第二课时向量数量积的运算律(可编辑修改word版)
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= = AC ⎛ ⎫⎛ ⎫
2.3.2 向量数量积的运算律
类型二、运用向量数量积的运算律求向量的模
【学习目标】： 熟练掌握平面向量数量积的运算律，并会应用。
【自主学习】： 向量数量积的运算律：
（1） 交换律：
例 2、已知 a = b = 5, 向量 a 与b 的夹角为 ，求 a - b ， a + b 。
3
（2） 数乘 向量的数量积 结合律：
那么分配律是否成立呢？ 【合作探究】 分配律：
变式： 在三角形 ABC 中，已知 AB 3, BC 5, ∠ABC = 600
, 求
。
【课堂互动】
类型一、运用向量数量积的运算律计算例 1、求证：
类型二、运用向量数量积的运算律解决有关垂直问题例 2、求证：菱形的两条对角线互相垂直：
已知： ABCD 是菱形， AC 和 BD 是它的两条对角线。
（1） (a + b )
2
= 2
+ 2a ⋅ b + 2
→ →
→ →
；（2） a + b ⎪ a - b ⎪ = ⎝ ⎭⎝ ⎭
→ 2
→
2
a -
b ;
求证： AC ⊥ BD . 证明：
→
→
→ →
变式：已知 a = 3, b = 4, 〈a , b 〉 = 60 , 求(a + 2b ) (a - 3b )
.
总结： a ⊥ b ⇔
。
a b
a b a
⊥
变式： 已 知 a = 3, b = 4 ,且(a + kb ) ⊥ (a - kb ), 求 k 的值。
2
【合作探究】
1 、 若 a,b( b ≠ 0 ) 为 实 数 ， 则
a ⋅
b = a ⋅ b 成 立 ， 对 于 向 量
3、已知 e 1 ， e 2 是夹角为 3
的两个单位向量， a = e 1 - 2e 2 , b = ke 1 + e 2 , 若
a ⋅
b = 0 ，则 k 的值为
。
a ,
b , a ⋅ b = ⋅ 成立吗？
2、若 a,b,c( b ≠ 0 )为实数，则 ab = bc ⇒ a = c ; 但对于向量， ab = bc ⇒ a = c
还成立吗？
4、证明平行四边形中， AC 2 + BD 2 = 2 AB 2 + 2 AD 2.
3、 向量的数量积满足结合律吗，即(a ⋅ b )⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )成立吗？ (a ⋅ b )
⋅ c 表
示什么意义？ a ⋅ (b ⋅ c )
表示什么意义？
【当堂检测】
→ →
< >= 1200 , =
= 5, (2a - b )⋅ a =
1 、 已 知 向 量 a , b 且 a 2, b 则
（选做）5、设 a b , 且 = 2, b = 1, k,t 是两个不同时为零的实数。 。
（1） 若 x = a +
(t - 3)b 与 y = -ka + tb 垂直，求 k 关于 t 的函数关系式 k=f(t);
（2） 求出函数 k=f(t)的最小值。
→
→
→ →
2
2 、 a = 6, b = 8, 〈a , b 〉 = 120 , 求 a + b , a + b .