函数单调性和凹凸性

1
3
y
3
x
2
, y
2 9x
3
x
2
, x 0 时,
y 不存在.
x 0 时, y 0, 曲线 在 ( , 0)内是下凸的. x 0 时, y 0, 曲线 在 (0,)内时是上凸的. 所以,曲线 y 3 x 的拐点是 (0,0).
确定曲线的凸向区间及拐点的方法和步骤： 1. 求出 2. 找 使
f ( x ), f ( x );
f ( x ) 0 的点及 f ( x ) 不存在的点;
3. 以2中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,列表讨论.
10
例3. 求曲线 y ( x 1)3 x 2 的拐点及凸向区间. 解 定义域为: ( ,
2 3
)
1 3 1 3 4 3
4
例2.确定函数
f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 3 的单调区间.
解 (1).定义域 , (2).
令 f ( x )
2 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2) f ( x)
0
, 得 x1 1, x2 2
5 2 10 2 2 5x 1 y x x , y x x 3 4 3 3 9 9 9 x 令 y 0 得 x1 1 / 5, 当 x2 0 时, y 不存在.
列表：
x
y y
( ,1 / 5 )
1/ 5
( 1 / 5,0)
y
y x3
y 6 x x 0 时, y 0, 曲线 在 ( , 0)内是上凸的. x 0 时, y 0, 曲线 在 (0,)内时是下凸的.
如例1中,点 (0,0) 是曲线
0
x
定义 曲线上上凸弧与下凸弧的分界点,称为拐点.
yx
3
的拐点.
注意
1.若点 ( x0 , f ( x0 )) 是拐点,则
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1, x2 ) x2 x1 0 f ( ) 0 f ( x2 ) f ( x1 ) 0,
即
f ( x1 ) f ( x2 ), 所以 f ( x ) 在 a, b 上单增.
图形上凸
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直观观察
y
y
o
x
o
x
曲线下凸
曲线上凸
f ( x )递增
f ( x )递减
f ( x ) 0
f ( x ) 0
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定理3.3.2 设函数 f ( x )在 [a , b]上连续,在 ( a , b) 内具有二阶导数,
(1)若在 ( a , b )内 下凸的； (2)若在 ( a , b )内
f ( x ) 0 ，则 f ( x ) 在 [a, b]上曲线是 f ( x ) 0，则 f ( x ) 在 [a, b]上曲线是
上凸的。
问题：确定函数在那些区间上图形上凸的，那些区间上图 形是下凸的，即求函数的凸向区间。
8
例1.判断曲线
解 y 3 x 2
yx
3
的凸向
说明 若 f ( x )在某区间内有限个点处为零, 在其余点处恒为正(或负), 则函数
f ( x ) 在该区间上仍是单增(或单减)的.
2
例1. 判定函数 y
x sin x 在 [0,2 ]上的单调性.
解 在 (0, 2 ) 内
y 1 cos x 0 y x sin x 在 [0,2 ] 上单增.
f ( x0 ) 0.或 f ( x0 )不存在
但点 (0,0) 不是拐点.
2.由 f ( x0 ) 0. 或不存在 所确定的点 ( x0 , f ( x0 )) 未必是拐点. 如 f ( x)
x 4 , f (0) 0,
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例2. 求曲线 解
y 3 x 的拐点.
o
a x1 x2 x3
x4
x5 b x
确定函数单调区间的方法和步骤: 的定义域; (1). 确定函数 y f ( x ) (2). 求
f ( x ),找使 f ( x ) 0 的点(驻点),及使 f ( x ) 不存在的点;
(3). 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。
第三节 函数的单调性与凸性的判别法
一、函数单调性 y
y
f ( x ) 0
y f x
f ( x ) 0
y f x
增


x2
0 a
x1
b
x

0
a
b
x
y
减
y f x
y
f ( x ) 0
0
a
y f x
f ( x ) 0
b

x 0
a

b
x
1
定理3.3.1 (函数单调性的判定法) 设函数 y=f(x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导. (1).若在 ( a, b) 内 f ( x ) 0 , 则 f ( x) 在 [a, b] 上 单调 增加. (2).若在 ( a, b) 内 f ( x) 0 , 则 f ( x) 在[a, b] 上 单调 减少. 证 (1). 设 x1 , x2 (a, b), ( x1 x2 ) , 应用拉格朗日中值定理
0
不存在 无拐 点
(0, )


0
有拐点




综上，曲线在 ( ,1 / 5 ) 为上凸的 1 6 是拐点. 点 , 3 5 5 25
在 (-1/5, ) 上为下凸的.
11
Байду номын сангаас
一个函数并不一定在其整个定义域内都是单调增加或 单调减少,而往往是在定义域内的某一部分区间上单增, 在另一部分区间上单减, 函数
f ( x )的单增区间,单减区间统称为单调区间.
3
y
y f ( x)
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) 0 f ( x4 ) 不存在, f ( x5 ) 0
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
f(
x1 , x2 I
f(
y
x1 x2 ) 2
x x
1
2
2
)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2

o
x1
x2
x
o x1
x2
x
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
图形下凸
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
(3).以 x1 1, x2 2 为分界点,将定义域分割,列表:
x
f ( x ) f(x)
( ,1 )

增
( 1 ,2 )
减
( 2 , )

增
函数 f ( x ) 的单增区间为:
( ,1] , (2, ). 单减区间为: (1,2]
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二、函数凸性的判别法 定义3.3.1 (函数的凸性) 若对任意 设 f ( x ) 在区间I上连续， y