广东工业大学线性代数试卷A卷1(含答案)
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
广东工业大学考试试卷2020年高数A1考试卷
广东工业大学试卷用纸，共2页，第1页广东工业大学考试试卷（B ）考试时间：2020年1月4日（第18周星期五）一.填空题：（每小题4分，共20分）1 .极限 lim? =2 .曲线y = 21nx + ；i 的拐点坐标为4 .反常积分「72公=5 .微分方程/满足y x二.选择题：（每小题4分，共20分）f sint 2dt2.函数y = xsinx + cosx （0 W x W 4）的单调递减区间是（(A) 3 ：（B ）；：(C) 2：(D)- 2(A) 0,?(C) (D)7t 2课程名称:等数学A （1） 试卷满分100分1 -COSX3.若函数/«=仄7_1r 0 ''在x = 0处连续，则”x = 0)o3.「吧叫& = :( )oJ1 X(A) --1：[B) — + 1 ；(C)-；(D) 12 2 24.曲线），=:—渐近线的条数为（)o厂-1(A) 0：（B） 1：（C） 2：(D) 35.设函数/w在（-8,+ 8）上可微，且= 则函数y = /（/'（x））在x = 0处的微分 "丁3=（）。
（A）2dx：（B）-2dx ；（C）4dx ：（D）-4dx三.计算题：（共37分）1.（7分）函数y = y（x）由参数方程= 确定，求二。
y = 2cosZ dx1（2 + 3 吓2.（7分）求极限：lim -- 0 T 33.（7分）求不定积分：f tan \ dx.J 1 + cosr4.（8分）求圆,d+y2—2）, = o绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积。
5.（8分）求微分方程〉，"-2y'-3y = Yx"的通解。
四 .（8分）求介于x = 0和x = l之间的由两条曲线G :/=），，。
2：/=4¥（0<〃<1）所困成的图形面积的最小值。
五.（7 分）证明：当x 2 0时，arctan^f + x > lii（x + Vl + x2） o六.（8分）已知函数/⑴在L㈤上连续，在（a,力内可导，且/（〃）=劝，/（切="，其中尤为不等于0的常数，证明：（1）存在ge（a,b）,使得了《） =有;（2）存在两个不同的点小4 使得（0）・/'（4）=矛。
三、2009-6-15线性代数A卷
广东工业大学试卷用纸，共3页，第1页广东工业大学试卷用纸，共3页，第2页2、设行列式1534780311113152−−−==A D ，则2=+−+4443424135A A A A .（A ）0（B ）1（C ）－1（D ）－163、设A 、B 是n 阶方阵，下列等式正确的是.（A ）AB=BA （B ）))((22B A B A B A −+=−（C ）22AA =（D ）111)(−−−+=+B A B A 4、设0α是非齐次方程组b AX =的一个解，r ααα,,,21⋯是0=AX 的基础解系，则.(A)01,,,r ααα⋯线性相关。
（B ）01,,,r ααα⋯线性无关。
（C ）01,,,r ααα⋯的线性组合是b AX =的解。
（D ）01,,,r ααα⋯的线性组合是0=AX 的解。
5、n 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是.(A)A 是实对称阵;(B)A 有n 个互异特征值;(C)A 的特征向量两两正交.(D)A 有n 个线性无关的特征向量;三、（10分）设na a a A +++=111111111||21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯,021≠n a a a ⋯其中.求A .四、（10分）设4阶方阵C B A ，，满足方程11)2(−−=−C A B C E T ，试求矩阵A ，其中123212010*******,0012001200010001B C −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠五、（10分）讨论λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x广东工业大学试卷用纸，共3页，第3页(1)有唯一解？(2)无解？(3)有无穷多解？并在此时求出其通解。
六、（10分）已知R 3中的向量组321,,ααα线性无关，向量组112223,b k b αααα=−=+，331b k αα=+线性相关，求k 值。
(完整版)广东工业大学线性代数试卷A卷1(含答案)
第三步将特征向量正交化
第四步将特征向量单位化
……………………………………9分
……………………………………………………11分
八、证明题(每小题7分，共14分)
1、证明：反证法
假设 ，
又：
从而： ，………………………………4分
由于特征值各不相等，所以
线性无关，
四、（10分）解：由 ，
两边同时左乘C，得 ………………………………………………2分
而 …………………………………………………………3分
两边再同时左乘 ，得到
或者对
…………………………………………7分
……………………………………………………8分
即 ……………………………………………………10分
五、（10分）解：
2、设行列式
，则2 .
（A）0（B）1（C）－1（D）－16
3、设A、B是 阶方阵，下列等式正确的是.
（A）AB=BA（B）
（C） （D）
4、设 是非齐次方程组 的一个解， 是 的基础解系，则
.
(A) 线性相关。
（B） 线性无关。
（C） 的线性组合是 的解。
（D） 的线性组合是 的解。
5、 阶方阵 与对角阵相似的充要条件是.
所以的 ，矛盾。………………7分
2、证明：因为线性方程组 ，当秩 时，基础解系为 个，由
则有 ，…………………………………………………3分
即B的列均为 的解，这些列的极大线性无关组的向量个数≤
即秩( ，
从而秩 。……………………………………………………7分
注：本题方法不唯一，酌情给分。
…………………………………………3分
线性代数习题1(附答案)
线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分,共20分) 1.设五阶矩阵 123230,2A A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是3阶方阵,122,1A A ==，则 A = .2.设 123,,a a a 线性无关,若 112223331,,b a ta b a ta b a ta =+=+=+ 线性无关,则 t 应满足条件 .3.向量组112α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=113β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201γ线性 关4.如果矩阵 14000400x x x x A x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是不可逆的， 则 x = . 5.设 n 阶(3n ≥)矩阵 1111a a a a a a A aa a a aa⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩为 1n -, 则 a 必为 二.单项选择题(每小题4分,共20分)1. 设 ,A B 为同阶可逆矩阵， 则 ( ) (A) .A B B A = (B) 存在可逆矩阵 ,P 使 1.P AP B -= (C) 存在可逆矩阵,C 使 .TC AC B = (D)存在可逆矩阵P 和,Q 使 .PAQ B = 2.设A,B 都是n 阶非零矩阵,且 0A B =,则A 与B 的秩是 ( ). (A) 必有一个等于零. (B) 都小于n.(C) 都等于n. (D) 一个小于n, 一个等于n.3. 设n 元齐次线性方程组 0A x =中 ()R A r =, 则0A x = 有非零解的充要条件是 ( )(A) r n =. (B) r n ≥. (C) .r n < (D) .r n >4. 若 向量组,,a b c 线性无关,,,a b d 线性相关, 则 ( )(A) a 必可由 ,,b c d 线性表示. (B) b 必不可由 ,,a c d 线性表示. (C) d 必可由 ,,a b c 线性表示. (D) d 必不可由 ,,a b c 线性表示.5. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011A ，则12A 等于 ( ) (A ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101111 (B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10121 (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11121(D ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1201212三.(14分) 设 3521110513132413D --=----D 的(,)i j 元的余子式和代数余子式依次记作,,ij ij M A 求11121314112131.A A A A M M M M ++++++及 四. (10分) 已知 21311122,20,13225A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦求 X AX B =使.五.(10分) 判定下列向量组的线性相关性, 求出它的一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.()()()()()123451,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,141,2,2,0,2,1,5,10a a a a a =-===-=六.(10分) 用基础解系表示下面方程组的全部解:12341234123422124522x x x x x x x x x x x x a+-+=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩七(16分) 已知A 是n 阶方阵,且满足 220(A A E E +-=是n 阶单位阵). (1) 证明 A E + 和 3A E - 可逆,并求逆矩阵； (2) 证明 2A E +不可逆线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分, 共24分) 1．144。
线性代数试题(附参考答案)
《 线性代数 》课程试题（附答案）一、 填空。
（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 22.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=003020100A ，则=-1A3.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A 4.设CB A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B 5.矩阵A 可逆的充要条件为6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂ （填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有 个解向量。
二、 计算行列式的值。
（10分）321103221033210=D三、 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求1-A 。
（10分）四、 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112A ，求矩阵X ，使E A AX 2+=。
（10分）五、 问K 取什么值时下列向量组线性相关（10分） T k )1,2,(1=α，T k )0,,2(2=α，T )1,1,1(3-=α。
六、 设A ,B 为n 阶矩阵且2B B =，E B A +=，证明A 可逆并求其逆（6分）七、 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=979634121121112A ，求矩阵A 的列向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示。
（15分）八、 求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解。
（15分）《线性代数》课程试题参考答案一、 填空。
（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 2482.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003020100A ，则=-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001021031003.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 4.设C B A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B C A 1- 5.矩阵A 可逆的充要条件为0≠A6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为n A r <)(7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂线性无关（填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有r n -个解向量。
线性代数试卷2014A
A. ；B. ；
C. ；D. .
5.设矩阵 ,则 的对应于特征值 的特征向量 为( ).
A． B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共计30分）
1.已知三阶矩阵 的行列式 , 则 _____________.
2.行列式=
3.设A为4阶方阵, 且 是 的两个解向量,则 的一个基础解
六.(12分) 设线性方程组为 ，问 取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 在有无穷多解时求出其通解。
七、（12分）设矩阵 ，试判断它是否可对角化？若可以，写出可逆阵P及相应的对角阵 .
系为______________.
4.设 的秩为1，则
5.已知向量组 线性无关，而向量组 ， 线性相关，则
6.设 ， ，三维向量 与 正交，则
三.（8分）、已知 ，满足 ，求矩阵 ．
四．(8分)设 是 的一个基础解系， 是非齐次线性方程 的解，证明：向量组 是 的线性无关解。
五．（10分）设 请问a，b为何值时，向量组 的秩为2。
(完整word版)线性代数考试题及答案解析
WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。
2、闭卷考试。
评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。
(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+(C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a__________________系__________专业___________班级姓名_______________学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R >(C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r >【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是(A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量(B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例(C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示(D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是(A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值(C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。
广东工业大学2014年线性代数A卷
3.已知方程组 ，问 取何值时，此方程组（1）有唯一解，
（2）无解，（3）有无穷多解？
4.求向量组
的一个最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。
5．已知四元非齐次方程组Ax=b,R(A)=3，又已知该方程组的三个解向量 满足
求该方程组的通解。
1.齐次线性方程组 只有零解，则 应满足条件______。
（A） (B) (C) (D)
2．设A是4阶矩阵，且 ，则 。
（A）16 (B) 32 (C) 8 (D) 0
3.已知非齐次线性方程组无解，则a=______。
（A）-1 (B) 0 (C) 2 (D) 3
4.已知方阵A的列向量组 线性无关，下列结论中正确的是_______。
（A）向量组 的任一部分向量组都线性无关；
（B）向量组 中存在两个向量分量对应成比例；
（C）齐次方程组 有非零解；
（D）向量组 中有一个是零向量
5.设 是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵 有一个特征值为_______。
（A）1 (B) (C) 2 (D) 3
三．计算题（每题12分，共60分）
1．计算n阶行列式。
06-07线性代数A卷参考答案与评分标准
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一．填空题（每题3分，共24分）二、选择题（每题3分，共24分）三、（本题10分）解：1001100111ab cd ---12r ar +0101100111a b a b cd+---…………………2分＝2110(1)(1)1101aba c d ++----…………………4分32c dc +11101ab a adccd +-+-…………………6分 ＝321(1)(1)11ab ad cd++---+ …………………8分＝1abcd ab cd ad ++++………………………10分四、（本题8分）证明：因为A 为对称矩阵，所以TAA = …………………………………………3分于是，()()TTTT TTB ABB AB = ………………………………………………6分＝TB AB ………………………………………………7分所以，TB AB 是一个对称矩阵。
……………………………………………8分五、（本题12分）解： 11130111302135101111327100410113122A a a b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪=→→ ⎪⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭………4分 当≠a 4时，方程组有唯一解……………………………………………7分 当=a 4，≠b 2时，方程组无解 ………………………………………10分 当=a 4，=b 2时，)(A r =)(A r ＝3 < 4，方程组有无穷多组解。
…12分六、（本题10分）解一： 2130053213011301022401123419013112---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪----⎪ ⎪→⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭103501120088001414⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪⎪--⎝⎭103501120011000⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭10020101,0011000⎛⎫⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………7分 所以41232αααα=++。
广工-2017-2018-1-线性代数-真题2答案
2
2
0 ，于是 k1 0 ．同理可得 k2 k3 0 ．
…………6 分
综上所述， 1 , 2 , 3 线性无关．
(2) 解法 1：设 k11 k2 2 0 ．因为 1 1 2 3 ， 2 1 2 2 3 ，所以
广东工业大学试卷参考答案及评分标准( A )
课程名称： 线性代数 (第**周 星期*)
考试时间：****年**月**日
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1 1． ( A 2 I ) ； 3
2．0；
3． 16 ；
1 0 4． x c 1 1 ； 1 0
(2)
1 a b c a 1 b c a b 1 c a
r21 ( 1) r31 ( 1) r41 ( 1)
d d d 1 d c 0 1 0
1 a b c b c 1 a b c 1 b c 1 a b c b 1 c 1 a b c b c d 0 1 a b c. 0 1
广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 5 页，第 5 页
5． 64
二、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1．D； 2．C； 3．B； 4．A； 5．B
三、 （共 12 分） 解：(1) 构造分块矩阵
0 1 1 1 4 r 1 1 1 12 2 1 0 1 3 A B ~2 1 0 1 1 1 3 2 0 1 1 3 2 1 1 1 1 1 r12 ( 2) r23 ~ 0 3 2 7 1 ~ 0 1 0 1 1 1 4 0 3 3 2 1 1 1 1 r23 ( 3) r21 (1) ~ 0 1 1 1 4 ~ 0 0 0 1 10 13 0 6 1 0 0 4 r32 (1) ~ 0 1 0 9 9 . 0 0 1 10 13
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为（）。
A. -1/2B. 1/2C. 2D. -22. 若向量α=(1, 2, 3)，则向量α的模长为（）。
A. √14B. √13C. 6D. √153. 设A为3×3矩阵，且|A|=0，则下列说法正确的是（）。
A. A可逆B. A不可逆C. A的秩为3D. A的秩为24. 若A是n阶方阵，且A^2=I（单位矩阵），则A的特征值只能是（）。
A. 0B. ±1C. 2D. -25. 设A为3阶方阵，且A的行列式为-1，则A的迹为（）。
A. -1B. 1C. 0D. 3二、填空题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的转置矩阵为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 &4\end{bmatrix}\]。
2. 若向量组α1=(1, 0, 0)，α2=(0, 1, 0)，α3=(0, 0, 1)，则向量组α1，α2，α3是线性__的。
3. 设A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ+2)，则矩阵A的特征值为__。
4. 设A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，B=\[\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\]，则矩阵A与B的乘积AB为\[\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]。
5. 若矩阵A的特征值为2，3，则矩阵A的迹为__。
三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
广工高等数学A1试卷及答案
2. 解:函数的定义域为: ),(∞+0,ln x x x y 224-=' （1分）121102224-==''+=''ex y x y 得令,ln （3分）列表讨论如下:x(0,1211-e)1211-e(1211-e, +∞)y ''- 0+ y凸61118--e凹（5分）区间 (0, 1211-e] 为曲线的凸区间, 区间 [1211-e , +) 为曲线的凹区间,曲线有拐点: (1211-e , 61118--e ) （7分）3. 解:因为][cos 223ππ，x x -为 上连续的奇函数,所以0223=⎰-ππdx x x cos（2分） ⎰-+22223ππx d x x x cos )sin ( =⎰-2222ππx d x x cos sin=⎰202221πx d x sin =⎰-24141πx d x )cos ( （5分）= 84414120ππ=-)sin (x x （7分）六、（7分）证明: 设,sin )()(x x f x F = （3分）由题目所给条件知: F (x )在[0,]上连续,在(0,)内可导,且00==)()(F F π,所以由罗尔定理,至少存在一点),(πξ0∈,使得:0=')(ξF （5分）又 ξξ=+'='x x x f x x f F ]cos )(sin )([)( 所以 0=+'ξξξξcos )(sin )(f f因为 ),(πξ0∈,所以0≠ξsin ,从而有 ξξξξξξcot )(sin cos )()(f f f -=-=' 证毕（7分） 七、（9分）解: (1) 所求旋转体的体积为⎰∞+-=0dx xaa V a xπ)( （2分）⎰∞+--=0ax xdaaa πln⎰∞+-+∞-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=0dx aa axa a a a xa xππln ln =2⎪⎭⎫⎝⎛a a ln π（5分） （2）aa a a V 312ln )(ln )(-='π，令,)(0='a V 得e a a ==,ln 1 （7分） 当e a <<1时，)(,)(a V a V 0<' 单调减少， 当e a >时，)(,)(a V a V 0>' 单调增加， 所以当e a =时，V 最小，最小体积为。
广东工业大学高等代数1试卷与答案-2015A
3、 1 ( A 3E) ； 4、 (d a)(d b)(d c)(c a)(c b)(b a) ； 10
1 0 0 0
5、
0
1
0
0
0 0 0 0
0
0
0
0
1 1 0
三、解：二次型对应的对称矩阵是
A
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
，做合同变换如下
0321 1543
（1） A13 A23 A43 ;
（2） A31 2 A33 5A34 .
广东工业大学试卷用纸，共 6 页，第 2 页
1 2 3
五、[10
分]
已知
A
2
2
1
，求
A1
。
3 4 3
六、[10 分]已知多项式 f (x) 3x3 4x2 5x 6 ， g(x) x2 3x 1 ，用 g(x) 去
——3 分
广东工业大学试卷用纸，共 6 页，第 4 页
四、解：（用行列式的行列展开定理计算）
( 1 ) 33； ( 2 ) 0.
（各 5 分）
五、解：可用两种方法求解，一种是初等变换法，一种是伴随矩阵法。
六、解:
1 3 2
A1
3
3
5
2
2
1
1 1
——（10 分）
（）
(A) V1 V2 ; (B) V1 V2 ;
(C) V1 V2 ; (D){0}, 其中 0 是V 的零向量.
二、填空题（每空 4 分，共 20 分）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2、证明：因为线性方程组 ，当秩 时，基础解系为 个，由
则有 ，…………………………………………………3分
即B的列均为 的解，这些列的极大线性无关组的向量个数≤
即秩( ，
从而秩 。……………………………………………………7分
注：本题方法不唯一，酌情给分。
，…………3分
由 线性无关，
得 ，
因为 相关，所以 有非零解，………………………………7分
故系数行列式=0，得 。………………………………………………10分
七、（11分）解：
第一步求A的特征值
=0
…………………………………………………………3分
解之得基础解系 ………………………………4分
解之得基础解系 ………………………………………5分
线性相关，求k值。
七、（11分）设 ，求一个正交矩阵 ，使 为一个对角矩阵。
八、证明题(每小题7分，共14分)
1、设 是 阶方阵 的3个特征向量，它们的特征值不相等，记 ，
证明 不是 的特征向量。
2、设 为 阶方阵，若 ，则r r 。
………………………………………………………………10分
注：本题方法不唯一，根据学生的做题步骤酌情给分。
…………………………………………3分
当 时，方程组有唯一解………………………………………………5分
当 时，增广矩阵为
,方程组无解…………………………………………………………7分
当 时，增广矩阵为
，
方程组有无穷多解，
解为 ，（c为任意常数）…………………………10分
六、（10分）解：设存在三个实数 ，使
四、（10分）解：由 ，
两边同时左乘C，得 ………………………………………………2分
而 …………………………………………………………3分
两边再同时左乘 ，得到
或者对
…………………………………………7分
……………………………………………………8分
即 ……………………………………………………10分
五、（10分）解：
解之得基础解系 ……………………………………6分
第三步将特征向量正交化
第四步将特征向量单位化
……………………………………9分
……………………………………………………11分
八、证明题(每小题7分，共14分)
1、证明：反证法
假设 ，
又：
从而： ，………………………………4分
由于特征值各不相等，所以
线性无关，
(A) 是实对称阵; (B) 有 个互异特征值;
(C) 的特征向量两两正交.(D) 有 个线性无关的特征向量;
三、（10分）设 , .求 .
四、（10分）设4阶方阵 满足方程 ，试求矩阵 ，其中
五、（10分）讨论 为何值时，方程组
(1)有唯一解？(2)无解？(3)有无穷多解？并在此时求出其通解。
六、（10分）已知R3中的向量组 线性无关，向量组 ，
2、设行列式
，则2 .
（A）0（B）1（C）－1（D）－16
3、设A、B是 阶方阵，下列等式正确的是.
（A）AB=BA（B）
（C） （D）
4、设 是非齐次方程组 的一个解， 是 的基础解系，则
.
(AБайду номын сангаас 线性相关。
（B） 线性无关。
（C） 的线性组合是 的解。
（D） 的线性组合是 的解。
5、 阶方阵 与对角阵相似的充要条件是.