映射的概念
映射基础知识
映射基础知识一、映射1.映射概念定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,么称f为从X到Y的映射, 记作f:x→y,其中y称为元素x(在映射/下)的像,并记作f(x),即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作D,即D=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记作R或f(X),即R=f(X)=f(x)lx∈X从上述映射的定义中,需要注意的是:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域D=X;集合Y,即值域的范围:R,Cy;对应法则f,使对每个x∈X,有唯一确定的y=f(x)与之对应(2)对每个x∈X,元素x的像y是唯一的;而对每个y∈R,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域R是Y的一个子集,即Rcy,不一定R=y2.逆映射与复合映射设f是X到Y的单射,则由定义,对每个y∈R,有唯一的x∈X,适合f(x)=y.于是,我们可定义一个从R到X的新映射g,即g:R→X,对每个y∈R,规定g(y)=x,这x满足f(x)=y个映射g称为f的逆映射,记作f, 其定义域D=R,值域R=X.按上述定义,只有单射才存在逆映射.所以在例1、例2、例3中,只有例3中的映射f才存在逆映射f,这个就是反正弦函数的主值f'(x)=arcsin x, x [-1 1],其定义域D=[-1,1],值域R=-设有两个映射g:X→y1， f:2→z,其中Y1CY2,则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个x∈X映成fg(x)]∈Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fg,即fg:→z,(fg)(x)=fg(x)],x∈X.由复合映射的定义可知,映射g和f构成复合映射的条件是:g的值域R必须包含在f的定义域内,即RCD否则,不能构成复合映射.由此可以知道,映射g和f的复合是有顺序的,fg有意义并不表示gf也有意义即使fg与gf都有意义,复合映射fg与gf也未必相同。
高等数学上册1.1 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
映射的概念
这些对应就是今天我们将要学习的概念“映 射”。前一章，学习了元素与集合及集合与 集合之间的关系，而映射是重点研究两个集 合的元素与元素之间的对应。
映射
1、定义：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对
应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都
４、班级里的每一位学生都有唯一确定的学号与他对 应。
再如，某班级全体同学组成的集合为Ａ，正 实数集为Ｂ，让每位同学与其体重对应，则 Ａ中的每一个元素，在Ｂ中都有唯一元素与 之对应，用图可表示为：
f: x y y为x的体重数
Ａ
Ｂ
再如，坐标平面内的所有点组成的集合为Ａ， 所有的有序数对组成的集合为
Ｂ＝｛﹙ｘ，ｙ﹚∣ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ｝． 让每一点与其坐标对应，则Ａ中的每一个元素
有惟一元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A、
B及A到B的对应法则）叫做集合A到集合B的映射，记
作f：A B
2、 映射是 特殊的对应
A、B及A到B的对应法则三部分构成整体 满足A中“任一”到B中“惟一”
3、 f：A B与f：B A是不同的。
4、集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合。
5、映射与函数的区别和联系：函数是特殊的映射， 它是两个非空数集之间的映射。所以，函数是映射， 但映射不一定是函数。
1
(C) f: x y= 4 x
（） 1 (B) f: x y= 3 x
1
(D) f: x y= 6 x
例3 设集合M={x|0x1},N={y|0y1},则下列 四个图像中,表示从M到N的映射的有哪些?
y 1
0
1
x
(1)
y
y
函数、映射的概念
函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
映射1
啊事情，奴婢哪儿晓得怎么又将爷给惹火咯。”“那您刚才干嘛宁可连您家仆役我都别管咯，也要去伺候爷去？”“仆役啊！您真别明白吗？”“到底发生咯啥啊事情？”“仆役，那 吉尔哪里是啥啊奴才，她，她，她肯定是……”“是啥啊？”“是，是，她那是想要去狐媚爷呢！”水清那才悄然大悟！怪别得呢！昨天晚上月影积极主动地要求留下来，今天壹大清 早，宁可把自己那各正经主子撇在壹边，也壹定要去顶替咯吉尔当差，原来她竟是担心吉尔！明白咯月影の良苦用心，水清又是感动，又是好笑。别过，难得现在只有她们主仆两各人， 好别容易没什么咯旁人，水清忍别住地想要好好戏弄壹下月影：“月影，您那么信口雌黄，诬陷吉尔，要是让爷晓得咯，非得治您の罪别可！到时候，您家仆役我可是别会管の，谁让 您千方百计地要坏咯爷の好事呢！”月影哪儿还有心思跟水清开玩笑呀，她早就已经急得火上房咯：“仆役，奴婢别怕爷治罪，奴婢只是担心您！好别容易您能和爷单独相处壹各月の 时间，那可是多难得の机会啊！那各吉尔非要来捣啥啊乱啊！”“您啊您！您那么凭白地诬陷吉尔，该当何罪？别过话又说回来，就算是吉尔有那各心思，还别是应该应份の？”“仆 役啊！那怎么就是应该应份の？您才是爷の侧福晋啊！吉尔算啥啊，别过就是壹各丫环而已，她凭啥啊！”“她凭啥啊？瞧您那话问の，她怎么就别能入咯爷の眼？她模样俊俏，性情 温柔，家世也好，虽然现在大别如从前，但怎么着也是出身高贵の大户人家の大家闺秀。”“可是，可是您才是主子啊！再说咯，那壹次是多么难得の机会，只有您壹各人陪着爷，您 为啥啊别借着那么好の机会，得咯爷の宠，那才是您应该上心の事情，怎么能允许那各吉尔……”“好，好，您别允许吉尔对爷示好，那就是您想要去对爷示好？”“仆役，仆役，奴 婢从来没什么过那种非份之想，仆役，奴婢向您发誓，奴婢对仆役忠心别二，决别会背叛您！”月影生怕水清误会咯她，情急之下，扑通壹下子就给水清跪下咯。水清晓得自己那各玩 笑开大咯，惹得月影又是指天发誓，又是跪地求饶，于是赶快说道：“好月影，快快起来！快起来！我晓得月影别是那种人，我相信，我相信！”水清壹边将月影赶快扶咯起来，壹边 安慰着她：“月影，您听我说呀，咱们那壹次到热河，少说也要壹各来月の时间。您看看，首先呢，爷看别上您家仆役，其次，咱们月影又看别上爷，最后呢，假设吉尔再看别上爷， 难道咱们要让爷当壹各月の和尚吗？”第壹卷 第554章 请安第二天傍晚再次投宿行宫前，王爷就派秦顺儿给水清传咯话，晚膳别用过来伺候，有吉尔壹各人在就可以。他是考虑到水 清の身体状况，身子原本就很虚弱，此番又是长途跋涉，担心身体吃别消，就免咯她の服侍。听到那各消息，月影壹脸愤恨别平の样子，水清晓得她还在耿耿于怀，于是伸出手去，轻 轻地握咯握她の手，示意她稍安毋燥。由于主仆三人同坐壹辆马车，当着吉尔，月影也只好暂时按下心中の别满。毕竟吉尔与王爷の关系比她们主仆两人都亲近许多，万壹惹翻咯吉尔， 那各奴才再背地里跟爷说些仆役の坏话，实在是太别值当。抵达行宫后，吉尔对水清说道：“启禀侧福晋，奴婢去爷那里当差咯。”“好，您赶快过去吧，别让爷等急咯。另外再跟爷 传各话，就说感谢爷の体恤，免咯我服侍の差事，也望爷多注意身体，别要太劳累咯。”“回侧福晋，奴婢壹定把话传到。”“好。”望着吉尔の背景，月影满脸の鄙夷尽显无遗： “那还没得着爷の宠呢，就连魂都要丢咯。”“行咯，月影，您就少说壹句吧，今天早上我怎么说の，您全忘记咯吗？”被水清说咯壹句，月影嘴上虽然别再说话，可是心里の愤恨壹 刻也没什么停下，禁别住手上の动作就有些重，噼哩啪啦の声音别绝于耳。水清晓得她那是在堵气，念她也是出于好心，就没什么再说啥啊。晚膳别用伺候爷，但是日常の请安总还是 别能免除，那是最起码の规矩，于是待用过晚膳，又看咯壹小会儿书，估摸着时间差别多咯，水清就和月影壹起来到
映射的概念
例3
下面的对应，不是从M到N的映射的是 B
A M 1,3,4,6,7 N 1,1 f : x y 1x
B M Z
NR f :x y x
C M 2,3,4 N 4,6,8 f : x y 2x
D M x x 0 N y y 0 f : x y x2
例4
已知集合M= x 0 x 6 P y 0 y 3
下列对应中，不能看成是M到P的映射的是： （ C）
A f :xy1x 2
C f :xyx
B f :xy1x 3
D
f :xy1x 6
有两个特点：
①集合A中不同的元素在B中有不同的象（意即不是多对一） . ②集合B中的元素都有原象（没有多余的象）
这样合A到集合B的映射， 如果在这个映射下，对于集合A中不同的元素在B中有不 同的象，而且集合B中的每一个元素都有原象，这样的映 射叫做A到B上的一一映射
映射的概念
观察下列的对应关系，
找出他们的共同点及不同点
A 开平方
B
A
300
9
3
－3
450
4
2
－2
600
1
1
－1
900
(1)
A
B
A
求平方
1
－1
1
1
2
－2
4
2
3
－3
9
3
求正弦
(2)
乘以2
B
1 2
2 2 3 2
1
B
1 2 3 4 5 6
映射的概念及例
四、单射、满射、双射
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果 f (x) B，那么 说称f 是A到B上的一个映射，这 时也称f 是一个满
映射，简称满射.
f : A B是满射当且仅当对于B中的每一元素y，都有
A中元素x 使得 f (x) y .
对于每一 x R，令 f (x) x2与它对应； f : x x2 ，那么 f 是R到B的一个映射.
例3 设 A B {1,2,3,4} f :1 2,2 3,3 4,4 1 这是A到B的一个映射.
例4 设A是一切非负实数的集合，B是一切实数的集 合. 对于每一 x A，令 f (x) x 与它对应. f 不是A 到B的映射， 因为当 x 0 时，f (x)不能由x唯一确 定.
y
f
(x)
x 1
x
1 1
y y
y
1 y
所以f 是满射. 设 x1, x2 A 而 f (x1) f (x2 ) . 那么
x1 x2 1 x1 1 x2
由此 x1, x2 A，所以f 是单射.
于是由定理1.2.1，f 有逆映射. 易验证，
f 1B A; x x 1 x
二、映射的相等和像
设 f : A B ，g : A B 都是A到B的映射，如果对于每
一x A，都有 f (x) g(x)，那么就说映射f与g是相等的.
记作 f g .
例7 令 f : R R, x | x | ，
g : R R, x x2 . 那么 f g .
( f g)( y) f (g( y) f (x) y
所以 f g jB . 故(ii)成立.
映射的知识点总结
映射的知识点总结一、映射的定义在数学中，映射被定义为一种从一个集合到另一个集合的元素之间的关系。
设A和B是两个集合，如果存在一个规则f，使得对A中的每一个元素a，都有一个唯一确定的元素b∈B与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作f:A→B。
在这里，A称为定义域，B称为值域，f(a)称为元素a的像，b称为元素a的原像。
映射的定义也可以用集合的语言来描述。
即映射是一个集合到另一个集合的元素之间的规则，使得集合中的每一个元素有且只有一个唯一确定的对应元素。
这种描述映射的方式更加直观，容易理解。
二、映射的性质1. 单射如果映射f：A→B的不同元素a1、a2∈A，若f(a1)≠f(a2)，则称f是单射。
直观地说，单射表示A中的不同元素映射后得到的像也是不同的，即不会出现多个元素映射到一个元素上。
2. 满射如果映射f：A→B的任意元素b∈B，都存在一个元素a∈A，使得f(a)=b，即值域与B相等，则称f是满射。
满射表示在映射中，值域中的每一个元素都有至少一个原像。
3. 双射如果映射f：A→B既是单射又是满射，则称f是双射。
双射表示映射是一种一一对应的关系，每一个元素都有唯一的对应元素。
4. 逆映射设f：A→B是一个双射，那么存在一个映射f^-1：B→A，使得对于任意元素b∈B，f^-1(b)是唯一与b对应的元素，称f^-1是f的逆映射。
5. 复合映射设f：A→B和g：B→C是两个映射，其中f的值域是g的定义域，那么可以定义f和g的复合映射为g∘f:A→C，它的定义规则是(g∘f)(a)=g(f(a))。
6. 映射的像和原像对于映射f：A→B，其中元素b∈B，称元素b在映射f下的像为f^-1(b)={a∈A|f(a)=b}，即元素b对应的所有原像所构成的集合。
而元素a∈A，称元素a在映射f下的原像为f(a)。
三、映射的分类根据映射的性质，可以将映射分为不同的类型。
1. 根据值域的大小，映射可以分为有限映射和无限映射。
高中数学复习课件-第二章 映射
f(a) f(b) f(c)
0
0
0
1
0
1
0
1
1
-1
0
-1
0
-1
-1
1
-1
0
-1
1
0
由上表可知满足条件的映射有 7 个.
小结：
1、映射的概念 2、映射与函数的区别与联系
思考：映射与函数有什么区别与联系？
函数 映射
建立在两个非空数集上的特殊对应
扩展
建立在两个任意集合上的特殊对应
（1）函数是特殊的映射，映射是函数概念的扩展
1.可以是“一对一” 2.可以是“多对一” 3.不能“一对多”
4.A中不能有剩余元素
5.B中可以有剩余元素
例1 说出下图所示的对应中，哪些是Ａ到Ｂ的映射？
求一定条件下映射的个数
已知 A={a,b,c},B={-1,0,1},映射 f:A→B 满足
f(a)+f(b)=f(c),求映射 f:A→B 的个数.
【解析】(法一)由于 f(a),f(b),f(c)∈{-1,0,1},故符合
f(a)+f(b)=f(c)条件的 f(a),f(b),f(c)的取值情况如下表所示:
练习1：下列对应是否为从集合A到集合B的映射？
(1)A R, B {y | y 0}, f : x | x |;
(2) A R, B R, f : x x2;
(3) A Z , B R, f : x x; (4) A Z, B N, f : x x2 3
练习2 ：已知集合A={a , b}，集合B={c, d, e}. （1）一共可建立多少个从集合A到集合B的映射？
(1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7);
映射概念
记为 f ◦g。
z ( f g)(x)
x
y f (x) g(y) z
由复合函数定义知，
( f g)(x) g( f (x))
15
注意：要保证复合映射有意义，必须：
f (A) dom(g)
例：设 R 到 R 有两个映射 f 和 g，定义如下： f (x) x2, g(x) x 2, 试分别计算复合映射 f g和g f . 解：对任意的 x R , 分别有
x1 f是
x2时f (x1) f (x2)），则称 A 到 B 的一对一映射。
f
是
2 满射
定义：f:AB, 若对任意y∈B，均存在x∈A，使得 y=f(x)，则称 f 是 A 到 B的满射，或称 f 是 A 到 B 的 映上的映射。
3 双射
定义：f:AB, 若f既是单射又是满射，则称 f 是 A 到 B的双射，或称 f 是 A 到 B 的一一对应。
由此可见，复合函数g◦f是单射函数 同理可证明(2)与(3) 。
18
定理 设 f:AB, g:BC, (1)若 f ◦ g 是单射，则 f 是单射但 g不一定； (2)若 f ◦ g 是满射，则 g 是满射而 f 不一定。
f(x) = g(x), 则称映射f, g是相等的，或是同一映射。
4
3 几个相关的称谓 假定 f:AB, y=f(x)，通常把 x称为自变量，自变量的取值范 围称为定义域，记为 dom f。将 y 称为因变量，而把由所有 因变量构成的集合称为值域，记为 ran f。 对映射而言：
对映射 f:AB 而言, 必有 dom f = A, ran f ⊆B
等映射，记为 I A 。
定理 若f:AB 是双射, 则有
f f 1 I A, f 1 f IB.
映射的概念
明目标、知重点 1.了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射.2.通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系．1．映射的概念一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B.2．映射与函数的关系由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A、B为两个非空数集．[情境导学]大家想一想，如果我们都没有名字，这个世界将会怎样？一个人可以有小名，有笔名，有外号，有学名，是一人多名，也可能是多人一名，但为了便于管理，政府部门规定，每人只能有一个法定的名字，这样，每个人都有了唯一确定的身份证上的名字，人与名字的关系是集合到集合的一种确定的对应．在数学里，把这种集合到集合的确定性的对应说成映射．探究点一映射的概念思考1在初中我们已经学过对应法则，生活中还有很多在两个集合之间建立单值对应的例子，你能举出几个？答对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位和它对应．思考2两变量的函数关系实质上是一种对应法则，其对应有何特点？答函数是建立在两个非空数集间的一种对应．思考3函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的两集合中的元素之间的对应法则，即映射．那么，你能给映射下个定义吗？答一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射．记作f：A→B.思考4映射与函数有什么区别与联系？答映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射，函数是映射，但映射不一定是函数．例1下图所示的对应中，哪些是从A到B的映射？解根据映射的定义，可以知道上述图中，(4)的对应是A到B的映射，(1)、(2)、(3)的对应不是A到B的映射．反思与感悟对于映射f：A→B，A中元素与B中元素的对应法则，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．跟踪训练1下图表示集合A到集合B的映射的是______．答案(1)(4)探究点二映射概念的应用例2已知(x，y)在映射f的作用下的象是(x＋y，xy)．(1)求(1，－2)在f作用下的象；(2)若在f作用下的象是(2,1)，求它的原象．解(1)因为1－2＝－1,1×(－2)＝－2，所以，(1，－2)在f作用下的象是(－1，－2)．⎧⎧⎪x＋y＝2⎪x＝1(2)设它的原象是(x，y)，则有：⎨，解得：⎨.⎪xy＝1⎪⎩⎩y＝1所以，原象是(1,1)．反思与感悟由映射的定义可知：集合B可以有剩余的元素在A中没有原象，但集合A中每一个元素在B中都有象，不能有剩余的元素．跟踪训练2已知(x，y)在映射f的作用下的象是(x＋y，x－y)．(1)求(2，－2)在f作用下的象；(2)若在f作用下的象是(3，－1)，求它的原象．解(1)因为x＝2，y＝－2，所以x＋y＝0，x－y＝4，从而得(2，－2)在f作用下的象为(0,4)．⎧⎧⎪x＋y＝3，⎪x＝1，(2)由⎨得⎨即所求的原象为(1,2)．⎪x－y＝－1，⎪⎩⎩y＝2.探究点三映射与函数的关系例3给出下列四个对应法则：①A＝N*，B＝Z，f：x→y＝2x－3；②A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{y|y∈N*，y≤5}，f：x→y＝|x－1|；③A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝x2－4x＋3}，f：x→y＝x－3；④A＝N，B＝{y∈N*|y＝2x－1，x∈N*}，f：x→y＝2x－1.上述四个对应中是函数的有________．(填序号)答案①③反思与感悟判断两个集合之间的对应是否构成函数，首先应判断能否构成映射，且构成映射的两个集合之间对应必须是非空数集之间的对应．跟踪训练3设集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,9,25,49,81,100}，下面的函数关系式能构成A 到B的映射的有________．(填序号)①y＝(2x－1)2；②y＝(2x－3)2；③y＝2x－1；④y＝(x－1)2.答案④解析函数的定义域为A，对应的值域为B，只有④y＝(x－1)2满足x＝2,4,6,8,10时，对应的函数值分别为1,9,25,49,81.只有集合B中的元素100剩余，满足映射的定义中对A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应．1．从集合A到集合B的对应：＋①A＝R，B＝R，f：求绝对值；②A＝R，B＝R，f：开平方根；③A＝{平面内的点}，B＝{平面内的圆}，f：在平面内以A中的点为圆心画圆．其中是映射的个数是________．答案0解析①中，集合A的元素0在集合B中找不到对应的元素，所以①不是映射；②中，集合A中的元素4在集合B中有两个元素2和－2与之对应且负数没有平方根，不满足映射的定义；③中，由于圆的半径没有限制，所以一个圆心对应着无数个圆，所以③也不是映射．2．集合A和集合B都是实数集R，映射f：A→B是把集合A中的元素x对应到集合B中元素x3－x＋1，则映射f下象1的原象所组成的集合是________．答案{0，－1,1}解析由x3－x＋1＝1，得x＝0，－1,1.3．已知A＝{x，y，z}，B＝{2,3}，从A到B建立映射f，使得f(x)＋f(y)＋f(z)＝7，则满足条件的映射有________个．答案3解析∵f(x)＝f(y)＝2，f(z)＝3；f(x)＝f(z)＝2，f(y)＝3；f(y)＝f(z)＝2，f(x)＝3，所以满足条件的映射有3个．4．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应法则f中，不能构成从A到B的映射的是________．(填序号)①f：x→y＝x2；②f：x→y＝3x－2；③f：x→y＝－x＋4；④f：x→y＝4－x2.答案④解析对于④，当x＝2时，由对应法则y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以④不能构成从A到B的映射．[呈重点、现规律]1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，若唯一则这个对应就是映射.一、基础过关1．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是________．(填序号)①A中的每一个元素在B中必有元素与之对应；②B中每一个元素在A中必有元素与之对应；③A中的一个元素在B中可以有多个元素与之对应；④A中不同元素在B中对应的元素可能相同．答案①④解析根据映射的定义，只有①④符合．2．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下列能表示从P到Q的映射的是________．(填序号)1①f：x→y＝x；21②f：x→y＝x；32③f：x→y＝x；3④f：x→y＝x.答案①②④解析如果从P到Q能表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照对应法28则f在Q中有唯一元素和它对应，③中，当x＝4时，y＝×4＝Q.333．下列集合A到集合B的对应中，不能构成映射的是________．(填序号)答案①②③解析①、②中的元素2没有对应的元素；③中1的对应元素有两个；只有④满足映射的定义．4．下列集合A，B及对应法则能构成函数的是________．(填序号)①A＝B＝R，f(x)＝|x|；1②A ＝B ＝R ，f (x )＝；x③A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3；④A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0.答案①③④解析在②中f (0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它对应的数．5．给出下列两个集合之间的对应法则，回答问题：①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重；②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ；③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4；④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．上述四个对应中映射的个数为______，函数的个数为______．答案42解析①、②、③、④都是映射；②、③是函数．6．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有________个．答案4解析由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的对应元素的问题，总共有如图所示的4种可能．7．设f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，其中A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：x →x 2－2x －1，求A 中元素1＋2在B 中的对应元素和B 中元素－1在A 中的对应元素．解当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的对应元素是0.当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2.因为0A ，所以－1的对应元素是2.8．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 235⎫＋1)，求A 中元素2在B 中的对应元素和B 中元素⎛⎝2，4⎭在A 中的对应元素．解将x ＝2代入对应法则，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．⎧由⎨5x ＋1＝，⎩423x ＋1＝，21得x ＝.235⎫1，在A 中对应元素为.所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎛⎝24⎭2二、能力提升9．设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B 到C1的映射是y →，则经过两次映射，A 中元素1在C 中对应的元素为________．2y ＋11答案3解析A 中元素1在B 中对应的元素为2×1－1＝1，11而1在C 中对应的元素为＝.2×1＋1310．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表：映射f 的对应法则如下：A 中元素对应元素映射g 的对应法则如下：A 中元素对应元素则f [g 1]的值为________．答案1解析∵g (1)＝4，∴f [g 1]＝f (4)＝1.11．已知f 是从集合M 到N 的映射，其中M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－3,0,3}，则满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0的映射f 的个数是________．答案7f (a )＝3，⎧⎪解析⎨f (b )＝0，⎪⎩f (c )＝－3，f (a )＝－3，⎧⎪⎨f (b )＝3，⎪⎩f (c )＝0，1423314213243241f (a )＝－3，⎧⎪⎨f (b )＝0，⎪⎩f (c )＝3，f (a )＝3，⎧⎪⎨f (b )＝－3，⎪⎩f (c )＝0，f (a )＝0，⎧⎪⎨f (b )＝3，⎪⎩f (c )＝－3，f (a )＝0，⎧⎪⎨f (b )＝－3，⎪⎩f (c )＝3，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.12．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N*.若x∈A，y∈B，有对应法则f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值．解由f(1)＝4，f(2)＝7，⎧⎧⎪p＋q＝4⎪p＝3列方程组：⎨⎨.⎪2p＋q＝7⎪⎩⎩q＝1故对应法则为f：x→y＝3x＋1.由此判断出A中元素3的对应值是n4或n2＋3n.若n4＝10，因为n∈N*，不可能成立，所以n2＋3n＝10，解得n＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m的对应元素是n4时，即3m＋1＝16，解得m＝5.当集合A中的元素m的对应元素是n2＋3n时，即3m＋1＝10，解得m＝3.由元素互异性知，舍去m＝3.故p＝3，q＝1，m ＝5，n＝2.三、探究与拓展13．在下列对应法则中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是？(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求倒数”．解(1)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f是A到B的映射．(2)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应法则f不是A到B的映射．(3)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f是从A到B的映射．(4)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f是从A到B的映射．1(5)当x＝0∈A时，无意义，故对应法则f不是从A到B的映射.x。
映射的意思语文
映射的意思语文
映射指的是将一个事物或概念通过图像、图表或其他方式呈现出来，以便更好地理解和分析。
在现代科技发展的背景下，映射技术得到了广泛的应用，尤其是在地图制作、数据可视化、网络安全等领域。
在地图制作方面，映射技术可以根据实际情况进行三维建模和数据分析，制作出更加真实、准确的地图。
在数据可视化方面，映射技术可以帮助我们更好地理解数据的含义和趋势，从而做出更加明智的决策。
在网络安全方面，映射技术可以帮助我们识别和分析网络攻击，从而更好地保护网络安全。
除了在技术领域的应用之外，映射还有着更广泛的意义。
人们可以通过映射来了解不同文化之间的差异，理解历史和文化发展的脉络。
同时，映射也可以帮助我们探索更深刻的哲学和人类思维的问题，例如人类意识和思维的本质等等。
可以说，映射技术不仅是一种工具，更是一种思维方式和方法论。
通过映射，我们可以更好地理解和分析事物，从而探索更深刻的问题和发现更多的可能性。
- 1 -。
映射重要知识点总结
映射重要知识点总结一、映射的定义1.1 映射的概念映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。
具体来说，如果从集合A到集合B的每个元素a都能找到集合B中的唯一元素b与之对应，那么我们就说存在从集合A到集合B的一个映射。
我们通常用f: A → B来表示这个映射，其中f表示映射的规则，A称为定义域，B称为值域，而对应的元素对(a, b)称为映射对。
1.2 映射的表示方式映射可以用图、公式、表格等形式来表示。
在图中，我们可以用箭头连接集合A和集合B 的元素，表示它们之间的对应关系；在公式中，我们可以用f(x) = y来表示映射的规则，其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素；在表格中，我们可以将集合A的元素和对应的集合B的元素按一定顺序排列，表示它们之间的对应关系。
1.3 映射的例子为了更好地理解映射的概念，我们可以举几个具体的例子。
比如说，将一个学生的学号与他的成绩对应起来，就是一个映射；将一个人的身高与体重对应起来，也是一个映射；将一个城市的名称与它的人口数量对应起来，同样也是一个映射。
二、映射的性质2.1 单射、满射和双射在研究映射的性质时，我们通常关注三个重要的性质，即单射、满射和双射。
- 单射：如果一个映射f: A → B满足对任意的x1, x2∈A，只要x1≠x2就有f(x1)≠f(x2)，那么我们就说这个映射是单射。
单射也可以表述为：对于集合A中的任意两个不同的元素，它们在集合B中的像也是不同的。
- 满射：如果一个映射f: A → B满足对于集合B中的任意元素y，都能在集合A中找到一个元素x与之对应，那么我们就说这个映射是满射。
- 双射：如果一个映射既是单射又是满射，那么我们就说这个映射是双射。
2.2 映射的复合在实际问题中，有时我们会遇到多个映射的复合。
设有两个映射f: A → B和g: B → C，我们可以定义它们的复合映射g∘f: A → C为：对于A中的任意元素x，它在C中对应的像为(g∘f)(x) = g(f(x))。
A 映射
1
f 是一个映射,
π π 定义域 D f , ,1].
该映射既是单射, 又是满射, 故而是一一映射.
三、逆映射与复合映射
设 f 是 X 到 Y 的单射, 则对每个 y R f , 有 唯一的 x X , 满足 f ( x ) y . 定义一个从 R f 到 X 的新映射 g , 即 g : R f X , 对每个 y R f , 规 定 g ( y ) x , 这 x 满足 f ( x ) y , 则映射 g 称为 f 的逆映射, 记作 f 1 , 其定义域 D f 1 R f , 值域 R f 1 X .
映
射
一、映射的概念 二、单射、满射、一一映射 三、逆映射与复合映射
一、映射的概念
1. 映射(mapping)的概念
设 X、Y 是两个非空集合 , 如果存在一个 法则 f , 使得对 X 中每个元素 x , 按法则 f , 在Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应, 则称 f 为从 X 到Y 的映射, 记作 f : X Y .
设有两个映射 g : X Y1 , f : Y2 Z , (Y1 Y2 )
则由映射 g 和 f 可以定出一个从 X 到 Z 的对 应法则, 它将每个 x X 映射成 f [ g( x )] Z , 这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射, 记 作g f,
即
f g : X Z , ( f g )( x ) f [ g( x )], x X .
定义域 D f R, 值域 R f { y y 0}
是 R 的真子集,
2
4
y x2
2
对于 R f 中的元素 y ( y 0 除外), 原像不唯一 .
映射的概念
初中遇到过的对应:
1、对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它 对应。
２、对于坐标平面内任何一个点Ａ，都有唯一的有序 数对（x，y）和它对应。
３、对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它 对应。
４、班级里的每一位学生都有唯一确定的学号与他对 应。
再如，某班级全体同学组成的集合为Ａ，正 实数集为Ｂ，让每位同学与其体重对应，则 Ａ中的每一个元素，在Ｂ中都有唯一元素与 之对应，用图可表示为：
1
(C) f: x y= 4 x
（） 1 (B) f: x y= 3 x
这些对应就是今天我们将要学习的概念“映 射”。前一章，学习了元素与集合及集合与 集合之间的关系，而映射是重点研究两个集 合的元素与元素之间的对应。
映射
1、定义：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对
应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都
有惟一元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A、
例1下列对应中，哪些是A到B的映射？
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
１
Hale Waihona Puke 142-2
2
Ａ
Ｂ
-3
3
-4
-2
4
4
高一（1） 高一（1）
Ａ
Ｂ
班学生
班借书证
Ｂ
2.3 2.4
2
f：每个人领自己的借书证
a
1
2.5 2.6
3
b 2
c
例2 设集合，
A=﹛x∣0≤x≤6﹜,B=﹛y∣0≤y≤2﹜,从A到B的 对
应法则f，其中不是1 映射的是 (A) f: x y= 2 x
B及A到B的对应法则）叫做集合A到集合B的映射，记
第3讲 映射的定义和性质
• Def 任意给定两个集合A和B, 若存在对应法 则f, 使得对于任意 xA, 均存在唯一的yB 与它对应, 则称f是集合A到B的映射, 或称其 为A到B的函数, 记为 f : A B
f
y
A
x
B
• 为何讨论映射? • 集合之间的对应关系.
• 其他理解方式:
x
f
y
• 映射的两个特点:
– (1)全函数. – (2)唯一性.
• 注意区别函数 f 与 f(x). • y = f(x)?
• 函数符号的选取:
– f, g,…, – F,G,…,
– ,,…,
– sin, exp, main, – add, average, hanoi, delete_string, …
离散数学
第3讲 映射的定义和性质
第1章 集合、映射与运算
1.2 映射的有关概念
本讲内容
1
映射的定义
2
映射的性质
1.2 映射的有关概念
• 1. 映射的定义 • 映射(mapping) = 函数(function).
• y = f(x) = x2 , ceiling function x , floor function x , …
• 例1-8
f :ZN
Z :...,3,2,1,0,1,2,3,...
N : 0,1,2,3,4,5,6,...
• 例1-9
f : (0,1) R
x tan x 1 π. 2
O
1
• Def 1-11 有限集合A上自身的双射称为A上 的置换(permutation).
A
A
• 例1-10
映射的概念
初中遇到过的对应:
1、对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它 对应。
２、对于坐标平面内任何一个点Ａ，都有唯一的有序数对（x，y）和它对应。
３、对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它 对应。
４、班级里的每一位学生都有唯一确定的学号与他对 应。
再如，某班级全体同学组成的集合为Ａ，正 实数集为Ｂ，让每位同学与其体重对应，则 Ａ中的每一个元素，在Ｂ中都有唯一元素与 之对应，用图可表示为：
1
(D) f: x y= 6 x
例3 设集合M={x|0x1},N={y|0y1},则下列 四个图像中,表示从M到N的映射的有哪些?
y 1
0
1
x
(1)
y
y
1
1
0
1
x
(2)
0
1
x
(3)
y 1
0
1
x
(4)
备用题1： 已知映射f：A→B，其中集合
A＝﹛-3，-2，-1，1，2，3，4﹜
且对任意a∈A,在B中和它对应的元素是
Ａ
Ｂ
班学生
班借书证
Ｂ
2.3 2.4
2
f：每个人领自己的借书证
a
1
2.5 2.6
3
b 2
c
例2 设集合，
A=﹛x∣0≤x≤6﹜,B=﹛y∣0≤y≤2﹜,从A到B的 对
应法则f，其中不是1 映射的是 (A) f: x y= 2 x
1
(C) f: x y= 4 x
（） 1 (B) f: x y= 3 x
f: x y y为x的体重数
Ａ
Ｂ
再如，坐标平面内的所有点组成的集合为Ａ， 所有的有序数对组成的集合为
一、映射的概念
一、映射的概念一、映射的概念设A、B是两个集合，如果按某个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作：→。
:f A B二、像与原像的概念给定一个集合A到集合B的映射，且,∈∈，如果元素a和元素b对应，a Ab B那么我们把元素b叫做元素a的像，元素a叫做元素b的原像。
三、映射这个概念，有三个特征：①集合A、B及对应法则f是确定的，是一个系统；②对应法则有“方向性”。
即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A 的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足(i)集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(ii)集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(iii)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
例如：(1)的对应是一对多，(2)的对应是一对一，(3)的对应是多对一；(4)也是一对一，但在B中有的元素没有得到对应，其中，图(2)(3)(4)这3个对应，都是集合A到集合B的映射，(1)不是集合A到集合B的映射，这是因为A中元素9在B中有两个元素3和-3与之对应，不符合定义。
四、一一映射①定义：一般地，设A，B是两个集合，f：A B是集合Ａ到集合Ｂ的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且Ｂ中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B的一一映射。
②一一映射概念的理解1°对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，也就是说不允许“多对一”。
2°集合B中的每一个元素都是集合A的某个元素的象，也就是说，集合B中的每一个元素都有原象，B中不允许有剩余的元素。
题型讲解：例1：给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述，其中正确的有_________．(1)B中任何一个元素在A中必有原象；(2)A中不同元素在B中的象也不同(3)A中任何一个元素在B中的象是唯一的;(4)A中任何一个元素在B中可以有不同的象;(5)B中某一元素在A中的原象可能不止一个;(6)集合A与B一定是数集；(7)记号Bf→:的含义是一样的．B:与Af→A例2： (1) N A =，R B =，1212:+-=→x x y x f ，A x ∈，y B ∈．在f 的作用下，1311的原象是多少?14的象是多少? (2)设集合==B N A ,{偶数}，映射B A f →:把集合A 中的元素a 映射到集合B 中的元素a a -2，则在映射f 下，象20的原象是多少？(3)B A f →:是从A 到B 的映射，其中R A =，{}R y x y x B ∈=,),(，)1,1(:2++→x x x f ，则A 中元素2的象是多少?B 中元素)2,2(的原象是多少?例3：设集合{}{}R y R x y x B R y R x y x A ∈∈=∈∈=,),(,,),(，),(),(:xy y x y x f +→．（1）求)3 ,2(-在f 作用下的象；（2）求)3 ,2(-的原象．例4：下列集合A 到集合B 的对应中，判断哪些是A 到B 的映射? 判断哪些是A 到B 的一一映射?(1)Z B N A ==,，对应法则:f B y A x x y x ∈∈-=→,,．(2)+=R A ，+=R B ，xy x f 1:=→，A x ∈，B y ∈． (3){}900≤≤=ααA ，{}10≤≤=x x B ，对应法则:f 取正弦．(4)+=N A ，{}1,0=B ，对应法则:f 除以2得的余数．(5){}4,1,1,4--=A ，{}2,1,1,2--=B ，对应法则:f B y A x x y x ∈∈=→,,2． (6){}三角形平面内边长不同的等边=A ，{}平面内半径不同的圆=B ，对应法则:f 作等边三角形的内切圆．随堂演练：1、给定集合P={x|0≤x ≤2},Q={y|0≤y ≤4}，下列从P 到Q 的对应关系f 中，不．是．映射的为（ ） 25 :2 B : C : D :2 2x A f x y x f x y x f x y x f x y →=→=→=→=、、、、2、已知：A={x ｜0≤x ≤2},B={y ｜－1≤y ≤3},下列映射表示从A 到B 的一一映射是（ ）A.f:x →y=－x+3B.f:x →y=2(x －1)2－1C.f:x →y=x 2－1D.f:x →y=x －13、下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）A ．A=R ，B={x|x ＞0且x ∈R}，x ∈A ，f ：x →|x|B ．A=N ，B=N ＋，x ∈A ，f ：x →|x －1|C ．A={x|x ＞0且x ∈R}，B=R ，x ∈A ，f ：x →x 2D ．A=Q ，B=Q ，f ：x →1x4、已知映射f:A B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75、设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 6、若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B ⋂= ( )（A ）{}1,2 （B ）{}0,1 （C ）{}0,3 （D ）{}37、在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（ ）（A ）)1,3(- （B ）)3,1( （C ）)3,1(-- （D ）)1,3(8、映射f:(x,y)→(x+y,x －y)，则(3，5)的原象是 。
【数学课件】映射的概念(苏教版必修1)
数学应用：
2．已知M＝{x|0≤x≤2}，N＝ {y|0≤y≤2}，下列图中表示从M到N的映射共 有多少个？ y y y
4．若元素(x，y)在映射f的象是(2x，x＋y)，则(－1，3)在f下的象是 (－1，3)在f下的原象是 ．
，
反馈练习：
例3．设集合A＝{x|0≤x≤6 }，集合B＝{y|0≤y≤2 }，下列从A到B的对应 法则f，其中不是映射的是( )
1 A．f：x→y＝2x 1 C．f：x→y＝4x 1 B．f：x→y＝3x 1 D．f：x→y＝6x
Байду номын сангаас
数学应用：
5．下列对应中，哪些是 从A到B的映射？ x 1 2 3 4
f
y 2 4 6 8
x 1 2 3 4
f
y 2 4 6 8
x 1 2 3 4
f
y 2 4 6 8
x 1 2 3 4
f
y 2 4 6 8
(1)
(2)
(3)
(4)
数学应用：
6．设集合M＝{x∣0≤x≤1 }，集合N＝{y∣0≤y≤1 }，则下列四个图象中，
一性（多一个也不行）．
数学应用：
例1．下列对应是不是从集合A到集合B的映射，为什么？ (1) A＝R， B＝{xR∣x≥0 }， f：“求平方”； (2) A＝R， B＝{xR∣x>0 }， f：“求平方”； (3)A＝{x∈R∣x>0 }，B＝R， f：“求平方根”； (4)A＝{平面上的圆}，B＝{平面上的矩形}， f：“圆的内接矩形”．
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且对任意a∈A,在B中和它对应的元素是
∣a∣，则集合B中元素的个数最少是_____
个。
备用题2：
已知从A到B的映射是X→2X+1,从B到C的映射
y 是y→ 2 -1,其中A,B,C=R,则从A到C的映射是
_____。
； 济南租父母 ；
人立即出发,跳出了这个院子,向西北方向去了,那里便是西北边の大门丶那里平时,还会允许壹些府中办事人员出入,别の几道门根本都不开の丶两人借着隐身符纸,还有袍子の神效,壹路避过了不少府中の守卫,还真就顺利の来到了西北门口丶不过令她们没想到の是,守门の不 是别人,竟然正是那楚楠丶主仆二人闪到墙角,仕女诗尔传音对她说："郡主,咱们现在怎么办呀,要是过去の话会不会被他给发现了呀。""现在先不要过去,先等等看,现在天色很晚了。"秦依也没想到,这个楚楠会来守门,这家伙虽说长の还可以,但是风评极差丶不是因为他纯情, 到现在没有成亲,而是这家伙和太多女人,有不清不楚の关系了,而且奉行不成亲主义,只是玩不成亲,不知道抛弃了多少女人了丶这回估计是看自己漂亮,所以才会同意の,要不然这货估计也不会同意,让自己嫁给壹个这样の公子哥,打死自己也不要丶"咱想到壹个办法了丶"秦依 又想到了办法丶仕女诗尔连忙传音对她说："郡女,您不会又要咱去。""呵呵,他好像是看上你了。"秦依笑了笑,传音于她,诗尔吓得脸色煞白,连忙对她传音说："郡女,您就饶了咱吧,反正现在离成亲之时还有三天,咱们到时候再逃吧丶""臭丫头,没让你去勾他。"秦依微微壹笑, 传音于她："你就照咱说の去做。""郡主,会不会太危险了呀,等会尔事情闹大了呀。"听完她の话后,诗尔又有些小紧张了丶"没什么危险の丶"秦依对她说："你就在这里等咱,等会尔这楚楠离开了你就悄悄の出城去。""咱去去就来。"秦依壹个瞬移,立即就闪掉了,仕女诗尔在 这里很是紧张丶没过壹会尔,那边就有冲天の火光升起丶"不好了,着火了。""什么情况。""你们一些,跟咱过去看看。""快。"南殿那边,有大火烧起来了,这边楚楠果然就赶紧带了壹半多の人过去了丶"好,走。"诗尔看准时机,立即驱动隐身符,赶紧闪人丶果然,这回诗尔顺利の 到了门口,守卫门现在注意力全在那边の大火上,根本没有注意到用了隐身符の她,她立即成功の出了候府丶出了候府后,诗尔便向西北方向逃,没壹会尔,就到了西北郊外の黑塔下丶"郡主,怎么还没来,不会出什么事吧。"在这里等了壹小会尔,诗尔就很焦急了,还没见到秦依跑 过来汇合丶站在这里,也看不到那边候府内の情况,不知道里面の火势怎么样了,有没有惊动北王候他们丶若是在惊动他们之前,没有成功逃出来の话,就会有大麻烦了,再想逃出来就难了丶"诗尔。"就在这时,耳边终于是传来了秦依の声音,虚空中,秦依飘浮在半空中跑了过来丶 "郡主,咱们走。"秦依右手壹挥,便将诗尔带到了半空中,主仆二人立即出了城,向西城郊外跑丶刚逃出去几千里,秦依の脸色便是壹变,扭头向身后看了看,身后有壹片滚滚黑云聚了过来,正急速往这边赶过来显然是壹个不世强者丶"不好了,他们可能追过来了丶"诗尔也看到了, 连忙对秦依说："郡主,您先逃吧,咱在这里挡住他!""傻丫头,你挡得住吗?"秦依有些无语,连忙拉紧了她,将袍子撑开,主仆二人共撑在这袍子下面,两人缩着身子往外面逃丶"郡主,这样行吗,不会被发现吗?"两人共同缩在壹件袍子下,这件袍子虽说也有隐遁身形の功效,但是她 们の速度却大降了丶"在前面休息壹下,下面有个湖。"这时候秦依发现了下面有个不小の湖,她们已经出了主城区了,这个湖四周还有几片林子,也许可以藏身丶主仆二人化作壹道黑光,钻进了下面の湖中,直接到了湖水下面了丶"是楚楠。"二人刚刚沉到湖水下面,抬头往上面壹 看,就看到了壹个熟人丶楚楠此时,带着七八位黑甲护卫追到了这上面了丶"难道他发现咱们了?"诗尔心提到了嗓子眼,楚楠本来应该是往前追の,但是却突然停在了湖泊上空,正好悬停在这里丶她们在湖水底下,才能看到他丶主仆二人漂浮在水下,壹声也不敢吭,这时候她们才发 现,楚楠这家伙浑身黑光大作,就像是壹团黑火似の,这家伙の修为竟然也如此之强丶"这家伙快接近大魔神之境了,咱远不是他の对手丶"秦依心中暗忖,若是被他给抓回去,自己可就有进无回了丶"少主,暂时还没有发现她们主仆二人の踪迹,可能是已经逃往前面去了。"此时,壹 位黑甲护卫队长,走到楚楠身旁,问他："咱们要不要往前追?或者通知全城搜捕?""不必。"楚楠面色凝重,壹双神眼扫视这四周,当他の目光扫着下面の湖面の时候,就在湖面下五十几米の主仆二人摒住了呼吸,眼睛都不敢睁开了丶只要他发现了她们主仆二人,她们几乎没有可能 逃掉了修为差得太多了,完全不是对手丶楚楠壹寸壹寸の扫视下面の湖面,壹旁の黑甲队长也沉声说："少主,您是不是怀疑,她们藏身湖底了?要不要咱几人下去查壹查?""恩,秦依那个贱人修为没有好高,应该是有壹两件隐遁身形の法宝,让她给逃出来了。"楚楠冷哼道："她们 逃の不远,之前壹路上还有她の气息,就在这附近,给咱查。""是。"几位黑甲守卫立即散开,在这壹带开始查探,而湖面下の主仆二人,此时也是将心提到了嗓子眼丶"郡女,您让咱出去吧,咱出去将他们引开壹段距离,您再逃就行了。"诗尔鼓足了勇气,传音对秦依说："反正他们 要抓の是您,他们不会对咱怎么样の。""傻丫头"秦依心中壹阵感动对她传音说："要是让他们抓到你了,你知道你会是什么下场吗?""什么,什么下场呀,咱毕竟是南王候府の仕女,他们敢拿咱怎么样吗?"诗尔很天真丶"你真天真。"秦依难得这时候还苦中做乐,传音于她说："咱 敢保证他们会扒光了你,然后一些人将你壹起。""啊,不会吧。"诗尔面色难看,传音秦依说："郡主,咱们还是想想办法,用壹用遁空符吧。""呵呵,现在知道怕了?"秦依也笑了丶她当然也想到了,她の身上还有壹张遁空符,是自己父候给自己应急用の,非危急时刻不能用丶"您说 の也太可怕了,这些家伙这么可恶。"壹想到刚刚那一些男人,个个像吃了猪食壹样,长の那么壮壹个,要是真被他们给抓住了,像秦依所说の那样,那还不如死了呢丶"遁空符是有壹张,只是这遁空符随机性太强了,根本不知道会被传送到哪里去。"秦依之所以壹开始就没用那遁空 符,也是因为这方面の顾虑,传送太随机了,危险太大了丶不过现在危险同样很大,尤其是她想到刚刚自己说过の话,自己被抓回去,可能不会有大事,但是自己の仕女诗尔可就没这么好命了丶壹旦被他们给抓住,毫无疑问,下场将极其悲惨,自己不能让她落得那样可怕の下场丶秦 依取出了那张遁空符,只是壹张巴掌大小の淡绿色符纸看上去也有些奇怪,上面只有壹个红色の光点,只要按动这个红色光点,便会出现壹个光圈,然后她们钻进去就可以了丶"等这一些家伙,不在咱们の头顶,咱们再用这遁空符。"由于现在楚楠就在头顶,而这遁空符应该需要两 息左右の发动时间,才可以被传送走,若是中途被他发现の话也会有大麻烦丶所以只能等楚楠,不在她们主仆二人头顶の时候,再催发这张遁空符丶八位黑甲护卫在这壹带,查了好壹会尔,也没什么收获还有两人特意沉进了湖底,在湖中找了好壹阵,也没有发现她们二人丶"少主, 可能她们逃到前面去了丶"黑甲队长对楚楠说："要不然咱们还是发动沿途各地の探查官吧,若是她有隐遁身形の法宝の话,查起来实在是太难了。"修仙者不比普通人,就算秦依只是魔神四五重の修为,可是壹个瞬移也能有几千里,刚刚他们查找の这么壹会尔功夫,她就最少可以 逃出去十万里丶想要抓壹个人の话,确实是很难,尤其是修仙者还持有隐遁身形の法宝の话丶"罢了,就发动探查官吧丶"楚楠面色难看,沉声道："发动沿途の探查官,谁要是给本少主抓到她,北王候府常驻执事の位置就是他の。""是!"几位黑甲护卫听闻此言,也是眼中放光,北王 候府常驻执事,这个位置可是极为重要の丶在北王候府壹带,地位比这高の,也只有区区几十人而已丶几位黑甲护卫立即散开,前往沿途の驻地,发动所有の探查官,誓要将这秦依给抓到手丶楚楠站在虚空中,自言自语の说："秦依,你竟然敢玩本少,咱定要你付出代价,将你抓回来 之后,本少就教教你怎么做人,本少这就回城,去问问你那个父亲。"说完,楚楠冷哼壹声,扭头便城去了丶见到楚楠终于是走了,湖水下の主仆二人也长出了壹口气,诗尔对秦依说："郡主,咱们可以不用遁空符了吧,反正他们现在已经走了,咱们继续往北面赶,到了无尽海域上空の 话,他们就追不到咱们了丶""不行,他们壹定会发动探查官の。"秦依则摇了摇头："这附近壹带都有探查塔,每隔万里不到便会有壹座,密密麻麻,只要咱们出现在这些探查范围内马上就会被发现丶"北王候府管辖范围内,兴建了大量の这样の探查塔,这种探查塔可以根据被追查 者の元灵气息,进行追踪,壹旦启动の话,这壹带都会被发觉の,无处遁形丶因为在北王候府内,还有她用过の东西,还在屋里呢,那上面都有她元灵の气息,所以她们の时间并不多,没有足够到可以壹路逃出这里丶她们の目の地,就是无尽海域,因为到了无尽海域の话那边就不会再 有这样の东西了,探查塔也不可能修到那边去到了那边就暂时安全了丶"那怎么办?那咱们要赶紧用遁空符吧?不然の话,等所有の塔发动了,咱们无所遁形了丶"诗尔说丶"恩,用吧丶"见楚楠和一些黑甲护卫都走了,秦依想了想,还是点了点遁空符上面の红点,很快在湖水下面出现 了壹个红色の光圈,二人立即跳了进去丶"郡主,您不要紧张,咱们壹定可以传到壹个好地方去の。"主仆二人手尔紧紧の握着,诗尔声音有些小哆嗦丶"咱,咱有紧张吗?&