2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)
2020年陕西省榆林市高三一模数学试题
数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{lg(32)}A x y x ==-,2{4}B x x =≤, 则A B =U （ ）A. 3{2}2x x -≤<B. {2}<x xC. 3{2}2x x -<< D. {2}≤x x 2．若ii 12ia t +=+（i 为虚数单位，,a t R ∈），则t a +等于（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2==+∈αααππα2tan ,35cos 12sin 12),2,4(.3则（ ）724.A 724.-B 724.±C247.-D 4.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表 广告费用x （百元） 123 4 销售额y （万元）0.1 1.8m4根据上表可得回归方程13.1-=x y )，则m=A.2.9B.3.0C.3.1D.2.85.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）xyoπ2xyoπ2xyoπ2A. 866B. 500C. 300D. 1346．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为（ ）A. 110B. 55C. 50D. 不能确定 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．36+12πB ．36+16πC ．40+12πD ．40+16π8.如图，直线2x +2y ﹣3＝0经过函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）图象的最高点M 和最低点N ，则（）A ．ω＝，φ＝B ．ω＝π，φ＝0C ．ω＝，φ＝﹣D ．ω＝π，φ＝9．已知，设，y=log b c ，，则x ，y ，z 的大小关系正确的是（）A ．z ＞x ＞yB ．z ＞y ＞C ．x ＞y ＞D ．x ＞z ＞y10．函数22sin 33([,0)(0,])1441x y x xππ=∈-+U 的图像大致是（ ） xyoπ2A. B. C. D. 11．已知抛物线2:4C y x =,过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFNS∆=（ ）A. 83B. 833C. 163D. 163312.已知函数f （x ）＝3204610xe x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，＜，－＋，≥，则函数g （x ）＝2[f （x ）]2－3f （x ）－2的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．已知向量 =（3，﹣1）， =（2，1），则 在 方向上的投影为________． 14．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2bsin2A=3asinB ，且c=2b ，则等于15．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）． 问它的体积是多少? ”这个问题的答案是（ ）16．设直线l ：3x+4y+4=0，圆C ：（x ﹣2）2+y 2=r 2（r ＞0），若圆C 上存在两点P ，Q ，直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ=90°，则r 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n （n +1）+2，其中n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若2a ,2+k a ,23+k a （k ∈N *）为等比数列{b n }的前三项，求数列{b n }的通项公式．18．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，E ，F 分别为PD ，BC 的中点． （1）求证：AE ⊥PC ；（2）G 为线段PD 上一点，若FG ∥平面AEC ，求的值．19．（12分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，如有些对象对普查有误解，配合不够主动；参与普查工作的技术人员对全新的操作平台运用还不够熟练等，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如表所示：普查对象类别 顺利 不顺利合计 企事业单位 40 50 个体经营户 50 150 合计（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）补全上述列联表（在答题卡填写），并根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提出一条建议．附：K 2＝P （K 2≥k 0）0.10 0.010 0.001 k 02.7066.63510.82820．已知椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=8y 的焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P （2，3），Q （2，﹣3）在椭圆上，点A 、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ=∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1x ＋a ln x (a ≠0，a ∈R)．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)＜0成立，求实数a 的取值范围． 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋rcos φ，y ＝1＋rsin φ(r>0, φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为)3sin(πθρ-，若直线l 与曲线C 相切． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成△MON ，且满足∠MON ＝π6，求△MON 面积的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()|23||21|f x x x =+--．（Ⅰ）求不等式()2f x <的解集；（Ⅱ）若存在x R ∈，使得()|32|f x a >-成立，求实数a 的取值范围．文科数学参考答案及评分标准（二）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、D 【解析】因为3{lg(32)}{320}{}2A x y x x x x x ==-=->=<，{22}B x x =-≤≤． 所以{2}A B x x =≤U ，故答案选D ．2．B.【解析】因为ii i i (12i)=i -2t 12i a t a t t +=⇒+=⋅++，则122t a a t=⎧⇒=-⎨=-⎩．所以 1t a +=-，故答案选B ．3. B4.C1.3,25.2448.11.0,25.2,5.2=∴⨯=+++∴==m m y x 代入回归直线方程得5.【答案】D由题意，大正方形的边长为2，中间小正形的边长为，则所求黄色图形内的图钉数大约为，故选D. 6．B【解析】78111622(6)(7)5a a a d a d a d a -=+-+=+=，1111161111552a a S a +=⨯==．故答案选B ． 7．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算． 【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体， 作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2， ∴几何体的表面积S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选C ．8.【解答】解：因为M ．N 分别是图象的最高点和最低点得M ．N 的纵坐标为1和﹣1，带入直线2x +2y ﹣3＝0得M ．N 横坐标为和， 故M （，1）．N （，﹣1）． 得＝＝2，故T ＝4＝，故ω＝．M 代入f （x ）得1＝sin （φ），故φ＝2k π+，所以φ＝2k π+，k ∈Z ．因为|φ|＜π，所以φ＝，故选：A ． 9.【解答】解：∵，∴=﹣log b a=﹣×=，2a ＞3，a ＞log 23＞1，∈（0，1）．y=log b c ＜0，＞＞=，∴z ＞x ＞y ． 故选：A ．10．A 【解析】因为函数22sin ()11x y f x x ==+可化简为222sin ()1x x f x x =+可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C ；同时有42224sin 2cos 2cos ''()(1)x x x x x xy f x x ++==+ 3222(2sin cos cos )(1)x x x x x x x ++=+，则当(0,)2x π∈ '()0f x >,可知函数在2x π=处附近单调递增，排除答案B 和D ，故答案选A ．11．B 【解析】由题意可得直线:3(1)PQ y x =-与抛物线24y x =联解得：231030x x -+=，所以点(3,3)P ，123(,3Q ，则238323MN ==MNF ∆中，MN边上的高2h =，则1838322MNF S ∆=⨯⨯=，故答案选B ． 方法二:不防设交点P 在x 轴上方,由抛物线焦点弦性质得||||PF PM =,||||QF QN =且1121||||PF QF p +==, ||||||||1||||||||2PM QN PF QF PM QN PF QF --==++，故||4PF =，4||3QF =， 所以114383||(4)2223MNF S MN p ∆=⨯⨯=⨯+⨯⨯=，故答案选B ．12.【答案】B【解析】依题意，当0x ≥时，()()2'1212121f x x x x x =-=-，故当()0,1x ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，且()11f =-，作出函数()f x 的大致图象如下所示；令()()()22320g x f x f x =--=⎡⎤⎣⎦，解得()()122f x f x ==-或，观察可知，函数()g x 共有3个零点，故选B.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13．【答案】【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解： =6﹣1=5，| |= ， ∴ 在 方向上的投影为| |cos＜cos＞=| |===．故答案为： ．14．【解答】解：由2bsin2A=3asinB，利用正弦定理可得：4sinBsinAcosA=3sinAsinB，由于：sinA≠0，sinB≠0，可得：cosA=，又c=2b，可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+4b2﹣2b•2b•=2b2，则=．15.5立方丈将该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥，即1131221315 23V=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，16.【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=r2，圆心为：（2，0），半径为r，∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90，∴只需MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于900即可∵C到直线l：3x+4y+4=0的距离2，则r．个答案为：[，+∞）．三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，S1＝a1＝4，………………（2分）当n≥2时，由题意，得S n＝n（n+1）+2，①S n﹣1＝（n﹣1）n+2，②由①﹣②，得a n＝2n，其中n≥2．………………（5分）所以数列{a n}的通项公式………………（7分）（Ⅱ）由题意，得．………………（9分）即[2（k+2）]2＝4×2（3k+2）．解得k＝0（舍）或k＝2．………………（10分）所以公比．………………（11分）所以．………………（12分）18.【解答】（1）证明：∵AP⊥平面ABCD，∴AP⊥CD，在矩形ABCD中，CD⊥AD，又AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，在△PAD中，E为PD中点，PA=AD，∴AE⊥PD，又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴AE⊥PC（2）解：取AP中点M，连接MF，MG，ME．在△PAD中，M，E分别为PA，PD的中点则ME为△PAD的中位线∴，又，∴ME∥FC，ME=FC，∴四边形MECF为平行四边形，∴MF∥EC，又MF⊄平面AEC，EC⊂平面AEC，∴MF∥平面AEC，又FG∥平面AEC，MF∩FG=F，MF，FG⊂平面MFG，∴平面MFG∥平面AEC，又平面MFG∩平面PAD=MG，平面AEC∩平面PAD=AE，∴MG∥AE，又∵M为AP中点，∴G为PE中点，又E为PD中点，∴，即．19.【解答】解：（1）根据样本是由差异比较明显的几部分组成，所以应用分层抽样法；…2 分（2）根据题意填写列联表如下，普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位40 10 50个体经营户100 50 150合计140 60 200 …5 分将列联表中的数据代入公式计算K2＝≈3.175＞2.706，所以有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”； (10)分（3）（意思相近即可得分）建议：加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作．…12 分20.解：（1）∵椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆C的方程为，a＞b＞0，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点，∴b=2，，∵a2=b2+c2，∴a=4，∴椭圆C的方程为．……………5分（2）当∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜为k，则PB的斜率为﹣k，设A（x1，y1），B（x2，y2），设PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），由，消去y并整理，得：（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k2）﹣48=0，∴，设PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），同理，得=，……………8分∴，，k AB ====，∴AB 的斜率为定值． ……………12分 21．解：(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.( 1分)又f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＜0得0＜x ＜1，由f ′(x )＞0得，x ＞1.所以x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝1，无极大值，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(3分)(2)若在区间(0，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)＜0成立，即f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0.由已知得，f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x 2，且a ≠0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a，(4分)当x ＝1a＜0，即a ＜0时，f ′(x )＜0恒成立，即f (x )在区间(0，e]上单调递减，(5分)故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a ，(6分)由1e ＋a ＜0，得a ＜－1e ，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e .(7分) 当x ＝1a＞0，即a ＞0时，①若e ≤1a，则f ′(x )≤0对x ∈(0，e]恒成立，所以f (x )在区间(0，e]上单调递减，(8分)故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a ＞0，显然，f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0不成立．(9分)②若0＜1a ＜e ，即a ＞1e时，则有x⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a1a⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，ef ′(x ) － 0 ＋f (x )极小值所以f (x )在区间(0，e]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a＝a ＋a ln a，(10分)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ＋a ln 1a＝a (1－ln a )＜0，得1－ln a ＜0，解得a ＞e ，即a ∈(e ，＋∞)．(11分)综上可知，a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪(e ，＋∞)．(12分)22.【解析】(Ⅰ)由题意可知直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋2,曲线C 是圆心为()3，1，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：r ＝||3·3－1＋22＝2；可知曲线C 的方程为()x －32＋()y －12＝4,所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3.(5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)不妨设M(ρ1，θ)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π6，(ρ1>0，ρ2>0)，S △MON ＝12||OM→||ON →sin π6， ＝14ρ1·ρ2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2sin θcos θ＋23cos 2θ＝sin 2θ＋3cos 2θ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋3，当θ＝π12时， S △MON ＝2＋3，所以△MON 面积的最大值为2＋ 3.(10分)23．【解析】（Ⅰ）不等式()2f x <等价于32(23)(21)2x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或3122(23)(21)2x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩ 或12(23)(21)2x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩，解得32x <-或302x -≤<， 所以不等式()2f x <的解集是(,0)-∞；（Ⅱ）()|(23)(21)|4f x x x ≤+--=Q ，max ()4f x ∴=，|32|4a ∴-<，解得实数a 的取值范围是2(,2)3-．。
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设z ＝−3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 设集合A ＝{x|x 2−5x +6>0}，B ＝{x|x 2−1<0}，则A ∩B ＝（ ） A.(−∞, 1] B.(−1, 1) C.(−∞, −1)D.(−∞, −1)∪(3, +∞)3. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）A.45B.50C.55D.604. 若0<m <n ，则下列结论正确的是（ ） A.2m >2n B.0.5m <0.5n C.log 2m >log 2n D.log 0.5m >log 0.5n5. 关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取．则三人中被录取的是（ ） A.甲 B.丙 C.甲与丙 D.甲与乙6. 已知向量m →=(λ+1,1),n →=(λ+2,2)，若(m →+n →)⊥(m →−n →)，则λ＝（ ） A.−4 B.−3 C.−2 D.−17. 已知α∈(0, π)，2sin2α＝cos2α−1，则sinα＝（ ） A.15 B.√55C.−√55D.2√558. 定义函数f(x)={sinx,sinx ≥cosxcosx,sinx <cosx ，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[−1, 1]；（2）当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2(k∈Z)时，f(x)<0．上述命题中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个9. 已知偶函数f(x+π2)，当x∈(−π2,π2)时，f(x)=x13+sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则（）A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b10. 若m>0，n>0，且直线(m+1)x+(n+1)y−2＝0与圆x2+y2−2x−2y+1＝0相切，则m+n的取值范围是（）A.[2+√2, +∞)B.[2+2√2, +∞)C.(0, 2+√2]D.(0, 2+2√2]11. 设F1，F2分别为双曲线C:x2a −y2b=1(a>0, b>0)的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120∘，则该双曲线的离心率为()A.√213B.√193C.23D.7√3312. 定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)＝2f(x)，当x∈[0, 2)时，f(x)={x2−x,x∈[0,1)−(12)|x−32|x∈[1,2)，若当x∈[−4, −2)时，不等式f(x)≥t24−t+12恒成立，则实数t的取值范围是（）A.[2, 3]B.[1, 3]C.[1, 4]D.[2, 4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）曲线C:y＝xlnx在点M(e, e)处的切线方程为________．已知直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120∘，则此球的表面积等于________．如图，抛物线C1:y2＝4x和圆C2：(x−1)2+y2＝1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则AB→⋅CD→的值是________．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =120∘，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a +c 的最小值为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，AM ⊥PD 于点M ，连接BM ．（1）求证：PD ⊥BM ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c ＝2b ＝2，2bcosA +acosC +ccosA ＝0，又点D 满足AD →=13AB →+23AC →．（1）求a 及角A 的大小；（2）求|AD →|的值．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ,2b n+1=12a n +b n ． （1）证明：数列{a n +b n }，{a n −b n }为等比数列；（2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n <103．函数f(x)＝2(x 2−2x)lnx −x 2+4x ．(Ⅰ)求f(x)在x ＝e 处的切线方程（e 为自然对数的底数）；(Ⅱ)设g(x)＝x 3−3x 2+3x +f(x)，若x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1≠x 2，满足g(x 1)+g(x 2)＝8，求证：x 1x 2<1． 设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→+F 2Q →=0，若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l:x −√3y −3=0相切．过定点M(0, 2)的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 1的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P(m, 0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由； (Ⅲ)若实数λ满足MG →=λMH →，求λ的取值范围．以平面直角坐标系原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为{x =2−3ty =−1+2t （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ (Ⅰ) 求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ) 设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|． [不等式选讲]已知函数f(x)＝|x +12|+|x −32|． （1）求不等式f(x)≤3的解集；（2）若关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】求出z的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可．【解答】∵z＝−3+2i，∴z=−3−2i，∴在复平面内z对应的点为(−3, −2)，在第三象限．2.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合A＝{x|x2−5x+6>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x2−1<0}＝{x|−1<x<1}，∴A∩B＝{x|−1<x<1}＝(−1, 1)．3.【答案】B【考点】频率分布直方图【解析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数＝频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P＝(0.005+0.010)×20＝0.3，又∵低于60分的人数是15人，=50．则该班的学生人数是150.34.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系．【解答】∵0<m<n，∴2m<2n，0.5m>0.5n，log2m<log2n，log0.5m>log2n．5.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；其逆否命题为：若乙、丙不都被录取，则甲被录取．假设丙被录取，①③不正确，不符合题意．假设乙被录取，即可得出结论．【解答】①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；其逆否命题为：若乙、丙不都被录取，则甲被录取．由②乙与丙中必有一个未被录取．③或者甲未被录取，或者乙被录取．假设丙被录取，①③不正确，不符合题意．假设乙被录取，则①③都正确，因此甲乙都被录取．则三人中被录取的是甲乙．6.【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】直接利用向量的数量积化简求解即可．【解答】m→+n→=(2λ+3,3),m→−n→=(−1,−1)，∴(2λ+3)×(−1)−3＝0，∴λ＝−3．7.【答案】D【考点】二倍角的三角函数【解析】由已知利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】∵α∈(0, π)，∴sinα>0，∵2sin2α＝cos2α−1，∴4sinαcosα＝−2sin2α，可得2cosα＝−sinα，又∵sin2α+cos2α＝1，∴sin2α+(−1sinα)2＝1，2∴ sinα=2√55．8.【答案】该函数的值域为[−√22, 1]；故（1）错；当且仅当x =2kπ+π2(k ∈Z)或x ＝2kπ(k ∈Z)时，该函数取得最大值；帮（2）错； 该函数是以2π为最小正周期的周期函数；（3）错； A【考点】正弦函数的定义域和值域 三角函数的周期性及其求法分段函数的解析式求法及其图象的作法 【解析】由题意可得：函数 f(x)={sinx,[2kπ+π4,2kπ+5π4]cosx,[2kπ−3π4,2kπ+π4] ，再根据周期函数的定义结合其图象可得函数的周期等性质即可． 【解答】该函数的值域为[−√22, 1]；故（1）错；当且仅当x =2kπ+π2(k ∈Z)或x ＝2kπ(k ∈Z)时，该函数取得最大值；帮（2）错； 该函数是以2π为最小正周期的周期函数；（3）错； 当且仅当2kπ+π<x <2kπ+3π2(k ∈Z)时，f(x)<0，（4）正确．故选：A ．9.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据函数的奇偶性和单调性，进行判断即可． 【解答】∵ 当x ∈(−π2,π2)时，y ＝sinx 单调递增，y =x 13也为增函数， ∴ 函数f(x)=x 13+sinx ，也为增函数．∵函数f(x+π2)为偶函数，∴f(−x+π2)=f(x+π2)，即函数的对称轴为x=π2，即f(x)＝f(π−x)∴f(2)＝f(π−2)，f(3)＝f(π−3)，∵0<π−3<1<π−2<π2，∴f(π−3)<f(1)<f(π−2)，即c<a<b，故选：D．10.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】由圆的方程求出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n＝x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】由圆x2+y2−2x−2y+1＝0，得(x−1)2+(y−1)2＝1，得到圆心坐标为(1, 1)，半径r＝1，∵直线(m+1)x+(n+1)y−2＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d=22=1，整理得：m+n+1＝mn≤(m+n2)2，设m+n＝x(x>0)，则有x+1≤x24，即x2−4x−4≥0，解得：x≥2+2√2，则m+n的取值范围为[2+2√2, +∞)．11.【答案】A【考点】圆与圆锥曲线的综合问题双曲线的离心率余弦定理【解析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设圆与y=bax相交且点M的坐标为(x0, y0)(x0>0)，则N点的坐标为(−x0, −y0)，联立y0=bax0，x02+y02=c2，得M(a, b)，N(−a, −b)， 又A(−a, 0)且∠MAN =120∘， 所以由余弦定理得4c 2=(a +a)2+b 2+b 2−2√(a +a)2+b 2⋅bcos 120∘， 化简得7a 2=3c 2， 求得e =√213．故选A ． 12.【答案】 B【考点】 函数恒成立问题 【解析】根据条件，求出函数f(x)在x ∈[−4, −2)上的最小值，把不等式f(x)≥t 24−t +12恒成立转化为f(x)的最小值大于等于t 24−t +12恒成立，然后求解关于t 的一元二次不等式得答案． 【解答】当x ∈[0, 1)时，f(x)＝x 2−x ∈[−14, 0]；当x ∈[1, 2)时，f(x)=−−(12)|x−32|∈[−1, −√22]，∴ 当x ∈[0, 2)时，f(x)的最小值为−1， 又∵ 函数f(x)满足f(x +2)＝2f(x)， ∴ 当x ∈[−2, 0)时，f(x)的最小值为−12， 当x ∈[−4, −2)时，f(x)的最小值为−14， 若x ∈[−4, −2]时，f(x)≥t 24−t +12恒成立，∴ −14≥t 24−t +12恒成立．即t 2−4t +3≤0，解得1≤t ≤3， ∴ t ∈[1, 3]，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】 y ＝2x −e 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】先求导函数，求曲线在点(e, e)处的切线的斜率，进而可得曲线y ＝xlnx 在点(e, e)处的切线方程 【解答】求导函数，y′＝lnx +1 ∴ 当x ＝e 时，y′＝2∴曲线y＝xlnx在点(e, e)处的切线方程为y−e＝2(x−e)即y＝2x−e【答案】8π【考点】球的体积和表面积【解析】设直三棱柱ABC−A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的半径为R，所以直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，由正弦定理得：2r=BCsin1200=2，r＝1，在Rt△OMC中，OC＝R，OM=12AA1=1，MC＝r＝1，所以R2＝2，从而求出直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积．【解答】设直三棱柱ABC−A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的半径为R，如图所示：，∴直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120∘，∴由余弦定理得：cos1200=AB2+AC2−BC22AB⋅AC =−12，∴BC=√3，∴由正弦定理得：2r=BCsin1200=2，∴r＝1，∴在Rt△OMC中，OC＝R，OM=12AA1=1，MC＝r＝1，∴R2＝12+12＝2，∴直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为：4πR2＝8π，故答案为：8π．【答案】1【考点】直线与椭圆结合的最值问题平面向量数量积的性质及其运算【解析】由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，设出直线方程，分别和抛物线与题意方程联立后求出A，B，C，D的坐标，求出向量AB→、CD→的坐标，代入数量积公式得答案．【解答】由题意可知直线l 的斜率存在且不等于0， 由抛物线C 1:y 2＝4x ，得F(1, 0)，则直线l 的方程为y −0＝k(x −1)，即y ＝kx −k ．联立{y =kx −ky 2=4x ，得k 2x 2−2k 2x −4x +k 2＝0， 解得：A(1+2k2−2√k 2+1k 2,2k−2√k 2+1k)，D(1+2k2+2√k 2+1k 2,2k+2√k 2+1k)，联立{y =kx −k (x −1)2+y 2=1 ，得B(1√k 2+1√k 2+1)，C(1√k 2+1√k 2+1， AB →=√k 2+12k 2+2√k 2+1k 2,√k 2+1−2k +2√k 2+1k)，CD →=(2k2+2√k 2+1k 2√k 2+12k+2√k 2+1k−√k 2+1)．∴ AB →⋅CD →=1．【答案】9【考点】三角形的面积公式基本不等式在最值问题中的应用 【解析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【解答】解：由题意得12acsin120∘=12asin60∘+12csin60∘， 即ac =a +c ， 得1a +1c =1，得4a +c =(4a +c)(1a +1c )=ca +4a c+5≥2√c a4a c+5=4+5=9，当且仅当ca =4a c，即c =2a 时，取等号，故答案为：9．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 【答案】PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，由AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，故AB ⊥平面PAD ， 因为PD 在平面PAD 内，故AB ⊥PD ， 因为AM ⊥PD ，AB ∩AM ＝A ，所以PD ⊥平面ABM ，由BM 在平面ABM ， 所以PD ⊥MB ；以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)，P(0, 0, 2)，B(1, 0, 0)，C(1, 2, 0)，D(0, 2, 0)，M(0, 1, 1)，AC →=(1,2,0),AM →=(0,1,1),CD →=(−1,0,0)， 设平面ACM 的法向量为n →=(x,y,z)， 由{n →⋅AC →=x +2y =0n →⋅Am →=y +z =0 ，得n →=(2,−1,1)， 设平面ACM 和直线CD 所成角为α， 则sinα＝|cos <n →,CD →>|=√6=√63， 故平面ACM 和直线CD 所成角为√63【考点】直线与平面垂直 直线与平面所成的角 【解析】（1）先证明PD ⊥平面ABM ，再根据线面垂直的性质，证明结论；（2）以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM 的法向量和直线CD 的方向向量，利用夹角公式求出即可． 【解答】PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，由AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，故AB ⊥平面PAD ， 因为PD 在平面PAD 内，故AB ⊥PD ， 因为AM ⊥PD ，AB ∩AM ＝A ，所以PD ⊥平面ABM ，由BM 在平面ABM ， 所以PD ⊥MB ；以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)，P(0, 0, 2)，B(1, 0, 0)，C(1, 2, 0)，D(0, 2, 0)，M(0, 1, 1)， AC →=(1,2,0),AM →=(0,1,1),CD →=(−1,0,0)， 设平面ACM 的法向量为n →=(x,y,z)， 由{n →⋅AC →=x +2y =0n →⋅Am →=y +z =0 ，得n →=(2,−1,1)， 设平面ACM 和直线CD 所成角为α， 则sinα＝|cos <n →,CD →>|=√6=√63， 故平面ACM 和直线CD 所成角为√63【答案】由2bcosA +acosC +ccosA ＝0及正弦定理得 −2sinBcosA ＝sinAcosC +cosAsinC ， 即−2sinBcosA ＝sin(A +C)＝sinB ， 在△ABC 中，sinB >0，所以cosA =−12． 又A ∈(0, π)，所以A =2π3．在△ABC 中，c ＝2b ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2−2bccosA ＝b 2+c 2+bc ＝7， 所以a =√7． 由AD →=13AB →+23AC →，得AD →2=(13AB →+23AC →)2=49+49+49×2×1×(−12)=49，所以|AD →|=23．【考点】 余弦定理 【解析】（1）运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，化简可得角A 的值，再由余弦定理，可得a ；（2）运用向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值． 【解答】由2bcosA +acosC +ccosA ＝0及正弦定理得 −2sinBcosA ＝sinAcosC +cosAsinC ， 即−2sinBcosA ＝sin(A +C)＝sinB ， 在△ABC 中，sinB >0，所以cosA =−12． 又A ∈(0, π)，所以A =2π3．在△ABC 中，c ＝2b ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2−2bccosA ＝b 2+c 2+bc ＝7， 所以a =√7． 由AD →=13AB →+23AC →，得AD →2=(13AB →+23AC →)2=49+49+49×2×1×(−12)=49，所以|AD →|=23．【答案】数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ,2b n+1=12a n +b n ． 所以{2a n+1=a n +12b n2b n+1=12a n +b n整理得两式相加a n+1+b n+1=34(a n +b n )，即a n+1+b n+1a n +b n=34（常数），数列{a n +b n }为等比数列；同理两式相减a n+1−b n+1=14(a n −b n )，即a n+1−b n+1a n −b n=14（常数）故数列{a n −b n }为等比数列． 证明：由（1）得：a n +b n =32(34)n−1，a n −b n =12(14)n−1，整理得a n =(34)n +(14)n ， 所以S n =34(1−3n 4n )1−34+14(1−14n )1−14<341−34+141−14=103【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）直接利用数列的定义求出数列为等比数列．（2）利用等比数列的前n 项和公式及放缩法求出结果． 【解答】数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ,2b n+1=12a n +b n ． 所以{2a n+1=a n +12b n 2b n+1=12a n +b n 整理得两式相加a n+1+b n+1=34(a n +b n )，即a n+1+b n+1a n +b n =34（常数），数列{a n +b n }为等比数列； 同理两式相减a n+1−b n+1=14(a n −b n )，即a n+1−b n+1a n −b n=14（常数）故数列{a n −b n }为等比数列． 证明：由（1）得：a n +b n =32(34)n−1，a n −b n =12(14)n−1，整理得a n =(34)n +(14)n ， 所以S n =34(1−3n 4n )1−34+14(1−14n )1−14<341−34+141−14=103【答案】（1）f(e)＝e 2，f′(x)＝4(x −1)lnx ，则f′(e)＝4(e −1)，故f(x)在x＝e处的切线方程为y−e2＝4(e−1)(x−e)，即4(e−1)x−y−3e2+4e＝0；（2）证明：由题可得g′(x)＝3(x−1)2+4(x−1)lnx，g′(1)＝0，当0<x<1时，x−1<0，lnx<0，则g′(x)>0；当x>1时，x−1>0，lnx>0，则g′(x)>0，所以，当x>0时，g′(x)≥0，g(x)在(0, +∞)上是增函数，设G(x)=g(x)+g(1x)(0<x<1)，则G′(x)=g′(x)−1x2g′(1x)=3(x−1)2(1−1x4)+4(x−1)(1−1x3)lnx，当0<x<1时，x−1<0，lnx<0，1−1x4<0,1−1x3<0，则G′(x)<0，G(x)在(0, 1)上递减．不妨设0<x1<x2，由于g(x)在(0, +∞)上是增函数，则g(x1)<g(x2)，又g(x1)+g(x2)＝8，g(1)＝4，则g(x1)<g(1)<g(x2)，于是0<x1<1<x2，由0<x1<1，G(x)在(0, 1)上递减，则G(x1)>G(1)＝2g(1)＝8，所以g(x1)+g(1x1)>8，则g(1x1)>8−g(x1)=g(x2)，又1x1>1,x2>1，g(x)在(0, +∞)上是增函数，所以，1x1>x2，即x1x2<1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出切点，求出导数进而得到切线斜率，进一步由点斜式方程求得答案；(Ⅱ)利用导数可知g(x)在(0, +∞)上是增函数，构造G(x)=g(x)+g(1x)(0<x<1)，则G(x)在(0, 1)上递减，设0<x1<x2，则g(x1)<g(x2)，又g(x1)+g(x2)＝8，g(1)＝4，进而知道0<x1<1<x2，则G(x1)>G(1)＝2g(1)＝8，即g(x1)+g(1x1)>8，亦即g(1x1)>8−g(x1)=g(x2)，从而得证．【解答】（1）f(e)＝e2，f′(x)＝4(x−1)lnx，则f′(e)＝4(e−1)，故f(x)在x＝e处的切线方程为y−e2＝4(e−1)(x−e)，即4(e−1)x−y−3e2+4e＝0；（2）证明：由题可得g′(x)＝3(x−1)2+4(x−1)lnx，g′(1)＝0，当0<x<1时，x−1<0，lnx<0，则g′(x)>0；当x>1时，x−1>0，lnx>0，则g′(x)>0，所以，当x>0时，g′(x)≥0，g(x)在(0, +∞)上是增函数，设G(x)=g(x)+g(1x)(0<x<1)，则G′(x)=g′(x)−1x2g′(1x)=3(x−1)2(1−1x4)+4(x−1)(1−1x3)lnx，当0<x<1时，x−1<0，lnx<0，1−1x4<0,1−1x3<0，则G′(x)<0，G(x)在(0, 1)上递减．不妨设0<x 1<x 2，由于g(x)在(0, +∞)上是增函数，则g(x 1)<g(x 2)，又g(x 1)+g(x 2)＝8，g(1)＝4，则g(x 1)<g(1)<g(x 2)，于是0<x 1<1<x 2， 由0<x 1<1，G(x)在(0, 1)上递减，则G(x 1)>G(1)＝2g(1)＝8，所以g(x 1)+g(1x 1)>8，则g(1x 1)>8−g(x 1)=g(x 2)，又1x 1>1,x 2>1，g(x)在(0, +∞)上是增函数，所以，1x 1>x 2，即x 1x 2<1．【答案】（1）因为2F 1F 2→+F 2Q →=0，所以F 1为F 2Q 中点． 设Q 的坐标为(−3c, 0)，因为AQ ⊥AF 2，所以b 2＝3c ×c ＝3c 2，a 2＝4c ×c ＝4c 2， 且过A ，Q ，F 2三点的圆的圆心为F 1(−c, 0)，半径为2c ． 因为该圆与直线l 相切，所以|−c−3|2=2c ．解得c ＝1，所以a ＝2，b =√3． 故所求椭圆方程为x 24+y 23=1．（2）设l 1的方程为y ＝kx +2(k >0)， 由{y =kx +2x 24+y 23=1 得(3+4k 2)x 2+16kx +4＝0． 设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−16k3+4k 2．所以PG →+PH →=(x 1−m,y 1)+(x 2−m,y 2)=(x 1+x 2−2m, y 1+y 2)．＝(x 1+x 2−2m, k(x 1+x 2)+4)GH →=(x 2−x 1,y 2−y 1)=(x 2−x 1,k(x 2−x 1))． 由于菱形对角线互相垂直，则(PG →+PH →)⋅GH →=0．所以(x 2−x 1)[(x 1+x 2)−2m]+k(x 2−x 1)[k(x 1+x 2)+4]＝0． 故(x 2−x 1)[(x 1+x 2)−2m +k 2(x 1+x 2)+4k]＝0． 因为k >0，所以x 2−x 1≠0．所以(x 1+x 2)−2m +k 2(x 1+x 2)+4k ＝0 即(1+k 2)(x 1+x 2)+4k −2m ＝0． 所以(1+k 2)(−16k3+4k 2)+4k −2m =0解得m =−2k3+4k 2．即m =−23k+4k ．因为k >0，所以−√36≤m <0．故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是[−√36,0)．(Ⅲ)①当直线l 1斜率存在时，设直线l 1方程为y ＝kx +2，代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+16kx +4＝0． 由△>0，得k 2>14． 设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−16k3+4k 2，x 1x 2=43+4k 2．又MG →=λMH →，所以(x 1, y 1−2)＝λ(x 2, y 2−2)．所以x 1＝λx 2．所以x 1+x 2＝(1+λ)x 2，x 1x 2＝λx 22． 所以(x 1+x 21+λ)2=x 22=x 1x 2λ．将上式代入整理得：643k 2+4=(1+λ)2λ．因为k 2>14，所以4<643k 2+4<16．即4<(1+λ)2λ<16．所以4<λ+1λ+2<16．解得7−4√3<λ<7+4√3．又0<λ<1，所以7−4√3<λ<1．②又当直线l 1斜率不存在时，直线l 1的方程为x ＝0，此时G(0,√3)，H(0,−√3)，MG →=(0,√3−2)，MH →=(0,−√3−2)，MG →=√32+√3→，所以λ=7−4√3．所以7−4√3≤λ<1，即所求λ的取值范围是[7−4√3,1)． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（I ）因为2F 1F 2→+F 2Q →=0，知a ，c 的一个方程，再利用△AQF 的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；(II)由(I)知设l 1的方程为y ＝kx +2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量(PG →+PH →)⋅GH →=0的坐标表示即可求得满足题意的点P 且m 的取值范围．(Ⅲ)先分两种情况讨论：①当直线l 1斜率存在时，设直线l 1方程为y ＝kx +2，代入椭圆方程消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量(PG →+PH →)⋅GH →=0的坐标表示即可求得满足题意的λ的取值范围；②又当直线l 1斜率不存在时，直线l 1的方程为x ＝0，同样利用向量的坐标运算求λ的取值范围． 【解答】（1）因为2F 1F 2→+F 2Q →=0，所以F 1为F 2Q 中点． 设Q 的坐标为(−3c, 0)，因为AQ ⊥AF 2，所以b 2＝3c ×c ＝3c 2，a 2＝4c ×c ＝4c 2， 且过A ，Q ，F 2三点的圆的圆心为F 1(−c, 0)，半径为2c ．因为该圆与直线l 相切，所以|−c−3|2=2c ．解得c ＝1，所以a ＝2，b =√3． 故所求椭圆方程为x 24+y 23=1．（2）设l 1的方程为y ＝kx +2(k >0)， 由{y =kx +2x 24+y 23=1 得(3+4k 2)x 2+16kx +4＝0． 设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−16k3+4k 2．所以PG →+PH →=(x 1−m,y 1)+(x 2−m,y 2)=(x 1+x 2−2m, y 1+y 2)．＝(x 1+x 2−2m, k(x 1+x 2)+4)GH →=(x 2−x 1,y 2−y 1)=(x 2−x 1,k(x 2−x 1))． 由于菱形对角线互相垂直，则(PG →+PH →)⋅GH →=0．所以(x 2−x 1)[(x 1+x 2)−2m]+k(x 2−x 1)[k(x 1+x 2)+4]＝0． 故(x 2−x 1)[(x 1+x 2)−2m +k 2(x 1+x 2)+4k]＝0． 因为k >0，所以x 2−x 1≠0．所以(x 1+x 2)−2m +k 2(x 1+x 2)+4k ＝0 即(1+k 2)(x 1+x 2)+4k −2m ＝0． 所以(1+k 2)(−16k3+4k 2)+4k −2m =0解得m =−2k3+4k 2．即m =−23k+4k ．因为k >0，所以−√36≤m <0．故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是[−√36,0)．(Ⅲ)①当直线l 1斜率存在时，设直线l 1方程为y ＝kx +2，代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+16kx +4＝0． 由△>0，得k 2>14． 设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−16k3+4k ，x 1x 2=43+4k 2．又MG →=λMH →，所以(x 1, y 1−2)＝λ(x 2, y 2−2)．所以x 1＝λx 2．所以x 1+x 2＝(1+λ)x 2，x 1x 2＝λx 22． 所以(x 1+x 21+λ)2=x 22=x 1x 2λ．将上式代入整理得：643k 2+4=(1+λ)2λ．因为k 2>14，所以4<643k 2+4<16．即4<(1+λ)2λ<16．所以4<λ+1λ+2<16．解得7−4√3<λ<7+4√3．又0<λ<1，所以7−4√3<λ<1．②又当直线l 1斜率不存在时，直线l 1的方程为x ＝0，此时G(0,√3)，H(0,−√3)，MG →=(0,√3−2)，MH →=(0,−√3−2)，MG →=√32+√3→，所以λ=7−4√3．所以7−4√3≤λ<1，即所求λ的取值范围是[7−4√3,1)． 【答案】（1）曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ， 转化为：(ρsinθ)2＝4ρcosθ，进一步转化为直角坐标方程为：y 2＝4x（2）把直线l 的参数方程为{x =2−3ty =−1+2t （t 为参数）化为：2x +3y ＝1， 代入y 2＝4x 得y 2+6y −2＝0； 设A 、B 的纵坐标分别为y 1、y 2； 则y 1y 2＝−2，y 1+y 2−6；则|y 1−y 2|=√36−4×(−2)=2√11； |AB|=√1+(−32)2×|y 1−y 2|=√132×2√11=√143，所以|AB|=√143． 【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】(Ⅰ)直接把极坐标方程转化为直角坐标方程．(Ⅱ)把参数方程代入抛物线得到关于t 的一元二次方程，进一步利用根和系数的关系求出结果． 【解答】（1）曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ， 转化为：(ρsinθ)2＝4ρcosθ，进一步转化为直角坐标方程为：y 2＝4x（2）把直线l 的参数方程为{x =2−3ty =−1+2t （t 为参数）化为：2x +3y ＝1， 代入y 2＝4x 得y 2+6y −2＝0； 设A 、B 的纵坐标分别为y 1、y 2； 则y 1y 2＝−2，y 1+y 2−6；则|y 1−y 2|=√36−4×(−2)=2√11； |AB|=√1+(−32)2×|y 1−y 2|=√132×2√11=√143，所以|AB|=√143． [不等式选讲] 【答案】不等式f(x)≤3，即|x +12|+|x −32|≤3．不等式的几何意义，是数轴是的点x ，到−12与32的距离之和不大于3，∴ −1≤x ≤2，不等式的解集为{x|−1≤x ≤2}； 函数f(x)＝|x +12|+|x −32|．由绝对值的几何意义可知：f(x)min ≥2， 关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集非空， 只须：2<12|1−a|，解得a <−3或a >5．关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，可得−3≤a ≤5．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)利用绝对值的几何意义直接求不等式f(x)≤6的解集；(Ⅱ)求出函数的最小值，然后求解关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，得到实数m 的取值范围． 【解答】不等式f(x)≤3，即|x +12|+|x −32|≤3．不等式的几何意义，是数轴是的点x ，到−12与32的距离之和不大于3， ∴ −1≤x ≤2，不等式的解集为{x|−1≤x ≤2}； 函数f(x)＝|x +12|+|x −32|．由绝对值的几何意义可知：f(x)min ≥2， 关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集非空， 只须：2<12|1−a|，解得a <−3或a >5．关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，可得−3≤a ≤5．。
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设(1−i)x=1+yi，其中x,y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={x|x+1≤3}，B={x|4−x2≤0}，则A∩B=()A. (−∞,−2]B. (−∞,−4]C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪{2}3.函数f(x)=|x|+1是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数4.等差数列{a n}中，已知a7=9，S5=5，则S8的值是()A. 23B. 30C. 32D. 345.执行如图所示的程序框图，则当输入的x分别为3和6时，输出的值的和为()A. 45B. 35C. 147D. 756.为了解城市居民的健康状况，某调查机构从一社区的120名年轻人，80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=()A. 26B. 24C. 20D. 137.设a=log0.60.5，b=log2(log38)，则()A. a<1<bB. a<b<1C. b<1<aD. 1<b<a8.(x2−3x+2)5的展开式中含x3的项的系数为()A. −1560B. −600C. 600D. 15609.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M,N两点，且|MF|=2|NF|，则直线l的斜率为()A. ±√2B. ±2√2C. ±√22D. ±√2410.若函数f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π3个单位后关于y轴对称，则f(x)的单调增区间为()A. B.C. D.11.如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为，则它的外接球表面积为()A. B. C. D.12.函数f(x)=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值10，则点(a,b)坐标为()A. (3,−3)B. (−4,11)C. (3,−3)或(−4,11)D. 不存在二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知a⃗=(1,−1)，b⃗ =(−1,2)，则(2a⃗+b⃗ )⋅a⃗=______．14.曲线f(x)=2x−1x在点(1,f(1))处的切线与圆x2+y2=R2相切，则R=______．15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点A，B在双曲线C的左支上，o为坐标点，直线BO与双曲线C的右支交于点M.若直线AB的斜率为3，直线AM的斜率为1，则双曲线C的离心率为____．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.若数列{a n}满足a1⋅a2⋅a3…a n=n2+3n+2，则a4=(1)，a n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，D 是BC 的边上的点，cos∠BAD =35,cos∠ADC =−√55． (1)求sin B 的值；(2)若BD =2DC =2，求AC 的长．18. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(Ⅰ)求甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率；(Ⅱ)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB =2AD =2，∠DAB =60°，PA =PC =2，且平面ACP ⊥平面ABCD ．(Ⅰ)求证：CB ⊥PD ；(Ⅱ)求二面角C −PB −A 的余弦值．20.已知函数f(x)=lnxx−1(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值；(3)试证明：对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是C上的一个动点．当P为C的上顶点时，▵F1PF2的面积为√3．(1)求C的方程；(2)设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q.若存在点T(t,0)，使得|TP|=|TQ|，求t的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点y=1+2sinαO为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l:θ=π上，且点P到极点O的距离3为4．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与点P的直角坐标；(Ⅱ)求▵OCP的面积．23.已知f(x)=|x−2a|+|2x+a|，g(x)=2x+3．(1)当a=1时，求不等式f(x)<4的解集；,1)时，f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围．(2)若0<a<3，且当x∈[−a2【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查了复数的概念，运算及几何意义，考查了学生的运算求解能力，属基础题． 由题意解得x ，y ，从而得出x +yi 在复平面内所对应的点所在象限．解：∵x ，y 是实数，∴(1−i)x =x −xi =1+yi ，∴{x =1−x =y ,解得x =1，y =−1，∴x +yi 在复平面内所对应的点为(1,−1)，位于第四象限，故选D ．2.答案：D解析：本题考查了交集的运算，是基础题.先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：A ={x|x ≤2}，B ={x|x ≤−2或x ≥2}；∴A ∩B =(−∞,−2]∪{2}．故选：D ．3.答案：B解析：函数定义域为R ，f(−x)=|−x |+1=|x |+1=f(x)，∴f(x)是偶函数．4.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7=9，S 5=5，∴a 1+6d =9，5a 1+ 5×4 2d =5，解得：a 1=−3，d =2，则S 8=8×(−3)+ 8×7 2×2=32．故选：C ．5.答案：D解析：本题主要考查了程序框图的应用，考查了函数解析式，属于基础题；根据题意得到f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44，f(6)=62−5=31，即可得解．解：因为y =f(x)={x 2−5,x ⩾6f(x +2),x <6, 则f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44；f(6)=62−5=31，所以f(3)+f(6)=75．故选D ．6.答案：D解析：解：由分层抽样得n 120+80+60=360，解得n =13，故选：D ．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 7.答案：C解析：解：∵a =log 0.60.5>log 0.60.6=1，b =log 2(log 38)<log 2(log 39)=log 22=1， ∴a >1>b ．故选：C ．利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题．解析：解：∵(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5=(C50x5−C51x4+C52x3−C53x2+C54x−1)(C50x5−2C51x4+4C52x3−8C53x2+16C54x−32).∴展开式中含x3的项的系数为：−36C53−24C53C54=−1560．故选：A．(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5，分别展开两个二项式，即可得到含x3的项的系数．本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，是基础题．9.答案：B解析：【试题解析】本题考查直线斜率的求法，抛物线的简单性质的应用，属于中档题．依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2−4my−4=0，由此能够求出直线AB的斜率．解：依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2−4my−4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=−4，①因为|MF|=2|NF|，所以y1=−2y2，②，联立①和②，消去y1，y2，得m=±√24所以直线AB的斜率是±2√2.故选：B．10.答案：C解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．先根据三角函数图象的平移规律及平移后的图象关于y轴对称，求出φ，得到f(x)的解析式，再求单解：函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数的图象，因为平移后的图象关于y轴对称，所以−2π3+φ=π2+kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k=−1，φ=π6，所以，令−π2+2kπ⩽2x+π6⩽π2+2kπ，k∈Z，得−π3+kπ⩽x⩽π6+kπ，k∈Z，因而函数f(x)的单调增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z．故选C．11.答案：B解析：本题考查三视图及多面体外接球的表面积，具有综合性，考查空间想象能力.正确找到直观图是解题关键．由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，然后根据三棱锥的体积公式求得．解：由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，可以看成长2宽1高1的长方体切除后剩下的，其外接球与长方体外接球相同．若该三棱锥的体积为，可得x=2．故外接球直径为√12+12+22=√6，半径为√62．故外接球表面积为．故选B．12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是熟练掌握极值的充要条件，属于中档题． 首先对函数进行求导，然后根据极值条件进行求解，要注意进行检验． 解：求导可得，f′(x)=3x 2−2ax −b ， 由已知得{f ′(1)=0f (1)=10，即{3−2a −b =01−a −b +a 2=10解得a =−4，b =11或a =3,b =−3当a =3,b =−3时，f ′(x)=3x 2−6x +3=3(x −1)2⩾0， 此时f(x)递增，函数f(x)不存在极值 故a =−4，b =11，即点(a,b)坐标为(−4,11) 故选B ．13.答案：−1解析：解：a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,2)，则2a ⃗ +b ⃗ =(1,0) (2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =−1+0=−1． 故答案为：−1．直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积求解即可． 本题考查向量的数量积的运算，基本知识的考查．14.答案：√105解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d =r ，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．解：f(x)=2x −1x 的导数为f′(x)=2+1x 2， 可得切线的斜率为k =3，切点为(1,1)， 即有在x =1处的切线方程为y −1=3(x −1)， 即为3x −y −2=0，由切线与圆x 2+y 2=R 2相切， 可得d =√10=R ，解得：R =√105．故答案为√105．15.答案：2解析：本题考查了双曲线的离心率，考查了转化思想，属于中档题． 解：设B(m,n)，则直线BO 与双曲线的右支交于点 M(−m,−n)， 设A(x 0,y 0)，可得直线 AB 的斜率为y 0−nx 0−m ， 直线 AM 的斜率为y 0+nx 0+m；∴y 02−n 2x 02−m 2=b 2a 2x 02−b 2a 2n 2x 02−n 2=b 2a 2=3×1=3，∴e =√1+b2a 2=2，故答案为：216.答案：32{6,n =1n +2n,n >1解析：解：数列{a n }满足a 1⋅a 2⋅a 3…a n =n 2+3n +2， 当n =1时，a 1=1+3+2=6；当n >1时，a 1⋅a 2⋅a 3…a n−1=(n −1)2+3(n −1)+2=n 2+n −2； 所以a n =n 2+3n+2n 2+n =n+2n；所以a 4=4+24=32，a n ={6,n =1n+2n,n >1．故答案为：32，{6,n =1n+2n,n >1．在原数列递推式中，取n 为n −1得另一递推式，作商后求得数列的通项公式和a 4的值． 本题考查了数列递推式以及由数列递推式求数列通项公式的问题，属中档题．17.答案：(本小题满分12分)解：(1)∵cos∠ADB =cos(π−∠ADC)=−cos∠ADC =√55，∠ADB ∈(0,π)，∴sin∠ADB =2√55，……………………2′ ∵cos∠BAD =35,∠BAD ∈(0,π)，∴sin∠BAD =45.……………………4′ ∴sinB =sin[π−(∠BAD +∠ADB)]=sin(∠BAD +∠ADB) =sin∠BADcos∠ADB +cos∠BADsin∠ADB =45×√55+35×2√55=2√55.………………………6′ (2)在△ABD 中，由正弦定理得：ADsinB =BDsin∠BAD ，即2√55=245，∴AD =√5.……………9′在△ADC 中，由余弦定理得：AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DC ⋅cos∠ADC =5+1+2×√5×1×√55=8，∴AC =2√2.………12′解析：(1)利用三角形的内角和以及两角和与差的三角函数化简求解即可． (2)利用正弦定理以及余弦定理转化求解AC 的长．本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ)用事件A i 表示第i 局比赛甲获胜，则A i 两两相互独立．P =P(A 1A 2+A 1A 2A 3)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1)P(A 2)P(A 3)=23⋅23+13⋅23⋅23=1627． (Ⅱ)X 的取值分别为2，3，4，5， P(x =2)=23⋅23+13⋅13=59，P(x =3)=13⋅23⋅23+23⋅13⋅13=29， P(x =4)=23⋅13⋅23⋅23+13⋅23⋅13⋅13=1081， P(x =5)=23⋅13⋅23⋅13+13⋅23⋅13⋅23=881， 所以X 的分布列为X2345P 59291081881EX=2×59+3×29+4×1081+5×881=22481．解析：(Ⅰ)用事件A i表示第i局比赛甲获胜，则A i两两相互独立，由此能求出甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率．(Ⅱ)X的取值分别为2，3，4，5分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．19.答案：(I)证明：连接AC，BD，设交点为O，连接OP，则O是BD的中点，∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO．∵AB=2AD=2，∠DAB=60°，∴BD=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，又BC//AD，∴BC⊥BD，又PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，PO∩BD=O，∴BC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，∴BC⊥PD．(II)解：OA=√AD2+OD2=√72，∴PO=√PA2−OA2=32．以D为原点，以DA，DB，及平面ABCD过D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D−xyz，则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,√32,32)，C(−1,√3,0)，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√32,32)， 设平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{−x =0−√32y +32z =0，取z =1得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 同理可得平面PAB 的法向量为n ⃗ =(3,√3,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2×√13=2√1313． 由图形可知二面角C −PB −A 为钝二面角， ∴二面角C −PB −A 的余弦值为−2√1313．解析：(I)证明PO ⊥平面ABCD 得出PO ⊥BC ，利用勾股定理证明BC//BD ，从而BC ⊥平面PBD ，于是BC ⊥PD ；(II)建立空间坐标系，求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)函数f(x)的定义域是：(0,+∞)由已知f ′(x)=1−lnx x 2令f′(x)=0得，1−lnx =0，∴x =e ∵当0<x <e 时，f ′(x)=1−lnx x 2>0，当x >e 时，f ′(x)=1−lnx x <0∴函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减，(2)由(1)知函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减 故①当0<2m ≤e 即0<m ≤e2时，f(x)在[m,2m]上单调递增 ∴f(x)max =f(2m)=ln(2m)2m−1，②当m ≥e 时，f(x)在[m,2m]上单调递减 ∴f(x)max =f(m)=lnm m−1，③当m<e<2m，即e2<m<e时∴f(x)max=f(e)=1e−1．(3)由(1)知，当x∈(0,+∞)时，f(x)max=f(e)=1e−1，∴在(0,+∞)上恒有f(x)=lnxx −1≤1e−1，即lnxx ≤1e且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈(0,+∞)恒有lnx≤1ex，∵1+nn >0,1+nn≠e，∴ln1+nn <1e⋅1+nn⇒ln(1+nn)e<1+nn即对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn恒成立．解析：(1)利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；(2)利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；(3)利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，注意问题的等价转化性．21.答案：解：(1)设椭圆的半焦距为c．因为S▵F1PF2=12⋅2c⋅b=√3，所以bc=√3，又e=ca =12，a2=b2+c2，所以a=2，b=√3，c=1，所以C的方程为x24+y23=1．(2)设直线PQ的方程为y=k(x−1)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ的中点N(x0,y0)．当k=0时，t=0符合题意．当k ≠0时，由{y =k (x −1),x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，所以x 0=x 1+x 22=4k 24k 2+3，y 0=k (x 0−1)=−3k4k 2+3，即N (4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)．因为|TP |=|TQ |， 所以TN ⊥PQ ， 则k TN ⋅k =−1， 所以3k 4k 2+3t−4k 24k 2+3⋅k =−1， 故t =k 24k 2+3=14+3k 2，因为4+3k 2>4， 所以t ∈(0,14)．综上，t 的取值范围为[0,14)．解析：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的研究，联立直线方程与椭圆方程是解题的关键．(1)由离心率可得a ，c 的关系，由面积可得bc 的关系，由求得a ，b ，故可得答案，(2)设直线PQ 的方程为y =k (x −1)，当k =0时，t =0符合题意．当k ≠0时，联立方程组可得(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，结合韦达定理和k TN⋅k=−1，故可得t的取值范围．22.答案：解：(1)消去参数α，得曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3).(2)(方法一)圆心C(√3,1)，OC:y=√33x⇒x−√3y=0，点P到OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2.(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，|OC|=2,|OP|=4，所以=12⋅2⋅4⋅sin π6=2．所以S△OCP=2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程，是中档题．(1)消去参数α可得曲线C的普通方程，由P的极坐标转为P的直角坐标；(2)(方法一)，先得出直线OC的方程，再得出点P到OC的距离，即可得出△OCP的面积；(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得△OCP的面积．23.答案：解：(1)当a=1时，不等式f(x)<4可化为|x−2|+|2x+1|<4，若x<−12，则有2−x−2x−1<4，解得x>−1，∴此时−1<x<−12；若−12≤x≤2，则有2−x+2x+1<4，解得x<1，∴此时−12≤x<1；若x>2，则有x−2+2x+1<4，解得x<53，∴此时无解，综上可得，原不等式的解集是{x|−1<x <1}； (2)当x ∈[−a2,1)时，f(x)=|x −2a|+2x +a ， f(x)<g(x)即为|x −2a|<3−a 恒成立， ∵0<a <3，∴3−a >0， ∴a −3<x −2a <3−a ，即3a −3<x <3+a 在x ∈[−a2,1)上恒成立， ∴{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解得0<a <67．解析：本题主要考查绝对值不等式的求解，属于中档题． (1)将f(x)分区间求解即可；(2)将f(x)<g(x)恒成立转化为|x −2a|<3−a 恒成立，然后求解得到{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解出a 的取值范围．。
2019-2020学年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)
是等差数列；
（2）若
，求 T2n．
19．（12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，∠ABD=90°，
EB⊥平面 ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=
，且 M 是 BD 的中点．
（1）求证：EM∥平面 ADF；
（2）求二面角 A﹣FD﹣B 的余弦值的大小．
！
功
成 20．（12 分）已知抛物线 E：y2=2px（p＞0）的准线与 x 轴交于点 k，过点 k 做圆
！
功 A．把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移 ，得到
曲线 C2
成 B．把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移
曲线 C2
，得到
C．把 C1 向右平移 C2
到 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线
D．把 C1 向右平移 C2
马 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线
．
祝请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选
修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建
立极坐标系，点 A 的极坐标为
，直线 l 的极坐标方程为
，且 l 过点 A，曲线 C1 的参考方程为
（θ 为参数）．
考 【解答】解：根据曲线
=sin（ x﹣
把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，可得 y=sin（ x）的图象；
），
高 再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 C2：y=sin（ x﹣
） 的图象，
您 故选：B． 祝7．（5 分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，
2020年陕西省榆林市高考数学模拟试卷(理科)(3月份) (含答案解析)
2020年陕西省榆林市高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x >0}，B ={x|x 2+2x −15<0,x ∈Z}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {1,2，3}C. {1,2，3，4}D. {1,2，3，4，5}2. 若复数，则|z|=( ) A. 14 B. 12 C. 21009 D. 23. 甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐．已知：①甲不看书；②若丙不画画，则乙不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐，则( )A. 甲一定在画画B. 甲一定在听音乐C. 乙一定不看书D. 丙一定不画画 4. 已知sinα=−45，α∈(π,3π2)，则tan α2等于( ) A. −2 B. 12 C. −12或2 D. −2或12 5. 已知△ABC ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( ) A. 1B. 2C. 3D. 4 6. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点A 和右焦点F ，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M.若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A. 13B. 23C. 83D. 32或83 7. 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1…….记作数列{a n }，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 80=( )A. 2059B. 4108C. 2048D. 40958.已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=e x，则f(−1)=()A. 1e B. −1eC. eD. −e9.求棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比为()A. 1：27B. 1：9C. 1：3D. 9：110.设函数f(x)=sin(ωx+π6)−ω(ω>0)的导函数f′(x)的最大值为3，则f(x)的最大值为()A. 0B. 1C. −2D. −111.如图所示几何体中，AB//CD//EG，∠ABC=90°，CD=EG=12AB，平面BCEF⊥平面ABCD，点M为侧面BCEF内的一个动点，若点M到直线EG的距离与到平面ABCD的距离相等，则点M在侧面BCEF内的轨迹是()A. 一条线段B. 圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 椭圆的一部分12.已知函数f(x)=mln(1−2x)−4x2+(4−2m)x+m−1有且只有一个零点，则正实数m的值等于()．A. 1B. 2C. eD. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知随机变量X～B(9,23)，Y=2X−1，则D(Y)=______ ．14.在△ABC中，已知A=2B，cosC=0，则a︰b︰c=________．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的顶点到渐近线的距离等于a2，则双曲线的离心率e是______ ．16.已知函数f(x)=ln(x+√x2+1)，若实数a,b满足f(a)+f(b−2)=0，则a+b=__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，S3=15，a n>0，d>1，且______.从“①等比数列{b n}的公比q=12，b1=a2，b3=a3；②a1−1，a2−1，a3+1为等比数列{b n}的前3项”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{a n}存在并作答．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n，求证：T n≥115．18.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中点．(1)求证：PD⊥平面ABE；(2)求二面角A−PD−C的平面角的正弦值．19.已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l1：y=−1相切，圆心C的轨迹为E．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，求|PQ|的最大值．20.某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：(1)画出表中数据的散点图； (2)求出y 对x 的回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？参考公式：b =∑x i n i=1y i −n⋅x −⋅y −∑x i 2n i=1−nx −，a =y −−bx −．21. 已知函数f (x )=(x −1)lnx +ax 2+(1−a )x −1.(1)当a =−1时，判断函数的单调性；(2)讨论f (x )零点的个数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：y =x.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系中，曲线C 2：ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0．(1)求C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；(2)设C 1与C 2的交点为M ，N ，求|MN|．23.已知函数f(x)=|x+2a|+|x−a|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥4−|x+2|的解集；(2)设a>0，b>0，f(x)的最小值为t，若t+3b=3，求1a +2b的最小值。
陕西省榆林市2020届高三模拟第一次测试理数试题及答案
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18.(本小题满分 12 分)
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由正弦定理得 2sin B cos A sin Acos C sin C cos A 0 , 即 2sin B cos A sin( A C) 0 ，
∵A+B+C=π，∴sin(A+C)=sinB，∴ 2 sin B cos A sin B 0 . …………………2 分
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2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设32z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）设集合2{|560}A x x x =-+>，2{|10}B x x =-<，则(A B =I ) A ．(-∞，1] B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞3．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．604．（5分）若0m n <<，则下列结论正确的是( ) A ．22m n > B ．0.50.5m n < C ．22log log m n >D ．0.50.5log log m n >5．（5分）关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取．则三人中被录取的是( )A ．甲B ．丙C ．甲与丙D ．甲与乙6．（5分）已知向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+r r ，若()()m n m n +⊥-r r r r，则(λ= ) A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-7．（5分）已知(0,)απ∈，2sin2cos21αα=-，则sin (α= ) A ．15B 5C ．5D 258．（5分）定义函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ⎧=⎨<⎩…，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[1-，1]； （2）当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数； （4）当且仅当322()2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <． 上述命题中正确的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．（5分）已知偶函数()2f x π+，当(,)22x ππ∈-时，13()sin f x x x =+，设a f =（1），b f=（2），c f =（3），则( ) A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<10．（5分）若0m >，0n >，且直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆222210x y x y +--+=相切，则m n +的取值范围是( ) A．[2)+∞B．[2+，)+∞C ．(0，2+D ．(0，2+11．（5分）设1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M ，N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为( ) ABC ．23D12．（5分）定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0x ∈，2)时，23||2,[0,1)()1()[1,2)2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若当[4x ∈-，2)-时，不等式21()42t f x t -+…恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．[2，3]B ．[1，3]C ．[1，4]D ．[2，4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）曲线:C y xlnx =在点(,)M e e 处的切线方程为 ．14．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若1AB AC ==，12AA =，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 ．15．（5分）如图，抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，依次交1C ，2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD u u u r u u u r g 的值是 ．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，1AB =，AM PD ⊥于点M ，连接BM ．（1）求证：PD BM ⊥；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值．18．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足22c b ==，2cos cos cos 0b A a C c A ++=，又点D 满足1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ．（1）求a 及角A 的大小； （2）求||AD u u u r的值．19．已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，112b =，11112,222n n n n n n a a b b a b ++=+=+． （1）证明：数列{}n n a b +，{}n n a b -为等比数列； （2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：103n S <． 20．函数22()2(2)4f x x x lnx x x =--+．（Ⅰ）求()f x 在x e =处的切线方程(e 为自然对数的底数）；（Ⅱ）设32()33()g x x x x f x =-++，若1x ，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，满足12()()8g x g x +=，求证：121x x <．21．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=u u u u r u u u u r ，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与直线:330l x y --=相切．过定点(0,2)M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线1l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）若实数λ满足MG MH λ=u u u u r u u u u r，求λ的取值范围．22．以平面直角坐标系原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为23(12x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ= （Ⅰ） 求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求||AB．[不等式选讲]23．已知函数13 ()||||22f x x x=++-．（1）求不等式()3f x…的解集；（2）若关于x的不等式1()|1|2f x a<-的解集是空集，求实数a的取值范围．2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设32z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：32z i =-+Q ，∴32z i =--，∴在复平面内z 对应的点为(3,2)--，在第三象限．故选：C ．2．（5分）设集合2{|560}A x x x =-+>，2{|10}B x x =-<，则(A B =I ) A ．(-∞，1] B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【解答】解：Q 集合2{|560}{|2A x x x x x =-+>=<或3}x >， 2{|10}{|11}B x x x x =-<=-<<， {|11}(1,1)A B x x ∴=-<<=-I ．故选：B ．3．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60【解答】解：Q 成绩低于60分有第一、二组数据， 在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率(0.0050.010)200.3P =+⨯=， 又Q 低于60分的人数是15人， 则该班的学生人数是15500.3=． 故选：B ．4．（5分）若0m n <<，则下列结论正确的是( ) A ．22m n > B ．0.50.5m n < C ．22log log m n >D ．0.50.5log log m n >【解答】解：0m n <<Q ，22m n ∴<，0.50.5m n >，22log log m n <，0.52log log m n >． 故选：D ．5．（5分）关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取．则三人中被录取的是( ) A ．甲B ．丙C ．甲与丙D ．甲与乙【解答】解：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；其逆否命题为：若乙、丙不都被录取，则甲被录取．由②乙与丙中必有一个未被录取．③或者甲未被录取，或者乙被录取． 假设丙被录取，①③不正确，不符合题意． 假设乙被录取，则①③都正确，因此甲乙都被录取． 则三人中被录取的是甲乙． 故选：D ．6．（5分）已知向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+r r ，若()()m n m n +⊥-r r r r ，则(λ= )A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-【解答】解：(23,3),(1,1)m n m n λ+=+-=--r r r r， (23)(1)30λ∴+⨯--=，3λ∴=-．故选：B ．7．（5分）已知(0,)απ∈，2sin2cos21αα=-，则sin (α= )A ．15B C ．D【解答】解：(0,)απ∈Q ，sin 0α∴>，2sin2cos21αα=-Q ，24sin cos 2sin ααα∴=-，可得2cos sin αα=-，又22sin cos 1αα+=Q ， 221sin (sin )12αα∴+-=，sin α∴ 故选：D ．8．（5分）定义函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ⎧=⎨<⎩…，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[1-，1]； （2）当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数； （4）当且仅当322()2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <． 上述命题中正确的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：由题意可得：函数()sinx sinx cosx f x cosx sinx cosx ⎧=⎨<⎩当时当时…，即5sin ,[2,2]44()3cos ,[2,2]44x k k f x x k k ππππππππ⎧++⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，作出其图象如图，从图象上可以看出：（1）该函数的值域为[，1]；故（1）错； （2）当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈或2()x k k Z π=∈时，该函数取得最大值；帮（2）错；（3）该函数是以2π为最小正周期的周期函数；（3）错； （4）当且仅当322()2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <，（4）正确． 故选：A ．9．（5分）已知偶函数()2f x π+，当(,)22x ππ∈-时，13()sin f x x x =+，设a f =（1），b f=（2），c f =（3），则( ) A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<【解答】解：Q 当(,)22x ππ∈-时，sin y x =单调递增，13y x =也为增函数，∴函数13()sin f x x x =+，也为增函数．Q 函数()2f x π+为偶函数，∴()()22f x f x ππ-+=+，即函数的对称轴为2x π=，即()()f x f x π=-f ∴（2）(2)f π=-，f （3）(3)f π=-，03122πππ<-<<-<Q ，(3)f f π∴-<（1）(2)f π<-，即c a b <<， 故选：D ．10．（5分）若0m >，0n >，且直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆222210x y x y +--+=相切，则m n +的取值范围是( ) A ．[22)+∞B ．[22+，)+∞C ．(0，22]+D ．(0，22]+【解答】解：由圆222210x y x y +--+=，得22(1)(1)1x y -+-=，得到圆心坐标为(1,1)，半径1r =，Q 直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆相切，∴圆心到直线的距离221(1)(1)d m n ==+++，整理得：21()2m n m n mn +++=„， 设(0)m n x x +=>，则有214x x +„，即2440x x --…，解得：2x +…则m n +的取值范围为[2+，)+∞． 故选：B ．11．（5分）设1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M ，N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为( ) ABC ．23D【解答】解：不妨设圆与by x a=相交且点M 的坐标为0(x ，00)(0)y x >，则N 点的坐标为0(x -，0)y -，联立00by x a=，22200x y c +=得(,)M a b ，(,)N a b --， 又(,0)A a -且120MAN ∠=︒，所以由余弦定理得22224()cos c a a b b b =+++-120︒，化简得2273a c =，求得e = 故选：A ．12．（5分）定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0x ∈，2)时，23||2,[0,1)()1()[1,2)2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若当[4x ∈-，2)-时，不等式21()42t f x t -+…恒成立，则实数t的取值范围是( ) A ．[2，3]B ．[1，3]C ．[1，4]D ．[2，4]【解答】解：当[0x ∈，1)时，21()[4f x x x =-∈-，0]；当[1x ∈，2)时，3||21()()[12x f x -=--∈-，，∴当[0x ∈，2)时，()f x 的最小值为1-，又Q 函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，∴当[2x ∈-，0)时，()f x 的最小值为12-， 当[4x ∈-，2)-时，()f x 的最小值为14-，若[4x ∈-，2]-时，21()42t f x t -+…恒成立，211442t t ∴--+…恒成立．即2430t t -+„，解得13t 剟，[1t ∴∈，3]，故选：B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）曲线:C y xlnx =在点(,)M e e 处的切线方程为 2y x e =- ． 【解答】解：求导函数，1y lnx '=+∴当x e =时，2y '=∴曲线y xlnx =在点(,)e e 处的切线方程为2()y e x e -=-即2y x e =-故答案为：2y x e =-．14．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若1AB AC ==，12AA =，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 8π ．【解答】解：设直三棱柱111ABC A B C -的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P ，M ， 设ABC ∆的外接圆半径为r ，直三棱柱111ABC A B C -的外接球的半径为R ，如图所示：，∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心O 为线段PM 的中点，在ABC ∆中，1AB AC ==，120BAC ∠=︒，∴由余弦定理得：22201cos12022AB AC BC AB AC +-==-g ，∴BC∴由正弦定理得：022sin120BCr ==，1r ∴=，∴在Rt OMC ∆中，OC R =，1112OM AA ==，1MC r ==， 222112R ∴=+=，∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为：248R ππ=，故答案为：8π．15．（5分）如图，抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，依次交1C ，2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD u u u r u u u r g 的值是 1 ．【解答】解：设(A A x ，)A y ，(D D x ，)D y ，Q 直线l 经过1C 的焦点F ，∴当直线l 的斜率不存在时，直线方程为1x =，1A D x x =g ； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为0(1)y k x -=-，即y kx k =-． 联立24y kx k y x =-⎧⎨=⎩，得2222240k x k x x k --+=，1A D x x ∴=，综上，1A D x x =，再由抛物线定义，||||11A AF AB x =+=+，得||A AB x =， ||||11D DF CD x =+=+，得||D CD x =，又AB u u u r 与CD u u u r同向，∴1AB CD =u u u r u u u r g ．故答案为：1．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 9 ． 【解答】解：由题意得111sin120sin 60sin 60222ac a c ︒=︒+︒，即ac a c =+， 得111a c+=， 得11444(4)()525459c a c aa c a c a c a c a c+=++=+++=+=g …，当且仅当4c aa c=，即2c a =时，取等号， 故答案为：9．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，1AB =，AM PD ⊥于点M ，连接BM ．（1）求证：PD BM ⊥；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值．【解答】解：（1）PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥， 由AB AD ⊥，AD PA A =I ，故AB ⊥平面PAD ， 因为PD 在平面PAD 内，故AB PD ⊥， 因为AM PD ⊥，AB AM A =I ，所以PD ⊥平面ABM ，由BM 在平面ABM ，所以PD MB ⊥；（2）以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，(0P ，0，2)，(1B ，0，0)，(1C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0M ，1，1)， (1,2,0),(0,1,1),(1,0,0)AC AM CD ===-u u u r u u u u r u u u r，设平面ACM 的法向量为(,,)n x y z =r，由200n AC x y n Am y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，得(2,1,1)n =-r ， 设平面ACM 和直线CD 所成角为α，则26sin |cos ,|36n CD α=<>==u u ur r ， 故平面ACM 和直线CD 所成角为6318．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足22c b ==，2cos cos cos 0b A a C c A ++=，又点D 满足1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r．（1）求a 及角A 的大小； （2）求||AD u u u r的值．【解答】解：（1）由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理得2sin cos sin cos cos sin B A A C A C -=+，即2sin cos sin()sin B A A C B -=+=，在ABC ∆中，sin 0B >，所以1cos 2A =-．又(0,)Aπ∈，所以23A π=． 在ABC ∆中，22c b ==，由余弦定理得222222cos 7a b c bc A b c bc =+-=++=， 所以7a =．（2）由1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，得221244414()21()3399929AD AB AC =+=++⨯⨯⨯-=u u u r u u u r u u u r ，所以2||3AD =u u u r ．19．已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，112b =，11112,222n n n n n n a a b b a b ++=+=+． （1）证明：数列{}n n a b +，{}n n a b -为等比数列； （2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：103n S <． 【解答】解：（1）数列{}n a ，{}n b 满足11a =，112b =，11112,222n n n n n n a a b b a b ++=+=+． 所以11122122n n n n n n a a b b a b ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩整理得两式相加113()4n n n n a b a b +++=+，即1134n n n n a b a b +++=+（常数），数列{}n n a b +为等比数列；同理两式相减111()4n n n n a b a b ++-=-，即1114n n n n a b a b ++-=-（常数）故数列{}n n a b -为等比数列．证明：（2）由（1）得：133()24n n n a b -+=，111()24n n n a b --=，整理得31()()44n n n a =+，所以331131(1)(1)104444443131311114444n n n n S --=+<+=---- 20．函数22()2(2)4f x x x lnx x x =--+．（Ⅰ）求()f x 在x e =处的切线方程(e 为自然对数的底数）；（Ⅱ）设32()33()g x x x x f x =-++，若1x ，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，满足12()()8g x g x +=，求证：121x x <．【解答】解：（Ⅰ）f （e ）2e =，()4(1)f x x lnx '=-，则f '（e ）4(1)e =-， 故()f x 在x e =处的切线方程为24(1)()y e e x e -=--，即24(1)340e x y e e ---+=； （Ⅱ）证明：由题可得2()3(1)4(1)g x x x lnx '=-+-，g '（1）0=，当01x <<时，10x -<，0lnx <，则()0g x '>；当1x >时，10x ->，0lnx >，则()0g x '>， 所以，当0x >时，()0g x '…，()g x 在(0,)+∞上是增函数， 设1()()()(01)G x g x g x x=+<<，则22431111()()()3(1)(1)4(1)(1)G x g x g x x lnx x x x x'='-'=--+--， 当01x <<时，10x -<，0lnx <，431110,10x x -<-<，则()0G x '<，()G x 在(0,1)上递减． 不妨设120x x <<，由于()g x 在(0,)+∞上是增函数，则12()()g x g x <，又12()()8g x g x +=，g （1）4=，则1()g x g <（1）2()g x <，于是1201x x <<<， 由101x <<，()G x 在(0,1)上递减，则1()G x G >（1）2g =（1）8=，所以111()()8g x g x +>，则1211()8()()g g x g x x >-=，又2111,1x x >>，()g x 在(0,)+∞上是增函数，所以，211x x >，即121x x <． 21．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=u u u u r u u u u r ，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与直线:30l x --=相切．过定点(0,2)M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线1l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）若实数λ满足MG MH λ=u u u u r u u u u r，求λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为12220F F F Q +=u u u u r u u u u r， 所以1F 为2F Q 中点． 设Q 的坐标为(3,0)c -，因为2AQ AF ⊥，所以2233b c c c =⨯=，2244a c c c =⨯=， 且过A ，Q ，2F 三点的圆的圆心为1(,0)F c -，半径为2c ．（2分） 因为该圆与直线l 相切，所以|3|22c c --=． 解得1c =，所以2a =，3b =故所求椭圆方程为22143x y +=．（4分） （Ⅱ）设1l 的方程为2(0)y kx k =+>， 由222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)1640k x kx +++=．设1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，则1221634kx x k +=-+．（5分）所以112212(,)(,)(2PG PH x m y x m y x x m +=-+-=+-u u u r u u u r，12)y y +． 12(2x x m =+-，1221212121()4)(,)(,())k x x GH x x y y x x k x x ++=--=--u u u u r． 由于菱形对角线互相垂直，则()0PG PH GH +=u u u r u u u r u u u u r g ．（6分）所以21122112()[()2]()[()4]0x x x x m k x x k x x -+-+-++=． 故2211212()[()2()4]0x x x x m k x x k -+-+++=． 因为0k >，所以210x x -≠．所以21212()2()40x x m k x x k +-+++= 即212(1)()420k x x k m +++-=． 所以2216(1)()42034kk k m k +-+-=+ 解得2234km k =-+．即234m k k=-+．因为0k >，所以0m <． 故存在满足题意的点P 且m的取值范围是[．（8分） （Ⅲ）①当直线1l 斜率存在时，设直线1l 方程为2y kx =+，代入椭圆方程22143x y +=得22(34)1640k x kx +++=． 由△0>，得214k >．（9分） 设1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，则1221634kx x k+=-+，122434x x k =+． 又MG MH λ=u u u u r u u u u r，所以1(x ，122)(y x λ-=，22)y -．所以12x x λ=．（10分）所以122(1)x x x λ+=+，2122x x x λ=．所以2212122()1x x x x x λλ+==+．将上式代入整理得： 2264(1)34k λλ+=+．（11分） 因为214k >，所以26441634k <<+．即2(1)416λλ+<<． 所以14216λλ<++<．解得77λ-<+．又01λ<<，所以71λ-<．（13分）②又当直线1l 斜率不存在时，直线1l 的方程为0x =，此时G ，(0,H ，2)MG =-u u u u r ，(0,2)MH =u u u u r，MG =u u u u r u u u r ，所以7λ=-71λ-<，即所求λ的取值范围是[7-．（14分） 22．以平面直角坐标系原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为23(12x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ= （Ⅰ） 求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ） 设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB ． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=， 转化为：2(sin )4cos ρθρθ=， 进一步转化为直角坐标方程为：24y x =（Ⅱ）把直线l 的参数方程为23(12x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数）化为：231x y +=， 代入24y x =得2620y y +-=； 设A 、B 的纵坐标分别为1y 、2y ； 则122y y =-，126y y +-；则12||y y -=；12||||AB y y =-所以||AB = [不等式选讲]23．已知函数13()||||22f x x x =++-．（1）求不等式()3f x „的解集； （2）若关于x 的不等式1()|1|2f x a <-的解集是空集，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）不等式()3f x „，即13||||322x x ++-„．不等式的几何意义，是数轴是的点x ，到12-与32的距离之和不大于3，12x ∴-剟，不等式的解集为{|12}x x -剟； （Ⅱ）函数13()||||22f x x x =++-．由绝对值的几何意义可知：()2min f x …， 关于x 的不等式1()|1|2f x a <-的解集非空， 只须：12|1|2a <-，解得3a <-或5a >． 关于x 的不等式1()|1|2f x a <-的解集是空集，可得35a -剟．。
陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试理科数学试题
榆林市2021届高考模拟第一次测试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 为纯虚数，且,12m iz m R i+=∈-，则m =（ ） A ．12- B ．12C ．2-D ．22．集合{}23,log ,{,}A a B a b ==，若{0}A B =，则A B =（ ） A ．{0,3} B ．{0,1} C ．{0,2,3} D ．{0,1,3}3．如图，角,αβ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，则OA OB ⋅=（ ）A ．cos()αβ-B ．cos()αβ+C ．sin()αβ-D ．sin()αβ+4．下列四个函数：①23y x =+；②1y x=；③2xy =；④12y x =，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC +6．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中一共随机选择拨珠三粒（往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠），算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．167．已知a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．,,//a b αβαβ⊥⊥ B ．,//,a b a αββ⊥⊥ C ．,,//a a b βαβ⊂⊥ D ．,//,a b αβαβ⊂⊥ 8．若()2|sin |cos f x x x =，则（ ） A ．图像关于直线4x π=对称 B ．图像关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．最小正周期为π D ．在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增9．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3A π=，4b =，ABC 的面积为则sin B =（ ）A ．B C D 10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，若2ABF 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．CD ．311．设110,022a b <<<<，随机变量的分布则当a 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时，（ ）A ．()E ξ增大，()D ξ增大B ．()E ξ增大，()D ξ减小C ．()aE ξ减小，()D ξ增大 D ．()E ξ减小，()D ξ减小12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且()f x 在(1,0)-上递减．若125a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，(ln2)b f =-，()3log 18c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c << 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若二项式21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为_________．14．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若||4AF =，则OAB （O 为坐标原点）的面积为_________．15．已知一个棱长为1的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体（包括底面）的表面积为_________． 16．若1201x x <<<，则下面不等式正确的是_________．①1122ln ln x x x x <；②2112ln ln x x x x <；③1212x x x e x e >；④1221x x x e x e >；⑤2121ln ln x x e e x x -<-． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足1(1)n n b a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．18．（12分）为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务．已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；（2）据统计，该城市被访者的签约率约为44%．为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由．19．（12分）如图，在正四面体A BCD -中，点E ，F 分别是,AB BC 的中点，点G ，H 分别在,CD AD 上，且14DH AD =，14DG CD =．（1）求证：直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线BD 上；（2）求直线AB 与平面EFGH 所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a与抛物线2:2(0)=>C x py p 有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆Γ于A ，B 两点，且||1=AB ． （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，若P 为椭圆Γ上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与椭圆Γ的焦点F为半径的圆F 交于M ，N 两点，求证：||MN 为定值．21．（12分）已知函数2,0()12,02⎧⎪=⎨-+->⎪⎩x e x f x x x x ． （1）设()()=g x xf x ，求()g x 的单调区间；（2）求证：存在恰有2个切点的曲线()=y f x 的切线．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系 xOy 中，直线l 过点(0,2)P ，倾斜角为2⎛⎫≠ ⎪⎝⎭παα．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：2cos 2sin 0-=ρθθ． （1）求直线l 的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，M 为AB 中点，且满足||,||,||PA PM PB 成等比数列，求直线l 的斜率．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|||23|=++-f x x a x ． （1）当1=a 时，求()f x 的最小值；（2）当[,22]∈-x a a 时，不等式()|5|+f x x 恒成立，求实数a 的取值范围．榆林市2021届高考模拟第一次测试理科数学逐题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．解析：因为12+=-m i z i 为纯虚数，所以(,)12+=∈∈-R R m iai a m i，即：2+=+m i a ai ，从而1,2==a m ，故选D ．2．解析：因为{0}=A B ，所以2log 0=a ，即：1,0,{3,0},{1,0}====a b A B ，从而{0,1,3}=A B ，故选D ．3．解析：因为(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ，所以cos cos sin sin cos()⋅=+=-OA OB αβαβαβ，故选A ． 4．解析：由上表可知：定义域与值域相同的函数的个数为3，故选C ．5．解析：131()444=-=-+=-EB AB AE AB AB AC AB AC ，故选A ．6．解析：从个位和十位这两组中一共随机选择拨珠三粒可以表示6个数，分别为：7，16，25，52，61，70，其中质数有：7，61，故2163==P ，故选A ． 7．解析：在A 、B 、C 的条件下，都可能出现//a b ，故选C ． 8．解析：()2|sin |cos =f x x x 的简图如下：由图可知：A 、C 、D 均错误，故选B ． 9．解析：【解法1】：1sin 2===S bc A ，所以3=c ，由余弦定理可得：2222cos 13,=+-==a b c bc A a ，又由正弦定理可得：sin sin =a bA B，所以sin sin ==b A B a A ．【解法2】：作⊥CD AB 于D ，因为3=A π，4=b ，所以2==CD AD ，又因为ABC 的面积为1,====CD BD BC B BC ，故选A ．10．解析：取OA 的中点D ，连结2DF ，设2=AF m ，则112,22=-=-AF m a BF m a ，因为1222-=-=BF BF m a a ，所以124,4,===m a DF a DF ，从而122,====cF F c e a故选C ．11．解析：当a 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时，b 减小，数据分布整体变小，数据更集中，所以()E ξ减小，()D ξ减小，故选D ． 12．解析：()15-=a f ，(ln2)(ln2)=-=b f f ，()()()()3333log 182log 2log 2log 2==+=-=c f f f f ，因为12315log 2ln 212-<<<<，()f x 在(0,1)上递增，所以()1235log 2(ln 2)-⎛⎫<< ⎪⎝⎭f f f ，即<<a c b ，故选A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案：15．解析：264,6==n n ，二项式621⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 的展开式中常数项为446(1)15-=C ．14．答案：3． 解析：2||41cos ==-AF θ，所以60=θ，则OAB （O 为坐标原点）的面积为：2212sin 2sin 22sin ⋅⋅==p p p θθθ．15．答案：92π． 解析：长、宽、高分别为1，1，2的长方体内接于该球，则222241126=++=R ，所以该半球体（包括底面）的表面积为2932=R ππ． 16．答案：②④．解析：①令()ln ,()1ln '==+f x x x f x x ，当(0,1),()∈'x f x 的正负不确定，故11ln x x 与22ln x x 的大小不确定，故①错误； ②令2ln 1ln (),()-'==x xg x g x x x ，当(0,1),()0'∈>x g x ，所以()g x 在(0,1)上单调递增，因为1201<<<x x ，所以()()121212ln ln ,<<x x g x g x x x ，即：2112ln ln <x x x x ，故②正确； ③令(),()(1)='=+x x h x xe h x x e ，当(0,1),()0'∈>x h x ，所以()h x 在(0,1)上单调递增，因为1201<<<x x ，所以()()12<h x h x ，即：1212<x x x e x e ，故③错误；④令1(),()'-==x xx xx x e eϕϕ，当(0,1),()0'∈>x x ϕ，所以()x ϕ在(0,1)上单调递增，因为1201<<<x x ，所以()()121212,<<x x x x x x e eϕϕ，即：1221>x x x e x e ，故④正确； ⑤令1()ln ,()=-=-'x x r x e x r x e x ，当(0,1),()∈'x r x 的符号不能确定，所以22ln -x e x 与11ln -x e x 的大小不能确定，21-x x e e 与21ln ln -x x 的大小不能确定，故⑤错误；三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．解析：（1）因为74749==S a ，所以77=a ，而35=a ，设数列{}n a 的公差为d ，则2=d ，21=-n a n ；（2）()2112=+=n n S n a a n ，11(1)(1)(21)11(1)(1)1++--+⎛⎫===-+ ⎪++⎝⎭n n n n n n n a n b S S n n n n ，211111111211223342212121=--++--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=-=-+++n nT n n n n ．18．解析：（1）该城市年龄在50-60岁的签约人数为：10000.0151055.7%83.55⨯⨯⨯=万； 在60-70岁的签约人数为：10000.0101061.7%61.7⨯⨯⨯=万； 在70-80岁的签约人数为：10000.0041070.0%28⨯⨯⨯=万； 在80岁以上的签约人数为：10000.0031075.8%22.74⨯⨯⨯=万；故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：83.5561.72822.74199.55+++=万；（2）年龄在10-20岁的人数为：10000.0051050⨯⨯=万；年龄在20-30岁的人数为：10000.01810180⨯⨯=万．所以，年龄在18-30岁的人数大于180万，小于230万，签约率为30.3%；年龄在30-50岁的人数为10000.03710370⨯⨯=万，签约率为37.1%．年龄在50岁以上的人数为：10000.03210320⨯⨯=万，签约率超过55%，上升空间不大．故由以上数据可知这个城市在30-50岁这个年龄段的人数为370万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高30-50这个年龄段的签约率．19．解析：（1）因为11,24∥∥EF AC GH AC ，所以12∥GH EF ，故E ，F ，G ，H 四点共面，且直线,EH FG 必相交于一点，设=EHFG M ，因为,∈M EH EH 平面ABD ，所以∈M 平面ABD ，同理：∈M 平面BCD ，而平面ABD 平面=BCD BD ，故∈M 平面BCD ，即直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线BD 上；（2）解法1：取BD 的中点O ，则,⊥⊥BD OA BD OC ，所以⊥BD 平面AOC ，不妨设=OD ，则1441441921cos 212123+-∠==⨯⨯AOC ，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,(12,0,0),(6,--A B C F G ，故=BA，(=-FG，(8,0,=-AC，(4,0,=-EF ，设平面平面EFGH 的法向量为(,,)=n x y z ，由0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n EF n FG 可得：50⎧+=⎪⎨=⎪⎩y x ，令=x ，则(52,=n ，则182cos ,3||||92⋅<>===⨯BA n BA n BA n ，故直线AB 与平面EFGH解法2：将正四面体-A BCD 放入如图的正方体中，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(2,0,2),(2,2,4),(3,3,0)E F H ，故(4,0,4),(0,2,2),(1,1,4)===-AB EF FH ，设平面平面EFGH 的法向量为(,,)=n x y z ，由00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n EF n FH 可得：040+=⎧⎨+-=⎩y z x yz ，令1=z ，则(5,1,1)=-n ，则cos ,3||||42⋅<>===⨯AB n AB n AB n ，故直线AB 与平面EFGH解法3：连结,EG BG ，设直线AB 与平面EFGH 所成的角为θ，点A 到平面EFGH 的距离为d ，正四面体的棱长为4，，所以E 到平面BFG ，在CFG 中，由余弦定理可得：7==FG 在等腰梯形EFGH 中可得：G 到EF ，而G 到BF的距离也为，所以BFG 的面积与BFG的面积相等，由--=E BFG B EFG V V 可得：3=d，故sin 3==d BE θ，即直线AB 与平面EFGH 所成角的正弦值为320．解析：（1）由题意：2222114414⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩p a pa ，∴24=a，=pΓ的方程为：2214+=y x ，抛物线C 的方程为：2=x ；（2）设(,)P m n ，则2214+=n m ，圆P 的方程为：2222()()-+-=+x m y n m n ，圆F的方程为：22(5+-=x y ，所以直线MN的方程为：(10+-=mx n y ，设点F 到直线MN 的距离为d，则2,||2======d MN ．21．解析：（1）32,0()12,02⎧⎪=⎨-+->⎪⎩x xe x g x x x x x ，2(1),0()134,02⎧+⎪=⎨-+>⎩'-⎪x x e x g x x x x ，当1<-x或0<<x或>x ()0'<g x ，当10-<x<<x 时，()0'>g x ，所以()g x 的单调减区间为(,1)-∞-和40,6⎛- ⎝⎭和46⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为(1,0)-和4466⎛-+ ⎝⎭； （2）,0()22,0⎧=⎨-'+>⎩x e x f x x x ，假设存在直线以()()11,A x f x ，()()22,B x f x 为切点，不妨设12<x x ，则120,0>x x ，以()()11,A x f x 为切点的切线方程为：()1111=+-x x y e x e x ，以()()22,B x f x 为切点的切线方程为：()2221222=-+-y x x x ，所以()11221222112⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩x x e x e x x ，令1=x t e ，则(0,1]∈t，2 84ln 20-++=t t t t ，令2()84ln 2,(0,1],()244ln =-++-'∈=+t t t t t t t t t ϕϕ在(0,1]上递增，()(1)20''=-<t ϕϕ，所以()t ϕ在(0,1]上递减，(1)50=-<ϕ，()30-=>e ϕ，故存在唯一的t 满足284ln 20-++=t t t t ，即存在恰有2个切点的曲线()=y f x 的切线．22．解析：（1）因为直线l 过点(0,2)P ，倾斜角为2⎛⎫≠ ⎪⎝⎭παα，所以直线l 的参数方程为cos 2sin =⎧⎨=+⎩x t y t αα（t 为参数），因为2cos 2sin =ρθθ，所以22cos 2sin =ρθρθ，所以曲线C 的直角坐标方程为：22=x y ；（2）将直线l 的参数方程为cos 2sin =⎧⎨=+⎩x t y t αα（t 为参数）代入22=x y 可得：22cos 2sin 40--=t t αα，因为||,||,||PA PM PB 成等比数列，所以()212124+=t t t t ，即：2424sin 16cos cos =ααα，解得：2tan 4=α，故直线l 的斜率为2±．23．解析：（1）当1=a 时，()|1||23|=++-f x x x ，所以min 35()min (1),22⎧⎫⎛⎫=-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭f x f f ，故()f x 的最小值为52；（2）因为22->a a ，所以2>a ，当[,22]∈-x a a 时，0,230,50+>->+>x a x x ，不等式()|5|+f x x 可化为：235++-+x a x x ，即：28-+a x 恒成立，所以412-+a a ，即：125a ，故实数a 的取值范围为122,5⎛⎤⎥⎝⎦．。
2020届陕西省榆林市高三下数学理高考试题试卷模拟测试题
2020届陕西省榆林市绥德县绥德中学高三下数学理第五次模拟试题数 学（理）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若21i z i -=+，则z z +=（ ） A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．32. 设集合2{},{32}A x x a B x x a =>=<-，若A B φ=，则a 的取值范围为（ ）A ．(1，2)B ．(,1)(2,)-∞+∞C ．[1，2]D ．(,1][2,)-∞+∞ 3. 若曲线sin(4)(02)y x ϕϕπ=+<<关于点(,0)12π对称，则ϕ=（ ） A ．23π或53π B ．3π或43π C ．56π或116π D ．6π或76π 4. 若x >0，y <0，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2x －2y >x 2B ．1222log (1+)x y x ->C ．2y －2x >x 2 D. 1222log (1+)y x x ->2x －2y >x 25. 如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是半圆弧的两个三等分点，则AB =（ ）A ．AC AD -B ．22AC AD - C ．AD AC -D ．22AD AC -6. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。
如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。
”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。
例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，512BC AC -=。
根据这些信息，可得sin234°＝（ ） A ．125- B.35+= C ．51+- D ．45+-7. 若函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩在(－∞，a ]上的最大值为4，则a 的取值范围为)（ ）A ．[0，17]B ．(－∞，17]C ．[1，17]D ．[1，＋∞)8.如图，图C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1)，图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C 经过点A(2，15)，则圆C 的半径为]（ ）A ．72B ．8C ．82D ．10 9. 函数||lg )33()(x x f x x -+=的图象大致为]（ ）yx O10. 2019年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡。
陕西省榆林市2020届高三模拟第一次测试 理数答案
绝密★启用前榆林市2020届高考模拟第一次测试数学（理科）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）三、解答题(共70分) 17.(本小题满分12分)（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ,∴PA AB ⊥.∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB AD ⊥，AD PA A =，AD ⊂平面PAD ,PA ⊂平面PAD ,∴AB ⊥平面PAD .∵PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥. ………………………………………………3分 ∵AM PD ⊥,ABAM A =，AB ⊂平面ABM ,AM ⊂平面ABM ,∴PD ⊥平面ABM .又∵BM ⊂平面ABM ,∴PD BM ⊥; …………………………………………6分 （Ⅱ）解：如解图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -， 则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,1,1)M . ∴(1,2,0)AC =，(0,1,1)AM =，(1,0,0)CD =-. ……………………………8分设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =，由,n AC n AM ⊥⊥可得：20,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩令1z =，得2, 1.x y ==-∴(2,1,1)n =-. ……10分 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则||sin |cos ,|3||||CD n CD n CD n α⋅=<>==-. ∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为3……………………………12分 18.(本小题满分12分)解:（Ⅰ）∵2cos cos cos 0b A a C c A ++=，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A A C C A ++=, 即2sin cos sin()0B A A C ++=，∵A +B +C =π，∴sin(A +C )=sin B ，∴2sin cos sin 0B A B +=. …………………2分 又∵0B π<<,即sin 0B >， ∴1cos 2A =-，而0A π<<,∴23A π=. ………………………………………4分 又∵22c b ==，即21c b ==，，由余弦定理得2222212cos 1+2212=72a b c bc A ⎛⎫=+-=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭--. ∴a =………………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵1233AD AB AC =+， ∴21212||()()3333AD AD AD AB AC AB AC =⋅=+⋅+………………………8分 22144=||+||+999AB AC AB AC ⨯⋅ 44414++21()99929=⨯⨯⨯-= ∴2||=3AD . …………………………………………………………………………12分 19.(本小题满分12分)解:（Ⅰ）依题意11122122n n n n n n a a b b a b ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①②,由①+②得113()4n n n n a b a b +++=+，∴113+4n n n n a b a b +++=，又∵1113122a b +=+=，∴{}n n a b +是以32为首项，34为公比的等比数列. ………………………………3分由①-②得111()4n n n n a b a b ++-=-，1114n n n n a b a b ++=--，又∵1111122a b -=-=，∴{}n n a b -是以12为首项，14为公比的等比数列. ………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得1333()=2()244n n n n a b -+= ③ ，1111()=2()244n nn n a b --= ④，③+④得13()()44n nn a =+. …………………………………………………………9分则1133[1()][1()]1134444(1)3[1()]133441144n n n n n S --=+=-+--- 110333<+=.…………………………………………………………………12分20．(本小题满分12分)（Ⅰ）解：当4a =时，22()(24)ln 4.f x x x x x x =--+ ∴2(e)e f =，且()4(1)ln f x x x '=-，则(e)4(e 1)f '=-. ∴()f x 在e x =处的切线方程为2e 4(e 1)(e)y x -=--，即24(e 1)3e 4e 0x y ---+=. …………………………………………………4分 （Ⅱ）证明：由题可得()()()23141ln g x x x x '=-+-，而()10g '=，当01x <<时，10,ln 0x x -<<，则()0g x '>， 当1x >时，10,ln 0x x ->>，则()0g x '>，∴当0x >时，()0g x '≥，()g x 在()0,+∞上是增函数. …………………………6分 设()()()101G x g x g x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，则()()()()22431111311411ln G x g x g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当01x <<时,10,ln 0x x -<<,431110,10,x x-<-< 则()0G x '<,()G x 在()0,1上递减； …………………………………………………8分 不妨设120x x <<，由于()g x 在()0,+∞上是增函数，则()()12g x g x <，又∵()()128g x g x +=，()14g =，则()()()121g x g g x <<，于是1201x x <<<， 由101x <<，()G x 在()0,1上递减， ………………………………………………10分 则()()()11218G x G g >==.∴()1118g x g x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则()()12118g g x g x x ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭.又∵2111,1x x >>，()g x 在()0,+∞上是增函数，∴211x x >，即121x x <. ……12分 21. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）∵12220F F F Q +=，∴1F 为2F Q 中点.设Q 的坐标为(3, 0)c -，∴122===4OF OF c F Q c ，∵2AQ AF ⊥，∴2233b c c c =⨯=，222222=+=3+=4a b c c c c ，且过2, , A Q F 三点的圆的圆心为1(, 0)F c -，半径为2c . …………………………………………………2分 ∵该圆与直线l 3=0x ：-相切， ∴|3|22c c --=. 解得1c =，所以2a =，b =∴椭圆C 的方程为13422=+y x . ……………………………………………………4分 （Ⅱ）设1l 的方程为2y kx =+（0k >），由222,143y kx x y ì=+ïïïíï+=ïïïî得22(34)1640k x kx +++=.∵直线1l 与椭圆C 有两个交点，∴2224(16)4(34)40b ac k k =-⨯+⨯>-解得：214k >，又∵0k >，12k >. 设11(,)G x y ，22(,)H x y ，则1221634kx x k+=-+. ……………………………6分∴1122(, )(, )PG PH x m y x m y +=-+-=uu u r uuu r1212(2, )x x m y y +-+.=1212(2, () 4 )x x m k x x +-++21212121(, )(, ())GH x x y y x x k x x =--=--.∵菱形对角线互相垂直，则()PG PH +⋅0GH =.∴21122112()[()2] ()[()4]0x x x x m k x x k x x -+-+-++=.∴2211212()[()2 ()4]0x x x x m k x x k -+-+++=. …………………………8分∵0k >，∴210x x -?. ∴21212()2 ()40x x m k x x k +-+++=. 即212(1)()420k x x k m +++-=.∴2216(1)()42034kk k m k+-+-=+. 解得2234k m k =-+. 即234m k k=-+. ………………………………………10分 因为12k >，所以0m <. 故存在满足题意的点P 且m的取值范围是[ 0). ………………………12分 （Ⅲ）①当直线1l 斜率存在时，设直线1l 方程为2y kx =+，由（Ⅱ）知214k >，1221634k x x k +=-+，122434x x k=+. 又∵MG MH λ=，∴1122(,2)=(,2)x y λx y -- . ∴12=x λx .∴122=(1+)x +x λx ，2122=x x λx . ∴2212122()==1+x +x x x x λλ. ∴2222164()3434(1)k k k λλ-++=+. 整理得2264(1)34k λλ+=+. …………………………10分 ∵214k >，∴26441634k<<+. 即2(1)416λλ+<<. ∴14216λλ<++<.解得77λ-<<+.又∵01λ<<，∴71λ-<<.②当直线1l 斜率不存在时，直线1l 的方程为0x =，此时(0,G，(0, H，(0,2)MG =，(0, 2)MH =，23MG MH-=，所以7λ=-∴71λ-<，即所求λ的取值范围是[7 1)-. ……………………12分 22. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）∵ 由θθρcos 4sin 2=，∴ θρθρcos 4sin 22=，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x y 42=. …………………………………………5分（Ⅱ）∵ 直线l 的参数方程为=23 =1+2 x t y t ⎧⎨⎩-①-②（t 为参数）由①×②+②×3得2x +3y =4-3=1，∵k =10分 23. (本小题满分10分) 解：（Ⅰ）∵ 13||||322x x ++-≤， ∴3221236x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或132221(23)6x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩， ……3分 解得223≤<x 或2321≤≤-x 或211-<≤-x ， …………………………………4分 ∴不等式()3f x ≤的解集为{}21≤≤-x x . ……………………………………5分 （Ⅱ）∵ 4)32()12(3212)(2=--+≥-++=x x x x x f ，∴ min [2()]4f x =，…7分又∵ a x f -<121)(的解集是空集，∴2f (x )＜|1-a |的解集是空集， …………8分 41≤-，解得a ∈[]5,3-. ……………………………………………………9分∴不等式a x f -<121)(的解集是空集，则实数a 的取值范围为[]5,3- ………10分。
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)(含解析)
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设z＝−3+2i，则在复平面内z¯对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合A＝{x|x2−5x+6>0}，B＝{x|x2−1<0}，则A∩B＝（）A.(−∞, 1]B.(−1, 1)C.(−∞, −1)D.(−∞, −1)∪(3, +∞)3.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A.45B.50C.55D.604.若0<m<n，则下列结论正确的是（）A.2m>2nB.0.5m<0.5nC.log2m>log2nD.log0.5m>log0.5n5.关于甲、乙、丙三人参加高考结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取．则三人中被录取的是()A.甲B.丙C.甲与丙D.甲与乙6.已知向量m→=(λ+1,1),n→=(λ+2,2)，若(m→+n→)⊥(m→−n→)，则λ＝（）A.−4B.−3C.−2D.−17.已知α∈(0, π)，2sin2α＝cos2α−1，则sinα＝（）A.15B.√55C.−√55D.2√558.定义函数f(x)={sinx,sinx≥cosx cosx,sinx<cosx，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[−1, 1]；（2）当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2(k∈Z)时，f(x)<0．上述命题中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知偶函数f(x+π2)，当x∈(−π2,π2)时，f(x)=x13+sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则（）A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b10.若m>0，n>0，且直线(m+1)x+(n+1)y−2＝0与圆x2+y2−2x−2y+1＝0相切，则m+n的取值范围是（）A.[2+√2, +∞)B.[2+2√2, +∞)C.(0, 2+√2]D.(0, 2+2√2]11.设F 1，F 2分别为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M ，N 两点，且满足∠MAN =120∘，则该双曲线的离心率为()A.√213 B.√193 C.23 D.7√3312.定义域为R 的函数f(x)满足f(x +2)＝2f(x)，当x ∈[0, 2)时，f(x)={x 2−x,x ∈[0,1)−(12)|x−32|x ∈[1,2) ，若当x ∈[−4, −2)时，不等式f(x)≥t 24−t +12恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A.[2, 3]B.[1, 3]C.[1, 4]D.[2, 4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）曲线C:y ＝xlnx 在点M(e, e)处的切线方程为________．已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠BAC ＝120∘，则此球的表面积等于________．如图，抛物线C 1:y 2＝4x 和圆C 2：(x −1)2+y 2＝1，直线l 经过C 1的焦点F ，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →⋅CD →的值是________．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =120∘，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a +c 的最小值为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，AM ⊥PD 于点M ，连接BM ．（1）求证：PD ⊥BM ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c ＝2b ＝2，2bcosA +acosC +ccosA ＝0，又点D 满足AD →=13AB →+23AC →．（1）求a 及角A 的大小；（2）求|AD →|的值．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ,2b n+1=12a n +b n ．（1）证明：数列{a n +b n }，{a n −b n }为等比数列；（2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n <103．函数f(x)＝2(x 2−2x)lnx −x 2+4x ．(Ⅰ)求f(x)在x ＝e 处的切线方程（e 为自然对数的底数）；(Ⅱ)设g(x)＝x 3−3x 2+3x +f(x)，若x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1≠x 2，满足g(x 1)+g(x 2)＝8，求证：x 1x 2<1．设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→+F 2Q →=0，若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l:x −√3y −3=0相切．过定点M(0, 2)的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 1的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P(m, 0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由；(Ⅲ)若实数λ满足MG →=λMH →，求λ的取值范围．以平面直角坐标系原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l的参数方程为{x=2−3ty=−1+2t（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．[不等式选讲]已知函数f(x)＝|x+12|+|x−32|．（1）求不等式f(x)≤3的解集；（2）若关于x的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，求实数a的取值范围．2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设z ＝−3+2i ，则在复平面内z ¯对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】∵z ＝−3+2i ，∴z ¯=−3−2i ，∴在复平面内z ¯对应的点为(−3, −2)，在第三象限．2.设集合A ＝{x|x 2−5x +6>0}，B ＝{x|x 2−1<0}，则A ∩B ＝（ ）A.(−∞, 1]B.(−1, 1)C.(−∞, −1)D.(−∞, −1)∪(3, +∞) 【解答】∵集合A ＝{x|x 2−5x +6>0}＝{x|x <2或x >3}，B ＝{x|x 2−1<0}＝{x|−1<x <1}，∴A ∩B ＝{x|−1<x <1}＝(−1, 1)．3.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）A.45B.50C.55D.60【解答】∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P＝(0.005+0.010)×20＝0.3，又∵低于60分的人数是15人，=50．则该班的学生人数是150.34.若0<m<n，则下列结论正确的是（）A.2m>2nB.0.5m<0.5nC.log2m>log2nD.log0.5m>log0.5n【解答】∵0<m<n，∴2m<2n，0.5m>0.5n，log2m<log2n，log0.5m>log2n．5.关于甲、乙、丙三人参加高考结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取．则三人中被录取的是()A.甲B.丙C.甲与丙D.甲与乙【解答】解：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；其逆否命题为：若乙、丙不都被录取，则甲被录取．由②乙与丙中必有一个未被录取．③或者甲未被录取，或者乙被录取．假设丙被录取，①③不正确，不符合题意．假设乙被录取，则①③都正确，因此甲乙都被录取．则三人中被录取的是甲乙．故选D.6.已知向量m→=(λ+1,1),n→=(λ+2,2)，若(m→+n→)⊥(m→−n→)，则λ＝（）A.−4B.−3C.−2D.−1【解答】m→+n→=(2λ+3,3),m→−n→=(−1,−1)，∴(2λ+3)×(−1)−3＝0，∴λ＝−3．7.已知α∈(0, π)，2sin2α＝cos2α−1，则sinα＝（）A.15B.√55C.−√55D.2√55【解答】∵α∈(0, π)，∴sinα>0，∵2sin2α＝cos2α−1，∴4sinαcosα＝−2sin2α，可得2cosα＝−sinα，又∵sin2α+cos2α＝1，∴sin2α+(−12sinα)2＝1，∴sinα=2√55．8.定义函数f(x)={sinx,sinx≥cosx cosx,sinx<cosx，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[−1, 1]；（2）当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2(k∈Z)时，f(x)<0．上述命题中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】该函数的值域为[−√22, 1]；故（1）错；当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)或x＝2kπ(k∈Z)时，该函数取得最大值；帮（2）错；该函数是以2π为最小正周期的周期函数；（3）错；当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2(k∈Z)时，f(x)<0，（4）正确．故选：A．9.已知偶函数f(x+π2)，当x∈(−π2,π2)时，f(x)=x13+sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则（）A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b 【解答】∵当x∈(−π2,π2)时，y＝sinx单调递增，y=x13也为增函数，∴函数f(x)=x 13+sinx，也为增函数．∵函数f(x+π2)为偶函数，∴f(−x+π2)=f(x+π2)，即函数的对称轴为x=π2，即f(x)＝f(π−x)∴f(2)＝f(π−2)，f(3)＝f(π−3)，∵0<π−3<1<π−2<π2，∴f(π−3)<f(1)<f(π−2)，即c<a<b，故选：D．10.若m>0，n>0，且直线(m+1)x+(n+1)y−2＝0与圆x2+y2−2x−2y+1＝0相切，则m+n的取值范围是（）A.[2+√2, +∞)B.[2+2√2, +∞)C.(0, 2+√2]D.(0, 2+2√2]【解答】由圆x2+y2−2x−2y+1＝0，得(x−1)2+(y−1)2＝1，得到圆心坐标为(1, 1)，半径r＝1，∵直线(m+1)x+(n+1)y−2＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d=√(m+1)2+(n+1)2=1，整理得：m+n+1＝mn≤(m+n2)2，设m +n ＝x(x >0)，则有x +1≤x 24，即x 2−4x −4≥0， 解得：x ≥2+2√2，则m +n 的取值范围为[2+2√2, +∞)．11.设F 1，F 2分别为双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M ，N 两点，且满足∠MAN =120∘，则该双曲线的离心率为() A.√213B.√193C.23D.7√33【解答】解：不妨设圆与y =ba x 相交且点M 的坐标为(x 0, y 0)(x 0>0)， 则N 点的坐标为(−x 0, −y 0)，联立y 0=ba x 0，x 02+y 02=c 2，得M(a, b)，N(−a, −b)， 又A(−a, 0)且∠MAN =120∘， 所以由余弦定理得4c 2=(a +a)2+b 2+b 2−2√(a +a)2+b 2⋅bcos120∘， 化简得7a 2=3c 2， 求得e =√213． 故选A ．12.定义域为R 的函数f(x)满足f(x +2)＝2f(x)，当x ∈[0, 2)时，f(x)={x 2−x,x ∈[0,1)−(12)|x−32|x ∈[1,2)，若当x ∈[−4, −2)时，不等式f(x)≥t 24−t +12恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A.[2, 3] B.[1, 3] C.[1, 4] D.[2, 4]【解答】当x ∈[0, 1)时，f(x)＝x 2−x ∈[−14, 0]； 当x ∈[1, 2)时，f(x)=−−(12)|x−32|∈[−1, −√22]， ∴当x ∈[0, 2)时，f(x)的最小值为−1，又∵函数f(x)满足f(x+2)＝2f(x)，∴当x∈[−2, 0)时，f(x)的最小值为−12，当x∈[−4, −2)时，f(x)的最小值为−14，若x∈[−4, −2]时，f(x)≥t 24−t+12恒成立，∴−14≥t24−t+12恒成立．即t2−4t+3≤0，解得1≤t≤3，∴t∈[1, 3]，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）曲线C:y＝xlnx在点M(e, e)处的切线方程为________．【解答】求导函数，y′＝lnx+1∴当x＝e时，y′＝2∴曲线y＝xlnx在点(e, e)处的切线方程为y−e＝2(x−e)即y＝2x−e已知直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120∘，则此球的表面积等于________．【解答】设直三棱柱ABC−A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的半径为R，如图所示：，∴直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120∘，∴由余弦定理得：cos1200=AB2+AC2−BC22AB⋅AC =−12，∴BC=√3，∴由正弦定理得：2r=BCsin120=2，∴r＝1，∴在Rt△OMC中，OC＝R，OM=12AA1=1，MC＝r＝1，∴R2＝12+12＝2，∴直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为：4πR2＝8π，故答案为：8π．如图，抛物线C 1:y 2＝4x 和圆C 2：(x −1)2+y 2＝1，直线l 经过C 1的焦点F ，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →⋅CD →的值是________．【解答】由题意可知直线l 的斜率存在且不等于0， 由抛物线C 1:y 2＝4x ，得F(1, 0)，则直线l 的方程为y −0＝k(x −1)，即y ＝kx −k ． 联立{y =kx −ky 2=4x，得k 2x 2−2k 2x −4x +k 2＝0， 解得：A(1+2k 2−2√k 2+1k 2,2k −2√k 2+1k)，D(1+2k 2+2√k 2+1k 2,2k +2√k 2+1k)，联立{y =kx −k (x −1)2+y 2=1，得B(1−√k 2+1√k 2+1)，C(1+√k 2+1√k 2+1)， AB →=√2−2k +2√k 2+1k ,√2−2k +2√k 2+1k)，CD →=(2k +2√k 2+1k −√22k +2√k 2+1k−√2)．∴AB →⋅CD →=1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =120∘，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a +c 的最小值为________． 【解答】解：由题意得12acsin120∘=12asin60∘+12csin60∘， 即ac =a +c ， 得1a +1c =1，得4a +c =(4a +c)(1a +1c )=ca +4a c+5≥2√ca ⋅4a c +5=4+5=9，当且仅当ca =4a c，即c =2a 时，取等号，故答案为：9．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，AM ⊥PD 于点M ，连接BM ．（1）求证：PD ⊥BM ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值． 【解答】PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，由AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，故AB ⊥平面PAD ， 因为PD 在平面PAD 内，故AB ⊥PD ， 因为AM ⊥PD ，AB ∩AM ＝A ，所以PD ⊥平面ABM ，由BM 在平面ABM ， 所以PD ⊥MB ；以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)，P(0, 0, 2)，B(1, 0, 0)，C(1, 2, 0)，D(0, 2, 0)，M(0, 1, 1)， AC →=(1,2,0),AM →=(0,1,1),CD →=(−1,0,0)，设平面ACM 的法向量为n →=(x,y,z)，由{n →⋅AC →=x +2y =0n →⋅Am →=y +z =0 ，得n →=(2,−1,1)，设平面ACM 和直线CD 所成角为α， 则sinα＝|cos <n →,CD →>|=√6=√63， 故平面ACM 和直线CD 所成角为√63已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c ＝2b ＝2，2bcosA +acosC +ccosA ＝0，又点D 满足AD →=13AB →+23AC →．（1）求a 及角A 的大小； （2）求|AD →|的值． 【解答】由2bcosA +acosC +ccosA ＝0及正弦定理得 −2sinBcosA ＝sinAcosC +cosAsinC ， 即−2sinBcosA ＝sin(A +C)＝sinB ， 在△ABC 中，sinB >0，所以cosA =−12． 又A ∈(0, π)，所以A =2π3．在△ABC 中，c ＝2b ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2−2bccosA ＝b 2+c 2+bc ＝7，所以a =√7． 由AD →=13AB →+23AC →，得AD →2=(13AB →+23AC →)2=49+49+49×2×1×(−12)=49， 所以|AD →|=23．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ,2b n+1=12a n +b n ．（1）证明：数列{a n +b n }，{a n −b n }为等比数列； （2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n <103．【解答】数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ,2b n+1=12a n +b n ． 所以{2a n+1=a n +12b n2b n+1=12a n +b n整理得两式相加a n+1+b n+1=34(a n +b n )，即a n+1+b n+1a n +b n=34（常数），数列{a n +b n }为等比数列；同理两式相减a n+1−b n+1=14(a n −b n )，即a n+1−b n+1a n −b n=14（常数）故数列{a n −b n }为等比数列． 证明：由（1）得：a n +b n =32(34)n−1，a n −b n =12(14)n−1，整理得a n =(34)n +(14)n ， 所以S n =34(1−3n 4n )1−34+14(1−14n )1−14<341−34+141−14=103函数f(x)＝2(x 2−2x)lnx −x 2+4x ．(Ⅰ)求f(x)在x ＝e 处的切线方程（e 为自然对数的底数）；(Ⅱ)设g(x)＝x 3−3x 2+3x +f(x)，若x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1≠x 2，满足g(x 1)+g(x 2)＝8，求证：x 1x 2<1．【解答】（1）f(e)＝e 2，f′(x)＝4(x −1)lnx ，则f′(e)＝4(e −1)，故f(x)在x ＝e 处的切线方程为y −e 2＝4(e −1)(x −e)，即4(e −1)x −y −3e 2+4e ＝0；（2）证明：由题可得g′(x)＝3(x −1)2+4(x −1)lnx ，g′(1)＝0，当0<x <1时，x −1<0，lnx <0，则g′(x)>0；当x >1时，x −1>0，lnx >0，则g′(x)>0，所以，当x >0时，g′(x)≥0，g(x)在(0, +∞)上是增函数， 设G(x)=g(x)+g(1x )(0<x <1)，则G ′(x)=g ′(x)−1x 2g ′(1x )=3(x −1)2(1−1x 4)+4(x −1)(1−1x 3)lnx ， 当0<x <1时，x −1<0，lnx <0，1−1x 4<0,1−1x 3<0，则G′(x)<0，G(x)在(0, 1)上递减．不妨设0<x 1<x 2，由于g(x)在(0, +∞)上是增函数，则g(x 1)<g(x 2)， 又g(x 1)+g(x 2)＝8，g(1)＝4，则g(x 1)<g(1)<g(x 2)，于是0<x 1<1<x 2，由0<x 1<1，G(x)在(0, 1)上递减，则G(x 1)>G(1)＝2g(1)＝8，所以g(x 1)+g(1x 1)>8，则g(1x 1)>8−g(x 1)=g(x 2)，又1x 1>1,x 2>1，g(x)在(0, +∞)上是增函数，所以，1x 1>x 2，即x 1x 2<1．设椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→+F 2Q →=0，若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l:x −√3y −3=0相切．过定点M(0, 2)的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 1的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P(m, 0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由；(Ⅲ)若实数λ满足MG →=λMH →，求λ的取值范围．【解答】（1）因为2F 1F 2→+F 2Q →=0， 所以F 1为F 2Q 中点． 设Q 的坐标为(−3c, 0)，因为AQ ⊥AF 2，所以b 2＝3c ×c ＝3c 2，a 2＝4c ×c ＝4c 2， 且过A ，Q ，F 2三点的圆的圆心为F 1(−c, 0)，半径为2c ． 因为该圆与直线l 相切，所以|−c−3|2=2c ．解得c ＝1，所以a ＝2，b =√3． 故所求椭圆方程为x 24+y 23=1．（2）设l 1的方程为y ＝kx +2(k >0)， 由{y =kx +2x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+16kx +4＝0．设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−16k3+4k 2．所以PG →+PH →=(x 1−m,y 1)+(x 2−m,y 2)=(x 1+x 2−2m, y 1+y 2)． ＝(x 1+x 2−2m, k(x 1+x 2)+4)GH →=(x 2−x 1,y 2−y 1)=(x 2−x 1,k(x 2−x 1))．由于菱形对角线互相垂直，则(PG →+PH →)⋅GH →=0．所以(x 2−x 1)[(x 1+x 2)−2m]+k(x 2−x 1)[k(x 1+x 2)+4]＝0． 故(x 2−x 1)[(x 1+x 2)−2m +k 2(x 1+x 2)+4k]＝0． 因为k >0，所以x 2−x 1≠0．所以(x 1+x 2)−2m +k 2(x 1+x 2)+4k ＝0 即(1+k 2)(x 1+x 2)+4k −2m ＝0． 所以(1+k 2)(−16k3+4k 2)+4k −2m =0解得m =−2k 3+4k 2．即m =−23k+4k．因为k >0，所以−√36≤m <0．故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是[−√36,0)． (Ⅲ)①当直线l 1斜率存在时，设直线l 1方程为y ＝kx +2，代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+16kx +4＝0． 由△>0，得k 2>14． 设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−16k3+4k 2，x 1x 2=43+4k 2．又MG →=λMH →，所以(x 1, y 1−2)＝λ(x 2, y 2−2)．所以x 1＝λx 2．所以x 1+x 2＝(1+λ)x 2，x 1x 2＝λx 22．所以(x 1+x 21+λ)2=x 22=x 1x 2λ．将上式代入整理得：643k 2+4=(1+λ)2λ．因为k 2>14，所以4<643k 2+4<16．即4<(1+λ)2λ<16．所以4<λ+1λ+2<16． 解得7−4√3<λ<7+4√3． 又0<λ<1，所以7−4√3<λ<1．②又当直线l 1斜率不存在时，直线l 1的方程为x ＝0，此时G(0,√3)，H(0,−√3)，MG →=(0,√3−2)，MH →=(0,−√3−2)，MG →=√32+√3→，所以λ=7−4√3．所以7−4√3≤λ<1，即所求λ的取值范围是[7−4√3,1)．以平面直角坐标系原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为{x =2−3ty =−1+2t（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|．【解答】（1）曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ， 转化为：(ρsinθ)2＝4ρcosθ，进一步转化为直角坐标方程为：y 2＝4x（2）把直线l 的参数方程为{x =2−3t y =−1+2t（t 为参数）化为：2x +3y ＝1， 代入y 2＝4x 得y 2+6y −2＝0；设A 、B 的纵坐标分别为y 1、y 2；则y 1y 2＝−2，y 1+y 2−6；则|y 1−y 2|=√36−4×(−2)=2√11； |AB|=√1+(−32)2×|y 1−y 2|=√132×2√11=√143，所以|AB|=√143．[不等式选讲]已知函数f(x)＝|x +12|+|x −32|．（1）求不等式f(x)≤3的解集；（2）若关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，求实数a 的取值范围． 【解答】不等式f(x)≤3，即|x +12|+|x −32|≤3． 不等式的几何意义，是数轴是的点x ，到−12与32的距离之和不大于3， ∴−1≤x ≤2，不等式的解集为{x|−1≤x ≤2}； 函数f(x)＝|x +12|+|x −32|．由绝对值的几何意义可知：f(x)min ≥2， 关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集非空， 只须：2<12|1−a|，解得a <−3或a >5． 关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，可得−3≤a ≤5．。
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题 :本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设z ＝﹣3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合A ＝{x |x 2﹣5x +6＞0}，B ＝{x |x 2﹣1＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，1] B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．604．若0＜m ＜n ，则下列结论正确的是（ ） A ．2m ＞2n B ．0.5m ＜0.5n C ．log 2m ＞log 2nD ．log 0.5m ＞log 0.5n5．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取．则三人中被录取的是（ ） A ．甲B ．丙C ．甲与丙D ．甲与乙6．已知向量m →=(λ+1，1)，n →=(λ+2，2)，若(m →+n →)⊥(m →−n →)，则λ＝（ ） A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣17．已知α∈（0，π），2sin2α＝cos2α﹣1，则sin α＝（ ） A ．15B ．√55C ．−√55D ．2√558．定义函数f(x)={sinx ，sinx ≥cosxcosx ，sinx ＜cosx ，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当x =2kπ+π2(k ∈Z)时，该函数取得最大值； （3）该函数是以π为最小正周期的周期函数； （4）当且仅当2kπ+π＜x ＜2kπ+3π2(k ∈Z)时，f （x ）＜0． 上述命题中正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知偶函数f(x +π2)，当x ∈(−π2，π2)时，f(x)=x 13+sinx ，设a ＝f （1），b ＝f （2），c ＝f （3），则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b10．若m ＞0，n ＞0，且直线（m +1）x +（n +1）y ﹣2＝0与圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y +1＝0相切，则m +n 的取值范围是（ ） A ．[2+√2，+∞）B ．[2+2√2，+∞）C ．（0，2+√2]D ．（0，2+2√2]11．设F 1、F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M ，N 两点，且满足∠MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√213B ．√193C ．23D ．7√3312．定义域为R 的函数f （x ）满足f （x +2）＝2f （x ），当x ∈[0，2）时，f （x ）={x 2−x ，x ∈[0，1)−(12)|x−32|x ∈[1，2)，若当x ∈[﹣4，﹣2）时，不等式f （x ）≥t 24−t +12恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[2，3]B ．[1，3]C ．[1，4]D ．[2，4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．曲线C ：y ＝xlnx 在点M （e ，e ）处的切线方程为 ．14．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于 ．15．如图，抛物线C 1：y 2＝4x 和圆C 2：（x ﹣1）2+y 2＝1，直线l 经过C 1的焦点F ，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →•CD →的值是 ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a +c 的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，AM ⊥PD 于点M ，连接BM ． （1）求证：PD ⊥BM ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c ＝2b ＝2，2b cos A +a cos C +c cos A ＝0，又点D 满足AD →=13AB →+23AC →．（1）求a 及角A 的大小； （2）求|AD →|的值．19．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ，2b n+1=12a n +b n ． （1）证明：数列{a n +b n }，{a n ﹣b n }为等比数列； （2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＜103． 20．函数f （x ）＝2（x 2﹣2x ）lnx ﹣x 2+4x ．（Ⅰ）求f （x ）在x ＝e 处的切线方程（e 为自然对数的底数）；（Ⅱ）设g （x ）＝x 3﹣3x 2+3x +f （x ），若x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1≠x 2，满足g （x 1）+g （x 2）＝8，求证：x 1x 2＜1． 21．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→+F 2Q →=0，若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l ：x −√3y −3=0相切．过定点M （0，2）的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 1的斜率k ＞0，在x 轴上是否存在点P （m ，0），使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）若实数λ满足MG →=λMH →，求λ的取值范围．22．以平面直角坐标系原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为{x =2−3ty =−1+2t （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ（Ⅰ） 求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ） 设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |． [不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +12|+|x −32|． （1）求不等式f （x ）≤3的解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）＜12|1﹣a |的解集是空集，求实数a 的取值范围．。
2020年陕西高三一模数学试卷(理科)
2020年陕西高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1.设，则在复平面内 对应的点位于（ ）．A. B. C. D.2.已知集合，，则（ ）．3.已知函数，则（ ）．A.是奇函数，在区间上单调递减B.是非奇非偶函数，在区间上单调递减C.是偶函数，在区间上单调递增D.是偶函数，在区间上单调递减4.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四两，甲得十两四钱，戊得五两六钱，问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有人分两银子，甲得两钱，戊得两钱，且甲、乙、丙、丁、戊相邻两人分得银子的差额相等，则乙、丙、丁各分几两几钱？（注：两等于钱）（ ）．A.乙得两，丙得两，丁得两B.乙得两钱，丙得两，丁得两钱C.乙得两钱，丙得两，丁得两钱D.乙得两，丙得两，丁得两开始输入输出结束是否5.执行如图所示的程序框图，则（ ）．A.B.C.D.6.某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为，，，若用分层抽样方法抽取名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了名学生，则的值为（ ）．A.B.C.D.7.设，，，则，，的大小关系是（ ）．A.B.C.D.8.在的展开式中，令的系数为，则含项的系数为（ ）．A.B.C.D.9.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线与，的延长线交于，两点，则（ ）．A.B.C.D.10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列四种说法正确的有（ ）．①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③函数的图象在区间上单调递减；④函数的图象在区间上单调递增．A.①④B.②③C.①③D.②④11.正视图侧视图俯视图某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则棱长为的正方体的外接球的表面积为（）．A.B.C.D.12.已知函数在处有极值，设函数，且在区间内不单调，则的取值范围为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，若，则．14.函数的图象在处的切线被圆截得弦长为，则实数的值为 ．15.已知双曲线：上存在两点，关于直线对称，且线段的中点在直线上，则双曲线的离心率为 ．16.已知数列满足，，当时，，且点是直线上的点，则数列的通项公式为 ；令，则当在区间内时，使的值为正整数的所有值之和为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，在中，，，，，在边上，连接．求角的大小．求的面积．（1）（2）18.年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手，，，，依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是，，，，，并且比赛胜负相互独立．赛会采用局胜制，先赢局者获得胜利．在决赛中，中国队以获胜的概率是多少？求比赛局数的分布列及数学期望．（1）（2）19.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，为直角， 平面，，且．BCD AP求证：．若，求二面角的余弦值．（1）（2）20.已知函数，．证明：当时，．存在，使得当时恒有成立，试确定的取值范围．（1）12（2）21.设椭圆的方程为，为坐标原点，为椭圆的上顶点，为其右焦点，是线段的中点，且．求椭圆的方程．过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆于，两点，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，并延长交椭圆于点，两点．判断的形状．求四边形面积的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求的普通方程和曲线的直角坐标方程．求上点到距离的最大值及该点坐标．【答案】解析:本题考查复数的运算，由题可知，所以，则在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限．故选．解析:本题考查集合及不等式的运算．因为，所以集合．又集合，所以．故选．解析:因为，定义域为，，所以，所以为偶函数，当时，，单调递减，故在上单调递增．故选．（1）（2）23.设函数．当时，求不等式的解集．若的最大值为，求的值．D1.C2.C3.解析:本题考查等差数列的通项公式．根据题意，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列，其公差为，则，，所以，即，解得．可得，；，所以乙得两钱，丙得两，丁得两钱．故选．解析:本题考查程序框图．根据程序框图得其程序功能为分段函数的函数值计算，输出，所以，，所以，故选．解析:由分层抽样的定义可得，解得．故选．解析:∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故选．C 4.D 5.D 6.B 7.解析:本题考查二项式定理．由题意可知，即，解得，所以含项的系数为，故选．解析:当直线垂直于轴时，与相似，所以，当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，设，，，，联立得，，所以，所以，综上，．故选．解析:由题意得，所以函数的对称轴为直线，，对称中心为点，．在，上单调递减，，上单调递增，B 8.D 9.C 10.所以①③正确，故选．解析:由题意可知该几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积，解得，则正方体的棱长为，则其外接球的直径，所以棱长为的正方体外接球的表面积．故选．解析:∵，且在处有极值，∴，即，解得，∴，，∴，∵在内不单调，∴有①或②或③，解①得，解②得无解，解③得无解，∴的取值范围为，故选．A 11.B 12.或解析:由得，解得，所以，，所以．解析:由题可知切线的斜率．又，所以切点坐标为，所以函数的图象在处的切线方程为．又因为圆的圆心坐标为，半径为，所以圆心到切线的距离．因为切线被圆截得弦长为，则，解得实数的值是或．解析:设，，线段的中点的坐标为，则有，由②①得，∵，∴，∴，∵，∴，13.或14.15.①②③④（1）又，∴又点在直线上，∴，∴，，∴，．即双曲线的离心率为．故答案为：．解析:因为当时，，且点是直线上的点，所以当时，有，所以，所以 ，令得，所以，所以当在内时，即，得，，所以使的值为正整数的所有值之和为 ，故答案为：；．解析:∵，，;16.（1）．（2）．17.（2）（1）（2）∴，，∴，由题图可知，∴．在中，由余弦定理得：，，解得，∴．解析:若中国队以获胜，则前三局中赢两局输一局，第四局比赛胜利．设中国队以获胜为事件，则：．设比赛局数为，则的取值分别为，，，则，，，则的分布列为：（1）．（2）的的分布列为：．18.（1）（2）．解析:∵平面，平面，∴，∵，且，∴，，∴，，∴，即．又，∵平面，又平面，∴．如图，过点作垂直于点，BCD A PF由知，，又，，∴，，两两垂直，∴以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，设平面的法向量，（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）由，得，∴取，设平面的法向量，由，得，∴取，设二面角的平面角为，则，由图可知二面角为钝角，∴二面角的余弦值为．故答案为：．解析:证明：由题意知的定义域为，的定义域为，令，所以，当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，成立．由知，当时，，所以当时，不存在满足题意；当时，令，所以，令得，（1）证明见解析．（2）．20.（1）1（2）所以（舍去），，因为，所以，所以当时，，所以在上单调递增，所以当时，，即成立．综上，的取值范围为．解析:设椭圆的半焦距为，由题意可得，为的中点，∴，，∴，∴，∴椭圆的方程为．设直线的方程为，且点在第一象限，联立，消去得，显然，∴，，又∵轴，∴，∴，∴直线的方程为，（1）．12（2）直角三角形．．21.2联立，消去得，，∴，∵，∴，，∴，∴，即为直角三角形．根据图形的对称性可知，四边形面积是面积的倍，由（）知为直角三角形，且，∴，又，，∴（1）（2）令，∵，∴，∴，即当时，最大，此时的面积也达到最大，由对称性可知，故当时，最大，．解析:由（为参数），可得，消去参数，得的普通方程为．将去分母得，将，代入，得，所以曲线的直角坐标方程为．由可设的参数方程为（为参数），上点到的距离，当，即，时，，此时，所以上点到距离的最大值为，该点坐标为．（1），．（2），．22.（1）23.（1）（2）解析:当时，，解得；解得，解得，所以原不等式的解集为或．当时，，所以，解得，当时，，所以，解得，所以的值为或．或．（2）或．。
陕西省榆林市2020届高三模拟第一次测试理数试题 PDF版含答案
（Ⅱ）∵
uuur AD
=
1
uuur AB
+
2
uuur AC
，
33
∴
|
uuur AD
|2
=
uuur AD
⋅
uuur AD
=
(1
uuur AB
+
2
uuur AC)
⋅
(1
uuur AB
+
2
uuur AC
)
33
33
=
1
|
uuur AB
|2
+
4
|
uuur AC
|2
+
4
×
uuur uuur AB ⋅ AC
9
9
9
∴
(
x1 1
+ +
x2 λ
)2
=
x22
=
x1x2 λ
.
∴
(
−16k 3+ 4k
2
)2
(1+ λ)2
=
4
3 + 4k2 λ
.
整理得
64
3 k2
+
4
=
(1+ λ)2 λ
.
…………………………10 分
∵k2
>
1 ，∴ 4 < 4
64
3 k2
+
4
< 16 .
即4<
(1+ λ)2 λ
< 16 .
∴ 4 < λ + 1 + 2 < 16 .解得 7 − 4 3 < λ < 7 + 4 3 . λ
陕西省榆林市2020届高三高考线上模拟测试理数试题及答案
(C)甲的六大素养整体水平优于乙
(D)甲的六大素养中数学运算最强
4．已知 sinα－2cosα＝1，α∈(π，3π)，则1－tanα2＝
2
1＋tanα
2
()
(A)－1 2
(B)－2
(C)1 2
(D)2
5．在△ABC 中，点 D 是线段 BC 上任意一点，2A→M＝A→D，B→M＝λA→B＋μA→C，则λ＋μ＝(
∴PA⊥BD；……………………………………………………………………………………5 分
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(2)以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，∵PD＝AD＝1，AB＝ 5，∴BD＝2，
∴A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(－1，2，0)，P(0，0，1)，A→B＝(－1，2，0)，C→B＝(1，0，
绝密★启用前
2020 年榆林市高三线上质量检测 理科数学试题
(满分：150 分，考试时间：120 分钟)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合 A＝{x|－2＜x≤2，x∈Z}，B＝{x|log2x＜1}，则 A∩B＝
性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎(Corona Virus
Disease 2019，COVID－19)，简称“新冠肺炎”．下图是 2020 年 1 月 15 日至 1 月 24 日累计
确诊人数随时间变化的散点图．
为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数 y 与时间 变量 t 的两个回归模型，根据 1 月 15 日至 1 月 24 日的数据(时间变量 t 的值依次 1，2，…，
2020年陕西省榆林市高考(理科)数学(3月份)模拟测试试卷 解析版
2020年高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（共12小题）1．设集合A＝{x|﹣2＜x≤2，x∈Z}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．（﹣2，2]C．{1}D．{﹣1，0，1，2} 2．在复平面内，复数z＝a+bi（a，b∈R）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z＝r（cosθ+i sinθ），法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1＝r1（cosθ1+i sinθ1），z2＝r2（cosθ2+i sinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：[r（cosθ+i sinθ）]n＝r n （cos nθ+i sin nθ），已知，则||＝（）A．B．4C．D．163．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）A．甲的数据分析素养优于乙B．乙的数据分析素养优于数学建模素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数学运算最强4．已知sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，），则＝（）A．﹣B．﹣2C．D．25．在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，，，则λ+μ＝（）A．B．﹣2C．D．26．设椭圆的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（）A．B．C．D．7．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：n＝2及n＝3时，如图：记S n为每个序列中最后一列数之和，则S6为（）A．147B．294C．882D．17648．已知函数为奇函数，则m＝（）A．B．1C．2D．39．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则＝（）A．4B．8C．9D．2710．要得到函数f（x）＝sin（3x+）的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）B．向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）11．已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB＝3，AD＝CD＝6，ADEF 是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为（）A．B．16C．D．8π12．已知y＝ax+b与函数f（x）＝2lnx+5和g（x）＝x2+4都相切，则不等式组所确定的平面区域在x2+y2+2x﹣2y﹣22＝0内的面积为（）A．2πB．3πC．6πD．12π二、填空题13．设x1、x2、x3、x4为互不相等的正实数，随机变量X和Y的分布列如表，若记DX，DY 分别为X，Y的方差，则DX DY．（填＞，＜，＝）X x1x2x3x4YP14．△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则∠B＝．15．若双曲线C：（a＞0，b＞0）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值．16．若奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），g（x）为R上的单调函数，对任意实数x∈R 都有g[g（x）﹣2x+2]＝1，当x∈[0，1]时，f（x）＝g（x），则f（log212）＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}为公差为d的等差数列，d＞0，a4＝4，且a1，a3，a9依次成等比数列，．（1）求数列{b n}的前n项和S n；（2）若，求数列{c n}的前n项和为T n．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝1，AB＝．（1）证明：PA⊥BD；（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．19．已知动圆过定点F（0，1），且与直线l：y＝﹣1相切，动圆圆心的轨迹为C，过F作斜率为k（k≠0）的直线m与C交于两点A，B，过A，B分别作C的切线，两切线的交点为P，直线PF与C交于两点M，N．（1）证明：点P始终在直线l上且PF⊥AB；（2）求四边形AMBN的面积的最小值．20．2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronavirusDisease2019，COVID﹣19），简称“新冠肺炎”，下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，10）建立模型和．（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于t的回归方程；（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：时间1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累计确诊人数的真实数据19752744451559747111（i）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？（ii）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），……，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．参考数据：其中．1.511 1.512 1.513 1.514 1.5155.539019385764031525154700100150225338507 21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a，其中a＞0．（1）讨论函数f（x）的零点个数；（2）求证：e x+sin x＞xlnx+1．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知C1：x2+y2﹣2y＝0，C2：：kx﹣y＝0（k＞0）．（1）求C1与C2的极坐标方程；（2）若C1与C3交于点A，C2与C3交于点B，|OA|＝λ|OB|，求λ的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x|+|x﹣4|，设f（x）的最小值为m．（1）求m的值；（2）是否存在实数a，b，使得？并说明理由．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|﹣2＜x≤2，x∈Z}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．（﹣2，2]C．{1}D．{﹣1，0，1，2}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{1}．故选：C．2．在复平面内，复数z＝a+bi（a，b∈R）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z＝r（cosθ+i sinθ），法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1＝r1（cosθ1+i sinθ1），z2＝r2（cosθ2+i sinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：[r（cosθ+i sinθ）]n＝r n （cos nθ+i sin nθ），已知，则||＝（）A．B．4C．D．16【分析】由已知可得，则＝，再由求解．解：∵，∴＝，则．故选：D．3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）A．甲的数据分析素养优于乙B．乙的数据分析素养优于数学建模素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数学运算最强【分析】结合已知图形分析甲乙各素养数值，比较即可判断选项是否正确．解：甲乙的六大素养指标如下表：结合表格中数据可知，A：甲的数据分析素养优于乙，故A正确；B：乙的数据分析优于数学建模素养相同；故B正确；C：甲的六大素养整体水平优于乙，故C正确；D：甲的六大素养中，直观想象，数据分析与逻辑推理能力最强，故D错误．数学抽象数学建模直观想象数学运算数据分析逻辑推理甲808010080100100乙6060601008080故选：D．4．已知sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，），则＝（）A．﹣B．﹣2C．D．2【分析】推导出∈（），tan∈（﹣1，0），＝，由此利用sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，），能求出的值．解：∵α∈（π，），∴∈（），∴tan∈（﹣1，0），∴＝＝＝＝，∵sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，），∴＝＝﹣2．故选：B．5．在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，，，则λ+μ＝（）A．B．﹣2C．D．2【分析】可画出图形，根据条件可得出点M为AD的中点，并可设，从而可得出，然后根据平面向量基本定理即可得出λ+μ的值．解：如图，∵，∴M为AD的中点，且设，∴＝＝＝，∴．故选：A．6．设椭圆的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（）A．B．C．D．【分析】由题意可得A，F的坐标，设B，C的坐标，由题意可得B，F，M三点共线，即斜率相等可得a，c的关系，求出离心率．解：由题意可得右顶点A（a，0），F（c，0），设B（﹣x1，﹣y1），C（x1，y1），因为直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，所以M（，），所以B，F，M三点共线，即＝，可得c+x1＝x1+a﹣2c，可得a＝3c，所以离心率为：＝，故选：C．7．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：n＝2及n＝3时，如图：记S n为每个序列中最后一列数之和，则S6为（）A．147B．294C．882D．1764【分析】根据题意，写出n＝6时的序列图，求出最后一列，相加即可．解：当n＝6时，序列如图：16321632130151065603020151210故S6＝60+30+20+15+12+10＝147，故选：A．8．已知函数为奇函数，则m＝（）A．B．1C．2D．3【分析】根据题意，由奇函数的定义可得＝﹣，变形分析可得答案．解：根据题意，函数为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣，变形可得：（1﹣x）（m+x）＝（1+x）（m﹣x），整理变形可得：（m﹣1）x＝0，即m＝1；故选：B．9．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则＝（）A．4B．8C．9D．27【分析】由题意画出图形，设正四面体的棱长为a，分别把正四面体外接球与内切球的半径用a表示，再由体积公式求解．解：如图，设正四面体的棱长为a，过定点P作底面垂线PG，则G为底面三角形的中心，连接AG并延长，角BC于D，可得AD＝，AG＝，PG＝，设正四面体的内切球与外接球的球心为O，连接AO，设正四面体的内切球的半径为r，外接球的半径为R，在Rt△OGA中，由勾股定理可得，由等积法可得，解得R＝，r＝．∴＝＝27．故选：D．10．要得到函数f（x）＝sin（3x+）的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）B．向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）【分析】求导，根据同角的正弦函数图象向左平移四分之一个周期可得同角的余弦函数图象，结合纵向伸缩变换的法则，可得答案．解：∵函数f（x）＝sin（3x+），∴f′（x）＝3cos（3x+），要得到函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象：向左平移个单位得到y＝cos（3x+）的图象，再保持横坐标不变把各点的纵坐标伸长到原来的3倍，故选：D．11．已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB＝3，AD＝CD＝6，ADEF 是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为（）A．B．16C．D．8π【分析】建立空间直角坐标，求得B，C和M点坐标，由题意可知2|MB|＝|MC|，利用空间中两点之间的距离公式，即可求得M的轨迹方程，即可求得点M的轨迹长度．解：由题意可知，以D为原点，分别以DA，DC，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，AB＝3，AD＝CD＝6，则B（6，3，0），C（0，6，0），M（x，0，z），由直线MB，MC与平面ADEF所成的角，∠AMB，∠DMC，均为锐角，∴sin∠AMB＝sin∠DMC，即＝，即2|MB|＝|MC|，则2＝，整理得：（x﹣8）2+z2＝16，由此可得：M在正方形ADEF内的轨迹是以点O（8，0，0）为圆心，以4为半径的圆弧M1M2，则圆心角∠M1OM2＝，则圆弧M1M2弧长l，l＝＝，故选：C．12．已知y＝ax+b与函数f（x）＝2lnx+5和g（x）＝x2+4都相切，则不等式组所确定的平面区域在x2+y2+2x﹣2y﹣22＝0内的面积为（）A．2πB．3πC．6πD．12π【分析】由题意可得，即，换元后利用函数零点的判定列式求解a，b的值，可得不等式组表示的平面区域，画出图形，再由到角公式求两直线的夹角，再由圆的面积公式求解．解：设直线y＝ax+b与函数f（x）＝2lnx+5相切于P（x1，y1），与g（x）＝x2+4相切于（x2，y2），∵f′（x）＝，g′（x）＝2x，∴，ax1+b＝2lnx1+5，，联立以上三式可得：，即，令，则，令h（t）＝，则h′（t）＝（t＞0），h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又h（1）＝0，∴h（t）＝只有一个零点t＝1，即方程仅有一个根a＝2，∴b＝3．则不等式组化为，在平面直角坐标系内作出与x2+y2+2x﹣2y﹣22＝0的区域如图：直线x﹣2y+3＝0与直线x+3y﹣2＝0均过圆心（﹣1，1），设两直线的夹角为θ，由到角公式可得：tanθ＝，则．∴阴影部分的面积为．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设x1、x2、x3、x4为互不相等的正实数，随机变量X和Y的分布列如表，若记DX，DY 分别为X，Y的方差，则DX＞DY．（填＞，＜，＝）X x1x2x3x4YP【分析】根据题意，求出数学期望和方差，根据基本不等式比较即可．解：EX＝，EY＝＝，故EX＝EY＝，所以DX＝＝，DY＝＝＝DX，当且仅当x1＝x2＝x3＝x4时，取等号，因为x1、x2、x3、x4为互不相等的正实数，所以DX＞DY，故答案为：＞．14．△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则∠B＝150°．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sin A cos B+sin A＝0，结合sin A≠0，可得cos B＝﹣，结合范围B∈（0°，180°）即可求解B的值．解：∵，∴由正弦定理可得：2sin B cos A＝2sin C+sin A，∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴2sin B cos A＝2sin A cos B+2cos A sin B+sin A，可得：2sin A cos B+sin A＝0，∵A是三角形内角，sin A≠0，∴2cos B+＝0，可得cos B＝﹣，∵B∈（0°，180°），∴B＝150°．故答案为：150°．15．若双曲线C：（a＞0，b＞0）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值2．【分析】由题意求出双曲线的顶点坐标及渐近线的方程，进而求出顶点到渐近线的距离，由题意可得a，c的关系，再由a，b，c的关系求出的表达式，由均值不等式可得它的最小值．解：由双曲线的方程可得顶点坐标为：（±a，0），渐近线的方程为：bx±ay＝0，所以顶点到渐近线的距离为＝＝，所以c＝2a，所以＝＝＝+＝2，所以的最小值为2，故答案为：2．16．若奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），g（x）为R上的单调函数，对任意实数x∈R 都有g[g（x）﹣2x+2]＝1，当x∈[0，1]时，f（x）＝g（x），则f（log212）＝．【分析】可设g（x）﹣2x+2＝t即g（x）＝2x﹣2+t，结合g（t）＝1可求t，进而可求g （x），然后结合f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+4）＝f（x），代入可求．解：因为g（x）为R上的单调函数，且对任意实数x∈R都有g[g（x）﹣2x+2]＝1，故可设g（x）﹣2x+2＝t即g（x）＝2x﹣2+t，因为g（t）＝2t﹣2+t＝1，故t＝1，所以g（x）＝2x﹣1，因为f（x+2）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝f（x），又x∈[0，1]时，f（x）＝g（x）＝2x﹣1，则f（log212）＝f（log212﹣4）＝f（）＝﹣f（）＝﹣（﹣1）＝，故答案为：﹣．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}为公差为d的等差数列，d＞0，a4＝4，且a1，a3，a9依次成等比数列，．（1）求数列{b n}的前n项和S n；（2）若，求数列{c n}的前n项和为T n．【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式、求和公式和等比数列的中项性质，计算可得所求和；（2）求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．解：（1）a4＝4，且a1，a3，a9依次成等比数列，∴，即（4﹣d）2＝（4﹣3d）（4+5d），∵d＞0，∴d＝1，a1＝a4﹣3d＝1，∴a n＝1+n﹣1＝n，∴，∴；（2）∵，∴T n＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝﹣．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝1，AB＝．（1）证明：PA⊥BD；（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．【分析】（1）通过证明BD⊥平面PAD，再利用线面垂直的性质定理即可证得PA⊥BD；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PAB及平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．解：（1）在△ABD中，由正弦定理可得：，∴，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BD，∴BD⊥平面PAD，∴PA⊥BD；（2）以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，∵，∴BD＝2，∴，设平面ABP的法向量为，则，令y＝1，则，设平面PBC的法向量为，则，令y1＝1，则，则，∴，故二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．19．已知动圆过定点F（0，1），且与直线l：y＝﹣1相切，动圆圆心的轨迹为C，过F作斜率为k（k≠0）的直线m与C交于两点A，B，过A，B分别作C的切线，两切线的交点为P，直线PF与C交于两点M，N．（1）证明：点P始终在直线l上且PF⊥AB；（2）求四边形AMBN的面积的最小值．【分析】（1）先利用定义法求出动圆圆心的轨迹方程C，再设，通过求导，分别写出切线PA和PB的直线方程，联立用x1，x2表示出点P的坐标；然后联立直线m的方程和x2＝4y，结合韦达定理，可把点P的坐标表示为（2k，﹣1），最后证明即可得解；（2）先利用弦长公式求出|AB|，设直线AB的倾斜角为α，用α分别表示出|AB|和|MN|，然后表示出四边形AMBN的面积，最后利用三角函数求出最小值即可．解：（1）∵动圆过定点F（0，1），且与直线l：y＝﹣1相切，∴动圆圆心到定点F（0，1）和定直线y＝﹣1的距离相等，∴动圆圆心的轨迹C是以F（0，1）为焦点的抛物线，∴轨迹C的方程为：x2＝4y，设，∵x2＝4y，∴，∴直线PA的方程为：，即：①，同理，直线PB的方程为：②，由①②可得：，因为过F作斜率为k（k≠0）的直线m，所以直线m方程为：y＝kx+1，联立可得：x2﹣4kx﹣4＝0，所以，∴P（2k，﹣1），∴，∴点P始终在直线l上且PF⊥AB．（2）设直线AB的倾斜角为α，由（1）可得：＝，∴，∴四边形AMBN的面积为：，当且仅当α＝45°或135°，即k＝±1时取等号，∴四边形AMBN的面积的最小值为32．20．2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronavirusDisease2019，COVID﹣19），简称“新冠肺炎”，下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，10）建立模型和．（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于t的回归方程；（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：时间1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累计确诊人数的真实数据19752744451559747111（i）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？（ii）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），……，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．参考数据：其中．1.511 1.512 1.513 1.514 1.5155.539019385764031525154700100150225338507【分析】（1）直接由散点图得结论；（2）设ω＝1.5t，则，求出与的值，则回归方程可求；（3）（i）在（2）中求得的回归方程中，分别取t＝11、12、13求得，再比较误差与0.1的大小得结论；（ii）在回归方程中取t＝15求得y值，与7111比较大小得结论．解：（1）根据散点图可知：适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型；（2）设ω＝1.5t，则，＝，，∴；（3）（i）当t＝11时，，当t＝12时，，当t＝13时，．∴（2）的回归方程可靠；（ii）当t＝15时，，10150远大于7111，故防护措施有效．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a，其中a＞0．（1）讨论函数f（x）的零点个数；（2）求证：e x+sin x＞xlnx+1．【分析】（1）利用导数得到，令g（x）＝﹣lnx+x﹣1＝﹣（lnx ﹣x+1），分类讨论a＝1，a＞1以及0＜a＜1时的零点个数即可；（2）由（1）可知：lnx≤x﹣1，令h（x）＝e x+sin x﹣xlnx﹣1，利用导数即可证得【解答】（1）解：∵，∴当时，f（x）＞0，当时，f′（x）＜0，∴f（x）在上递增，在上递减，∴．令g（x）＝﹣lnx+x﹣1＝﹣（lnx﹣x+1），∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）＝0，∴﹣lna+a﹣1≥0，当且仅当a＝1时取等号．①a＝1时，f（x）有一个零点；②a＞1时，，此时f（x）有两个零点；③0＜a＜1时，，令，∴，∴φ（x）在（0，1）上递增，φ（x）＜φ（1）＝0，∴，此时f（x）有两个零点；综上：a＝1时，f（x）有一个零点；当a＞0且a≠1时，f（x）有两个零点；（2）证明：由（1）可知：lnx≤x﹣1，∴xlnx+1≤x2﹣x+1，e x﹣1≥x，令h（x）＝e x+sin x﹣x2+x﹣1，h′（x）＝e x+cos x﹣2x+1≥ex﹣2x+1+cos x＞0，∴h（x）在（0，+∞）上递增，h（x）＞h（0）＝0，∴e x+sin x＞x2﹣x+1＞xlnx+1．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知C1：x2+y2﹣2y＝0，C2：：kx﹣y＝0（k＞0）．（1）求C1与C2的极坐标方程；（2）若C1与C3交于点A，C2与C3交于点B，|OA|＝λ|OB|，求λ的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）∵，转换为直角坐标方程为ρ2＝2ρsinθ，∴C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ．∵，∴，∴C2的极坐标方程为：，（2）∵C3；kx﹣y＝0（k＞0），∴θ＝α（α为锐角），∴，∴，当时，等号成立．即λ的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x|+|x﹣4|，设f（x）的最小值为m．（1）求m的值；（2）是否存在实数a，b，使得？并说明理由．【分析】（1）对分段去绝对值，再求每一段的最小值，可求，（2）先对其相乘得到值，再用不等式去求函数值，矛盾，故不存在．解：（1），∴m＝f（0）＝4；（2），若a，b同号，，不成立；若a，b异号，，不成立；故不存在实数a，b，使得．。
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)
2020年陕西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设43z i =-，则在复平面内1z对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知集合2{|450}A x x x =-+>，2|03x B x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭…，则(A B =I )A ．(2,3)-B ．[2-，3]C ．[2-，3)D ．∅3．（5分）已知函数2()log 1f x =，则()(f x ) A ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 B ．是非奇非偶函数，在区间(0,)+∞上单调递减C ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增D ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注:1两等于10钱）( ) A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两 B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱 C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱 D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两5．（5分）执行如图所示的程序框图，则f （3）f +（6）(= )A ．45B ．35C ．147D ．756．（5分）某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n 名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n 的值为( ) A ．20B ．22C ．23D ．267．（5分）设0.13a =，0.3log 0.5b =，6log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<8．（5分）在6(2)(1)m x y ++的展开式中，令3x y 的系数为800，则含4xy 项的系数为( ) A ．30B ．960C ．300D ．3609．（5分）已知抛物线24y x =-的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，直线4x =与MO ，NO 的延长线交于P ，Q 两点，则:(MON POQ S S ∆∆= ) A ．18B ．19C ．112D ．11610．（5分）将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是( ) ①函数()y f x '=的图象关于直线6x π=-对称；②函数()y f x '=的图象关于点(,0)3π对称；③函数()y f x '=的图象在区间(,)66ππ-上单调递减；④函数()y f x '=的图象在区间2(,)63ππ上单调递增．A ．①④B ．②③C ．①③D ．②(④11．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该儿何体的体积为103，则棱长为a 的正方体的外接球的表面积为( )A ．12πB ．14πC ．43πD ．16π12．（5分）已知函数3213()132f x x x bx =-++在1x =处有极值，设函数23()()()2F x f x a x =--，且()F x 在区间(2,3)内不单调，则a 的取值范围为( ) A ．311(,)23B ．311(,)26C ．311(,)43D ．38(,)23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知(3,1)a =r ，2(4,23)b t =-+r ，若9a b =-r r g ，则cos a <r ，b >=r ．14．（5分）函数()f x xlnx a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为 ．15．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为 ．16．（5分）已知数列{}n a 满足11,log (2)n n b n a a c n ==…，当2n …时，n b n =，且点(n b ，)n c 是直线1y x =+上的点，则数列{}n a 的通项公式为 ；令123k y a a a a =⋯g g ，则当k 在区间[1，2019]内时，使y 的值为正整数的所有k 值之和为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在ABC ∆中，33sin BAD ∠=，1cos 7ADC ∠=，7AD =，8AC =，D 在BC 边上，连接AD ． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求ACD ∆的面积．18．（12分）2019年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手A ，B ，C ，D ，E 依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立．赛会釆用5局3胜制，先赢3局者获得胜利．（Ⅰ）在决赛中，中国队以3:1获胜的概率是多少？ （Ⅱ）求比赛局数的分布列及数学期望．19．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，ADC ∠为直角，AP ⊥平面ABCD ，::5:4:2BC AD CD =，且1CD =．（Ⅰ）求证：BP AC ⊥；（Ⅱ）若AP CD =，求二面角D PC B --的余弦值．20．（12分）已知函数()f x lnx =，211()22g x x =-．（Ⅰ）证明：当1x >时，()()f x g x <；（Ⅱ）存在01x >，使得当0(1,)x x ∈时恒有()()(1)(1)f x g x k x ->--成立，试确定k 的取值范围．21．（12分）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，O 为坐标原点，A为椭团的上顶点，B 为其右焦点，D 是线段AB 的中点，且OD AB ⊥．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，分别作PE x ⊥轴，QF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，连接QE ，PF 并延长交椭圆C 于点M ，N 两点． （ⅰ）判断PQM ∆的形状；（ⅱ）求四边形PMQN 面积的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，l 的参数方程为1,1(1t x tt t y t -+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+．（Ⅰ）求l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点到l 距离的最大值及该点坐标． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数()||2|1|f x x a x =--+．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （Ⅱ）若()f x 的最大值为3，求a 的值．2020年陕西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设43z i =-，则在复平面内1z对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由题意得43z i =-， 所以114343(43)(43)iz i i i +==-+-， 4325i+=， 因此在复平面内对应的点43(,)2525位于第一象限， 故选：A ．2．（5分）已知集合2{|450}A x x x =-+>，2|03x B x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭„，则(A B =I )A ．(2,3)-B ．[2-，3]C ．[2-，3)D ．∅【解答】解：2245(2)10x x x -+=-+>，∴集合A R =，且{|23}B x x =-<„， [2A B ∴=-I ，3)．故选：C ．3．（5分）已知函数2()log 1f x =，则()(f x ) A ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 B ．是非奇非偶函数，在区间(0,)+∞上单调递减C ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增D ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减【解答】解：因为，2()11log ||f x log x =+=+， 所以()f x 为偶函数，根据对数函数的性质可知，()f x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增， 故选：D ．4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中。
陕西省2020版高考数学一模试卷(理科)D卷
陕西省2020版高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）设集合A=,B=,则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·会宁期中) 复数z= 的共轭复数是（）A . 2+IB . 2﹣IC . ﹣1+ID . ﹣1﹣i3. （2分）若，则（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·青浦模拟) 如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（ + ）• 的最小值是（）A . ﹣4B . ﹣3C . ﹣2D . ﹣15. （2分） (2015高二下·上饶期中) 如果P1 ， P2 ，…，Pn是抛物线C：y2=8x上的点，它们的横坐标依次为x1 ， x2 ，…，xn ， F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+xn=8，则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=（）A . n+10B . n+8C . 2n+10D . 2n+86. （2分） (2018高二上·哈尔滨月考) 设变量满足约束条件：则的最小值为（）A .B .C .D .7. （2分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2017高一下·温州期末) 函数y=cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，则φ=（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·成都模拟) 高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的ai（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A . 6B . 7C . 8D . 910. （2分） (2017高三上·石景山期末) 六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分）(2019·黄冈模拟) 一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）A .B .C .D .12. （2分）不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py （p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________14. （1分） (2015高三上·东莞期末) 已知a是第二象限角，P（t，4）为其终边上的一点，且cosa= ，则（x2+ ）（x+ ）6的展开式中常数项等于________．15. （1分）(2019·天津) 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.16. （1分）若等式 sinx+cosx=m﹣1能够成立，则实数m的取值范围是________．三、解答题： (共7题；共60分)17. （10分） (2020高三上·北京月考) 已知等差数列的前n项和为，， .（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，且公比为q，从① ；② ；③ 这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和 .18. （10分） (2019高二下·吉林期中) 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．（1）求所选3人中女生人数的概率；（2）求的分布列及数学期望．19. （5分） (2020高三上·温州期末) 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB//CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2，∠PAD＝60°，AB⊥平面PAD，点M在棱PC上．(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PCD；(Ⅱ)若直线PA// 平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值．20. （10分）(2020·江西模拟) 已知是椭圆的左、右焦点，圆（）与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过正半轴上一点的直线与圆相切，与椭圆交于点，若，求直线的方程.21. （10分） (2017高二下·湖北期中) 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3．（1）求f（x）的解析式；（2）求过点A（2，2）的切线方程．22. （10分）(2020·榆林模拟) 以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为（t为参数），曲线的极坐标方程为 .（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求 .23. （5分）已知函数 f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式 f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较 2（a+b）与ab+4的大小．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
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2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A．{2}B．{1，2，3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2，3}2．（5分）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．33．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．634．（5分）按下面的流程图进行计算．若输出的x=202，则输入的正实数x值的个数最多为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C27．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈8．（5分）曲线f（x）=x3﹣（x＞0）上一动点P（x0，f（x0））处的切线斜率的最小值为（）A．B．3 C．2 D．69．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的直径为（）A．13 B．C．D．10．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的取值范围[m，n]恰好是函数y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，则ω的值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（，2）C．（，）D．（1，）12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是．14．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．15．（5分）设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值．18．（12分）数列{a n}满足．（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求T2n．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21．（12分）已知函数，记F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求证：F（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在区间（1，+∞）内有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），记F（x）在（1，+∞）内的实根为x0．求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参考方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值；（2）过点B（﹣2，2）与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A．{2}B．{1，2，3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：∵A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}，故选：D．2．（5分）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，5），∴∴∴x=4．故选C．3．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C．4．（5分）按下面的流程图进行计算．若输出的x=202，则输入的正实数x值的个数最多为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：程序框图的用途是数列求和，当x＞100时结束循环，输出x的值为202：当202=3x+1，解得x=67；即输入x=67时，输出结果202．202=3（3x+1）+1，解得x=22；即输入x=22时，输出结果202．202=3（3（3x+1）+1）+1．即201=3（3（3x+1）+1），∴67=3（3x+1）+1，即22=3x+1，解得x=7，输入x=7时，输出结果202．202=3（3（3（3x+1）+1）+1）+1．解得x=2，输入x=2时，输出结果202．202=3（3（3（3（3x+1）+1）+1）+1）+1．解得x=，输入x=时，输出结果202．共有5个不同的x值，故选D．5．（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1（﹣c，0），∴﹣c+x=0，∴x=c；∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，∵∠PF1F2=30°，∴PF2=，∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，tan∠PF1F2===，∴=，∴e==．故选：A．6．（5分）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2【解答】解：根据曲线=sin（x﹣），把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（x）的图象；再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2：y=sin（x﹣）的图象，故选：B．7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．∴三棱柱的体积V=．两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1．∴体积V==2．该刍甍的体积为：3+2=5．故选：B．8．（5分）曲线f（x）=x3﹣（x＞0）上一动点P（x0，f（x0））处的切线斜率的最小值为（）A．B．3 C．2 D．6【解答】解：f（x）=x3﹣（x＞0）的导数f′（x）=3x2+，∴在该曲线上点（x0，f（x0））处切线斜率k=3x02+，由函数的定义域知x0＞0，∴k≥2=2，当且仅当3x02=，即x02=时，等号成立．∴k的最小值为2．故选：C．9．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的直径为（）A．13 B．C．D．【解答】解：因为直三棱柱中，AB=3，AC=4，AA1=12，AB⊥AC，所以BC=5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R==13．故选：A．10．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的取值范围[m，n]恰好是函数y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，则ω的值为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z的几何意义为区域内的点D（﹣2，0）的斜率，由图象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，由，解得A（﹣1，2），则DA的斜率k DA==2，由，解得B（﹣1，﹣2），则DB的斜率k DB==﹣2，则﹣2≤z≤2，目标函数的取值范围[﹣2，2]恰好是函数y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，可得2ω=，解得ω=，故选：C．11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（，2）C．（，）D．（1，）【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有+＞c2，∴＞3，即b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选A．12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1．设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，∴0≤β≤2，如图．由于g（x）=x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则g（0）×g（2）≤0或，解得2≤a≤3，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是．【解答】解：OP=r==1，∴点P在单位圆上，∴sinα=，tanα=，得sinαtanα=（）×（）=．故答案为．14．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙．【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故答案为：丙．15．（5分）设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是②．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β【解答】解：①．若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或l∥α，故①错；②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α，故②对；③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交，或l与m异面，故③错；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β或l∥β或l⊂β，或l与β相交．故④错．故答案为：②16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是（e+e﹣1）．【解答】解：设切点坐标为（m，e m）．∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）．令x=0，解得y=（1﹣m）e m．过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）．令x=0，解得y=e m+me﹣m．∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）e m+me﹣m]．t'=[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0．∴当m=1时t取最大值（e+e﹣1）．故答案为：（e+e﹣1）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值．【解答】解：（I）已知，正弦定理化简可得：，即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosA=1．即cosA=．∴A=．（II）∵a=2，A=．余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA可得：b2+c2=4+bc．∴4+bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号．解得：bc≤2（2+）那么三角形面积S=bcsinA≤=．18．（12分）数列{a n}满足．（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求T2n．【解答】证明：（1）由已知可得，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列．解：（2）由（1）得，∴，∵，∴T2n=a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n=12﹣22+32﹣42+（2n﹣1）2﹣（2n）2，=﹣（2﹣1）（2+1）+（4﹣3）（4+3）+…+（2n+2n﹣1）（2n﹣2n+1），=﹣（3+7+…+2n﹣1），=﹣，=﹣2n2﹣n19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小．【解答】（1）证明：法一、取AD的中点N，连接MN，NF，在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，∴，又∵，∴MN∥EF且MN=EF．∴四边形MNFE为平行四边形，则EM∥FN，又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，故EM∥平面ADF．法二、∵EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．∵AB=2，EB=，∴B（0，0，0），D（3，0，0），A（0，0，2），E（0，0，），F（0，1，），M（，0，0），，，，设平面ADF的一个法向量是．由，令y=3，得．又∵，∴，又EM⊄平面ADF，故EM∥平面ADF．（2）解：由（1）可知平面ADF的一个法向量是．，，设平面BFD的一个法向量是，由，令z=1，得，∴cos＜＞==，又二面角A﹣FD﹣B为锐角，故二面角A﹣FD﹣B的余弦值大小为．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【解答】解：（1）根据题意，抛物线的E的方程为y2=2px（p＞0），则设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以∠CMR=30°，∠MCR=60°，所以|CK|=6，所以p=2．故抛物线E的方程为y2=4x．（2）设直线AB的方程为x=my+2，设A=（x1，y1），B=（x2，y2），联立得y2﹣4my﹣8=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．∴设G=（x3，y3），D=（x4，y4），同理得，则四边形AGBD的面积=令，则是关于μ的增函数，故S min=48，当且仅当m=±1时取得最小值48．21．（12分）已知函数，记F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求证：F（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在区间（1，+∞）内有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），记F（x）在（1，+∞）内的实根为x0．求证：．【解答】证明：（1），定义域为x∈（0，+∞），，当x＞1时，F'（x）＞0，∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，又，而F（x）在（1，+∞）上连续，根据零点存在定理可得：F（x）在区间（1，+∞）有且仅有一个实根．（2）当0＜x≤1时，f（x）=xlnx≤0，而，故此时有f（x）＜g（x），由（1）知，F（x）在（1，+∞）上单调递增，有x0为F（x）在（1，+∞）内的实根，所以F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故当1＜x＜x0时，F（x）＜0，即f（x）＜g（x）；当x＞x0时，F（x）＞0，即f（x）＞g（x）．因而，当1＜x＜x0时，m（x）=xlnx，m'（x）=1+lnx＞0，因而m（x）在（1，x0）上递增；当x＞x0时，，因而m（x）在（x0，+∞）上递减；若方程m（x）=c在（1，+∞）有两不等实根x1，x2，则满足x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞）要证：，即证：x1+x2＞2x0，即证：x2＞2x0﹣x1＞x0，而m（x）在（x0，+∞）上递减，即证：m（x2）＜m（2x0﹣x1），又因为m（x1）=m（x2），即证：m（x1）＜m（2x0﹣x1），即证：记，由F（x0）=0得：，∴h（x0）=0，，，则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当x＞1时，g'（x）＜0．故，所以当x＞0时，，∵2x0﹣x＞0，∴，因此，即h（x）在递增．从而当1＜x1＜x0时，h（x）＜h（x0）=0，即，故得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参考方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值；（2）过点B（﹣2，2）与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．【解答】解：（1）∵点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，∴由直线l过点A可得，故，∴直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=8，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣8=0．∵曲线C1的参考方程为（θ为参数）．∴根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离：，∴．（2）由（1）知直线l的倾斜角为，则直线l1的参数方程为（t为参数）．又曲线C1的普通方程为．把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得：，∴，依据参数t的几何意义可知．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【解答】证明：（1）由，得ab=1，由基本不等式及ab=1，有，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b﹣2ab＜4，由（1）知ab=1因此（a+b）2+a+b＜6①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．。