圆中最值问题的求解方法
初中圆的线段最值问题的解法
初中圆的线段最值问题的解法圆的线段最值问题也叫圆的最大最小线段问题，它是一个广为人知的数学问题，可以说是初中数学学习的重要内容。
本文将详细介绍圆的线段最值问题的历史背景、实验方法、理论解法和应用场景等内容。
1.概述圆的线段最值问题传说起源于古希腊数学家坎普勒斯（C.K.Clos），他在其著作《经营思维》中提出了这一概念，可以说是初中数学学习的重要内容之一。
圆的线段最值问题的主要内容是：在给定的圆内，求出由圆心和一点构成的线段，使得该线段的长度是最长或最短的。
这种问题还可以扩展到许多其他几何图形中，除了圆形外，还有椭圆、圆锥、圆柱等。
2.实验方法为了解决圆的线段最值问题，我们首先通过实验来探索该问题的特征，采用模拟实验法进行探究，绘制一个圆，将圆心设定在坐标原点，将圆上的点分别放置在圆上的不同点，计算出该点离圆心的最大线段的长度，以及最小线段的长度，比较不同点之间的最大线段和最小线段的长度，从而找出圆上由圆心和一点构成的线段的最大最小长度，即最大最小线段问题。
3.理论解法经过实验分析得出，圆上由圆心和一点组成的线段的最大最小长度分别为圆的直径和圆的弦的长度。
我们可以进一步用数学语言来描述这一结论，可以证明：任一圆，任一点都同圆心构成的线段的最大长度等于圆的直径，最小长度等于圆的弦的长度。
4.应用场景圆的线段最值问题的研究既有深远的数学意义，也有广泛的应用场景。
在建筑设计、地理学、机械工程、材料科学等领域，都可以利用最大最小线段的原理来解决一系列实际问题，如设备安装、物体组合、图形变换等。
总结以上就是关于圆的线段最值问题的历史背景、实验方法、理论解法和应用场景等内容的详细介绍，其中包括了古希腊数学家坎普勒斯的理论和用数学语言描述的结论，以及在建筑设计、地理学、机械工程、材料科学等领域的广泛应用。
从理论上讲，均匀圆形的最大最小线段的长度与圆的直径和弦的长度成正比，而实际应用中，圆的线段最值问题为我们提供了一系列更加精确高效的解决方案，从而改善和提高了工作效率。
与圆有关的最值(范围)问题
xx与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 。
【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故1PQ PC r ≥-=变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QABS的最小值为 。
【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QABQ Q SAB h =⋅===+图1 图2变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．解：如图3，22221PA PC r PC =-=-，∵min PC=∴min PA变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．解：如图4，∵APB APC ∠=∠，1sin APC PC∠=,∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．图3 图4变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，min PA =PACB【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C:222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （0，0)的最小距离．d==PMx类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-+⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(其中cos ϕϕ==) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则1122y x z =-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d ==故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对12y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d ==，可得122k =-或,故1[2,)(,2k ∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例1易得[PA CA CA ∈+，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，y）到直线10x y--=,即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221x y+=，P A、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB⋅的最小值为【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APBα∠=，cos2PA PB PA PBα⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解:令2((0,))2APBπαα∠=∈，cos2PA PB PA PBα⋅=，1tanPA PBα==，∴222222cos2cos cos2(1sin)(12sin)tan sin sinPA PBαααααααα⋅--⋅===，令2sin(0)t tα=>，则(1)(12)1233t tPA PB tt t--⋅==+-≥（当且仅当2t=2sin2α=时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24x y+=（），过点(1,0)A-做两条互相垂直的直线12l l、，1l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2）求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，用基本不等式的相关知识点．解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则EF +GH =，又222121d d CA +==,2≤==(当且仅当122d d ==取等号)故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH(当且仅当122d d ==取等号）【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。
与圆有关的最值求解“四法”
一 一 ｄ ｄＬ （ｄ ）１２ … ｛） 一一 ‘ 嘉 一 １ ≥ ４ １
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＋＇ ， 的最， 值为 一１ ２ Ｊ 、 — √。
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四 、 他 法 其 例 ４ 直线 ２ ｘ一６ ＋２ （ ａ ， ＝０ 口＞０ ｂ＞Ｏ始终平 ， ， ）
分圆 ＋ ＋ ｘ ４ ＋ ＝ 的周长， 口＋ Ｄ ２一ｙ １ ０ 。 则 ÷ 的
最小值为（ ） 。
Ｉ ＯＩ ｊ Ｐ
西
＝Ｉ ０ｌ代入 ， Ｚ２ 一４ Ｐ ， 得 ：ｘ ｙ＋３ 。要求 Ｉ ＭＩ ＝０ Ｐ 的最 小值 ， 只需求 Ｉ ＯＩ Ｐ 的最小值 。
。
。 。
＋ｂ １口 ０ ｂ ０下 ， Ｌ＋ 的最小值。 ＝ （ ＞ ， ＞ ） 求＿ ÷
（） １通分 放缩 ： １
。
、
点评 ： 与圆有关的最值 问题 ， 对于具有几何意义 的， 可利用几何法来求 解 ， 利用几何法可 回避繁杂的 运算 ， 使问题快速获解 。
二 、 数 法 代
思路 方法
Ｓ
与 圆有 关 的最值 求解 “ 四法 ’ ’
● 王
一
江
点评 ： 过三 角换元 ， 圆 的方程 化 为参 数 方 通 将 程， 从而将 问题化 为三角 问题 。
、
几 何 法
＾、பைடு நூலகம் ｙ
例 １ 已知 圆 Ｃ： ＋ ＋ ２ 一４ ｙ＋３＝０ 从 圆 Ｃ夕 — ， — 点 Ｐ向圆引一条切线 ， 切点为 Ｍ， ０为坐标原点 ， 且有 Ｉ ＭＩ Ｐ ＝Ｉ Ｏｌ求 ＩＭｌ Ｐ ， Ｐ 的最小值 。 解 ： Ｐ（ Ｙ ， Ｉ Ｍ ｌ 设 ， ） 由 Ｐ
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．【与圆有关的最值类型】①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).A.6；3.B.6；4.C.5；3.D.5；4.(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.故应选B.(2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5.法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5.例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(85，65). B.( 85，−65). C.( −85，65) D.( −85，−65). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2+y 2=4,3x −4y =0,⇒{x =85y =65或{x =−85y =−65.结合图4.7—1知选A. xyO 4x+3y -12=0CAE FGHxOM N y 图3.7—2法2.由圆的几何性质可知，所求点为与直线4x+3y -12=0平行且与圆x 2+y 2=4相切的切点.设切线方程为4x+3y+c=0，由|c|5=2,⇒c =∓10.结合图3.7—1 知，c=10.联立{4x +3y −10=0,x 2+y 2=4,⇒{x =85y =65, 故应选A. 法3.对于选择题，可结合图形知所求点应在第一象限内，再看选择支，极易确定选A.想一想①：1.圆x 2+y 2=1上与直线4x -3y -12=0距离最短的点坐标是 .2.已知A (0，1)，B (2，3).Q 为圆C:(x -3)2+y 2=1上任一点，则S ΔOAB 的最小值为 .3.若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y=0，求x -2y 的最大值．例2.(1)已知a 、b 是单位向量且a ①b.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的取值范围是 .(2)已知点A(-1，1)和圆C ：(x -5)2+(y -7)2=4.一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是( ).A.10.B.2√6.C.4√6.D.8. 解:(1) ① a 、b 是单位向量且a ①b ，可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x ，y)，又① |c -a -b |=1，① (x -1)2+(y -1)2=1. ① 原点O 到圆心(1，1)的距离为√2.① |c | =√x 2+y 2∈[√2−1，√2+1].(2)由光学原理知，点A 关于x 轴的对称点A ′(-1，-1)在反射线上，① 光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是过A ′且与圆相切的切线段长|A ′T|=√(−1−5)2+(−1−7)2−4= 4√6.应选C.例3.已知圆C ：(x+2)2+y 2=4，过点A(-1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交圆C 与E 、F两点，l 2交圆C 与G 、H 两点.(1)EF+GH解:(1)令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 则EF +GH =2(√4−d 12+√4−d 22)，又d 12+d 22=CA 2=1由：√4−d 12+√4−d 222≤√8−(d 12+d 22)2=√8−12= √142，(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).故EF +GH ≤√14. (2)① EF ⊥GH ，① S 四边形EFGH =12EF ×GH =2(√4−d 12√4−d 22 ≤2×8−(d 12+d 22)2=7.(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).例4(1)如图3.7—3(1).点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan①BOC=m ，则m 的取值范围是_________．(2)如图3.7—3(2).在边长为1的等边①OAB 中，以边AB 为直径作①D ， C 为半圆弧AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合).BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.(3)如图3.7—3(3).线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边①ACD 和等边①BCE ，①O 外接于①CDE ，则①O 半径的最小值为( ). A.4. B. 2√33. C. √33. D.2._ B_y_ COED解:(1)由已知，点C 是第一象限内在圆(x -3)2+y 2=4点，结合图2.8—4(1)知，tan①AOC ∈(0，2√55]，∵①AOC 与①BOC 互余，① m ≥√52. (2)① AC 2+BC 2=AB 2，即a 2+b 2=1 由柯西不等式得，(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2， ① (a+b)≤√2，故 a +b 的最大值为√2.(3)设外接圆的半径为R ，由已知可得∠DOE =600.再由正弦定理知DE=2Rsin600,① R=√33DE .在∆DCE 内由余弦定理可得DE 2=DC 2+CE 2-DC ∙CE =(DC+CE)2-3DC ∙CE =16-3DC ∙CE ≥16-3(DC+CE 2)2=4，即DE ≥2. ① R=√33DE ≥2√33.应选B.想一想①：1.如图3.7—4.①M ，①N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为①M 上的任意一点，Q 为①N 上的任意一点，直线PQ 与连心线所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α的最大值为( ).A.√612B.43.C.√33.D.34.2.如图3.7—5.①BAC=600，半径长为1的圆O 与①BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A.3. B.6. C. .3√32.D. 3√3.例5.(1)过点M(−2，,0)的直线l 与曲线y=√4−x 2相交于A ，B 两点，当∆ABO (O 为坐标原点)的面积最大时，直线l 的斜率为 . (2)两个圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R )与圆C 2：x 2+y 2-2by+b 2-1=0(b ∈R )恰有三条公切线，则a+2b 的取值范围为 . 解:(1) ① 曲线y=√4−x 2的方程可变形为x 2+y 2=4(y ≥0)，① 此曲线表示以原点为圆心，2为半径，在x 轴及其上方的半圆，如图3.7—6.① S ∆ABO =12OA ×OB ×sin∠AOB =2sin∠AOB ， 当∆ABO 的面积最大时，∠AOB =900，此时∆ABO为等腰直角三角形，① 点O 到直线AB 的距离为√2. 设直线AB 的方程为 y=k(x+2√2)，即kx -y+2√2k =0， ①2√2k √1+k 2=√2，解得k=±√33，又由已知k>0，① k= √33.(2) ① 圆C 1的圆心为C 1(-a ，0)，半径为2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为1.l xy MABO 图3.7—6图3.7—4P QMNA D E BCP. . O图3.7—5由已知两圆外切，① | C 1 C 2|=2+1=3，即a 2+b 2=9.令a+2b=m ，则 √1+4≤3，解得 −3√5≤m ≤3√5，① a+2b 的取值范围为[−3√5，3√5].习题3.71.已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，①C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是①C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则①ABE 面积的最大值是( ).A.3.B. 103. C.103. D.4. 2.圆x 2+y 2-2x -2y+1=0上的点到直线2x y -=距离的最大值是( ).A.2.B.1+√2.C.2+√22. D.1+2√2.3.由直线y=x +1上一点向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 .4.已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：(x -3)2+y 2=1的切线PA ，PB(A 、B 为切点)，则四边形PACB 面积的最小值为 .5.求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.①过原点；①有最小面积.6.求圆(x -2)2+(y+3)2=4上的点到直线x -y +2=0最远和最近的距离.7.已知圆M 过两点C(1，-1)，D(-1，1)，且圆心M 在x+y -2=0上. (1)求圆M 的方程. (2)设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点.求四边形PAMB 面积的最小值.8.在平面直角坐标系中，M(3，4)，P 是以M 为圆心，2为半径的①M 上一动点，A(-1，0)、B(1，0)，连接PA 、PB ，求PA 2+PB 2最大值.9.过定点M 的直线l 1：ax+y -1=0与过定点N 的直线l 2：x - ay +2a -1=0交于点P.求|PM|∙|PN|的最大值.【参考答案】想一想①：1. (45，−35). 2.4+√2. 3.10.想一想①：1.D.考虑PQ 为两圆的内公切线时的情形.2.在△ADE 中，由正弦定理得|DE|=2Rsin600，其中R 为△ADE 的外接圆半径.如图2.8—4(3)知，AP 的最大值为|OP|+1=3，① |DE|max =3√3. 故应选D.习题3.71. A.2. B.3. √7.4. √7.5.(1)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① 所求圆过原点，得λ=−14. ①x 2+y 2+32x+74y =0为所求.(2)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① R 2=D 2+E 2−4F 4=5λ2−16λ+164，① 当 λ=85时R 2最小. ① x 2+y 2+265x −125y +375=0为所求6.7√2−42;7√2+42. 7.(1)设圆M 的方程为:(x -a)2+(y -b)2=r 2(r >0).根据题意得， {(1−a)2+(1+b)2=r 2,(−1−a)2+(1−b)2=r 2,a +b −2=0. 解得a=b=1，r=2.故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)① 四边形PAMB 的面积S=S ①PAM +S ①PBM =|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，① S=2|PA|,而|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4， 即S=2√|PM|2−4.因此要求S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小, ① |PM|min =√32+42=3.因此，四边形PAMB 面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√5.8.设P(3+2cos θ，4+2sin θ)，则PA 2+PB 2=60+24cos θ+32sin θ=60+40sin(θ+φ)≤100. ① PA 2+PB 2最大值为100.9. 1. 由已知有，直线l 1过定点M(0，1)，直线l 2过定点N(1，2)，且|MN|=√2，l 1⊥l 2.由平面几何的知识知，点P 在以MN 为直径的圆上运动.设点P 到MN 的距离为PD ，则有|PM|∙|PN|=|MN||∙|PD| =√2∙|PD|，∴ 当|PD|取最大值√22 时，(|PM|∙|PN|)max =√2∙√22=1.。
圆三角换元法求最值
圆三角换元法求最值
圆三角换元法是一种常见的数学方法，用于求解与圆相关的最值问题。
其基本思想是通过引入一个或多个三角函数，将问题转化为三角函数的最值问题，然后利用三角函数的性质或不等式等知识求解。
以下是一个简单的例子，假设有一个圆的半径为r，圆心为点(a,b)，现在要求解圆上一点到原点的距离的最大值。
我们可以设该点为(x,y)，然后用距离公式表示出该点到原点的距离，即sqrt(x^2+y^2)。
由于圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，因此可以将其代入到距离公式中，得到sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)。
由于(x-a)^2+(y-b)^2可以看作是一个三角函数，因此我们可以使用三角换元法，将其转化为三角函数的形式，即：sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)=sqrt(r^2cost^2+r^2sint^2)。
由于cost^2和sint^2的值域都在[0,1]之间，因此当cost^2=sint^2=1/2时，sqrt(r^2cost^2+r^2sint^2)取得最大值，即最大距离为sqrt(2r^2)。
圆三角换元法可以将复杂的圆相关问题转化为简单的三角函数问题，从而简化求解过程。
但是需要注意的是，在使用圆三角换元法时，需要根据具体问题选择合适的三角函数和换元方式，并确保换元后的等式或不等式具有可解性。
圆的最值问题解题技巧
方法二：一元一次方程给我们的启示 形如： ax b 解的情况分析 （1） a 0 ，方程无解 （2） a 0 ，方程的解 x
b a
（3）特别的 a 0, b 0 ，方程的解围任意实数
y kx 9k 12 可以转换为： y 12 ( x 9)k ，若直线过定点，则与 k 无关
令 y 12 0, x 9 0 即可
知识点 2：过圆内一点 P 的弦中，最短的弦是：连接 OP，作 OP 的垂线 与圆相交于 CD，弦 CD 最短。 证明： 假设还有一条弦 AB 过点 P，设圆 O 半径为 r 过圆心 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 E，连接 AO、CO
AE r 2 OE 2 ， CP r 2 OP 2
在 Rt ABC 中， OP OE （斜边大于直角边） 所以 AE CP ，则弦 CD 长度小于 AB
如图，在平面直角坐标系中，圆 O 经过点 A（0，25） ，直线 y kx 9k 12 与圆 O 交于 点 B、C，则弦 BC 的最小值为（ A、20 B、40 C、 25 2 ） D、 15 5
知识点 1：函数图象过定点问题 判别函数图象是否过定点的方式
方法一：代入法 直线 y kx 9k 12 如果过定点，那么可能有 n 条直线，这些直线 k 不同而已 随便假设二个 k 值，列二元一次方程组求解 假设 k=1，有 y x 3 ①，假设 k=2，有 y 2 x 6 ②，联立解得： x 9, y 12 即过定点 (9, 12) ，可以带入验证下
与圆有关的最值问题的求解策略
与圆有关的最值问题的求解策略本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March与圆有关的最值范、围问题的求解策略知识梳理 (1)主要类型：①圆外一点与圆上任一点间距离的最值．②直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题．⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值．⑥解决与圆有关的最值问题的常用方法（1）形如u ＝y －b x －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题 （2） 形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；（3）形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径1 、已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .2、已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值为 .3、由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为5、 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)6、已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．7、已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .8、已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值9、若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．类型三：抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值10、已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．11、P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题． 12、已知圆O ：221x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为类型五：向基本不等式问题转化13、已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．题型 有关定直线、定圆的最值问题 13、 已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________． 题型三 综合性问题(1)圆中有关元素的最值问题(2)与其他知识相结合的范围问题14 、已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是________．15、（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 .16、已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点． (1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠PAQ 的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围．。
初中圆的最值问题三种解法
在初中数学中，圆的最值问题可以通过三种不同的解法来求解。
以下是三种常见的解法：
1. 几何解法：
首先，确定问题中圆的相关条件，例如圆的半径或圆心坐标等。
然后，利用几何性质和定理来分析问题。
对于圆的最值问题，常常使用切线和切线长度来解决。
通过找到与切线相关的角度和长度关系，可以求得圆的最大值或最小值。
2. 代数解法：
这种方法使用代数方程和函数来解决圆的最值问题。
首先，将圆的方程转化为合适的形式，例如标准方程或一般方程。
然后，利用代数的方法，对方程进行求导或化简，找到函数的最值点。
最后，将最值点带入原始问题中，求得圆的最大值或最小值。
3. 组合解法：
这种方法结合了几何和代数的思想。
首先，利用几何性质和定理来确定问题中的几何关系。
然后，将几何关系转化为代数方程或函数。
接下来，通过代数的方法求解方程或函数的最值点。
最后，将最值点代入几何关系中，求得圆的最大值或最小值。
圆中最值问题10种求法(供参考)
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2C．3D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求∠P的正切值；（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.[分析]：易证明△ACB∽△PCQ，所以，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O 的动弦，当PC是⊙O的直径时最大.五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.[分析]：设BC边上的高为h因为S△ABC=BC h=×2h=h当h最大时S△ABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD⊥BC于D连接BO 即BD=CD=在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－()2=1所以OD=1 所以AD=2+1=3所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3即△ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6．用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.[分析]：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144 S2=π·()2=因为π＜4 所以＞所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值.[分析]：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在Rt△OAM中OM=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0即a2≤5 所以a≤所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB=80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为.[分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，又因为∠ACB≥∠P，所以∠P的最大值为40°.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知∠ACB=∠AOB=×80°=40°又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°所以∠APB的最大值为40°九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9．如图：⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为cm.[分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长最小.解：在Rt△OAP中，AP=所以AB=2AP=2×4=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10．如图：点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q，⊙O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为，最小值为.[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小.解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q所以OQ⊥PQ在Rt△PQO中PQ2+OQ2=OP2即42+32=OP2 所以OP=5所以PB=5－3=2 PA=6+2=8所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm.。
几种常见的有关圆的最值问题
责任编辑:彭深2020748334@几种常见的有关圆的最值问题圃石爱英有关圆的最值问题,在中考中常常以选择、填空的形式出现,这类试题“小而精”，但涉及的知识面广，综合性强。
很多同学对解决这类问题常会感到束手无策。
本文以常见的几种类型入手，带大家一起感悟解决这类问题的思路和方法。
一、利用垂线段最短求最值例1（2019-嘉兴）如图1,在（00中，弦4B=1,点C在AB上移动，连接0C,过点C作CD丄0C交于D点，则CD的最大值为________O【分析】首先连接0D,因为OC1CD.根据勾股定理得CD2^OD2-OC2，因为0D 是定值，所以当0C最小时，CD取到最大值。
解:^OD,.-.OC±CD,根据勾股定理,有cD^oiy-oc2,•••0。
是定值，当0C最小时,CD最大,此时D与B重合，由垂径定理可得:CD=^AB=|o［点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，难度适中。
掌握辅助线的作法,得到当OC1AB时,0C最短是关键o二、利用对称求最值例2如图2,在中，AB是G>0的直径,AB=8cm,AC^CD=BD,M是<4/?上一动点，则CM+DM的最小值是【分析】如图3,作点C关于的对称点C,连接CD与相交于点M.根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM最力、时的位置,根据垂径定理可得AC=AC',然后求出C'D为直径,从而得解。
解:作C关于的对称点C',连接CD,与仙相交于点M,如图3,此时，点M为CM+DM最小时的位置，由垂径定理得紀=紀，，策略方法•••犹=丽=而肿为直径，：.C'D为直径，CM+DW的最小值是8cm。
【点评】本题考查了用轴对称确定最短路线问题、垂径定理,熟记定理并作出图形,判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键。
三、利用坐标求最值例3如图4,在平面直角坐标系中，已知点4(l,0),B(l-a,0),C(l+a,0) (a>0),点P在以0(4,4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足Z_BPC=90°,图4【分析】首先得到AB=AC=a,根据条件可知PA=AB=AC=a,求出上的点P 到点4的最大距离即可解决问题。
圆中最值问题的常见解法
分析：由于 都不是定值，加之平方式，所以直接用函数、均值不等式、几何法求解，都无能为力.于是考虑先设点 的坐标，先代数化，再看有没有几何意义.
解：设点 ，则
， 表示点 到定点 距离的平方,而
， 的最大
值是 ，此时点 的坐标满足 .
一.利用三角形性质求最值
众所皆知：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，极端情况下，当三点共线时，两边之和等于第三边，两边之差等于第三边，这正是取得最值的时刻，这就是圆中解决最值问题的常用方法之一.主要模型是：求一定点与圆上动点之间距离的最大值与最小值.即有：设圆心为C，圆的半径为 ，定点为A,圆上动点为P，则 =
的最小值是 ，此时点 的坐标满足
.
评析：在几何方法受阻的情况下，可以先做代数化处理，在构造几何意义，本题的解决，得
益于构造圆外一点到圆上动点距离的最值模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
相关问题：（1）已知圆 ,圆 , 分别是圆 上的动点, 为 轴上的动点,则 的最小值为（ ）A
A． B． C． D．
（2）P为双曲线 的右支上一点,M、N分别是圆 ，
解决圆中最值问题的常见方法
圆问题是高中解析几何中的重点问题，在这类问题中的最值问题又是常见题型，由于在解决过程中所需要的数学素养层次比较高，特别是对学生的直观想象素养、抽象素养、运算素养、逻辑推理素养有较高要求，所以学生在学习中常常感到比较困难.基于此，非常有必要对这类问题的常见解法做一些总结，以供参考.
.
例1.点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，求 .
分析：由于有两个动点，所以需要分步完成，可以先固定点 ，这样就可以利用三角形性质求得 ，然后再利用函数法求得最终结果.
圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题
圆的问题探究安阳市龙安高级中学 段可贺高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。
在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。
希望对读者有些启发。
类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。
1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。
所以max min 2; 2.CH BH AH d d d d d =====-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d ===== 3、圆222=+y x 上的点到直线l ：02543=++y x 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。
涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离的范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值的平方.max min 22maxmin5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d dd=====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。
解题技巧专题：圆中的最值问题(含隐圆问题)
8．如图，已知⊙O的半径为m，点C为直径AB延 长线上一点，BC＝m.过点C任作一直线l，若l上总 存在点P，使过P所作的⊙O的两切线互相垂直， 则∠ACP的最大值等于 45°.
解析：设PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互 相垂直，则∠MON＝90°.∴四边形PMON是正方 形．根据勾股定理求得OP＝ 2m.∴P点在以O为圆 心，以 2m长为半径的大圆⊙O上．过C点作大 ⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值， 如图所示．∵PC是大圆⊙O的切线， ∴OP⊥PC.∵OC＝2m，OP＝ 2 m， ∴PC＝ OC2 OP2＝ 2m.∴OP＝PC. ∴∠ACP＝45°. ∴∠ACP的最大值等于45°.故答案为45°.
(2)解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线． ∴OF＝ 1 BC＝3.
2 ∴DF＝OD－OF＝5－3＝2.
(3)若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段 AB上任意一点，试求出PC＋PD的最小值． (3)解：作C点关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于 P，连接OC，如图． ∵PC＝PC′， ∴PD＋PC＝PD＋PC′＝DC′. ∴此时PC＋PD的值最小． ∵ AD＝CD，∴∠COD＝∠AOD＝80°.
9．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2， AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝ 2 3 .
解析：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交 于＝＝O2点BP2＝，′，12∠当AAB点D＝PO2与＝.∵P∠′A重ADO合＝D时2＝，，∠∠DOBPDA最CD短＝＝，4950则°°A.，∴O∴＝DPOO′＝DP′ OD－OP′＝2 2－2.过P′作P′E⊥CD于点E，则易得 P′E＝DE＝2－ 2.∴CE＝CD－ DE＝ 2＋2.∴CP′＝ PE2 CE2 ＝2 3.故答案为2 3.
圆的最值问题求解四法
２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀圆的最值问题求解四法◉云南省普洱市孟连县第一中学㊀孙宝恩㊀㊀摘要:与圆有关的最值问题是近年来高考数学的热点之一,它着重考查数形结合与转化思想．求圆的最值问题 四化法 的基本思路是,利用平面几何知识,或利用圆的参数方程,或设圆上点的坐标,将其转化为函数的最值问题．关键词:化为斜率法;化为截距法;化为距离法;化为三角函数法㊀㊀与圆有关的最值问题,因为其代数式具有明显的几何意义,所以应优先考虑数形结合法．运用数形结合法求最值,既可以借助图形直观获得简捷解法,又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误,还有利于沟通数学各个分支,深化思维,全面提高学生数学综合素质[１]．涉及与圆有关的最值问题,可借助圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想来求解．一般情况下,求形如t ＝y －bx －a的最值问题,可转化为动直线的斜率问题;求形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值问题,可转化为动直线的截距问题;求形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可转化为动点到定点的距离问题．另外,还可以通过建立目标函数求最值．与圆有关的最值问题,既是高中数学中的难点问题,又是近年来高考中的热点题型,因此有必要熟悉和掌握其常用的解题思路与方法．１化为斜率法例１㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求yx的最大值和最小值．解:原方程可化为(x －２)２＋y ２＝３,表示以(２,０)为圆心,３为半径的圆．yx 的几何意义是该圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx＝k ,即y ＝k x ．图１当直线y ＝k x 与圆相切时,如图１,斜率k 取最大值或最小值,此时２k －０k ２＋１＝３,解得k ＝ʃ３所以yx的最大值为３,最小值为－３．思路与方法:本题中yx 的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率,两切线的斜率为其最值,可由２k －０k ２＋１＝３求切线的斜率,也可将y ＝k x 代入圆的方程,由Δȡ０,求解k 的范围．例２㊀求y ＝１＋s i n x２＋c o s x 的最值．图２解:将原函数式变形为y ＝s i n x －(－１)c o s x －(－２),其几何意义是在直角坐标系中,动点(c o s x ,s i n x )与定点P (－２,－１)连线的斜率．动点P 的轨迹为单位圆(如图２),由图可知,k P B 最小,k P C 最大．显然,k P B ＝０．由t a n θ＝O B P B ＝１２,得t a n øB P C ＝t a n２θ＝２t a n θ１－t a n ２θ＝４３,即k P C ＝４３．故y 的最小值为０,最大值为４３．思路与方法:从本题的解题思路可以归纳 形如f (x )－ag (x )－b 的函数式,可以将其看作点(g (x ),f (x ))与点(b ,a )连线的斜率,这也是最常见的解题方法．２化为截距法例３㊀在圆O :x ２＋y ２＝１上求一点P ,使得过点P 的切线与两条坐标轴所围成的三角形面积最小．解法１:设P (x １,y １),则切线l 为x １x ＋y １y ＝１,即x １x １＋y １y １＝１,截距a ＝１x １,b ＝１y １．所以,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a９７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀b ＝１２１x １ １y １＝１２x １y １ȡ１x ２１＋y ２１＝１１＝１,当且仅当x １＝y １＝２２时,取等号,S 的最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．解法２:因为点P 在圆x ２＋y ２＝１上,可设P (c o s φ,s i n φ),所以切线l :x c o s φ＋y s i n φ＝１,其截距a ＝１c o s φ,b ＝１s i n φ．因此,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a b ＝１２１c o s φ １s i n φ＝１s i n ２φȡ１．当s i n ２φ＝ʃ１,即φ＝ʃπ４,ʃ３４π时,S 取最小值,且最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．思路与方法:本题的两种解法都是将与圆有关的求三角形的最值问题转化为直线与圆相切的截距型问题．通过设点P 的坐标,先求出截距,然后再根据三角形面积公式推出S әȡ１,最后确定点P 的位置．例４㊀设x ,y 满足y ＝－x ２－２x ,求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．图３解:y ＝－x ２－２x ＝１－(x ＋１)２,其图象为如图３所示的半圆O ᶄ,S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距的最大值与最小值．由A (－２,０),k A D ＝－１,得D (０,－２),即S m i n ＝－２．又O ᶄB ＝B C ＝１,所以O ᶄC ＝２,得O C ＝２－１＝O D ᶄ,则点D ᶄ的坐标为(０,２－１),即S m a x ＝２－１．故S 的最大值与最小值分别为２－１,－２．思路与方法:本题是将其转化㊁变形为截距型最值问题,并对半圆㊁直线截距的几何意义进行了由 隐 到 显 的挖掘,其中紧扣 S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距S的最大值与最小值 是关键．３化为距离法例５㊀在әA B C 中,øA ,øB ,øC 所对的边分别为a ,b ,c ,且c ＝１０,c o s A c o s B ＝b a ＝４３,P 为әA B C的内切圆上的动点,求点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和的最大值与最小值．解法１:由c o s A c o s B ＝b a ,得c o s A c o s B ＝s i n Bs i n A ,即s i n ２A ＝s i n２B ．在әA B C 中,因为A ʂB ,所以２A ＋２B ＝π,则A ＋B ＝π２,故әA B C 为直角三角形．图４由c ＝１０,b a ＝４３,可得a ＝６,b ＝８．建立如图４所示的平面直角坐标系,设әA B C 的内切圆圆心为O ᶄ,切点分别为D ,E ,F ,则|A D |＋|D B |＋|E C |＝１２(１０＋８＋６)＝１２,内切圆的半径r ＝|E C |＝１２－１０＝２,则内切圆O ᶄ方程为(x －２)２＋(y －２)２＝４．设圆O ᶄ上动点P 的坐标为(x ,y ),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(x －８)２＋y ２＋x ２＋(y －６)２＋x ２＋y ２＝３[(x －２)２＋(y －２)２]－４x ＋７６＝８８－４x ．由点P 在圆上,可知,０ɤx ɤ４,于是S 的最大值为８８,最小值为８８－４ˑ４＝７２．解法２:同解法１,得әA B C 是直角三角形,其内切圆半径r ＝２．设圆上动点P 的坐标为(２＋２c o s α,２＋２s i n α)(０ɤαɤ２π),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(２c o s α－６)２＋(２＋２s i n α)２＋(２＋２c o s α)２＋(２s i n α－４)２＋(２＋２c o s α)２＋(２＋２s i n α)２＝８０－８c o s α．因为０ɤαɤ２π,所以S 的最大值为＝８０＋８＝８８,最小值为＝８０－８＝７２．思路与方法:本题可转化为点到直线的距离型最值问题．解法１是由三角形的边㊁角关系推证出әA B C 为直角三角形,然后建立平角直角坐标系,通过设三角形内切圆,求三角形三边的长度获解;解法２在已知әA B C 为直角三角形的基础上,通过设动点坐标,利用三角函数求出最值．０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀例６㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求x ２＋y ２的最大值和最小值．图５解:x ２＋y ２－４x ＋１＝０可化为(x －２)２＋y ２＝３,它表示以C (２,０)为圆心,３为半径的圆．如图５所示,x ２＋y ２表示圆上的一点与坐标原点距离的平方．由平面几何知识可知,在坐标原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又因为圆心C 到原点的距离为２,所以x ２＋y ２的最大值是(２＋３)２＝７＋４３,x ２＋y ２的最小值是(２－３)２＝７－４３．思路与方法:本题中的x ２＋y ２可看作是圆上的点与原点距离的平方,所以可以借助平面几何知识,利用数形结合法快速求解．４化为三角函数法例７㊀已知圆C :(x －３)２＋(y －４)２＝１和两点A (－m ,０),B (m ,０)(m ＞０)．若圆C 上存在点P ,使得øA P B ＝９０ʎ,则m 的最大值为(㊀㊀)．A．７㊀㊀㊀㊀B ．６㊀㊀㊀㊀C ．５㊀㊀㊀㊀D．４解:设点P (x ０,y ０),则x ０＝３＋c o s θ,y ０＝４＋s i n θ{(θ为参数)．由øA P B ＝９０ʎ,得A P ң B P ң＝０,即(x ０＋m )(x ０－m )＋y ２０＝０,则m ２＝x ２０＋y ２０＝２６＋６c o s θ＋８s i n θ＝２６＋１０s i n (θ＋φ)ɤ３６(其中t a n φ＝３４)．所以０＜m ɤ６,即m 的最大值为６．故选答案:B ．思路与方法:本题是通过建立目标函数来求最值．由于øA P B ＝９０ʎ,则点P 也在以A B 为直径的圆上,因此问题还可转化为两圆有公共点,求m 的最大值,即两圆内切时,m 有最大值６．例８㊀半圆O 的直径为２,A 为直径延长线上一点,O A ＝２,B 为半圆上任意一点,以A B 为一边作等边三角形A B C ．问点B 在什么位置时,四边形O A C B的面积最大,并求这个最大值．图６解:如图６,设øA O B ＝α(０＜α＜π),在әA O B 中,又O B ＝１,O A ＝２,由余弦定理,得A B ２＝O A ２＋O B ２－２O A O B c o s α＝５－４c o s α．设四边形O A C B 的面积为S ,则㊀㊀㊀S ＝１２O A O B s i n α＋３４A B ２＝s i n α＋３４(５－４c o s α)＝５３４＋(s i n α－３c o s α)＝５３４＋２s i n (α－π３),当且仅当s i n (α－π３)＝１,即α＝５π６时,四边形O A C B的面积最大,且最大值为５３４＋２．思路与方法:本题通过运用余弦定理,将与圆有关的四边形面积的最值问题,转化为三角函数问题来求解．从解题过程不难看出,对y ＝a s i n x ＋b c o s x (a ,b ʂ０)引入辅角θ,则y ＝a ２＋b ２s i n (x ＋θ)(其中t a n θ＝ba),其最值一目了然．根据以上典例及 四化法 的运用情况,可以把与圆有关的最值问题大致归纳总结为以下几种类型:①定点与圆上的点的距离的最值题型,可将其转化为定点到圆心的距离ʃ半径 ;②定直线与圆上点的距离的最值题型,可将其转化为 圆心到直线的距离ʃ半径 ;③形如t ＝y －bx －a 的最值题型,可将其转化为动直线的斜率问题(切线处取得最值);④形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值题型,可将其转化为动直线的截距问题(切线处取得最值);⑤形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可将其转化为定点到圆上动点的最值问题．圆是一种很规则的图形,解答与圆有关的最值问题很适合采用数形结合法．运用 四化法 解题的关键,是在准确理解题意的基础上进行合理联想和类比,将代数式通过转化㊁变形㊁给予几何解释[２]．上述典型例题的解析可以帮助学生学会从 形 中觅 数 的思路与方法,掌握如何根据图形去寻求数量关系的技巧,能够娴熟地将几何问题代数化,通过不断加强这类题型的解题训练,最终达到触类旁通㊁举一反三㊁开阔思路㊁运用自如㊁综合提高的目的．参考文献:[１]杜超．例谈与圆有关的最值问题[J ]．理科考试研究,２０２１(９):１６Ｇ１８．[２]程会海．与圆有关的最值问题的解题策略例说[J ]．中学数学,２０２２(５):６４Ｇ６５．Z １８Copyright ©博看网. 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初中圆的线段最值问题的解法
初中圆的线段最值问题的解法初中圆的线段最值问题是初中数学中不可忽视的重要概念。
这一问题的求解方法不仅普通初中生必须要求掌握，而且也是中学教师的必备知识。
本文以求解初中圆的线段最值问题为切入点，通过对现有教学研究成果的分析，介绍求解初中圆的线段最值问题的相关解法。
一、求解初中圆的线段最值问题的逆向定理初中数学课本中，圆的线段最值问题是一个重要概念。
圆的线段最值问题是指，在固定圆心和半径情况下，从圆上任意点P开始，向外沿圆绘制一条线段，当线段达到最大长度时，此线段叫做圆的线段最值。
求解圆线段最大值的方法有很多，其中最常用的是逆向定理。
逆向定理的思想是，当圆线段到达最大值时，此时所绘制线段两端点和圆心构成一个直角三角形，线段的一端点正好对应三角形的顶点，此时正好为圆线段最值。
二、求解初中圆的线段最值问题的圆心角定理除了逆向定理，还可以运用几何中的“圆心角定理”来求解初中圆的线段最值。
圆心角定理的思想是，在固定圆心和半径的情况下，当绘制的线段的角度等于圆心角，即圆心角为90度时，线段就达到最大值，此时正好为圆线段最值。
三、求解初中圆的线段最值问题的视觉法除了逆向定理和圆心角定理，初中圆的线段最值问题还可以采用视觉法求解。
视觉法的思想是，用手指沿着圆形接近圆心，绘制一条线段，当线段长度最长时，此时就可以得出圆线段最大值。
四、求解初中圆的线段最值问题的计算法此外，初中圆的线段最值问题还可以采用计算法求解。
计算法的思想是，用坐标轴系统绘制一个圆，令半径为R，则距离圆心的x轴方向的距离就是圆的线段最值，可以用如下公式求出：2*R*cos(90°)＝2*R。
五、结论以上介绍了求解初中圆的线段最值问题的几种策略，包括逆向定理、圆心角定理、视觉法和计算法。
教师在教学中应该深入了解这些策略，为学生进行科学的教育，帮助学生更好地理解和掌握圆的线段最值问题的解法，为其未来的学习奠定坚实的基础。
如何求解圆中的最值问题
•56•中学数学研究2020年第5期中点M,连接PM、AM、BM,在AAEM中，由余弦定理得AM2=EA1+EM2_2EA•EMcosl35°=10,而PM =Q，所以PM2+AM2=PA?,于是有PM丄AM.在\EPC中,PE=PC,M为EC中点，则PM丄EC,而EC HAM=M,故有PM丄平面AECD，而PM C平面PEC,所以平面PEC丄平面AECD.点评:本题中要证明面面垂直，若能证出PM丄平面AECD就行了，而证明线线垂直的关键是证明PM丄AM,通过计算边的长度使这一问题化解了，体现了抓住数量关系的重要.三、证明线线垂直例5如图5,在平行四边形ABCD中，厶=60°,AB=2,AD=4,将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面丄平面ABD.求证:丄DE.证明：在中，由于A DAB=60°,AB=2,AD=4,根据余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos60°=12,则有止+BD2=AD2,于是AB丄DB.又平面EDB丄平面ABD,平面EDB n平面ABD=BD,AB U平面图5ABD,则AB丄平面EBD,而DE C平面EBD,故AB 丄DE.点评：在已知两个平面垂直条件时，首要任务是将其转化为线面垂直，然后就有线与线垂直，从而求面积、体积等问题就顺畅了.例6如图6,在空间四边形V-ABC中，底面ABC为正三角形，且E4=VB=VC=AB,又VO丄底面ABC于点是VO的中点，连MA、MB、MC.求证:MA、MB、MC两两互相垂直.证明：设AB=a,连@4、OB、OC,由于VO丄底面ABC且VA=VB=VC,则AVOA公AVOB公△VOC,所以OA=OB=OC,AABC为正三角形，则0为MBC的中心，于是OA=OB=OC=y-a.又图6在RtAVOA中，V。
=^VA2-OA2=普a,则MO= j-VO=曾a.在RtAMOA和RtAMOB中,= OA2+MO2=ya2,MB2=OB2+MO2=^-a2,于是在△MB4中有胚V+MB2=AB?,则厶AMB=90°,即AM丄MB,同理可证MB丄MC,MA丄MC.点评:本题的证明是通过计算得到的线与线垂直，虽然比较繁琐，但方法直接，目标明确，若非要用线面关系来证，可能难有有效的证题思路.如何求解圆中的最值问题福建省福安市第一中学(355000)张忠圆是最为理想化的平面几何图形，与圆有关的最值问题,可抓住圆的几何特征，利用圆心和半径协助解决，也可以运用代数中求最值的方法解决，下面举例分析.―、利用圆的性质例1已知M是圆(％-2)2+(y-1尸=1上的任一点,N是圆仏+1)2+(y+2)2=9上的任一点，求线段的最小值和最大值.解析：由题意,M与N都是动点，但两圆的位置是固定的，即两圆的连心的长是定值，又圆的半径是定值，所以线段丨MN\的最小值即为两圆的连心的长减去两半径的长；最小值即为两圆的连心的长加上两半径的长.又4=7[2-(-1)]2+[1-(-2)]2=3Q,则丨MN\min=3#-3-1=3^-4；M7VI_ =3#+3+1=3Q+4.评注:欲求线段丨MN\的最值，由于M与N都是动点，必须找到两点的极限位置，根据圆的几何特征可知，动点M、N与两圆心在一直线上才能满足题2020年第5期中学数学研究•57•意.例2已知P是直线3%+4y+8=0上的动点，是圆/ +/ -2x-2y+1=0的两条切线，是切点，C是圆心，那么四边形PACE的面积最小值为_________•解析：已知圆化为(%-l)2+(y-l)2=1,知圆心C(l,l),半径r=1,由于PA、PB是圆/+J-2% -2y+1=0的两条切线,是切点，四边形PACE 是由两个直角三角形组成，则四边形pace的面积S =2S apac=I PA I•I AC\=r•\/\PC I2-r2=*1 /PC,-1，故而求四边形PACE的面积最小值，即只需求丨PC\的最小值，易知I PC\的最小值为圆心C到直线3x+4y+8=0的距离，即丨PC\min= d=幕+；+8I=3,所以得到四边形面积的最小值为=2A评注：由四边形的面积最小问题转化为两点间距离最小问题，又进一步转化为圆心到直线的距离.二、运用二次函数例3求经过直线2%+y+4=0和圆x2+y2 +2%-4y+l二0的交点且面积最小的圆的方程.解析：圆的面积最小，就是圆的半径最小.依题意可设过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y +1二0的圆方程为%2+y2+2%-4y+1+入(2%+ y+4)二0,即/ +y2+(2+2入)％+ (-4+A)y+ 1+4A=0,则r2=y(Z)2+E2-4F)=#[(2+2A)2+(-4+A)2-4(1+4A)]=^[5A2-16A +16]=+[5(入-J-)2+乎]，故当入=辛时，圆面积”八有最小值，将入=舟_回代得圆的方程为5/+5y2+26%-12y+37=0.评注：运用圆系方程就可避免二元二次方程组的求解.本题还可以通过分析圆的性质，即以公共弦为直径的圆面积最小，故而所求圆的圆心在弦所在的直线上，将圆心坐标代入直线方程可求出A解题.例4已知直线l-x-ky+2^2=0与圆。
初中圆的线段最值问题的解法
初中圆的线段最值问题的解法关键其实最值问题关键有几点：
1.两点之间线段最短；
2.垂线段最短；
3.完全平方的非负性
4.动点的轨迹
稍微带点难度的就是隐形圆问题：
其实隐形圆主要是根据直径所对圆周角为九十度；到定点等于定长所有点的集合为圆。
目前初中阶段能用到的主要是这两个。
阿波罗尼斯园在平时的模拟卷中也会出现，初中阶段主要是构造相似三角形，然后再去用圆的定义去做，这里一定要注意线段前面的系数，同时也要与“胡不归问题”加以区别。
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圆中最值问题的求解方法
有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳总结此类试题的解题方法．
一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短
例1 （2012宁波）如图1，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝22，
D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______．
分析由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短．
解如图2，连结OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H．
∵在Rt△ADB中，
∠ABC＝45°，AB＝22，
∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2．
由圆周角定理，可知
∠EOH＝1
2
∠EOF＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，
EH＝OE·sin∠EOH
＝
33
1
22
⨯=．
由垂径定理，可知EF＝2EH＝3
点评本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆．
二、两点之间线段最短
例2 （2014三明）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是CD CD
上的一个动点，连结AP，则AP的最小值是_______．
分析 如图4，取BC 的中点E ，连结AE ，交半圆于点P 2，在半圆上取点P 1，连结AP 1，EP 1，可得，AP 1＋EP 1>AE ，即AP 2是AP 的最小值．再根据勾股定理求出AE 的长，然后减掉半径即可．
解 如图4，取BC 的中点E ，连结AE ，交半圆于点P 2，在半圆上取点P 1，连结AP 1，EP 1，可得，AP 1＋EP 1>AE ， ∵22215AE =+=，P 2E ＝1．
∴AP 251=-．
即AP 2是AP 的最小值．
点评 本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键．
三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短
例3 （2014张家界）如图5，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为_______．
分析A 、B 两点关于MN 对称，因而PA ＋PC ＝PB ＋PC ，即当B 、C 、P 在一条直线上时，PA ＋PC 的最小，即BC 的值就是PA ＋PC 的最小值．
解 如图6，连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于点H ．
根据垂径定理，得到
在Rt △BCH 中，根据勾股定理得到
BC ＝72，
则PA ＋PC 的最小值为72．
点评 正确理解BC 的长是PA ＋PC 的最小值，是解决本题的关键．
例4（2014东营）如图7，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8cm ，AC CD BD ==，
M 是AB 上一动点，则CM ＋DM 的最小值是_______cm ．
解析 如图8，作点C 关于AB 的对称点C'，连结C'D 与AB 相交于点M ，根据轴对称确定最短路线问题，点M 为CM ＋DM 的最小值时的位置，根据垂径定理可得'AC AC ，然后求出C'D 为直径，从而得解．
∴CM ＋DM 的最小值是8cm ．
点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM ＋DM 的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．
四、利用切线的性质求最小值
例5（2010苏州）如图9，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为（－1，0），半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是( )
(A)2 (B)1 (C)2－22 (D)2－2
解析 根据三角形的面积公式，△ABE 底边BE 上的高AO 不变，BE 越小，则面积越小，可以判断当AD 与⊙C 相切时，BE 的值最小．根据勾股定理求出AD 的值，然后根据相似三角形求出OE 的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解．
如图10，由题意知道当DA 是圆C 的切线时，OE 最短，此时△ABE 面积最小．
AC ＝2＋1＝3．CD ＝1．
故选C ．
点评 本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE 的长度是解题的关键．
五、立体图形上两点之间最短距离
例6（2014兰州）如图11，有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm 的正三角 形，母线的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路程．
解析 如图12，先确定扇形的圆心角，根据两点之间线段最短，再确定起点和终点，从而求解，
∵△ABC 为正三角形．
∴BC ＝6．
∴l ＝2π×3＝6π．
根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得
66180
n ππ⨯= 故n ＝180°，则∠B'AC ＝90°，
∴B'P 36935+=．
答：小猫所经过的最短路程是＝5
点评 本题考查平面展开最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，根据勾股定理求解．
以圆为载体的最值问题在中考试题中通常以选择、填空的压轴题频繁出现．这类试题“小而精”，集多个知识点于一体，能全方位地考查学生的基本知识、基本技能、解题技巧、以及数学思维和数学素养，成为中考试题中的一朵奇葩，希望同学们在平时学习中，多注意练习总结这类题型的解题方法．。