华南理工大学2018结构力学研究生试题和解答

说明 本试卷为华南理工大学 2018 级结构力学研究生入学考试真题（图号 和部分标注除外）。为了提高考生的水平和成绩，发布者对各题均作 了详细的解答和注解。请阅读者重点关注题型和相关题型的解法。祝 君幸运。
华南理工大学结构力学研究生入学考试题和解答
一、试计算图（a）所示体系自由度，进行几何组成分析，并求杆 a 的轴力。
16
33
注：括号内的数值为总分配弯矩
（2）作图。最终弯矩图如图（b）所示。
七、结构如图（ａ）所示。不记轴向变形，求引入结构支撑条件后的总刚矩阵，荷载总向
量以及结点位移向量。已知各单元 EI 为相同常数。（２０分）
qa
q
1 ①1 a/2 a/2
②3
③4
a
3
a
(a)
qa2 / 8 qa2 / 12
qa2 / 12
(a)
100kN m 64.5kN m
42.8kN m 269kN m
94kN m 22.5kN m
4.7kN m
2m
2m
175.4kN m
400kN m E
(b)
解：（1）计算。 分配系数
结点 杆端
A AB
MP(M)
-50
分&传 1（C）
分&传 1（B） 6.44←
分&传 2（C）
，如图（ａ）中虚线所示，FS',B右
的范围为主梁的长度。]
（2）
作次梁受载时的主梁影响线 FS,B右
。[其范围为次梁的长度。 FS,B右
可通过修改
F' S,B右
得
到。具体做法是：首先把 B右 截面所在跨的跨端影响量直线相连；然后补齐比主梁长的那一
段的影响线，如图（c）中的细实线所示。]
三、求图（a）所示结构的约束反力和弯矩图。
ql 2 15i
ql 2 5
，校核刚结点Ｂ的平衡： MBC
M BA
0(Ok!)
作弯矩图，见图 (e)
（二）求相对转角 B / C
方法 1：（1）在静定结构上取单位虚力系统［图 (f) ］，图乘图 (e) 和 (f) ，求得 B、C 截面的
相对角位移 B / C
为B/C
ql 2 EI
MD 0, FN,FG F ， M A 0, FN,a F
FD 0 D FN,AD
F/2 E
F FN,FG F (c)
FN,FG G
FN,AD A
a FN,a
(d)
注：本例说明如下概念：（1）几何可变体系在特殊的荷载作用下，也具有承载能力。但不像
静定结构那样，可以承受任意方向、任意大小的荷载，几何可变体系承受的荷载必须和约束 反力组成平衡力系，从而满足平衡条件。
27l 3 8EI
, 12
1 EI
l 2
l
3l 2
3l 3 4EI
1t
t h
AM1
t0 AFN1
t h
l2 2
3tl 2
tl
3 2
l 2h
31tl 6
（a）
2t
t h
AM
2
t0 AFN2
t h
1 2
3l 2
3l 2
3l 2
l
t0l
21tl2 8h
5i ；
（4）将系数 k11 、 F1P 代入基本方程，解的基本未知量 1
F1P k11
ql2 15i
ql3 15EI
；
（5）根据叠加原理，进行内力计算
M AB
i
ql 2 15i
ql 2 3
2ql2 5
,
M BA
2i
ql 2 15i
ql 2 3
ql 2 5
M BC
3i
4i 2i
0 4i 2i 0
K K (1) K (2) K (3) 2i 4i 4i
2i
2i
8i
2i
0 2i 4i 4i 0 2i 8i
4 （4）基本方程 K P ： i 2
0
2 8 2
0 2
12
8 24
qa2
8 3 12
2 1
0
1 4 1
0 1 4
12 3
0
(c)
i
2i
3i
(d)
M
ql2 / 8
(e)
解：（一）作弯矩图 （1）位移法解图（a）所示连续梁的基本未知量只有一个，相当系统见图 (b) ；
（2） FP 系统如图 (c) 所示。求得 F1P
q 2l 2
12
ql 2 3
；
（3）建立 1 系统，如图 d 所示。 i
EI l
，Hale Waihona Puke Baiduk11
4EI 2l
3EI l
4 12 6
qa3 EI
八、求图（a）所示体系的自振频率和动力弯矩图，激振力
18EI ml 3
。（20
分）
sint EI
m EI
1 k
EI
EI
EI l
1
1
EI
EI
2Fl /3
l
l
(a)
12i / l2
12i / l2 (b)
12i / l2
2Fl /3 (c)
解：（1）一个自由度的水平方向自由振动。
tl
31 / 6
36
，
（3）求解多余约束力。
记：
EI
t l2
2 105 kN m2 104 16m2
20
25kN
27 9 9 ， a 31 / 6
24 16 16
36
3/ 4 27 / 8
279 16
27
153 16
，
b
1/ 3 3
31 / 6
12 93 195 ，
36
24 24
-9.5 →1.58
-1.78
-175.42
-95.01
D DC -30 →33.23
8/654 E
CE 300 -29.54
3.8
-1.58
7.03
268.88
Fl 200 2 50kN m , 3Fl 3 400 4 300kN m ql2 20 9 60kN m
88
16
FAy
a
qa a 2
， FAy
qa 2
，
FCy
qa 2
MO 0,
FBx a
qa
3a 2
0，
FBx
3qa 2
FN,BE
复由整体竖直方向的平衡条件，易得， FDy 3qa 。弯矩图如图（c）所示。
四、用力法作图示刚架的弯矩图。已知： 0.0001 , h 0.3m , EI =2 105kN m2 。
F/2
E
D
D
F
F
G
a
a
a
G
a
a
A
B
C
F
A
B
C
F
a
a
a
a
(a)
(b)
解：（1）W 2 j b 21116 5 1，该体系为一个自由度的几何可变体系。
（2）分析：通过依次去掉从右上面开始的三个二元体，体系简化为图（b）所示的缺少两根 杆的简单桁架。由于多了一个基础约束连杆，所以该体系为一个自由度的几何可变体系。 （3）对隔离体（a）和（b）分别进行受力分析，得：
qa2 / 8
qa
q
1
1
1
1 ①2
②3
③
4
1
2
3
4
（ｂ）结构标识
（ｃ）杆间荷载固端力
解：（1）结构标识：如图（b）所示。
1 0, 1, 0, 2 T ， 2 0, 2, 0, 3 T ， 3 0, 3, 0, 0T , 1, 2, 3 T
（2）求 P：杆间荷载固端力如图（c）所示，固端力的负值为等效结点力分量。
分&传 2（B） 0.79← 最终弯矩 -42.77
1/3 2/3
B
BA
BC
50 ()
0
(-50+88.6) -88.6←
12.87
25.73
(4.75) 1.58
-4.75← 3.17
64.45
-64.45
48/65 9/65
C
CB
CD
0
-60
-177.2 →12.87
-33.23 (-12.87)
k
12i l2
3
36i l2
，
k m
36EI ； ml 3
（2）
1
1
2
1
1 1
2
2
（3） F
k ，
F k
Fl 3 36EI
Fl 2 36i
， Mst,max
Mst,max
6i l
Fl 2 36i
Fl 6
M d,max
M st,max
2Fl （发生在每根立柱的两端）。 3
(4) 三柱动力弯矩图相同。其中一柱的动力弯矩图如图（c）所示。
1
1
A
B
CA
1 (f)
1
C 1 (g)
F1P
1
C
(h)
2ql2 / 5
ql2 / 5
1/ 5
ql2 / 8
(e)
1/ 10
(l)
1
六、用力矩分配法作图(a)所示刚架的弯矩图（计算两轮）。
P1 200kN q 20kN/m
A EI
2EI C 2EI D
B EI
P2 400kN
E
1m 1m 2m
3m
q
A
B
C
D
a
a
a
a
(a)
解：分析：铰 B 处的内力是解决问题的关键。因为铰 B 是连接梁 AB 和 CB 的结点。由于结
构对称，并受对称荷载，左边部分如图（b）所示， FBy 0 。
O
E FAy
(b)
q FBx
FBy 0 FN,ED
qa2 / 2
qa2 / 2
a
a
a
a
(c)
ME 0,
1 2
1 5
l
1
ql3
10EI
。
方法 2：在静定结构上取单位虚力系统［图 (g) ］，图乘图 (e) 和 (g) ，求得 C 截面的转角C 为
C
ql3 EI
2 6
2
2 1 5
2
1 1 5
2 1 5
1 5
1
2 3
1 2
21
1 2
1 5
11
ql 3 EI
2 6
4 5
2 5
2 5
1 5
2 3
P
P1, P2 , P3
T
qa2 8
,
qa2 24
,
qa2 12
T
12i
l2
6i l
12i
l2
6i
l
（3）求总刚矩阵 K：
6i
K (1)
K (2)
K (3)
l
12i
4i
6i
6i l
12i
2i
6i
l2
l l2
l
6i
2i
6i
4i
l
l
因为 i i1 i2 i3 EI ，先处理边界条件后，总刚为 a
t0l
36t0l
10 C
10 C
30 C
A
t
685.8kN
147.8
M / kN m
（2）力法方程。 t=30-10=20 ， t0 =30+10 /2=20=t
11 21
12 22
X1 X2
12tt
，
l3 EI
1 / 3 /
3 4
3/4 27 / 8
X1 X2
4
X1
a
25 9 16
153 16
34425 256
kN=-134.5kN
b
9 195 43875
X2
25 16 24
384
kN=114.3kN
（3）画弯矩图。
注：由式（a）图乘求位移时，应注意温升侧（本题为内测因 t >0）与 M1 图位于同侧时，
其乘积取正；平均温升 t0 >0， FN1 >0 时，其乘积取正。
注：由式（a）图乘求位移时，应注意温升侧（本题为内测因 t >0）与 M1 图位于同侧时， 其乘积取正。
五、用位移法作图（a）示梁的弯矩图，并求 B、C 截面的相对角位移B/C ，已知各杆 EI 相
同，且为常数。
q
q
F1
A
B
C
2l
l
(相)
(a)
k11
2ql2 / 5
(b) ql2 / 5
q
F1P
ql2 / 3 ql2 / 3
二、作图（a）所示结构主梁截面 B 右的剪力影响线（15 分）
(a)
FP 1
aa
22
a
F' S ,B右
(b)
B
a
a
a
2
a
1
B右
C
a 2
x D
(c)
FS ,B右
a 2
1 x
a 2
解：（1）画主梁受载时的影响线
F' S,B右
，如图（b）所示。[分析：对主梁，
B右
以左为基本
部分，B右
以右为附属部分。画
F' S,B右
1 10
ql 3 30EI
B/C
B
C
1
C
ql3 15EI
ql3 30EI
ql3 10EI
方法 3：（1）在超定结构上取单位虚力系统［图 (h) ］，用位移法解 (h) ，得相应的弯矩图为 图 (l) ，图乘图 (e) 和 (l) ，求得 C 截面的转角C 然后计算B/C B C 1 C 。也将得到 同样的结果，请读者自行计算其结果。 注：通过上面计算B/C 的三种方法，可以更清楚的认识到，一旦得到超静定结构的弯矩图， 就可以任取合适的静定结构单位虚力系统，方便地求指定截面的位移，包括相对位移。
10 C
B
EI
C
4m
10 C EI
30 C
A 6m
解：（1）二次超静定问题。取相当系统、 X1 、 X 2 和 t 系统如图所示。求得
10 C
10 C
30 C
A
相
X1
X1 1
3l / 2
X2
l 4m
l
A
X1
A
X2 1
X2
11
l3 3EI
， 22
1 EI
1 3
3l 2
3
3l 2
l 3l 2