参考答案：12e例题2：如图，已知两个不平行的向量,a b ．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）解：如图：,2OA a AB b =-=则2OB a b =-+为所求备注：老师注意总结引出以下概念：1．向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 2．如果,a b 是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么xa yb +叫做,a b 线性组合.例题3：如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，E 、F 是AD 、BC 的中点，若AB a =，CD b =，那么用a 、b 的线性组合表示向量EF = ．解：∵AB CD EF ∵2AB CDEF +=13(3)()22a b a b +-+13(3)()22a b a b +-+13322a b a b =+--2a b =-+)AB EF a b =-．备注：注意已知向量和所求向量的方向，要求学生习惯性在图中标出。

2017秋上海教育版数学九年级上册244《平面向量的线性运算》练习题1

24、7 平面向量的分解一、课本巩固练习1、如图,平行四边形ABCD 是以向量AB a =、AD b =为边的平行四边形，AC 、BD 相交于点O ，又13DM DO =,13ON OC =。

试用a 、b 表示AM 、AN 和MN .2、如图,已知两个不平行的向量a 、b 如下,求作:32a b +，2a b -3、设M 、N 、P 是△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且14BM BC =,14CN CA =,14AP AB =,连接MN 、NP 、PM 。

设AB a =，AC b =，分别求出向量MN 、MP 、PN 关于a 、b 的方解式。

4、点M 是△CAB 的边AB 的中点.设CA a =,CB b =,试用a 、b 的线性组合表示向量CM 、3、已知任意两个非零向量a 、b ，且OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+,判断A 、B 、C 三点之间的位置关系、二、基础过关1、选择题。

1、下面各量中，是向量的是（ )A 。

温度； B.距离； C 。

加速度； D 。

质量。

2、下列命题中，正确的是（）A 。

若a b =,则a b =；B 。

若a b =;则a 与b 是平行向量；C 。

若a b >,则a b >； D.若a 与b 不相等，则向量a 与b 是不共线向量. 3、如图,四边形ABCD 中,AB DC =,则相等的向量是（ )A.AD 与CB ;B 。

OB 与OD ； C.AC 与BD ； D.AO 与OC 。

4、下列四个命题中,正确命题的个数是 ( ）①共线向量是在同一条直线上的向量;②若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点；③与已知非零向量共线的单位向量是唯一的；④ 若四边形ABCD 是平行四边形,则AB 与CD ，BC 与AD 分别共线、A.1;B. 2； C 。

3; D 。

4。

5、已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若0OA OB OC ++=，则O 是△ABC的( ）A 。

沪教版(五四制)九年级数学上同步练习：24.2比例线段.docx

24.2 比例线段一、课堂巩固练习1、已知点B 在线段AC 上，BC=2AB ，求下列各组线段的比值。

（1）AB ：BC （2）AC:AB （3）BC:AC2、已知，如图，线段BD 与CE 相交与点A,AD AE BD CE = (1)AD AE AB AC =;(2) AB AD AC AE = 23、已知，:5:2x y =，求():x y y +的值。

4、已知345a b c ==，36a b c ++=，求a ，b ，c 的值。

5、已知线段a=4厘米，c=9厘米，求线段a 和线段c 的比例中项b 。

6、已知线段MN 的长为2厘米，点P 是线段MN 的黄金分割点，则较长线段MP 的长是__________厘米，,较短线段PN 的长是__________厘米。

二、基础过关1、下列各组中的四条线段成比例的是( )A .a =2，b =3，c =2，d =3B .a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15 D .a =2，b =3，c =4，d =12、若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.d c b a = B.cc bd d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 3、若2x －5y =0，则y ∶x =________，x y x +=________. 4、若53=-b b a ，则b a =________. 5、已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14.（1）求a ,b ,c ;（2）求4a －3b +c 的值..6、在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB =15 cm ，AC =10 cm ，且BD ∶DC =AB ∶AC ，BD －DC =2 cm ，求B C.7、现有三个数1，2，2，请你再添上一个数写出一个比例式 .8、如图,格点图中有2个三角形, 若相邻两个格点的横向距离和纵向距离都为1，则AB =BC = ，DE = ，EF = ，计算DE AB = ，EFBC = ，我们会得到AB 与DE 这两条线段的比值与BC ，EF 这两条线段的比值（填相等或不相等），即DE AB ＝EF BC ，那么这四条线段叫做，简称比例线段．9、已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a =16 cm b =8 cm c =5 cm d =10 cm;（2）a =8 cm b =5 cm c =6 cm d =10 cm.10、已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，且a =3㎝，b =2㎝，c =6㎝，求线段d 的长.11、已知d c b a ==3，b b a -=d d c -成立吗？ 12、在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm ×2 cm ，矩形运动场的实际尺寸是多少？13、已知a b b c c a k c a b+++=== ，求k 是的值． 14、一个三角形的三内角分别为30°、60°、90°，另一个三角形的三内角分别为45°、45°、90°，计算每一个三角形三边长度之比. （自己画图）15、已知：b a ＝d c ＝f e ＝3(且有b+d+f ＝0)，求证：d b c a ++＝fd e c ++＝3 16、如图5.1-2，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝32，且△ABC 与△ADE 的周长之差为15cm ，求△ABC 与△ADE 的周长.20、如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG ∥BE 交AE 于G ，求证GF ＝FB ．初中数学试卷桑水出品。

九年级数学上册24-7平面向量的分解(第1课时)教案沪教版五四制

本节内容是前面所学向量知识的整理和运用 .通过对向量的加法、减法以及实数与向量相乘等运算的回顾，类比实数运算的顺序规定，指出了向量的几种运算混合时的运算顺序，归纳了向量的线性运算.在此基础上，引进两个不平行向量的线性组合的概念．
教学过程设计一、新课导入
我们已经学习了向量加法、减法以及实数与向量相乘等运算、并且知道，向量的减法可以转化为加法运算；向量加法以及实数与向量相乘，有类似于实数加法和乘法的运算律.这些运算还可以组合起来，如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.
九年级数学上册 24-7 平面向量的分解（第 1 课时）教案沪教版五四制

教学目标设计
1．理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果. 2．知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合．教学重点及难点线性运算的意义，线性组合的概念；线性组合的简单应用. 教学内容分析
二、探索新知
例题 1 已知两个不平行的向量
求作：解:略
，
.
_D
_B _O
_A
_E _C
四、课堂小结
五、作业布置练习册 24.7（1）

沪教版数学九年级上册24.7《平面向量的分解》(第1课时)教学设计

沪教版数学九年级上册24.7《平面向量的分解》（第1课时）教学设计一. 教材分析《平面向量的分解》是沪教版数学九年级上册第24章第7节的内容，本节课主要介绍了平面向量的分解概念和方法。

通过本节课的学习，学生能够理解平面向量分解的意义，掌握平面向量分解的基本方法，并能够运用分解后的向量进行问题的求解。

教材中安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面向量的基本概念和运算，具备一定的数学基础。

但学生在学习过程中，可能对向量分解的理解和运用存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生理解向量分解的本质，并通过适量练习，提高学生运用向量分解解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：理解平面向量分解的概念，掌握平面向量分解的基本方法；2.过程与方法：通过实例分析，引导学生掌握平面向量分解的步骤，培养学生的动手操作能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生在解决问题的过程中，体验到数学的乐趣。

四. 教学重难点1.重点：平面向量分解的概念及其方法；2.难点：平面向量分解的灵活运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究平面向量分解的方法；2.利用多媒体辅助教学，直观展示平面向量分解的过程；3.采用合作学习法，让学生在小组讨论中，共同解决问题，提高学生的团队协作能力；4.通过适量练习，巩固所学知识，提高学生的实践能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作平面向量分解的教学课件，包括向量分解的定义、方法及实例分析；2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固学生所学知识；3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生展示一个实际问题，引导学生思考如何将问题中的向量进行分解。

例如，展示一个平面直角坐标系中的向量，让学生思考如何将该向量分解为两个互相垂直的向量。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，向学生介绍平面向量分解的定义和方法。

上海市罗泾中学九年级数学上册 24.7 平面向量的分解(第2课时)教案沪教版五四制

.
2
而四边形 OMCN 是平行四边形，因此 OC OM ON xa yb 即

c xa yb
如果点 C 在直线 OA 或 OB 上，那么 c / / a, 或 c / / b .这时得
E

如图四，已知向量 OA; OB
p q
O 图四 A
D
M C N
A
B
图五
三、巩固练习 1．如图六，已知平行四边形 ABCD，点 M、N 是边 DC、BC 的中点，设 AB a ， AD b 分别求向量 MN 、 BN 关于 a 、 b 的分解式. 图六

二、探索新知
1
「说明」如例题 4 中， OB 分别在 a, b. 方向上的分向量是 2a 和式是 2a b .

b
； OB 关于 a, b. 的分解

思考给定两个不平行的向量 a, b. ，对于平面内任意一个向量 c ，都可以确定它关于 a, b. 的分解式吗？
24.7 平面向量的分解（第 2 课时）
教学目标设计 1.知道向量的分解式，会画平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量. 2.在知识形成和运用过程中，体会向量的线性组合与分解的的辩证关系，体会数形结合、化归等数学思想方法. 教学重点及难点画一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量; 向量的线性组合与分解的的辩证关系. 教学内容分析本节课研究如何将一个向量表示为两个给定向量的线性组合、画一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量，为向量知识的进一步运用进行奠基．

2020上海教育版九上24.7平面向量的分解

（2）向量 q 分别在 OA、OB方向上的分向量.
ur
p
B
r
q
O
A
图三
例题6 如图四已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边 DC、BC的中点，射线AM与BC相交于点E.设
AB a AD b 分别求向量 AM 、 AN 、 AE 关于
a,b. 的分解式.
E
D A
M C
N
B
教学巩固
1．如图五，已知平行四uuur边形r AuuBurCDr，点 M、N是边
DC、BC 的中点，设 AB a AD b 分别求向量
uuuur uuur MN、 BN
rr 关于 a 、b 的分解式.
D
M
C
N
A
B
图五
2Buu．Dur相如u交图uur于六点，uuu已rO，知uu设平ur 行OuuAu四r 边aurr形, AOurBuBurCDbr的，对分角别线求AC向量与 OC OD AB BC 关于 a 、 b 的分解式.
、
、
、
D
C
O
A
B
图六
课堂小结 ,OG b 试用 a,b. 的线性组
合表示向量： OC OD OA OB OQ.
D
G
H
C
P
O
M
Q
A
E
F
B
思考
rr
a, b 给定两个不平行的向量
，对于平面内任意
r
c a,b. 一个向量，都可以确定它关于
的分解式吗？
例题5 如图三，已知向量 OA;OB 和 p 、q 求作：（1）向量 p 分别在 OA、OB 方向上的分向量；
24.7平面向量的分解（2）

沪教版五四制九年级数学上学期(第一学期)同步练习三角形一边的平行线.docx

24.3三角形一边的平行线一、课本巩固练习1、如图，在△ABC 中，DE//BC,DE 与边AB 相交于点D ，与边ACA 相交于点E （1）已知AD=6，BD=3，AE=4，求CE,AC 的长。

（2）已知AE ：AC=2：5，AB=10，求AD 的长。

2、如图，点D,E 分别在△ABC 的边CA,BA 的延长线上，且DE//BC, （1）已知AB=18，AD=15，AE=9，求AC 的长。

（2）已知AB=18，CD=15，AE=9，求AC 的长。

3、如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且ECAEDB AD，求证：DE ∥BC 。

第1题BACDEA第2题DE BC4、如图，已知1L ∥2L ∥3L ，直线AB 、CD 分别与它们相交，如果8AB =cm ，5BN =cm ，4CM =cm ，求CD 的长。

二、基础过关1、如图所示，G 为△ABC 的重心，D 为BC中点，则下列关系成立的是（）A ．21==FB AF GD AG ； B ．21==GF CG GD AG ；C ．2==GF CG GD AG ； D ．1==BFCE AF AE ．2、如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若:1:3AF FD =，则:AE EB = 。

（2题图）（3题图）（4题图）3、如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ， 5.5AD =cm ，11BD =cm ，5DE =cm ，那么BF =________cm 。

4、如图，△ABC 中，点P 在BC 上，四边形ADPE 为平行四边形，则BD CEDA EA⋅=_______。

GAB CEFL 3BDACNML 1L 2（5题图）（6题图）（7题图）5、如图，在△ABC 中，E 是AC 中点，延长BC 到D ，使DC BC =，连接DE ，并延长交AB 于F ，则:DE EF = 。

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精心整理沪教版数学九年级上学期一课一练、单元测试卷和参考答案目录第二十四章相似三角形24.5 相似三角形的性质第三课时（1）52 24.6 实数与向量相乘第一课时（1）57 24.7向量的线性运算第一课时（1）62九年级(上)数学第二十四章相似三角形单元测试卷一67第二十五章锐角三角比25.1 锐角三角比的意义（1）7225.2 求锐角的三角比的值（1）7525.3 解直角三角形（1）7925.4 解直角三角形的应用（1）8424.1放缩与相似形（1）一、选择题1下列各组图形中一定是相似三角形的是（）A. 两个等腰三角形B. 两个直角三角形C. 一个角为30 的等腰三角形D. 两个等边三角形2下列各组图形中一定是相似多边形的是（）A. 两个平行四边形B. 两个正方形距离之比是两片树叶6. 下列各组图形中，一定是相似多边形的是（）A. 两个直角三角形B. 两个平行四边形C. 两个矩形D. 两个等边三角形7下列图形中，相似的有（）①放大镜下的图片与原来图片；②幻灯的底片与投影在屏幕上的图像边。

10. 当两个相似的三角形是全等形时，它们对应的边长的比值等于。

11. 图形的或称为图形的放缩运动。

12. 我们把两个形状的图形称为相似的图形，或者说是 13. 两个多边形是相似形，就是说它们同为的多边形，而且形状。

实质上，相似多边形的定义要注意两个条件缺一不可：（1）对应边点'C 分别是对应顶点，42A ︒∠=，85B ︒∠=，AB=2, ''A B =5,BC=3,''C A =6求'C ∠的度数与边AC, ''B C 的长18 如图所示的相似四边形中，求未知边x ，y 的长度和角α的大小 19 在同一张地图上用尺测量得甲地距学校的距离是4厘米，乙地到学校的距离是5厘米，而实际上，乙地与学校的实际距离是10千米，求甲地与学校的实际距离20. 在下列方格中，画出△ABC 的一个相似形。

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