圆中最值问题的求解方法

圆中最值问题的求解方法

有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳总结此类试题的解题方法．

一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短

例1 （2012宁波）如图1，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝22，

D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______．

分析由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短．

解如图2，连结OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H．

∵在Rt△ADB中，

∠ABC＝45°，AB＝22，

∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2．

由圆周角定理，可知

∠EOH＝1

2

∠EOF＝∠BAC＝60°，

∴在Rt△EOH中，

EH＝OE·sin∠EOH

＝

33

1

22

⨯=．

由垂径定理，可知EF＝2EH＝3

点评本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆．

二、两点之间线段最短

例2 （2014三明）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是CD CD

上的一个动点，连结AP，则AP的最小值是_______．

分析 如图4，取BC 的中点E ，连结AE ，交半圆于点P 2，在半圆上取点P 1，连结AP 1，EP 1，可得，AP 1＋EP 1>AE ，即AP 2是AP 的最小值．再根据勾股定理求出AE 的长，然后减掉半径即可．

解 如图4，取BC 的中点E ，连结AE ，交半圆于点P 2，在半圆上取点P 1，连结AP 1，EP 1，可得，AP 1＋EP 1>AE ， ∵22215AE =+=，P 2E ＝1．

∴AP 251=-．

即AP 2是AP 的最小值．

点评 本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键．

三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短

例3 （2014张家界）如图5，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为_______．

分析A 、B 两点关于MN 对称，因而PA ＋PC ＝PB ＋PC ，即当B 、C 、P 在一条直线上时，PA ＋PC 的最小，即BC 的值就是PA ＋PC 的最小值．

解 如图6，连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于点H ．

根据垂径定理，得到

在Rt △BCH 中，根据勾股定理得到

BC ＝72，

则PA ＋PC 的最小值为72．

点评 正确理解BC 的长是PA ＋PC 的最小值，是解决本题的关键．

例4（2014东营）如图7，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8cm ，AC CD BD ==，

M 是AB 上一动点，则CM ＋DM 的最小值是_______cm ．

解析 如图8，作点C 关于AB 的对称点C'，连结C'D 与AB 相交于点M ，根据轴对称确定最短路线问题，点M 为CM ＋DM 的最小值时的位置，根据垂径定理可得'AC AC ，然后求出C'D 为直径，从而得解．

∴CM ＋DM 的最小值是8cm ．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM ＋DM 的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．

四、利用切线的性质求最小值

例5（2010苏州）如图9，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为（－1，0），半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是( )

(A)2 (B)1 (C)2－22 (D)2－2

解析 根据三角形的面积公式，△ABE 底边BE 上的高AO 不变，BE 越小，则面积越小，可以判断当AD 与⊙C 相切时，BE 的值最小．根据勾股定理求出AD 的值，然后根据相似三角形求出OE 的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解．

如图10，由题意知道当DA 是圆C 的切线时，OE 最短，此时△ABE 面积最小．

AC ＝2＋1＝3．CD ＝1．

故选C ．

点评 本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE 的长度是解题的关键．

五、立体图形上两点之间最短距离

例6（2014兰州）如图11，有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm 的正三角 形，母线的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路程．

解析 如图12，先确定扇形的圆心角，根据两点之间线段最短，再确定起点和终点，从而求解，

∵△ABC 为正三角形．

∴BC ＝6．

∴l ＝2π×3＝6π．

根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得

66180

n ππ⨯= 故n ＝180°，则∠B'AC ＝90°，

∴B'P 36935+=．

答：小猫所经过的最短路程是＝5

点评 本题考查平面展开最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，根据勾股定理求解．

以圆为载体的最值问题在中考试题中通常以选择、填空的压轴题频繁出现．这类试题“小而精”，集多个知识点于一体，能全方位地考查学生的基本知识、基本技能、解题技巧、以及数学思维和数学素养，成为中考试题中的一朵奇葩，希望同学们在平时学习中，多注意练习总结这类题型的解题方法．