不定积分分部积分法教案
不定积分-教案
不定积分 的几何意义就是，其表示了 的一族积分曲线 .这族积分曲线可由积分曲线 向上或向下平移得到，且在相同的横坐标的点处，任一曲线的切线有相同的斜率，即有平行的切线.
4.1.3基本积分公式表
1.求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算.
(1) ，或 ;
(2) ，或 .
（2） ；
（3） ；
（4） ;
（5） ;
（6） ;
*（7） ;
*（8） ;
*（9） ;
*（10） ．Biblioteka 授课序号03教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第3节分部积分法
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
分部积分法
教学难点
分部积分法
参考教材
作业布置
课后习题微积分标准化作业
例题讲解
例4.38求不定积分 ．
例4.39求不定积分 ．
例4.40求不定积分 ．
注多次使用分部积分时， 和 的选取类型要与第一次的保持一致，否则将回到原积分.本例选取幂函数为 ，正(余)弦函数为 ．并两次使用了分部积分法．
分部积分法的使用熟练后， 与 的选取不必写出，只要把被积表达式凑成 的形式，即可使用分部积分公式．
大纲要求
熟练掌握分部积分法.
教 学 基 本 内 容
定理4.4设 ， 在区间 上都有连续的导数，则有 ，即 ，简记为 ．
注1.分部积分法应用的基本步骤可归纳为：
= ．
2. 和 的选取非常关键．选取 和 一般要遵循下面两个原则：
(1)由 要容易求得 ；
(2) 要比 容易积分．
不定积分教案范文
不定积分教案范文一、教学目标：1.熟练掌握不定积分的概念和性质。
2.能够运用基本积分公式求不定积分。
3.能够运用换元法、分部积分法、有理函数积分法等方法求解不定积分。
4.能够运用不定积分的性质解决实际问题。
二、教学内容：1.不定积分的基本概念和性质。
2.基本积分公式及其运用。
3.换元法求不定积分。
4.分部积分法求不定积分。
5.有理函数积分法求不定积分。
6.不定积分的应用。
三、教学过程：1.不定积分的基本概念和性质：不定积分是微积分中的重要内容，是函数的一个全体定义域上的原函数集合。
具体来说，设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，则函数 F(x)在区间 [a, b] 上的不定积分是 f(x) 的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中 F(x) 称为 f(x) 的一个原函数，C 为任意常数。
不定积分具有以下性质：（1）积分的线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx；（2）积分和求导的逆关系：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F'(x)=f(x)；（3）换元积分法：设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，g(x) 是可导函数，则∫f[g(x)]g'(x)dx=F[g(x)]+C；（4）分部积分法：设 F(x) 和 G(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的原函数，则∫f(x)g'(x)dx=F(x)g(x)-∫F'(x)g(x)dx。
2.基本积分公式及其运用：（1）常数函数积分：∫kdx=kx+C，其中 k 为常数。
（2）幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)x^(n+1)/(n+1)+C，其中 n 为任意实数，n ≠ -1（3）指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C。
（4）三角函数积分：a. ∫sinxdx=-cosx+C；b. ∫cosxdx=sinx+C。
（5）倒数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C。
第三节不定积分的分部积分法
( x 2 2 x 2 ) sx i2 c n x ( o x 1 ) s C .
说明１： 口诀（反、对、幂、三、指）
例5 求不定积分 xarctxadxn. 解 xarcxtda xnarcx td a(x2 n2)
2 x 1 c 2 x o 1 s s 2 x i 1 n C .
说明４： 有时应结合换元积分，先换元后再分部；
例 1 2已 知 f(x )的 一 个 原 函 数 是 e x 2,
求 x f(x )d x . 解 xf(x)dxxdf(x)x(fx)f(x)d x,
例1 求不定积分 xexdx.
解 设 ux,dvexdxdex,
xexdx xd(ex)xex exdxxxe exC .
u d vu v vd u,
分部积分法的关键是正确选择 u 和 v .
选择 u 和 v 的原则是: 1)v不v比 复,杂 2)u比u更简. 单
2
说明３： 不定积分可通过解方程求得，但要注意 结果+C；
可连续几次利用多次分部，但每次应 选同一类函数；
例9 求不定积分 se3cxdx. 解 sec3 xdx sexcse2x cdxsexcd(tax)n
se x tca x n ta x d ( nsx ) ec sx e tc a x n ta 2 x s n x e d x c sx e tc a x ( n s 3 x e sx c e ) d x c
f1(x)dxxf1(x)Ff1(x) C.
练习题答案
一 、 1、 xcox ssix nC；
不定积分的分部积分法.
udv uv vdu
凑微口诀：指三幂对反
学法建议：
1、熟记常用的凑微分形式。
2、善于观察，选择适当的积分方法。 3、加强合作精神。 4、验算。
f xdx f x
作业：
课后练习3：（1）---（8）
x = t, 则 x = t 2 ,
d x 2t d t ,
x t t e d x 2 te d t 2 t d( e )
2(tet et d t )
2(tet et ) C
2e x ( x 1) C.
天然气的产量
海上石油钻井平台
• 工程师们发现，一个新开发的天然气井t月 的总产量P（单位： 106 m3）的变化率为
2
三、使用分部积分法应注意
（1）常用于被积函数为两个不同类型函数的 乘积形式，以及特 殊 的单个函数形式。
(如 x sin xdx , e arctan xdx , ln xdx 等)
x
0
x
ln xdx
(2)要正确地选择u与dv。 凑微口诀：指三幂对反
cos x d x. xd v
2 2 x ln xdx ln x x dx
dv
（3）分部积分法可以连续使用．连续使用分部 积分法时，每一次选u的函数一般说必须是同类函 数，否则作两次分部积分后会出现恒等式． （4）求一个不定积分，需要将换元积分法和分 部积分法结合起来使用。
x e 例3求积分 d x.
解： 设
依题意，当 t 0
P 0.
代入上式，得
C 212.25.
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计标题：《探究不定积分中分部积分法则的教学设计》引言：不定积分是高中数学中的一大难点，其中分部积分法则是求解不定积分的重要方法之一。
因此，在教学中，如何深入浅出地教授分部积分法则，培养学生的问题解决能力和实际应用能力，是一项重要的任务。
本文将结合教学实践经验，就不定积分中的分部积分法则进行浅谈，并设计一节关于分部积分法则的教学活动，以引导学生主动探究、灵活运用分部积分法则。
一、总体设计：1. 教学目标：- 了解分部积分法则的起源和应用背景；- 掌握分部积分法则的基本内容和应用方法；- 提高学生的实际问题解决能力和创新思维能力。
2. 教学内容：- 分部积分法则的基本概念和原理；- 分部积分法则的应用方法和技巧；- 分部积分法则在实际问题中的应用。
3. 教学方法：- 示范教学：通过具体例子引导学生理解分部积分法则的原理和应用方法；- 探究式教学：引导学生通过实例分析和讨论，主动探索分部积分法则的应用技巧；- 合作学习：组织学生在小组中完成分部积分法则相关问题的解决和探究。
二、教学步骤：步骤一：导入教师通过一个生动的例子引入分部积分法则的概念和应用背景，激发学生对分部积分法则的兴趣。
步骤二：概念讲解教师对分部积分法则的概念进行简要讲解，包括基本原理和公式。
步骤三：示例分析教师以具体的例子演示分部积分法则的应用方法，引导学生跟随思路和步骤进行计算。
步骤四：问题解决教师组织学生在小组中合作解决一些由分部积分法则引发的问题，鼓励学生积极讨论和思考。
步骤五：实践应用教师设计一些与实际问题相关的综合性应用题，让学生通过分部积分法则求解，并分析计算结果的实际意义。
步骤六：总结巩固教师引导学生总结分部积分法则的基本内容和应用方法，并进行概念巩固和习题训练。
三、教学评价：1. 教师评价：- 学生是否能够理解分部积分法则的原理和应用方法；- 学生在解决分部积分法则相关问题时的思维活跃程度；- 学生是否能够熟练应用分部积分法则解决实际问题。
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计【摘要】不定积分中的分部积分法则是微积分中的重要概念之一，能够帮助我们解决复杂的积分问题。
本文从引言、正文和结论三个部分展开，引言部分主要介绍分部积分法则的重要性，正文部分具体阐述了分部积分法则的定义、应用场景、教学设计步骤、示例演练和练习题，通过这些内容可以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
结论部分对分部积分法则的教学设计进行总结，强调了其在学习和应用中的重要性。
通过本文的讲解，读者能够深入了解分部积分法则的相关知识，并在实际的学习和应用中灵活运用。
【关键词】不定积分、分部积分法则、教学设计、重要性、定义、应用场景、步骤、示例演练、练习题、总结1. 引言1.1 分部积分法则的重要性不定积分中的分部积分法则是微积分中的重要概念之一，它在求解复杂函数的不定积分时起着至关重要的作用。
分部积分法则可以将一个复杂的积分问题转化为两个简单的积分问题，从而简化计算过程，提高计算效率。
通过掌握分部积分法则，学生可以更快地解决各种类型的积分问题，提高解题的准确性和速度。
在实际应用中，分部积分法则常常用于求解含有多个函数乘积的不定积分，如多项式函数、三角函数等。
通过适当地选择分部积分法则的顺序，可以有效地将原积分化简为易于计算的形式，进而求得最终的不定积分结果。
深入理解和熟练运用分部积分法则是学习不定积分的重要基础，对于提升学生的数学计算能力和解题技巧具有重要意义。
通过系统学习和实践，学生可以更好地掌握分部积分法则的运用，为进一步深入学习微积分打下坚实的基础。
2. 正文2.1 分部积分法则的定义不定积分中的分部积分法则是求解复杂积分的一种重要方法，它可以将一个复杂的积分问题分解成两个较简单的积分问题来求解。
分部积分法则的定义可以表述为：设u(x)和v(x)是可导函数，那么对于不定积分∫u(x)v'(x)dx，其积分结果为u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx。
这个公式可以帮助我们将一个乘积形式的积分问题转化为两个更容易求解的积分问题，从而简化求解过程。
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计分部积分法是高等数学中的一种重要而又基本的积分方法，它能解决类似，等换元积分法所不能解决的某些类型的积分.本文将对这部分内容进行教学设计，分为两个课时来讲解，主要运用启发式教学法来教学.教学过程设计为三个部分：第一部分，创设问题情境引入分部积分法的定义；第二部分，运用分部积分公式求解不定积分；第三部分，对整堂课的内容进行归纳总结.通过这节课的学习，让学生掌握求积分的一些解题方法和解题技巧。
标签：高等数学分部积分法解题方法一、教材内容分析高等数学的内容是以微积分为主体的，微积分主要包括微分和积分，且极限是微积分的基础，积分与微分互为逆运算。
从整体结构上了解微积分的内容构造，对我们学习其中的分支内容会有很大的帮助。
以华东师范大学数学系编的《数学分析》第三版（上册）为教材来分析，不定积分的分部积分法出现在第八章《不定积分》的第二节的第二部分，它起着一个承上启下的作用，在积分学中占有极其重要的地位，并为后续定积分以及重积分等内容的学习奠定了基础。
换元法和分部积分法是求积分的两种重要方法，在学习了换元积分法后，虽然能求解很多类型的不定积分，但是却不能解决被积函数为两个函数（下面我们所讨论的都是指初等函数）甚至三个函数乘积的不定积分，从而很自然地引出了另一种重要的积分法一一分部积分法，这就说明了学习分部积分法的必要性。
二、学生分析大学生已经具备了较强的分析问题和解决问题的能力，也具备了一定的自主学习能力。
在教学中，应以学生为主体，让学生自主探索、亲自实践，而教师在整个教学过程中起引导作用。
通过前面换元积分法的学习，学生已经具备了一定的基础知识，如果教师再巧妙地引入新课，就能激发起学生强烈的求知欲，使得他们积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，并参与到课堂活动中去，充分发挥他们的主体作用。
根据这部分的教学内容和学生的知识现状，教师应采用启发诱导式的教学模式，并在教学过程中注重培养学生的逻辑思维能力和动手解题能力。
(完整版)分部积分法教案
分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。
重点：分部积分法及其应用难点：在分部积分法中，要恰当的选取u 和v教学方法：讲练法0 回顾上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。
凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；dx x x f dx x f )(')]([)(ϕϕ⎰⎰=)]([)]([x d x f ϕϕ⎰=)(x u ϕ=↓令 du u f ⎰=)(Cx F Cu F +=+=)]([)(ϕ 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换)(t x ϕ=，使得难求的积分易求dt t t f dx x f t x )(')]([)()(ϕϕϕ⎰⎰−−−→−=令 CF(x)C ])([)()]([+=+==⎰t F t d t f ϕϕϕ1引入用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔③第二类换元积分法解：不妨设 t x tx arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211arccos 更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u 、 v 为两个函数） 已知： '')'(uv v u v u +=⋅对上式两边积分得：⎰⎰+=dx uv vdx u uv ''移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v ’为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
C x x x xdxx x x dxx x xdxx ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样先要化的和要求积分的真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
不定积分教案
第四章 不定积分教学目的： 1、 理解原函数概念、不定积分的概念。
2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。
3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点：1、 不定积分的概念；2、 不定积分的性质及基本公式；3、 换元积分法与分部积分法。
教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。
§4. 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx ,那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数.例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.又如当x ∈(1, +∞)时,因为xx 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问:cos x 和x21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x ).简单地说就是: 连续函数一定有原函数.两点说明:第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数.第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数).定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作⎰dx x f )(.其中记号⎰称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量.根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即⎰+=C x F dx x f )()(.因而不定积分dx x f )(⎰可以表示f (x )的任意一个原函数.例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以C x xdx +=⎰sin cos .因为x 是x21的原函数, 所以C x dx x+=⎰21.例2. 求函数xx f 1)(=的不定积分. 解：当x >0时, (ln x )'x1=, C x dx x+=⎰ln 1(x >0); 当x <0时, [ln(-x )]'xx 1)1(1=-⋅-=, C x dx x+-=⎰)ln( 1(x <0). 合并上面两式, 得到C x dx x+=⎰||ln 1(x ≠0). 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解 设所求的曲线方程为y =f (x ), 按题设, 曲线上任一点(x , y )处的切线斜率为y '=f '(x )=2x ,,即f (x )是2x 的一个原函数.因为 ⎰+=C x xdx 22,故必有某个常数C 使f (x )=x 2+C , 即曲线方程为y =x 2+C .因所求曲线通过点(1, 2), 故2=1+C , C =1.于是所求曲线方程为y =x 2+1.积分曲线: 函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线.从不定积分的定义, 即可知下述关系: ⎰=)(])([x f dx x f dxd , 或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([;又由于F (x )是F '(x )的原函数, 所以⎰+='C x F dx x F )()(,或记作 ⎰+=C x F x dF )()(.由此可见, 微分运算（以记号d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号⎰表示）是互逆的. 当记号⎰与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数.二、基本积分表(1)C kx kdx +=⎰(k 是常数), (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ, (3)C x dx x+=⎰||ln 1, (4)C e dx e x x +=⎰, (5)C aa dx a x x +=⎰ln , (6)C x xdx +=⎰sin cos ,(7)C x xdx +-=⎰cos sin , (8)C x xdx dx x +==⎰⎰tan sec cos 122, (9)C x xdx dx x+-==⎰⎰cot csc sin 122,(10)C x dx x+=+⎰arctan 112, (11)C x dx x +=-⎰arcsin 112, (12)C x xdx x +=⎰sec tan sec ,(13)C x dx x +-=⎰csc cot csc ,(14)C x dx x +=⎰ch sh ,(15)C x dx x +=⎰sh ch .例4⎰⎰-=dx x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131. 例5 ⎰⎰=dxx dx x x 252C x ++=+1251251C x +=2772C x x +=372. 例6 ⎰⎰-=dx x x x dx 343C x ++-=+-134134C x +-=-313C x+-=33. 三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.这是因为, ])([])([])()(['+'='+⎰⎰⎰⎰dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数, k ≠0).例7. ⎰⎰-=-dx x x dx x x )5()5(21252 ⎰⎰-=dx x dx x 21255⎰⎰-=dx x dx x 21255 C x x +⋅-=232732572. 例8 dx x x x dx xx x x dx x x )133(133)1(222323-+-=-+-=-⎰⎰⎰ C x x x x dx xdx x dx dx x +++-=-+-=⎰⎰⎰⎰1||ln 3321113322.例9 ⎰⎰⎰-=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos 3(C x e x +-=sin 3.例10 C e C e e dx e dx e x x x x x x ++=+==⎰⎰2ln 12)2ln()2()2(2. 例11 dx xx dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122222++=+++=+++⎰⎰⎰ C x x dx x dx x++=++=⎰⎰||ln arctan 1112. 例12 dx x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++-+=++-=+222242411)1)(1(1111 ⎰⎰⎰⎰++-=++-=dx xdx dx x dx x x 222211)111( C x x x ++-=arctan 313. 例13 ⎰⎰⎰⎰-=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan= tan x - x + C .例14 ⎰⎰⎰-=-=dx x dx x dx x )cos 1(212cos 1 2sin 2 C x x +-=)sin (21. 例15 C x dx x dx xx +-==⎰⎰cot 4sin 142cos 2sin 1222.§4. 2 换元积分法一、第一类换元法设f (u )有原函数F (u ), u =ϕ(x ), 且ϕ(x )可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有d F [ϕ(x ) ]=d F (u )=F '(u )d u = F ' [ϕ(x ) ] d ϕ(x )= F '[ϕ(x ) ]ϕ'(x )d x ,所以 F '[ϕ(x )]ϕ'(x )dx = F '[ϕ(x )] d ϕ(x )= F '(u )d u = d F (u )=d F [ϕ(x ) ],因此 ⎰⎰'='')()]([)()]([x d x F dx x x F ϕϕϕϕ⎰⎰='=)()(u dF du u F C x F x dF +==⎰)]([)]([ϕϕ.即 )(])([)()]([)()]([x u du u f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='=[F (u ) +C ] u = ϕ(x ) = F [ϕ(x )]+C .定理1 设f (u )具有原函数, u =ϕ(x )可导, 则有换元公式⎰⎰⎰+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([ϕϕϕϕϕ .被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待, 从而微分等式ϕ'(x )dx =du 可以应用到被积表达式中.在求积分⎰dx x g )(时, 如果函数g (x )可以化为g (x )= f [ϕ(x )]ϕ'(x )的形式, 那么⎰dx x g )()(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰='=.例1. ⎰⎰'⋅=dx x x xdx )2(2cos 2cos 2⎰=)2(2cos x xdC u udu +==⎰sin cos =sin 2x +C .例2. dx x x dx x ⎰⎰'++=+)23(23121231⎰++=)23(23121x d x C u dx u +==⎰||ln 21121C x ++=|23|ln 21. 例3. ⎰⎰⎰⎰=='=du e x d e dx x e dx xe u x x x )()(222222C e C e x u +=+=2.例4. 22222121)(1211dx x dx x x dx x x ⎰⎰⎰-='-=- C u du u x d x +-=-=---=⎰⎰2321223121)1(121 C x +--=232)1(31.C u du u+-=-=⎰||ln 1 =-ln|cos x |+C .即 C x xdx +-=⎰|cos |ln tan .类似地可得C x xdx +=⎰|sin |ln cot .熟练之后, 变量代换就不必再写出了.例6. dx ax a dx x a ⎰⎰+=+2222)(1111C ax a a x d ax a +=+=⎰arctan 1)(1112. 即 dx x a ⎰+221C a xa +=arctan 1. 例7. C ax a a x d a x a dx a x +==⎰⎰sh ch ch . 例8. 当a >0时,⎰⎰-=-dx a x a dx x a 222)(1111C a x a x d a x +=-=⎰arcsin )(112. 即 dx x a ⎰-221C a x +=arcsin . 例9. ⎰⎰+--=-dx a x a x a dx a x )11(21122]11[21⎰⎰+--=dx a x dx a x a ])(1)(1[21⎰⎰++---=a x d ax a x d a x a C a x a x a ++--=|]|ln ||[ln 21C ax a x a ++-=||ln 21. 即 dx a x ⎰-221C a x ax a ++-=||ln 21. 例10. ⎰⎰⎰++=+=+xx d x x d x x dx ln 21)ln 21(21ln 21ln )ln 21( C x ++=|ln 21|ln 21.xC e x +=332. 含三角函数的积分:例12. ⎰⎰⋅=xdx x xdx sin sin sin 23⎰--=x d x cos )cos 1(2⎰⎰+-=x xd x d cos cos cos 2C x x ++-=3cos 31cos . 例13. ⎰⎰=x xd x xdx x sin cos sin cos sin 4252⎰-=x d x x sin )sin 1(sin 222⎰+-=x d x x x sin )sin sin 2(sin 642C x x x ++-=753sin 71sin 52sin 31. 例14. dx x xdx ⎰⎰+=22cos 1cos 2)2cos (21⎰⎰+=xdx dx ⎰⎰+=x xd dx 22cos 4121C x x ++=2sin 4121. 例15. dx x xdx 224)(cos cos ⎰⎰=⎰+=dx x 2)]2cos 1(21[ ⎰++=dx x x )2cos 2cos 21(412 ⎰++=dx x x )4cos 212cos 223(41 C x x x +++=)4sin 812sin 23(41 C x x x +++=4sin 3212sin 4183. 例16. ⎰⎰+=dx x x xdx x )5cos (cos 212cos 3cos C x x ++=5sin 101sin 21. 例17. ⎰⎰=dx x xdx sin 1csc ⎰=dx x x 2cos 2sin 21C x xxd x x x d +===⎰⎰|2tan |ln 2tan 2tan 2cos 2tan 22=ln |csc x -cot x |+C . 即 ⎰xdx csc =ln |csc x -cot x |+C .例18. ⎰⎰+=dx x xdx )2csc(sec πC x x ++-+=|)2cot()2 csc(|ln ππ =ln |sec x + tan x | + C .即 ⎰xdx sec =ln |sec x + tan x | + C .二、第二类换元法定理2 设x =ϕ(t )是单调的、可导的函数, 并且ϕ'(t )≠0. 又设f [ϕ(t )]ϕ'(t )具有原函数F (t ), 则有换元公式C x F t F dt t t f dx x f +=='=-⎰⎰)]([)()()]([)(1ϕϕϕ.其中t =ϕ-1(x )是x =ϕ(t )的反函数.这是因为)()]([1)()]([)(})]([{1x f t f dtdx t t f dx dt t F x F =='='='-ϕϕϕϕ. 例19. 求dx x a ⎰-22(a >0).解: 设x =a sin t , 22 ππ<<-t , 那么22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos t d t , 于是⎰⎰⋅=-tdt a t a dx x a cos cos 22C t t a tdt a ++==⎰)2sin 4121(cos 222. 因为ax t arcsin =, a x a a x t t t 222cos sin 22sin -⋅==, 所以 dx x a ⎰-22C t t a ++=)2sin 4121(2C x a x a x a +-+=22221arcsin 2.解: 设x =a sin t , 22 ππ<<-t , 那么⎰⎰⋅=-tdt a t a dx x a cos cos 22C t t a tdt a ++==⎰)2sin 4121(cos 222C x a x a x a +-+=22221arcsin 2. 提示:22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos tdt .提示: a x t arcsin =, ax a a x t t t 222cos sin 22sin -⋅==.例20. 求⎰+22a x dx (a >0). 解法一: 设x =a tan t , 22 ππ<<-t , 那么 22a x +t a a 222tan +=t a 2tan 1+==a sec t , dx =a sec 2t d t , 于是⎰+22a x dx ⎰⎰==tdt dt t a t a sec sec sec 2= ln |sec t + tan t |+C . 因为aa x t 22sec +=, a x t =tan , 所以 ⎰+22a x dx = ln |sec t + tan t |+C C a a x a x +++=)ln(22122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .解法一: 设x =a tan t , 22 ππ<<-t , 那么 ⎰⎰⎰==+tdt dt t a t a a x dx sec sec sec 222=ln|sec t +tan t |+C C aa x a x +++=)ln(22122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .提示:22a x +t a a 222tan +==a sec t , dx =a sec 2t dt ,提示:aa x t 22sec +=, a x t =tan .解法二: 设x =a sh t , 那么⎰+22a x dx C a x C t dt dt t a t a +=+===⎰⎰arsh ch ch C a x a x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1)(ln 2122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .提示: 22a x +222a t sh a +==a ch t , dx =a ch t d t .例23. 求⎰-22a x dx (a >0). 解: 当x >a 时, 设x =a sec t (20π<<t ), 那么 22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t ,于是⎰-22a x dx ⎰⎰==tdt dt t a t t a sec tan tan sec = ln |sec t + tan t |+C . 因为aa x t 22tan -=, a x t =sec , 所以 ⎰-22a x dx = ln |sec t + tan t |+C C a a x a x +-+=||ln 22122)ln(C a x x +-+=, 其中C 1=C -ln a .当x <a 时, 令x =-u , 则u >a , 于是⎰-22a x dx C a u u a u du +-+-=--=⎰)ln(2222 C a x x +-+--=)ln(22122)ln(C a x x +---=,122222)ln(ln C a x x C aa x x +---=+---=, 其中C 1=C -2ln a .综合起来有⎰-22a x dx C a x x +-+=||ln 22. 解: 当x >a 时, 设x =a sec t (20π<<t ), 那么⎰-22a x dx ⎰⎰==tdt dt t a t t a sec tan tan sec C aa x a x C t t +-+=++=)ln(|tan sec |ln 22 C a x x +-+=)ln(22,其中C 1=C -ln a .当x <-a 时, 令x =-u , 则u >a , 于是⎰-22a x dx C a u u a u du +-+-=--=⎰)ln(2222 C a a x x C a x x +---=+-+--=22222ln )ln( 122)ln(C a x x +---=,其中C 1=C -2ln a .提示:22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t .提示:aa x t 22tan -=, a x t =sec . 综合起来有C a x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222. 补充公式: (16)C x xdx +-=⎰|cos |ln tan ,(17)C x xdx +=⎰|sin |ln cot ,(18)C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec ,(19)C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc , (20)C a x a dx x a +=+⎰arctan 1122, (21)C a x a x a dx a x ++-=-⎰||ln 21122, (22)C a x dx x a +=-⎰arcsin 122, (23)C a x x a x dx +++=+⎰)ln(2222,(24)C a x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222.§4. 3 分部积分法设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为(uv )'=u 'v +uv ',移项得 uv '=(uv )'-u 'v .对这个等式两边求不定积分, 得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u , 或⎰⎰-=vdu uv udv ,这个公式称为分部积分公式.分部积分过程:⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰ vdx u uv vdu uv udv dx v u .例1 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos =x sin x -cos x +C .例2 C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰.例3 ⎰⎰⎰-==2222dx e e x de x dx e x x x x x⎰⎰-=-=x x x x xde e x dx xe e x 2222⎰+-=dx e xe e x x x x 222=x 2e x -2xe x +2e x +C =e x (x 2-2x +2 )+C .例4 ⎰⎰⎰⋅-==dx xx x x xdx xdx x 121ln 21ln 21ln 222 C x x x xdx x x +-=-=⎰22241ln 2121ln 21. 例5 ⎰⎰-=x xd x x xdx arccos arccos arccosdx x x x x ⎰-+=211arccos )1()1(21arccos 2212x d x x x ---=⎰-C x x x +--=21arccos . 例6 ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x ⎰+⋅-=dx x x x x 2221121arctan 21 ⎰+--=dx x x x )111(21arctan 2122C x x x x ++-=arctan 2121arctan 212. 例7 求xdx e x sin ⎰.解 因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin⎰⎰-=-=x x x x xde x e xdx e x e cos sin cos sin⎰+-=x d e x e x e x x x cos cos sin⎰+-=x d e x e x e x x x cos cos sin⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin ,所以 C x x e xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin .例8 求⎰xdx 3sec .解 因为⎰⎰⎰=⋅=x xd xdx x xdx tan sec sec sec sec 23⎰-=xdx x x x 2tan sec tan sec⎰--=dx x x x x )1(sec sec tan sec 2⎰⎰+-=xdx xdx x x sec sec tan sec 3⎰-++=xdx x x x x 3sec |tan sec |ln tan sec ,所以 ⎰xdx 3sec C x x x x +++=|)tan sec |ln tan (sec 21. 例9 求⎰+=nn a x dx I )(22, 其中n 为正整数. 解 C a x aa x dx I +=+=⎰arctan 1221; 当n >1时，用分部积分法, 有dx a x x n a x x a x dx n n n ⎰⎰+-++=+--)()1(2)()(222122122dx a x a a x n a x x n n n ⎰+-+-++=--])()(1[)1(2)(222122122, 即 ))(1(2)(211221n n n n I a I n a x x I --++=---, 于是 ])32()([)1(2111222---++-=n n n I n a x x n a I . 以此作为递推公式, 并由C ax a I +=arctan 11即可得n I . 例10 求dx e x ⎰. 解 令x =t 2 , 则 , dx =2tdt . 于dx e x ⎰C x e C t e dt te x t t +-=+-==⎰)1(2)1(22.x d e x x d e dx e x x x ⎰⎰⎰==2)(2x d e e x de x x x x ⎰⎰-==222C x e C e e x x x x +-=+-=)1(222.第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分⎰⎰=')()]([)()]([x d x f dx x x f ϕϕϕϕu x =)(ϕ令⎰du u f )(,⎰⎰=')()()()(x dv x u dx x v x u ⎰-=)()()()( x du x v x v x u .哪些积分可以用分部积分法？⎰xdx x cos , ⎰dx xe x , dx e x x ⎰2;⎰xdx x ln , ⎰xdx arccos , ⎰xdx x arctan ;xdx e x sin ⎰, ⎰xdx 3sec .2222⋅⋅⋅===⎰⎰⎰du e dx e dx xe u x x ,2222⋅⋅⋅=-==⎰⎰⎰dx e e x de x dx e x x x x x .§4. 4 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:mm m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(, 其中m 和n 都是非负整数; a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n 及b 0, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b m 都是实数, 并且a 0≠0, b 0≠0. 当n <m 时, 称这有理函数是真分式; 而当n ≥m 时, 称这有理函数是假分式.假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如1111)1(1122223++=+++=+++x x x x x x x x . 真分式的不定积分:求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 例1 求⎰+-+dx x x x 6532. 解 ⎰+-+dx x x x 6532⎰--+=dx x x x )3)(2(3⎰---=dx x x )2536( ⎰⎰---=dx x dx x 2536=6ln|x -3|-5ln|x -2|+C . 提示: )3)(2()32()(23)3)(2(3----++=-+-=--+x x B A x B A x B x A x x x , A +B =1, -3A -2B =3, A =6, B =-5.分母是二次质因式的真分式的不定积分:例2 求⎰++-dx x x x 3222. 解 ⎰++-dx x x x 3222dx x x x x x )3213322221(22++-+++=⎰ dx x x dx x x x ⎰⎰++-+++=321332222122 ⎰⎰+++-++++=2222)2()1()1(332)32(21x x d x x x x d C x x x ++-++=21arctan 23)32ln(212. 提示: 321332221323)22(213222222++⋅-++-⋅=++-+=++-x x x x x x x x x x x . 例3 求⎰-dx x x 2)1(1.解 ⎰⎰-+--=-dx x x x dx x x ])1(1111[)1(122 ⎰⎰⎰-+--=dx x dx x dx x 2)1(1111C x x x +----=11|1|ln ||ln .提示: 222)1(1)1(1)1(1)1(1-+--=-+-=-x x x x x x x x x 22)1(1111)1(1)1(1-+--=-+-+--=x x x x x x x x . 二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式.用于三角函数有理式积分的变换:把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数, 然后作变换2tan x u =: 222122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 222222112sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x +-=-=-=. 变换后原积分变成了有理函数的积分.例4 求⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1. 解 令2tan x u =, 则212sin u u x +=, 2211cos u u x +-=, x =2arctan u , du u dx 212+=. 于是 ⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1⎰+-++++=)111(12)121(2222u u u u u udu u 212+⎰++=du u u )12(21 C u u u +++=|)|ln 22(212C x x x +++=|2tan |ln 212tan 2tan 412. 解 令2tan x u =, 则du uu u u u u udx x x x 2222212)111(12)121()cos 1(sin sin 1+⋅+-++++=++⎰⎰ ⎰++=+++=du uu C u u u )12(21|)|ln 22(212 C x x x +++=|2tan |ln 212tan 2tan 412. 说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如,⎰⎰++=++=+C x x d x dx x x )sin 1ln()sin 1(sin 11sin 1cos .三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去.例5 求⎰-dx xx 1. 解 设u x =-1, 即12+=u x , 则du u u udu u u dx xx ⎰⎰⎰+=⋅+=-12211222 C u u du u+-=+-=⎰)arctan (2)111(22 C x x +---=)1arctan 1(2.例6 求⎰++321x dx . 解 设u x =+32. 即23-=u x , 则du uu du u u x dx ⎰⎰⎰++-=⋅+=++111331121223 C u u u du u u +++-=++-=⎰|)1|ln 2(3)111(32 C x x x +++++-+=|21|ln 23)2(233332. 例7 求⎰+x x dx )1(3. 解 设x =t 6, 于是dx =6t 5d t , 从而dt t t dt t t t x x dx ⎰⎰⎰+=+=+22325316)1(6)1(C t t dt t +-=+-=⎰)arctan (6)111(62 C x x +-=)arctan (666.例8 求⎰+dx xx x 11. 解 设t xx =+1, 即112-=t x , 于是 dt t t t t dx x x x ⎰⎰--⋅-=+222)1(2)1(11 dt t dt t t )111(212222-+-=--=⎰⎰ C t t t ++---=|11|ln 2 C xx x x x x +++-+-+-=11ln 12.练习1. 求⎰+xdx cos 2. 解: 作变换2tan x t =, 则有dt t dx 212+=, 2211cos t t x +-=, ⎰+x dx cos 2⎰+-++=22211212t t t dt⎰+=dt t 2312⎰+=3)3(11322t d t C t+=3arctan 32C x +=)2tan 31arctan(32. 2. 求⎰dx xx 45cos sin . 解: ⎰dx x x 45cos sin ⎰-=x d x x cos cos sin 44⎰--=x d xx cos cos )cos 1(422 ⎰+--=x d xx cos )cos 1cos 21(42 C x x x ++--=3cos 31cos 2cos . 3. 求⎰+-+dx x x x 23132.解: ⎰+-+dx x x x 23132⎰--+=dx x x x )1)(2(13⎰---=dx x x )1427(⎰-=dx x 217⎰--dx x 114 =7ln|x -2|-4ln|x -1|+C .§4.5积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂. 为了实用的方便, 往往把常用的积分公式汇集成表, 这种表叫做积分表. 求积分时, 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后, 在表内查得所需的结果.积分表一、含有ax +b 的积分 1．⎰++=+C b ax ab ax dx ||ln 1 2．)1()()1(1)(1-≠+++=++⎰μμμμC b ax a dx b ax 3．C b ax b b ax a dx b ax x ++-+=+⎰|)|ln (124．[]C b ax b b ax b b ax a dx b ax x ++++-+=+⎰||ln )(2)(2112232 5．C x b ax b b ax x dx ++-=+⎰ln 1)( 6．C x b ax b a bx b ax x dx +++-=+⎰ln 1)(22 7．()C b ax b b ax a dx b ax x ++++=+⎰||ln 1)(22 8．()C b ax b b ax b b ax a dx b ax x ++-+-+=+⎰2322||ln 21)( 9．C xb ax b b ax b b ax x dx ++-+=+⎰ln 1)(1)(22 例1求⎰+dx x x 2)43(. 解: 这是含有3x +4的积分, 在积分表中查得公式()C b ax b b ax a dx b ax x ++++=+⎰||ln 1)(22.现在a =3、b =4, 于是 ()C x x dx x x ++++=+⎰434|43|ln 91)43(2. 二、含有b ax +的积分1．C b ax adx b ax ++=+⎰3)(32 2．C b ax b ax a dx b ax x ++-=+⎰32)()23(152 3．C b ax b abx x a a dx b ax x +++-=+⎰322232)()81215(1052 4．C b ax b ax a dx b ax x ++-=+⎰)2(322 5．C b ax b abx x a a dx bax x +++-=+⎰)843(15222232 6．⎰⎪⎩⎪⎨⎧<+-+->+++-+=+)0( arctan 2)0( ln 1b C b b ax bb C b b ax b b ax b b ax x dx 7．⎰⎰+-+-=+b ax x dx b a bx b ax bax x dx 22 8．⎰⎰+++=+bax x dx b b ax dx x b ax 2 9．⎰⎰+++-=+bax x dx a x b ax dx x b ax22 三、含x 2±a 2的积分1．⎰+=+C a x a a x dx arctan 122 2．⎰⎰--+--++-=+1222122222)()1(232)()1(2)(n n n a x dx a n n a x a n x a x dx 3．C ax a x a a x dx ++-=-⎰ln 2122 四、含有ax 2+b (a >0)的积分1．⎪⎩⎪⎨⎧<+-+--->+=+⎰)0( ln 21)0( arctan 12b C bx a b x a ab b C x b a ab b ax dx 2．C b ax adx b ax x ++=+⎰||ln 21223．⎰⎰+-=+b ax dx a b a x dx b ax x 222 4．C b ax x b b ax x dx ++=+⎰||ln 21)(222 5．⎰⎰+--=+dx b ax b a bx b ax x dx 22211)( 6．C bx x b ax b a b ax x dx +-+=+⎰22222321||ln 2)( 7．⎰⎰+++=+dx bax b b ax b x b ax dx 2222121)(2)( 五、含有ax 2+bx +c (a >0)的积分 六、含有22a x + (a >0)的积分1．C a x x C a x a x dx +++=+=+⎰)ln(arsh 22122 2．C a x a x a x dx +++⎰222322)( 3．C a x dx a x x ++=+⎰2222 4．C a x dx a x x ++-=+⎰223221)( 5．C a x x a a x x dx a x x +++-+=+⎰)ln(2222222222 6．C a x x a x x dx a x x +++++-=+⎰)ln()(22223222 7．C x a a x a a x x dx +-+=+⎰||ln 12222 8．C x a a x a x x dx ++-=+⎰222222 9．C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰)ln(222222222 例3求⎰+942x x dx . 解: 因为⎰⎰+=+222)23(2194x x dx x x dx , 所以这是含有22a x +的积分, 这里23=a . 在积分表中查得公式C x a a x a a x x dx +-+=+⎰||ln 12222. 于是 C x x C x x x x dx +-+=+-+⋅=+⎰||2394ln 31||23)23(ln 3221942222. 七、含有22a x -(a >0)的积分1．⎰+-+=+=-C a x x C a x x x a x dx ||ln ||arch ||22122 2．⎰+--=-C a x a x a x dx 222322)( 3．C a x dx a x x +-=-⎰2222 4．⎰+--=-C a x dx a x x 223221)( 5．C a x x a a x x dx a x x +-++-=-⎰||ln 2222222222 6．⎰+-++--=-C a x x a x x dx a x x ||ln )(22223222 7．⎰+=-C x a a a x x dx ||arccos 122 8．⎰+-=-C x a a x ax x dx 222222 9．C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰||ln 222222222 八、含有22x a -(a >0)的积分1．⎰+=-C a x x a dx arcsin 22 2．⎰+--=-C x a a x x a dx 222322)( 3．C x a dx x a x +--=-⎰2222 4．⎰+-=-C x a dx x a x 223221)( 5．C a x a x a x dx x a x ++--=-⎰arcsin 22222222 6．⎰+--=-C a x x a x dx x a x arcsin )(2232227．⎰+--=-C x x a a a x a x dx ||ln 12222 8．⎰+--=-C x a x a x a x dx 222222 9．C ax a x a x dx x a +--=-⎰arcsin 2222222 九、含有)0(2>++±a c bx ax 的积分 十、含有bx a x --±或))((b x a x --的积分 十一、含有三角函数的积分1．C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec2．C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc3．C x xdx x +=⎰sec tan sec4．C x xdx x +-=⎰csc cot csc5．C x x xdx +-=⎰2sin 412sin 2 6．C x x xdx ++=⎰2sin 412cos 2 7．⎰⎰---+-=xdx nn x x n xdx n n n 21sin 1cos sin 1sin 8．⎰⎰---+=xdx nn x x n xdx n n n 21cos 1sin cos 1cos 9．C x b a b a x b a b a bxdx ax +---++-=⎰)cos()(21)cos()(21cos sin 10．C x b a b a x b a b a bxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin 11．C x b a b a x b a b a bxdx ax +--+++=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos 12．)( 2tan arctan 2sin 222222b a C b a b x a b a x b a dx >+-+-=+⎰13．)( 2tan 2tan ln 2sin 22222222b a C a b b x a a b b x a a b x b a dx <+-++--+-=+⎰ 14．())( 2tan arctan 2cos 22b a C x b a b a b a b a b a x b a dx >++--++=+⎰ 14．)( 2tan 2tan ln 2cos 22b a C a b ba x ab ba x ab b a b a x b a dx <+-+--++-++=+⎰ 例2求⎰-xdx cos 45. 解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式())( 2tan arctan 2cos 22b a C x b a b a b a b a ba xb a dx >++--++=+⎰. 这里a =5、b =-4, a 2>b 2, 于是 () 2tan )4(5)4(5arctan )4(5)4(5)4(52cos 45C x x dx +-+-----+-+=-⎰ ()C x +=2tan 3arctan 32. 例4 求⎰xdx 4sin .解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式⎰⎰---+-=xdx n n x x n xdx n n n 21sin 1cos sin 1sin , C x x xdx +-=⎰2sin 412sin 2. 这里n =4, 于是C x x x x xdx x x xdx +-+-=+-=⎰⎰)2sin 412(43cos sin 41sin 43cos sin 41sin 3234.。
不定积分分部积分法教案
第三节 第四节第五节 分部积分法教学内容：分部积分法教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。
教学重点：分部积分法及其应用教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。
教学学时：1学时 教学进程：我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。
1引入用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔ ③第二类换元积分法 解：不妨设 t x t x arccos cos ==则 原方程dt tt t ⎰--⋅⋅211arccos 更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数）已知： '')'(uv v u v u +=⋅对上式两边积分得：⎰⎰+=+dx uv vdx u C uv '' 移项得：⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v '为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
Cx x x xdxx x x dxx x xdxx ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样先要化的和要求积分的通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。
其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。
2 公式设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式：⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''（或⎰⎰-=vdu uv udv ）3 例题讲解例1．计算不定积分dx xe x ⎰．解 设 x u = ，x e v ='，则1='u ，xe v =（*），于是x x x xxe dx xde xe e dx ==-⎰⎰⎰x x xe e C =-+． 注意：（1）（*）处没有加C ，这是因为我们取了最简单的情况0=C 。
大学不定积分教案
教学目标：1. 理解不定积分的概念和性质。
2. 掌握不定积分的基本方法，包括换元积分法、分部积分法等。
3. 能够运用不定积分解决实际问题。
教学重点：1. 不定积分的概念和性质。
2. 换元积分法和分部积分法的运用。
教学难点：1. 换元积分法和分部积分法的灵活运用。
2. 复杂函数的不定积分计算。
教学过程：一、导入1. 回顾导数的概念和求导法则。
2. 提出问题：如何从导数反求原来的函数？二、不定积分的概念与性质1. 引入不定积分的定义：如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，那么f(x)在区间I上的不定积分记作∫f(x)dx，其中F(x) + C为f(x)的不定积分。
2. 讲解不定积分的性质：a. 线性性质：∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dxb. 可积性质：如果f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上可积。
c. 积分常数：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数。
三、换元积分法1. 介绍换元积分法的概念：将原积分问题转化为新的积分问题，通过变量替换简化积分计算。
2. 讲解第一类换元法：a. 介绍凑微分法：在原积分中，将微分表达式凑成待积函数的形式。
b. 举例说明第一类换元法的运用。
3. 讲解第二类换元法：a. 介绍根式换元法：将被积函数中含有根式的部分通过换元转化为不含根式的函数。
b. 举例说明第二类换元法的运用。
四、分部积分法1. 介绍分部积分法的概念：利用分部积分公式将原积分问题转化为新的积分问题。
2. 讲解分部积分公式的推导过程。
3. 举例说明分部积分法的运用。
五、巩固练习1. 给出一些不定积分的计算题，让学生运用所学方法进行计算。
2. 对学生的答案进行点评和讲解，帮助学生掌握不定积分的计算方法。
六、总结1. 总结本节课所学的不定积分的概念、性质、基本方法。
2. 强调换元积分法和分部积分法的运用技巧。
七、课后作业1. 完成本节课所学的练习题。
公开课(分部积分法)教案
《高职数学》公开课教案课题：§ 4。
4 分部积分法课型：讲授教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法,正确选取u 、dv ，熟练掌握分部积分法公式教学重点、难点：分部积分法及其应用，恰当选取u 、dv教学内容：一、分部积分法设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为'+'='uv u (uv)v移项得 v '-'='u (uv)uv对这个等式两边求不定积分, 得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u ,⎰⎰-=vdu uv udv ,称为不定积分的分部积分公式。
二、例题例1C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰ 例2 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cosC x x x ++=cos sin. 利用这个公式的关键在于选取适当的u 和dv选取的一般原则:1.v 容易求得（凑微分法);2。
u vd ⎰比⎰udv 容易求。
例3求⎰dx e x x 2解： x x de x dx e x ⎰⎰=22 C e xe e x dx e xe e x dxxe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=⎰⎰⎰22)(2222222例4求 ⎰xdx x arctan解： ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x [][]C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=⎰⎰⎰arctan arctan 21)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222 例5 34434411111ln ln ()ln ln 444416x x xd x x x x dx x x x C 分部积分法的使用技巧(1）被积函数是两个不同类型函数的乘积； (2)u 的选取按“反、对、幂、三、指”顺序.例6求xdx e x sin ⎰.解 因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ⎰⎰-=-=x x x x xde x e xdx e x e cos sin cos sin ⎰+-=x d e x e x e x x x cos cos sin⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin ,所以 C x x e xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin . 练习： (1）(2)xdx x ln 2⎰例7 求 ⎰dx e x解： 令 t x =，则 2t x =，tdt dx 2=，因此[]C x e Ce te dtte tdte dx e x t t t t x +-=+-===⎰⎰⎰)1(2 2 2 2三、小结使用分部积分公式⎰⎰-=vdu uv udv(1）原则:v 容易求得（凑微分法）; u vd ⎰比⎰udv 容易求;(2）U 的选取按 “反对幂三指”的顺序.四、作业习题4。
3.3 教学设计——分部积分法
教学反思
本节内容是一种求不定积分的方法，通过例题让学生体会体现了从特殊到一般，从感性到理性的辩证唯物主义观点，体会不定积分解法的多样性，感悟数学的魅力。
黑板
能力目标2
讲授新课
40’
1.推导分部积分公式
2.典型例题
3.分部积分公式 的选择
1.由导数的乘法推导分部积分公式
2.通过典型例题让学生体会分部积分公式 的选择
3.总结分部积分公式中选u的法则是：按照“反对幂三指”的次序，将出现的两种不同类型的函数中，在此顺序排在前面的
黑板
知识目标1，2
能力目标1
素质目标2
学生互动
20’
完ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课堂练习
1小组讨论课堂习题
2.教师讲解
3.用Mathematica软件检验计算结果
多媒体
素质目标1，3
课堂小结
5’
1.推导分部积分公式
2.通过例题体会分部积分法
3.分部积分公式中选 的法则
布置作业或任务
5’
1课后通过习题体会分部积分法，熟练掌握分部积分法
2.用Mathematica软件检验计算结果
单元教学设计
课题名称
学时数
课程类型
分部积分法
2
理论课
教学内容及学情分析
本节课的教学内容是分部积分法，这是积分的基本方法之一，学生已经学习了不定积分的直接积分法、第一类换元积分法和第二类换元积分法，每种方法都有针对的积分类型，而分部积分是针对被积函数是两种不同类型函数乘积的情形。
教学目标
知识目标
1.理解分部积分法的思想；
3.通过自主探究两函数乘积的不定积分，帮助学生提高自我学习与自我研究的能力。
不定积分分部积分法
一、基本内容
问题 xe xdx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
uv uv uv, uv uv uv,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
分部积分公式
例1 求积分 x cos xdx .
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C.
例7 求积分 x arctan x dx.
1 x2
解 1 x2 x , 1 x2
x
arctan 1 x2
x
dx
arctan
xd
1 x2
1 x2 arctan x 1 x2d(arctan x)
1 x2 arctan x
1
x2
1
1 x2
dx
1 x2 arctan x 1 dx
1 x2
1 x2 arctan x ln( x 1 x2 ) C .
例 8 已知 f ( x)的一个原函数是ex2 , 求 xf ( x)dx .
解 xf ( x)dx xdf ( x) xf ( x) f ( x)dx,
sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)
cos(ln
x)]
C.
例6 求积分 e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e xd cos x)
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案第一章：不定积分的概念1.1 引言引入不定积分概念，解释其在微积分中的重要性。
举例说明实际问题中的不定积分应用。
1.2 不定积分的定义介绍不定积分的定义和符号表示。
解释不定积分与定积分的区别。
1.3 基本积分公式推导基本积分公式，如幂函数、指数函数、对数函数的积分。
强调记忆和掌握基本积分公式的重要性。
第二章：不定积分的计算方法2.1 换元积分法介绍换元积分法的概念和步骤。
举例说明换元积分法的应用。
2.2 分部积分法介绍分部积分法的概念和步骤。
举例说明分部积分法的应用。
2.3 部分分式积分法介绍部分分式积分法的概念和步骤。
举例说明部分分式积分法的应用。
第三章：不定积分的应用3.1 平面区域的面积介绍平面区域面积的计算方法。
举例说明如何利用不定积分计算平面区域面积。
3.2 曲线的长度介绍曲线长度的计算方法。
举例说明如何利用不定积分计算曲线长度。
3.3 曲线的弧长介绍曲线弧长的计算方法。
举例说明如何利用不定积分计算曲线弧长。
第四章：高阶不定积分4.1 高阶不定积分的定义介绍高阶不定积分的定义和符号表示。
解释高阶不定积分与一阶不定积分的区别。
4.2 高阶不定积分的计算方法推导高阶不定积分的计算方法。
举例说明高阶不定积分的计算应用。
4.3 求解高阶不定积分的一般步骤介绍求解高阶不定积分的一般步骤。
强调记忆和掌握求解高阶不定积分的技巧。
第五章：特殊函数的不定积分5.1 三角函数的不定积分推导三角函数的不定积分公式。
举例说明三角函数的不定积分的应用。
5.2 指数函数的不定积分推导指数函数的不定积分公式。
举例说明指数函数的不定积分的应用。
5.3 对数函数的不定积分推导对数函数的不定积分公式。
举例说明对数函数的不定积分的应用。
第六章：常数项的不定积分6.1 常数项的不定积分的定义引入常数项的不定积分的概念。
解释常数项的不定积分与一般函数的不定积分的区别。
6.2 常数项的不定积分的计算推导常数项的不定积分的计算公式。
《高职应用数学》教案 第24课 不定积分的积分方法
第24课不定积分的积分方法复习（10 min）【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（33 min）【教师】引入课题——换元积分法和分部积分法利用不定积分的基本积分公式及性质可以求出一些不定积分，但这种方法只能求一些简单的不定积分，对于一些复杂的积分（如2sin5d2e dxx x x x⎰⎰，等），靠上述方法是解决不了的．为了能求出更多的不定积分，有必要研究求不定积分的其他方法．本节我们将介绍求不定积分的两种主要方法：换元积分法和分部积分法．换元积分法可分为第一换元积分法（凑微分法）和第二换元积分法（去根号法）两种．【教师】讲解不定积分的第一类换元积分法（凑微分），将凑微分的方法分成三类，针对每一类，从易到难的列举例题，反复讲解，总结被积函数的特点规律，使学生达到熟练掌握的目的定理1（第一换元积分法）设函数()f u具有原函数()F u，且()u xϕ=可导，则函数[()]F xϕ是函数[()]()f x xϕϕ'的原函数，即有换元公式()[()]()d[()]()du xf x x x F x C f u uϕϕϕϕ=⎡⎤'=+=⎣⎦⎰⎰．上述积分方法称为第一换元积分法，也称为凑微分法．求sin5d x x⎰．解将d x进行配凑，因为1d d(5)5x x=，所以1sin5d sin5d(5)5x x x x=⎰⎰5111sin d cos cos5555u x u u u C x C==-+-+⎰还原．（例2～例4详见教材）从以上例子可以看出，第一换元积分法的关键在于“配凑”．为方便计算，下面给出一些常用的凑微分公式供大家学习不定积分的第一类换元积分法（凑微分）和第二类换元积分法。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化例11()()d [()]()d t x f x x f t t t ψψψ-=⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰，其中，1()t x ψ-=为()x t ψ=的反函数．第二换元积分法主要包括两种方法：简单根式换元法和三角换元法．下面通过例子来介绍这两种方法．1）简单根式换元法求d 1xx+⎰．解 求这个积分的主要困难是x ，所以令x t =，则2x t =，显然d 2d x t t =，于是d 2d 1112d 21d 1111x t t t t t t t t x +-⎛⎫===-⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 2(ln |1|)2(ln |1|)t t C x x C =-++=-++．求1d 21x x +-⎰．解 为了去掉根号，设1t x =-，则21x t =+，d 2d x t t =，于是1222d d 2d 2221t t x t t t t x +-==+++-⎰⎰⎰12d 4d 24ln |2|2t t t t C t=-=-+++⎰⎰214ln |21|x x C =--+-+．2）三角换元法求22d (0)a x x a ->⎰． 解 设sin x a t =，则d cos d x a t t =．令π||2t <，于是得 2222222d sin cos d cos d a x x a a t a t t a t t-=-⋅=⎰⎰⎰221(1cos 2)d sin 2222a a t t t t C ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭⎰例12 例11 例10（5）22d arcsinx xC aa x=+-⎰；（6）22d 1arctan x xC a x a a=++⎰； （7）22d 1ln 2x x aC x a a x a-=+-+⎰；（8）22d 1ln 2x a xC a x a a x +=+--⎰；（9）2222d ln ||xx x a C x a =+±+±⎰．【学生】理解、掌握不定积分的第一类换元积分法（凑微分），了解不定积分的第二类换元积分法第二节课讲授新课（22 min ）【教师】讲解不定积分的分部积分法，通过由易到难的例题使学生掌握其应用前面在复合函数微分法的基础上得到了换元积分法，现在我们利用函数乘积的微分运算来推导分部积分法． 设函数()()u u x v v x ==，具有连续导数，则这两个函数乘积的导数为[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+， 即 ()()[()()]()()u x v x u x v x u x v x '''=-．对上式的两边求不定积分，有()()d [()()]d ()()d u x v x x u x v x x u x v x x '''=-⎰⎰⎰，即 ()d ()()()()d ()u x v x u x v x v x u x =-⎰⎰，上式可简记为 d d u v uv v u =-⎰⎰．此公式为分部积分公式．在运用分部积分公式时，应当正确选取函数u 和函数v ，下面举例来说明．求e d x x x ⎰．解 设d e d d(e )x x u x v x ===，，于是d d e x u x v ==，，所以e d de e e d e e x x x x x x x x x x x x C ==-=-+⎰⎰⎰．学习不定积分的分部积分法。
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第三节 分部积分法
教学内容：分部积分法
教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。
教学重点：分部积分法及其应用
教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。
教学学时：1学时
教学进程：
我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。
1引入
用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos
分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔
③第二类换元积分法
解：不妨设 t x t
x arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211
arccos 更为复杂
所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数）
已知： '')'(uv v u v u +=⋅
对上式两边积分得：⎰⎰+=+dx uv vdx u C uv ''
移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''
观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v '为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
C
x x x xdx
x x x dx
x x xdx
x ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样
先要化的和要求积分的
通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。
其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。
2 公式
设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式：
⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''（或⎰⎰-=vdu uv udv ）
3 例题讲解
例1．计算不定积分dx xe x ⎰
． 解 设 x u = ，x e v ='，则1='u ，x e v =（*），
于是 x x x x xe dx xde xe e dx ==-⎰⎰⎰
x x xe e C =-+． 注意：
（1）（*）处没有加C ，这是因为我们取了最简单的情况0=C 。
（2）若设x e u =,xdx dv =，则 dx e x e x dx xe x x x ⎰⎰-=222
121， 积分dx e x x ⎰2比积分⎰
dx xe x 要复杂，没有达到预期目的．由此可见，选择v u ',非常关键，一般要考虑下列两点：
（1）v 要易求；
（2）积分⎰'vdx u 要比积分⎰'dx v u 易计算．
练习：求⎰xdx x sin
例2．计算不定积分⎰xdx ln
分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作x ln 1⋅即可。
解：设x u ln =，1='v ，则x
u 1=
'，x v =， 于是 C x x x dx x
x x x xdx
xdx
+-=⋅-==⎰⎰⎰ln 1ln ln ln
注意：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。
例3．计算不定积分⎰xdx x arctan 。
解 设x v x u ='=,arctan ；则2221,11x v x u =+=',
于是 ⎰xdx x arctan dx x x x x ⎰+-=222121arctan 21dx x x x x ⎰+-+-=1
1121arctan 21222
dx x x x ⎰+--=
)1
11(21arctan 2122211arctan (arctan )22x x x x C =--+ 211(1)arctan 22
x x x C =+-+ 练习：求⎰xdx arcsin 。
例 4. 计算不定积分2x x e dx ⎰．
解 设 2u x = ，x
e v ='，则x u 2='，x e v =，
于是 2222x x x x x e dx x de x e xe dx ==-⎰⎰⎰ 22[]x x x x e xe e dx =--⎰
222x x x x e xe e C =-++
注意： 如果要两次分部积分，选取v u ',要一致，否则会还原．
例5．计算不定积分xdx e x sin ⎰
． 解：
xdx e x e x e xdx
e x e xde xdx
e x x x x x x x sin cos sin cos sin sin sin ⎰⎰⎰⎰--=-==
好像进入了死胡同，实则不然，令I xdx e x =⎰
sin ,则上式变为： )2(,)cos sin (21cos sin 2cos sin 11
C C C x e x e I C x e x e I I
x e x e I x x x x x x =+-=+-=--=其中则
练习：求⎰xdx e x
cos 。
从这几个典型例题可以看到，一般情况下， v u ',可按下列规律选择：
（1）形如,sin kxdx x n ⎰,cos kxdx x n ⎰
，dx e x kx n ⎰（其中n 为正整数）的不定积分，令n x u =，余下的凑成v '。
（2）形如xdx x n ln ⎰，xdx x n arcsin ⎰，xdx x n arctan ⎰时，令n
x v ='，余下的凑成u 。
（3）形如bxdx e bxdx e ax ax cos ,sin ⎰
⎰ 的不定积分，可以任意选择u 与v '，但由于要使用两次分部积分公式，两次选择u 与v '应保持一致，只有这样才能出现循环公式并求出积分。
说明
（1）用分部积分法的情况不止于此，总的原则是适当选取u 及v '，使v u '更加便于积分．
（2）一般被积函数是不同类函数函数乘积时，往往想到用分部积分法．
例6．求dx e x I x n n ⎰
=的递推公式，其中n 为正整数，并求出321,,I I I 。
解：111----=-=-==⎰
⎰⎰n x n x n x n x n x n x n n nI e x dx e x n e x dx e nx e x dx e x I 因此可得dx e x I x n n ⎰
=的递推公式为 ),3,2,1(,1 =-=-n nI e x I n x n n
其中C e dx e I x x +==⎰
0，那么有 101C e xe I xe I x x x +-=-=
22122222C e xe e x I e x I x
x x x ++-=-=
3232336633C e xe e x e x I e x I x x x x x +-+-=-= 例7．计算不定积分dx e
x ⎰． 解 dx e x ⎰dt te tdt e t t t x ⎰⎰====222t tde =⎰)(2⎰-=dt e te t t
c e te t t +-=222C =-+
4小结
1、分部积分公式
2、在分部积分的公式中，v u ',的选取。
3、结合其他的积分方法灵活的使用公式。
作业：习题4－3（132P ）1、4、5、7、8、9、10。