高中数学立体几何中的最值问题、内接外切、球面距离

立体几何中的最值问题、内接外切、球面距离

1. 一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3,,a b 的三条线段，则ab 的最大值为

A ．5

B ．6

C ．

52

D ．3

【答案】C

【解析】构造一个长方体，让长为2的线段为体对角线，由题意知

2222221,1,3a y b x x y =+=++=，即22222325a b x y +=++=+=，又

2252a b ab =+≥，所以5

2

ab ≤

，当且仅当a b =时取等号，所以选C.

2. 四棱锥P

ABCD 的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD 的五个顶点都在一

个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为

A.12

B.24

C.36

D.48

【答案】A

【解析】将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P-ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，

且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a .设外接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心，设EF 中点为G ，连接OG ，OA ，AG.根据题意，直线EF 被球面所截得的线段长为22，即正方体面对角线长也是22,可得

2

22

AG a ==

,所以正方体棱长2a =,在直角三角形OGA 中，1

12

OG a ==,3AO =,即外接球半径3R =，得外接球表面积为2412R ππ=,选A.

3. 若三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，23,SA =1AB =，2AC =，

60BAC ∠=︒，则球O 的表面积为 （ ） A ．64π B ．16π C ．12π D ．4π

【答案】B

【解析】因为1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，所以22

12212cos603BC =+-⨯⨯=，所以3BC =。所

以90ABC ∠=，即ABC ∆为直角三角形。因为三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，所以斜边AC

的中点是截面小圆的圆心'O ，即小圆的半径为1322

r AC =

=.,因为,OA OS 是半径，所以三角形AOS 为等腰三角形，过O 作OM SA ⊥,则M 为中点，所以123

'322

OO AM SA ==

==,所以半径

222'(3)142OA OO r =+=+==，所以球的表面积为2416R ππ=,选B.

4. 已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的高为22，外接球的体积是32

3

，则A 、B 两点的球面距离为____________. 【答案】

23

π 【解析】因为正四棱柱外接球的体积为

323，所以3432

33

R ,即外接球的半径为2R =，所以正四棱柱的体对角线为24R =，设底面边长为x ，则

222(2)(22)4x +=，解得底面边长2x =。所以三角形AOB 为正三角形，所以

3

AOB π

∠=

，所以A 、B 两点的球面距离为

23

3

R ππ=

.

5. 设A 、B 、C 、D 为球O 上四点，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且6AB AC ==，2AD =，则A 、D 两点间的球面距离 。 【答案】

23

π 【解析】因为AB 、AC 、AD 两两互相垂直，所以分别以AB 、AC 、AD 为棱构造一个长方体，在长方体的体对角线为球的直径，所以球的直径2

2

2

2(6)(6)2164R =++==，所以球半径为2R =,在正三角形AOD 中，

3

AOD π∠=

，所以A 、D 两点间的球面距离为

23

3

R ππ=

.

6. 如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积是

【答案】43π

【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，

,

7. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，1P ，2P 分别为线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．

124 B ．1

12

C ．

16 D ．1

2

【答案】A

【解析】过2P 做2P O ⊥底面于O,连结1OP , 则1OP AB ⊥，即1OP 为三棱锥211P

P AB -的高，设101AP x x =<<，，则由题意知1//OP AD ,所以有

1

1OP BP AD AB

=，即11OP x =-。三角形11

1

2

AP B S x ∆=，所以四面体121PP AB 的体积为11211111111(1)(1)()33266224

AP B x x S OP x x x x ∆+-⋅=⨯-=-≤=，当且仅当1x x =-，即12x =时，取等号，所以四面体121

PP AB 的体积的最大值为1

24

，选A.

8. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点, E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面,AEF 则线段1A P 长度的取值范围是

A ．5[1,]2 B. 325[,]42 C. 5

[,2]2

D. [2,3]

【答案】B

【解析】取11B C 的中点M,1BB 的中点N,连结11,,A M A N MN ，可以证明平面1//A MN 平面AEF ，所以点P 位于线段MN 上，把三角形1A MN 拿到平面上，则有2

111

51()2

2A M A N ==+=

,22112()()222

MN =+= B 1

C 1

D 1

A 1

F

E B

C D

A