现代信号处理6_滤波器组基础3_2015资料

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滤波器基本知识介绍

按所采用的元器件
按所采用的元器件分为无源和有源滤波器两种. 无源滤波器无源滤波器仅由无源元件(R、L 和C)组成的滤波器它是利用电容和电感元件的电抗随频率的变化而变化的原理构成的.这类滤波器的优点是：电路比较简单,不需要直流电源供电,可靠性高；缺点是：通带内的信号有能量损耗,负载效应比较明显,使用电感元件时容易引起电磁感应,当电感L较大时滤波器的体积和重量都比较大,在低频域不适用.
滤波器设计
滤波器特性可以用其频率响应来描述,按其特性的不同, 可以分为低通滤波器,高通滤波器,带通滤波器和带阻滤波器等. 用来说明滤波器性能的技术指标主要有：中心频率f0,即工作频带的中心頻率带宽BW 通带衰减,即通带内的最大衰减阻带衰减最小插入衰减. 现代滤波器设计,多是采用滤波器变换的方法加以实现. 主要是通过对低通原型滤波器进行频率变换与阻抗变换,来得到新的目标滤波器.
数字滤波器特性(1)
数字滤波器具有比模拟滤波器更无法达到的性能。数字滤波器相比模拟滤波器有更高的信噪比.这主要是因为数字滤波器是以数字器件执行运算,从而避免了模拟电路中噪声（如电阻热噪声）的影响。数字滤波器还具有模拟滤波器不能比拟的可靠性。组成模拟滤波器的电子元件的电路特性会随着时间、温度、电压的变化而漂移，而数字电路就没有这种问题。
图2 不同的滤波器适应的频率范围
常用滤波器的特点介绍
SAW的工作频率最高.陶瓷滤波器最低；
晶体滤波器的相对带宽最窄,而SAW可窄可宽；均有一定的插入损耗,特别是多级级联实现良好的矩形系
数要求是,插入损耗会更大. 使用这些滤波器时需要注意的是：所有的这些滤波器特性,均是在输入输出匹配的条件下测得的,因此使用时必须注意滤波器的前后的阻抗匹配. 滤波器有一定的插入损耗,它与放大器相连时若放在放大器前面,先滤波后放大,有利于清除干扰,但不利于整机的噪声性能.若放在放大器后面,有利于提高噪声性能,但干扰也被放大,特别是强干扰会引起一系列的失真.一般需要具体问题具体考虑.

现代信号处理--清华胡广书讲义-第6章滤波器组基础

150第6章滤波器组基础6.1 滤波器组的基本概念一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的输出，如图6.1.1所示。

图6.1.1 滤波器组示意图，（a ）分析滤波器组，（b ）综合滤波器组。

假定滤波器)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的频率特性如图6.1.2（a ）所示，)(n x 通过这些滤波器后，得到的)(0n x ，)(1n x ，…，)(1n x M -将是)(n x 的一个个子带信号，它们的频谱相互之间没有交叠。

若)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的频率特性如图6.1.2（b ）所示，那么，)(0n x ，)(1n x ，…，)(1n x M -的频谱相互之间将有少许的混迭。

由于)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的作用是将)(n x 作子带分解，因此我们称它们为分析滤波器组。

将一个信号分解成许多子信号是信号处理中常用的方法。

例如，若图6.1.1中的2=M ，那么，在图6.1.2中，)(0z H 的频率特性将分别占据2~0π和ππ~2两个频段，前者对应低频段，后者对应高频段。

这样得到的)(0n x 将是)(n x 的低频成份，而)(1n x 将是其高频)(0n x )(1n x )(1n x M -)(n x(ˆ0x (ˆ1x)(ˆ1n xM -)(ˆn x151成份。

我们可依据实际工作的需要对)(0n x 和)(1n x 作出不同的处理。

例如，若我们希望对)(n x 编码，设)(n x 的抽样频率为20KHz ，若每个数据点用16bit ，那么每秒钟需要的码图6.1.2 分析滤波器组的频率响应，（a ）无混迭，（b ）稍有混迭流为320Kbit 。

若)(n x 是一低频信号，也即)(n x 的有效成份（或有用成份）大都集中在)(0n x 内，)(1n x 内含有很少的信号能量。

这样，我们可对)(0n x 仍用16bit ，对)(1n x 则用8bit ，甚至是4bit ，由于)(0n x 和)(1n x 的带宽分别比)(n x 减少了一倍，所以，)(0n x 和)(1n x 的抽样频率可降低一倍。

滤波器基本知识介绍

滤波器基本知识介绍
contents
目录
• 滤波器概述 • 滤波器的工作原理 • 常见滤波器类型 • 滤波器的设计 • 滤波器的应用 • 滤波器的发展趋势与未来展望
01
滤波器概述
滤波器的定义
01
滤波器是一种电子设备，用于将输入信号中的特定频率成分提取或抑Biblioteka ，从而改变信号的频谱。02
滤波器通常由电感器和电容器组成的网络构成，通过调整元件的参数和连接方式，可以实现对不同频率信号的选择性处理。
滤波器的传递函数可以通过系统的差分方程来计算，也可以通过系统的状态方程来计算。传递函数的特性决定了滤波器的性能和行为，因此在进行滤波器设计时，需要仔细考虑传递函数的特性，以确保滤波器的性能符合要求。
03
常见滤波器类型
低通滤波器
总结词
允许低频信号通过，抑制高频信号的滤波器
VS
详细描述
低通滤波器（Low Pass Filter, LPF）是一种让低频信号通过而抑制高频信号的电路或系统。其作用是降低信号中的高频噪声，保留低频或直流分量。在频域上，低通滤波器表现为一个下凹的频率响应曲线，其截止频率（f0）是滤波器开始显著降低的频率点。
带通滤波器
总结词
允许一定频率范围内的信号通过，抑制其他频率信号的滤波器
详细描述
带通滤波器（Band Pass Filter, BPF）是一种允许特定频率范围内的信号通过，抑制该范围外信号的电路或系统。在频域上，带通滤波器表现为一个有一定带宽和中心频率的频率响应曲线。带通滤波器在通信、雷达、音频处理等领域有广泛应用。
图像平滑
频域变换
通过滤波器降低图像中的噪声，改善图像质量。
通过滤波器对图像进行频域变换，实现图像压缩、加密等处理。

现代信号处理_03

19
边带消除器( 边带消除器(SBC)
根据多相分解理论， • 根据多相分解理论，有
H L ( z ) = H1 ( z 2 ) + z −1 H 2 ( z 2 ) (14)
当原型低通为镜像滤波器时， • 当原型低通为镜像滤波器时，上式中
ai + z −2 H1 ( z 2 ) = ∏ 1 + ai z − 2 i =1
ai = 2 − αi , ci = 0 2 + αi 2 − βi bi = , di = 0 2 + βi b=0 (12)
N1
则式(10) 则式(10)可简化为
ai + z −2 H1 ( z ) = ∏ 1 + ai z − 2 i =1 bi + z − 2 H 2 ( z) = z ∏ 1 + bi z − 2 i =1
8
奇阶互补滤波器设计
低通互补对：令 • 高、低通互补对
2 M ( s ) = ∏ (1 + s Ω′ ) , N ( s ) = ∏ ( s 2 + Ω′ ) i i 2 2 2 2 i =1 i =1 M M
则有
M 2 (s 2 ) H L ( s) H L (− s) = 2 2 M (s ) − s 2 N 2 (s 2 )
− s 2 N 2 (s 2 ) H H ( s ) H H (− s ) = 2 2 M (s ) − s 2 N 2 (s 2 )
(3a )
(3b)
• 零点分离和分配原则
2 2 所有左设 M ( s ) ± sN ( s ) 所有左半平面零点分别构成
G2 ( s ) G1 ( s ) G1 (−s) G2 (−s)

滤波器基础知识.doc

滤波器的基础知识内容摘耍：滤波器的功能就是允许某一部分频率的信号顺利的通过，而另外一部分频率的信号则受到较大的抑制，它实质上是一个选频电路。

1. 滤波器的功能滤波器的功能就是允许某i部分频率的信号顺利的通过，而另外一部分频率的信号则受到较大的抑制，它实质上是一个选频电路。

滤波器中，把信号能够通过的频率范围，称为通频带或通带；反之，信号受到很人衰减或完金被抑制的频率范围称为阻带；通带和阻带Z间的分界频率称为截止频率；理想滤波器在通带内的电压增益为常数，在阻带內的电压增益为零；实际滤波器的通带和阻带Z间存在一定频率范围的过渡带。

2. 滤波器的分类(1) 按所处理的信号分为模拟滤波器和数字滤波器两种。

(2) 按所通过信号的频段分为低通、高通、带通和带阻滤波器四种。

低通滤波器：它允许信号屮的低频或肓流分最通过，抑制高频分最或干扰和噪声。

高通滤波器：它允许信号屮的高频分最通过，抑制低频或肓流分最。

带通滤波器：它允许一定频段的信号通过，抑制低于或高于该频段的信号、T•扰和噪声。

带阻滤波器：它抑制一定频段内的信号，允许该频段以外的信号通过。

(3) 按所采用的元器件分为无源和有源滤波器两种。

无源滤波器：仅由无源元件(R、L和C)组成的滤波器，它是利用电容和电感元件的电抗随频率的变化而变化的原理构成的。

这类滤波器的优点是：电路比较简单，不需要一肓流电源供电，可靠性高；缺点是：通带内的信号有能量损耗，负载效应比较明显，使川电感元件时容易引起电磁感应，当电感L较大时滤波器的体积和重量都比较大，在低频域不适川。

有•源滤波器：由无源元件（-•般用R和C）和有源器件（如集成运算放大器）组成。

这类滤波器的优点是：通带内的信号不仅没有能最损耗，而且还可以放人，负载效应不明显，多级相联时相互彩响很小，利用级联的简单方法很容易构成高阶滤波器，并且滤波器的体积小、重量轻、不需要磁屏蔽（山于不使用电感元件）；缺点是：通带范围受有源器件（如集成运算放人器）的带宽限制，需要肓流电源供电，可靠性不如无源滤波器高，在高压、高频、人功率的场合不适用。

现代信号处理基础及应用6章-白化滤波器

内积空间：
设有 M 个两两正交的随机矢量 ε1, ε2, , εM ，满足
εi , εj 0, i j
令 Y=ε1, ε2,
εM , 是由这 M 个随机矢量张成的线
性子空间，那么随机矢量就是该内积空间的正交基底。
根据正交分解定理，对于任何随机矢量 x ，相对于线性子空间 Y ，可唯一分解为两个互相正交的部分，即
D(
z)
可能不是因果的，
D(z) G(z)
就不是因果的；
D(z) （3） G(z) 对应的是一个因果稳定的 IIR 滤波器，而所
设计的 H(z) 是一个 n 阶的 FIR 滤波器。
上述因素都会使滤波器的实际输出 y = g* h 不一定等
于期望输出 d 。
设 d l2 g l2 ，且 g 是因果的。则滤波器实际输出 y 与期望
lim n
δ-
gh
2
1
1 2
例 6.2 假设信道的传递函数为G(z) 1 z2 ，它是非最小相 4
设 x = x1 + x2 ，其中 x1 与 y 相关， x2 与 y 不相关，由于 Rxy R[ xyT ] E[( x1 x2 ) yT ] Rx1y Rx2 y Rx1y
所以， xˆ Rxy Ry1 y Rx1y Ry1 y xˆ1，因此， xˆ 实际上就是对 xˆ1的估计，即对 x 中与 y 相关部分的估计。所以相关抵消器的输出中与 y 相关的部分 x1 得到了尽可能大的抵消。
Yn ε1, ε2 , , εn y1, y2,
, yn
用符号 yˆn n1 来表示 yn 在子空间Yn1 上的正交投影即
n 1
1
yˆn n1 E yni E ii i

现代信号处理5_滤波器组基础2_2015

H k ( z) H ( z 1 )
定理
给定一转移函数H(z)，其多相表示为
H ( z ) z El ( z )
l M l 0
M 1
再令
G( z) H ( z)H ( z) ，当且仅当G(z)是一Mth滤波器时，
E0 ( z),, EM 1 ( z) 是功率互补的。
证明：
k Hk ( z) H ( zWM ), k 0,1,, M 1
M 1 l 0
kl H k ( z ) z 1WM El ( z M ), k 0,1,, M 1
0 E0 ( z M ) H 0 ( z) 1 0 H ( z) 0 z 1 M 0 1 W E1 ( z ) ( M 1) M H M 1 ( z ) 0 0 z EM 1 ( z )
k M k M
h( z)h( z) Mc c'
E( z) Λ1 ( z)W1h( z)
E( z) Λ1 ( z)W1h( z)
h( z )h( z ) E( z )E( z ) h( z ) W Λ Λ ( z ) W h( z ) c M
1 1 1 1
E(z)功率互补
M 4 3 H 0 (e ), ~ ; H1 (e ), ~ ; 4 4 4 4 3 5 5 7 j j H 2 (e ), ~ ; H 3 (e ), ~ ; 4 4 4 4
j j

M 2 H 0 (e ),
j

2
~

2
; H1 (e ),
j

2

现代信号处理4_滤波器组基础1_2015

j
X (z )
L
V ( z) X ( z )
V (e ) X (e
jL
)
去除镜像的目的实质上是解决所插值
的为零的点的问题。
方法：滤波 x(n)
c L H (e ) 0 others
j
L

v(n)
h( n)
k
y(n)
y ( n) v ( n) * h( n)
y(n) u ( Mn)
k
x(k )h(Mn Lk )

x(n)
L
v(n)
h( n)

u(n)
M
y(n)
y(n) u ( Mn)
考虑因果系统
k
x(k )h(Mn Lk )
Mn Lk 0

k Mn L
k Mn L m
y(n)
现代信号处理 (Modern Signal Processing)
2015
主要内容
• 滤波器组引言
• 抽取与插值
• 信号的多相表示
• 抽取和插值的实现
滤波器组引言
• 在实际工作中，经常会遇到抽样率转换的问题
– 一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（ multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要； – 另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自
抽样率转换问题
• 为什么要作抽样率转换
– 信号原来的抽样频率不合适 – 抽样频率过高，数据量太大，存储量大，计算负担重，传输时需要大的带宽，
– 实际数字系统中，不同的处理环节需要不同的抽样频率
– 信号多分辨率的需要：根据信号频率成分的分布，将一个信号分解成低频信号和高频信号，或分解成多带信号（如 M个带），分解后的信号带宽减少M倍，所以抽样频率可减少M倍。

现代信号处理复习提纲_2015-05

d j ( k ) m g ( m 2k )c j 1 ( m )
小波变换与滤波器组
多分辨率分析（续）
(10a )
(10b)
将(4a)和(4b)代入式(9)，得
f (t ) c j (k ) h(n) 2( j 1) / 2 ( 2 j 1 t 2k n) d j (k ) g ( n)2 ( j 1) / 2 (2 j 1 t 2k n)
Y ( z ) T ( z ) X ( z ) A( z ) X ( z ) 1 T ( z ) [ H 0 ( z )G0 ( z ) H1 ( z )G1 ( z )] 2
lifei@ 现代信号处理 15 lifei@
现代信号处理 14
完全重构条件
• 由此可见：小波变换可通过滤波器组来实现 • 假如信号x(n)或X(z)经小波或子带分解（分析滤波器组）后又经综合滤波器组合成为x’(n)或X’(z)。则X’(z)可能出现三种失真：混叠失真、相位失真和幅度失真。 - 要使整个系统输出没有混叠失真，须使 G0(z)H0(-z)+ G1(z)H1(-z)=o (a) - 要使整个系统输出没有相位失真和幅度失真，须使 (b) G0(z)H0(z)+ G1(z)H1(z)=z-k 结论：满足(a)和(b)的滤波器组称为无混叠、无失真滤波器组或完全重构滤波器组、式(a)和(b)称为完全重构条件。只满足(a)或(b)的滤波器组称为无混叠或无失真的滤波器组。
小波变换与滤波器组
小波变换的分类
WTx ( a, b) a ,b (t )x (t )dt

(1)
( 2)
其中
a ,b (t )
1 t b ( ) a a

现代信号课件第6章自适应滤波课件

自适应滤波器的计算复杂度较高，尤其是在处理大规模数据时，
计算量会变得非常大。
计算复杂度问题可能导致滤波器实时性差、功耗大等问题，限制
了其在某些领域的应用。
解决计算复杂度问题的方法包括优化算法、采用并行计算等技术
。
自适应滤波器的未来发展方向
未来自适应滤波器的发展方向主要包括提高性能、降低计算复杂度、拓展应用领域等方面。
自适应滤波器的发展历程
20世纪50年代
20世纪60年代
自适应滤波器的概念开始出现，最早的应用是在通信领域。
线性自适应滤波器的研究取得突破性进展，如最小均方误差（LMS）算法和递归最小二乘（RLS）算法等。
20世纪70年代
21世纪初
非线性自适应滤波器开始受到关注，如神经网络和模糊逻辑等。
随着数字信号处理技术的发展，自适应滤波器的应用领域不断扩展，涉及通信、雷达、图像处理、医学成像等多个领域。
稳态误差
自适应滤波器的稳态误差越小，说明其跟踪期望信号的能力越强。
鲁棒性
自适应滤波器的鲁棒性越好，说明其对输入信号的异常变化和噪声干扰的抵抗能力越强。
03
自适应滤波器的实现方法
最小均方误差算法
最小均方误差算法（LMS）是一种常用的自适应滤波算法，其基本思想是使滤波器的输出信号与期望信号之间的均方误差最小。
。
05
自适应滤波器的挑战与展望
自适应滤波器的稳定性问题
稳定性是自适应滤波器的核心问题之一，它关系到滤波器的性能和可靠性。
稳定性问题主要表现在系Байду номын сангаас参数的变化和噪声的影响，可能导致滤波器性能下降甚至失稳。
解决稳定性问题的方法包括改进算法、增加系统稳定性约束条件等。

现代信号处理06b

§6－2、自适应处理器的结构6.2.1自适应滤波器的原理一.开环自适应系统开环自适应系统如图6-5所示.图中,x(k)表示输入信号,y(k)表示输出信号,d(k)表示参考信号(包括自适应系统所处的环境).该系统对输入信号或环境特性进行测量,用测量得到的信息,形成计算公式或算法,用此结果对处理器进行调整.二.闭环自适应系统闭环自适应系统如图6-6所示.图中,x(k)表示输入信号,y(k)表示输出信号,d(k)表示参考信号值或期望响应信号值,e(k)表示误差信号,即期望输出信号d(k)与自适应系统实际输出信号y(k)之差.处理器参数受误差信号e(k)的控制,根据e(k)的值自动调整,以使输出y(k)接近所期望的信号d(k).由图6-6和图6-7可见,自适应系统包括了数字结构,处理器和可变的自适应权,在调节区间,权可以按自适应算法迅速调整.自适应算法通常用信号的隐式或显式表示.主要是权在自适应期间连续调整,直到均方误差E[e²(k)]减少到最小值。

由此可见,自适应系统可以看作连续减少期望响应d(k)和系统响应y(k)之差,这样一个过程,也可以看作系统响应它所处的信号环境的过程.下面讨论图6-6某些应用方面的例子.(1)自适应预测器(adaptive prediction):自适应预测器如图6-8所示.图6-8(a)为简化的不可实现的情况,自适应处理器趋向最小的E[e²(k)],因此,使得它的输出近似它的输入的未来值s(k+Δ).因为后者,在实时处理中是不可能的.图6-8(b)为可实现形式,其应用与图6-8(a)等价,而估值s^(k+Δ)用从动处理器产生.这种自适应预测器用于语音编码,谱估计,事件检测,线性增强,信号白化和其它应用领域.注意:基本的闭环自适应图6-7就置于预测图6-8当中.(2)自适应模拟(adaptive modeling):自适应模拟如图6-9所示.前向模拟如图6-9(a)所示.在前向模拟中,自适应处理器调整它的权,产生响应y(k),在最小均方意义上,尽可能与被控对象响应d(k)接近.若激励s(k)频率容量是鲁棒的,又若内部被控对象的噪声n(k)是很小的,那么,自适应处理器将变成适应未知系统的一个好的模拟.前向模拟在生物,社会,经济科学,自适应控制,数字滤波器设计,相关性估计和地球物理等方面有着广泛的应用.图6－9自适应模拟(a)前向模拟，(b)逆模拟逆模拟如图6-9(b)所示.自适应处理器调整它的权,变成被控对象的逆,即改变被控对象的输出x(k),回到输入的延迟型式s(k-Δ).延迟通常包括通过被控对象和自适应处理器的传播延迟,并假定两者为因果系统.与前向模拟类似,若s(k)是谱鲁棒的,并若n(k)是小的.自适应处理器就适应变成未知系统的精确的模型.逆模拟在自适应控制,语音分析,信道均衡,重叠合法(deconvolution),数字滤波器设计和另外的应用方面得到运用.再次注意:图6-7所示的基本的闭环自适应系统就置于图6-9(a)和图6-9(b)中.(3)自适应干扰对消(adaptive interference cancelling ):自适应干扰对消如图6-10所示.这是广泛应用的一种简单结构.假若期望响应d(k)为信号附加噪声,即s(k)+n(k),自适应处理器的输入x(k)为与n(k)相关的另外的噪声n′(k).当s(k)和n(k)是不相关的,自适应处理器由y(k)=nˆ(k),并逼近n(k),使E[e²(k)]趋向最小.因此,使e(k)逼近s(k).结果降低了在e(k)中的噪声.这里再次强调图6-7置于图6-10中.(4)自适应阵处理(adaptive array processing):自适应阵处理如图6-11所示.阵处理系统本身就是一个多输入干扰对消典型,比较图6-10和图6-11就可以看出.如同普通的波束,控制延迟,用来在观测的方向形成波束产生峰阵增益.于是,噪声目标信号s(k)+n(k)通过固定的滤波器获得,如图6-11所示.噪声估值n^(k)通过多输入处理器,用它来对消n(k),这恰如图6-10所示.图6-11中仍然使用了图6-7的基本结构.6.2.2 非递归自适应滤波器非递归自适应滤波器又称自适应线性组合器(adaptive linear combiner). 其一般形式如图6-12所示.图中,由x0(k),x1(k),…x n-1(k)组成信号向量,与之对应的为一组可调权,w0,w1,…w n-1以及求和单元∑和它的单输出信号y.调整权的方法称为自适应算法.因为是线性的,因此,对一组固定权值w0,w1,…w n-1 ,输出y是输入分量 x0(k),x1(k),…x n-1(k)的线性组合.当然,当这些权处在调整过程中时,它也是输入分量的函数,因而非递归自适应滤波器的输出不再是输入的线性函数,它的运算就成为非线性的.本章主要讨论线性自适应系统,一般分两种情况讨论:一.单输入系统输入x 0(k),x 1(k),…x n-1(k)是由同一信号源的n 个样本序列.其输入的数学表达式为:式中,X(k)为一列向量,T 表示转置,k 为时间指标.其输出为这种滤波器的结构如图6-13所示.这种自适应处理器由非递归自适应滤波器和单位延迟单元组成.这种结构通常也称为自适应横向滤波器.这也是构成自适应系统的一种基本结构.二.多输入系统多输入系统的结构图如图6-14所示.输入向量可以认为有几个不同信号源瞬时到达接收机,变成接收信号.相当于每一条线上连接一个独立的自适应天线(或自适应声源检测装置等).滤波器输入的表达式为式中X(k)为列向量. 滤波器的权向量为 )266...()]()...()([)(110-=-T n k x k x k x k X )276...()()()(10-=∑-=n i i i k x k w k y )286...()]()...()([)(110-=-Tn k x k x k x k X )296...()]()...()([)(110-=-T n k w k w k w kW滤波器的输出为式(6-27)和式(6-30)用向量表示,则式中 6.2.3.具有期望响应和误差信号的非递归自适应滤波器及性能函数具有期望响应和误差信号的非递归滤波器如图6-15所示.图中,期望响应为 d(k),误差信号为e(k).当时间指标为k 时,其误差信号为将式(6-31)代入式(6-32),为了简洁,对权向量W 不加时间指标,则由式(6-33)可得瞬时平方误差,即若e(k),d(k)和X(k)为平稳随机序列,X(k)和d(k)是不相关的,则对 )(2k e取数学期望,则若)]()([k X k X E R T = ,则)306()...()()(10-=∑-=n i i i k x k w k y )316)...(()()()()(-==k X k W k W k X k y TT ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--)(...)()()(,)(...)()()(110110k w k w k w k W k x k x k x k X n n )326)...(()()(--=k y k d k e )336)...(()()()()(--=-=k X W k d W k X k d k e TT )346()()(2)()()()(22--+=W k X k d W k X k X W k d k e T T T )356...()]()([2)()]()([)]([)]([22--+=W k X k d E k W k X k X E W k d E k e E T TT（6－36）式(6-36)表示的矩阵称为输入相关矩阵,主对角线是输入分量的均方值,交叉项是输入分量之间的互相关值. 若P =E[d(k)X(k)],则式(6-37)为期望响应与输入分量之间的一组相关值.当X(k)和d(k)为平稳时, P 和P 的元素都是固定的二阶统计量.由推导过程可知,式(6-36)和式(6-37) 对单输入形式也适用.若均方误差用ξ表示,则式(6-35)可表示为当输入分量与期望分量是平稳随机过程时,式(6-38)展开式中,W 的元素仅以一次或二次幂出现,均方误差E[e ²(k)]是权向量W 分量的二次函数.典型的二维均方误差函数如图6-16所示.式(6-38)这是一个上凹的超抛物面,即一个碗状二次型误差函数或性能表面是具有唯一最小值的函数.如果调节权函数使均方误差为最小,就相当于沿抛物形曲面下降找到最小值,即让权向量去搜索性能表面最小值.最常用的方法是梯度法.图6－16 均方误差表面为最小的位置和它对于Wopt 和ξmin 的关系曲线换句话说,由式(6-38)看出,均方误差是滤波器系数(权)W 的函数,若式右边 W 的任何分量变化,那么,均方误差的计算值也跟着改变.因为假定W 在n 维W 平面取值是连续的.与W 有关的均方误差值在n+1维空间是连续的.对n=2,在三维⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==------)(...)()()()()()(...............)()(...)()()()()()()(...)()()()()()]()([212111011121210110201020k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k X k X E R n n n n n n T T 1-n 10(k)]x (k)...d(k)d(k)x (k)E[d(k)x =P 38)-W...(6P 2-RW W +(k)]E[d =(k)]E[e =T T 22ξ空间相应的误差"表面",通常称为均方误差表面(mean square error surface) ,或称为二次型性能表面(quadratic performance surface).图6-16中的特殊符号, 下面几节将要讨论.这里只是定性地描述均方误差表面.高ξ相应于固定滤波器权W 的滤波信号x(k)的物理位置.若滤波器权集(w 0, w 1)=(w 0opt, w 1opt ), 则为最小均方误差 ξmin .6.2.4 梯度法(gradient methods)梯度法是一种权向量搜索性能表面最小值的自适应方法.用 ▽表示均方误差性能表面的梯度,可由式(6-38)对W 求导得到,即则式中,R 由式(6-36)给出,P 由式(6-37)给出. 令式(6-40)等于零,即可求到最佳权向量W op t , 即设由于R 是非奇异矩阵,则式(6-42)正是矩阵形式的维纳-霍夫方程.将式(6-42)代入式(6-38),得到最小均方误差,即由式(6-36),则则式(6-43)可写成式(6-38)表示的均方误差ξ可以表示成二次型函数的形式,即)396]...(...[110-==∇-n w w w W∂∂ξ∂∂ξ∂∂ξ∂∂ξ )406...(22--=∇P W R )416...(022-=-=∇P W R opt )426...(1-=-P R W opt opt T opt T opt W P W R W k d E 2)]([2min -+=ξ)436...(2)()()]([1112--+=---P R P P R R P R k d E T T )446...()( 11-==--R R R R T T )456...()]([)]([212min --=-=-opt T T W P k d E P R P k d E ξ)()(minopt T opt W W R W W --+=ξξ式中,各项都为标量,故等于它的转置,因而最后两项是相等的,并将式(6-45)代入m in ξ,则将式(6-42)代入式(6-47),则这就证明了式(6-38)和式(6-48)完全相等.二次型函数还可以表示成更简洁的形式,设式中,V 表示权向量对维纳最优向量的偏差.式(6-46)可以写成将式(6-47)对V 求导,得到均方误差 ξ 对V 的梯度,则由于W 和V 仅差一常数.所以,式(6-51)和式(6-40)给出的梯度完全相同,则由此可见,式(6-51)是梯度的另一种表示形式.6.2.5.误差信号与输入信号正交当W=W op t 时,误差信号与输入信号向量正交.由式(6-33),有 )466...(min ---++=W R W W R W W R W W R W T opt opt T T opt T opt ξ)476...(2)]([2--++-=opt T T opt T opt opt W R W W R W W R W W P k d E ξP R R W W R W P R R R P P R P k d E T T T T 111122)]([-----++-=ξ)486...(2)]([2)]([22--+=-+=W P W R W k d E P W W R W k d E T T T T )496...(],...,[110-=-=-T n opt v v v W W V )506...(m in -+=V R V T ξξ)516...(2]...[110-==-V R v v v Vn ∂∂ξ∂∂ξ∂∂ξ∂∂ξ)526)...((22--====∇P W R V R VW ∂∂ξ∂∂ξ)536...()()()(--=W k X k d k e T将上式两边乘以X(k),由于式中每一项都为标量,X(k)左乘和右乘等价,则对上式两边取期望,则令W=W op t 时, 则式(6-56)表示的结果与维纳滤波理论的结果相同，即前面所讲的正交原理，线性变换为最小均方误差估计，当且仅当误差与其正交。

现代信号处理

2015年12月20日
机械工程学院机自所动态室
3
第七章基于第二代小波变换的信号处理
7.1 第二代小波变换原理 7.2 预测器和更新器 7.3 第二代小波包分析 7.4 冗余第二代小波变换
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第七章基于第二代小波变换的信号处理
7.1 第二代小波变换原理 7.2 预测器和更新器 7.3 第二代小波包分析 7.4 冗余第二代小波变换
(7.1.5)
右边界受影响的情况有 D 种，预测器统一表示为
P(se ) p1se (L' N 1) p2se (L' N 2) ... pN se (L' )
(7.1.6)
L'为偶样本序列 se 的长度。
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7.1 第二代小波变换原理
(7.2.3)
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7.2 预测器和更新器
7.2.2 更新器系数计算方法
设在更新阶段，更新器U 的个数为 N~（N~ 2D~ ，D~ 为正整数），预测器 P 的个数为N（N 2D ，D 为正整数）。
将 P 和 U 代入第二代小波重构等效高通滤波器表达式，则得到重构等效高通滤波器 g表达式如下
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7.1 第二代小波变换原理
第二代小波变换的重构过程由三部分组成：恢复更新、
恢复预测和合并。其过程实现如图7.1.3所示。
s
se
重构
-U
P
(merge)
S
d

滤波器基本知识介绍

05
陷波滤波器
陷波滤波器的定义
陷波滤波器是一种具有特定频率衰减特性的滤波器，其主要作用是抑制特定频率的信号，而允许其他频率的信号通过。
陷波滤波器通常被用于各种信号处理系统中，以消除特定频率的噪声或干扰，或者增强特定频率的信号。
陷波滤波器的分类
根据实现方式的不同，陷波滤波器可以分为模拟陷波滤波器和数字陷波滤波器。
滤波器基本知识介绍
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目录
• 滤波器概述 • 低通滤波器 • 高通滤波器 • 带阻滤波器 • 陷波滤波器 • 均衡滤波器
01
滤波器概述
滤波器的定义
• 滤波器是一种电子设备，它能够通过选择性地允许某些频率通过，同时阻止其他频率通过，从而对输入信号进行频率选择和提取。滤波器的主要功能是减小输出信号中的噪声和干扰，同时保留所需的信号频率成分。
02
低通滤波器
低通滤波器的定义
总结词
低通滤波器是一种允许低频信号通过，同时抑制高频信号的电子设备。
详细描述
低通滤波器（Low-Pass Filter）是一种频率选择性滤波器，它对低于某个特定频率的信号提供较小的衰减，而对高于该特定频率的信号提供较大的衰减。这个特定频率通常被称为滤波器的截止频率。
均衡滤波器的分类
类型
均衡滤波器根据其频率响应的不同，可以分为高通滤波器、低通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。
特点
每种类型的滤波器都有其独特的特点和应用场景。例如，高通滤波器能够使高频信号得到提升，而低通滤波器则能够使低频信号得到保留。
均衡滤波器的应用
应用场景
均衡滤波器广泛应用于各种领域，如通信、雷达、音频处理等。在通信领域，均衡滤波器常用于补偿信道对信号造成的影响，以提高通信质量。在音频处理领域，均衡滤波器则用于调整音频的频谱分布，以达到更好的听觉效果。

第六章滤波器

H a ( j)
s
2 20 lg H1 (e
j s
2N 1 ( ) c
) dB
c
p /10 p
ss /10
用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。
6.2 模拟滤波器的设计
(2) 求归一化极点pk，确定归一化传输函数Ha(p) 根据求极点公式： pk=ej (½+(2k+1)/2N)，k=0,1,…,N-1。再带入：
(10
1)

(10
1)
(10
1)
6.2 模拟滤波器的设计
(4) 将Ha(p)去归一化，得到实际的滤波器传输函数Ha(s) 将p=s/c，代入Ha(p)中得：Ha(s)=Ha(p)| p=s/c。
表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数
表示两极点P1、PN2
sk ( 1) ( jc ) c e
1 2N
其中，k=0,1,…,(2N-1)
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上，间隔是/Nrad，左半平面N个点构成Ha(s)传输
函数，右半平面N个点构成Ha(-s)传输函数。
Ha(s)表示为：
H a ( s)
(s s
k 0
N 1
ωp：通带截止频率，通带频率范围：0≤ω≤ ωp ； ωS ：阻带截止频率，阻带频率范围：ωs ≤ω≤ ； ωC ：3dB截止频率；P：通带最大衰减；S：阻带最小衰减
1：通带内幅度响应误差范围；2：阻带内幅度响应误差范围；
6.1 数字滤波器的基本概念
Hα (e ) 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示， p和αs分别定义
H (j j ) ) |H a( a(j0)| H