电磁场试题B及答案

2010-2011 学年第 1 学期末考试试题（B 卷）
电磁场与电磁波
使用班级： 08050641X-3X
一、简答题（30分，每题10分）
1写出电流连续性方程，并说明其意义。

()()t
t r t r J ∂∂-=⋅∇,,ρ (5分) 电荷守恒定理（5分）
2 根据自己的理解，解释镜像法的基本原理。

用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，在保持边界条件不变的情况下，将边界面移去，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。

3 写出麦克斯韦方程组，并说明每个方程的意义。

（6分）
麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场 麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线 麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场（4分）
二、计算题（每题10分，共40分）
1 求标量场3
2yz xy u +=在点()1,1,2-M 处的梯度，以及在矢量z y x e e e l -+=22方向的方向导数。

()
22232yz e z xy e y e z u e y u e x u e u z y x z y x +++=∂∂+∂∂+∂∂=∇（2分） 在点M 处的梯度为
z y x e e e u 33--=∇（2分）
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇ρD B t B E t D
J H 0
矢量z y x e e e l -+=22的单位矢量为 z y x l e e e e 3
13232-+=（2分） 因此，u 在l 方向的方向导数为
3
1-=⋅=∂∂l M e gradu l u
（4分）
2 在直角坐标系下证明矢量恒等式()0=∇⨯∇ϕ。

3 电荷按体密度()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2201a r r ρρ分布于一个半径为a 的球形区域内，其中0ρ为常数。

试计算球内外的电场强度。

解：电场明显具有球面对称性， 0D 沿半径方向且大小只是r 的函数。

球的电荷总量为
（2分） 当 a r ≥时，以球心到场点的距离为半径作一球面（高斯面），应用 高斯定律的积分形式，得
（3分） 当 a r ≤ 时，应用高斯定律得
()300242020158d 4d 4a r a r r r r Q a
a ρππρπρ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰Q
S D s
=⋅⎰ d 023
002215
84a D r ρππ=23
002152r
a D ρ=r a r r S D r s d 4d 0242001⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⋅πρ ⎪⎪⎫ ⎛-=553001244r r D r πρπ2
03002152r a E ερ=
（5分）
4 题目同题3，求球内外的电场能量。

0252020202020220158d 421d 21d 21επρπεεεa r r D V D V E W a a a e ====⎰⎰⎰∞∞∞
（5分）
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+====⎰⎰⎰1052225632d 421d 21d 213702020201002010200a a a r r D V D V E W a a a
e επρπεεε（5分）
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=3300153a r r D ρ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=33000153a r r E ερ
三、计算题（30分）
求无限长同轴线单位长度内的磁场能量，如图所示。

解：由安培环路定理，得
（10分）
三个区域单位长度内的磁场能量分别为
2222202π2π2π0rI e r a a I e a r b H r I c r e b r c r c b r c
⎧<<⎪⎪⎪<<⎪=⎨⎪-⎪<<-⎪⎪>⎩φ
φ
φ22220m322()()2πd 22πc b I c r W r r r c b -=-⎰μ200m120()2πd 22π16πa I rI W r r a =
=⎰μμ2200m2()2d ln 22π4πb a I I b W r r r a ==⎰μμπ242203I c c c b μ⎡
⎤-
（15分）
单位长度内总的磁场能量为
（5分） m m1m2m3
222
422000222223ln ln 16π4π
4π()4()W W W W I I I b c c c b a c b b c b μμμ=++⎡⎤-=++-⎢⎥--⎣⎦。