3质点圆周运动的角量描述 相对运动

y ,z y,z
,t )
,t
x
v' dr'
dt
dt
绝对速度等于牵连速度与相对速度矢量之和
physics
第1章 质点运动学
加速度关系 dv dv' du 若 du 0 则 a a'
dt dt dt
dt
dv 绝对 dt

dv 相对 dt
dv牵连 dt
a绝对
a
1.2
physics
第1章 质点运动学
总结：运动学的两类基本问题
一.已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度 （微分法）；
r(t) v, a ； (t) ,
二.已知加速度(或速度)及初始条件，求质点任一时刻 的速度和运动方程(积分法）。
a(t),(t 0时 r0 , v0 ) v(t), r(t)
physics
第1章 质点运动学
复习
直线运动
x x(t)
v

dx dt
a

dv dt

d 2x dt 2
v v0 0t adt v v0 at
x x0 0t vdt
x

x0

v0t

1 2
at 2
xx0 adx vv0 vdv
v2 v02 2a(x x0)
a 1.2(m s2 )
an 3 42 0.2 9.8(m s2 )
physics
v
a
a
an
第1章 质点运动学
此时总加速度的大小为
a an2 a 2 1.22 9.82 9.87 (m s2 ) a与v的夹角为
arctgan arctg9.8 83.0
t0 t dt dt 2
5）角量与线量的关系
s r
v ds r d r
dt
dt
a

dv dt
r
d
dt
r
y
B
r A

o
x
an

v2


(r )2
r
r 2
physics
第1章 质点运动学
思考
用类比方法写出用角量表示的圆周运动公式 和 α= 恒量 时的形式
t
v v0
adt
0
t
x x0
vdt
0
v2
v02

2
x x0
adx
t
0
dt
0
t

0
dt
0
2
02

2

d
0
v v0 at
x

x0

v0t

1 2
at 2
v2 v02 2a(x x0 )
0 t
physics
第1章 质点运动学
研究对象： 动点 P
参照系： 绝对参照系S 相对参照系S'
o
y
r
o'
y' rx' '
u
P
(x,
x,
y y
,z ,t )
,z,t
x
三种运动：
z S 系
Z
'Baidu NhomakorabeaS' 系
绝对、相对和牵连运动
• • •
S' 系相对于S系的位移： P 点相对于S' 系的位移： P 点相对于S 系的位移：
t0 t dt
角速度矢量:
方向沿轴
v r

旋转方向
v O R
r P
r
O'
大小: v rsin R
方向: 右手螺旋法则
physics
第1章 质点运动学
4）角加速度（单位：S-2)
平均角加速度:
t
角加速度:
lim d d2
a相对
a牵连
注1意）当u接近光速时，伽利略变换不成立！ 2）直角坐标系中
x x ut y y z z t t
physics
第1章 质点运动学
例3 已知质点作匀加速直线运动，加速度为a，求该
质点的运动方程。
解：已知a速 度或ddv加t 速度求d运v动方a程d ，t 采用积分法：
线为基准，称为线量。
角量 —— 在极坐标系下，以旋转角度为基准的
基本参量，称为角量。
1）角位置：
运动学方程： (t) 2）角位移
单位： rad
y
B
r A

o
x
逆时针为正
physics
第1章 质点运动学
3）角速度（单位：S-1)
平均角速度:
t
角速度: lim d
(t),(t 0时 0 , 0 ) (t), (t)
physics
六、 相对运动(Relative Motion)
第1章 质点运动学
(a)车作匀速直线运动时，车上的人观察到石子作直线 运动
physics
第1章 质点运动学
(b)车作匀速直线运动时，地面上的人观察到石子作抛 物线运动
[思路二] (t) S(t) v(t) v an=v2/R aτ(t) aτ
[思考] 何种圆周运动？
physics
第1章 质点运动学
例2： 某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方
程为 t3 4t 3 (SI)
(1) t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？
(2) 若主轴直径D = 40 cm，求 t = 1 s 时,该点的速度和
加速度。
解: (1)由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度
t3 4t 3 (SI)
d 3t2 4 d 6t
dt
dt
t 2 s : 3 22 4 16 rad s-1
6 2 12 rad s2
physics
第1章 质点运动学
v2 v2 2a(x x )
0
0
第1章 质点运动学
physics
第1章 质点运动学
例4：一质点作半径为R的圆周运动，其速 率满足 v kRt， k为常数，求：切向加速 度、法向加速度和加速度的大小。
解： 切向加速度
a
dv dt
kR
法向加速度
an

v2 r
(kRt R
)2
(2) 由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加
速度和法向加速度
v r 1 D 1 3t2 4 0.4 0.2 3t2 4
2
2
a r 6t 0.2 1.2t
an 2r
3t2 4
2
0.2
t 1s时，v 0.2(3 4) 1.4(m s1)
urrt'
— 牵连位移 — 相对位移 — 绝对位移
physics
第1章 质点运动学
伽利略变换关系
y
y'
位绝速vrr移t对度关速变v系度换r''rt'uuvut牵d连rZ速oS度系相对zro速'' S度' 系rx''
u
P
(x,
x,
对于作直线运动的质点，采用标量形式
dv adt
两端积分可得到速度
v
v0
dv

0ta
dt
v v at 0
physics
根据速度的定义式：
d x v v at
dt
0
两端积分得到运动方程
x
x0
d
x

0t(v0

at) d t
x x v t 1 at2
0
02
消去时间，得到
physics
五、圆周运动的角量描述
第1章 质点运动学
1、平面极坐标
角向
径向
y
rA
O
x 极轴
平面极坐标系（r , θ） 直角坐标系（x ,y）
平面直角坐标系，点A的坐标为(x , y )，两者之间
的变换关系为 x r cos
y r sin
physics
第1章 质点运动学
2、圆周运动的角量描述 线量 —— 在自然坐标系下，基本参量以运动曲
k 2Rt 2
加速度 a
a 2

a
2 n
kR 2 k 2Rt 2 2
physics
第1章 质点运动学
作业 1 - 15、17

0

0t

1t2
2
2


2 0

2 (
0)
physics
第1章 质点运动学
[例1] 质点沿半径为0.1m的圆周运动，其角位 置=2+4t2 (SI)，则t=2s时,an= 0.8 m/s2， aτ= 25.6 m/s.2
解：[思路一] (t)
(t) (t)

an=R2 aτ=R
physics
第1章 质点运动学
1.运动的绝对性和描述运动的相对性
只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运 动，选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不 相同。
一个坐标系 中的描述
变换
另一个坐标 系中的描述
2. 低速 (vc)下的变换
时间和空间的测量是绝对的。分别从 S(o xyz)
系和 S(o xyz) 系描述质点 p 的运动