振动理论

对于任意的具有n 个自由度的振动系统，通过对系统中任意质量m i 进行受力分析，可以很方便地写出其运动方程。

对i =1，2，…，n 个质量，可写出n 个方程。

考虑到其它任意质量m j 对与质量m i 运动的相互耦合作用及它们对m i 运动的影响，可写出其矩阵形式
M x + C x + K x = F t (1)
其中， x 、 x 、 x 和F t 分别是n 个质量的加速度、速度、位移以及作用于系统的外力列向量， M 、 C 和 K 分别是系统的惯性矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，它们都是n×n 阶方阵。

把式(4-2)所示的时域矩阵方程变换到拉氏域（变量为p ，p=σ+jω，σ为阻尼因子常数，ω为圆频率），并且假定初始位移和初始速度为零，则得：
)}({)}(]){[][][(2p F p X K C p M p =++
简写为 )}({)}()]{([p F p X p Z = (4-3) 其中，][][][)]([2K C p M p p Z ++=
为系统的动刚度矩阵。

由(4-3)式，可以得出系统的传递函数矩阵)]([p H 的定义：
)}()]{([)}({p F p H p X = (4-4)
根据矩阵理论，显然有
)
()])
(adj([])([)]([1p Z p Z p Z p H =
=- (4-5)
式中，)])(adj([p Z 为动刚度矩阵)]([p Z 的伴随矩阵，等于|]|[ij ij Z ε。

其中，||ij Z 为矩阵)]([p Z 去掉第i 行第j 列之后的行列式，⎩
⎨
⎧+-+=为奇数如果为偶数
如果j i j i ij
11ε； 分母|)(|p Z ，为矩阵)]([p Z 的行列式。

系统的特征方程为：0|][][][||)(|2=++=K C p M p p Z 。

求解特征方程 0|)(|=p Z ，即可得到系统极点r λ，它决定了系统的固有特性－共振频率。

2n 个系统极点是特征方程的2n 个呈复共轭对的特征
根：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Λn n 1
1n n 11*n *1n 1j -0j -j 0j 00\\ωσωσωσωσλλλλ (4-6) 其中，系统极点r λ的实部r σ为阻尼因子，虚部r ω为非线性阻尼固有
频率，1-=j 。

相应地，特征方程的每一个特征根对应一个具体的特征向量r }{ψ，即系统的模态向量。

一般情况下，这些模态向量都含有复值模态位移，因而它们的元素的相位可能不同。

在对应的极点r λ上，这些向量使得系统方程式（4-3）中的力向量)}({p F ＝0，即
}0{})]{([}]){[][][(2=ψ=ψ++r r r r r Z K C M λλλ (4-7) 因为r λ和＊r λ（r=1，2，…，n ）是系统特征方程0|)(|=p Z 的根，所以可将传递函数公式（4-5）重新整理为：
)
()])
(adj([))(()])
(adj([)]([21
*
1r n
r r r n
r p E p Z p p E p Z p H λλλ-∏=
--∏=
== (4-8)
式中，E 为常数，n s , 2, 1,,*s s n ==+λλ。

展成部分分式形式，为
∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-==n
r r r
r r p A p A p H 1**))(][))(][)]([λλ (4-9)
其中，r A ][和*][r A 为留数。

根据留数定理，有
()r
p r r p p H A λ
λ=-=))](([][ (4-10)
将(1-8)式代入(1-10)式，得
)])
(adj([)
()])
(adj([][2,1p Z P E p Z A r s r n
r s s r =-∏=
≠=λλ (4-11)
显然，式中r P 为一与极点有关的常数。

因此，式(1-9)可写为：
∑⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-+-==n
r r r r r p Z P p Z P p H 1*
*r *r ))()])(adj([))()])(adj([)]([λλλλ (4-12)
由式(4-5)，有
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣
⎡=\\
)()])(]adj([)([I
p Z p Z p Z (4-13)
就r λ=p 计算上式，因为r λ是特征方程的一个根，所以有
0=)])(]adj([)([r r λλZ Z (4-14)
考虑)])(adj([r λZ 的任一列，比如第i 列，则有
0)])}(]{adj([)([i r r =λλZ Z (4-15)
显然，此式与式(4-5)相同，表示特征向量r }{ψ的齐次方程。

因此，
i r )])}({adj([λZ 与r }{ψ这两个向量之间存在着确定的比例关系，它们都是与
特征值r λ相对应的特征向量，并且对于)])(adj([r λZ 中的任一列向量，都有相同的结论。

所以，矩阵)])(adj([r λZ 的秩为1，这也意味着该矩阵的所有各行亦成比例。

因而，就r λ=p 计算出来的这个矩阵满足条件：
r I Z ][}{)])(adj([r r ψ=λ (4-16)
因为遵循Maxwell 互易性定理的系统其质量、刚度、阻尼等矩阵都是对称的，所以系统的动刚度矩阵)]([p Z 及其伴随矩阵)])(adj([p Z 也都是对称的，所以)])(adj([r λZ 的各行均与第r 阶模态向量成比例：
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡ψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=ψψ=n n n n n n r r R R Z 21
2221
21211
1T
r r r }{}{)])(adj([λ (4-17)
其中，r R 是与r }{ψ换算比例有关的一个常数，上注脚T 表示矩阵转置。

将式(4-17)代入(4-12)，并记r r r R P Q =，则得
∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-ψψ+-ψψ==n
r r r r r p Q p Q p H 1*
T *r
*r *T r r ))(}{}{))(}{}{)]([λλ (4-18)
于是，各留数矩阵为：
T r r }{}{][ψψ=r r Q A (4-19) 记 ]}{}{}{}{[][**11n n ψψψψ=Φ ，
T T
***1*111][\\]}{}{}{}{[][V Q Q Q Q Q L n n n
n ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=ψψψψ=
并考虑到1
\\
\\-⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡Λ
-⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣
⎡I
p 中含有)(1)(1*
r r p p λλ--和项，所以
(4-18)式可以写成：
T 1
][\\
\\
\\
][)]([Φ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡Λ
-⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢
⎢⎣⎡Φ=-Q
I p p H (4-20) 则，系统的激励力)}({p F 与位移响应)}({p X 之间的关系可以表示为：
)](][[\\
\\
][)]()][([)]([1
p F L I p p F p H p X -⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡Λ
-⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢
⎢⎣⎡Φ== (4-21) 这里，矩阵][Φ与系统响应有关，是由系统的模态向量组成的矩阵，称为模态向量矩阵或模态振型矩阵；矩阵][L 与系统激励有关，由模态向量的转置与相应的比例换算因子Q 的乘积构成，称为模态参与因子矩阵。

可见，矩阵][L 是各自由度激励对各阶模态激励有效性的一种度量。

对于仅沿频率轴计算的传递函数矩阵，即ωσj +=p 中0=σ的情形，式(4-18)变为：
∑⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-ψψ+-ψψ==n
r r r r r Q Q H 1*
T *r
*r *T r r ))j (}{}{))j (}{}{)]j ([λωλωω (4-22)
这时，)]j ([ωH 一般又称为频响函数矩阵。

由式(4-20)和(4-21)，则有：
][\\
\\j ][)]j ([1
L I
H -⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Λ
-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡Φ=ωω (4-23) )]j (][[\\\\j ][)]j ([1
ωωωF L I X -⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡Λ
-⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢
⎢⎣⎡Φ= (4-24) 可见，通过频响函数矩阵)]j ([ωH ，在频率域内建立起了弹性系统的位移响应与激励载荷之间的联系。

所以，对于弹性体振动系统，只要求得了系统的模态特性参数（即系统极点：模
态频率、阻尼系数以及模态向量、模态参与因子），便可以利用这些参量对系统的动态特性进行分析研究，并可将这些参数用于结构设计或重设计，以优化系统的动态特性，并可按照式(4-24)计算得到系统在频域内的动态响应。