初中数学创新性开放性问题3

启示：若Q是AC上一点，连结PQ， △APQ与△ABC相似的条件应是什么？
例3：先根据条件要求编写应用题，再 解答你所编写的应用题。 编写要求：
（1）：编写一道行程问题的应用题， 使得根据其题意列出的方程为
120 120 1 x x 10
（2）所编写应用题完整，题意清楚。 联系生活实际且其解符合实际。
所编方程为：A，B两地相距120千米，甲乙 两汽车同时从A地出发去B地，甲 比乙每小 时多走10千米，因而比乙早到达1小时求甲 乙两汽车的速度？ 解：设乙的速度为x千米/时，根据题意得方 程：
120 120 1 x x 10
解之得：x=30 经检验x=30是方程的根 这时x+10=40 答：甲 乙两车的速度分别为40千米/时，30 千米/时
分析：求EF离地 面的距离，实际 上是求PO的长度， 也就是求GH的长 度，而GH=BH— BG，BG正好在 Rt△BFG中，可 根据勾股定理求 出。
解：如图，根据建立的直角坐标系， 设二次函数解析式为y=ax2+c， ∵C（－０.４，０.７）Ｂ（０.８，２.２）
00..6146aa
c c
解（1）∵方程有两个不相等的实数根 ∴△>0，即4-4（2-m)>0 ∴ m>1
（2）不妨取 m=2代入方程中得： x2+2x=0
配方得： x2 +2x+12=12 即（x+1)2=1 ∴x+1=±1 解之得：x1=0 x2=﹣2
例5 在一服装厂里有大量形状为等腰 直角三角形的边角布料（如图）现找 出其中一种，测得∠C=90°，AC=BC=4， 今要从这种三角形中剪出一种扇形， 做成不同形状的玩具，使扇形的边缘 半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的 弧与△ ABC的其他边相切，请设计出 所有可能符合题意的方案示意图，并 求出扇形的半径（只要画出图形，并 直接写出扇形半径）。 C
0.7
2.2
a c
25 8 0.2
∴绳子最低点到地面距离为０．２米．
（２）作ＦＧ⊥ＢＨ，交ＢＨ于Ｇ，
ＦＧ＝（ＡＢ－ＥＦ）／２
＝（１．６－０．４）／２＝0．６
在Ｒｔ△ＢＦＧ中，
∴绳子最低点到地面距离为０．２米． （２）作ＦＧ⊥ＢＨ，交ＢＨ于Ｇ， ＦＧ＝（ＡＢ－ＥＦ）／２
＝（１．６－０．４）／２＝0．６ 在Ｒｔ△ＢＦＧ中，
）
A ：8个 B：16个 C：4个 D：32个
分裂 0
1
2
3
4
次数
细菌 1=20 2=21 4=22 8=23 16=24 个数
例2：如图，已知△ABC，P为AB上一点， 连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添 加条件_________（只需写一种合适的 条件）。
∠1=∠B ∠2=∠ACB
AC2=AP·AB
A
B
分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角 形边上
相切的情况有两种（1）与其中一边相切（直角边相切、 斜边相切）
（2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一 斜边相切）
并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）
（1）与一直角边相切可如图所示
（2）与一斜边相切如图所示
（3）与两直角边相切如图所示
(2)为供孩子们打秋千,把绳子剪断后, 中间系一块长为0.4米的木板,除掉系木板用 去的绳子后,两边的绳子正好各为2米,木板 与地面平行,求这时木板到地面的距离(供选 用数据: 4.36 2.1 3.36 1.8 3.64 1.9)
分析：由于绳子是抛 物线型，故求绳子最 低点到地面的距离就 是求抛物线的最小值 问题，因而必须知抛 物线的解析式，由于 抛物线的对称轴是 y轴，故可设解析式为：y=ax2+c的形式， 而此人所站位置的坐标为（﹣0.4,0.7), 绳子系的坐标为（0.8,2.2)，将其代入 解析式得a,c
初中数学专题讲座
创新型、开放型问题
曾庆坤
例1：某种细菌在培养过程中，细菌每
半小时分裂一次（由一个分裂为两
个），经过两小时，这种细菌由一个
可分裂繁殖成（
）
A ：8个 B：16个 C：4个 D：32个
例1：某种细菌在培养过程中，细菌每
半小时分裂一次（由一个分裂为两
个），经过两小时，这种细菌由一个
可分裂繁殖成（ B
例4 已知关于x的一元二次方程 x2+2x+2-m=0
（1）若方程有两个不相等的实数根， 求实数m的取值范围？ （2）请你利用（1）所得的结论，任 取m的一个数值代入方程，并用配方法 求出方程的两个实数根？
分析：一元二次方程根与判别式的关系
△>0 方程有两个不相等的 实数根，于是有：22-4(2-m)>0,解之 得m的取值范围；(2)中要求m任取一 个值，故同学们可在m允许的范围内 取一个即可，但尽量取的m的值使解 方程容易些。而且解方程要求用配方 法，这就更体现了m取值的重要性， 否则配方法较为困难。
BG BF 2 FG2 22 0.62 3.64 1.9
∴ ２.２－１.９＝０.３(米)
故木板到地面的距离约为０.３ 米．
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，适合我们发展的机会应该会有的！”耿直眨巴眨巴眼睛对耿老爹说：“爹，你该不会是想让我学着做一个陶瓷匠吧，我可是只会捏小 泥人儿耶！”耿老爹哈哈大笑起来，说：“不会，不会，你以为做一个陶瓷匠有那么容易吗？那可是一门子需要几辈人的辛苦才能够熟 练掌握的技艺啊！而我们只是在南方转一圈，赚一些银子就回去了。记住了：我们的根在北方，我们是要在“三六九镇”上光宗耀祖 的！”耿直滑稽地吐吐舌头，说：“耶，那我捏小泥人儿的手艺可就白瞎啦！”耿正圈起食指在弟弟的脑门儿上轻轻地弹一个小锣鼓儿， 说：“就你那么点儿捏小泥人儿的臭手艺还说白瞎！去看看人家陶瓷人的制作手艺吧，不让你大开眼界才怪呢！”耿英却在一旁直犯嘀 咕：“去了可干什么呢？”耿老爹说：“莫着急，去了看看情况再说吧。不过我想啊，景德镇的陶瓷业是非常发达的，所产的瓷器素有 “薄如纸，白如玉，明如镜，声如磬”之说。而我们并不具备这方面的知识，所以啊，做陶瓷买卖方面的生意我们肯定不在行，是万万 做不得的。做老本行粮油零售吧，也不一定会做的有汉口镇那里好。要说比较合适的嘛，也许是餐饮和住宿行业了，比如说，先开个小 饭店什么的。”耿正想一想，有些个担心地说：“只是，我们现在的本钱还是个问题啊！”耿英却说：“先开个小一些的饭店，以后再 慢慢做大也是可行的。要说本钱嘛，开个小一些的饭店应该已经差不多了！”耿老爹也说：“是的，英子说得对，咱们先开个小一些的 饭店，以后再慢慢做大。我估计啊，开一个小饭店的本钱，咱们现在已经够了！”如此，耿家父子四人就渡过鄱阳湖，改道往东南方向 的景德镇去了。99第四十三回 乔氏款待出行人|（半年相处行将别，丰盛饭菜难下咽；留下别礼送祝福，“家”礼款待出行人。）在镇 上一家最有名的“王记丝绸店”里，耿老爹精心挑选了一匹上好的玉青色丝绸和两床绣有龙凤呈祥图案的大红底色丝绸被面。耿英交了 银子，店家用绵联纸打包好以后交给耿老爹。抬头看看日头已近中午了，父子四人心情忐忑地缓步返回了白家。轻轻推开门走进院内， 立刻就闻到了红烧武昌鱼扑鼻的浓香。大家无声地走到过厅口时，看到小青正坐在一个大盆儿后面的小板凳上专心择韭菜。新鲜韭菜碧 绿碧绿的，透出一股子清香。小青刚刚择了一小撮，大盆儿里没有择的还足足有三斤。大家不想突然惊动小青，就默默地站在过厅口上 看她择菜。忽然听到西屋里乔氏说：“丫头，给我洗上十来根韭菜，我给咱们做一个韭菜炒鸡蛋！”“哎！”小青答应着站起身来，这 才发现耿家父子四人都在过厅口上站着呢，就瞪眼儿奇怪地说：“敢情你们是飞回来的？”耿老爹说：“你择韭菜太专心了。当然，小 直子
（4）与一直角边和一斜边相切如图所示
解：可以设计如下图四种方案：
r1=4
r2=2 2
r3=2
Hale Waihona Puke r4=4 2 -4例6：一单杠高2.2米,两立柱之间的距离为 1.6米,将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结 合处,绳 子自然下垂呈抛物线状.
(1)一身高0.7米的小孩子站在离立柱0.4 米处,其头部刚好触上绳子,求绳子最低点到 地面的距离;