二次函数上下左右平移结合

向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
10
y
8
y=x2+1
6
4
y y=-x2+3
2
4 y=x2
2
-1 0
-5
O
5x
观察图象,回答问题
y 3x2
y3x12
函数y=3(x-1)2的图 象与y=3x2的图象 的形状相同吗?
相同
函数y=3(x-1)2的图象与 y=3x2的图象的位置有什么
关系?
函数y=3(x-1)2 的图象可由 y=3x2的图象沿x轴向右平
移1个单位长度得到.
观察图象,回答问题
(1) 函 数 y=3(x-1)2 的 图象与y=3x2的图象的
x=0时,y最大=0
x ….. -2 y=x2 …… 4
y=x2+1 …… 5
函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到.
相同
-10
-5
-1 0 10
21 y 8
12 14
25
y=x2+1
…… ……
6
函数y=x2+1的图象与y=x2的
图象的位置有什么关系?
4
函数y=x2+1的图
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
yaxh2
抛物线 顶点坐标
y=a(x-h)2 (a>0) （h，0）
y=a(x-h)2 (a<0) （h，0）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置 在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
a＞0 向上 Y轴 a＜0 向下 Y轴
a＞0 向上 Y轴
y=ax2+c
a＜0 向下 Y轴
（0，0） （0,0）
最小值 是0
最大值 是0
Y随x的增 大而减小
Y随x的增 大而增大
（0,c）
最小值 Y随x的增 是C 大而减小
（0,c）
最大值 是C
Y随x的增 大而增大
Y随x的增 大而增大
Y随x的增 大而减小
侧(x>- )，函数值y随x的增大而增大 。
2a
a<0时，对称轴左侧(x<-2a)，函 数值y随x的增大而增大 ；对称轴右
侧(x>- )，函数值y随x的增大而减小 。
2a
（2）
a>0时，ymin=
4ac-b2 4a
a<0时， ymax=4ac-b2
4a
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例1. 填空题
（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 口向上 ，对称轴是直线x= -5，当x= -5 是0 .
图象的位置有什么关系?
4
y=x2
函数y=x2+1的图
2
象与y=x2的图象
的形状相同吗?
O
5
x 10
y=x2-2
-2
函数y=-x2+3的图
象可由y=-x2的图
象沿y轴向上平移
3个单位长度得到.
-1 0
-5
4
y y=-x2+3
2
O
5x
10
函数y=-x2-2的图
-2 y=-x2
象可由y=-x2的图
-4
象沿y轴向下平移
顶点是(－1,0);对称
的增大而减小.当x=1时,函数
轴是直线:x=－1.
y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是
(x=－1)的左侧,当x<－1时, y 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1
随着x的增大而增大;在对称 轴(x=－1)右侧,当x>－1时, y 随着x的增大而减小.当 x=－1时,函数y的值最大(是
右侧,y随着x增大而减小; h>0时,向右移 h 个单
当x=h时,函数y的值最 位;当h<0时,向左移 h
大(是0).
个单位)得到的.
2.当a>0时,抛 物线y=a(x-h)2 在x轴的上方 (除顶点外),它 的开口向上,并
且向上无限伸 展; 当a<0时,抛物 线y=a(x-h)2在 x轴的下方(除 顶点外),它的 开口向下,并且 向下无限伸展.
向 下 平移 |c|个单位得到。 上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向上平移 7 个 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
（5）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
6.二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3。若 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐
抛物线，开 时，y有最 小
值，
（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 右 平移 4 个单位得到的；开口 向下 ，对称轴 是直线x=，4 当x= 4 时，y有最 大 值，是 0 .
（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函
数 y=2（x-3）2 的图像，其对称轴是 直线x=3
2个单位长度得到.
-6
图象向上移还是向下移,移多少个-8
y=-x2-2
单位长度,有什么规律吗?
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 c 个单位得到，
当c〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
标为 (-2,5)点D的坐标为 ( 5,7)或 ( 5.,7)
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上
a<0 向下
(0 ,c) y轴
(0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
次函数的图象和性质(
y=ax2 (a≠0) 图 象
开口方向 顶点坐标
对称轴 增 减 性
最值
a>0
y
Ox 向上 (0 ,0)
y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
x=0时,y最小=0
a<0
y
O
x
向下
(0 ,0) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
大而减少？当x>1时,y随的增大而增大, 当x<1 时,y随x 的增大而减小 想一想,在同一坐标系中作二次函
数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
它的增减性会是什么样?
1. 函 数 y=3(x+1)2 的 图 象
与 y=3x2 和 y=3(x-1)2 的 图 y3x12
象有什么关系?它是轴对称
1
-2 y=-x2
-10
-5
y=x -2 2 O
5x
10
-2
-4
-6 y=-x2-2
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口 向上，对称轴 是 y轴，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 c ；
，顶点
是 （3，0）
，当x ＞3 时，y随x的增大而增大；当
x ＜3
时，y随x的增大而减小.
（4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后 得到函数 y= -3（x+1）2 的图像，其顶点坐标 （-1，0） ，
对称轴是 直线x=-1 ，当x= -1 时，y有最 大 值，
是 0.
函数
y 3x2
y3x12
开口方向如何?它是轴
对称图形吗?它的对称
轴和顶点坐标分别是
什么?
图象是轴对称图形
对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
顶点坐标 是点(1,0).
二次项系数相同 a>0,开口都向上.
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大
而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增
图象特点和函数性质
图 2 6 .2 .4
返 回
(1)是一条抛物线；
(2)对称轴是:x=- 2a
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(3)顶点坐标是:(-
2a ,
) 4ac-b2 4a
(4)开口方向:
a>0时,开口向上；
a<0时,开口向下.
前进
图 2 6 .2 .4
(二) 函数性质：
（数值1）y随a>x0的时增，大对而称减轴小左；侧对(x<称-2轴a)，右函
当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 c 。
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。
开口方向
对称 轴
顶点 坐标
Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小
比较函数y 3x2 与y= 3(x- 1)2 的图象
⑴完成下表 ,观察两个函数值之间有怎样的关系?
x
y 3x2
-3 -2 -1 0 27 12 3 0
1 2 34 3 12 27 48
y3x12 48 27 12 3 0 3 12 27
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
yaxh2
增大而减小;在对称轴
(x=h)右侧,y随着x的增
大而增大;当x=h时函数 二次函数y=a(x-h)2
y的值最小(是0).
与y=ax2的图象形状
当a<0时,在对称轴(x=h) 相同,可以看作是抛
的左侧,y随着x的增大而 物线y=ax2整体沿x轴
增大;在对称轴(x=h)的 平移了h 个单位(当
象与y=x2的图象
2
y=x2
的形状相同吗?
O
5
x 10
-2
x ….. -2 y=x2 …… 4
y=x2-2 …… 2
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到.
相同
-10
-5
-1 0 10
-1 -2
y
8
1 2 …… 14
-1 2 ……
6
函数y=x2-2的图象与y=x2的
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
1.二次函数y=ax2+c的图象是什么？答：是抛物线 2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：
函数
开口方向
对称 轴
顶 点坐 标
Y的 最值
增减性
在对称 在对称轴 轴右侧
左侧
y=ax2
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最大值为0.
开口大小 a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
1、一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的
图形吗?它的对称轴和顶点
坐标分别是什么?
y 3x2
y3x12
二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向左平移了1 个单位.
图象是轴对称图形. 对称轴是平行于 y轴的直线:x=－1.
顶点坐标 是点(－1,0).
二次项系数相同 a>0,开口都向上.
想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?
当x<-1 时,y随 的增大而减小,当 x>-1时,y 随 的增大而增大
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
2.抛物线y=-3(x-
y
1)2和y=-3(x+1)2在x
轴的下方(除顶点外),
它的开口向下,并且 y3x12
个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平 移了1个单位.
0).
1.抛物线y=a(x- 二次函数y=a(x-h)2的性质
h)2的顶点是(h,0),
X=h
X=h
对称轴是平行于y
y ax2
轴的直线x=h.
4. a 越大,开口越小,
a 越小,开口越大.
3.当a>0时,在对称轴 (x=h)的左侧,y随着x的
向下无限伸展.
y3x12
1.抛物线y=-3(x-
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称
1)2的顶点是(1,0);对
轴(x=1)的左侧,当x<1时, y随 着x的增大而增大;在对称轴
y 3x2
称轴是直线:x=1;抛 物线y=-3(x+1)2的
(x=1)右侧,当x>1时, y随着x
X=-1 X=1