函数的零点
函数零点
一、 函数的零点1. 零点的概念：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． 2. 函数零点的意义：方程f (x )=0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 3. 零点存在性判定定理：如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,且f (a )·f (b )＜0,则函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点，即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 就是方程f (x )=0的根． 4. 二次函数零点的判定（1）二次函数零点的判定二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表．（2① 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二次零点)，函数值变号． ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号．【说明】对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立． （3）二次函数的零点的应用① 利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图．② 根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质．重难点【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042 如图所示：f【定理2】kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042．如图所示：【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af ．如图所示：推论1 210x x <<⇔0<ac ． 推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a ．【定理4】有且仅有11x k <(或2x )2k <⇔0)()(21<k f k f如图所示：【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b如图所示：二、 二分法1. 对于在区间[],a b 上连续，且满足()()0f a f b <的函数()y f x =通过不断把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．2. 用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证()()0f a f b <，给定精确度． 第二步：求区间(),a b 的中点1x ． 第三步：计算()1f x○1若()10f x =，则1x 就是函数的零点； ○2若()()1.0f a f x <，则令1b x =； ○3若()()10f x f b <，则令1a x =．第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点的近似值a （或b ），否则重复第二、三、四步．函数零点的性判定及求解：【例1】 判断下列函数在给定的区间上是否纯在零点．（1）()2318f x x x =--，[]1.8x ∈ （2）()331f x x x =--，[]1,2x ∈- （3）()()2log 2f x x x =+-，[]1,3x ∈．【解析】（1）方法一：()1200f =-<，()8220f =>，()()180f f ∴⋅<．故()2318f x x x =--在[]1,8上存在零点． 方法二：令23180x x --=，解得3x =-或6x =，()23180f x x x ∴=--=在[]1,8上存在零点． （2）()110f -=-<，()250f =>，()31f x x x ∴=--在[]1,2-上存在零点． （3）()()221log 121log 210f =+->-=，()()223log 323log 830f =+-<-=，()()130f f ∴⋅<．故()()2log 2f x x x =+-在[]1,3上存在零点．【例2】 设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像交点为()00,x y ，则0x 所在的区间（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()1,3D ．()3,4【答案】B【例3】 （天津理2）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2【答案】B【解析】解法1．因为()22260f --=-<，()11230f --=-<，()00200f =+>，所以函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是()1,0-．故选Ｂ． 解法2．()230x f x x =+=可化为23x x =-．画出函数2x y =和3y x =-的图象，可观察出选项Ｃ，Ｄ不正确，且()00200f =+>，由此可排除Ａ，故选Ｂ．例题精讲【例4】 （2010宣武一模理4）设函数231()2x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其零点所在的区间为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【答案】B【解析】 ()f x 在R 上单调增，(1)10f =-<，(2)70f =>，故零点所在区间(1,2)．【例5】 （合肥第三次质检）“14a =-”是“函数()21f x ax x =--只有一个零点”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要C ．必要而不充分D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】由“函数()21f x ax x =--只有一个零点”可得14a =-或0a =，故14a =-充分而不必要．【例6】 （2010浙江文）已知x 是函数()121x f x x=+-的一个零点．若()101,x x ∈，()20,x x ∈+∞，则 A ．()10f x <，()20f x < B ．()10f x <，()20f x > C ．()10f x >，()20f x <D ．()10f x >，()20f x >【答案】B【例7】 （山东理10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x <≤时,()3f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A【解析】因为当02x <≤时，()3f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且()00f =,所以()()()()6420f f f f ===,又因为()10f =,所以()30f =,()50f =,故函数()y f x =的图象在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为6个,选A ．【例8】 （2010福建文）函数()223,0-2+ln ,0x x x f x x x ⎧+-=⎨>⎩≤的零点个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C ．二次函数的零点问题【例9】 方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围________． 【答案】(]5,4--【解析】令()()225f x x m x m =+-+-，要使()0f x =的两根都大于2，则()()()22450,20,22,2m m f m ⎧⎪=---⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩Δ≥ 54m -<<-．【例10】 关于x 的方程()234210m x mx m +-+-=的两根异号，且负的绝对值不正的绝对值大，那么实数m 的取值范围时（ ）A ．30m -<<B ．03m <<C ．3m <-或0m >D ．0m <或3m >【解析】由题意知()()2121216432104032103m m m m x x m m x x m ⎧=-+->⎪⎪⎪+=<⎨+⎪⎪-⋅=<⎪+⎩Δ得30m -<<，故选A ．【变式】（福建文6）若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－2，2）C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞．【答案】C【变式】（重庆理10）设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m k +的最小值为（ ）A ．-8B ．8C ．12D ． 13【答案】D【例11】 已知m ∈R ，函数()()21f x m x x a =-+-恒有零点，求实数a 的取值范围．【答案】当0m =时，a R ∈；当0m ≠时，11a -≤≤【解析】 (1)当0m =时，()0f x x a =-=解得x a =恒有解，此时a R ∈；．(2)当0m ≠时，∵ ()0f x =，即20mx x m a +--=恒有解，∴ 211440m am ∆=++≥恒成立，令()2441g m m am =++ ∵()0g m ≥恒成立，∴2α2∆=16-16≤0，解得11a -≤≤,综上所述知，当0m =时，a R ∈； 当0m ≠时，11a -≤≤．函数图象与方程【例12】 关于x 的方程10ax a +-=在区间()0,1内有实根，求实数a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．12a <C ．112a << D ．12a <或1a > 【解析】只需()()010f f <即可，解得112a <<．【例13】 （2010•上海理17）若0x 是方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则0x 属于区间（ ）【例14】 设123,,x x x 依次是方程12log 2x x +=，2log (2)x +22x x +=的实数根，试比较123,,x x x 的大小 ．【答案】231x x x <<【解析】 在同一坐标内作出函数2y x =-，12x12log y x=，2x y =-的图象从图中可以看出，310x x << 又20x <，故231x x x <<【例15】 （山东理16）已知函数()log a f x x x b =+-（0a >，且0a ≠），当234a b <<<<时，函数()f x 的零点()0,1x n n ∈+，n N *∈，则N =_________ ．【答案】5【解析】方程()log a f x x x b =+-（0a >，且0a ≠）=0的根为0x ,即函数log a y x =()23a <<的图象与函数()34y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且()0,1x n n ∈+，n N ∈*,结合图象,因为当()23x a a =<≤时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标()14,5x b =+∈;当2y =时, 对数函数()log 23a y x a =<<的图象上点的横坐标()4,9x ∈,直线()34y x b b =-<<的图象上点的横坐标()5,6x ∈,故所求的5=．【例16】 （2010广东深圳）已知函数()221f x x ex m =-++-，()()20e g x x x x=+>．（1）若()g x m =有零点，求m 的取值范围；（2）确定m 的取值范围，使得()()0g x f x -=有两个相异样的实根．【解析】（1）()22e g x x e x=+≥等号成立的条件是x e =故()g x 得值域是(]2,e +∞．故此只需2m e >，则()g x m =就有零点． （2）若()()0g x f x -=有两个相异实根，而()()g x f x =中()g x 与()f x 的图像有两个不同的交点．作出()2e g x x x=+()0x >的图像，如图()21f x x ex m =-++-=()221x e m e --+-+，其对称轴为x e =，开口向下，最大值为21m e -+故当212m e e -+>，即221m e e >-++时，()g x 与()f x 有两个交点，即()()0g x f x -=有两个实数根．∴m 的取值范围是()221,e e -+++∞．函数零点的应用【例17】 （辽宁文16）已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是___________．【答案】(],2ln 22-∞-【例18】 （2011•湖南）已知函数()1x f x e =-，()243g x x x =-+-，若有()()f a f b =，则b 的取值范围为（ ）A．2⎡⎣B．(2+C ．[]1,3D ．()1,3【例19】 已知2()log f t t =，8t ⎤∈⎦，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围．【解析】 ∵t ∈8]，∴ ()f t ∈[12，3]， ∴m ∈[12，3] ． 原题转化为：2(2)(2)m x x -+->0恒成立， 当2x =时，不等式不成立．∴2x ≠，令2()(2)(2)g m m x x =-+-，m ∈[12，3]， 则：2212()(2)022(3)3(2)(2)0x g x g x x -⎧=+->⎪⎨⎪=-+->⎩，解得：21x x ><-或． ∴x 的取值范围为(,1)(2,)-∞-+∞．【答案】(,1)(2,)-∞-+∞【例20】 （2009福建卷文）若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0．25， 则()f x 可以是（ ）A ．()41f x x =-B ．()2(1)f x x =-C ．()1xf x e =- D ．()12f x In x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】 A【解析】 ()41f x x =-的零点为14x =，()2(1)f x x =-的零点为1x =, ()1xf x e =-的零点为0x =，()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为x=23．现在我们来估算()422x g x x =+-的零点，因 为g(0)=-1,g(21)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0．25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A ．【例21】 （2010西城一模文20）已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．（1）若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；（2）当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【解析】 （1）设()f x 有零点，即函数2()g x x mx m =-+有零点，所以240m m -≥，解得4m ≥或0m ≤；（2）2()(2)e ()e (2)e x x x f x x m x mx m x x m '=-⋅+-+⋅=-+， 令()0f x '=得0x =或2x m =-， 因为0m <，所以20m -<，当(,2)x m ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当(2,0)x m ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增． 此时，()f x 存在最小值．()f x 的极小值为(0)0f m =<．根据()f x 的单调性，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，解()f x =0，得()f x 的零点为1x =和2x =结合2()()e x f x x mx m =-+⋅可得在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >． 因为0m <，所以120x x <<，并且1(2)2x m m --=+=4|2|4(2)1022m m m m -+---+-->===>，即12x m >-，综上，在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，0m <，所以，当0m <时()f x 存在最小值，最小值为m ．【例22】 设函数()32f x x ax bx a =+++，()232g x x x =-+，其中x R ∈，a ，b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点()2,0处有相同的切线1． (I) 求a ，b 的值，并写出切线1的方程；(II)若方程()()f x g x mx +=有三个互不相同的实根0，1x ，2x ，其中12x x <，且对任意的1,2x x x ⎡⎤∈⎣⎦，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围．判断函数()y f x =在某区间上是否有零点，有几个零点，常用以下方法： 解方程：方程根的个数即为零点的个数 定理法：利用函数零点存在性定理直接判断图像法：转化为求两个函数图像的交点个数问题进行判断课后总结【习题1】 （天津文4）函数()e 2xf x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2 【答案】C【解析】因为()11e 120f --=--<，()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->，所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选Ｃ．【习题2】 偶函数()f x 在区间[]0,a ()0a >是单调函数，且满足()()00f f a <，则函数()f x 在区间[],a a -内零点的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C ．【习题4】 （2009安徽卷理）设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是（ ）【答案】 C【解析】/()(32)y x a x a b =---，由/0y =得2,3a bx a x +==，∴当x a =时，y 取极大值0，当课堂检测23a bx +=时y 取极小值且极小值为负．故选C ．【习题5】 方程2210(0ax x a --=>，且1)a ≠在区间[]1,1-上有且仅有一个实根，求函数23xxy a -+=的单调区间．【解析】 令2()21f x ax x =--，（1）由(1)20f a -==，得0a =，舍去； （2）由(1)220f a =-=，得1a =，舍去； （3）(1)(1)0f f -⋅<⇔20a a -<⇔01a << 综上：01a << 对于函数23xxy a -+=，令t y a =，221133()612t x x x =-+=--+则t y a =在R 上为减函数，t 在1(,]6-∞上为增函数，在1[,)6+∞上为减函数． ∴当1(,]6x ∈-∞时，23x x y a -+=是减函数；当1[,)6x ∈+∞时，23x x y a -+=是增函数．【答案】单调减区间1(,]6-∞单调增区间1[,)6+∞【习题6】 若函数()()01xf x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 _________．【答案】}1|{>a a【解析】 设函数(0,x y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点, 就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a=+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点（0，a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是}1|{>a a ．。
函数零点的概念
函数零点的概念
函数零点是一种非常重要的概念，用于解释复杂的数学函数。
它是一种特殊的解，它可以帮助我们理解函数的特性，并预测函数可能出现的曲线。
函数零点可以被函数本身、函数零点所在的性质以及函数对应的几何意义来解释。
一般来说，函数零点是函数的一个特殊点。
它是一个函数的特殊点，这个特殊点的函数值为0.0，我们把这个特殊点叫做函数零点。
通常当函数满足一些特定的几何性质时，函数零点就会出现。
函数零点有很多种，其中最常用的是定义在实数域上的函数零点。
实数域上的函数零点可以用数学方法求解，也可以用解析函数解析求得。
实数域上的函数零点也可以用图像法求得，但是这种方案只能用来探索函数零点的性质，不能求得函数零点的精确值。
此外，实数域上的函数零点还可以通过求导和极值的方法求得，求导可以得到函数的斜率，从而可以确定函数的零点；而极值可以求得函数的极大值和极小值，由于函数的值在极值的点的左右附近都在变动，因此也可以用来推测函数零点的位置。
而除了实数域上的函数零点，还有复数域上的函数零点等一些特殊的函数零点。
函数零点对于函数的研究和分析有着重要的意义，它可以让我们更好地分析函数，并预测函数可能出现的曲线。
函数零点也是很多科学研究中用到的重要概念，因此，了解函数零点的概念十分有必要。
总的来说，函数零点是一种非常重要的概念，可以帮助我们理解函数的性质，并预测函数可能出现的曲线。
它可以帮助我们更好地分
析函数，并且在科学研究中也非常有用，因此，了解函数零点的概念十分重要。
函数的零点与函数像的关系
函数的零点与函数像的关系函数的零点与函数值的关系在数学中，函数的零点指的是使得函数的值为零的输入值。
而函数的像则是函数映射的结果，即函数的输出值。
函数的零点与函数值之间有着密切的关系，本文将探讨这种关系以及相关的数学概念。
一、零点的定义函数的零点，又称为函数的根，是指使得函数等于零的输入值。
对于一个函数f(x)，若存在一个实数a，使得f(a)=0，则称a为函数f(x)的零点。
二、零点与函数值的关系2.1 零点与函数图像的交点在函数的图像中，函数的零点对应于曲线与x轴的交点。
当函数在某一区间内的函数值由正数变为负数时，就意味着函数在该区间内存在一个零点。
同理，当函数的函数值由负数变为正数时，也意味着函数在该区间内存在一个零点。
2.2 零点与函数的性质函数的零点是函数的一个重要性质。
在函数的零点处，函数的值为零，因此零点是函数图像与x轴相交的点，也是函数曲线上的特殊点。
在函数图像中，零点将曲线分割成不同的区域，对于函数的增减性以及图像的凹凸性等有着重要的影响。
三、零点的求解方法3.1 图像法通过绘制函数的图像，可以直观地观察到函数的零点所在的位置。
根据图像的形状，可以初步估计函数的零点所在的区间，并使用逼近法等方法进一步求解。
3.2 利用方程求解对于给定的函数f(x)，可以将函数转化为方程，然后使用代数方法求解零点。
例如，对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c，可以将方程f(x)=0转化为求解二次方程ax^2+bx+c=0的根的问题。
3.3 数值逼近法当函数的解析解难以求得或不存在时，可以使用数值逼近法求得函数的零点。
常用的数值逼近方法包括二分法、牛顿法和割线法等。
四、零点的应用领域函数的零点在数学和实际应用中具有广泛的应用。
在代数方程求解、物理学中的运动学问题、金融学中的根据收益率求解等领域都需要使用到零点的概念和求解方法。
五、总结函数的零点与函数的像有着密切的关系。
零点是使得函数的值为零的输入值，而函数值描述了函数映射的结果。
函数的零点与方程的解的关系
函数的零点与方程的解的关系在数学中，函数的零点和方程的解是两个非常重要的概念。
函数的零点指的是函数取值为零的点，而方程的解则是使方程等号成立的数值。
在这篇文章中，我们将探讨函数的零点和方程的解之间的关系。
1. 函数的零点函数的零点是指函数在自变量取何值时，函数的取值等于零。
数学上常用符号表示函数的零点，如对于函数f(x)，其零点通常表示为f(x) = 0。
求解函数的零点可以通过方程求解的方法来实现。
2. 方程的解方程的解是指使方程成立的数值。
方程是一个数学表达式，通常使用等号将两个表达式连接起来。
方程的解可以是实数或复数，取决于方程的类型和要求。
3. 函数的零点与方程的解的联系函数的零点与方程的解之间存在紧密的联系。
一方面，我们可以将函数的零点转化为方程，通过求解方程来确定函数的零点。
另一方面，方程的解也可以代入函数中，判断是否为函数的零点。
4. 使用函数的零点求解方程当我们要求解一个方程时，有时候可以将方程转化为函数的形式，并找到该函数的零点来得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以将其转化为函数f(x) = x^2 - 4，然后求解函数f(x) = 0的零点来得到方程的解。
5. 函数的零点与方程的解的示例让我们以一个简单的例子来说明函数的零点与方程的解之间的关系。
考虑方程x^2 - 9 = 0，我们将其转化为函数f(x) = x^2 - 9，然后求解函数f(x) = 0的零点。
首先，我们将函数的表达式设置为零：x^2 - 9 = 0。
然后解这个方程，我们可以得到x = 3或x = -3。
这两个数值就是方程的解，也是函数f(x) = x^2 - 9的零点。
6. 应用举例函数的零点和方程的解在许多领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，函数的零点可以表示系统的平衡点，而方程的解可以用来描述物理现象。
另一个例子是金融领域中的利息计算。
我们可以将某个金融问题建模为一个函数，并通过求解函数的零点来得到方程的解，从而计算出利率或其他相关的数值。
解析函数的零点及唯一性
知 z 1 是 f ( z ) 的一级零点 . (2)由于 f (0) cos z z 0 1 0, 知 z 0是 f ( z ) 的一级零点. 练习 求 f ( z ) z 5 ( z 2 1)2 的零点及级数 . 答案
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练习
1 求 3 的奇点, 如果是极点, 指出它的 2 z z z 1 级数. 1 1 答案 由于 3 2, 2 z z z 1 ( z 1)( z 1)
所以 : z 1是函数的一级极点 , z 1是函数的二级极点 .
11
推论1 点 z为 0
是
1 的 f (z)
3
另外，我们有 定理2 z0 为 f ( z ) 的 m级零点的充要条件为
f ( z ) ( z z0 )m ( z )
其中 ( z ) 在点 z0 解析，且 ( z0 ) 0 我们下面仅证明其必要性。充分性自己思考。
4
证明：如果 z0 是函数 f ( z )的m级零点，则
f ( z )在z0点的Taylor 级数展开式为
17
n
所以 x 0 是零点xn 的极限点，不是孤立的.
8
推论：设 f ( z ) 在区域 D内解析，{ zn }(n=1,2,…) 是 f ( z )在 D 内的一列零点，且 zn z0 D ， 当
) 中必恒为零。 n 则 f ( z在 D
解析函数的唯一性定理：
设 f ( z ) 与 g( z ) 在区域 D 内解析，{ zn } (n=1,2,…)
1
f ( z0 ) 0
且存在自然数 定义 若 z0 为函数 f ( z ) 的零点， m 1 使 f ( z ) 在 z 的Taylor z z ) n 0
函数的零点是什么意思
函数的零点是什么意思
答：函数的零点就是当f（x）=0时对应的自变量x的值，需要注意的是零点是一个数值，而不是一个点，是函数与X轴交点的横坐标。
一般地，对于函数y=f(x)（x∈R），我们把方程f(x)=0的实数根x叫作函数y=f(x)(x∈R)的零点。
即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值。
函数的零点不是一个点，而是一个实数。
得某系统的传递函数G(s)为0的s的值(注意s为复数)，该值在复平面上的点，就是零点。
若该系统的输入为U(s)，当s取值为零点处的值，则G(s)=0。
又因为系统输出Y(s)=G(s)·U(s)，而s的特殊取值使得G(s)=0，所以此时无论输入信号为何种形式，最终输出Y(s)都是0，这也是零点的实际意义。
也可以这样说，若某系统工作在零点上，那么此时任何输入经过该系统后，输出都是0。
数学零点的概念
数学零点的概念零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即令函数y=f（x）=0的x的值。
其相关内容如下：1、零点是函数的一个基本性质之一。
任何函数都可以被定义为在某个区间内与x轴的交点，这些交点的横坐标就是这个函数的零点。
对于一个函数来说，零点是函数值为0的点，也是函数图像穿过x轴的位置。
2、零点也是代数中的一个重要概念。
在代数中，零点被定义为方程的根，也就是令方程等于0的未知数的值。
这个概念与函数中的零点密切相关，因为任何一个多项式函数都可以被看作是一个一元方程的根的函数。
3、零点还有一些重要的定理和性质。
例如，零点定理是微积分中的一个基本定理，它证明了如果函数在区间端点的函数值异号，则函数在这个区间内至少有一个零点。
这个定理在解决一些实际问题时非常有用。
写定义的方法：1、明确要定义的概念或事物。
首先需要明确自己要定义的是什么，这样才能更好地展开后续的写作。
搜集相关资料和信息。
通过查阅相关资料和信息，了解这个概念或事物的背景、特点、应用场景等信息，为后续的定义提供参考。
2、归纳总结。
将搜集到的资料和信息进行归纳总结，提取出这个概念或事物的核心特征和本质属性，以及与其他概念或事物的区别和联系。
组织语言。
根据归纳总结的结果，组织适当的语言来描述这个概念或事物。
3、反复修改和完善。
在完成初步的定义后，需要反复修改和完善，确保定义的准确性和可读性。
可以请其他人阅读并提出意见和建议，以便更好地改进和完善定义。
定义不宜过于复杂或抽象，应该尽量简洁明了，让读者易于理解。
1。
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
第15节 函数的零点
典例分析：
例 4：已知函数 f（x）的图象是连续不断的，有如下的 x，f（x）的对应表：
则函数 f（x）存在零点的区间有（ ）
A．区间[2，3]和[3，4]
B．区间[3，4]、[4，5]和[5，6]
C．区间[2，3]、[3，4]和[4，5] D．区间[1，2]、[2，3]和[3，4]
解：由已知条件可得：f（1）=﹣8＜0，f（2）=2＞0，f（3）=﹣3＜0，f（4）=5
高中数学 必修一
第二章 函数 第15节 函数的零点
第二章 函数
第十五节 函数的零点
必备新知
1．函数的零点
如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的值等于零，即 f(α)＝0，则 α 叫做这个函数的零点．在坐标系
中表示图象与 x 轴的公共点是(α，0)．
典例分析：
例 1：求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1.
3.已知函数
则方程 f（x）+1=0 的实根个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：画出函数
和 y=﹣1 的图象，
方程 f（x）+1=0 即 f（x）=﹣1， 结合图象易知这两个函数的图象有 2 交点， 则方程 f（x）+1=0 的实根个数为 2． 故选 C．
4.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调，f（2） ＞0＞f（1），则函数 f（x）的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
典例分析：
例 6：（1）函数 f（x）=x2﹣2x+a 在区间（1，3）内有一个零点，则实数 a 的取值
范围是（ ）
A．（﹣3，0）
B．（解：﹣∵3令，f1（）x）=Cx2．﹣（2x﹣+a1，，它3的）对称D轴．为（x﹣=1，1，1）
函数的零点
函数的零点零点这一块内容知识点比较少，但我相信本文引用的例题对于高一新生来说有较大的参考价值。
【零点】设有一函数f(x)，我们把能够使f(x)=0的实数x_0称为函数f(x)的一个“零点”。
显然，函数的零点和它的图像与x轴交点横坐标对应（零点并非几何意义上的点，而是数字，但在不关心数值，只关心零点个数的时候，我们不必强调“横坐标”这件事，因为这并不影响“对应”一词的正确性）。
零点可以通过解方程f(x)=0得到，但零点个数不一定与对应方程的实根个数相同。
例如f(x)=(x-1)^2(x-2)(x^2+1)，我们说对应方程有三个实根：x_1=x_2=1，x_3=2，但说函数的零点只有1，2两个。
不难理解，对于函数F(x)=f(x)-g(x)，它的零点对应函数f(x)与g(x)图像的交点。
特别地，如果g(x)=c，从而是一个常数函数，那么F(x)的零点就对应函数f(x)的图像与直线y=c的交点。
【例】【2020-2021学年嘉兴市高一上期末统考】（多选）若定义在\bold{R} 上的函数 f(x) 满足 f(-x)+f(x)=0 ，当 x<0 时，f(x)=x^2+2ax+\dfrac 32a （ a \in \bold{R} ），则下列说法正确的是：A. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有两个不同的实数根，则 a<0 或4<a<8 ；B. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有两个不同的实数根，则 4<a<8 ；C. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有4个不同的实数根，则 a>8 ；D. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有4个不同的实数根，则 a>4 。
解：首先，由题意， f(x) 是奇函数，这样就可以根据已知的 x<0时的解析式写出函数在 \bold{R} 上的解析式：f(x)=\begin{cases} -x^2+2ax-\dfrac 32a& (x>0)\\ 0& (x=0)\\x^2+2ax+\dfrac 32a& (x<0) \end{cases}根据选项，设 g(x)=ax+\dfrac a2 。
数学中的函数零点与函数最值问题
数学中的函数零点与函数最值问题数学中的函数零点与函数最值问题是数学分析中的重要概念和应用。
在这篇文章中，我们将讨论函数零点和函数最值的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、函数零点的定义和性质1. 函数零点的定义在数学中，函数零点是指函数取值为零的点，即满足f(x) = 0的x 值。
记作x0 = 0，其中f(x)表示函数。
2. 函数零点的性质（1）函数零点存在性：对于连续函数来说，如果f(a)和f(b)异号（f(a)·f(b)<0），那么在(a,b)之间必然存在一个零点x0。
（2）函数零点的唯一性：对于严格单调函数来说，它只有一个零点。
但对于非单调函数来说，它可能有多个零点。
（3）函数零点的计算方法：求解函数零点可以通过图像法、解析法以及迭代法等方法。
其中，图像法通过绘制函数图像来确定零点的位置；解析法通过代数运算来推导零点的表达式；迭代法通过不断逼近函数零点的值。
二、函数最值的定义和性质1. 函数最值的定义函数的最值是指函数在定义域上取得的最大值和最小值。
最大值称为函数的极大值，最小值称为函数的极小值。
2. 函数最值的性质（1）最值的存在性：对于连续函数来说，在闭区间[a,b]上必然存在最大值和最小值。
但对于非连续函数来说，最值的存在性需要进一步判断。
（2）最值的唯一性：对于连续函数来说，最大值和最小值是唯一的。
但对于非连续函数来说，最值可能不唯一。
（3）最值的计算方法：求解最值可以通过求导数的方法来找出函数的驻点，进而判断最值所在的位置；也可以通过函数图像来观察最值的位置。
三、函数零点与函数最值问题的应用函数零点与函数最值问题在数学和实际应用中有着广泛的应用。
1. 函数零点的应用（1）方程求解：将方程转化为函数的形式，通过求解函数的零点来解方程。
（2）根据函数图像判断方程解：通过观察函数图像，可以判断方程在不同区间上有多少个解。
（3）曲线的与坐标轴的交点：曲线与x轴和y轴的交点即为函数的零点。
高三数学函数的零点与方程根的联系知识点
高三数学函数的零点与方程根的联系知识点一函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：一般地，如果函数y =fx在实数a处的值等于零，即fa=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：对于任意函数y=x只要它的图象是连续不间断的，则有：1当它通过零点时不是二重零点，函数值变号.如函数fx=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正.2在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，方程的根与函数的零点的联系：方程fx=0有实根函数y=fx的图像与x轴有交点函数y=fx有零点二1.对数1对数的定义：如果ab=Na>0，a≠1，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.2指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=ba>0，a≠1，N>0.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.3对数运算性质:①logaMN=logaM+logaN.②logaM/N=logaM-logaN.③logaMn=nlogaM.M>0，N>0，a>0，a≠1④对数换底公式：logbN=logab/logaNa>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0.2.对数函数1对数函数的定义函数y=logaxa>0，a≠1叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是0，+∞.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢?在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立比如，log-2 4^-2 就不等于-2*log-24;一个等于1/16，另一个等于-1/162对数函数的性质:①定义域：0，+∞.②值域：R.③过点1，0，即当x=1时，y=0.④当a>1时，在0，+∞上是增函数感谢您的阅读，祝您生活愉快。
函数的零点
1 3 f(x)＝ex－1 的零点为 x＝0，f(x)＝ln(x－2)的零点为 x＝2，现在我们来估 1 算 g(x)＝4x＋2x－2 的零点，因为 g(0)＝－1，g(2)＝1，所以 g(x)的零点 1 x∈(0，2)，又函数 f(x)的零点与 g(x)＝4x＋2x－2 的零点之差的绝对值不 超过 0.25，只有 f(x)＝4x－1 的零点适合，故选 A.
则a的范围为________． 解析：由题意f(1)f(0)<0，∴a(2＋a)<0，∴－2<a<0.
答案：(－2,0)
5．(2012届温州八校联考)关于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－
2|－a＝0有实根的充要条件是(
)
A．a≥－4 C．a<0
B．－4≤a<0 D．－3≤a<0
解析：令t＝3－|x－ 2|∈(0,1]，∴t2－4t－a＝0在(0,1]内有 根，∴a＝t2－4t t∈(0,1]，∴a∈[－3,0)． 答案：D
[解析] 令 f(x)＝log2(x＋1)－1＝0，得函数 f(x)的零点为 x＝1，于是抛 1 物线 x＝ay2 的焦点的坐标是(1,0)，因为 x＝ay2 可化为 y2＝ax，所以
1>0 a 1 4a＝1
[答案] 1 4
1 ，解得 a＝4.
本小节结束
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)
解析：∵f′(x)＝ex＋1＞0，∴f(x)＝ex＋x－2在R上是增函数．
而f(－2)＝e－2－4＜0，f(－1)＝e－1－3＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝ e－1＞0，f(2)＝e2＞0，∴f(0)·f(1)＜0.故(0,1)为函数f(x)的零点所在 的一个区间． 答案：C
2．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为( A．2 B．3 C．1
高中数学讲义：函数零点的个数问题
函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =Î，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =Î的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b Î，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <Þ在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f æö><ç÷èø即可判定其零点必在1,12æöç÷èø中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
函数的零点知识点总结
函数的零点知识点总结一、函数的定义与性质1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）的规则或方法。
形式上，函数可以表示为f: X → Y，其中 X 是自变量的集合，Y 是因变量的集合，f 是一个特定的规则或方法。
1.2 函数的性质（1）定义域和值域：对于函数f: X → Y，定义域是指所有可能的自变量的取值集合，而值域是指所有可能的因变量的取值集合。
（2）单调性：函数在其定义域上的单调性描述了函数的增减规律。
一个函数可能是增函数、减函数或者不变函数。
（3）奇偶性：对于函数 f(x)，如果 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
（4）周期性：如果存在一个正数 T，使得对于任意的 x，有 f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性，T 称为该函数的周期。
（5）连续性：如果一个函数在某个区间上具有连续性，即在该区间内任意两点 x 和 y 之间都存在一点 z，使得 f(z) 介于 f(x) 和 f(y) 之间，那么该函数在这个区间上是连续的。
（6）可导性：如果一个函数在某一点处具有导数，那么称该函数在该点可导。
二、零点的概念与方法2.1 零点的定义函数的零点是指使得函数取值为零的自变量。
形式上，如果 f(a) = 0，那么 a 就是函数 f 的一个零点。
2.2 求解零点的方法对于一般的函数，其零点通常需要通过特定的方法来求解，以下是一些常用的方法：（1）代数法：对于一些简单的函数，可以通过代数运算将函数转化成方程，然后直接求解方程来得到零点。
（2）图像法：通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的零点。
（3）数值法：对于复杂的函数，可以通过数值计算的方法来逼近函数的零点，如二分法、牛顿迭代法等。
（4）分析法：对于一些特殊函数，可以通过数学分析的方法来得到函数的解析解。
三、常见函数的零点3.1 一次函数的零点一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是实数且a ≠ 0。
求函数零点的四种解题方法
求函数零点的四种解题方法在代数学中，函数的零点是使得函数值为零的输入值。
求解函数的零点是数学中常见的问题之一、以下将介绍四种常用的方法来求解函数的零点。
方法一：图像法图像法是一种常用的直观方法，在解决函数零点问题时非常有用。
它主要通过绘制函数图像来确定函数零点的位置。
具体步骤如下：1.首先，根据函数的定义确定函数的定义域和值域。
2.使用合适的比例和区间，在坐标轴上绘制函数的图像。
3.根据图像的形状和变化，使用直观的方法估计函数的零点的位置。
4.根据估计的位置，使用更精确的方法来求解函数的零点。
图像法的优点是直观、易于理解，在初步估计函数零点的位置时非常有用。
然而，它对于精确求解函数的零点并不总是有效，需要进一步使用其他方法来提高精度。
方法二：因数分解法因数分解法是一种常见的方法，适用于多项式函数（特别是一次、二次和三次多项式函数）。
它的基本思想是将多项式函数分解为两个或更多个因式相乘的形式，然后根据因式为零的性质来求解函数的零点。
具体步骤如下：1.将多项式函数表示为二项式或多项式的乘积。
2.令每个因式为零，解得每个因式的解。
3.将解代入原多项式函数，验证是否为零点。
因数分解法通常适用于可因式分解的多项式函数。
然而，对于高次多项式函数，因数分解法可能不太实用，因为需要找到合适的因式分解形式。
方法三：代入法代入法是一种常用的方法，适用于无法通过因数分解或图像法求解函数的零点。
具体步骤如下：1.首先，从函数的定义出发，选择一个合适的变量替换，将原函数转化为一个新的函数。
2.将新函数设置为零，并求解变量的值。
3.将求解得到的变量值代回原函数，验证是否为零点。
在实际应用中，选择合适的变量代换往往是关键。
代入法通常适用于复杂函数的求解，但也可能需要使用其他数值或近似方法来解决问题。
方法四：数值法数值法是一类通过数值计算来解决函数零点问题的方法。
它主要通过数值逼近的原理和算法，以迭代的方式逐步求解函数的零点。
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函数的零点
■教材：人教版高中数学必修1〖教学设计说明〗
本节课知识点为课程改革后新增内容——通过函数与方程研究进一步探讨函数的性质即函数零点不变性
我所授课的班级为我校普通班学生。
班级构成男生较多，思维活跃但落实欠佳，学生的能力一般，属于中等水平。
本节知识在处理过程中主要想通过学生所熟悉的知识入手，引出零点概念——通过功能题组由学生自己总结出1、求函数零点的步骤及2、学生们熟悉的基本初等函数零点情况3、一元高次函数零点的求解方法等——再通过图组引导学生发现并总结出连续函数零点的性质——最后利用零点的性质解决问题。
这样的处理方式是想让学生在解决旧问题的过程中收获新知识，并利用新知识解决新问题。
在教学中，注意引导学生自主探索，通过抽象、概括形成概念，在这个过程中让学生体会收获知识的快乐，养成学生探求新知的方法和能力。
本节内容希望学生从数、形的双重角度去认识零点，同时还突出零点在作图中的应用。
通过PPT 应用，能够使学生在认识上更加直观，同时可以增加课堂的容量。
学生热情、活跃，通过多媒体可以使学生增加感性认知。
〖教学设计〗
【教学目标】
（一）知识与技能
理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与
方程根的关系。
体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。
（三）情感态度与价值观
让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想，逐步学会用辩证与联系的观点看问题和分析问题。
【教学重点】
【教学难点】
函数零点的应用。
【教学过程】
一、复习引入 请作出函数2()23f x x x =--+的草图；
解：解方程得：123,1x x =-= 过与x 轴的交点(3,0),(1,0)-，顶点(1,4)-
函数2()23f x x x =--+ (3,0),(1,0)-
令0y =
2230x x --+= 解方程 123,1x x =-=
二、形成概念
零点定义：一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则α叫做这个函数的零点。
三、概念深化及应用
练习1：求下列各函数的零点 请学生总结通过这组练习能得到什么结论？ a 、 求函数零点的步骤。
b 、 不是所有的函数都有零点。
例如反比例函数就不存在零点。
辅助作图 222251)2)473)44
4)23
5)236)(23)(1)7)2y x y x y x x y x x y x x y x x x y ==--=-+=-+=--=---=数形结合
c 、 一次函数有且只有一个零点。
d 、 二次函数的零点的情况由令()0f x =所形成的二次方程的根情况确定。
当一元二次方程有两个相
等的实根时，对应的二次函数有一个二重零点。
e 、 一元高次函数的零点的求法：利用因式分解解方程得到函数的零点。
由学生根据图象总结归纳出函数零点的性质。
通过观察函数图象得出函数值大于0或小于0所对应的自变量的取值范围只与零点相关。
连续的函数图象过零点且穿过x 轴时，函数值变号,，相邻两个零点之间的函数值同号。
练习3、下列函数的自变量在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0，或等于0？ （1）2
()23f x x x =--+
（2）2(2)(1)y x x =--
（3）3222y x x x =--+
（1）解：当(,3)x ∈-∞-时，0y <；当(3,1)x ∈-时，0y >；当(1,)x ∈+∞时，0y <。
学生自己总结得出零点定义.。
（2）略。
（3）解：1）322222(2)(2)(2)(1)(2)(1)(1)x x x x x x x x x x x --+=---=--=--+所以已知函数的零点为1,1,2-
2）步骤：建系，标零点；穿线得草图。
3）由图可知，当1,1,3x =-时，函数值为0.当(,1)(1,3)x ∈-∞-⋃时，函数值小于0；当(1,1)(3,)x ∈-⋃+∞时，函数值大于0.
点评：本题为我们提供了一元二次及一元高次不等式的解法。
利用了数形结合的思想。
练习四、解不等式32
220x x x --+>
四、【思考题】：
1）若连续函数()f x 在区间(),a b 上存在唯一的零点，则()f a 与()f b 的符号会有怎样的关系？
2）对于区间(),a b 上的连续函数()f x ，若()f a 与()f b 异号，则区间(),a b 上零点的个数？
课堂小结：
1、 知识方面：学习了函数零点的定义及其求法，利用函数的零点做出函数的草图。
2、 思想方面：转化的思想，数形结合的思想。
3、 方法方面：高次方程求根——因式分解法、
作业：
课本75页，习题2—4A,2,3,4,5,
〖教学评析〗 毛英（首师大附属育新学校）
《函数的零点》这节课整体设计符合新课标要求，教材把握非常准确到位，通过教师与学生的有效互动使三位教学目标得以落实。
本节课有如下几个亮点：
亮点1：为了使教学目标得到有效的落实，在以下两个环节进行了精心设计：（1）从学生熟悉的二次函数的图像入手，通过对图像的研究自然引出零点的概念，既符合学生的最近发展区又通过具体的模型抓住了函数零点的关键要素。
（2）通过一组学生熟悉的题组既关注了知识上的衔接又巩固了函数的零点的概念。
以上两个环节在教师与学生的互动中流畅地完成了，有效体现了以学生为本的新课程理念，有效揭示了概念的本质。
亮点2：从引入到利用函数的零点研究未学过的三次函数的图像，层层递进，过度自然，水到渠成。
体现函数的思想、函数的本质特征，怎么样研究函数？从什么角度切入？怎么看函数图像？怎样从概念中产生解决新问题的方法。
如本节例题就是紧扣函数零点的概念，函数的零点既是解决问题的关键也是问题的切入点。
以上诸问题皆在教师精心设计的教学环节中有所体现且较好完成。
亮点3：教师从以下四个维度体现出对本节课的整体把握。
（1）整体把握知识内容。
不仅仅是讲函数的零点，而是讲出函数零点背后的东西(函数的零点的本质，函数零点的价值) （2）整体把握学生学习。
学生的主体性通过学生的活动（思考教师提出的问题、讨论、实践等）充分体现出来（3）整体把握数学思想方法。
函数的零点既体现研究函数的方法又体现函数和方程不等式的联系，所以概念本身就体现着转化与联系，在特殊与一般的转化过程里自然渗入着辩证思维，不仅能巩固新的概念而且还在转化过程中思维品质得到不断提升，这些都可以帮助学生有效地学习数学,提高学习数学的兴趣,更加抓住数学的本质,全面地认识数学,提高获取数学知识的能力。
本节课从始至终贯穿了函数的思想。
（4）整体把握三维教学目标。
有了前三个整体把握，三维教学目标的落实水到渠成。
本节课高潮迭起学生不仅积极热烈参与讨论和研究且完成质量较高，充分说明三位教学目标的高效落实。
亮点4：教师对教材的理解很深刻，对教材的处理非常到位，教态十分亲切自然，富于感染力，
使得整个教学过程充满艺术氛围。
板书美观，多媒体课件恰到好处。
改进之处：密度有些小。
可以考虑把二分法提到本节课中。