第五讲 Matlab求解微分方程
第五讲 Matlab求解微分方程
第五讲 Matlab求解微分方程教学目的：学会用MATLAB求简单微分方程的解析解、数值解，加深对微分方程概念和应用的理解；针对一些具体的问题，如追击问题，掌握利用软件求解微分方程的过程；了解微分方程模型解决问题思维方法及技巧；体会微分方程建摸的艺术性．教学重点：利用机理分析建模微分方程模型，掌握追击问题的建模方法，掌握利用MATLAB求解数值解．教学难点：利用机理分析建模微分方程模型，通过举例，结合图形以及与恰当的假设突破教学难点．1微分方程相关函数（命令）及简介因为没有一种算法可以有效地解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器Solver，对于不同的ODE 问题，采用不同的Solver．阶常微分方程(组)的初值问题的解的 Matlab 的常用程序，其中：ode23 采用龙格-库塔2 阶算法，用3 阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度．ode45 则采用龙格-库塔4 阶算法，用5 阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度．2 求解微分方程的一些例子2.1 几个可以直接用 Matlab 求微分方程精确解的例子：例1：求解微分方程22x xe xy dxdy-=+，并加以验证． 求解本问题的Matlab 程序为：syms x y %line1 y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') %line2 diff(y,x)+2 *x*y-x*exp(-x^2) %line3 simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)) %line4说明：(1) 行line1是用命令定义x,y 为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；(2) 行line2是用命令求出的微分方程的解：1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1(3) 行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，但这里给出：-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1)(4) 行line4 用 simplify() 函数对上式进行化简，结果为 0， 表明)(x y y =的确是微分方程的解．例2：求微分方程0'=-+x e y xy 在初始条件e y 2)1(=下的特解，并画出解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为： syms x yy=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x') ezplot(y)微分方程的特解为：y=1/x*exp(x)+1/x* exp (1) (Matlab 格式)，即xe e y x+=，此函数的图形如图 1：图1 y 关于x 的函数图象2.2 用ode23、ode45等求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的数值解(近似解)．例３：求解微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1)0(2222y xx y dx dy 的数值解，求解范围为区间[0, 0.5]．fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y'); [x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1); x'; y'; plot(x,y,'o-') >> x' ans =0.0000 0.0400 0.0900 0.1400 0.1900 0.2400 0.2900 0.3400 0.3900 0.4400 0.4900 0.5000>> y' ans =1.0000 0.9247 0.8434 0.7754 0.7199 0.6764 0.6440 0.6222 0.6105 0.6084 0.6154 0.6179 图形结果为图 2．图2 y 关于x 的函数图像3 常微分在实际中的应用 3.1 导弹追踪问题1、符号说明，w ，乙舰的速率恒为v 0；设时刻t 乙舰的坐标为((),())X t Y t ，导弹的坐标为((),())x t y t ；当零时刻，((0),(0))(1,0)X Y =，((0),(0))(0,0)x y =．建立微分方程模型．202,01(0)0,'(0)0v d yk x dx w y y ⎧⎪⎪= =<<⎨⎪⎪==⎩由微分方程模型解得11(1)(1)11(),12(1)2(1)2(1)2(1)k k x x y x k k k k k +-+--=-+-≠+-+-++代入题设的数据1/5k =，得到导弹的运行轨迹为4655555(1)(1)81224y x x =--+-+当1=x 时245=y ，即当乙舰航行到点)245,1(处时被导弹击中. 被击中时间为:00245v v y t ==. 若v 0=1, 则在t =0.21处被击中. 利用MALAB 作图如图３．clear, x=0:0.01:1; y=-5*(1-x).^(4/5)/8+5*(1-x).^(6/5)/12+5/24; plot(x,y,'*')图３导弹运行轨迹（解析法） 图４两种方法对比的导弹运行轨迹2、数值方法求解．设导弹速率恒为w ，则得到参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+-=--+-=)()()()()()(2222y Y y Y x X wdt dy x X y Y x X w dt dx因乙舰以速度0v 沿直线1x =运动，设01v =，5,1,w X Y t ===，因此导弹运动轨迹的参数方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--+-=--+-=0)0(,0)0()()()1(5)1()()1(52222y x y t y t x dtdyx y t x dt dxMATLAB 求解数值解程序如下，结果见图４ t0=0,tf=0.21;[t,y]=ode45('eq2',[t0 tf],[0 0]); X=1;Y=0:0.001:0.21;plot(X,Y,'-') plot(y(:,1),y(:,2),'*'),hold onx=0:0.01:1; y=-5*(1-x).^(4/5)/8+5*(1-x).^(6/5)/12+5/24; plot(x,y,'r')很明显数值计算的方法比较简单而且适用． 3.2 蚂蚁追击问题（1）建立平面直角坐标系．以正多边形的中心为原点, 设正多边形的一个顶点为起始点, 连接此点和原点作x 轴. 根据x 轴作出相应的y 轴; 选取足够小的t ∆进行采样．（2）在每一时刻t ，计算每只蚂蚁在下一时刻t t +∆时的坐标．不妨设甲追逐对象是乙，在时间t 时，甲的坐标为A 11(,)x y ，乙的坐标为B 22(,)x y ．甲在t t +∆时在'A 点(如图1), 其坐标为11(cos ,sin )x v t y v t θθ+∆+∆，其中2221212121cos ,sin ,()()x x y yd x x y y d dθθ--===-+-. 同理，依次计算下一只蚂蚁在t t +∆时的坐标．通过间隔t ∆进行采样，得到新一轮各个蚂蚁在一个新的正多边形位置坐标．（4）重复2）步，直到d 充分小为止．（5）连接每只蚂蚁在各时刻的位置，就得到所求的轨迹．用MALAB 求解并作图，函数zhuJi(x,y)在附录一定义，如图６ t=[1:8]; s=7*exp(t.*2*pi/length(t)*i); x=real(s); y=imag(s);zhuJi(x,y)图6当蚂蚁为7只时的图形习题1. 求微分方程0sin 2')1(2=-+-x xy y x 的通解．2. 求微分方程x e y y y x sin 5'2''=+-的通解．3. 求微分方程组'A 11,(,)A x y 22,(,)B x y dθ图1 在采样时间内，相连蚂蚁追击⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++00y x dtdy y x dtdx在初始条件0|,1|00====t t y x 下的特解，并画出解函数()y f x =的图形．4. 分别用 ode23、ode45 求上述第 3 题中的微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,2]t ∈．利用画图来比较两种求解器之间的差异．4 参考文献:[1] Mastering Matlab 6, D. Hanselman, B. Littlefield, 清华大学出版,2002[2] 赵静等编．数学建模与数学实验（第3版）．北京：高等教育出版社．2008. [3] 姜启源编. 数学模型（第二版）．北京：高等教育出版社.1993.[4] 石勇国. 蚂蚁追击问题与等角螺线. 宜宾学院学报. 2008，(6): 23-25. [5] 张伟年，杜正东，徐冰．常微分方程．北京：高等教育出版社．2006．5 附录附录一:zhuji(x,y)的M 文件 function zhuji(x,y) clf v=1; dt=0.05;x(length(x)+1)=x(1);y(length(y)+1)=y(1); plot(x,y,'*') holdfor it=1:1000for i=1:length(x)-1d=sqrt((x(i)-x(i+1))^2+(y(i)-y(i+1))^2); x(i)=x(i)+v*dt*(x(i+1)-x(i))/d; y(i)=y(i)+v*dt*(y(i+1)-y(i))/d; endplot(x,y,'.') hold onx(length(x))=x(1); y(length(y))=y(1); end。
matlab求解微分代数方程
文章主题：探索数学求解软件Matlab在微分代数方程求解中的应用1. 引言微分代数方程（DAE）是描述物理系统中的相互依赖性和复杂性的数学模型。
解决这类方程对于现代科学和工程领域至关重要。
Matlab作为一种强大的数学计算软件，在微分代数方程求解中具有独特的优势。
本文将从简单到复杂的方式，探讨Matlab在DAE求解中的应用，并共享个人见解。
2. DAE的基本概念微分代数方程是描述包含未知函数及其导数或导数与未知函数的组合的方程。
通常的形式为F(x, x', t) = 0，其中x为未知函数，x'为其导数，t为自变量。
在实际应用中，这些方程往往伴随着初始条件和边界条件。
3. Matlab在解常微分方程（ODE）中的应用Matlab拥有丰富的ODE求解函数，如ode45、ode23等，可用于求解各种常微分方程。
这些函数可以自动选择适当的数值积分方法，并提供了方便的接口和参数设置，极大地简化了求解过程。
4. DAE求解方法的挑战与ODE相比，DAE的求解更具挑战性。
由于包含了代数变量和微分变量，常规的数值积分方法难以直接应用。
而且，方程的初始条件和边界条件也增加了求解的复杂性。
5. Matlab在DAE求解中的工具Matlab提供了一系列专门用于DAE求解的函数和工具包，如dare和ddesd等。
这些工具在模型建立、数值解法选择、收敛性分析等方面都具有独特的优势。
6. 案例分析：用Matlab求解电路模型的DAE以电路模型的DAE为例，通过Matlab可以快速建立系统的数学模型，并进行数值求解。
通过对参数的调节和模型的分析，可以更好地理解电路的动态特性，帮助优化设计和故障诊断。
7. 总结与展望通过本文的探讨，我们更深入地了解了Matlab在微分代数方程求解中的重要性和应用。
在未来，随着科学技术的发展，Matlab在此领域的功能和性能将得到进一步的提升，为工程科学领域提供更强大的支持。
个人观点：Matlab作为一种综合性的科学计算软件，对微分代数方程的求解起着至关重要的作用。
用Matlab求解微分方程
解微分⽅程有两种解，⼀种是解析解，⼀种是数值解，这两种分别对应不同的解法利⽤dsolve 函数进⾏求解syms x;s = dsolve('eq1,eq2,...', ’cond1,cond2,...', 'v');%eq ：微分⽅程%cond ：条件%v ：独⽴变量%形如：⽅程：y'= f(t,y),初值：y(t0) = y0dsolve('Du = 1+ u^2','t')ans =tan(C2 + t)1i-1i求的解析解s = dsolve('D2y=3*y+2*x','x');% D2y ⽤以表⽰y 的⼆阶导数，默认是以t 为⾃变量的，所以最好指明⾃变量为x.syms y(x);s = dsolve([diff(y,x,2) == 3*y+2*x], [y(0) == 5])% diff 内依次是函数、⾃变量、微分阶数，⽅程⽤==表⽰相等⽽不是赋值求初值问题s = dsolve('Dy = y - 2*t / y','y(0) =1');求边界问题s = dsolve('x*D2y - 3*Dy =x^2','y(1)=0','y(5) = 0','x');求解⽅程s=dsolve('D2y =cos(2*x) - y','y(0) =1','Dy(0) = 0','x');simplify(s);(eqn,cond,‘IgnoreAnalyticConstraints’,false) %设置不化简结果求解⽅程组[f,g]= dsolve('Df = f + g','Dg = -f + g','f(0)=1','g(0) = 2','x');⽤Matlab 求解微分⽅程⽤Matlab 求解微分⽅程解析解1.求解析解2.初值问题3.边界问题4.⾼阶⽅程5.⽅程组问题⼀些例⼦dsolve('D2y+4*Dy+29*y = 0','y(0) = 0','Dy(0)= 15 ','x')ans =3*sin(5*x)*exp(-2*x)[x y z] = dsolve('Dx = 2*x-3*y+3*z','Dy = 4*x-5*y+3*z','Dz = 4*x-4*y+2*z')x =C7*exp(2*t) + C8*exp(-t)y =C7*exp(2*t) + C8*exp(-t) + C9*exp(-2*t)z =C7*exp(2*t) + C9*exp(-2*t)%可以对其进⾏简化操作x = simplify(x)x = C7*exp(2*t) + C8*exp(-t)y = simplify(y)y =exp(-2*t)*(C9 + C8*exp(t) + C7*exp(4*t))%龙格库塔法(Runge-Kutta 法)xfun=@(t,x)0.3.*x.*(1-x/8); %定义赋值函数r=0.3,k=8[tout,xout]=ode45(fun,[0,40],0.1) %⽅程数值解，四五阶RK 法[tout,xout]=ode23(xfun,[t0,tfinal],x0) %⼆三阶RK 法%%ode 系列数值求解形如 / = ( , )的微分⽅程组, 并绘图。
MATLAB微分方程几种求解方法及程序
第五章 控制系统仿真§5.2 微分方程求解方法以一个自由振动系统实例为例进行讨论。
如下图1所示弹簧-阻尼系统，参数如下： M=5 kg, b=1 N.s/m, k=2 N/m, F=1NF图1 弹簧-阻尼系统假设初始条件为：00=t 时，将m 拉向右方，忽略小车的摩擦阻力，m x 0)0(= s m x /0)0(=•求系统的响应。
)用常微分方程的数值求解函数求解包括ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 等。
wffc1.m myfun1.m一、常微分方程的数值求解函数ode45求解 解：系统方程为 F kx x b x m =++•••这是一个单变量二阶常微分方程。
将上式写成一个一阶方程组的形式，这是函数ode45调用规定的格式。
令： x x =)1( （位移）)1()2(••==x x x （速度） 上式可表示成：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡••)1(*20)2(*101)2()2()2()1(x x x x x x x 下面就可以进行程序的编制。
%写出函数文件myfun1.mfunction xdot=myfun1(t,x)xdot=[x(2);1-10*x(2)-20*x(1)];% 主程序wffc1.mt=[0 30];x0=[0;0];[tt,xx]=ode45(@myfun1,t,x0);plot(tt,yy(:,1),':b',tt,yy(:,2),'-r') legend('位移','速度')title('微分方程的解 x(t)')二、方法2：F kx x b x m =++•••251)()()(2++==s s s F s X s G%用传递函数编程求解ksys1.mnum=1;den=[5 1 2];%printsys(num,den)%t=0:0.1:10;sys=tf(num,den);figure(1)step(sys)figure(2)impulse(sys)figure(3)t=[0:0.1:10]';ramp=t;lsim(sys,ramp,t);figure(4)tt=size(t);noise=rand(tt,1);lsim(sys,noise,t)figure(5)yy=0.1*t.^2;lsim(num,den,yy,t)w=logspace(-1,1,100)';[m p]=bode(num,den,w);figure(6)subplot(211);semilogx(w,20*log10(m)); grid onsubplot(212);semilogx(w,p)grid on[gm,pm,wpc,wgc]=margin(sys)figure(7)margin(sys)figure(8)nyquist(sys)figure(9)nichols(sys)方法3：F kx x b x m =++•••125=++•••x x xx x x 4.02.02.0--=•••% 主程序wffc1.mt=[0 30];x0=[0;0];[tt,yy]=ode45(@myfun1,t,x0);figure(1)plot(tt,yy(:,1),':b',tt,yy(:,2),'-r') hold onplot(tt,0.2-0.2*yy(:,2)-0.4*yy(:,1),'-.k ')legend('位移','速度','加速度') title('微分方程的解')figure(2)plot(yy(:,1),yy(:,2))title('平面相轨迹')%写出函数文件myfun1.mfunction xdot=myfun1(t,x)xdot=[x(2);0.2-0.2*x(2)-0.4*x(1)];。
Matlab求解微分方程及偏微分方程
第四讲Matlab求解微分方程（组）理论介绍：Matlab求解微分方程（组）命令求解实例：Matlab求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的, 特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法.一.相关函数、命令及简介1.在Matlab中，用大写字母D表示导数，Dy表示y关于自变量的一阶导数, D2y表示y关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：X=dsolve（＜eqnl，,，eqn2函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.注意，系统缺省的自变量为t2.函数dsolve求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解. 但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver,其一般格式为：［T,Y］=solver（odefun,tspan,yO）说明：（1 ）solver 为命令ode45、ode23、odel 13、odel5s、ode23s、ode23t、ode23tb、odel5i 之一.（2）odefun是显示微分方程），=f （t,y）在积分区间tspan =［心心］上从心到“用初始条件儿求解.（3）如果要获得微分方程问题在其他指定时间点bG©…心上的解，则令（span = 『“，•••『/■］（要单调的）.（4）因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE问题，为此，Matlab提供T多种求解器solver,对于不同的ODE问题，采用不同的solver.程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.。
用MATLAB求解微分方程
1. 微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
结 果：u = tan(t-c)
解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
STEP2
STEP1
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
导弹追踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ 解法一（解析法）
由(1),(2)消去t整理得模型:
解法二(数值解)
结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t
2、取t0=0，tf=12，输入命令： [T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')
3、结果如图
图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.
如何使用MATLAB求解微分方程学习资料
如何使用MATLAB求解微分方程学习资料MATLAB是一种强大的数值计算和科学编程平台，可以用于求解微分方程和微分方程组。
在使用MATLAB求解微分方程之前，需要掌握一些基础知识，包括MATLAB的基本语法和常用的求解微分方程的技术。
下面是一些学习资料和步骤，帮助您使用MATLAB求解微分方程。
1.学习MATLAB基本语法和操作：首先，您需要学习MATLAB的基本语法和常用操作。
您可以参考MATLAB的官方文档、教程和手册，以及MATLAB的在线资源和视频教程。
这些资源可以帮助您掌握MATLAB的基本操作，建立良好的编程习惯。
2.学习求解微分方程的方法：在使用MATLAB求解微分方程之前，您需要了解一些常用的求解微分方程的方法，例如数值方法和解析方法。
数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法、四阶龙格-库塔法等；解析方法包括分离变量法、线性微分方程的常系数齐次法和非齐次法等。
您可以参考微积分的教科书、在线资源和视频教程，掌握这些方法。
3. 使用MATLAB求解一阶微分方程：一阶微分方程是最简单的微分方程形式。
您可以首先尝试使用MATLAB求解一阶微分方程。
MATLAB提供了几个函数来求解一阶微分方程，例如ode45、ode23、ode113等。
您可以使用这些函数来解决特定的一阶微分方程，并观察结果。
可以使用plot 函数绘制微分方程的解，以获得更直观的理解。
4.使用MATLAB求解高阶微分方程：一旦您熟悉了使用MATLAB求解一阶微分方程的方法，您可以尝试使用同样的方法来求解高阶微分方程。
在求解高阶微分方程时，您需要将其转化为一组一阶微分方程。
例如，对于二阶线性微分方程，您可以引入一个新的变量来表示未知函数的导数，然后将其转化为一组一阶微分方程。
然后，您可以使用相同的求解函数来求解这组一阶微分方程。
5. 使用MATLAB求解微分方程组：对于多元微分方程组，MATLAB提供了更多的函数来求解。
例如，ode45s可以用于求解刚体动力学方程，ode23t可以用于求解刚体动力学方程。
matlab求微分方程组的解析解
matlab求微分方程组的解析解（实用版）目录1.引言2.MATLAB 求微分方程组的解析解的方法3.示例：求解一阶微分方程组4.示例：求解二阶微分方程组5.总结正文一、引言微分方程组在数学建模和实际问题中有着广泛的应用，求解微分方程组对于理解问题的内在机制和预测未来发展趋势具有重要意义。
在众多数学软件中，MATLAB 凭借其强大的数值计算和图形绘制功能，成为求解微分方程组的常用工具。
本文将介绍如何使用 MATLAB 求解微分方程组的解析解。
二、MATLAB 求微分方程组的解析解的方法MATLAB 求解微分方程组的解析解主要依赖于符号计算函数和数值计算函数。
其中，符号计算函数主要用于求解微分方程组的解析解，数值计算函数则用于求解微分方程组的数值解。
在使用这些函数时，需要确保符号计算和数值计算的顺序，以避免计算错误。
三、示例：求解一阶微分方程组考虑如下一阶微分方程组：```dy/dx = x + ydz/dx = x - z```我们可以使用 MATLAB 的符号计算函数`symfun`和`symvar`来求解该方程组。
首先，定义符号变量 x、y、z 和 p（表示参数），然后使用`symfun`函数创建微分方程组的符号表达式。
接着，利用`symvar`函数求解微分方程组，并将结果转换为数值形式。
最后，使用`plot`函数绘制解的图形。
四、示例：求解二阶微分方程组考虑如下二阶微分方程组：```x"" + 3x" + 2x = 0y"" + 3y" + 2y = 0```我们可以使用 MATLAB 的符号计算函数`symfun`和`symvar`来求解该方程组。
首先，定义符号变量 x、y 和 p（表示参数），然后使用`symfun`函数创建微分方程组的符号表达式。
接着，利用`symvar`函数求解微分方程组，并将结果转换为数值形式。
最后，使用`plot`函数绘制解的图形。
matlab求微分方程组的解析解
MATLAB求微分方程组的解析解引言在科学与工程领域，微分方程组是一种常见的数学模型，用于描述各种物理现象和工程问题。
解析解是指能够用公式表达出来的精确解。
本文将介绍如何使用M ATL A B求解微分方程组的解析解。
1.方程组的建立首先，我们需要确定待求解的微分方程组。
假设我们有一个由n个微分方程组成的方程组，可以写为如下形式：d y1/dt=f1(t,y1,y2,...,yn)d y2/dt=f2(t,y1,y2,...,yn)......d y n/dt=f n(t,y1,y2,...,yn)其中`t`是自变量，`y1,y2,...,y n`是因变量，`f1,f2,...,fn`是给定的函数关系。
我们的目标是求解`y1(t),y2(t),...,yn(t)`的解析解。
2.使用MAT LAB求解M A TL AB提供了强大的求解微分方程组的工具，我们可以使用其中的函数来求解上述方程组的解析解。
首先，我们需要在MA T LA B中定义方程组的函数形式。
可以通过定义一个函数或者使用匿名函数来实现。
例如，我们可以定义一个名为`m yE qu at io ns`的函数，其输入参数为`t`和一个向量`y`，输出为一个向量`d y`，代表方程组的左侧和右侧的变量分别。
函数示例如下：f u nc ti on dy=m yE qua t io ns(t,y)%定义方程组d y=z er os(n,1);d y(1)=f1(t,y(1),y(2),...,y(n));d y(2)=f2(t,y(1),y(2),...,y(n));......d y(n)=fn(t,y(1),y(2),...,y(n));e n d然后，我们可以使用M AT LA B的`d so lv e`函数来求解微分方程组的解析解。
示例如下：s y ms ty1(t)y2(t)...yn(t)a s su me(t,'re al')a s su me(y1(t),'rea l')a s su me(y2(t),'rea l')......a s su me(y n(t),'rea l')e q n1=d if f(y1(t),t)==f1(t,y1(t),y2(t),...,y n(t));e q n2=d if f(y2(t),t)==f2(t,y1(t),y2(t),...,y n(t));......e q nn=d if f(yn(t),t)==fn(t,y1(t),y2(t),...,y n(t));e q ns=[eq n1,e qn2,...,eq nn];S=ds ol ve(e qn s);`S`即为方程组的解析解集合。
Matlab解微分方程(ODE+PDE)
常微分方程：1 ODE解算器简介(ode**)2 微分方程转换3 刚性/非刚性问题(Stiff/Nonstiff)4 隐式微分方程(IDE)5 微分代数方程(DAE)6 延迟微分方程(DDE)7 边值问题(BVP) 偏微分方程(PDEs)Matlab解法偏微分方程：1 一般偏微分方程组(PDEs)的命令行求解2 特殊偏微分方程(PDEs)的PDEtool求解3 陆君安《偏微分方程的MATLAB解法先来认识下常微分方程(ODE)初值问题解算器(solver)[T,Y,TE,YE,IE] = odesolver(odefun,tspan,y0,options)sxint = deval(sol,xint)Matlab中提供了以下解算器：输入参数：odefun：微分方程的Matlab语言描述函数，必须是函数句柄或者字符串，必须写成Matlab规范格式(也就是一阶显示微分方程组)，这个具体在后面讲解tspan=[t0 tf]或者[t0,t1,…tf]：微分变量的范围，两者都是根据t0和tf的值自动选择步长，只是前者返回所有计算点的微分值，而后者只返回指定的点的微分值，一定要注意对于后者tspan必须严格单调，还有就是两者数据存储时使用的内存不同(明显前者多)，其它没有任何本质的区别y0=[y(0),y’(0),y’’(0)…]：微分方程初值，依次输入所有状态变量的初值，什么是状态变量在后面有介绍options：微分优化参数，是一个结构体，使用odeset可以设置具体参数，详细内容查看帮助输出参数：T：时间列向量，也就是ode**计算微分方程的值的点Y：二维数组，第i列表示第i个状态变量的值，行数与T一致在求解ODE时，我们还会用到deval()函数，deval的作用就是通过结构体solution计算t 对应x值，和polyval之类的很相似！参数格式如下：sol：就是上次调用ode**函数得道的结构体解xint：需要计算的点，可以是标量或者向量，但是必须在tspan范围内该函数的好处就是如果我想知道t=t0时的y值，不需要重新使用ode计算，而直接使用上次计算的得道solution就可以[教程] 微分方程转换为一阶显示微分方程组方法好，上面我们把Matlab中的常微分方程(ODE)的解算器讲解的差不多了，下面我们就具体开始介绍如何使用上面的知识吧！现实总是残酷的，要得到就必须先付出，不可能所有的ODE一拿来就可以直接使用，因此，在使用ODE解算器之前，我们需要做的第一步，也是最重要的一步，借助状态变量将微分方程组化成Matlab可接受的标准形式(一阶显示常微分方程)！如果ODEs由一个或多个高阶微分方程给出，则我们应先将其变换成一阶显式常微分方程组！下面我们以两个高阶微分方程构成的ODEs为例介绍如何将之变换成一个一阶显式常微分方程组。
实验五__用matlab求解常微分方程
实验五 用matlab 求解常微分方程1．微分方程的概念未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。
如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。
常微分方程的一般形式为0),,",',,()(=n y y y y t F如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。
联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。
微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。
若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为)()(')()(1)1(1)(t b y t a y t a y t a y n n n n =++++--若上式中的系数ni t a i ,,2,1),( =均与t 无关，称之为常系数。
2．常微分方程的解析解有些微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1+=y dt dy可化为dt y dy=+1,两边积分可得通解为1-=tce y .其中c 为任意常数.有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解.线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。
高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。
一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n 阶方程),,",',()1()(-=n n y y y t f y设)1(21,,',-===n n y y y y y y ，可将上式化为一阶方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====-),,,,(''''2113221n n nn y y y t f y yy y y y y反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。
matlab求解微分方程特解
一、概述微分方程是描述自然现象和工程问题的数学工具，其中特解是微分方程的解的一种。
而MATLAB是一种高级技术计算语言和交互式环境，被广泛应用于工程、科学和其他领域。
在MATLAB中求解微分方程特解是非常常见的问题，本文将介绍如何使用MATLAB求解微分方程特解。
二、微分方程特解的概念微分方程的一般形式可表示为：dy/dx = f(x, y)其中y是未知函数，x是自变量，f是已知函数。
微分方程的特解是指满足特定初值条件的解，通常表示为y(x0) = y0，其中x0和y0是已知的初值。
三、MATLAB求解微分方程特解的基本步骤1. 定义微分方程在MATLAB中，首先需要定义微分方程的函数形式。
假设我们要求解的微分方程为dy/dx = x + y，则在MATLAB中可以定义函数形式为：function dydx = myfun(x, y)dydx = x + y;2. 定义初值条件接下来需要定义初值条件，即给定的初始条件。
假设初值条件为y(0)= 1，则在MATLAB中可以定义为：x0 = 0;y0 = 1;3. 求解微分方程通过调用MATLAB中的内置函数ode45，可以求解微分方程的特解。
具体的求解过程为：[t, y] = ode45(myfun, [x0, xf], y0);其中myfun表示微分方程的函数形式，[x0, xf]表示求解的自变量范围，y0表示初值条件，t和y分别为求解得到的自变量和特解。
四、示例下面通过一个具体的示例来演示如何使用MATLAB求解微分方程特解。
假设我们要求解的微分方程为dy/dx = x^2 + y，初值条件为y(0) = 1，求解范围为x从0到5。
在MATLAB中定义微分方程的函数形式为：function dydx = myfun(x, y)dydx = x^2 + y;然后定义初值条件为：x0 = 0;y0 = 1;最后调用ode45函数求解微分方程特解：[t, y] = ode45(myfun, [x0, 5], y0);求解得到的自变量和特解分别存储在t和y中，可以通过绘图或其他方式对特解进行进一步分析。
matlab 求解微分方程
matlab 求解微分方程摘要：1.Matlab 简介2.微分方程基本概念3.Matlab 求解微分方程的方法4.常见微分方程求解实例5.总结正文：一、Matlab 简介Matlab 是一种广泛应用于科学计算、数据分析和可视化的编程语言。
它具有丰富的函数库和强大的矩阵计算能力，使得用户可以方便地完成各种复杂的数学运算和分析任务。
在微分方程求解领域，Matlab 同样具有很高的应用价值。
二、微分方程基本概念微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了自然界和社会现象中许多变化规律。
微分方程可以分为偏微分方程和常微分方程两大类。
求解微分方程是数学和工程领域中的一个重要课题，关乎许多实际问题的解决。
三、Matlab 求解微分方程的方法Matlab 求解微分方程主要依赖于其内置的符号计算函数和数值计算函数。
用户可以根据微分方程的性质选择适当的求解方法，如符号解法、数值解法等。
Matlab 提供了丰富的函数和工具箱来支持微分方程的求解，如ode45、ode23 等。
四、常见微分方程求解实例1.常微分方程：例如一阶常微分方程y" + p(x)y = q(x)，Matlab 可以通过ode45 函数求解。
2.偏微分方程：例如二维热传导方程，Matlab 可以通过pdepeye 函数求解。
3.线性微分方程组：例如常系数线性微分方程组，Matlab 可以通过ode45 等函数求解。
4.非线性微分方程：例如Riccati 方程，Matlab 可以通过ode45 等函数求解。
五、总结Matlab 作为一种强大的科学计算工具，可以帮助用户方便地求解各种微分方程。
matlab算法-求解微分方程数值解和解析解
MATLAB是一种用于数学计算、工程和科学应用程序开发的高级技术计算语言和交互式环境。
它被广泛应用于各种领域，尤其在工程和科学领域中被用于解决复杂的数学问题。
微分方程是许多工程和科学问题的基本数学描述，求解微分方程的数值解和解析解是MATLAB算法的一个重要应用。
1. 求解微分方程数值解在MATLAB中，可以使用各种数值方法来求解微分方程的数值解。
其中，常见的方法包括欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
这些数值方法可以通过编写MATLAB脚本来实现，从而得到微分方程的近似数值解。
以常微分方程为例，可以使用ode45函数来求解微分方程的数值解。
该函数是MATLAB中用于求解常微分方程初值问题的快速、鲁棒的数值方法，可以有效地得到微分方程的数值解。
2. 求解微分方程解析解除了求解微分方程的数值解外，MATLAB还可以用于求解微分方程的解析解。
对于一些特定类型的微分方程，可以使用符号计算工具箱中的函数来求解微分方程的解析解。
通过符号计算工具箱，可以对微分方程进行符号化处理，从而得到微分方程的解析解。
这对于研究微分方程的性质和特点非常有帮助，也有助于理论分析和验证数值解的准确性。
3. MATLAB算法应用举例在实际工程和科学应用中，MATLAB算法求解微分方程问题非常常见。
在控制系统设计中，经常需要对系统的动态特性进行分析和设计，这通常涉及到微分方程的建模和求解。
通过MATLAB算法，可以对系统的微分方程进行数值求解，从而得到系统的响应曲线和动态特性。
另外，在物理学、生物学、经济学等领域的建模和仿真中，也经常需要用到MATLAB算法来求解微分方程问题。
4. MATLAB算法优势相比于其他数学软件和编程语言，MATLAB在求解微分方程问题上具有明显的优势。
MATLAB提供了丰富的数值方法和工具，能够方便地对各种微分方程进行数值求解。
MATLAB具有直观的交互式界面和强大的绘图功能，能够直观地展示微分方程的数值解和解析解，有利于分析和理解问题。
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第五讲 Matlab求解微分方程教学目的：学会用MATLAB求简单微分方程的解析解、数值解，加深对微分方程概念和应用的理解；针对一些具体的问题，如追击问题，掌握利用软件求解微分方程的过程；了解微分方程模型解决问题思维方法及技巧；体会微分方程建摸的艺术性．教学重点：利用机理分析建模微分方程模型，掌握追击问题的建模方法，掌握利用MATLAB求解数值解．教学难点：利用机理分析建模微分方程模型，通过举例，结合图形以及与恰当的假设突破教学难点．1微分方程相关函数（命令）及简介因为没有一种算法可以有效地解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器Solver，对于不同的ODE 问题，采用不同的Solver．阶常微分方程(组)的初值问题的解的 Matlab 的常用程序，其中：ode23 采用龙格-库塔2 阶算法，用3 阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度．ode45 则采用龙格-库塔4 阶算法，用5 阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度．2 求解微分方程的一些例子几个可以直接用 Matlab 求微分方程精确解的例子：例1：求解微分方程22x xe xy dxdy-=+，并加以验证． 求解本问题的Matlab 程序为：syms x y %line1 y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') %line2 diff(y,x)+2 *x*y-x*exp(-x^2) %line3 simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)) %line4说明：(1) 行line1是用命令定义x,y 为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；(2) 行line2是用命令求出的微分方程的解：1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1(3) 行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，但这里给出：-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1)(4) 行line4 用 simplify() 函数对上式进行化简，结果为 0， 表明)(x y y =的确是微分方程的解．例2：求微分方程0'=-+x e y xy 在初始条件e y 2)1(=下的特解，并画出解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为： syms x yy=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x') ezplot(y)微分方程的特解为：y=1/x*exp(x)+1/x* exp (1) (Matlab 格式)，即xe e y x+=，此函数的图形如图 1：图1 y 关于x 的函数图象用ode23、ode45等求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的数值解(近似解)．例３：求解微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1)0(2222y xx y dx dy 的数值解，求解范围为区间[0, ]．fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y'); [x,y]=ode23(fun,[0,],1); x'; y'; plot(x,y,'o-') >> x' ans =>> y' ans =图形结果为图 2．图2 y 关于x 的函数图像3 常微分在实际中的应用 导弹追踪问题1、符号说明，w ，乙舰的速率恒为v 0；设时刻t 乙舰的坐标为((),())X t Y t ，导弹的坐标为((),())x t y t ；当零时刻，((0),(0))(1,0)X Y =，((0),(0))(0,0)x y =．建立微分方程模型．202,01(0)0,'(0)0v d yk x dx w y y ⎧⎪⎪= =<<⎨⎪⎪==⎩由微分方程模型解得11(1)(1)11(),12(1)2(1)2(1)2(1)k k x x y x k k k k k +-+--=-+-≠+-+-++代入题设的数据1/5k =，得到导弹的运行轨迹为4655555(1)(1)81224y x x =--+-+当1=x 时245=y ，即当乙舰航行到点)245,1(处时被导弹击中. 被击中时间为:0245v v y t ==. 若v 0=1, 则在t =处被击中. 利用MALAB 作图如图３．clear, x=0::1; y=-5*(1-x).^(4/5)/8+5*(1-x).^(6/5)/12+5/24; plot(x,y,'*')图３导弹运行轨迹（解析法） 图４两种方法对比的导弹运行轨迹2、数值方法求解．设导弹速率恒为w ，则得到参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+-=--+-=)()()()()()(2222y Y y Y x X wdt dy x X y Y x X w dt dx因乙舰以速度0v 沿直线1x =运动，设01v =，5,1,w X Y t ===，因此导弹运动轨迹的参数方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--+-=--+-=0)0(,0)0()()()1(5)1()()1(52222y x y t y t x dtdyx y t x dt dxMATLAB 求解数值解程序如下，结果见图４ t0=0,tf=;[t,y]=ode45('eq2',[t0 tf],[0 0]); X=1;Y=0::;plot(X,Y,'-')plot(y(:,1),y(:,2),'*'),hold onx=0::1; y=-5*(1-x).^(4/5)/8+5*(1-x).^(6/5)/12+5/24; plot(x,y,'r')很明显数值计算的方法比较简单而且适用． 蚂蚁追击问题（1）建立平面直角坐标系．以正多边形的中心为原点, 设正多边形的一个顶点为起始点, 连接此点和原点作x 轴. 根据x 轴作出相应的y 轴; 选取足够小的进行采样．（2）在每一时刻t ，计算每只蚂蚁在下一时刻t t +∆时的坐标．不妨设甲追逐对象是乙，在时间t 时，甲的坐标为A 11(,)x y ，乙的坐标为B 22(,)x y ．甲在t t +∆时在'A 点(如图1), 其坐标为11(cos ,sin )x v t y v t θθ+∆+∆，其中2221212121cos ,sin ,()()x x y yd x x y y d dθθ--===-+-. 同理，依次计算下一只蚂蚁在t t +∆时的坐标．通过间隔进行采样，得到新一轮各个蚂蚁在一个新的正多边形位置坐标．（4）重复2）步，直到d 充分小为止．（5）连接每只蚂蚁在各时刻的位置，就得到所求的轨迹．用MALAB 求解并作图，函数zhuJi(x,y)在附录一定义，如图６ t=[1:8]; s=7*exp(t.*2*pi/length(t)*i); x=real(s); y=imag(s);zhuJi(x,y)图6 当蚂蚁为7只时的图形习题1. 求微分方程0sin 2')1(2=-+-x xy y x 的通解．2. 求微分方程x e y y y x sin 5'2''=+-的通解．3. 求微分方程组'A 11,(,)A x y 22,(,)B x y dθ图1 在采样时间内，相连蚂蚁追击⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++00y x dtdy y x dtdx在初始条件0|,1|00====t t y x 下的特解，并画出解函数()y f x =的图形．4. 分别用 ode23、ode45 求上述第 3 题中的微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,2]t ∈．利用画图来比较两种求解器之间的差异．4 参考文献:[1] Mastering Matlab 6, D. Hanselman, B. Littlefield, 清华大学出版,2002[2] 赵静等编．数学建模与数学实验（第3版）．北京：高等教育出版社．2008. [3] 姜启源编. 数学模型（第二版）．北京：高等教育出版社.1993.[4] 石勇国. 蚂蚁追击问题与等角螺线. 宜宾学院学报. 2008，(6): 23-25. [5] 张伟年，杜正东，徐冰．常微分方程．北京：高等教育出版社．2006．5 附录附录一:zhuji(x,y)的M 文件 function zhuji(x,y) clf v=1; dt=;x(length(x)+1)=x(1);y(length(y)+1)=y(1); plot(x,y,'*') holdfor it=1:1000for i=1:length(x)-1d=sqrt((x(i)-x(i+1))^2+(y(i)-y(i+1))^2); x(i)=x(i)+v*dt*(x(i+1)-x(i))/d; y(i)=y(i)+v*dt*(y(i+1)-y(i))/d; endplot(x,y,'.') hold onx(length(x))=x(1); y(length(y))=y(1); end。