复数基础练习题
复数试题及答案doc
6．设 ，则 （）
A． B． C．2D．5
7．若复数 ，则 （）
A． B． C． D．
8．在复平面内，已知平行四边形 顶点 ， ， 分别表示 ， ，则点 对应的复数的共轭复数为（）
A． B． C． D．
9．设 ，则 的虚部为（）
A． B．
C． D．
10．若复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
11．已知 ( ， 为虚数单位)，则实数 的值为（）
A． B． C． D．
12．已知复数 满足 ，则 的虚部是（）
A．-1B．1C． D．
13．已知 为虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
14．已知 是虚数单位， ，则复数 的共轭复数的模是（）
A．5B． C． D．315．题目文件丢失！
【点睛】
此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.
19．BC
【分析】
利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.
【详解】
，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限.
故选：BD.
【点睛】
本题考
解析：BC
【分析】
利用复数的除法求出复数 ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.
一、复数选择题
1．已知复数 ，其中 为虚数单位，则 =（）
A． B． C． D．
2．复数 （其中i为虚数单位）的虚部为（）
A． B． C．9D．
3． 是虚数单位，复数 （）
A． B． C． D．
4．已知 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在（）
高中复数练习题及讲解基础
高中复数练习题及讲解基础1. 选择题：- 题目：下列哪个选项中的名词是复数形式？A. The book is on the table.B. The books are on the table.C. The cat sleeps.D. The cats sleep.- 答案：B, D2. 填空题：- 题目：请将下列句子中的单数名词改为复数形式。
- (1) I have a pen. (改为复数)- (2) She sees a cat. (改为复数)- (3) There is a car in the street. (改为复数)- 答案：- (1) I have pens.- (2) She sees cats.- (3) There are cars in the street.3. 改错题：- 题目：下列句子中有一个错误，请找出并改正。
- (1) The childrens are playing in the park. - (2) The sheeps are grazing in the field.- (3) The deers are running in the forest.- 答案：- (1) The children are playing in the park.- (2) The sheep are grazing in the field.- (3) The deer are running in the forest.4. 翻译题：- 题目：请将下列中文句子翻译成英文，并注意名词的单复数。
- (1) 我有一本书。
- (2) 她看到了一只猫。
- (3) 公园里有很多孩子。
- 答案：- (1) I have a book.- (2) She saw a cat.- (3) There are many children in the park.5. 完形填空：- 题目：阅读下面的短文，从括号内选择合适的词填空，注意名词的单复数。
(完整版)复数练习(含答案)
复数基础练习题一、选择题1．下列命题中：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数；②若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；③x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．a 为正实数，i 为虚数单位，z ＝1－a i ，若|z |＝2，则a ＝( )A ．2 B. C. D ．1324．(2011年高考湖南卷改编)若∈R ，i 为虚数单位，且a i ＋i 2＝b ＋i ，则( )a ，b A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－15．复数z ＝＋i 2对应点在复平面( )3A ．第一象限内 B ．实轴上 C ．虚轴上 D ．第四象限内6．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( )A ．a ＝，b ＝B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝，b ＝D ．a ＝1，b ＝3321212327．复数z ＝＋i 在复平面上对应的点位于( )1212A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－IC ．－3－iD ．－3＋i9．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－＋i B.－I C ．－－i D.＋i3434343410．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i11．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为( )A ．5－6iB ．3－5iC ．－5＋6iD ．－3＋5i12．向量对应的复数是5－4i ，向量对应的复数是－5＋4i ，则＋对应的复数是( )OZ 1→ OZ 2→ OZ 1→ OZ 2→ A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0 D ．10＋8i13．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．如果一个复数与它的模的和为5＋i ，那么这个复数是( )3A. B.I C.＋i D.＋2i11531153115315．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A ．1－3iB ．11i －2C ．i －2D ．5＋5i16．复数z 1＝cos θ＋i ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( )A ．5 B. C ．6 D.5617．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )A ．0B ．1 C. D.221218．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．519．(2011年高考福建卷)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈S D.∈S2i20．(2011年高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·＝( )z z A ．3－i B ．3＋I C ．1＋3i D ．321．化简的结果是( )2＋4i(1＋i )2A ．2＋i B ．－2＋I C ．2－iD ．－2－i 22．(2011年高考重庆卷)复数＝( )i2＋i3＋i41－i A ．－－i B ．－＋I C.－i D.＋i 121212121212121223．(2011年高考课标全国卷)复数的共轭复数是( )2＋i1－2i A ．－i B.i C ．－i D ．i353524．i 是虚数单位，()4等于( )1＋i 1－i A ．i B ．－I C ．1 D ．－125．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋IC ．2＋2iD ．3＋i26．设z 的共轭复数是，若z ＋＝4，z ·＝8，则等于( )z z z z z A ．i B ．－i C ．±1 D ．±i27．(2010年高考浙江卷)对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －|＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －|≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |z z 二、填空题28．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．m 29．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________．30．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－－i ，z 4＝－i ，z 1，z 2，z 3，z 4在复平面内的对应点分别3232是A ，B ，C ，D ，则∠ABC ＋∠ADC ＝________.31．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量与，则向量表示的复数是________．OA → OB → AB → 32．已知f (z ＋i)＝3z －2i ，则f (i)＝________.33．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.34．(2010年高考上海卷)若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·＋z ＝________.z 35．(2011年高考江苏卷)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．36．已知复数z 满足|z |＝5，且(3－4i)z 是纯虚数，则＝________.z答案一、选择题1．解析：选A.在①中没有注意到z ＝a ＋b i 中未对a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如：若z 1＝1，z 2＝i ，则z ＋z ＝1－1＝0，从而由z ＋z ＝0⇒/ z 1＝z 2＝0，故②212212错误；在③中若x ，y ∈R ，可推出x ＝y ＝2，而此题未限制x ，y ∈R ，故③不正确；④中忽视0·i ＝0，故④也是错误的．故选A.2． 解析：选D.∵<2<π，∴sin 2>0，cos2<0.π2故z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．故选D.3．解析：选B.|z |＝|1－a i|＝ ＝2，∴a ＝±.a 2＋13而a 是正实数，∴a ＝.34．解析：选D.a i ＋i 2＝－1＋a i ＝b ＋i ，故应有a ＝1，b ＝－1.5． 解析：选B.∵z ＝＋i 2＝－1∈R ，33∴z 对应的点在实轴上，故选B.6．解析：选A.由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 得Error!，解得a ＝，b ＝.32127． 解析：选A.∵复数z 在复平面上对应的点为，该点位于第一象限，∴复数z 在复平面上对应的(12，12)点位于第一象限．8．解析：选B.由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.∴Error!，解得Error!，∴z ＝3－i.9．解析：选D.设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则x ＋y i ＋＝2＋i ，x 2＋y 2∴Error!解得Error!∴z ＝＋i.3410．解析：选D.由z ＋i －3＝3－i ，知z ＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.11．解析：选A.(－i ＋3)－(－2＋5i)＝(3＋2)－(5＋1)i ＝5－6i.12．解析：选C.＋对应的复数是5－4i ＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i ＝0.OZ 1→ OZ 2→ 13． 解析：选D.∵z 1＋z 2＝(3－4i)＋(－2＋3i)＝(3－2)＋(－4＋3)i ＝1－i ，∴z 1＋z 2对应的点为(1，－1)，在第四象限．14．解析：选C.设这个复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋|z |＝5＋i ，即a ＋＋b i ＝5＋i ，3a 2＋b 23∴Error!，解得Error!.∴z ＝＋i.115315．解析：选D.先找出z 1－z 2，再根据求函数值的方法求解．∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，∴z 1－z 2＝(3＋2)＋(4＋1)i ＝5＋5i.∵f (z )＝z ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i.故选D.16．解析：选D.|z 1－z 2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝ (cos θ－sin θ)2＋4＝5－2sin θcos θ＝≤.5－sin2θ617．解析：选C.|z ＋1|＝|z －i|表示以(－1,0)、(0,1)为端点的线段的垂直平分线，而|z ＋i|＝|z －(－i)|表示直线上的点到(0，－1)的距离，数形结合知其最小值为.2218解析：选B.法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则有|x ＋y i ＋2－2i|＝1，即|(x ＋2)＋(y －2)i|＝1，所以根据复数模的计算公式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，又|z －2－2i|＝|(x －2)＋(y －2)i|＝＝(x －2)2＋(y －2)2＝.(x －2)2＋1－(x ＋2)21－8x 而|x ＋2|≤1，即－3≤x ≤－1，∴当x ＝－1时，|z －2－2i|min ＝3.法二：利用数形结合法．|z ＋2－2i|＝1表示圆心为(－2,2)，半径为1的圆，而|z －2－2i|＝|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)的距离，由数形结合知，其最小值为3，故选B.19．解析：选B.因为i 2＝－1∈S ，i 3＝－i ∈/S ，＝－2i ∈/S ，故选B.2i 20．解析：选A.(1＋z )·＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.z 21．解析：选C.＝＝＝2－i.故选C.2＋4i (1＋i )22＋4i 2i 1＋2ii 22．解析：选C.＝＝＝＝＝－i.i2＋i3＋i41－i －1－i ＋11－i －i1－i (－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )1－i 2121223．解析：选C.法一：∵＝＝＝i ，∴的共轭复数为－i.2＋i 1－2i (2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )2＋i ＋4i －252＋i 1－2i 法二：∵＝＝＝i ，2＋i 1－2i －2i2＋i 1－2i i (1－2i )1－2i ∴的共轭复数为－i.2＋i1－2i 24．解析：选C.()4＝[()2]2＝()2＝1.故选C.1＋i 1－i 1＋i 1－i 2i－2i 25．解析：选A.∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2＝3＋2i ＋1＝4＋2i.故选A.26．解析：选D.法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则＝x －y i ，由z ＋＝4，z ·＝8得，z z z Error!⇒Error!⇒Error!.∴＝＝＝±i.z z x －y i x ＋y i x 2－y 2－2xy ix 2＋y 2法二：∵z ＋＝4，z 设z ＝2＋b i(b ∈R )，又z ·＝|z |2＝8，∴4＋b 2＝8，z ∴b 2＝4，∴b ＝±2，∴z ＝2±2i ，＝2∓2i ，∴＝±i.z zz 27．解析：选D.∵＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －|＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴A 不正确；对于z z B ，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －|＝|2y |≥2x 不一定成立，∴C 不正确；对于z D ，|z |＝≤|x |＋|y |，故D 正确．x 2＋y 2二、填空题28．解析：复数z 在复平面上对应的点为(m －3,2)，m ∴m －3＝2，即m －2－3＝0.m m 解得m ＝9.答案：929．解析：∵|z |＝3，∴＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以O ′(－1,2)(x ＋1)2＋(y －2)2为圆心，以3为半径的圆．答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆30．解析：|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝，所以点A ，B ，C ，D 应在以原点为圆心，为半径的圆上，由于圆内55接四边形ABCD 对角互补，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°.31．解析：表示－对应的复数，由－2－5i －(4＋3i)＝－6－8i ，知对应的复数是－6－8i.AB → OB → OA → AB → 答案：－6－8i32．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则f [a ＋(b ＋1)i]＝3(a ＋b i)－2i ＝3a ＋(3b －2)i ，令a ＝0，b ＝0，则f (i)＝－2i.答案：－2i33．解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i ＝(a 2－a －2)＋(a 2＋a －6)i(a ∈R )为纯虚数，∴Error!解得a ＝－1.34．解析：∵z ＝1－2i ，∴z ·＝|z |2＝5.∴z ·＋z ＝6－2i.z z 答案：6－2i35．解析：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.答案：136．解析：∵(3－4i)z 是纯虚数，可设(3－4i)z ＝t i(t ∈R 且t ≠0)，∴z ＝，∴|z |＝＝5，∴|t |＝25，∴t ＝±25，t i 3－4i |t |5∴z ＝＝±i(3＋4i)＝±(－4＋3i)，＝±(－4－3i)＝±(4＋3i)．±25i3－4i z 答案：±(4＋3i)。
(完整版)复数基础练习题附答案
(完整版)复数基础练习题附答案一、单选题1．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1）4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.5．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．47．若复数(32)(1)i ai +-在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．32,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．23,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭8．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．1i 2-C ．12D ．1i 29．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-11．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 13．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（ ） A ．1 B ．15 C ．3 D ．16 14．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 15．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4BC ．2D ．1016．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5 CD．17．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2C．D ．419．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-20．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题21i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．22．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 23．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.24．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 25．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 26．计算：3i1i+=-___________.27．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．28．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________．30．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R ，若z =，则t 的值为___________. 31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______. 32．已知4cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________． 33．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．34．把复数z 的共轭复数记作z ，已知()12i 43i z +=+（其中i 是虚数单位），则z =______．35．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 36．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．37．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.38．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 39．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________. 40．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________. 三、解答题41．设复数3cos isin z θθ=+.求函数()tan arg 02y z πθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值以及对应的θ值.42．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋（x 2－2x －15）i 的点Z ：(1)位于第三象限； (2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上．43．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.44．复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求n 的值．45．如图，向量OZ 与复数1i -+对应，把OZ 按逆时针方向旋转120°，得到OZ ．求向量OZ '对应的复数（用代数形式表示）．【参考答案】一、单选题 1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A 9．D 10．C 11．A 12．D 13．B14．B 15．B 16．B 17．B 18．C 19．B 20．B 二、填空题21．1-1- 22．12i -##2i+1- 23．22425．1i -+（答案不唯一）2627．825i 625- 28．72930．2或2- 31．i - 32．2312π3334．2i +##i 2+ 35．1 36．③ 37．12 38．039．40．13i + 三、解答题41．3πθ=时，函数y【解析】 【分析】由3cos isin z θθ=+求得()1arg 3tg z tg θ=，再由两角差的正切建立关于tg θ的函数，()2arg 3y tg z tg tg θθθ=-=+，再由基本不等式法求解． 【详解】 解：解：由02πθ<<得0tg θ>.由3cos isin z θθ=+得sin 1(arg )3cos 3tg z tg θθθ==. 故213(arg )113tg tg y tg z tg θθθθ-=-=+23tg tg θθ=+∵3tg tg θθ+≥∴23tg tg θθ≤+当且仅当302tg tg πθθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭时，即tg θ=时，上式取等号. 所以当3πθ=时，函数y42．(1)－3<x <2 (2)2<x <5 (3)x ＝－2 【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. (1)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+-<⎨--<⎩，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限； (2)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+->⎨--<⎩ ，即2<x <5时，点Z 位于第四象限； (3)当实数x 满足（x 2＋x －6）－（x 2－2x －15）－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上；综上，（1）()3,2x ∈- ，（2）()2,5x ∈ ，（3）2x =- . 43．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==. 【解析】 【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. 【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得222i 0a b ab -+，所以220,0,a b ab ⎧⎪-=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-； 当0b =时，0a =. 所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根，所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=， 即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩解得12,26p q ==. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部. 44．()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意：cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，可得cos cos ,sin sin 3333n n ππππ==-， ∴()2Z 33n k k πππ=-∈，()61Z n k k =-∈. 45．1313i 22-+- 【解析】 【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可. 【详解】如上图，将Z 逆时针旋转到'Z ，即是向量'OZ 对应的复数：()()()1313131i cos120isin1201i 2︒︒⎛⎫-+-++=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 1313-+.。
复数练习题及答案
复数练习题及答案复数是英语语法中的一个重要概念，它用来表示多个个体或物体。
掌握复数形式对于学习英语来说至关重要。
在这篇文章中，我们将提供一些复数练习题及答案，帮助读者加深对复数的理解和应用。
第一部分：基础练习1. 将下列名词变为复数形式：a) bookb) catc) appled) boxe) child答案：a) booksb) catsc) applesd) boxese) children2. 将下列名词变为复数形式，并注意特殊变化：a) manb) womanc) childd) tooth答案：a) menb) womenc) childrend) teethe) feet第二部分：规则变化3. 根据名词的词尾变化，将下列名词变为复数形式：a) dogb) penc) bookd) hate) cup答案：a) dogsb) pensc) booksd) hatse) cups4. 将下列名词变为复数形式，并注意词尾变化规则：a) tomatoc) brushd) watche) box答案：a) tomatoesb) potatoesc) brushesd) watchese) boxes第三部分：不规则变化5. 将下列名词变为复数形式，并注意不规则变化规则：a) childb) mousec) toothd) foote) woman答案：a) childrenb) micec) teethd) feet6. 将下列名词变为复数形式，并注意不规则变化规则：a) oxb) deerc) sheepd) fishe) aircraft答案：a) oxenb) deerc) sheepd) fishe) aircraft第四部分：应用练习7. 用适当的复数形式填空：a) There are three _______ on the table.b) My sister has two _______.c) The _______ in the zoo are very cute.d) I need two _______ for this recipe.e) The _______ in the pond swim gracefully.答案：a) booksb) catsc) monkeysd) cupse) fish8. 用适当的复数形式填空，并注意不规则变化：a) The _______ are playing in the garden.b) I saw two _______ in the field.c) The dentist pulled out three _______.d) She bought a pair of _______.e) The _______ are grazing in the meadow.答案：a) childrenb) deerc) teethd) jeanse) sheep复数练习题及答案到此结束。
(完整版)复数基础练习题附答案
(完整版)复数基础练习题附答案一、单选题1．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ） A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+2．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ） A ．2 B ．3 C．D．3．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--4．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ） ABCD5．复数(2i 的虚部为（ ） A ．2 B．C．2-D ．06．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．27．向量1OZ ，2OZ ，分别对应非零复数z 1，z 2，若1OZ ⊥2OZ ，则12Z Z 是（ ） A ．负实数 B ．纯虚数C ．正实数D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0) 8．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．i -D ．1-10．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i12．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝（ ）A ．75B ．－115C ．－185D ．513．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ） A ．4 BC ．2D ．10 14．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ） A ．1BC ．15D ．516．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +17．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-18．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A ．1i - B ．1i +C ．2i +D ．2i -19．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．4二、填空题21．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 22．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 23．若复数2iiz -=-，则z =_______． 24．若()1i 1i z +=-，则z =_______ 25．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 26．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________.27．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________. 28．设复数z 满足()1i 22i z +=-（i 为虚数单位），则z =______．29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12zz=_______.30．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．31．设i是虚数单位，复数z =，则z =___________. 32．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．33．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．34．计算cos 40isin 40cos10isin10________．35．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.36．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．37．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 38．已知复数z 满足2i z +∈R ，4zz-是纯虚数，则z 的共轭复数z =______. 39．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.40．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________． 三、解答题41．已知复数z满足||z =z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设22,,z z z z -在复平面上的对应点分别为A ､B ､C ，求△ABC 的面积.42．若43i 3i m m -+(m ∈R)为纯虚数，求42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭的值． 43．已知复数z 1i ，z 2＝12-+ (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设C z ∈，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？44．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.45．（1）已知设方程α，β是方程220x x a ++=的两根，其中a R ∈，则||||αβ+的值；（2）关于x的方程243i0∈，求||a的最小值，并求取+++=有实根，其中a Cx ax得最小值时方程的根．【参考答案】一、单选题1．D2．D3．D4．A5．C6．B7．B8．C9．D10．C11．D12．B13．B14．B15．A16．B17．B18．A19．C20．B二、填空题21．12223．12i-24．i25．26. 27．1 28．229．12i -##2i+1- 30．825i 625-31．32．[]4,6 33．833412i 35．2 36．③ 37．1238．22i +##2i 2+ 39．3 40．-2 三、解答题41．(1)1i z =+或1i z =-- (2)1 【解析】 【分析】（1）设()i ,R z x y x y =+∈，根据已知条件列方程求得,x y ，由此求得z . （2）求得,,A B C 的坐标，从而求得三角形ABC 的面积. (1)设()i ,R z x y x y =+∈，222x y +=①，2222i z x y xy =-+的虚部为2，所以22,1xy xy ==②，由①②解得11x y =⎧⎨=⎩或11y x =-⎧⎨=-⎩. 所以1i z =+或1i z =--.(2)当1i z =+时，22i z =，21i z z -=-， 所以()()()1,1,0,2,1,1A B C -，2AC =，所以三角形ABC 的面积为11212⨯⨯=. 当1i z =--时，22i z =，213i z z -=--， 所以()()()1,1,0,2,1,3A B C ----，2AC =，所以三角形ABC 的面积为12112⨯⨯=.42．【解析】 【分析】由题可得21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，进而即得.【详解】因为243i (43i)(3i)3i 9m m m m m ---=++=22(123)13i 9m m m --+是纯虚数， 所以21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，，解得m =±2．于是当m =2时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=i 4=1; 当2m =-时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4(i)-=1． 综上，42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭=1．43．(1)12122,1,z z z z ==>(2)以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周） 【解析】 【分析】（1）根据复数模的计算公式可求得1||z ，2||z 的值； （2）根据复数几何意义可解决此问题． (1)解：（1）13i z =+，212z =-，1||2z ∴，2||1z =，∴12z z >； (2)解：由21||||||z z z ≤≤，得1||2z ≤≤，根据复数几何意义可知复数z 对应的点到原点的距离， 所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合， |z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，所以复数z 对应的点Z 的轨迹是以原点O 为圆心，以1和2为半径的圆之间的部分（包括两边界）．44．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==. 【解析】 【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. 【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得222i 0a b ab -+，所以220,0,a b ab ⎧⎪-=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-； 当0b =时，0a =. 所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根，所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=， 即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩解得12,26p q ==. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.45．（1）()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩；（2）min ||a =3i)+或3i)+．【解析】 【分析】（1）求出判别式4(1)a ∆=-，对a 分类讨论：当01a 时，当0a <时，当1a >时三种情况，分别求出||||αβ+；（2）设0x 为方程的实根，代入原方程，表示出a ，利用基本不等式求出||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根． 【详解】（1）判别式444(1)a a ∆=-=-， ①若0∆，即1a ，则α，β是实根，则2αβ+=-，a αβ=，则2222(||||)2||()22||422||a a αβαβαβαβαβαβ+=++=+-+=-+，故||||αβ+，当01a 时，||||2αβ+=， 当0a <时，||||αβ+=②若∆<0，即1a >，则α，β是虚根，1α=-，1β=-，故||||αβ+==综上：()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩.（2）设0x 为方程的实根，则20043i 0x ax +++=， 所以00043i a x x x =---，则20020004325||2()2()2818a x x xx x =++=++， 当202025x x =即0x =||min a =当0x =3i)+，当0x =3i)+．。
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一、复数选择题1．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23．i =（ ）A ．i -B ．iC i -D i 4．212i i+=-（ ） A ．1B ．−1C ．i -D ．i 5．已知i 为虚数单位，复数12i 1i z +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．若复数1z i =-，则1z z =-（ ）A B ．2 C ．D ．4 7．设2i z i +=，则||z =（ ）A B C ．2 D ．5 8．若()()324z ii =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 10．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ）A ．-1B ．1C ．i -D ．i11．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5B C ．2 D 12．复数21i i +的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -13．已知i 是虚数单位，设11i z i，则复数2z +对应的点位于复平面（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14．若复数11i z i ，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0B ．12C ．1D ．215．题目文件丢失！二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 18．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-19．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 20．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为221．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =22．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>23．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ）A ．若12z z =，则12=z zB ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >24．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s n n n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数25．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数1z =-B ．若复数2z =，则mC ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++= 26．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i -- 27．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限28．已知复数z ，下列结论正确的是（ ）A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件29．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B解析：B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B2．C【分析】根据复数的几何意义得．【详解】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴，又，∴，∴．故选：C ．解析：C【分析】根据复数的几何意义得,a b ．【详解】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．故选：C ．3．B【分析】由复数除法运算直接计算即可.【详解】.故选：B.解析：B【分析】由复数除法运算直接计算即可.【详解】()211i i i i++==--. 故选：B. 4．D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】，故选：D解析：D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i i i i i i i +++++====--+-， 故选：D5．C【分析】利用复数的除法法则化简，再求的共轭复数，即可得出结果.【详解】因为所以，所以复数在复平面上的对应点位于第三象限，故选：C.解析：C【分析】利用复数的除法法则化简z ，再求z 的共轭复数，即可得出结果.【详解】 因为212(12)(1)11i i i z i i +++==-- 1322i =-+， 所以1322z i =--， 所以复数z 在复平面上的对应点13(,)22--位于第三象限，故选：C. 6．A【分析】将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解.【详解】由，得，则，故选：A.解析：A【分析】将1z i =-代入1z z-，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】 由1z i =-，得2111z i i i i z i i---===---，则11z i z =--==-，故选：A.7．B【分析】利用复数的除法运算先求出，再求出模即可.【详解】.故选：B ．解析：B【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可.【详解】()22212i i i z i i i++===-，∴z ==故选：B ．8．D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D ．解析：D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限．故选：D ． 9．A【分析】采用待定系数法，设，由复数运算和复数相等可求得，从而得到结果.【详解】设，则，，，解得：，.故选：A.解析：A采用待定系数法，设(),z a bi a b R =+∈，由复数运算和复数相等可求得,a b ，从而得到结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，()()22313z z a bi a bi a bi i ∴-=+--=+=+，133a b =⎧∴⎨=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩， 1z i ∴=+.故选：A.10．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求．【详解】由，得，，则的虚部是1．故选：．解析：B【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z ，则答案可求．【详解】由(12)43i z i +=+， 得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i i z i i i i ++--====-++-， ∴2z i =+， 则z 的虚部是1．故选：B ．11．B【分析】首先求出，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以.故选：B.解析：B首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B . 12．B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果.【详解】，故虚部为1.故选：B.解析：B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果.【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.13．A【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果.【详解】由已知，，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果.【详解】 由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-， 222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.14．C【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】 由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-， 所以1z i =-=．故选：C ．15．无二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.18．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.19．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 20．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 21．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.22．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．23．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.24．AC利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.25．BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确； 对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误； 对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】 本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.26．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.28．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件；若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.29．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
复数练习题(有答案)
一、复数选择题1．复数11z i=-，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1122i + D ．1122i - 2．已知复数()2m m m iz i--=为纯虚数，则实数m =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．0或13．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．5BC ．D ．5i4．复数312iz i=-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35iC ．35D ．65-5．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 6．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A B C ．3D ．57．已知i 是虚数单位，则复数41ii+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知i 为虚数单位，若复数()12iz a R a i+=∈+为纯虚数，则z a +=（ ）A B ．3C ．5D ．9．若复数1211iz i+=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．复数12iz i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ） A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i +=13．设a +∈R ，复数()()()242121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．714．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ） A ．1-B ．12-C ．13D ．115．设复数满足(12)i z i +=，则||z =（ ）A ．15B C D ．5二、多选题16．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-17．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =18．（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A ．()()11i i -+ B ．11ii-+ C ．11ii+- D ．()21i -19．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．z =20．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点21．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 22．下列说法正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件23．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限24．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 25．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数26．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限27．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数 D ．纯虚数z 的共轭复数是z -28．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ）A ．1B ．4-C ．0D ．529．给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为，所以其共轭复数为. 故选：D. 解析：D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以其共轭复数为1122i -. 故选：D.2．C 【分析】结合复数除法运算化简复数，再由纯虚数定义求解即可 【详解】解析：因为为纯虚数，所以，解得， 故选：C.解析：C【分析】结合复数除法运算化简复数z，再由纯虚数定义求解即可【详解】解析：因为()()22m m m iz m m mii--==--为纯虚数，所以20m mm⎧-=⎨≠⎩，解得1m=，故选：C.3．B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】，所以，故选：B解析：B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】(2)21z i i i=+=-，所以|z|=故选：B4．C【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部．【详解】因为，所以复数z的虚部是．故选：C．解析：C【分析】由复数除法法则计算出z后可得其虚部．【详解】因为33(12)366312(12)(12)555i i i iii i i+-===-+--+，所以复数z的虚部是35．故选：C．5．D 【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：D.解析：D 【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--， )()51711+=--+=-，∴))55121-+=--，故选：D.6．D 【分析】求出复数，然后由乘法法则计算． 【详解】 由题意， ． 故选：D ．解析：D 【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅． 【详解】 由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．7．A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限， 故选：A解析：A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A 8．A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得 【详解】由复数为纯虚数，则，解得 则 ，所以，所以 故选：A解析：A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a + 【详解】()()()()()()2221222*********i a i a a i a ii a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =-则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a += 故选：A9．B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可 【详解】 ，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限 故选：B解析：B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可 【详解】()()12i 1i 12i33i 33i 111i 2222z +++-+=-=-==-+-， 所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限故选：B10．C 【分析】由已知得到，然后利用复数的乘法运算法则计算，利用复数的周期性算出的值，最后利用复数的几何意义可得结果． 【详解】 由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限， 故选：C ．解析：C 【分析】由已知得到2021(2)(2)i i iz -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果． 【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i ii -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限， 故选：C ．11．A 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由，知在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A 【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-， 知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限，故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.12．B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数对应的点为，所以 ，满足则 故选：B解析：B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B13．D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得． 【详解】 解：，解得. 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数，则，模的性质：，，．解析：D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得a ． 【详解】解：()()()()24242422221212501111i i i i aai ai++++====+--，解得7a =. 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z =模的性质：1212z z z z =，(*)nnz z n N =∈，1122z z z z =． 14．B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解． 【详解】解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得 故选：B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解． 【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =-故选：B 15．B 【分析】利用复数除法运算求得，再求得. 【详解】 依题意， 所以. 故选：B【分析】利用复数除法运算求得z ，再求得z .【详解】 依题意()()()12221121212555i i i i z i i i i -+====+++-，所以5z == 故选：B二、多选题16．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．17．CD取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 18．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 19．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.20．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.21．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.22．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误； 当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.23．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，355z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.24．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.25．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.26．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确； 2211312442ω⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C选项错误；22111122212222ω---====-⎛⎛⎫-+⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,22⎛⎫--⎪⎪⎝⎭，在第三象限，故D选项错误.故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.27．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确；当时，复数为实数，故C正确；对于B：，则即，故B错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R=+∈当0a=且0b≠时复数为纯虚数，此时z bi z=-=-，故A错误，D正确；当0b=时，复数为实数，故C正确；对于B：32a bi i-=+，则32ab=⎧⎨-=⎩即32ab=⎧⎨=-⎩，故B错误；故错误的有AB；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．28．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.29．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 30．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。
(完整版)复数基础练习题附答案
(完整版)复数基础练习题附答案一、单选题1．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．32．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i + B ．24i - C ．33i + D ．24i + 3．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．3i3i-+=+（ ） A ．43i 55+ B ．43i 55-+C ．43i 55D ．43i 55--5．设i 为虚数单位，则)10i的展开式中含2x 的项为（ ）A ．6210C x - B ．6210C x C ．8210C x -D ．8210C x 6．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）AB ．5CD ．2 7．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．28．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ）A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+9．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．610．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12-B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-11．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ） A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2i D ．z ＝－2＋i 12．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4BC ．2D ．1013．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +15．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．2- D ．i16．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2C．D ．417．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-18．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（ ） A ．3 B ．4CD19．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3C ．D ．920．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i - B ．3+3i - C ．3i + D ．3i -+二、填空题21．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________．22．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 23．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.24．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）.25．已知i是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.26．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________． 27．已知i34i z =+，求|z |=___________28．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________．30．设m ∈R ，复数z ＝（2＋i ）m 2－3（1＋i ）m －2（1－i ），若z 为非零实数，则m ＝________． 31．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________. 32．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．33．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.34．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．35．复数1515cos77isin ππ+的辐角主值是________．36i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．37．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 38．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.39．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______．40．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 三、解答题41．已知复数z 和它的共轭复数z 满足232i z z +=+． (1)求z ；(2)若z 是关于x 的方程()20,x px q p q R ++=∈的一个根，求复数()4i zp q +-的模．42．已知复数z 是纯虚数，212iz -+为实数. (1)求复数z ；(2)若m ∈R ，复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围. 43．定义运算ab ad bc c d=-，如果()()32i 3i 1x y x y x y++++=-，求实数x ，y 的值．44．若复数()()()22223i z m m m m m R =+-+--∈的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合.45．复数()()11i z m m =++-对应的点在直线40x y +-=上，求实数m 的值．【参考答案】一、单选题1．B2．A3．D4．B5．A6．A7．A8．D9．A10．C11．D12．B13．D14．B15．B16．C17．B18．C19．C20．B二、填空题21．-222．12i-##2i+1-23．2-24．13i+##3i+1 2526．27．15##0.228．1i-##i+1-2930．1 31．2i -+ 32．825i 625- 33．[)2,+∞34．11+ 35．7π36．1-1- 37．2 38．2 39．040三、解答题41．(1)12z i =+； (2)1. 【解析】 【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据复数的运算以及复数相等，即可求得结果； （2）将（1）中所求z 代入方程，根据复数相等求得,p q ，结合复数的运算，即可求得()4i zp q ++及其模长. (1)设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，()()22i i 3i 32i z z a b a b a b +=++-=+=+， 所以332a b =⎧⎨=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以i 12z =+.(2)将i 12z =+代入已知方程可得()()212i 12i 0p q ++++=， 整理可得()()24i 30p p q +++-=，所以24030p p q +=⎧⎨+-=⎩，解得25p q =-⎧⎨=⎩，所以()()()()()12i 2i 12i 5i i 4i 2i 2i 2i 5z p q +--+-====-+--+-+--，又i 1-=， 所以复数()4i zp q +-的模为1.42．(1)4i z =- (2)14-<<m 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义设出复数z 的表示形式，再根据复数除法运算法则，结合复数的分类进行求解即可；（2）根据完全平方公式，结合复数在复平面内对应点的特点进行求解即可. (1)因为复数z 为纯虚数， 所以设()i ,0z b b R b =∈≠，则i (5122i 12i 12i (12)(122i)(2i)22(4)i i)b z b b b --+---+===+++++-，又212iz -+为实数 ∴404b b +=⇒=-，即4i z =-； (2)因为m R ∈，4i z =-所以有()222222228i 168i 16(88)i m z z m mz z z m m m m --=-+-=+-+=-++， 又复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限， 所以有：2160m -<且880m +>，即14-<<m . 43．1x =-，2y = 【解析】 【分析】根据题意得到()()()3i 32i x y x x y y +++=++，列出方程组求解即可. 【详解】 由定义运算ab ad bc c d=-，得32i 32i 1x y x y y y+=++-，所以()()()3i 32i x y x x y y +++=++因为x ，y 为实数，所以有323x y x yx y +=+⎧⎨+=⎩，解得1x =-，2y =.44．312m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由共轭复数定义可得z ，根据对应点的象限可以构造不等式组求得结果. 【详解】由题意得：()()22223i z m m m m =+----，z 对应的点在第一象限，()2220230m m m m ⎧+->⎪∴⎨--->⎪⎩，解得：312m <<， ∴实数m 的取值集合为312m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.45．2m = 【解析】 【分析】求得z 对应的点的坐标并代入直线40x y +-=，由此求得m 的值. 【详解】z 对应点为()1,1m m +-，将()1,1m m +-代入直线40x y +-=得1140,2m m m ++--==.。
(完整版)复数基础练习题
(完整版)复数基础练习题一、单选题 1．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--3．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆. 4．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1D ．0或-15．下列命题正确的是（ ）①若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数；③若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z z ； ④若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③6．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i --7．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．2B ．1C ．iD ．1- 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2- B ．2 C ．i - D ．1- 10．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π12．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1B C ．15D ．513．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．若5i2iz =+，则||z =（ ）A ．2 B C ．D ．3 15．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +16．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3C ．D ．917．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（ ） A ．1 B ．12 C．2D ．18．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i 19．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ）A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i20．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2二、填空题21．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________. 22．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.23．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 24．复数2ii 1+-的共轭复数是_______．25．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 26．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．27．化简：i 是虚数单位，复数()2021i 34i z =+=_________.28．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.29．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）.30．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________. 31．已知i 为虚数单位，复数21iz =-的虚部为___________. 32．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．33．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=34．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.35．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R ，若z =，则t 的值为___________. 36．复数1077(cosisin )66ππ+表示成代数形式为________．37i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．38．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.39．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.40．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________. 三、解答题41．（1）在复数范围内，求方程22340x x ++=的解；（2）若复数1z ，2z 满足12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=，且212i z z =-，求出1z ，2z ． 42．定义运算ab ad bc c d=-，如果()()32i 3i 1x y x y x y++++=-，求实数x ，y 的值．43．（1）已知a 、b ∈R 且满足(a -i)2-3b i=(1+i)(2-2a i)，又z 1=3-a i ，z 2=-3b +2i ，求2212z z z +的模与共轭虚数.（2）i 的正整数指数幂满足41i n +=i ，42i n +=-143i n +，=-i 4i n ，=1（nN ∈）.如i=i ，i 2=-1，i 3=-i ，i 4=1.请分析并写出i 的正整数指数幂和、差规律，以此规律计算i+ i 2+ i 3+….+i 2022 ①或i-i 2+ i 3-i 4 +….-i 2022 ②（注：要求只计算①与②之一）44．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.45．已知复数()21i z a =+，243i z =-，其中a 是实数． (1)若12i z z =，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，a 是正实数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【参考答案】一、单选题 1．D 2．D 3．D 4．C 5．B 6．D 7．D 8．D9．D10．D11．C12．A13．A14．B15．C16．C17．D18．D19．D20．A二、填空题21．12223．四24．13i22-+2526．43i-##3i4-+ 27．－4＋3i##3i-4 28．129．13i+##3i+1 30．131．132．825i 6 25 -3334．1##1+ 35．2或2-36．－5i##－5i－37．1-+1-38．339．9π40．2. 三、解答题41．（1）34x =-；（2）13i z =，25i z =-或1i z =-，2i z =-. 【解析】 【分析】（1）利用配方法和2i 1=-进行求解；（2）先利用212i z z =-进行消元，再设出1i z a b =+，利用模长公式、复数的相等进行求解. 【详解】（1）因为22340x x ++=，所以2322x x +=-，所以23923()241616x +=-+=-，所以34x +=，即34x =-±； （2）将212i z z =-代入12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=， 得1111(2i)2i 2i(2i)10z z z z ⋅-+--+=， 即211|2i 3|0z z --=，设1i z a b =+，所以22232i=0a b b a +---，所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩，所以13i z =，25i z =-或1i z =-，2i z =-. 42．1x =-，2y = 【解析】 【分析】根据题意得到()()()3i 32i x y x x y y +++=++，列出方程组求解即可. 【详解】由定义运算ab ad bc c d=-，得32i 32i 1x y x y y y+=++-，所以()()()3i 32i x y x x y y +++=++ 因为x ，y 为实数，所以有323x y x yx y+=+⎧⎨+=⎩，解得1x =-，2y =.43．（1）当21,3a b =-=-时，2122+z z z =2122+z z z 的共轭复数为53i 2-.当23,3a b ==-时，2122+z z z 2122+z z z 的共轭复数为12i 2-. （2）①232022i+i i i +++i 1=-；②2342022i i i i i -+-+-=i 1+.【解析】 【分析】（1）化简后根据两复数相等，列出方程组，即可解出a b 、的值，即可计算出答案.（2）根据41424344i i i i 0n n n n +++++++=；41424344i i +i i 0n n n n ++++--=计算即可. 【详解】（1）∵2(i)3i (1i)(22i)a b a --=+-化简得：21(23)i 2222)i a a b a a --+=+--（ 21122223223a a a b a b a =-⎧⎧-=+⎪⇒⇒⎨⎨=-+=-⎩⎪⎩或323a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩①当21,3a b =-=-时，123i,22i,z z =+=+22122+3+i+22i 5=3+i 22i 2z z z +=+（）.2122+z z z =2122+z z z 的共轭复数为53i 2-.②当23,3a b ==-时，1233i,22i,z z =-=+22122+33i+22i 1=2+i 22i 2z z z -+=+（）.2122+z z z ==2122+z z z 的共轭复数为12i 2-.（2）由题意知41424344i i i i 0n n n n +++++++=；41424344i i +i i 0n n n n ++++--=； 所以①232022234201720182019202020212022i+i i i (i+i i i )(i +i i i )+i +i +++=++++++0505i 1i 1=⨯+-=-；②2342022234201720182019202020212022i i i i i (i i i i )(i i i i )+i i -+-+-=-+-++-+--0505i 1i 1=⨯++=+.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.44．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==. 【解析】 【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. 【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得222i 0a b ab -+，所以220,0,a b ab ⎧⎪-=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-； 当0b =时，0a =. 所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根， 所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=， 即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩解得12,26p q ==. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部. 45．(1)2 (2)1i -+ 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解（2）利用12z z 为纯虚数求a ，从而得12i z z =，然后通过复数的周期性进行求解即可 (1)∵()21i z a =+，243i z =-，12i z z =∴()22i 12i 34i a a a +=-+=+从而21324a a ⎧-=⎨=⎩，解得a =2所以实数a 的值为2． (2)依题意得：()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z +++==--+ ()()()()2222222222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i a a a a a a ++++++++==---()()22464383i25a a a a --++-=因为12z z 是纯虚数，所以：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，从而a =2或12a =-；又因为a 是正实数，所以a =2．当a =2时，22124648i 3i 3i 25z a a a a z --++-=16i 12i 3ii 25+-==， 因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，……，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，（n N ∈）所以23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2342022i i i i i =++++⋅⋅⋅+()()()23456789102019202020212022i i i i i i i i i i i i i i =++++++++++⋅⋅⋅++++ 2i i 000=++++⋅⋅⋅+1i =-+所以232022111122221i z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
(完整版)复数基础练习题
(完整版)复数基础练习题一、单选题 1．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．筹四象限2．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．63．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆. 5．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1D ．0或-16．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°7．向量1OZ ，2OZ ，分别对应非零复数z 1，z 2，若1OZ ⊥2OZ ，则12Z Z 是（ ）A ．负实数B ．纯虚数C ．正实数D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0) 8．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ）A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i12．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 14．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．315．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +17．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-18．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A ．1i -B ．1i +C ．2i +D ．2i -19．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件20．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题21．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________．22．已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =______ 23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________ 24．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 25．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 26．若()1i 1i z +=-，则z =_______27．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________. 28．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________. 29．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________. 30．已知23iz-＝－i ，则复数z ＝________． 31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________.32．已知复数12,z z ，满足121z z ==，且12z z +=，则12z z =________．33．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 34．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________.35．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 36．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________. 37．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________. 38．已知i 为虚数单位，复数21iz =-的虚部为___________. 39．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______. 40．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________. 三、解答题41．已知211i 1z m m =++，21(23)i 2z m =-+，m R ∈，i 为虚数单位．且12z z +是纯虚数．(1)求实数m 的值； (2)求12z z ⋅的值． 42．已知复数64i1im z -=+（,i m ∈R 是虚数单位）． (1)若z 是实数，求实数m 的值；(2)设z 是z 的共轭复数，复数4z z -在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m 的取值范围．43．已知复数()21i z a =+，243i z =-，其中a 是实数． (1)若12i z z =，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，a 是正实数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．44．已知1z ，2z ∈C ，12z =，23z =，124z z +=，求12z z ．（提示：()1122cos isin z z z z θθ=+或()1122cos isin z zz z θθ=-，θ是1z ，2z 所表示的向量的夹角．） 45．复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求n 的值．【参考答案】一、单选题 1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 7．B 8．C 9．D10．B 11．D 12．A 13．C 14．B 15．D 16．B 17．B 18．A 19．B 20．B 二、填空题21．－1＋2i##2i －122．123．12或12##12-或12241##1-25．1i -##i+1- 26．i 27．9 28．5 29．2 30．3＋2i 3132．12- 33．2 34．1 35．036．37．2i -+ 38．1 39．i -40．2. 三、解答题 41．(1)1 (2)3i 4-- 【解析】 【分析】（1）求出12z z +，根据纯虚数的定义求出m 的值即可；（2）求出2z ，再根据复数代数形式的乘法法则计算，从而求出12z z ⋅的值． (1)解：因为211i 1z m m =++，21(23)i 2z m =-+ 所以21211(23)i 12z z mm m ⎛⎫+=+-++ ⎪+⎝⎭，12z z +是纯虚数，∴223011012m m m ⎧+-=⎪⎨+≠⎪+⎩，解得1m =； (2)解：由（1）得111i 2z =+，211i 2z =-+， 则211i 2z =--，∴212111331i 1i 1i i i 22244z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-+=-+=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 42．(1)32m =- (2)32m > 【解析】 【分析】（1）根据除法运算化简，再由复数为实数建立方程求解即可；（2）根据共轭复数的概念化简复数，再由复数对应的点在第一象限建立不等式求解即可. (1)(64i)(1i)32(32)i (1i)(1i)m z m m --==--++-，因为z 为实数，所以320m +=，解得32m =-. (2)因为z 是z 的共轭复数，所以32(32)i z m m =-++， 所以469(1015)i z z m m -=-++因为复数4z z -在复平面上对应的点位于第一象限， 所以690m ->，同时10150m +>解得32m >. 43．(1)2 (2)1i -+ 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解（2）利用12z z 为纯虚数求a ，从而得12i zz =，然后通过复数的周期性进行求解即可 (1)∵()21i z a =+，243i z =-，12i z z = ∴()22i 12i 34i a a a +=-+=+从而21324a a ⎧-=⎨=⎩，解得a =2所以实数a 的值为2． (2)依题意得：()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z +++==--+ ()()()()2222222222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i aa a a a a ++++++++==---()()22464383i25a a a a --++-=因为12z z 是纯虚数，所以：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，从而a =2或12a =-；又因为a 是正实数，所以a =2．当a =2时，22124648i 3i 3i 25z a a a a z --++-=16i 12i 3ii 25+-==， 因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，……，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，（n N ∈）所以23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2342022i i i i i =++++⋅⋅⋅+()()()23456789102019202020212022i i i i i i i i i i i i i i =++++++++++⋅⋅⋅++++2i i 000=++++⋅⋅⋅+1i =-+所以232022111122221i z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭44．115i 66+或115i 66-【解析】 【分析】算出1z ，2z 所表示的向量的夹角的正、余弦即可. 【详解】设复数1z 对应OA ，2z 对应OB ，OA OB OC +=，则22223431cos 223124OAC +-∠==-=-⨯⨯ 所以1cos 4AOB ∠=，所以15sin AOB ∠=所以122115115346z z ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭或121156z z =. 45．()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意：cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，可得coscos ,sin sin 3333n n ππππ==-，∴()2Z 33n k k πππ=-∈，()61Z n k k =-∈.。
2024年数学八年级上册复数基础练习题(含答案)
2024年数学八年级上册复数基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 下列哪个选项是复数的基本形式？（）A. a + biB. a biC. a + bD. a b2. 如果复数z = 3 + 4i，那么它的共轭复数是（）A. 3 4iB. 4 3iC. 3 4iD. 3 + 4i3. 复数z = 2 5i的模是（）A. 2B. 5C. √29D. √294. 下列哪个复数是纯虚数？（）A. 4 + 3iB. 0 + 5iC. 6 2iD. 3 + 0i5. 若复数z满足|z 2 3i| = 1，则z在复平面上的对应点位于（）A. 圆心为(2,3)，半径为1的圆上B. 圆心为(2,3)，半径为2的圆上C. 圆心为(2,3)，半径为1的圆上D. 圆心为(2,3)，半径为2的圆上6. 若复数z = a + bi（a，b为实数），且|z| = 5，则a和b的关系是（）A. a^2 + b^2 = 25B. a^2 b^2 = 25C. a + b = 5D. a b = 57. 复数z = 1 + √3i在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 若复数z = 2 + 3i，则z的平方是（）A. 4 + 12iB. 4 12iC. 5 + 12iD. 5 12i9. 下列哪个复数不能表示为两个实数的和？（）A. 4 + 5iB. 3 2iC. 6 + 0iD. 0 + 1i10. 若复数z满足z^2 + z + 1 = 0，则z的模是（）A. 1B. √2C. √3D. 2二、判断题：1. 复数z = 3 + 4i和z = 4 + 3i是共轭复数。
（）2. 任意复数的模都是非负实数。
（）3. 复数z = 0 + 2i的模是0。
（）4. 两个复数相乘，模等于这两个复数模的乘积。
（）5. 若复数z = a + bi（a，b为实数），则z的共轭复数是a bi。
《复数》基础题目训练
《复数》基础题目训练1．已知i 是虚数单位，则3＋i 1－i＝( ) A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i2．若复数z ＝（4+i ）(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( )A ．5－14iB ．5＋14iC ．14-5iD ．14+5i3．若复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数，则实数b ＝( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 5.设z=,则|z|= ( )A.2B.C.D.16．若z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，在复平面上与z 1，z 2对应的点分别为Z 1，Z 2，则Z 1，Z 2的距离为________．7．已知复数z 满足z ＋(1＋2i)＝10－3i ，则z ＝______________.8.设复数z 1=1+i ，z 2=x+2i(x ∈R).若z 1z 2∈R ，则x= .9.若复数(-6+k 2)-(k 2-4)i 所对应的点在第三象限，则实数k 的取值范围是 .10．若(3－10i)y ＋(－2＋i)x ＝1－9i ，则实数x 、y 的值分别为________．11．复平面内有A 、B 、C 三点，点A 对应复数是3＋i ，向量AC →对应复数是－2－4i ，向量BC→表示的复数是－4－i ，求B 点对应复数．12．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及zz .《复数》基础题目训练答案及解析1．已知i 是虚数单位，则3＋i 1－i＝( D ) A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i[解析] 3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i. 2．若复数z ＝（4+i ）(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( D )A ．5－14iB ．5＋14iC ．14-5iD ．14+5i[解析] 因为z ＝（4+i ）(3－2i)＝12-8i+3i －2i 2＝14-5i ，所以z ＝14+5i.3．若复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i ＋i －i 2＝4－2i ，∴z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于第四象限．4．复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数，则实数b ＝( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 [解析] (1＋b i)(2＋i)＝(2－b )＋(2b ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝02b ＋1≠0，∴b ＝2.5.设z=,则|z|= ( )A.2B.C.D.1【解析】选C.因为z=,所以z==-i,所以|z|==.6．若z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，在复平面上与z 1，z 2对应的点分别为Z 1，Z 2，则Z 1，Z 2的距离为________．[解析] 由z 1＝1－i ，z 2＝3－5i 知Z 1(1，－1)，Z 2(3，－5)，由两点间的距离公式得：d ＝(3－1)2＋(－5＋1)2＝2 5.7．已知复数z 满足z ＋(1＋2i)＝10－3i ，则z ＝______________.[解析] ∵z ＋(1＋2i )＝10－3i∴z ＝10－3i －(1＋2i)＝(10－1)＋(－3－2)i＝9－5i.8.设复数z 1=1+i ，z 2=x+2i(x ∈R).若z 1z 2∈R ，则x= .【解析】因为z 1z 2=(x-2)+(x+2)i ∈R ，所以x+2=0，所以x=-2.9.若复数(-6+k 2)-(k 2-4)i 所对应的点在第三象限，则实数k 的取值范围是 .【解析】由已知得所以4<k 2<6. 所以-<k<-2或2<k<.答案:(-，-2)∪(2，)10．若(3－10i)y ＋(－2＋i)x ＝1－9i ，则实数x 、y 的值分别为________．[解析] 原式可以化为(3y －2x )＋(x －10y )i ＝1－9i ，根据复数相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3y －2x ＝1，x －10y ＝－9.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.11．复平面内有A 、B 、C 三点，点A 对应复数是3＋i ，向量AC →对应复数是－2－4i ，向量BC→表示的复数是－4－i ，求B 点对应复数．[解析] ∵CA →表示的复数是2＋4i ，CB →表示的复数是4＋i ，∴AB →表示的复数为(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i ，故OB →＝OA →＋AB →对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i ，∴B 点对应的复数为z B ＝5－2i.12．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z .[解析] 设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝42a －b ＝3，∴a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i ， ∴z ＝2－i ，∴z z＝2＋i 2－i ＝(2＋i)25＝35＋45i.。
复数基础测试题题库完整
一、选择题（题型注释）1．若复数z 的实部为1，且||2z =，则复数z 的虚部是（ ）A2．设i 是虚数单位，复数103i-的虚部为（ ） A ．-i B ．-l C ．i D ．13．已知i 为虚数单位，a R ∈，如果复数21ai i--是实数，则a 的值为（ ） A 、4- B 、2 C 、2- D 、44．已知i 为虚数单位，复数1z i =+，z 为其共轭复数，则22z zz-等于 （ ） A 、1i -- B 、1i - C 、1i -+ D 、1i +5．已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于( )A ．2B ．12C ．12-D ．2- 6．设z=1–i （i 是虚数单位），则复数2z＋i 2的虚部是A ．1B ．－1C ．iD ．－i 7．设a 是实数，若复数211ii a -+-（i 为虚数单位）在复平面对应的点在直线0=+y x 上，则a 的值为（ A.1- B.0 C.1 D.28．已知复数z满足()1z =（i 为虚数单位），则z 在复平面对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知i 是虚数单位,=( A.i - B. C.1- D.10．设(2)34i z i +=+,则z =( A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 12i +11．设(2)34i z i +=+,则z =( A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 12i +12．已知a是实数，是纯虚数，则a 等于（ ） A. 1 B.13．已知a 是实数，则a 等于（）A.1 B.1- C.14．已知(12)43i z i +=+，则zz =A ．543i -B ．543i +C ．534i +D ．534i -15．复数21ii+（i 是虚数单位）的虚部为( )A ．1- B ．i C ．1 D ．2 16．在复平面，复数ii4332-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 17．在复平面，复数ii4332-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．在复平面，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值围是 ( )．A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4)19．设a ∈R ，且(a ＋i)2i 为正实数，则a 等于 A ．2 B ．1 C ．0 D ．－120．i 是虚数单位，321i i －＝( A ．1＋i B ．－1＋i C ．1－i D ．－1－i21．复数212i i＋－的共轭复数为 ( )．A ．－35i B.35i C ．－i D ．i22．复数z ＝22ii－＋在复平面对应的点所在象限是 ( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 23．512ii－＝( )．A ．2－i B ．1－2i C ．－2＋i D ．－1＋2i24．设a 是实数，且112a ii ＋＋＋是实数，则a 等于 ( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 25．i 是虚数单位，33ii＋＝( )． A.13412i - B. 13412i ＋ C. 1326i + D.1326i -26．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．2＋IC ．－5＋5i D. 5＋5i 27．在复平面，复数2ii+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限28．设复数z 满足z ·i ＝3＋4i (i 是虚数单位)，则复数z 的模为 ．29．已知虚数z 满足等式i z z 612+=-，则z=30．在复平面，复数2i 1i z =+（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于第__________象限．31．在复平面，复数(2－i)2对应的点位于________．32．设复数z 满足|z|＝|z －1|＝1，则复数z 的实部为________．33．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为________．34．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 35．设(1＋2i)z ＝3－4i(i 为虚数单位)，则|z|＝________．36．已知i 是虚数单位，则2234i i（＋）－＝________．37．已知z ＝(a －i)(1＋i)(a ∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面对应的点在实轴上，则a ＝________．38．复数z ＝2＋i 的共轭复数为________．39．在复平面复数21ii－对应点的坐标为________，复数的模为________． 40．若复数z ＝1－2i ，则z z ＋z ＝________.41．复数131ii－－＝________.42．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i ，则z 的实部为________．43．m 取何实数时，复数z ＝263m m m －－＋＋(m 2－2m －15)i.(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．44．已知复数z ＝22761m m m －＋－＋(m 2－5m －6)i(m ∈R)，试数m 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 45．若z 为复数，且21zz ＋∈R ，求复数z 满足的条件． 46．已知复数z 1＝3和z 2＝－5＋5i 对应的向量分别为1OZ ＝a ，2OZ ＝b ，求向量a 与b 的夹角．47．解关于x 的方程 ①x 2＋2x ＋3＝0；②x 2＋6x ＋13＝0. 48．计算下列各式：(1)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ；(2) 36(13)2(1)12i ii i－＋－＋－＋＋. 49．实数m 取什么值时，复数z ＝m ＋1＋(m －1)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．参考答案1．B 【解析】试题分析： 设1(,)z yi x y R =+∈，则由||2z =， 得21 4.y y +==即复数z 的虚部是B .考点：复数的概念，复数的模. 2．D 【解析】试题分析：因为1010(3)33i 10i i +==+-，所以，复数103i -的虚部为1， 选D .考点：复数的概念，复数的四则运算. 3．D 【解析】试题分析：21a i i--i a a i a i )22(22)1(2-+-=+-=是实数，则022=-a，故4=a 选D 考点：复数的运算。
(完整版)复数基础练习题
复数基础练习题1．12ii +=- ( )A ．135i + B ．335i+ C ．133i+ D ．333i+ 2．已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z 满足()211z i i -=+，则z =（ ）．A ．12B ．22C ．1D ．24．复数z 满足(1)2z i i -=，则复数z =（ ）A ．1i - B ．12i C ．1i + D ．1i -- 5．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )．A ． B ．C ．D ．56．若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．-1 7．复数的虚部是( )A ． B ． C ． D ．18．已知复数满足，则的虚部为（ ）A ．-4 B ． C ．4 D ．9．复数212iz i +=- 的共轭复数是（ ）.A ．35i - B ．35i C ．i - D ．i 10．实数m 取什么数值时，复数分别是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？11．设复数，当为何值时.（Ⅰ）是实数？ （Ⅱ）是纯虚数？12．已知是复数，与均为实数．（1）求复数；（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．13．已知复数24i1im z +=-（,i m ∈R 是虚数单位）.（1）若z 是纯虚数，求m 的值和z ； （2）设z 是z 的共轭复数，复数2z z -在复平面上对应的点位于第三象限，求m 的取值范围.14． 是虚数单位，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设复数，且满足复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求．15．已知复数，（，i 是虚数单位） （1）.若z 是纯虚数，求m 的值；（2）.设是z 的共轭复数，在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围．16．已知复数12z a i =+，234z i =-(a R ∈，i 为虚数单位).(1)若12z z 是纯虚数，求a .(2)若复数12z z 在复平面上对应的点在第二象限，且14z ≤，求实数a 的取值范围.17．已知复数21(2)i z m m m =+-，()22131i z m m =+-+-，其中m R ∈.（1）若复数1z 为实数，求m 的取值范围；（2）求12z z +的最小值.参考答案1．A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，可得11325i ii ++=-，即可求解. 【详解】由题意，根据复数的运算，可得()()()()121132225i i i ii i i ++++==--+，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】先求出z 并化简，从而确定复数z 对应的点的坐标为13(,)22-，进而判断其位于第四象限. 【详解】因为2(2)(1)131312222i i i i z i i ----====-+， 所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限，故选D . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数()211z i i -=+，得2211(1)11(1)2222i i i i z i i i i +++⋅====-+---，∴22112||222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 由题意得：()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+ 1z i ∴=-- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的运算、共轭复数的定义，属于基础题. 5．C 【解析】试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－，b ＝－1 所以|a ＋bi|＝，选C考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模 6．B 【解析】由得12a =或，且101a a -≠≠得， 2a ∴=。
(完整版)复数练习(含答案)
复数基础2一、选择题1．下列命题中：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数；②若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；③x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．a 为正实数，i 为虚数单位，z ＝1－a i ，若|z |＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．14．(2011年高考湖南卷改编)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且a i ＋i 2＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－15．复数z ＝3＋i 2对应点在复平面( )A ．第一象限内B ．实轴上C ．虚轴上D ．第四象限内6．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝37．复数z ＝12＋12i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－IC ．－3－iD ．－3＋i9．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34－I C ．－34－i D.34＋i10．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i11．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为( )A ．5－6iB ．3－5iC ．－5＋6iD ．－3＋5i12．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i13．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( )A.115 B.3I C.115＋3i D.115＋23i15．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A ．1－3iB ．11i －2C ．i －2D ．5＋5i16．复数z 1＝cos θ＋i ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( )A ．5 B. 5 C ．6 D. 617．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )A ．0B ．1 C.22 D.1218．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．519．(2011年高考福建卷)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈S D.2i ∈S20．(2011年高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝() A ．3－i B ．3＋I C ．1＋3i D ．321．化简2＋4i (1＋i )2的结果是( ) A ．2＋i B ．－2＋I C ．2－i D ．－2－i22．(2011年高考重庆卷)复数i 2＋i 3＋i 41－i＝( ) A ．－12－12i B ．－12＋12I C.12－12i D.12＋12i 23．(2011年高考课标全国卷)复数2＋i 1－2i的共轭复数是( ) A ．－35i B.35i C ．－i D ．i 24．i 是虚数单位，(1＋i 1－i)4等于( ) A ．i B ．－I C ．1 D ．－125．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋IC ．2＋2iD ．3＋i26．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z等于( ) A ．i B ．－i C ．±1 D ．±i27．(2010年高考浙江卷)对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |二、填空题28．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．29．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________．30．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－3－2i ，z 4＝3－2i ，z 1，z 2，z 3，z 4在复平面内的对应点分别是A ，B ，C ，D ，则∠ABC ＋∠ADC ＝________.31．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________．32．已知f (z ＋i)＝3z －2i ，则f (i)＝________.33．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.34．(2010年高考上海卷)若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________.35．(2011年高考江苏卷)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．36．已知复数z 满足|z |＝5，且(3－4i)z 是纯虚数，则z ＝________.答案一、选择题1．解析：选A.在①中没有注意到z ＝a ＋b i 中未对a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如：若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，从而由z 21＋z 22＝0⇒/ z 1＝z 2＝0，故②错误；在③中若x ，y ∈R ，可推出x ＝y ＝2，而此题未限制x ，y ∈R ，故③不正确；④中忽视0·i ＝0，故④也是错误的．故选A.2． 解析：选D.∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos2<0. 故z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．故选D.3．解析：选B.|z |＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3.而a 是正实数，∴a ＝ 3.4．解析：选D.a i ＋i 2＝－1＋a i ＝b ＋i ，故应有a ＝1，b ＝－1.5． 解析：选B.∵z ＝3＋i 2＝3－1∈R ，∴z 对应的点在实轴上，故选B. 6．解析：选A.由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12. 7． 解析：选A.∵复数z 在复平面上对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，该点位于第一象限，∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．8．解析：选B.由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝02n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝－1，∴z ＝3－i. 9．解析：选D.设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1. ∴z ＝34＋i. 10．解析：选D.由z ＋i －3＝3－i ，知z ＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.11．解析：选A.(－i ＋3)－(－2＋5i)＝(3＋2)－(5＋1)i ＝5－6i.12．解析：选C.OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是5－4i ＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i ＝0.13． 解析：选D.∵z 1＋z 2＝(3－4i)＋(－2＋3i)＝(3－2)＋(－4＋3)i ＝1－i ，∴z 1＋z 2对应的点为(1，－1)，在第四象限．14．解析：选C.设这个复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋|z |＝5＋3i ，即a ＋a 2＋b 2＋b i ＝5＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3a ＋a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3a ＝115. ∴z ＝115＋3i. 15．解析：选D.先找出z 1－z 2，再根据求函数值的方法求解．∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，∴z 1－z 2＝(3＋2)＋(4＋1)i ＝5＋5i.∵f (z )＝z ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i.故选D.16．解析：选D.|z 1－z 2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i| ＝(cos θ－sin θ)2＋4 ＝5－2sin θcos θ ＝5－sin2θ≤ 6.17．解析：选C.|z ＋1|＝|z －i|表示以(－1,0)、(0,1)为端点的线段的垂直平分线，而|z ＋i|＝|z －(－i)|表示直线上的点到(0，－1)的距离，数形结合知其最小值为22. 18解析：选B.法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则有|x ＋y i ＋2－2i|＝1，即|(x ＋2)＋(y －2)i|＝1，所以根据复数模的计算公式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，又|z －2－2i|＝|(x －2)＋(y －2)i|＝(x －2)2＋(y －2)2＝(x －2)2＋1－(x ＋2)2＝1－8x . 而|x ＋2|≤1，即－3≤x ≤－1，∴当x ＝－1时，|z －2－2i|min ＝3.法二：利用数形结合法．|z ＋2－2i|＝1表示圆心为(－2,2)，半径为1的圆，而|z －2－2i|＝|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)的距离，由数形结合知，其最小值为3，故选B.19．解析：选B.因为i 2＝－1∈S ，i 3＝－i ∈/S ，2i＝－2i ∈/S ，故选B. 20．解析：选A.(1＋z )·z ＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.21．解析：选C.2＋4i (1＋i )2＝2＋4i 2i ＝1＋2i i ＝2－i.故选C. 22．解析：选C.i 2＋i 3＋i 41－i ＝－1－i ＋11－i ＝－i 1－i ＝(－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－12i. 23．解析：选C.法一：∵2＋i 1－2i ＝()2＋i ()1＋2i ()1－2i ()1＋2i ＝2＋i ＋4i －25＝i ，∴2＋i 1－2i的共轭复数为－i. 法二：∵2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i ()1－2i 1－2i＝i ， ∴2＋i1－2i的共轭复数为－i. 24．解析：选C.(1＋i 1－i )4＝[(1＋i 1－i )2]2＝(2i －2i)2＝1.故选C. 25．解析：选A.∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2＝3＋2i ＋1＝4＋2i.故选A.26．解析：选D.法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y i ＋x －y i ＝4，(x ＋y i )(x －y i )＝8.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x 2＋y 2＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝±2. ∴z z ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy i x 2＋y 2＝±i. 法二：∵z ＋z ＝4，设z ＝2＋b i(b ∈R )，又z ·z ＝|z |2＝8，∴4＋b 2＝8，∴b 2＝4，∴b ＝±2，∴z ＝2±2i ，z ＝2∓2i ，∴z z ＝±i. 27．解析：选D.∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴A 不正确；对于B ，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴C 不正确；对于D ，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故D 正确．二、填空题28．解析：复数z 在复平面上对应的点为(m －3,2m )，∴m －3＝2m ，即m －2m －3＝0.解得m ＝9.答案：929．解析：∵|z |＝3，∴(x ＋1)2＋(y －2)2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以O ′(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆30．解析：|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5，所以点A ，B ，C ，D 应在以原点为圆心，5为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD 对角互补，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°.31．解析：AB →表示OB →－OA →对应的复数，由－2－5i －(4＋3i)＝－6－8i ，知AB →对应的复数是－6－8i.答案：－6－8i32．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则f [a ＋(b ＋1)i]＝3(a ＋b i)－2i ＝3a ＋(3b －2)i ，令a ＝0，b ＝0，则f (i)＝－2i.答案：－2i33．解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i ＝(a 2－a －2)＋(a 2＋a －6)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 34．解析：∵z ＝1－2i ，∴z ·z ＝|z |2＝5.∴z ·z ＋z ＝6－2i.答案：6－2i35．解析：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1. 答案：136．解析：∵(3－4i)z 是纯虚数，可设(3－4i)z ＝t i(t ∈R 且t ≠0)，∴z ＝t i 3－4i，∴|z |＝|t |5＝5，∴|t |＝25，∴t ＝±25， ∴z ＝±25i 3－4i＝±i(3＋4i)＝±(－4＋3i)，z ＝±(－4－3i)＝±(4＋3i)． 答案：±(4＋3i)。
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15．设复数满足 ，则 （）
A． B． C． D．
二、多选题
16．已知复数Z在复平面上对应的向量 则（）
A．z=-1+2iB．|z|=5C． D．
17．已知复数 （其中 为虚数单位）下列说法正确的是（）
A．复数 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B． 可能为实数
C．
D． 的虚部为
解析：C
【分析】
由复数的乘方与除法运算求得 ，得 后可得其对应点的坐标，得出结论．
【详解】
由题意 ， ，
∴ ，对应点 ，在第三象限．
故选：C．
10．D
【分析】
利用复数的除法求解.
【详解】
.
故选：D
解析：D
【分析】
利用复数的除法求解.
【详解】
.
故选：D
11．A
【分析】
先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．
解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i
∵复数Z的实部2＞0，虚
解析：A
【解析】
试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．
解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i
∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0
∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限
故选：BD.
【点睛】
本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.
20．ABC
【分析】
对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.
【详解】
对选项由题得
.
所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确
解析：ABC
【详解】
由已知可得，所以.
故选：C
解析：C
【分析】
根据复数单位 的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.
【详解】
由已知可得 ，所以 .
故选：C
4．B
【分析】
，然后算出即可.
【详解】
由题意，则复数的虚部为1
故选：B
解析：B
【分析】
，然后算出即可.
【详解】
由题意 ，则复数 的虚部为1
故选：B
5．A
A． B． C． D．
6．在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．已知复数 ，则复数 在复平面内对应点所在象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．设 ，则 （）
A． B．1C．2D．
9．已知 ，则复平面内与 对应的点在（）
【详解】
依题意，
所以.
故选：B
解析：B
【分析】
利用复数除法运算求得 ，再求得 .
【详解】
依题意 ，
所以 .
故选：B
二、多选题
16．AD
【分析】
因为复数Z在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.
【详解】
因为复数Z在复平面上对应的向量，
所以，，|z|=，，
故选：AD
解析：AD
【分析】
因为复数Z在复平面上对应的向量 ，得到复数 ，再逐项判断.
【详解】
因为复数Z在复平面上对应的向量 ，
所以 ， ，|z|= ， ，
故选：AD
17．BC
【分析】
分、、三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模长公式可判断C选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D选项的正误.
【详解】
对于AB选项，当时，，，此时复数在复平面内的点
解析：BC
【分析】
分 、 、 三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模长公式可判断C选项的正误；化简复数 ，利用复数的概念可判断D选项的正误.
在两个变量
解析：ABD
【分析】
根据残差的计算方法判断A，根据相关指数的性质判断B，根据复数的模长公式判断C，根据否定的定义判断D.
【详解】
当 时， ，则该方程相应于点（2，29）的残差为 ，则A正确；
在两个变量 与 的回归模型中， 的值越大，模型的拟合效果越好，则B正确；
， ，则C错误；
由否定的定义可知，D正确；
【分析】
对选项 求出 ，再判断得解；对选项 ，求出 再判断得解；对选项 复数 的实部为 ，判断得解；对选项 , 的虚部为 ,判断得解.
【详解】
对选项 由题得
.
所以复数 对应的点为 ，在第二象限，所以选项 正确；
对选项 ，因为 ，所以选项 正确；
对选项 复数 的实部为 ，所以选项 正确；
对选项 , 的虚部为 ,所以选项 错误.
C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且
D． 的充要条件是
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、复数选择题
1．B
【分析】
利用复数的除法法则可化简，即可得解.
【详解】
，.
故选：B.
解析：B
【分析】
利用复数的除法法则可化简 ，即可得解.
【详解】
， .
故选：B.
2．D
【分析】
运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可.
28．若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．
C． 为纯虚数D． 的共轭复数为
29．对于复数 ，下列结论错误的是（）.
A．若 ，则 为纯虚数B．若 ，则
C．若 ，则 为实数D．纯虚数 的共轭复数是
30．对任意 ， ， ，下列结论成立的是（）
A．当m， 时，有
B．当 ， 时，若 ，则 且
故选A
点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．
7．B
【分析】
对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限.
【详解】
，在复平面内对应点为，在第二象限.
故选：B.
解析：B
【分析】
对复数 进行化简，再得到 在复平面内对应点所在的象限.
【详解】
解：，
，
z的实部为4，虚部为，则相差5，
z对应的坐标为，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD正
解析：AD
【分析】
根据复数的运算先求出复数z，再根据定义、模、几何意义即可求出.
【，虚部为 ，则相差5，
z对应的坐标为 ，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD正确，
【详解】
对于AB选项，当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第四象限；
当 时， ；
当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第一象限.
A选项错误，B选项正确；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，
所以，复数 的虚部为 ，D选项错误.
故选：BC.
18．AD
【分析】
根据复数的运算先求出复数z，再根据定义、模、几何意义即可求出.
【详解】
因为 ，
所以 ，则 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．
9．C
【分析】
由复数的乘方与除法运算求得，得后可得其对应点的坐标，得出结论．
【详解】
由题意，，
∴，对应点，在第三象限．
故选：C．
故选：AD.
19．BC
【分析】
利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.
【详解】
，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限.
故选：BD.
【点睛】
本题考
解析：BC
【分析】
利用复数的除法求出复数 ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.
【详解】
， ，所以，复数 的虚部为 ， ，共轭复数为 ，复数 在复平面对应的点在第四象限.
C． 的实部为 D． 的虚部为
21．下列结论正确的是（）
A．已知相关变量 满足回归方程 ，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1
B．在两个变量 与 的回归模型中，用相关指数 刻画回归的效果， 的值越大，模型的拟合效果越好
C．若复数 ，则
D．若命题 ： ， ，则 ： ，
22．已知复数 （i是虚数单位）， 是 的共轭复数，则下列的结论正确的是（）
【详解】
，
故选：A
解析：A
【分析】
先利用复数的乘法运算法则化简 ，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．
【详解】
，
故选：A
12．B
【分析】
可得，即得.
【详解】
由，得a＝1.
故选：B．
解析：B
【分析】
可得 ，即得 .
【详解】
由 ，得a＝1.
故选：B．
13．C
【分析】
直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题.
22．AC
【分析】
根据复数的运算进行化简判断即可.
【详解】
解：∵所以，
∴，故A正确，
，故B错误，
，故C正确，
虚数不能比较大小，故D错误，
故选：AC.
【点睛】
本题主要考查复数的有关概念
解析：AC
【分析】