不定积分分部积分法教案
第三节 分部积分法
教学内容：分部积分法
教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。
教学重点：分部积分法及其应用
教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。
教学学时：1学时
教学进程：
我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。 1引入
用我们已经掌握的方法求不定积分??xdx x cos
分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。x x cos ?
③第二类换元积分法
解：不妨设 t x t
x arccos cos ==则 原方程dt t t t ?--??211
arccos 更为复杂
所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数）
已知： '')'(uv v u v u +=?
对上式两边积分得：??+=+dx uv vdx u C uv ''
移项得： ??-=vdx u uv dx uv ''
观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：?dx uv '中v '为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
C
x x x xdx
x x x dx
x x xdx
x ++=-==↓????cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样
先要化的和要求积分的
通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。
2 公式
设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式：
??-=vdx u uv dx uv ''（或??-=vdu uv udv ）
3 例题讲解
例1．计算不定积分dx xe x ?．
解 设 x u = ，x e v ='，则1='u ，x
e v =（*），
于是 x x x x xe dx xde xe e dx ==-???x x xe e C =-+． 注意：
（1）（*）处没有加C ，这是因为我们取了最简单的情况0=C 。
（2）若设x e u =,xdx dv =，则 dx e x e x dx xe x x x ??-=222
121， 积分dx e x x ?2比积分?dx xe x 要复杂，没有达到预期目的．由此可见，选择v u ',非常关键，一般要考虑下列两点：
（1）v 要易求；
（2）积分?'vdx u 要比积分?'dx v u 易计算．
练习：求?xdx x sin
例2．计算不定积分?xdx ln
分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作x ln 1?即可。
解：设x u ln =，1='v ，则x
u 1=
'，x v =， 于是 C x x x dx x
x x x xdx
xdx
+-=?-==???ln 1ln ln ln
注意：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。
例3．计算不定积分?xdx x arctan 。
解 设x v x u ='=,arctan ；则2221,11x v x u =+=',
于是 ?x d x x a r c t a n dx x x x x ?+-=222121arctan 21dx x x x x ?+-+-=1
1121arctan 21222
dx x x x ?+--=
)1
11(21arctan 2122211arctan (arctan )22x x x x C =--+ 211(1)arctan 22
x x x C =+-+ 练习：求?xdx arcsin 。 例 4. 计算不定积分2x x e dx ?．
解 设 2u x = ，x e v ='，则x u 2='，x e v =，
于是 2222x x x x x e dx x de x e xe dx ==-???
22[]x x x x e xe e dx =--?
222x x x x e xe e C =-++
注意： 如果要两次分部积分，选取v u ',要一致，否则会还原．
例5．计算不定积分xdx e x
sin ?．
解：
xdx e x e x e xdx
e x e xde xdx e x x x x x x x sin cos sin cos sin sin sin ????--=-==
好像进入了死胡同，实则不然，令I xdx e x
=?sin ,则上式变为： )2(,)cos sin (21cos sin 2cos sin 11
C C C x e x e I C x e x e I I
x e x e I x x x x x x =+-=+-=--=其中则
练习：求?xdx e x
cos 。
从这几个典型例题可以看到，一般情况下， v u ',可按下列规律选择：
（1）形如,sin kxdx x n ?,cos kxdx x n ?
，dx e x kx n ?（其中n 为正整数）的不定积分，令n x u =，余下的凑成v '。
（2）形如xdx x n ln ?，xdx x n arcsin ?，xdx x n
arctan ?时，令n x v ='，余下的凑成u 。 （3）形如bxdx e bxdx e ax ax cos ,sin ?? 的不定积分，可以任意选择u 与v '，但由于要使用两次分部积分公式，两次选择u 与v '应保持一致，只有这样才能出现循环公式并求出积分。
说明
（1）用分部积分法的情况不止于此，总的原则是适当选取u 及v '，使v u '更加便于积分．
（2）一般被积函数是不同类函数函数乘积时，往往想到用分部积分法．
例6．求dx e x I x n n ?=
的递推公式，其中n 为正整数，并求出321,,I I I 。 解：111----=-=-==
???n x n x n x n x n x n x n n nI e x dx e x n e x dx e nx e x dx e x I 因此可得dx e x
I x n n ?=的递推公式为 ),3,2,1(,1 =-=-n nI e x I n x n n
其中C e dx e I x x +==?0，那么有
101C e xe I xe I x x x +-=-=
22122222C e xe e x I e x I x x x x ++-=-=
3232336633C e xe e x e x I e x I x x x x x +-+-=-=
例7．计算不定积分dx e
x ?． 解 dx e x ?dt te tdt e t t t x ??==222t t d e =?)(2?-=dt e te t t
c e te t t +-=222C =-+
4小结
1、分部积分公式
2、在分部积分的公式中，v u ',的选取。
3、结合其他的积分方法灵活的使用公式。
作业：习题4－3（132P ）1、4、5、7、8、9、10
不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
(完整版)定积分典型例题精讲
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
不定积分换元法例题1
__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+? 【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-?? 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d x x x x = ==? ??? sin ln |si ln |sin |n |sin x x d C x C x ==+=+? 【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==?=? 4（1） 1()11d dx a x a x a d x x a x =?=?++++??? ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a x C ++=?=+=+++? 【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+?? 4（2） 1()11d dx x a x x x d a a x a =?=?----??? ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x a C --=?=+=--+? 【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-?? 4（3） 22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ??- ?--+??? =-+?==- ? -?? ?????
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法） 一、 方法简介 设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=?)()(，如果U 是中间变量，)(x u ?=，且设)(x ?可微，那么根据复合函数微分法，有 dx x x f x dF )(')]([)]([???= 从而根据不定积分的定义得 ) (] )([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ????=??=+=. 则有定理： 设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ) (] )([)(')]([x u du u f dx x x f ???=??= 由此定理可见，虽然?dx x x f )(')]([??是一个整体的记号，但如用导数记号 dx dy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('?可以方便地应用到被积表达式中。 几大类常见的凑微分形式： ○1??++=+)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○ 2??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，?? =x d x f x dx x f tan )(tan cos ) (tan 2，x d x f x dx x f cot )(cot sin )(cot 2??-=； ○3??=x d x f dx x x f ln )(ln 1 )(ln ，??=x x x x de e f dx e e f )()(； ○ 4n n n n x d x f n dx x x f ??=-)(1)(1)0(≠n ，??-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，? ?=)()(2) (x d x f x dx x f ； ○ 5??=-x d x f x dx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2 ；
不定积分分部积分法教案
第三节 分部积分法 教学内容：分部积分法 教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。 教学重点：分部积分法及其应用 教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。 教学学时：1学时 教学进程： 我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。 1引入 用我们已经掌握的方法求不定积分??xdx x cos 分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。 ②凑微法失效。x x cos ? ③第二类换元积分法 解：不妨设 t x t x arccos cos ==则 原方程dt t t t ?--??211 arccos 更为复杂 所以凑微法和第二换元积分法都失效。 反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数） 已知： '')'(uv v u v u +=? 对上式两边积分得：??+=+dx uv vdx u C uv '' 移项得： ??-=vdx u uv dx uv '' 观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：?dx uv '中v '为导数形式。 故，我们可以尝试来解一下上面的积分。 C x x x xdx x x x dx x x xdx x ++=-==↓????cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样 先要化的和要求积分的
通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。 2 公式 设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式： ??-=vdx u uv dx uv ''（或??-=vdu uv udv ） 3 例题讲解 例1．计算不定积分dx xe x ?． 解 设 x u = ，x e v ='，则1='u ，x e v =（*）， 于是 x x x x xe dx xde xe e dx ==-???x x xe e C =-+． 注意： （1）（*）处没有加C ，这是因为我们取了最简单的情况0=C 。 （2）若设x e u =,xdx dv =，则 dx e x e x dx xe x x x ??-=222 121， 积分dx e x x ?2比积分?dx xe x 要复杂，没有达到预期目的．由此可见，选择v u ',非常关键，一般要考虑下列两点： （1）v 要易求； （2）积分?'vdx u 要比积分?'dx v u 易计算． 练习：求?xdx x sin 例2．计算不定积分?xdx ln 分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作x ln 1?即可。 解：设x u ln =，1='v ，则x u 1= '，x v =， 于是 C x x x dx x x x x xdx xdx +-=?-==???ln 1ln ln ln 注意：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。
分部积分法教案
分部积分法 教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。 重点：分部积分法及其应用 难点：在分部积分法中，要恰当的选取U和v 教学方法：讲练法 0回顾 上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、一换元积分法(凑微法)③熟练、灵活的运用第二换元积分法。 凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分； f(x)dx f [ (x)] '(x)dx f[ (x)]d[ (x)] 令u (x) f (u)du F(u) C F[ (x)] C 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换x (t)，使得难求的积分易求 f (x)dx 令x (t) f[ (t)]'⑴dt f[ (t)]d (t) F[ (t)] C F(x) C 1引入 用我们已经掌握的方法求不定积分x cosxdx 分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。 ②凑微法失效。x cosx ③第 — 1类换兀积分法 解：不妨设cosx t则x arccost 原方程t arccost 1-dt 更为复杂 -1 t 所以凑微法和第二换元积分法都失效。 反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：(假设u、已知: (u v)' u'v uv' 灵活的运用第v为两个函数)
对上式两边积分得：uv u'vdx uv'dx 观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：uv'dx中v'为导数形式。 故，我们可以尝试来解一下上面的积分。 x cosxdx 先要化的和要求积分的形式一样 x(sin x)'dx xsi nx x'si nxdx xsinx cosx C 真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。 2公式 2.1定理设函数u u(x)和v v(x)及都具有连续的导数，则有分部积分公式: uv'dx uv u'vdx (或udv uv vdu) 说明：①两函数的积分等于将其中一个放在d里后，里外相乘减去换位的积分。 ②内外积减去换位“积”。 ③步骤：a放d中，b、套公式。 2.2例1求不定积分x sinxdx 解：x sin xdx x sin xdx xd(cos x)①放d中 xcosx cos xdx②套公式 xcosx sin x C 3 U、V的选取问题 例2求不定积分e x xdx 解：e x xdx x 1 2、 e d(-x ) 2 1 2 x 1 2. x x e x de 2 2 1 2 x 1 x 2 , x e e x dx 2 2 移项得: uv'dx uv u'vdx
常见不定积分的求解方法
常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.
0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10< 不定积分换元法例题 【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==??? 【凑微分】 ()()f u du F u C ==+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ?的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????==??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==???()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9999(57)(57)(5711 (57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?=+?++???? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1 ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2 x x x d C x C =?=+=+? 第三节 第四节 第五节 分部积分法 教学内容：分部积分法 教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取 v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。 教学重点：分部积分法及其应用 教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。 教学学时：1学时 教学进程： 我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。 1引入 用我们已经掌握的方法求不定积分? ?xdx x cos 分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。 ②凑微法失效。x x cos ? ③第二类换元积分法 解：不妨设 t x t x arccos cos ==则 原方程dt t t t ? --? ?2 11arccos 更为复杂 所以凑微法和第二换元积分法都失效。 反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数） 已知： '')'(uv v u v u +=? 对上式两边积分得：?? +=+dx uv vdx u C uv '' 移项得： ??-=vdx u uv dx uv '' 观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：? dx uv '中v '为导数形式。 故，我们可以尝试来解一下上面的积分。 C x x x xdx x x x dx x x xdx x ++=-== ↓????cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样 先要化的和要求积分的 通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。 2 公式 设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式： ??-=vdx u uv dx uv ''（或??-=vdu uv udv ） 3 例题讲解 例1．计算不定积分dx xe x ? ． 解 设 x u = ，x e v ='，则1='u ，x e v =（*）， 于是 x x x x xe dx xde xe e dx ==-??? x x xe e C =-+． 注意： （1）（*）处没有加C ，这是因为我们取了最简单的情况0=C 。 （2）若设x e u =,xdx dv =，则 dx e x e x dx xe x x x ??-=222 121， 积分dx e x x ? 2比积分? dx xe x 要复杂，没有达到预期目的．由此可见，选择v u ',非常关键，一般要考虑下列两点： （1）v 要易求； （2）积分?'vdx u 要比积分? 'dx v u 易计算． 练习：求? xdx x sin 1．计算下列定积分： ⑴ 3sin()3x dx π ππ +?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3sin()3x dx π ππ +?3sin()()33x d x π πππ=++?3 cos() 3x πππ =-+ [cos()cos()]333π π π π=-+-+[cos (cos )]033 π π =----=。 【解法二】应用定积分换元法 令3 x u π + =，则dx du =，当x 从 3 π单调变化到π时，u 从 23π单调变化到43π ，于是有 3sin()3x dx π ππ +?4323 sin udu ππ=? 4323 cos u π π=-42[cos cos ]33 ππ=-- [cos (cos )]033 π π =----=。 ⑵ 1 32(115)dx x -+?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 32(115)dx x -+?13 2 1(115)(115)5x d x --=++?212 11(115)52 x --=?+- 22111[]10(1151)(1152)=- -+?-?211(1)1016 =--51512=。 【解法二】应用定积分换元法 令115x u +=，则1 5 dx du = ，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有 1 32(115)dx x -+?1631 15u du -=?2 161 1152 u -=?-211 (1)1016 =- -51512=。 ⑶ 32 sin cos d π ???? ； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3 20sin cos d π????3 2 cos cos d π??=-?420 1cos 4 π?=-441[cos cos 0]42 π =-- 【第一换元法例题】 1 、 (5x 7)9dx (5x 7)9dx (5x 1 9 1 1 5 (5x 7)d(5x 7) 5 10(5x 【注】(5x 7)' 5, d(5x 7) 5dx, 7)9；d(5x 7) 7)10C — (5x 50 1 d(5x 5 1 (5x 7)9d(5x 7) 5 7)10C % In x In x d ln x 1 x dx In x d In x x -W x)2 【注】(Inx)' 1 x d(ln x) 1 别nx) - dx, x 3 (1) tan xdx sinx , dx cosx sin xdx cosx 【注】 3 (2) 【注】 4 (1) dx 7) -dx x d(l n x) d cosx d cosx cosx cosx d cosx cosx (cosx)' cot xdx d sin x sin x (sin x)' In |cosx | C In |cosx| C sinx, d (cosx) 叱dx 竺型 sinx sinx sin xdx, sin xdx d(cos x) d sin x sin x In | sin x | C In |sin x | C cosx, d (sin x) cosxdx, cosxdx d (sin x) —dx a x 1 d(a a x d(a x) 【注 】 (a x)' 1, d (a x) dx, dx d (a x) 4 (2)1 dx 1 dx 1 d(x a) x a x a x a 1 d(x a) In |x a| C ln| x a | C x a 【注 】 (x a)' 1, d(x a) dx, dx d(x a) 4 (3) 1 J、, 1 1 1 1 1 1 dx dx 2 2dx 2 2dx 2a x a x a x a x a 2a x a x| C In |a x| C x) In |a 1 dx x a In | x a | 2a In | x a | C x a x a C 2a ? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(?? 定积分的换元积分法与分部积分法 教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难 点：定积分换元条件的掌握 重 点：换元积分法与分部积分法 由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的． 1．定积分换元法 定理 假设 (1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续； (2) 函数)(t x ?=在区间],[βα上有连续且不变号的导数； (3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ?=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(β?α?， 则有 []dt t t f dx x f b a ?? '=β α ??)()()(． (1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(t x ?=应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分． 例1 计算? -2 1 1 dx x x ． 解 令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=．当1=x 时，0=t ；当2=x 时， 1=t ．于是 ??? ?? ? ??+-=?+=-1021022 1 1112211dt t tdt t t dx x x ??? ? ?-=-=412)a r c t a n (210 πt t ． 例2 计算? -a dx x a 0 22)0(>a ． 解 令t a x sin =，则t d t a dx cos =．当0=x 时，0=t ；当a x =时，2 π = t ．故 ? -a dx x a 0 22dt t a t a ??=20 cos cos π dt t a )2cos 1(2 20 2 += ? π 20 2 2s i n 212π ??????+= t t a 4 2 a π= ． 显然，这个定积分的值就是圆222a y x =+在第一象限那部分的面积(图5－8)． 例3 计算?20 5sin cos π xdx x ． 解法一 令x t cos =，则xdx dt sin -=． 当0=x 时，1=t ；当2 π =x 时，0=t ，于是 6 1 6 1 sin cos 01 6 50120 5= -=-=?? t dt t xdx x π ． 解法二 也可以不明显地写出新变量t ，这样定积分的上、下限也不要改变． 即 x d x x d x x c o s c o s s i n c o s 20 5 20 5 ?? -=π π 61610cos 61206 =??? ? ?--=-=π x ． 此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元 不需要变换上、下限． 例4 计算dx x ?-π sin 1． 解 dx x ? -π sin 1?-=π02 c o s 2s i n dx x x 注去绝对值时注意符号． 不定积分 一、原函数 定义1 如果对任一I x ∈，都有 )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。 例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。 2 211)1ln([x x x +='++，即)1ln(2x x ++是 2 11x +的原函数。 原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。 注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。 设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。 注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()(（C 为常数） 注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。 二、不定积分 定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为?dx x f )(。 如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则 C x F dx x f +=?)()(，（C 为任意常数） 三、不定积分的几何意义 图 5—1 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x F y =在平面上表示一条曲线，称它为 )(x f 的一条积分曲线．于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线，它们是由) (x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线，其斜率都等于)(x f ． 在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(，再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线． 四、不定积分的性质（线性性质） [()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±??? ()() kf x dx k f x dx =??k （为非零常数） 不定积分的例题分析及解法 这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ?=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将?υud 转化成?du υ，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)(x f 为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 dx x x ? sin ；dx e x ?-2 ；dx x ? ln 1；? -x k dx 2 2 sin 1（其中10< ? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(?? 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种： acht x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 也奏效。 ，有时倒代换当被积函数含有：：t x c bx ax x t d cx b ax d cx b ax t b ax b ax m n n n n 1 )6()5()4(2=++?=++++=++ （7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 C x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==???sin 2cos 2sin 2cos 2) cos cos (2sin 2sin 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， 不定积分求解方法及技巧小汇总 摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。 一．不定积分的概念与性质 定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。 定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原 函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I） 简单的说就是，连续函数一定有原函数 定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则 （1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数； （2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为?f(x)d(x),即?f(x)d(x)=F(x)+C 其中记号?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。 性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则?[f(x)±g(x)]dx=?f(x)dx±?g(x)dx. 性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则?kf(x)dx=k?f(x)dx. 二．换元积分法的定理 如果不定积分?g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[?(x)] ?’(x). 做变量代换u=?(x),并注意到?‘（x）dx=d?(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积 分，于是有?g(x)dx=?f[?(x)] ?’(x)dx=?f(u)du. 如果?f(u)du可以积出，则不定积分?g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换 元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。 定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=?(x)可导，则有换元公式不定积分换元法例题
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