函数的零点

函数的零点

■教材：人教版高中数学必修1〖教学设计说明〗

本节课知识点为课程改革后新增内容——通过函数与方程研究进一步探讨函数的性质即函数零点不变性

我所授课的班级为我校普通班学生。班级构成男生较多，思维活跃但落实欠佳，学生的能力一般，属于中等水平。

本节知识在处理过程中主要想通过学生所熟悉的知识入手，引出零点概念——通过功能题组由学生自己总结出1、求函数零点的步骤及2、学生们熟悉的基本初等函数零点情况3、一元高次函数零点的求解方法等——再通过图组引导学生发现并总结出连续函数零点的性质——最后利用零点的性质解决问题。这样的处理方式是想让学生在解决旧问题的过程中收获新知识，并利用新知识解决新问题。在教学中，注意引导学生自主探索，通过抽象、概括形成概念，在这个过程中让学生体会收获知识的快乐，养成学生探求新知的方法和能力。

本节内容希望学生从数、形的双重角度去认识零点，同时还突出零点在作图中的应用。通过PPT 应用，能够使学生在认识上更加直观，同时可以增加课堂的容量。学生热情、活跃，通过多媒体可以使学生增加感性认知。

〖教学设计〗

【教学目标】

（一）知识与技能

理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与

方程根的关系。体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。

（三）情感态度与价值观

让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想，逐步学会用辩证与联系的观点看问题和分析问题。

【教学重点】

【教学难点】

函数零点的应用。

【教学过程】

一、复习引入 请作出函数2()23f x x x =--+的草图；

解：解方程得：123,1x x =-= 过与x 轴的交点(3,0),(1,0)-，顶点(1,4)-

函数2()23f x x x =--+ (3,0),(1,0)-

令0y =

2230x x --+= 解方程 123,1x x =-=

二、形成概念

零点定义：一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则α叫做这个函数的零点。

三、概念深化及应用

练习1：求下列各函数的零点 请学生总结通过这组练习能得到什么结论？ a 、 求函数零点的步骤。 b 、 不是所有的函数都有零点。例如反比例函数就不存在零点。

辅助作图 222251)2)473)44

4)23

5)236)(23)(1)7)2y x y x y x x y x x y x x y x x x y ==--=-+=-+=--=---=数形结合

c 、 一次函数有且只有一个零点。

d 、 二次函数的零点的情况由令()0f x =所形成的二次方程的根情况确定。当一元二次方程有两个相

等的实根时，对应的二次函数有一个二重零点。

e 、 一元高次函数的零点的求法：利用因式分解解方程得到函数的零点。

由学生根据图象总结归纳出函数零点的性质。

通过观察函数图象得出函数值大于0或小于0所对应的自变量的取值范围只与零点相关。

连续的函数图象过零点且穿过x 轴时，函数值变号,，相邻两个零点之间的函数值同号。

练习3、下列函数的自变量在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0，或等于0？ （1）2

()23f x x x =--+

（2）2(2)(1)y x x =--

（3）3222y x x x =--+

（1）解：当(,3)x ∈-∞-时，0y <；当(3,1)x ∈-时，0y >；当(1,)x ∈+∞时，0y <。

学生自己总结得出零点定义.。

（2）略。

（3）解：1）322222(2)(2)(2)(1)(2)(1)(1)x x x x x x x x x x x --+=---=--=--+所以已知函数的零点为1,1,2-

2）步骤：建系，标零点；穿线得草图。

3）由图可知，当1,1,3x =-时，函数值为0.当(,1)(1,3)x ∈-∞-⋃时，函数值小于0；当(1,1)(3,)x ∈-⋃+∞时，函数值大于0.

点评：本题为我们提供了一元二次及一元高次不等式的解法。利用了数形结合的思想。

练习四、解不等式32

220x x x --+>

四、【思考题】：

1）若连续函数()f x 在区间(),a b 上存在唯一的零点，则()f a 与()f b 的符号会有怎样的关系？

2）对于区间(),a b 上的连续函数()f x ，若()f a 与()f b 异号，则区间(),a b 上零点的个数？

课堂小结：

1、 知识方面：学习了函数零点的定义及其求法，利用函数的零点做出函数的草图。

2、 思想方面：转化的思想，数形结合的思想。

3、 方法方面：高次方程求根——因式分解法、

作业：

课本75页，习题2—4A,2,3,4,5,

〖教学评析〗 毛英（首师大附属育新学校）

《函数的零点》这节课整体设计符合新课标要求，教材把握非常准确到位，通过教师与学生的有效互动使三位教学目标得以落实。本节课有如下几个亮点：

亮点1：为了使教学目标得到有效的落实，在以下两个环节进行了精心设计：（1）从学生熟悉的二次函数的图像入手，通过对图像的研究自然引出零点的概念，既符合学生的最近发展区又通过具体的模型抓住了函数零点的关键要素。（2）通过一组学生熟悉的题组既关注了知识上的衔接又巩固了函数的零点的概念。以上两个环节在教师与学生的互动中流畅地完成了，有效体现了以学生为本的新课程理念，有效揭示了概念的本质。

亮点2：从引入到利用函数的零点研究未学过的三次函数的图像，层层递进，过度自然，水到渠成。体现函数的思想、函数的本质特征，怎么样研究函数？从什么角度切入？怎么看函数图像？怎样从概念中产生解决新问题的方法。如本节例题就是紧扣函数零点的概念，函数的零点既是解决问题的关键也是问题的切入点。以上诸问题皆在教师精心设计的教学环节中有所体现且较好完成。

亮点3：教师从以下四个维度体现出对本节课的整体把握。（1）整体把握知识内容。不仅仅是讲函数的零点，而是讲出函数零点背后的东西(函数的零点的本质，函数零点的价值) （2）整体把握学生学习。学生的主体性通过学生的活动（思考教师提出的问题、讨论、实践等）充分体现出来（3）整体把握数学思想方法。函数的零点既体现研究函数的方法又体现函数和方程不等式的联系，所以概念本身就体现着转化与联系，在特殊与一般的转化过程里自然渗入着辩证思维，不仅能巩固新的概念而且还在转化过程中思维品质得到不断提升，这些都可以帮助学生有效地学习数学,提高学习数学的兴趣,更加抓住数学的本质,全面地认识数学,提高获取数学知识的能力。本节课从始至终贯穿了函数的思想。（4）整体把握三维教学目标。有了前三个整体把握，三维教学目标的落实水到渠成。本节课高潮迭起学生不仅积极热烈参与讨论和研究且完成质量较高，充分说明三位教学目标的高效落实。

亮点4：教师对教材的理解很深刻，对教材的处理非常到位，教态十分亲切自然，富于感染力，