空间曲线的切线向量求法

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空间曲线的切线与法平面切线方程切线的方向向量

1 1 yz
zx, yz
dz dx
1 1 yz
xy yz
11
11
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
切向量
T 1 ,
dy dx
,
M
dz dx
M
(1, 0, 1)
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T (1, 0, 1)
切线方程
即
法平面方程 1 (x 1) 0 ( y 2) (1) (z 1) 0 即 xz0
复习: 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线
在点 (x0 , y0 )有
切线方程 y y0 f (x0 )(x x0 )
法线方程
y

y0

f
1 (x0 )
(x

x0 )
若平面光滑曲线方程为
故在点
有
因 d y Fx (x, y) dx Fy (x, y)
切线方程 Fx (x0 , y0 ) (x x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0
若在法平面上任取一点P( x, y, z),则向量( x x0, y y0, z z0)
与切向量((t0 ), (t0 ),(t0 ))垂直，即
((t0 ), (t0 ),(t0 )) ( x x0, y y0, z z0 ) 0
由向量的内积公式，可得法平面方程
( y y0 )
M
(F,G) (x , y)
(z z0) 0
M
法平面方程
(F , G) ( y, z)
M
(
x

x0

空间曲线的切线

空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点M 处的切线为此点处割线的极限位置过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
M
T
给定光滑曲线 : x x(t), y y(t), z z(t),t [, ]
设上的点M (x0 , y0, z0 )对应 t t0 , x(t0), y(t0 ), z(t0 ) 不全为0 则点M的切向量：T {x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )}
因此，根据隐函数求导方法,得
2
x
2y
dy dx
2z
dz dx
0,
y
x
dy dx
dz dx
0.
从而得到：
dy
x yz ,
dx y xz
dz x2 y2 dx y xz
因此，切向量
T
{1, dy , dz} {1, 5 , 3}
M
dx dx M
44
于是，曲线在M处的切线方程：
法平面方程：
x 1 y 1 z 2 4 5 3
4(x 1) 5y 1 3z 2 0
因此曲线在点M 处的
切线方程
x x0 y y0 z z0
xt0 yt0 zt0
法平面方程 xt0 (x x0) yt0 y y0 zt0 z z0 0
例1.求曲线 : x t, y t 2, z t3 在点M (1, 1, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解：曲线在M点出切向量为
T {1,2t,3t2} {1,2,3}
M
t1
因此M 处的切线方1 z 1 123
(x 1) 2y 1 3z 1 0
例2.求曲线xx2y
y2 z z 0

空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线

对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 M的M方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0 x y z
x
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以
t ,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
•M
o
y
当M M ,即t 0时 ,
曲线在M处的切线方程
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
如果平面3x y 3z 16 0与椭球面 3 x2 y2 z 2 16相切，求 .
思考题解答
设切点 ( x0 , y0 , z0 ),
依题意知切向量为
n {6 x0 , 2 y0 , 2z0 },
{3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3

y0 x0 , z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02
2 2
x0 x02
9 x0 9 x02
16 16
0 ,
0
2.
练习题
一、填空题:
1、曲线 x t , y 1 t , z t 2 再对应于t 1 的点
1 t
t
处切线方程为________________；
处的切平面及法线方程.
解 f ( x, y) x2 y2 1,
n ( 2,1, 4 )
{2x,
2 y, 1}(2,1,4)
{4,
2,1},
切平面方程为
4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,

空间曲线的切线与空间曲面的切平面

第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,),(βα∈t ．设),(,10βα∈t t ,)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点,B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线,当A B →时,若AB 趋于一条直线,则此直线称为曲线C 在点A 的切线．如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零即空间的曲线C 为光滑曲线,则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为也可以写为当A B →时,0t t →,割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x ''',此即为切线的方向向量,所以切线方程为)()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-．过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点)(),(),((000t z t y t x A 的法平面,法平面方程为如果空间的曲线C 由方程为且)(),(0'0'x z x y 存在,则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是法平面方程为如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交,由方程组确定时,假设在),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂=Az y G F J ,在),,(000z y x A 某邻域内满足隐函数组存在定理条件,则由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，在点),,(000z y x A 附近能确定隐函数有)(),(0000x z z x y y ==,),(),(1,),(),(1x y G F J dx dz z x G F J dx dy ∂∂-=∂∂-=;于是空间的曲线C 在点),,(000z y x A 的切线是即法平面方程为类似地,如果在点),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂Ay x G F 或0),(),(≠∂∂Ax z G F 时,我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式;所以,当向量时,空间的曲线C 在),,(000z y x A 的切线的方向向量为r例求曲线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在点()πb a ,0,-处的切线方程．解当πθ=时,曲线过点()πb a ,0,-,曲线在此点的切线方向向量为{}{}b a b a a ,,0|,cos ,sin -=-=πθθθ,所以曲线的切线方程为bt z z a t y y t x x )()(0)(000-=--=-．即 b b z a y a x π-=-=+0．二、空间曲面的切平面与法线设曲面S 的一般方程为取),,(0000z y x P 为曲面S 上一点,设),,(z y x F 在),,(0000z y x P 的某邻域内具有连续偏导数,且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x ;设c 为曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线：设)(),(),(000000t z z t y y t x x ===,我们有上式对t 在0t t =求导得到因此,曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线c 在),,(0000z y x P 点的切线都和向量垂直,于是这些切线都在一个平面上,记为α,平面α就称为曲面S 在),,(0000z y x P 的切平面,向量n称为法向量;S 在),,(0000z y x P 的切平面方程是过点),,(0000z y x P 且与切平面α垂直的直线称为曲面S 在),,(0000z y x P 点法线,它的方程为设曲面S 的方程为若),,(z y x F 在S 有连续偏导数且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x ,则称S 是光滑曲面;由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线;若曲面S 的方程的表示形式为 ),(y x f z =,这时,容易得到S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为法线方程为我们知道,函数),(y x f z =在点),(00y x 可微,则由Taylor 公式知))()((0))(,())(,(),(),(202000000000y y x x y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-+-+-=-也就是说,函数),(y x f z =在点),(00y x 附近可以用S 在),,(0000z y x P 的切平面近似代替,误差为2020)()(y y x x -+-的高阶无穷小;若曲面S 的方程表示为参数形式设),(),,(),,(000000000v u z z v u y y v u x x ===,),,(0000z y x P 为曲面上一点;假设在),,(0000z y x P 有0),(),(0≠∂∂=P v u y x J ,在),,(0000z y x P 某邻域内满足隐函数组存在定理条件,则由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，在点),,(0000z y x P 附近能确定隐函数即x 和y 的逆映射满足),(),,(000000y x v v y x u u ==;于是,曲面S 可以表示为由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，两边分别同时对y x ,求偏导得到故所以,S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为法线方程为例求曲面zxy z ln+=在点)1,1,1(的切平面和法线方程; 解曲面方程为0ln ),,(=-+=z zxy z y x F ,易得}2,1,1{-=→n切面方程为即02=-+z y x . 法线方程为习题1．求曲线t a z t a a y t a a x sin ,cos sin ,cos cos ===在点0t t =处的切线和法平面方程．2．求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线和法平面方程．3．求曲面xy z arctan =在点)4/,1,1(π的切平面和法线方程;4;证明曲面)0(3>=a a xyz 上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值;5．证明曲面)(xy xf z =上任意一点的切平面过一定点;第七节极值和最值问题一、无条件极值与一元函数极值类似,我们可以引入多元函数的极值概念;定义 n 元函数),,,(21n x x x f 在点),,,(002010n x x x P 的一个邻域⊂)(0P U n R 内有定义;若对任何点)(),,,(021P U x x x P n ∈ ,有)()(0P f P f ≥或)()(0P f P f ≤则称n 元函数),,,(21n x x x f 在),,,(002010n x x x P 取得极大或极小值, ),,,(002010n x x x P 称为函数),,,(21n x x x f 的极大或极小值点;极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点;类似一元函数,我们称使得n 元函数),,,(21n x x x f 的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点;我们有如下定理;定理若),,,(002010n x x x P 为n 元函数),,,(21n x x x f 的极值点,且),,,(21n x x x f 在),,,(002010n x x x P 的一阶偏导数存在,则),,,(002010n x x x P 为n 元函数),,,(21n x x x f 的驻点;证考虑一元函数)2,1)(,,,,()(001n i x x x f x ni i ==φ,则i x 是)(i x φ的极值点,Fermat 马定理告诉我们,可导函数在极值点的导数是零,于是和一元函数类似,反过来,驻点不一定是极值点;而偏导数不存在的点也有可能是极值点;判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多,下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理;定理若),(000y x P 为二元函数),(y x f 的驻点,且),(y x f 在),(000y x P 的一个邻域⊂)(0P U 2R 中有二阶连续偏导数;令2B AC CB B A Q -==,则（1）当0>Q 时,若0>A ,),(y x f 在),(000y x P 取极小值；若0<A ,),(y x f 在),(000y x P 取极大值；（2）当0<Q 时,),(y x f 在),(000y x P 不取极值；（3）当0=Q 时,),(y x f 在),(000y x P 可能取极值,也可能不取极值; 例求函数)6(32y x y x z --=的极值; 解解方程组得驻点为)3,2(0P 及直线0,0==y x 上的点;对)3,2(0P 点有0,144,108,1622>--=-=-=B AC C B A ,于是函数z 在)3,2(0P 取积大值108)(0=P z ; 容易判断,满足条件⎩⎨⎧<<=600y x 的点为函数z 的极小值点,极小值为0；满足条件的⎩⎨⎧<=00y x 和⎩⎨⎧>=6y x 的点为函数z 的极大值点,极大值为0; 一、最值问题在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题,即如何用最小的成本获取最大利益的问题,这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题;我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点,统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值;1、一元函数设)(x f y =是定义在闭区间],[b a 上的连续函数,则)(x f 在],[b a 上一定有最大值和最小值;区间的两个端点a 和b 可能成为其最值点,而如果最值点在开区间),(b a 取得的话,则一定是)(x f 的极值点,即是)(x f 的驻点或是使导数)('x f 不存在的点;假设)(x f 的所有驻点是11211,,k x x x ,使导数)('x f 不存在的点是22221,,m x x x ,那么例求抛物线x y 22=上与)4,1(最近的点;解设),(y x 是抛物线x y 22=上的点,则),(y x 与)4,1(的距离是考虑函数2)(d y f =,由0)('=y f ,得到唯一驻点2=y ,于是抛物线x y 22=上与)4,1(最近的点是)2,2(2、多元函数类似一元函数,n 元函数),,,(21n x x x f 的最值问题就是求),,,(21n x x x f 在某个区域⊂D n R 上的最大值和最小值,我们只需求出),,,(21n x x x f 在D 内部的所有极值和边界上最值,从中比较就可以选出),,,(21n x x x f 在D 上的最值;例求平面42=++z y x 与点)2,0,1(-的最短距离;解设),,(z y x 是平面42=++z y x 上的点,则),,(z y x 与)2,0,1(-的距离是考虑函数2),(d y x f =,由0,0'==y x f f ,得到唯一驻点)3/5,6/11(,于是平面42=++z y x 与点)2,0,1(-的最短距离是665)3/5,6/11(=d 三、条件极值问题和Lagrange 乘子法前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数n 元函数),,,(21n x x x f ,然后求其极值或最值,是无条件极值问题,但是,更多的极值和最值问题是有约束条件的,即条件极值问题;一般来说,条件极值问题是指：求目标函数n 元函数),,,(21n x x x f y =在一组约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<===)(,0),,(0),,(0),,(21212211n m x x x G x x x G x x x G n m nn 下的极值; 我们可以尝试对上面方程组用消元法解出m 个变量,从而转化为上一节的无条件极值问题来解决,但是,消元法往往比较困难甚至是不可能的,所以,我们需要给出一种新的方法来求条件极值;下面我们介绍拉格朗日乘子法;我们以二元函数为例来说明,即：求目标函数),(y x f z =在一个约束条件0),(=y x F 限制下的极值问题;假设点),(000y x P 为函数),(y x f z =在条件0),(=y x F 下的极值点,且0),(=y x F 满足隐函数存在定理的条件,确定隐函数)(x g y =,则0x x =是一元函数))(,(x g x f z =的极值点;于是由隐函数存在定理得到令λ=),(),(0000y x F y x f y y ,于是极值点),(000y x P 需要满足三个条件：因此,如果我们构造拉格朗日函数其中,λ称为拉格朗日乘子,则上面三个条件就是也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题;用这种方法去求可能的极值点的方法,称为拉格朗日乘子法;类似地,求目标函数n 元函数),,,(21n x x x f y =在一组约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<===)(,0),,(0),,(0),,(21212211n m x x x G x x x G x x x G n m nn 下的极值时,我们可以构造相应的拉格朗日函数为于是,所求条件极值点满足方程组例横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆,其表面积等于S ,问其尺寸怎样时,此盆有最大的容积解设圆半径为r ,高为h ,则表面积)0,0)((2>>+=h r rh r S π,容积h r V 221π=; 构造拉格朗日函数解方程组得到ππ32,300S h S r ==,这时33027πS V =; 由实际情况知道,V 一定达到最大体积,因此,当00232r Sh ==π时,体积最大; 习题1．求函数xy y x z 333-+=的极值; 2．求函数22442y xy x y x z ---+=的极值; 3．求椭圆4422=+y x 上与)0,1(最远的点 4．求平面1=-+z y x 与点)1,1,2(-的最短距离; 5．求曲面12+=xy z 上与)0,0,0(最近的点6．已知容积为V 的开顶长方浴盆,问其尺寸怎样时,此盆有最小的表面积7．求用平面0=++Cz By Ax 与椭圆柱面12222=+by a x 相交所成椭圆的面积;第八节导数在经济学中的应用一、导数的经济意义 1．边际函数定义设函数)(x f y =可导,则导函数)('x f 在经济学中称为边际函数; 在经济学中,我们经常用到边际函数,例如：边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等,它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题,都反映了导数在经济学中的应用;成本函数)(x C 表示生产x 个单位某种产品时的总成本;平均成本函数)(x c 表示生产x个单位某种产品时,平均每个单位的成本,即xx C x c )()(=;边际成本函数是成本函数)(x C 相对于x 的变化率,即)(x C 的导函数)('x C ;由微分近似计算公式我们知道令1=∆x ,我们有)()1()('x C x C x C -+≈,也就是说,边际成本函数)('x C 可以近似表示已经生产x 个单位产品后再生产一个产品所需要的成本;在生产中,我们当然希望平均成本函数)(x c 取得极小值,这时,我们可以得到0)('=x c即则0)()('=-x C x xC ,于是我们得到)()('x c x C =;因此,平均成本函数)(x c 取得极小值时,边际成本函数和平均成本函数相等;这在经济学中是一个重要原则,就是说在生产中,当边际成本函数低于平均成本函数时,我们应该提高产量,以降低平均成本；当边际成本函数高于平均成本函数时,我们应该减少产量,以降低平均成本; 例设某种产品生产x 个单位时的成本为21.02250)(x x x C ++=;求（1）当生产产品100单位时的边际成本和平均成本；（2）当生产产品数量为多少时平均成本最低; 解 1边际成本函数和平均成本函数为于是,5.14)100(,22)100('==c C2平均成本函数)(x c 取得极小值时,边际成本函数和平均成本函数相等,即因此,当生产产品数量为50时平均成本最低; 类似边际成本函数我们可以讨论其它边际函数;需求函数)(x p 表示销售x 单位某种产品时的单个产品的价格;那么,)(x p 是x 的单调减少函数;收益函数是)()(x xp x R =,边际收益函数是)('x R ;利润函数是边际利润函数是)('x P ;当利润函数取极大值时,0)()()('''=-=x C x R x P ,于是,)()(''x C x R =,也就是说取得最大利润的必要条件是边际利润等于边际成本;为了保证取得最大利润还需要下面条件即)()(''''x C x R <;所以,当)()(''x C x R =且)()(''''x C x R <时取得最大利润;例设某种产品生产x 个单位时的成本为320003.001.028.127)(x x x x C +-+=,需求函数x x p 01.028.10)(-=;当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润解收益函数是由)()(''x C x R =得到我们得到100=x ;容易验证对任意0>x 有)()(''''x C x R <;所以,当生产产品数量达到100单位水平可以取得最大利润;2．弹性在经济学中我们常常用到弹性的概念,弹性也是一种变化率问题,与导数概念密切相关;定义设函数)(x f y =在点0x 可导,则称00x x yy ∆∆为函数)(x f y =在点0x 与x x ∆+0两点间的弹性；称00x x yy ∆∆在0→∆x 时的极限为函数)(x f y =在点0x 的弹性,记为x x ExEy =或)(0x f ExE即如果)(x f y =在),(b a x ∈可导,相应地,我们可以给出),(b a 上弹性函数的定义当x 很小时,我们有近似计算公式也就是说,函数的弹性是函数的相对改变量与自变量相对改变量之比,上式表示当x 从0x 产生001的改变时, )(x f y =改变000)(x f ExE需求函数)(p f Q =表示在价格为p 时,产品的需求量为Q ;需求函数)(p f Q =是单调减少函数,)(p f Q =的反函数也称为需求函数,就是我们前面提到的需求函数)(x p ;需求函数)(p f Q =对价格p 的导数称为边际需求函数;需求函数)(p f Q =的弹性为由于)(p f Q =是单调减少函数,因此0≤EpEf; 收益函数)()(p pf pQ p R ==,于是令EpEfE d =,我们有若1<d E ,则需求变动幅度小于价格变动幅度,称为低弹性,这时,0)('>p R ,)(p R 是单调增加函数;也就是说当价格上涨时收益增加, 当价格下跌时收益减少;若1>d E ,则需求变动幅度大于价格变动幅度,称为高弹性,这时,0)('<p R ,)(p R 是单调减少函数;也就是说当价格上涨时收益减少, 当价格下跌时收益增加;若1=d E ,则需求变动幅度和价格变动幅度相同,称为单位弹性,这时,0)('=p R ;也就是说当价格改变时,收益没有变化;类似上面对需求弹性的研究,我们也可以讨论供给弹性;供给函数)(p Q ϕ=是指商品生产商的供给量Q 与价格p 之间的关系函数;)(p Q ϕ=是单调增加函数;边际供给函数是)(p Q ϕ=对价格p 的导数,供给弹性函数是例设某种产品的需求函数为p Q 5100-=,其中价格)20,0(∈p ; 1求需求函数Q 的弹性EpEQ； 2用需求弹性说明价格在什么范围变化时,降低价格反而使收益增加; 解 1需求函数Q 的弹性20-=p pEp EQ ; 2容易得到当2010<<p 时,1>=EpEQE d ,这时,0)('<p R ,当价格下跌时收益增加;二、其它应用举例导数在经济学中有很多应用,下面举一些例题说明;首先,我们考虑连续复利率问题;假设初始资金为0A ,如果年利率为r ,那么,t 年后资金为t r A t A )1()(0+=;通常情况下是一年多次计息,假设一年n 次计息,那么我们这里是连续复利率计算问题,令∞→n 得到于是,我们得到连续复利率计算公式rt e A t A 0)(=;例某企业酿造了一批好酒,如果现在就出售,总收入为0R ,如果贮藏起来,t 年后出售,收入为520)(t eR t R =;如果银行年利率为r ,并且以连续复利率计算,问贮藏多少年后出售可以使收入的现值最大;解由连续复利率计算公式,t 年后的总收入)(t R 的现值)(t X 为由0)('=t X 得,2251r t =年;故贮藏2251r年出售,总收入的现值最大; 下面,我们再举一个其它应用题;例某企业生产某型号仪器,年产量A 台,分几批生产,每批生产准备费为B 元,假设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,平均库存量为批量的一半;设每年一台仪器的库存费为C 元;问如何选择批量,使一年中库存费与准备费之和最小;解设批量为x 台,则库存费为C x 2,每年生产的批数为xA,生产准备费为B x A ,于是总费用为令0)('=x f ,得到CABx 2=; 因此,批量为CABx 2=台时,一年中库存费与准备费之和最小; 多元函数的偏导数在经济学中也有非常广泛的应用;n 元函数),,,(21n x x x f y =的偏导数),,2,1)(,,(21n i x x x f x n i=∂∂称为对i x 的边际函数;我们可以类似一元函数引入边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等;我们还可以类似一元函数引入函数的偏弹性概念;这里不再一一详细叙述;下面我们举几个多元函数应用题;例假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是其中1p 和2p 为售价,1Q 和2Q 为销售量;总成本函数为1如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润；2如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和统一的价格,使该企业总利润最大化；并比较两种策略下的总利润大小;解 1总利润函数是由得5,421==Q Q ,这时7,1021==p p ;因为这是一个实际问题,一定存在最大值,且驻点唯一,因此当7,1021==p p 时,取得最大利润（3）若实行价格无差别策略,则21p p =,即有约束条件构造拉格朗日函数由得2,4,521===λQ Q ,这时821==p p ; 最大利润因此,企业实行价格差别策略所得利润要大于实行价格无差别策略的利润;例假设某企业通过电视和报纸作广告,已知销售收入为其中x 万元和y 万元为电视广告费和报纸广告费; 1在广告费用不限的情况下求最佳广告策略； 2如果广告费用限制为万元,求相应广告策略; 解 1利润函数为由得到唯一驻点1,5.1==y x ;这时最大利润为41)1,5.1(=P 万元2构造拉格朗日函数为由得到唯一驻点5.1,0==y x ;这时最大利润为39)5.1,0(=P 万元习题1．设某种产品生产x 个单位时的成本为230040000)(x x x C ++=;求 1当生产产品1000单位时的边际成本和平均成本； 2当生产产品数量为多少时平均成本最低;2．设某种产品生产x 个单位时的成本为32001.0361450)(x x x x C +-+=,需求函数x x p 01.060)(-=;当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润 3．设某种产品的需求函数为5p e Q -=,求6=p 时的需求弹性； 4．设某种产品的需求函数为p Q 2100-=讨论其弹性的变化; 5;某产品的总收益函数和成本函数分别是厂商追求最大利润,政府对产品征税,求：1求产品产量和价格为多少时,厂商能取得税前最大利润； 2征税收益的最大值及此时的税率； 3厂商纳税后的最大利润;6．假设某厂家在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是其中1p 和2p 为售价,1Q 和2Q 为销售量;总成本函数为试确定两个市场上该产品的销售价格,使该企业获得最大利润;第九节曲率所谓曲率就是用来描述曲线的弯曲程度的．线有直线和非直线,如果一个人沿着直线行走,他不需要转动方向；但如果他沿着一条非直线行走时,他在每一点行进的方向是曲线的切线方向．因而他在每一点行进的方向大多是不一样的．人移动时,他要转动方向．当曲线的弯曲程度大一点时,人走相同的距离目光的转向要大一点．在直线上转向是没有的．因而我们就用曲线上单位距离切线方向即目光方向的转动角度来刻画曲线的弯曲程度．设光滑曲线方程为()x f y =,()b a x ,∈,()b a x x ,,21∈,()()111,x f x P ,()()222,x f x P 是曲线上的两点．当弧21P P 很小时,可以用21P P 的直线距离来近似．设曲线在点21,P P 的切线与x 轴正向的夹角分别是ααα∆+,,则()()()21tan ,tan x f x f '=∆+'=ααα,所以()()()21arctan ,arctan x f x f '=∆+'=ααα．而()()()()21221221x f x f x x P P -+-=,这时有1212limP P x x α∆→是刻画曲线在点1x 的弯曲程度的,通常记为k ．定义若函数()x f y =具有两阶连续的导数,则曲线上单位长度的切线转动称为函数()x f y =的曲率．显然曲率0≥k ．例求抛物线c bx ax y ++=2的曲率．解：b ax y +='2,a y 2='', 所以曲率为()()232212b ax ak ++=．显然当02=+b ax 时,k 最大．即在abx 2-=对称轴处,曲线弯曲程度最大．例求直线b kx y +=的曲率．解：因为k y =',0=''y , 所以0=k ．即直线没有弯曲．上面这种方法是对显函数而言的．如果曲线有参数方程()()⎩⎨⎧==t y y t x x 给出,求曲率的过程可以如下进行．先求()()t x t y dx dy ''=,()()()()()()322t x t y t x t x t y dx dy dx d dx y d ''''-'''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,代入前面求曲率的公式,得到()()()()()()()2322t y t x t y t x t x t y k '+''''-'''=．例求半径为R 的圆的曲率．解：可设圆方程为⎩⎨⎧==θθsin cos R y R x ,则θsin R x -=',θcos R y ='； θcos R x -='',θsin R y -=''；代入上面的公式,得()()()RR R R R R R k 1sin cos sin sin cos cos 2322=+⋅-⋅-=θθθθθθ．即圆的弯曲程度是其半径的倒数．R 越大,曲率越小．为此我们一般曲线上任意一点可以用一个圆弧来表示．相比较着一点的曲率的倒数,即k1称为该点的曲率半径,也就是说,该点的弯曲程度与半径为k1的圆的弯曲程度接近．此时在该点的法线上的的一侧一点Ｏ,使得k OP 1=,点Ｏ称为曲率中心．以O 为圆心,k1为半径的圆称为P 点的曲率圆．下面考虑隐函数曲率的求法．求隐函数的曲率,关键在于求y y ''',．举一个例子．例求曲线12222=+b y a x ()0,0>>b a 上一点的曲率．解：对12222=+by a x 两边对x 求导,得到0121222='+y by a x．所以 ya xb y 22-='．又对0121222='+y by a x两边对x 求导,得到 01212122222=''+'+y by y b a ．所以32422223242244221y a b a x b y y a b y x a b a b y y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='', ()()232424442321xb y ab a y y k +='+''=．特别地,当R b a ==时,Rk 1=．最后介绍极坐标系下,曲线的曲率的求法．例求阿基米德螺线θa r =的曲率．解：因为θθθcos cos a r x ==,θθθsin sin a r y ==,所以θθθsin cos a a x -=',θθθcos sin a a y +='． θθθcos sin 2a a x --='',θθθsin cos 2a a y --=''．代入公式()()()()()()()2322t y t x t y t x t x t y k '+''''-'''=,得()()232223222222122θθθθ++=++=a a aa a k ．曲率半径为k1．。

空间曲线与曲率

空间曲线与曲率空间曲线是三维空间中的曲线，它在几何学和数学分析中扮演着重要的角色。

空间曲线的性质可以通过曲率来描述，曲率是衡量曲线弯曲程度的量度。

本文将介绍空间曲线的基本概念，包括曲率的计算方法和几个常见的曲线类型。

一、空间曲线的定义在三维空间中，曲线可以用参数方程来表示。

设曲线为C，参数方程为：x = x(t)y = y(t)z = z(t)其中，x(t)、y(t)、z(t)是关于参数t的函数。

通过参数方程，我们可以在三维空间中得到曲线上的一系列点。

二、切线和曲率曲线上的每一点都有一个切线，切线的方向与曲线在该点的切向量相同。

曲线的切向量可以通过对参数方程求导得到：T(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))其中，T(t)是曲线在t时刻的切向量，x'(t)、y'(t)、z'(t)分别是x、y、z对t的导数。

切向量的模长等于1，表示切线的方向。

曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的量度。

在三维空间中，曲线的曲率可以通过以下公式计算：k(t) = |T'(t)| / |r'(t)|其中，k(t)是曲线在t时刻的曲率，T'(t)是切向量对t的导数，即二阶导数。

r'(t) = (x''(t), y''(t), z''(t))是曲线的曲率向量。

三、特殊曲线类型1. 直线直线是最简单的曲线类型，其切向量始终保持不变。

因此，直线的曲率为0。

2. 平面曲线平面曲线位于一个平面内，它在平面内弯曲，但不离开平面。

平面曲线的曲率被称为主曲率，可以用以下公式计算：k(t) = (E * G - F^2) / (E + G)其中，E、F、G分别是曲线在t时刻的法曲率，主曲率和次曲率。

3. 对称曲线对称曲线对称于某个直线或平面。

对称曲线的曲率具有对称性，即在对称轴或对称面上相等。

四、应用空间曲线与曲率在许多学科领域中都有应用。

空间曲线的切线与法平面

空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程)1()()()(⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x ozyx(1)式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面M∙.),,(0000t t t z z y y x x M ∆+=∆+∆+∆+'对应于;),,,(0000t t z y x M =对应于设∙M '考察割线趋近于极限位置——切线的过程zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000t ∆t ∆t∆上式分母同除以,t ∆o zyxM∙∙M '割线的方程为M M ',000z z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-,0,时即当→∆→'t M M 曲线在M 处的切线方程.)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='-切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.))(),(),((000t z t y t x '''=→τ法平面：过M 点且与切线垂直的平面.))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x例1 求曲线:Γ⎰=tuudu e x 0cos ，t y sin 2=t cos +,te z 31+=在0=t 处的切线和法平面方程.解当0=t 时，,2,1,0===z y x ,cos t e x t=',sin cos 2t t y -=',33te z ='⇒,1)0(='x ,2)0(='y ,3)0(='z 切线方程,322110-=-=-z y x 法平面方程,0)2(3)1(2=-+-+z y x .0832=-++z y x 即二、典型例题1.空间曲线方程为,)()(⎩⎨⎧==x z z x y y ,),,(000处在z y x M ,)()(100000x z z z x y y y x x '-='-=-.0))(())(()(00000=-'+-'+-z z x z y y x y x x 法平面方程为切线方程为特殊地：切向量))(),(,(00x z x y ''=1τ2.空间曲线方程为,)()(⎩⎨⎧==y z z y x x ,),,(000处在z y x M 特殊地：切向量))(,1),((00y z y x ''=τ3.空间曲线方程为,)()(⎩⎨⎧==z y y z x x ,),,(000处在z y x M 特殊地：切向量)),(),((001z y z x ''=τ4.空间曲线方程为,0),,(0),,(⎩⎨⎧==z y x G z y x F ,),,(000处在z y x M 切向量))(),(,(00x z x y ''=→1τ),,(zyz y xy xy z yz yz xzxG G F F G G F F G G F F G G F F --1=),,(yxy xx zx zz yz y G G F F G G F F G G F F K =),,(000z y x ),,(000z y x zyz y G G F F K 1-=),,(000z y x例2 求曲线6222=++z y x ，0=++z y x 在点)1,2,1(-处的切线及法平面方程.解1 直接利用公式;解2 将所给方程的两边对x 求导并移项，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+1dxdz dx dy x dx dz z dx dyy ⇒,zy x z dx dy --=,zy y x dx dz --=由此得切向量},1,0,1{-=T 所求切线方程为,110211--=+=-z y x 法平面方程为,0)1()2(0)1(=--+⋅+-z y x 0=-⇒z x ,0)1,2,1(=-dx dy ⇒,1)1,2,1(-=-dx dz三、小结空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）。

空间曲线的切线向量求法

{
}
例如
抛物柱面与圆柱面的交线参数方程为
x = sin 2α y = 1 − cos 2α z = 2 cos α 由公式１可得曲线上任意一点Ｍ０（对应参数α ０）的切线向量为 ρ V = {2 cos 2α 0 2 sin 2α 0 − 2 sinα 0
F1 ( x, y, z) = 0 F2 ( x, y, z) = 0
空间曲线形式二空间曲线由两曲面的直角坐标方程联立表示?即曲线方程为??0021zyxfzyxf则曲线上任意一点的切线向量为??????212121yxdffdxzdffdzydffdv2其中v的每一项是一个二阶雅可比行列式zfyfzfyfzydffd????????221121xfzfxfzfxzdffd????????221121yfxfyfxfyxdffd????????221121例如球面与圆柱面的交线方程为?????x010010022222yxzyx万方数据邢台职业技术学院学报2003年第5期28其中ah为常数参数?常数表示曲面上不同的螺旋线常数表示不同位置的渐开线42的前两个方程分别平方后相加得12222?hayx将其代入41得222221?ba由此解得1422222??ahb令222224kahb这里只讨论?取正值则122??k由此曲线方程为h??????????????21cos11sin1sin11cos222222222222zkkkaykkkax这是以为参数的空间曲线方程曲线上任意一点的切线向量为vzyx其中??????????????21cos1sin11sin1cos122222222222222hzkkkkaykkkkax一般来说空间曲线相对复杂还要详尽考虑变量和参数的实际意义变量较多式子较长运算繁琐取值范围求解实际问题时要十分细心空间曲线的连续性此外这样才针对具体的问题会求解正确可微性等参考文献1复旦大学数学系

求曲线的切线方程和法线方程

求曲线的切线方程和法线方程
切线方程：切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、
量子力学等内容，是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。

分析方法有向量法和解析法。

法线方程：对于直线，法线是它的垂线；对于一般的平面曲线，法线就是切线的垂线；对于空间图形，是垂直平面。

切线方程公式为：记曲线为y=f(x)，则在点(a,f(a))处的切线方程为：y=f'(a)(x-
a)+f(a)；
法线方程公式：α*β=-1。

切线方程
函数图形在某点(a,b)的切线方程y=kx+b:
先求斜率k,等于该点函数的导数值；
再用该点的坐标值代入谋b；
切线方程求毕；
法线方程
y=mx+c
m=一1/k；k为切线斜率
再把切点坐标代入求得c；
法线方程求毕。

法线方程导数的求导法则
由基本函数的和、高、内积、商或相互无机形成的函数的导函数则可以通过函数的微
分法则去推论。

基本的微分法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘坐二导。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方。

4、如果存有无机函数，则用链式法则微分。

空间曲线的切线与法平面

空间曲线的切线与法平面字数：2636字标题：空间曲线的切线与法平面导言：在三维空间中，我们会遇到各种各样的曲线，它们具有特定的形状和方向。

而曲线的切线和法平面则是研究曲线上某一点的性质的重要工具。

本文将讨论空间曲线的切线和法平面的概念，以及它们在实际问题中的应用。

一、曲线的切线1. 切线的定义在二维空间中，我们知道一条曲线在某一点的切线是通过该点且与曲线仅有该点相切的直线。

在三维空间中，曲线的切线的定义与二维空间类似。

对于一个空间曲线，我们可以通过两种方式来确定它在某点的切线：一是通过方程，二是通过参数方程。

2. 方程中的切线考虑某一空间曲线的方程为F(x, y, z) = 0，我们可以通过求曲线在该点的切向量来确定切线的方向。

首先，求出曲线在该点的梯度向量(∇F)，则该向量是曲线在该点的切向量的一个方向向量。

接下来，我们可以通过与曲线的方程联立方程组，求出曲线与切线的交点坐标，从而确定切线的具体方程。

3. 参数方程中的切线对于一个空间曲线的参数方程r(t) = (x(t), y(t), z(t))，我们可以通过求导数的方式来确定曲线在某点的切向量。

即，求出参数t在该点的导数向量r'(t)，则该向量是曲线在该点的切向量的一个方向向量。

通过求曲线的参数方程和切线方程的交点，我们可以进一步确定切线的具体方程。

二、曲线的法平面1. 法线的定义曲线的法线是与曲线在某一点相切且与切线垂直的直线。

在二维空间中，我们可以通过曲线的切线来求出该点的法线。

在三维空间中同样适用。

曲线的法线通过切向量的反向来求得，即对于曲线的切向量v，曲线的法向量为-n，其中n为v的单位向量。

2. 法平面的定义曲线在某一点的法平面是过该点并与切线垂直的平面。

在二维空间中，我们可以通过法线方程来确定法平面。

在三维空间中同样适用。

一个法平面可以由通过曲线上一点的切向量和法向量所决定。

通过求曲线的法向量和过该点的切线向量的叉积，我们可以得到法平面的法向量，从而确定法平面的方程。

空间曲线切线方程的求法

空间曲线切线方程的求法空间曲线的切线方程是指在空间中，通过曲线上一点的直线方程。

求解空间曲线的切线方程有多种方法，下面将详细介绍其中两种常用的方法。

方法一：向量法利用向量法，可以通过曲线参数方程求解切线方程。

设空间曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)首先，我们需要求曲线上某一点的切向量。

切向量就是曲线在该点的切线方向上的单位向量。

对于参数方程，我们可以通过对各个方向求导得到切向量。

令r(t) = (x(t), y(t), z(t))为曲线上的点，则切向量T(t) =r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))。

切向量的方向向量可以通过对参数方程分别求导得到。

找到切向量后，我们可以通过设定曲线上某一点的坐标，代入切向量的方程，得到切线的参数方程。

例如，假设曲线上某一点的坐标为(x0, y0, z0)，则切线的参数方程可以表示为：x = x0 + t * x'(t)y = y0 + t * y'(t)z = z0 + t * z'(t)这样，我们就可以求得空间曲线的切线方程了。

方法二：法向量法使用法向量法求解空间曲线的切线方程也是一种常见且有效的方法。

法向量与切向量是垂直的，所以如果我们能够求得曲线上某一点的法向量，就能得到切线的方程。

首先，我们可以通过对参数方程分别求导得到切向量T(t)。

接下来，我们需要求解曲线上某一点的法向量。

法向量的方向是曲线在该点的垂直方向上的单位向量。

设曲线在点P上的法向量为N，曲线的切向量为T。

因为N与T垂直，所以它们的点积等于0。

即：N·T = 0将切向量的各个分量代入上式，得到一个关于未知数t的方程。

通过求解这个方程，我们可以得到t的值。

然后，将t的值代入到曲线的参数方程中，就可以得到点P的坐标。

最后，我们可以利用曲线上某一点的坐标和法向量，通过点法式方程来表示切线的方程。

空间曲线的切线与法平面

则
Fx 2x, Fy 2 y, Fz 2z
Fx (1,2,3) 2, Fy (1,2,3) 4, Fz (1,2,3) 6
所以在点 (1, 2,3) 处球面的切平面方程为
2(x 1) 4( y 2) 6(z 3) 0
法线方程
x 1 y 2 z 3 246
F(x, y, z) 0
则该曲面在 M0 点的切平面方程为
(Fx )M0 ( X x0 ) (Fy )M0 (Y y0 ) (Fz )M0 (Z z0 ) 0
过 M0 点的法线方程为 X x0 Y y0 Z z0 (Fx )M0 (Fy )M0 (Fz )M0
X x0 Y y0 Z z0 D(F,G) D(F,G) D(F,G)
D(y, z)
D(z, x)
D(x, y)
M0
M0
M0
和法平面方程
D(F , G)
D(F , G)
D(F , G)
D( y, z) ( X x0 ) D(z, x) (Y y0 ) D(x, y) (Z z0 ) 0
t 1
t 1
t 1
从而切线方程为
x 1 y 1 z 1 123
法平面方程为 x 1 2( y 1) 3(z 1) 0
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例求两柱面
Z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
的交线在点：
T
R , R , R 2 2 2
M0 O
㈡如果曲线的方程表示为 y y(x), z z(x)
可以把它写成如下的以 x 为参数的参数方程

空间曲线的切线与法平面

点向式可建立曲线的切线方程利用
点法式可建立曲线的法平面方程
1. 曲线方程为参数方程的情况给定光滑曲线
设上的点 M (x0, y0, z0) 对应t t0,(t0), (t0),(t0)不全为0, 则在点M 的导向量为
f (t0) ((t0), (t0), (t0))
因此曲线在点 M 处的
切线方程法平面方程
x x0
(t0 )
y y0
(t0 )
z z0
(t0 )
f (t0)
M
(t0 )(x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
例4. 求曲线 x t, y t2, z t3在点 M (1, 1, 1) 处的切线
方程与法平面方程.
解：x 1, y 2t, z 3t2, 点(1, 1, 1) 对应于
故点M 处的切向量为 T (1, 来自, 3) 思考: 光滑曲线因此所求切线方程为 x 1 y 1 z 1 1 23
:
zy
(x) (x)
的切向量有何特点?
法平面方程为
答:
:
x y
x
(x)
(x 1) 2 ( y 1) 3(z 1) 0
z (x)
即
x 2y 3z 6
切向量 T (1, , )
2. 曲线为一般式的情况
光滑曲线
:
F ( x, G(x,
y, z) y, z)
0 0
当 J (F,G) 0 时，可表示为
(y, z)
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为

切线与切平面

解当t 0时， x 0, y 1, z 2,
x et cos t, y 2cos t sin t, z 3e3t ,
x(0) 1, y(0) 2, z(0) 3,
切线方程 x 0 y 1 z 2 ,
1
2
3
法平面方程 x 2( y 1) 3(z 2) 0,
切平面上的点的竖坐标的增量.
.
14
若、、表示曲面的法向量的方向角，
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z
轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向
余弦为
cos fx ,
1
f
2 x
f
2 y
cos cos
fy
,
1
f
2 x
f
2 y
1
.
1
f
2 x
f
2 y
其中
f x f x ( x0 , y0 ) f y f y ( x0 , y0 )
二、求出曲线x t, y t 2 , z t 3 上的点,使在该点的切
线平行于平面 x 2 y z 4 .
三、求球面 x 2 y 2 z 2 6与抛物面z x 2 y 2 的交线在(1,1,2)处的切线方程 .
.
23
四、求椭球面 x 2 2 y 2 z 2 1上平行于平面 x y 2z 0的切平面方程.
n {6 x0 , 2 y0 , 2z0 },
依题意知切向量为 {3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3
y0 x0 , z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02
2 2
x0 x02
9 x0 9 x02
16 16

空间曲线与曲面的切线与法线的性质与计算

法线计算
在空间曲线中，法线通常指的是与切线垂直的直线。对于参数方程表示的曲线，其法线方向可以通过切线方向的叉积得到。具体地，可以选取另外两个不共线的向量与切线方向向量进行叉积运算，得到法线方向向量。
隐函数表示下计算方法
切线计算
对于隐函数表示的曲线 F(x,y,z)=0，其切线方向可以通过求解隐函数的梯度得到。具体地，切线方向向量为 grad F = (Fx, Fy, Fz)，其中 Fx、Fy、Fz 分别为 F 对 x、y、z 的偏导数。
XX
空间曲线与曲面的切
线与法线的性质与计
算
汇报人：XX
2024-01-30
REPORTING
• 曲线与曲面基本概念 • 切线与法线定义及性质 • 空间曲线切线与法线计算 • 曲面切线与法线计算 • 切线与法线在几何中的应用 • 总结与展望
目录
XX
PART 01
曲线与曲面基本概念
REPORTING
XX
THANKS
感谢观看
REPORTING对于隐函源自表示的曲面$x^2+y^2-z=0$，在点$(1,1,2)$处的梯度向量为${2,2,1}$，因此切线方向垂直于该向量，法线方向与该向量平行。
XX
PART 05
切线与法线在几何中的应用
REPORTING
曲线曲面交点问题
01
切线与法线用于求解曲线或曲面之间的交点，通过联立方程求解。
02
在计算机图形学中，交点检测是碰撞检测、光线追踪等算法的基础。
03
对于复杂曲线或曲面，可能需要采用数值方法逼近求解交点。
最小距离和最大距离问题
01 切线与法线可用于求解点到曲线或曲面的最小距离和最大距离。

空间曲线的切线与法平面

所以切线方程为：
x R R R y z 2 2 2 1 1 1
即
2x R ( 2 y R) ( 2z R)
此直线可看作是 x y 2R 平面与平面 y z 的交线。
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曲面的切平面与法线
㈠设曲面方程为
F ( x, y, z ) 0
过曲面上点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 任作一条在曲面上的曲线 l ，设其方程为 x x(t ), y y(t ), z z(t ) 显然有
F ( x(t ), y(t ), z (t )) 0
在上式两端对 t 求导，得
(Fx ) x(t ) (Fy ) y(t ) (Fz ) z(t ) 0
2
3
在点 (1, 1, 1) 的切线与法平面方程
解
在曲线方程中分别对 t 求导，得
2 x 1, y 2t , z 3t
对应于点 (1, 1, 1) 的参数 t 1
，于是
x t 1 1, y t 1 2, z t 1 3
从而切线方程为法平面方程为
x 1 y 1 z 1 1 2 3
dy D( F , G) dx D( z, x) D( F , G) dz D( F , G) , D( y , z ) dx D( x, y) D( F , G ) D( y , z )Fra bibliotek上一页
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从而可得曲线在点 M 0 的切线方程：
X x0 Y y0 Z z0 D( F , G ) D( F , G ) D( F , G ) D( y , z ) M 0 D( z , x ) M 0 D( x, y) M 0

切向量和法向量的意义

切向量和法向量的意义在数学中，向量是一个非常重要的概念，它被广泛应用于各种领域中。

在物理学中，向量被用来描述物体的运动状态和力的大小、方向；在计算机图形学中，向量被用来描述三维空间中的物体位置和方向。

而在向量的运算中，切向量和法向量是两个非常重要的概念，它们分别描述了向量沿着某个曲线的切线方向和垂直于曲线的方向，这在很多应用中都有非常重要的意义。

一、什么是切向量和法向量？在二维空间中，切向量和法向量分别表示曲线在某点处的切线和垂线方向。

切向量的方向是沿着曲线切线方向的，而法向量的方向则是垂直于曲线的方向。

在三维空间中，同样可以定义切向量和法向量，其具体含义与二维空间类似。

举个例子来说，假设我们有一个圆形曲线，现在我们想要知道在圆形曲线上某点处的切向量和法向量应该如何求解。

首先，我们可以通过求出曲线在该点处的切线来确定该点处的切向量。

而要求得曲线在该点处的切线，则需要求出曲线在该点处的导数。

具体来说，假设圆形曲线的参数方程为r(t)=(r·cos(t),r·sin(t))，则曲线在某点P处的切向量t是由曲线参数t处斜率所确定的，即：t=dr/dt=(dx/dt,dy/dt)=(r·-sin(t),r·cos(t))其中，sin(t)和cos(t)分别是t时刻圆上点P在x轴和y轴上的坐标值。

因此，曲线在该点处的切向量t可以通过求解导数来得到。

接下来，我们需要求解该点处的法向量n。

根据流体力学的概念，法向量是垂直于曲线的方向。

因此，曲线在该点处的法向量n 应该是切向量t的垂直方向上的向量。

具体地，如果我们将切向量t绕z轴旋转90度，则得到的向量就是法向量n。

因此，曲线在该点处的法向量n可以通过如下公式求解：n=(0,0,1)×t其中，(0,0,1)是z轴的单位向量。

这个向量的作用是保证对于任何曲线，法向量都是垂直于曲面的。

二、切向量和法向量的应用切向量和法向量在不同领域中有不同的应用。

空间曲线的法向量

空间曲线的法向量空间曲线是三维空间中的一条曲线，它由一组参数方程表示。

在三维空间中，每一个点都有一个对应的坐标和向量。

在空间曲线上任意一点处，都存在一个法向量。

法向量是这个点处垂直于曲线方向的一个向量。

它与曲线相交，且垂直于曲线的切向量。

为了求出空间曲线上任意一点处的法向量，需要首先求出曲线的切向量。

曲线的切向量是曲线经过该点的一条切线的向量表示。

切向量的方向是曲线经过该点的方向。

曲线的切向量可以通过求解参数方程的导数来得到。

根据向量微积分定义，曲线的切向量可以表示为：T = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k其中，i、j 和 k 分别是三维空间的标准基向量，dx/dt、dy/dt 和 dz/dt 分别是参数方程在该点处对应的导数。

在得到曲线的切向量后，就可以求出该点处的法向量了。

法向量是与切向量垂直的向量，可以通过叉积运算来求解。

假设 n 表示该点处的法向量，则有：n = T × N其中，T 表示曲线的切向量，N 表示与 T 垂直的向量。

N 可以选择任何一个垂直于T 的向量作为代表。

通常情况下，可以选择两个向量的叉积来代表 N。

具体地，可以将 T 向量与任意一个垂直于 T 的向量 U 进行叉积，然后将结果再进行一次叉积得到 N。

即：N = T × Un = T × (T × U)对于一个特定的曲线，可能会存在多个垂直于切向量的向量，因此法向量也有多种选择。

但是，无论选择哪个法向量，它们的方向都是相同的，只是长度不同。

最后，需要注意的是，在绝大多数情况下，曲线上每个点处的法向量并不是唯一确定的。

因为曲线可能具有多个分支、重合部分或者存在奇点等情况，这些情况都会对法向量的定义造成影响。

因此，在具体求解法向量时需要根据不同的情况进行选择和处理。