不定积分分部积分法教案

第三节 分部积分法

教学内容：分部积分法

教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。

教学重点：分部积分法及其应用

教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。

教学学时：1学时

教学进程：

我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。 1引入

用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos

分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。

②凑微法失效。x x cos ↔

③第二类换元积分法

解：不妨设 t x t

x arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211

arccos 更为复杂

所以凑微法和第二换元积分法都失效。

反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数）

已知： '')'(uv v u v u +=⋅

对上式两边积分得：⎰⎰+=+dx uv vdx u C uv ''

移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''

观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v '为导数形式。

故，我们可以尝试来解一下上面的积分。

C

x x x xdx

x x x dx

x x xdx

x ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样

先要化的和要求积分的

通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。

2 公式

设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式：

⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''（或⎰⎰-=vdu uv udv ）

3 例题讲解

例1．计算不定积分dx xe x ⎰

． 解 设 x u = ，x e v ='，则1='u ，x e v =（*），

于是 x x x x xe dx xde xe e dx ==-⎰⎰⎰

x x xe e C =-+． 注意：

（1）（*）处没有加C ，这是因为我们取了最简单的情况0=C 。

（2）若设x e u =,xdx dv =，则 dx e x e x dx xe x x x ⎰⎰-=222

121， 积分dx e x x ⎰2比积分⎰

dx xe x 要复杂，没有达到预期目的．由此可见，选择v u ',非常关键，一般要考虑下列两点：

（1）v 要易求；

（2）积分⎰'vdx u 要比积分⎰'dx v u 易计算．

练习：求⎰xdx x sin

例2．计算不定积分⎰xdx ln

分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作x ln 1⋅即可。

解：设x u ln =，1='v ，则x

u 1=

'，x v =， 于是 C x x x dx x

x x x xdx

xdx

+-=⋅-==⎰⎰⎰ln 1ln ln ln

注意：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。

例3．计算不定积分⎰xdx x arctan 。

解 设x v x u ='=,arctan ；则2221,11x v x u =+=',

于是 ⎰xdx x arctan dx x x x x ⎰+-=222121arctan 21dx x x x x ⎰+-+-=1

1121arctan 21222

dx x x x ⎰+--=

)1

11(21arctan 2122211arctan (arctan )22x x x x C =--+ 211(1)arctan 22

x x x C =+-+ 练习：求⎰xdx arcsin 。 例 4. 计算不定积分2x x e dx ⎰．

解 设 2u x = ，x

e v ='，则x u 2='，x e v =，

于是 2222x x x x x e dx x de x e xe dx ==-⎰⎰⎰ 22[]x x x x e xe e dx =--⎰

222x x x x e xe e C =-++

注意： 如果要两次分部积分，选取v u ',要一致，否则会还原．

例5．计算不定积分xdx e x sin ⎰

． 解：

xdx e x e x e xdx

e x e xde xdx

e x x x x x x x sin cos sin cos sin sin sin ⎰⎰⎰⎰--=-==

好像进入了死胡同，实则不然，令I xdx e x =⎰

sin ,则上式变为： )2(,)cos sin (21cos sin 2cos sin 11

C C C x e x e I C x e x e I I

x e x e I x x x x x x =+-=+-=--=其中则

练习：求⎰xdx e x

cos 。

从这几个典型例题可以看到，一般情况下， v u ',可按下列规律选择：

（1）形如,sin kxdx x n ⎰,cos kxdx x n ⎰

，dx e x kx n ⎰（其中n 为正整数）的不定积分，令n x u =，余下的凑成v '。

（2）形如xdx x n ln ⎰，xdx x n arcsin ⎰，xdx x n arctan ⎰时，令n

x v ='，余下的凑成u 。 （3）形如bxdx e bxdx e ax ax cos ,sin ⎰

⎰ 的不定积分，可以任意选择u 与v '，但由于要使用两次分部积分公式，两次选择u 与v '应保持一致，只有这样才能出现循环公式并求出积分。

说明

（1）用分部积分法的情况不止于此，总的原则是适当选取u 及v '，使v u '更加便于积分．

（2）一般被积函数是不同类函数函数乘积时，往往想到用分部积分法．

例6．求dx e x I x n n ⎰

=的递推公式，其中n 为正整数，并求出321,,I I I 。 解：111----=-=-==⎰

⎰⎰n x n x n x n x n x n x n n nI e x dx e x n e x dx e nx e x dx e x I 因此可得dx e x I x n n ⎰

=的递推公式为 ),3,2,1(,1 =-=-n nI e x I n x n n

其中C e dx e I x x +==⎰

0，那么有 101C e xe I xe I x x x +-=-=

22122222C e xe e x I e x I x

x x x ++-=-=

3232336633C e xe e x e x I e x I x x x x x +-+-=-= 例7．计算不定积分dx e

x ⎰． 解 dx e x ⎰dt te tdt e t t t x ⎰⎰====222t tde =⎰)(2⎰-=dt e te t t

c e te t t +-=222C =-+

4小结

1、分部积分公式

2、在分部积分的公式中，v u ',的选取。

3、结合其他的积分方法灵活的使用公式。

作业：习题4－3（132P ）1、4、5、7、8、9、10