2018人教版八年级-平方差公式
数学人教版八年级上册平方差公式.2.1-平方差公式说课稿
《15.2.1 平方差公式》说课稿各位评委，各位老师，大家好！今天我说课的内容是人教版八年级上册第十五章第二节的平方差公式(随即板书课题)。
下面我从教材分析、学情分析、教学目标及重难点分析、教法分析与学法分析、教学过程、板书设计等六个方面加以说明。
（下划线部分不出现在PPT中，进行现场说明）一、教材分析：1、教学内容：在七年级上册的学习中，学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类项、去括号等内容，而在此之前又学习了多项式的乘法，已经掌握了多项式与多项式相乘的法则。
为此本节课关注学生对公式的探索过程，有意识的培养学生的推理能力，鼓励学生经历根据特例进行归纳、建立猜想、用符号表示，有条理地表达自己的思考过程，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。
根据《新课标》要求和教材的编写意图，本节课的教学内容有三点：（1）平方差公式的推导；（2）平方差公式的几何论证；（3）平方差公式的应用。
2、教材的地位、作用及前后联系：平方差公式这一内容是在学习整式乘法的基础上得到的，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数式的变形中有着举足轻重的地位。
可以说，它是构建学生代数知识结构，培养学生化归的数学思想和换元的数学方法的重要载体，在教材中起着承上启下的作用。
二、学情分析：1、有利积极因素：学生在学习上一章一次函数时经历了学习上的困难，学习兴趣遭受到了打击，进入十五章的学习后，体验到了成功的喜悦，同时，有了对式的运算“快”，“准”的积极心理，已具备学习公式的知识与技能结构。
2、不利消极因素：一方面由于本课内容的特点所决定，运用平方差公式的关键是认清两个多项式相乘是否具有(a+b)(a-b)的形式，由于两个多项式相乘的形式复杂多变，学生较易被假象所迷惑，另一方面学生初学公式只有原始的换元思想，有些同学多项式相乘还不够熟练。
三、教学目标及重难点分析：1、教学目标：（1）知识与技能：①理解平方差公式的获得过程；②掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公式进行简单的运算。
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= 49－4m4
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找一找、填一填
(7ab3b)(7ab3b)
(a-b)(a+b) a b a2-b2
(1+x)(1-x) 1 x 12-x2 (-3+a)(-3-a) -3 a (-3)2-a2 (1+a)(-1+a) a 1 a2-12 (0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1 ( 0.3x)2-12
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⑴ 102×98= (100＋2)(100－2)=9996
⑵
50
2 3
×49
1 3
=
(50＋
23)(50－
23)=2499
5 9
⑶ 59.8×60.2=(60－0.2)(60+0.2)=3599.96
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合理加括号 相反为b
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
讨论
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你能根据图15.2-1中的面积说 明平方差公式吗?
a b
S1 S2
a 图15.2-1
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b b
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(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
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(1) 803×797;(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . 解: (1) 803×797
八年级数学平方差公式教案人教版
八年级数学平方差公式教案人教版第一章：平方差公式简介1.1 平方差公式的定义引导学生回顾平方的概念，例如：a^2 表示a 与自身的乘积。
介绍平方差公式的概念：a^2 b^2 = (a + b)(a b)。
1.2 平方差公式的推导通过具体的例子，引导学生理解平方差公式的推导过程。
利用图形或实际情境，帮助学生直观地理解平方差公式。
第二章：平方差公式的应用2.1 解一元二次方程介绍如何使用平方差公式解一元二次方程，例如：x^2 9 = 0。
引导学生通过平方差公式将方程化简，得到x 的值。
2.2 解决实际问题提供一些实际问题，例如：一个长方形的长比宽多9米，长方形的面积是多少？引导学生使用平方差公式解决这些问题，例如：(长+ 宽)(长宽) = 面积。
第三章：平方差公式的拓展3.1 平方差公式的变形介绍平方差公式的变形形式，例如：a^2 b^2 = (a b)(a + b) 和(a b)^2 = a^2 2ab + b^2。
引导学生理解这些变形形式与原平方差公式的关系。
3.2 平方差公式与其他数学概念的联系探讨平方差公式与因式分解、完全平方公式等其他数学概念之间的联系。
提供一些例子，引导学生理解这些联系在解决数学问题中的应用。
第四章：练习与巩固4.1 练习题提供一些练习题，巩固学生对平方差公式的理解和应用能力。
包括一些填空题、选择题和解答题，覆盖平方差公式的不同方面。
4.2 小组讨论组织学生进行小组讨论，分享他们在练习中遇到的问题和解决方法。
鼓励学生相互解释和帮助，增强他们对平方差公式的理解和记忆。
强调平方差公式的关键点和易错点，帮助学生巩固知识。
5.2 提高提供一些提高难度的练习题，挑战学生的思维能力。
引导学生思考如何将平方差公式应用到更复杂的问题中，提高他们的解题技巧。
第六章：平方差公式的综合应用6.1 复合运算引导学生将平方差公式应用于复合运算中，例如：计算(3x + 4)(3x 4) 的结果。
利用平方差公式简化计算过程，得到复合运算的结果。
八年级数学平方差公式
几何图形面积计算
计算矩形面积
在几何图形中，矩形的面积可以表示 为长乘以宽，即 $S = ab$。当长和 宽相差不大时，可以利用平方差公式 近似计算面积。
计算平行四边形面积
平行四边形的面积可以表示为底乘以 高，即 $S = ah$。当底和高相差不大 时，同样可以利用平方差公式进行近 似计算。
实际问题解决策略
公式形式及推导过程
公式形式： (a+b)(ab)=a²-b²
推导过程
=a²ab+ab-b²
=a²-b²
左边 =(a+b)(ab)
=右边
适用范围及注意事项
适用范围：平方差公式适用于所有实数 范围内的运算，包括正数、负数以及0。
在进行复杂运算时，可以结合其他公式 或定理进行推导和计算。
在进行因式分解时，需要注意符号问题 ，确保分解后的因式与原式相等。
完全平方公式定义
阐述完全平方公式的概念， 即形如$(a+b)^2$或$(ab)^2$的代数式展开后得 到的公式。
完全平方公式推导
通过代数运算，展示如何 从$(a+b)^2$和$(ab)^2$推导出完全平方公 式。
完全平方公式应用
举例说明完全平方公式在 因式分解、化简求值等问 题中的应用。
立方差、立方和公式推导
THANKS
感谢观看
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
平方差公式的基本形式
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a$和$b$是任意实数。
平方差公式的推导过程
利用分配律和整式的乘法法则，可以将$(a + b)(a - b)$展开为 $a^2 - ab + ab - b^2$，化简后得到$a^2 - b^2$。
人教版八年级上册平方差公式教学教学课件
(2)原式
=(100+2)(100-2)
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
=1002－22
= y2－22－y2-5y+y+5
=10 000－4
=-4y+1.
=9 996.
人教版八年级上册 14.2.1 平方差公式 教学课件
人教版八年级上册 14.2.1 平方差公式 教学课件
今天我们学习了什么？
=4 x2－1
观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你 又发现什么规律？ 等号的左边：两个数的和与差的积， 等号的右边：是这两个数的平方差.
人教版八年级上册 14.2.1 平方差公式 教学课件
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平方差公式
对于大家提出的猜想，我们一起来进行证明．
(1) (a+b)(a−b) ； (2) (a−b)(b−a) ; (3) (a+2b)(2b+a); (4) (2a−b)(2a+b) ; (5) (2x+y)(y−2x).
(不能) (第一个数不完全一样 ) (不能) (不能) (能) (不能)
人教版八年级上册 14.2.1 平方差公式 教学课件
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2.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是
( （2）（5）（6） )
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b－a)；
（3）(－a+b)(a－b)； （4）(x2－y)(x+y2)；
（5）(－a－b)(a－b)； （6）(c2－d2)(d2+c2).
1、平方差公式是特殊的多项式乘法，要 理解并掌握公式的结构特征.
人教版八年级数学上册平方差公式教学及说课课件
x2 － 12 m2－22 (2m)2 － 12 (5y)2 － z2
归纳总结，发现新知
问题3：依照以上4道题的计算回答下列问题： （1）式子的左边具有什么共同特征？ （2）它们的结果有什么特征？ （3）能不能用字母表示你的发现？
问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？
验证：
(a+b)(a - b) =a2 -b2 是否成立？
你能用简便的方法计算出它的面积吗？看谁算得快：
合作交流，探究新知
问题2：贞丰某中学计划将一个边长为a米的正方形花坛改造
成长（a+1）米，宽为（a-1）米的长方形花坛。你会计算改 造后的花坛的面积吗？它的面积发生变化了吗？
合作交流，探究新知
原来
1米
面积变了吗？
现在
a2 a米
相等吗？ (a-1)
(a+ 1)(a-1)
1米
(a+1)米
合作交流，探究新知
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
①（x ＋ 1)( x－1）； ②（m ＋ 2)( m－2）； ③（2m＋ 1)(2m－1）； ④（5y ＋ z)(5y－z）.
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1， ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22 ③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
人教版八年级数学上册平方差公式教 学及说 课课件
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五、教法学法分析
1、教法分析:本课旨在发挥教师在教学中的主导地位，提高学生在 教学活动中的主体地位，二者相辅相成，实现以教师为主导，学生 活动为主线的二中课堂教学模式。 以创设情境激发学生的兴趣；合 作探究得出公式，领会公式的结构特征；多媒体演示及讨论理解几 何意义，达到形象直观化的视觉效果以突破难点。 2、学法分析:在教学中引导学生观察、分析多项式乘法及其结果的 基础上，逐步完成平方差公式的符号语言、文字语言和图形语言的 互化，领会一般到特殊的研究数学问题的方法，最终能正确运用公 式，从而落实重点。
人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》教案1
人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》教案1一. 教材分析《14.2.1平方差公式》是人教版数学八年级上册中的一章，主要介绍了平方差公式的概念、推导过程以及应用。
本节课的内容是学生进一步学习代数知识的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和数学素养具有重要意义。
平方差公式的推导过程涉及到了完全平方公式，需要学生熟练掌握。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识，具备了一定的代数运算能力。
但部分学生对于代数式的理解和运算仍存在困难，对于公式的推导过程可能感到抽象难懂。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导。
三. 教学目标1.让学生理解平方差公式的概念，掌握公式的推导过程。
2.培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力。
3.提高学生的代数运算能力，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.平方差公式的推导过程。
2.平方差公式的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生思考和探索。
2.使用多媒体辅助教学，直观展示公式的推导过程。
3.运用例题讲解法，让学生在实际问题中运用公式。
4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示平方差公式的推导过程和应用实例。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
3.准备小组合作学习的任务，引导学生进行讨论和交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的平方差问题，如面积计算、距离计算等，引导学生思考和讨论。
通过这些问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——平方差公式。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示平方差公式的推导过程，引导学生理解和记忆公式。
在这个过程中，教师可以适时提出问题，引导学生思考和探索。
3.操练（15分钟）教师给出一些例题，让学生运用平方差公式进行解答。
在解答过程中，教师要注意引导学生理解和掌握公式的应用。
对于学生的解答，教师要及时给予反馈和指导。
人教版八年级数学上册教案《平方差公式》
《平方差公式》◆教材分析《平方差公式》是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。
对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且在设计的过程中尽量与生活中的实际问题相联系，设计一些活动增加知识的趣味性，这样可以培养学生对数学学习的兴趣，设计的习题也很有梯度，由浅入深，适应学生的需要。
为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，在教学中具有很重要地位。
◆教学目标【知识与能力目标】1. 探索并理解平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性；2. 会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。
【过程与方法目标】1.使学生经历公式的猜想、证明过程，构建以数的眼光看式子的数学素养；2. 培养学生的数学符号感和推理能力；3. 培养学生的问题解决能力，为学生提供运用平方差公式来研究等周问题的探究空间。
【情感态度价值观目标】在计算过程中发现规律,并能用符号表示,从而体会数学的简洁美。
◆教学重难点◆【教学重点】1.平方差公式的推导；2.平方差公式本质的理解与运用。
【教学难点】平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性。
◆教学过程一、引入新课【师】同学们好。
上次课我们学习了多项式的乘法法则，多项式乘以多项式有什么规律呢？（课件展示过程）【生】多项式乘以多项式要一一握手，逐项相乘之后求和。
【师】没错，可是，如果每一个多项式和多项式相乘都要这么做的话，哪怕只是给出的最简单的就要一一握手四次，有没有哪些特殊的多项式乘法，可以简化运算呢？这就是我们今天要学习的内容。
【板书】第十四章整式的乘法和因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式二、新知介绍[1]情景引入：阿凡提和巴依老爷换地【师】正课开始之前，我们先来看这样一个故事。
大家听说过阿凡提吧？有一天，巴依老爷来找阿凡提（……投影上播放故事情节，老师伴随口述，这里略）。
那现在我们来看，巴依老爷一边加了五米，一边减了五米，看起来没有什么变化，为什么阿凡提不答应换地呢？大家如果把刚才的故事用数学语言抽象出来，会是什么样的问题呢？大家动脑想一想。
人教版八年级上数学平方差公式精品课件[1]
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= 20172 － 20172+12 =1.
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6.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3， 其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3 =2x2－1.
m2-n2 y2-x2
4a2-b2 x4-y4
位置变化
符号变化 系数变化 指数变化
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3.口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)= _____b_2_-_a_2 (2)(a-b)(b+a)= _______a_2_-_b2 (3)(-a-b)(-a+b)= ______a_2_-b2 (4)(a-b)(-a-b)= ________b_2-a2
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例2 计算：
(1) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5);
(2) 102×98 . 解： (1) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
=y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =- 4y + 1.
当x＝2时，
原式=2×22-1=7.
不符合平方差公 式运算条件的 乘法，按乘法 法则进行运算.
（2）102×98 = （100＋2）(100－2) = 1002-22 = 10 000 – 4 =9996.
通过合理变形， 利用平方差公式， 可以简化运算.
人教版八年级数学上册教学平方差公式精品课件PPT
感谢观看，欢迎指导！
分析:
（2）(3x2)(3x2)
（3
2
x）
2
2
(3)(x12y)(x12y)
（ x）2
（1
2
y ）2
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
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四、公式运用
练习：第108页的练习第1题.
1、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(x2)(x2)x22 ( 3 a 2 ) ( 3 a 2 ) ( 3 a ) 2 2 2 9 a 2 4
设计意图：考查学生对平方差公式的结构的掌握情况
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
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五、“最强大脑”秘密
设计意图：进一步化解“结构的稳定性，字母的可变性”这一难点，
并为下一节内容的学习埋下伏笔。
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九、牛刀小试
1、作业P112 第1题 2、 数学探究 天龙住宅小区的花园，起初被设计为边长为 a 米的正方形， 后因道路的原因，设计修改为：北边往南平移 x(x a)米， 而西边往西平移 x 米. 试问： （1）修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？ （2）上述两种设计的面积之差与的大小有什么关系？ （3）在周长为定值4a 的矩形中，什么时候其面积最大？ （4）计算周长均为4a 的圆的面积，正六边形的面积。由此 你有什么新的发现？
•
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
初二上数学课件(人教版)-平方差公式
例1：用平方差公式计算：
① (2x 1)( 1 2x) ② (1 x2 3y)(1 x2 3y)
33
2
2
解析 找准相同项和相反项，结果是：相同项的平方减
去：相反项的平方.
解：①原式 (2x 1)(2x 1)
3
3
(2x)2 (1)2
4x2 1 3
y2-x2 m2-1
B
a4-81 m8-n8
解：原式=（100+3)(100-3) =9991.
解：原式 (50 1)(50 1)
7)20142-2013×2015
解：原式=20142-(2014-1)(2014+1)
=20142-(20142-1)=1
1.理解平方差公式的意义. 2.掌握平方差公式的结构特征. 3.能正确运用平方差公式进行计算.
重点：平方差公式及其应用. 难点：平方差公式的结构特征及其应用.
阅读课本P107-108页内容, 了解本节主要内容.
平方差 a2-b2 互为相反数
计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(264＋1),同
学们想一想如何计算呢？要解决这个问题，必须先学 好平方差公式.
探究：平方差公式
1.计算下列各题： ①（x＋1）（x－1）； ②（a＋2）（a－2）； ③（2x＋3y）（2x－3y）； ④（－m＋n）（－m－n）.
2.观察上面算式，你发现它们有什么共同特征？得 出运算结果后，你又有什么发现？
-4a2 a2b2-1
9999 24 . 25
(4) 2014 2 . 2015 2013 1
解：原式
2014 2
(2014 1)(2014 1) 1
(人教版八上) 数学 课件 平方差公式
结构特征 (2)
(3) 公式中的a和b 可以代表数或式
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(1)(3x 2)(3x 2);
(2)(2a b)(2a b). (42aa2)2bb22
(3x 2)(3x 2) (3x)2 22 9x2 4
(a b)(a b)a2b2
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(3)(2x y)(2x y) (2x)2 ( y)2
4x2 y2
(a b)(a b)a2b2
注意：当“项”是数与字母的乘积
时,要用括号把这个数整个括起来，再平 方,最后的结果又要去掉括号。
(3) (2a–b+1)(2a–b-1). 解：原式=〔(2a-b)+1〕〔(2a-b整)-体1思〕想很重要.
=(2a-b)2-12 =(2a-b)(2a-b)-1 =4a2-4ab+b2-1
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
(4) (x-3)(x+3)(x²+9)
= [(4a)2 −1 ]
= 1−16a2
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
( b＋2a)( 2a－b )
将式子变为(b－2a)(2a－b)，还可以用这个公
( × ) 4-9a2
（4）(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9 (×) 16x2-9b2
人教版数学八年级上册《平方差公式》教学课件
学习目标
1.会推导平方差公式并熟记，会用平方差公式进行运 算. 2.在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地
研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感 知数形结合思想.
自学指导
请认真看课本P107——P108的内容要求： 1.结合“探究”和“思考”理解平方差公式 的推导过程并熟记公式特征. 2.注意例1和例2的解题格式和步骤，思考是 如何运用平方差公式的.
2、口答下列各题：
(l) y 3 y 3 ___y_2____9___ (2) 4 x4 x __1_6____x__2__
(3) p 7 p 7
p2 49
___________
(4) 5 m5 m
25 m2
___________
当堂检测
3、运用平方差公式计算： （1） (2x 1)(2x 1) （2）(2 y x)(2 y x) （3）51 49
a ba b a2 b2
剖析公式
相反项
(a b)(a b) a2 b2
相同项
(a b)(a b) （相同项）2— （相反项）2
当堂检测
1.下列各式能否用平方差公式进行计算,为什么？
（1） a ba b
能
（2） b aa b
不能
（3） a ba b
能
（4） a bb a
能
当堂检测
（4）3x 43x 4 2x 3x 3
（要求：5分钟完成，仿照例题的书写格式，字体端正）
课堂小结
谈谈你这节课的收获有哪些？
课后作业
必做题：习题14.2 1、3 选做题：
(a b 1)(a b 1) (_____)2 (_____)2 (a b 1)(a b 1) (_____)2 (_____)2
人教版八年级数学课件《平方差公式》
探究新知
素 养 考 点 利用平方差公式计算 1 例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–
2)；
解： (1)原式=(3x)2–22
x+2y)(–x=–9x22–y)4.；
(2)(–
(2) 原式= (–x)2 – (2y)2
= x2 – 4y2.
易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.
则进行运算.
=9996； 通过合理变形，= – 4y + 1.
利用平方差公式，可
以简化运算.
巩固练习
计算:
Hale Waihona Puke (1) 51×49;解: ((12))(3原x+式4)=((35x0–＋41))–(5(02–x+13))((23)x–原2)式.=(3x)2–42–(6x2+5x
= 502–12
6)
= 9x2–16–6x2–5x+6
∵(10n2–10)÷10=n2–1. n为正整数，
∴n2–1为整数 即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍
数．
探究新知
归纳总结
对于平方差中的a和b可以是具体的
数，也可以是单项式或多项式.在探究整除 性或倍数问题时，一般先将代数式化为最 简，然后根据结果的特征，判断其是否具 有整除性或倍数关系．
①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝–__6_3_____；
②2＋22＋23＋…＋2n＝_2_n_＋_1_–__2_(n为正整数)； ③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝x100–1
________；
课堂小结
平方差 公式
内容
两个数的和与这两个数的差的积，等 于这两个数的平方差.
人教八年级数学上册《平方差公式》精品教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究 相乘的两个多项式的各项与它们积中的各项又有什么关系呢？
(1) (x+1)(x1)= x212 ； (2) (m+2)(m2)= m2422 ； (3) (2x+1)(2x1)= (42x2)2112 .
两个多项式的积恰好是这两个多项式中相同的两个数的平方差.
典型例题 【例2】计算：
变成符合平方差公式的乘法
(1) (y+2)(y2)(y1)(y+5)
可用公式 不可用公式
(2) 102×98
解： (1) (y+2)(y2)(y1)(y+5) =y222(y2+5yy5) =y24y24y+5 =4y+1
(2) 102×98
提示：只有符合公式
条件=(的10乘0+法2，)(才10能0运2用) 公
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考 你能根据图中的图形面积说明平方差公式吗？
a
S1a
SS12=S3 S2
S1
S2 ab
b
S3
bS4 S3
S4
a
b
b a
b
a
b
S1+S3 =a2b2
(a+b)(ab)=a2b2 S1+S2 =(a+b)(ab)
是否还有其它的剪拼方法来证明？
复习回顾 多项式与多项式相乘
(a+b)(p+q) =ap+aq+bp+bq
多项式与多项式相乘的法则 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加.
人教版八年级数学上册教学平方差公式精品课件3
人教版八年级数学上册教学平方差公 式精品 课件4
第一关
下列多项式的乘法中，可以用平方差
公式计算的是（ C ）
A．（a+b）（b+a）
B．（－a+b）（a－b）
C．（ 1 a+b）（b－ 1 a）
3
3
D．（a2－b）（b2+a）
人教版八年级数学上册教学平方差公 式精品 课件4
注意：公式中的a，b既可代表具体的数， 还可代表单项式或多项式。
学 以 致 用 （a+b）（a-b）=a2-b2
例1.判断下列各题能否用平方差公式计算？
（1） (a-5)(a+5)
能
（2） (-m+n)(-m+n) （3） (n+m)(-n+m)
不能 能
（4） (-x-y)(x-y)
能
（5） (a+2)(a-3)
不能
（6） (a+b)(-a-b)
不能
（7） (2a+b)(2a-b)
能
（8）(x2+y2)(x2-y2)
能
人教版八年级数学上册教学平方差公 式精品 课件4
(a+b)(a-b) 相同的项 相反的项 a2-b2 结果
(n+m)(-n+m) m n和-n m2-n2 m2-n2
(-x-y) (x-y) (2a+b)(2a-b) (x2+y2)(x2-y2)
符号语言：
（a+b）（a-b）=a2 -b2
平方差公式
（a+b）（a-b）=a2 -b2
合作 探究
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2018人教版八年级-平方差公式平方差公式教案◆教学目标◆◆知识与技能：会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．◆过程与方法：. 经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．◆情感态度：通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．◆教学重点与难点◆◆重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解◆难点：平方差公式的应用．◆教学过程◆一、学生动手，得到公式1. 计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）2．提出问题：观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？2．特点：等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差3．再试一试：学生自己出相似的题目加以验证：4．得到结论（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．即（a+b）（a-b）=a2-b2 1：二、熟悉公式1．下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？2：(b2a)(3-)2+a-b)33232(b)(aa-+)ba+b--a+2(b3)(23+))(+b(ca+-b--+a-acbc3a(b)(2)3a2(cb)(ba---)1、认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是a，变号的是b三、运用公式1．直接运用例：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）3：2．简便计算例：（1）102×983：（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）3． 练习： P153 练习1，2)2)(2(x y y x +--- )25)(52(x x -+ )25.0)(5.0)(5.0(2++-x x x 22)6()6(--+x x 4：100.5×99.5 99×101×10001 四、课堂总结，发展潜能本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a ，•第二个数b ；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法． 五、布置作业，专题突破1. 课本14.2 1、2题．2.备用题1..证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方2.求证：22)7()5(--+m m 一定是24的倍数◆板书设计◆§15．2．1 平方差公式一、探究、归纳规律──平方差公式文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差符号语言：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2二、1．用简便方法计算2．计算： 三、应用、升华： ◆课后思考◆课堂练习平方差公式基础题—初显身手1．计算(x ＋1)(x －1)的值为( A )A ．x 2－1B ．x 2＋1C ．x 2－2x ＋1D ．x 2＋2x ＋12．(x ＋2)(x －2)＝x 2－4；3．(2x －1)(2x ＋1)＝4x 2－1．能力题—挑战自我4．下列各式中，计算正确的是( C )A ．(x －2)(2＋x )＝x 2－2B ．(x ＋2)(3x －2)＝3x 2－4C ．(ab －c )(ab ＋c )＝a 2b 2－c 2D ．(－x －y )(x ＋y )＝x 2－y 25．下列各式中，能用平方差公式计算的是( D ) A ．(－a －b )(a ＋b ) B ．(m ＋2n )(m －n ) C ．(x －y )(－x ＋y ) D ．(－a －b )(a －b )6．4x 2－5y 需要乘下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( A )A ．－4x 2－5yB ．－4x 2＋5yC ．(4x －5y )2D ．4x 2－5y7．若(x ＋a )(x －5)展开式中不含有x 的一次项，则a 的值为( B ) A ．0 B ．5 C ．－5 D ．5或－58．为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，则改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比( C ) A ．增加6米² B．增加9米² C ．减少9米² D．保持不变9．为了利用平方差公式计算(－7＋a ＋b )(－7－a －b )，必须进行适当的变形，下列变形正确的是( )A ．原式＝［－(7－a －b )］［－(7＋a ＋b )］＝72－(a ＋b )2B ．原式＝［－(7＋a )＋b ］［－(7＋a )－b ］＝(7＋a )2－b 2C ．原式＝(－7＋a ＋b )［－7－(a ＋b )］＝－72－(a ＋b )2D ．原式＝(－7＋a ＋b )［－7－(a ＋b )］＝72＋(a ＋b )210．能整除代数式n 2－(n ＋2)(n －2) (n 为正整数)的正整数是( A ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．511．(3m －5n )(5n ＋3m )＝9m 2－25n 2；(－2b －5)(2b －5)＝25－4b 2． 12．如果a 2－13k ＝(a ＋12)(a －12)，则k ＝34．13．一条水渠的横断面为梯形，它的上底为a ，下底为b ，高为2(a －b )，则梯形的面积为a 2－b 2．14．计算：(1)(a ＋2)(a －2)(a 2＋4)； (2)－2(3x ＋2y )(3x －2y )；(3)x 2－x －(x －13)(x ＋13)．解：(1) 原式＝(a 2－4)(a 2＋4)＝(a 2)2－42＝a 4－16；(2)原式＝－2[(3x )2－(2y )2]＝－2[9x 2－4y 2]＝－18x 2＋8y 2；(3)原式＝x 2－x －(x 2－19)＝x 2－x －x 2＋19＝－x ＋19．15．先化简，再求值：(12x ＋13y )(13y －12x )＋12x ·(12x －13y )，其中x ＝4，y ＝6．解：原式＝(13y ＋12x )(13y －12x )＋14x 2－16xy ＝(13y )2－(12x )2＝19y 2－14x 2＋14x 2－16xy ＝19y 2－16xy ＝19×62－16×4×6＝0．16．解方程: 5x ＋6(3x ＋2)(－2＋3x )＝54(x －13)(x ＋13)＋2．解：5x ＋6(9x 2－4)＝54(x 2－19)＋2，5x ＋54x 2－24＝54x 2－6＋2，5x ＋54x 2－54x 2＝24－6＋2，5x ＝20，x ＝4．拓展题—勇攀高峰17．七年级学生贝贝是一个非常喜欢思考和探究的人，这不，小丽经过探究发现：两个连续奇数的积加上1，一定是一个偶数的平方．比如，3×5＋1＝16＝42，11×13＋1＝144＝122，······可小丽不知道能不能推广到更一般的情况，她给老师打电话问了一下，老师提示说，连续奇数可用整式表示，表示出来后就可以运用学过的乘法公式进行说明了．贝贝若有所悟，在老师的提示下，很快从一般意义上给出了这个发现的说明，你能做一做吗？解：(2n －1)(2n ＋1)＋1＝4n 2－1＋1＝(2n )2．18．定义运算(a ，b )&(c ，d )＝ad －bc ，求(x ＋3，2x )&(x ，x －3)的值．解：(x ＋3，2x )&(x ，x －3)＝(x ＋3)(x －3)－2x ·x ＝x 2－9－2x 2＝－9－x 2平方差公式【教材训练·5分钟】1.整式乘法中的平方差公式（1）公式：22()()a b a b a b+-=- .（2）表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.（3）公式结构特征：等式的左边是两个数的和与这两个数的差的积，等式的右边是这两个数的平方差.2.判断训练（请在括号内打“√”或“×”）（1）2(2)(2)2x x x+-=-（×）（22(2)(3)6y y y+-=-（×）（3）2(32)(32)94a a a----=-（√）（4）2(22)(22)44m m m+--=-（×）【课堂达标·20分钟】训练点一：平方差公式的直接应用1．（2分）2．（2分）3．3. （2分）(1+x2)(x2-1)的计算结果是（）（A）x2-1（B）x2-1 （C）x4-1 （D） 1-x4【解析】选C. (1+x2)(x2-1)=22(1)(1)x x+-=22()1x-=x4-1.4．（2分）计算（x2 +41）（x+21）(x-21)的结果为( )（A）x4+161（B）x4-161（C）x4-21x2+161（D）x4-81x2+161【解析】选B. （x2 +41）（x+21）(x-21)=2211()()44x x+-=2221()()4x-= x4-161.5. （2分）(5)(5)mn mn---+= .【解析】(5)(5)mn mn---+=22()5mn--=2225m n-.答案：2225m n-6.（6分）计算：（1）(3a＋2b)(3a－2b)（2）2211(2)(2)22x x-+--（3）(200＋1)(200－1)（4）))((zyxzyx++-+【解析】（1）原式＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2（2）原式＝22411(2)()424x x--=-（3）原式＝2002－12＝39999（4）原式＝[(x＋y)－z][(x＋y)＋z]＝(x＋y)2－z2＝x2＋xy＋xy＋y2－z2＝x2＋2xy＋y2－z2.训练点二：平方差公式在简便运算中的应用1．（2分）（13版北师七下百练百胜P19训练点2T1）2.(2分) （13版北师七下百练百胜P19训练点2T2）3.（2分）（13版人教八上百练百胜P77训练点1T2）4.（13版人教八上百练百胜P77训练点2T3）【解析】等式左边是两个连续奇数的乘积，则2(21)(21)(2)1n n n -+=-.答案：2(21)(21)(2)1n n n -+=-. 5.（6分）应用平方差公式计算：（1）16141515⨯； （2）（13版北师七下百练百胜P19训练点2T4（2））(3) （13版人教八上百练百胜P77训练点2T6（1））（4）（13版北师七下百练百胜P19训练点2T4（3））【解析】（1）16141515⨯=11(1)(1)1515+-=225224 （2）(3)（4）【课后作业·30分钟】一、选择题（每小题4分，共12分）1．平方差公式22+-=-中的a、b表示（）a b a b a b()()（A）只能是数或字母（B）只能是字母（C）只能是多项（D）可以是单项式或多项式【解析】选D. （a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示可以是单项式，也可以是多项式.2.（2012·雅安中考）计算a2(a+b)(a-b)+a2b2等于（）（A）a4（B）a6（C）a2b2（D）a2-b2【解析】选A. a2(a+b)(a-b)+a2b2=a2(a2-b2)+a2b2=a4-a2b2+ a2b2= a4.3. （13版人教八上百练百胜P78能力提升T2）二、填空题（每小题4分，共12分）4. 已知（a＋b－3）2＋（a－b＋5）2＝0．则a2－b2= ．【解析】∵（a＋b－3）2＋（a－b＋5）2＝0，∴a＋b－3=0，a－b＋5=0，∴a＋b=3，a－b=﹣5，又∵（a＋b）（a－b）= a2－b2，∴a2－b2=﹣15.答案：﹣155. （13版北师七下百练百胜P18能力提升T6）6.三.解答题（共26分）7．（6分）8.（6分）（1）（2012·无锡中考） 3(x2+2)一3(x+1)（x一1）．（2）(2012·吉林中考)先化简，再求值：(a＋b)（a－b）＋2a2，其中a＝l，b【解析】（1）原式=3x2+6－3(x2—1) =3x2+6－3x2+3 =9（2）原式＝a2－b2＋2a2＝3a2－b2，当a＝l，b3－2＝1．9.（6分）10.（8分）（能力拔高题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______．②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．【解析】（1），（3）题根据观察到的规律正确填写即可；（2）题①中利用观察到的规律可知，原式=1－26=1－64=－63；②中原式=2（1+2+22+…+2n－1）=－2（1－2（1+2+22+…+2n－1）=－2（1－2n）=－2+2·2n=2n+1－2；③中原式=－（1－x）（1+x+x2+…+x97+x98+x99）=－（1－x100）=x100－1．（1）1－x n+1（2）①－63；②2n+1－2；③x100－1（3）①a2－b2②a3－b3③a4－b4。